Phương trình bậc 2 3 4

TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC 3 – BẬC 4 - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122
Mối liên hệ giữa x1 , x2
Giải phương trình ax2  bx  c  0
Giải và biện luận ax2  bx  c  0
Sử dụng công thức nghiệm:
+ Xét a  0  m , với m tìm được thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm
b

 x1  x2   a
không.
Tính   b2  4ac ( hoặc  '  b '2  ac ) :
Định lí Vi – Ét: 
+ Xét a  0 , tính   b2  4ac ( hoặc tính ' )
 Nếu   0 thì phương trình có 2
 x .x  c
nghiệm phân biệt:
- Nếu   0 , suy ra điều kiện của m, suy ra phương trình vô nghiệm;
 1 2 a
b
b  
b  
Các công thức liên hệ giữa x1 , x2 :
- Nếu   0 , suy ra m, suy ra phương trình có nghiệm kép x  
;
x1 
; x2 
.
2a
2
2a
2a

2
2
x1  x2   x1  x2   2 x1 x2
 Nếu   0 thì phương trình có nghiệm
b  
b  
2
2
- Nếu   0 , suy ra m, suy ra phương trình có hai nghiệm x1 
; x2 
 x1  x2    x1  x2   4x1 x2
b
2a
2a
kép x1  x2  
.
3
3
3
Phương trình có hai nghiệm dương phân
Tìm m để phương trình có ít nhất một
2a
x1  x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2 
biệt ( nằm bên phải Oy)
nghiệm dương
 Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm.
2
4
4
2

2
2 2
x

x

x

x

2
x
.
x


Các
em
phải
xét 5 TH:
1
2
1
2
1
2

Nhẩm nghiệm :
TH1:
Xét


a

0  m rồi kiểm tra .
a

0;


0
1 1 x1  x2
 x  x  m  n  x1  m

 
+ Dùng Vi-Ét:  1 2

TH2:
Phương
trình
có hai nghiệm trái dấu.
b

x1 x2
x1 .x2
 x1.x2  m.n
 x2  n
0
TH3: Phương trình có hai nghiệm dương
 x1  x2 
a

2

phân biệt.
 x1  1
x1  x2    x1  x2   4 x1 x2

c

TH4: Phương trình có nghiệm kép dương.
+ Nếu a  b  c  0 thì 
c
 x1 x2  a  0
x12  x22   x1  x2  x1  x2 
TH5: có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm  0
 x2  a
3
3
2
2
Phương
trình
có
1
nghiệm
dương
x1  x2   x1  x2   x1  x2  x1 x2 
 x1  1
TH1:
rồi
kiểm

tra
.
a

0

m


+ Nếu a  b  c  0 thì 
c
x14  x24  x12  x22 x12  x22
 a  0;

x


2


a

6
6
2
2
4
2 2
4


a  0;
x1  x2   x1  x2  x1  x1 .x2  x2 
TH3: Xét    0 phương trình có 1

a

b

S

 b
TH2: Xét    0 phương trình có hai
Tìm hai số biết tổng – tích: 
Nếu phương trình: ax 2  bx  c  0
 0

a
b

P

c
 2a
có hai nghiệm là x1 ; x2 và
  0;
( với S  4P ). Khi đó a, b là nghiệm
a

nghiệm
kép

dương.
S  x1  x2 ; P  x1 . x2 thì:
phương trình: x2  Sx  P  0
TH4:
Phương
trình có một nghiệm bằng 0
nghiệm
trái
dấu.
x12   x1  x2  .x1  x1.x2  S.x1  P
và một nghiệm dương.
Tìm m để phương trình có nghiệm x0



Ta thay x  x0 vào phương trình để tìm m,
sau đo thay m tìm được trả lại phương
trình giải , kiểm tra và kết luận.
Chứng minh phương trình luôn có
nghiệm – vô nghiệm:
- Xét a  0  m rồi kiểm tra.
- Xét a  0 .
Nếu   0 với mọi m hoặc ra a.c  0 thì
phương trình luôn có nghiệm.
Nếu   0  phương trình vô nghiệm
Phương trình có hai nghiệm phân biệt –
nghiệm kép
a  0
PT có hai nghiệm phân biệt : 
  0

a  0
PT có nghiệm kép : 
  0





x13   S 2  P  .x1  S.P

x   S  2SP  .x1  P  S  P 
4
1

3

2

Lập phương trình bậc hai khi biết
nghiệm
+ Nếu phương trình có hai nghiệm là
S  a  b
 Phương
a, b ta tính 
 P  a.b
trình cần tìm: x2  S.x  P  0
+ Nếu hai nghiệm là f  x1  ; f  x2  ta



 S  f  x1   f  x2 
tính : 


 P  f  x1  . f  x2 
Phương trình cần tìm: x2  S.x  P  0

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
(hai nghiệm nằm về bên trái trục tung)

 a  0;   0

b

0
 x1  x2 
a

c

 x1 x2  a  0

Tìm m để phương trình có ít nhất một
nghiệm âm
Các em xét 5 TH:
TH1: Xét a  0  m rồi kiểm tra.
TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
TH3: Phương trình có hai nghiệm âm
phân biệt.
TH4: Phương trình có nghiệm kép dương.

