Tính tổng các biểu thức trung gian

SKKN: Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian
A.Đặt Vấn Đề:
Trong chơng trình Toán lớp 6 sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ
tự nhiên các em đợc làm quen với nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy
luật mà nếu tính toán trực tiếp là không đơn giản. Khi gặp những loại bài tập này học
sinh thờng lúng túng cha xác định đợc phơng pháp giải.
Để giải đợc những bài toán đó chủ yếu phải dùng đến cách tính gián tiếp qua
các biểu thức trung gian.
Đợc phân công dạy bồi dỡng Toán 6 khi dạy về các bài toán dạng này tôi đã h-
ớng dẫn học sinh đi từ các bài toán cụ thể để nêu thành các bài toán tổng quát và
phân tích cách định hớng cho học sinh giải các bài tập dạng này.
B. Giải quyết vấn đề:
Bài toán 1:
Tính tổng: A= 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
..+3
2008
Lời giải:
3A = 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
..+3

2009
2A = 3A A = (3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
..+3
2009
) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
..+3
2008
)
= 3
2009
3


A=
2
33
2009

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
A= a + a
2
+ a
3
+ a
4
+a
n
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Lời giải:
aA = a
2
+ a
3
+ a
4
+a
5
..+a
n
(a-1)A = aA A = (a
2
+ a
3
+ a
4

+a
5
..+a
n+1
) ( a + a
2
+ a
3
+ a
4
..+a
n
)
Năm học 2007 - 2008
1
SKKN: Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian
= a
n+1
a


A=
1
1


+
a
aa
n

Bài toán 2:
Tính tổng
B =
200832
5
1
..........
5
1
5
1
5
1
++++
Ta có thể tính tổng B theo bài toán 1 bằng cách đặt
a
=
5
1
thì
B = a + a
2
+ a
3
+ a
4
+a
2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.B =

200732
5
1
..........
5
1
5
1
5
1
1 +++++
4B =5B B = (
200732
5
1
..........
5
1
5
1
5
1
1 +++++
) (
200832
5
1
..........
5
1

5
1
5
1
++++
)
= 1-
2008
5
1
=
2008
2008
5
15



B =
2008
2008
5.4
15

Ta có thể tổng quát bài toán 2 thành bài toán sau:
Tính tổng
B =
a
aaaa
1

..........
111
32
++++
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Bài giải:
a.B =
132
1
..........
111
1

+++++
a
aaaa
(a-1)B = aB B = (
132
1
..........
111
1

+++++
a
aaaa
) (
a

aaaa
1
..........
111
32
++++
)
=1-
n
a
1
=
n
n
a
a 1



B =
n
n
aa
a
)1(
1


Từ kết quả của bài toán 2 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Năm học 2007 - 2008

2
SKKN: Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian
Bài toán 3:
a. Chứng minh rằng:
B =
200832
5
1
..........
5
1
5
1
5
1
++++
<
4
1
Từ bài toán 2 ta có:
4.B = 1-
2008
5
1
< 1

B <
4
1
b. Chứng minh rằng:

C=
200832
3
2008
..........
3
3
3
2
3
1
++++
<
4
3
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3C=
20072
3
2008
..........
3
3
3
2
1
++++
2C = 3C C = (
20072
3

2008
..........
3
3
3
2
1
++++
) (
200832
3
2008
..........
3
3
3
2
3
1
++++
)
=
2008200732
3
2008
3
1
..........
3
1

3
1
3
1
1
+++++


2C <
200732
3
1
..........
3
1
3
1
3
1
1
+++++
( *)
Đặt: D =
200732
3
1
..........
3
1
3

1
3
1
++++
Ta có: 3D =
20062
3
1
..........
3
1
3
1
1
++++
2D = 3D D = (
20062
3
1
..........
3
1
3
1
1
++++
) (
200732
3
1

..........
3
1
3
1
3
1
++++
)
=
2007
3
1
1

< 1


D <
2
1
Từ (*) ta có: 2C< 1+D < 1+
2
1
=
2
3


C <

4
3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Năm học 2007 - 2008
3
SKKN: Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a

1 thì:
a.
n
aaa
a
1
..........
111
32
++++
<
1
1

a
b.
n
a
n
aa
a
++++

..........
321
32
<
2
)1(
1

a
Bài toán 4:
Tính tổng: S = 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100.
3S = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + + 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + ..+ 99.100.101 98.99.100
= 99.100.101.

S =
333300
3
101.100.99
=
Hớng dẫn: 3n(n+1) = n(n+1)
[ ]
)1()2(
+
nn
=n(n+1)(n+2) (n-1) n (n+1)
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng:
S = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1). Với n là số nguyên d ơng.
Với cách làm tơng tự ta có:

3S=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + ..+ n(n+1)(n+2) (n-1)n(n+1)
=n(n+1)(n+2).


S=
3
)2)(1(
++
nnn
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
a. 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
b. 1.4 + 2.5 + 3.6 + + n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n
2
= n(n+1) n


1
2
+ 2
2

+ 3
2
+ +n
2
=
=1.2 1 + 2.3 2 + 3.4 3 + + n(n+1) n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) ( 1 +2 +3 + +n)
Năm học 2007 - 2008
4
SKKN: Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian
=
2
)1(
3
)2)(1(
+

++
nnnnn
=
6
)12)(1(
++
nnn
Câu b:
Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n

1.4 +2.5 +3.6 + + n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+ ..n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 + +n)

=
3
)2)(1(
++
nnn
+
2
)1(
2
+
nn
=
3
)5)(1(
++
nnn
C .kết luận .
Bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ những ví dụ cụ thể học
sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo, gây đợc sự hứng thú cho học
sinh.
Với các định hớng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập, ôn
tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tơng tự tôi thấy học sinh định dạng và
giải các bài tập tốt hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy về các
bài toán tính tổng nhờ vào biểu thức trung gian.
Rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.

Ngày 23 tháng 4 năm 2008
Năm học 2007 - 2008

5