Các dạng toán về căn bậc hai

Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Tên đề tài : Rèn luyện kó năng giải một vài dạng toán căn bậc hai.
Họ và tên giáo viên : Trần Kim Sa.
Đơn vò công tác : Trường THCS Trần Hưng Đạo.
1. Lí do chọn đề tài
Việc rèn luyện kó năng giải toán cho học sinh là một trong những vấn đề mà
người dạy toán đặc biệt quan tâm . Cho nên, bản thân chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng
giải một vài dạng toán căn bậc hai”.
2. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu
- Học sinh lớp 9 tại trường THCS Trần Hưng Đạo.
- Các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán.
- Nghiên cứu thực tế qua các tài liệu tham khảo, các loại sách hướng dẫn và qua
các lần dự giờ đồng nghiệp.
- Thực tế qua các bài kiểm tra, bài thi của học sinh.
3. Đề tài đưa ra giải pháp mới
- Giúp giáo viên sử dụng linh hoạt các phương pháp mới trong giảng dạy.
- Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp hằng đẳng thức để giải một vài dạng
toán căn bậc hai một cách thành thạo
4. Hiệu quả áp dụng
- Được áp dụng thực tế ở lớp 9D và đạt được kết quả khả quan.
- Học sinh có khả năng phân loại từng dạng toán, có kó năng giải nhanh các bài
toán dạng tương tự.
5. Phạm vi áp dụng
- p dụng cho khối lớp 9 ở đơn vò.
- p dụng cho toàn thể giáo viên bộ môn Toán ở trường THCS Trần Hưng Đạo.
Gò Dầu, ngày 25 tháng 03 năm 2008
Người viết
Trần Kim Sa
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
1

Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
PHẦN I
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy và học nói chung, dạy và học toán nói riêng
trong những năm gần đây đã được các nhà giáo dục và các nhà khoa học nghiên cứu
khá cặn kẽ. Đặc biệt là phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, phương pháp
giáo dục tích cực phát triển tư duy của học sinh một cách toàn diện.
Do tình hình dạy và học toán hiện nay còn nhiều vấn đề cần phải xem xét, việc
đổi mới phương pháp dạy học và phát triển tư duy của học sinh trong dạy và học toán
là vấn đề mà bản thân tôi cần quan tâm tới. Trong đó việc rèn luyện kó năng giải toán
cho học sinh là một trong những vấn đề mà người dạy toán đặc biệt quan tâm hơn,
không thể thiếu trong công tác giảng dạy của mình. Vì vậy bản thân chọn đề tài : “Rèn
luyện kó năng giải một vài dạng toán căn bậc hai”.
II. ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU.
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy đại đa số học sinh lớp 9 chưa nhận dạng
được các bài toán căn thức bậc hai tồn tại dưới dạng hằng đẳng thức, đồng thời kó năng
phân tích và giải cho dạng toán này còn nhiều hạn chế. Do đó, đề tài này nghiên cứu
chủ yếu trên đối tượng học sinh, bên cạnh đó bản thân trao đổi cùng đồng nghiệp về
dạng toán này cùng với phương pháp giải để quý đồng nghiệp tham khảo và bổ sung.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Ý tưởng của đề tài phong phú, phạm vi nghiên cứu cho dạng toán này đa dạng
cho nên bản thân chỉ nghiên cứu một số dạng toán căn thức bậc hai tồn tại dưới dạng
hằng đẳng thức ở Chương I trong Sách Giáo Khoa Toán 9, Tập 1-NXB Giáo Dục năm
2005 và một số bài toán có liên quan đến nội dung đề tài có mặt trong các kì thi.
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi khối 9 của trường THCS Trần Hưng Đạo mà
bản thân đang công tác.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Trong quá trình giảng dạy, học tập và nghiên cứu để viết đề tài, bản thân đã
tham khảo một số sách, tạp chí và tài liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề

tài để làm cơ sở cho việc nghiên cứu và hình thành phương pháp. Đề tài này nghiên
cứu chủ yếu dựa trên ba phương pháp :
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
2
Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp luyện tập thực hành.
- Phương pháp điều tra và kiểm tra.
Đặc biệt trong phương pháp điều tra và kiểm tra bản thân đã thực hiện dưới
nhiều hình thức như : trắc nghiệm, thực hành, dự giờ, kiểm tra, so sánh, đối chiếu…
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
3
Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Những năm gần đây do tình hình thực tế và yêu cầu của xã hội ngày càng đổi
mới và đi vào chiều sâu, đòi hỏi chúng ta cần phải có sự đổi mới liên tục để theo kòp
các nước trong khu vực và trên thế giới. Vì vậy nền giáo dục của nước ta đã và đang
được Đảng và Nhà nước đặt lên mục tiêu hàng đầu, trong đó chúng ta là những người
thực hiện mục tiêu ấy.
Nhằm thực hiện tốt chương trình đổi mới giáo dục phổ thông hiện nay theo đà
phát triển của xã hội là “Học phải đi đôi với hành, lao động sản xuất phải gắn liền với
thực tiễn”. Như vậy vấn đề đặt ra là làm sao trò phải lónh hội kiến thức một cách trọn
vẹn đồng thời ứng dụng được kiến thức đã học từ trong sách vở vào thực tế. Trong toán
học vấn đề đó được cụ thể bằng những phương pháp giải toán và những kó năng giải
toán mà người học cần phải nắm vững chắc, phải biết ứng dụng vào những bài toán cụ
thể , đồng thời phải chuyển tải những kó năng đó thành vốn kiến thức riêng cho bản
thân. Trên cơ sở đó đào sâu nghiên cứu, sáng tạo ra những dạng toán mới, những
phương pháp giải hay, độc đáo hơn. Đó là cách mà người dạy cần nghiên cứu và đặc

biệt quan tâm hơn trong quá trình dạy học.
Ví dụ : Từ đònh nghóa căn bậc hai số học của một số a
“Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của a”.
Ta có :
2
x a x a= ⇔ =
. Do đó phép toán “ ” (phép khai phương) và phép toán
bình phương là hai phép toán ngược nhau. Như vậy :
2
9 3 3= =
.
Vấn đề là hãy tính
7 4 3 ?+ =
. Quả thật đây là vấn đề rất khó khăn cho học
sinh, làm thế nào để học sinh nhận dạng được
7 4 3+
là hằng đẳng thức.
Vì thế người dạy học cần phải làm thế nào để phát triển tư duy của học sinh một
cách trọn vẹn trên cơ sở những kiến thức cơ bản, phát huy tính tích cực học tập của học
sinh trong quá trình học toán là hết sức cần thiết. Việc đổi mới phương pháp dạy học là
vấn đề quan trọng nhất hiện nay mà ngành đặc biệt quan tâm.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trong những năm qua do yêu cầu về chất lượng của các kì thi nhất là các kì thi
như : thi học kì, thi tuyển chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10 có rất nhiều
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
4
Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
dạng bài toán liên quan đến căn thức bậc hai. Đối với những dạng toán về căn thức bậc

hai trong các đề thi đã ra, có không ít học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng. Phần
lớn học sinh chưa nắm chắc cơ sở phân tích, hoặc là sự phân tích theo cách “mò mẫm”,
chưa dựa theo quy tắc nào mà tôi đã gặp trong những bài thi qua các lần tôi tham gia
chấm thi tuyển sinh, trong giờ dạy ở lớp và cả trong những giờ bồi dưỡng ở trường.
Vì vậy, nhằm để đáp ứng kòp thời cho học sinh lớp 9 và các bạn yêu toán, trong
đề tài này bản thân hướng dẫn học sinh về các dạng toán liên quan đến căn thức bậc
hai có dạng hằng đẳng thức để các học sinh có cơ sở hơn trong quá trình giải toán.
Đồng thời xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp cùng quý thầy cô đang trực tiếp giảng
dạy bộ môn toán hãy cùng tôi nghiên cứu về vấn đề này để đề tài phong phú hơn thêm.
III. NỘI DUNG VẤN ĐỀ.
A. CĂN BẬC HAI VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1. Bài toán căn thức, các dạng thường gặp.
Có nhiều bài toán căn thức bậc hai tồn tại dưới dạng hằng đẳng thức mà người
học khó phát hiện ra được nó. Như vậy việc giải dạng toán đó là phức tạp bởi vì học
sinh không biết phân tích một cách triệt để bài toán. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy
và học tập, người dạy học cần phải biết phân loại từng dạng toán đồng thời hình thành
những kó năng giải toán cho học sinh. Ngoài việc áp dụng các phương pháp, các phép
biến đổi thông thường, thì việc nhận dạng bài toán và phân tích bài toán để tìm lời giải
cho thích hợp là việc làm không thể thiếu được, nhất là những bài toán có dạng hằng
đẳng thức.
Ví dụ : Tính
2
6 9A x x= + +
với
0x >
Học sinh dễ dàng tìm được ngay :
2 2
6 9 ( 3) 3 3A x x x x x= + + = + = + = +
(với
0x >

).
Tuy nhiên với bài toán sau thì học sinh khó phát hiện được dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ : Tính
7 4 3B = +
.
Rõ ràng, biểu thức
7 4 3+
tồn tại dưới dạng hằng đẳng thức, do đó trong dạy
học người dạy cần chú ý đến việc phân loại từng dạng toán và hình thành kó năng giải
toán cho học sinh.
Trong phần này tôi trao đổi cùng đồng nghiệp và những đối tượng của chúng ta
về những dạng toán có nội dung liên quan đến hằng đẳng thức như sau :
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
5
Rèn luyện kó năng giải một vài dạng Toán căn bậc hai Trường THCS Trần Hưng Đạo
1.1 Dạng
M E N+
.
1.2 Dạng
.A B A B+ −
.
1.3 Dạng
A B A B+ ± −
.
1.4 Dạng toán trục căn thức ở mẫu.
Ngoài những dạng trên còn có rất nhiều dạng bài toán tồn tại dưới dạng hằng
đẳng thức khác mà tôi không đề cập đến. Do hạn chế về thời gian và điều kiện cho
phép, nên tôi chỉ trao đổi cùng quý đồng nghiệp các dạng toán trên đồng thời mong
quý đồng nghiệp đóng góp thêm cho đề tài.
2. Phương pháp hằng đẳng thức với các dạng toán căn thức bậc hai.

Để giải các bài toán về căn thức bậc hai ta thường sử dụng các phép biến đổi
đơn giản về căn thức đã học trong chương trình lớp 9. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp
ta sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức ở lớp 8.
2.1 Dạng
M E N+
.
Trong trường hợp này chúng ta thường hướng dẫn học sinh theo phân tích sau :
2 2
2ab E N
a b M

± =


+ =



2 2
2M E N a b ab a b⇒ + = + ± = ±
.
Ví dụ1 : Tính
7 4 3A = −
(Đề thi TN THCS năm 2004 -2005)
Hướng dẫn : Ta có phân tích :
2 2 2 2
7 7
2, 3
2 4 3 2 2.2. 3
a b a b

a b
ab ab
 
+ = + =
 
⇔ ⇒ = =
 
− = − − = −
 
 
.
Vậy :
2 2 2
7 4 3 2 2.2. 3 ( 3) (2 3) 2 3 2 3A = − = − + = − = − = −
.
Ví dụ 2 : Rút gọn :
8 2 15A = +
.
Hướng dẫn : Ta có phân tích :
2 2 2 2
8 8
5, 3
2 2 15 2 2. 5. 3
a b a b
a b
ab ab
 
+ = + =
 
⇔ ⇒ = =

 
= =
 
 
.
Vậy :
2 2 2
8 2 15 ( 5) 2. 5. 3 ( 3) ( 5 3) 5 3A = + = + + = + = + .
Ví dụ 3 : Rút gọn biểu thức
15 6 6 33 12 6 .− + −
Người thực hiện : Trần Kim Sa Trang
6