TH5: có 1 nghiệm âm, 1 nghiệm  0

LỚP TOÁN THẦY THÀNH
NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122


TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC 3 – BẬC 4 - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122
Phương trình có 1 nghiệm âm
Phương trình có hai nghiệm trái dấu + Cùng dấu (nghiệm nằm về hai phía Oy)
Phương
trình có hai nghiệm trái dấu khi : Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá
TH1: a  0  m và kiểm tra.


a  0;





 a 0
 a  0;
a  0;
TH3: Xét    0 phương trình có 1







0
0
trị
tuyệt
đối
lớn
hơn:
TH2: Xét    0 phương trình có hai


b
 0


c
c
c
b
 2a
 x1 x2   0
  0;
0
  0;
a
a

a
a
nghiệm kép âm.

TH4: Phương trình có một nghiệm bằng 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Hai nghiệm trái dấu mà nghiệm dương có
nghiệm trái dấu.
và một nghiệm âm.
giá trị tuyệt đối lớn hơn:

Tìm m để phương trình có 1 nghiệm
Phương trình có hai nghiệm đối nhau
a  0;


Ta xét 2 TH:
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi :

a  0;
cùng dấu khi:    0

TH1: a  0  m rồi kiểm tra.
 a  0;
c
0


 0
a  0



0

c

b
TH2: 
a
  0;
0
 S  0; P  0
  0
a
a

Phương trình có hai nghiệm là nghịch
Hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện
đảo nhau
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo
a  0
a  0
Điều kiện có nghiệm : 
Phần 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm : 
và điều kiện bị ẩn trong

0
  0

 a0
- Dựa vào định lý Viet :
câu hỏi ( điều kiện căn, mẫu số, cạnh tam giác...)

nhau khi: 
 0

Phần 2: Ưu tiên hàng đầu cho dạng toán này là nhẩm nghiệm. Khi nhẩm nghiệm xong
b

S  x1  x2  


thì kiểm tra xem có phải chia trường hợp không. Nếu không nhẩm được nghiệm ta biến
c

a
 x1 .x2   1
theo m.

đổi điều kiện rồi thay Vi – Ét.
a

 P  x .x  c
1 2

Chứng minh có ít nhất 1 PT có nghiệm
a

Tìm m để phương trình a1 x 2  b1 x  c1  0 và a2 x 2  b2 x  c2  0 có nghiệm chung
- Rút m theo S và P.
Cách 2 : ( Dùng phương pháp cộng hoặc
Cách 1:
- Tính 1 ;  2 .
- Khử m tìm hệ thức chỉ có S và P, rồi
- Giả sử x 0 là nghiệm chung, lập hệ 2 phương thế để khử m, rồi tìm x)
- Chỉ ra 1   2  0 hoặc 1 .  2  0

 S  x1  x2
- Rút tham số từ 1 phương trình đã cho
ta được hệ thức giữa trình ( ẩn x và tham số )
nên có ít nhất một biệt số không âm (chú ý thay 
- Thế giá trị của tham số vào phương trình
 P  x1 . x2
đến giả thiết)
- Giải hệ phương trình tìm x 0 , tìm tham số .
còn lại tìm x .
x1 , x2 không phụ thuộc vào m.
- Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng - Thay giá trị của x tìm m .
Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất biểu thức chứa x1 , x2
phương trình, giải các phương trình, tìm nghiệm - Rút kết luận .
chung.
a  0
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
- Rút kết luận .
  0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt nguyên
b

Cách
1:
 x1  x2  a
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
- Dùng định lí Vi Ét để tính: 
- Tính   x1 và x2 và tìm m để x1 ; x2 là các số nguyên.
c
 x .x 
 1 2 a

Cách 2: Dùng Vi ét để tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m rồi tìm biến đổi
b
biểu thức đó.

 x1  x2  a
Cách 3: Rút m theo x đưa về bài toán mới.
- Thay 
vào biểu thức để tìm GTNN; GTLN.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH
 x .x  c
NGÕ
58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
1 2

a
0975.705.122


TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC 3 – BẬC 4 - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122
So sánh một số với nghiệm phương trình ax2  bx  c  0
PT có nghiệm x1  x0  x2
PT có nghiệm x0  x1  x2
PT có nghiệm x1  x2  x0
PT có nghiệm x1  x2  x0
Trường hợp 1: Phương trình có
a  0;
a  0;


a  0;





 x  x0
0
0
0
Cách 1: 


nghiệm  2
Cách
1:
(Dùng
cho
lớp
9)
Cách
1:
(Dùng
cho
lớp
9)


 x  x  x  x   0
 x1  x0
x1  x2  2 x0
x1  x2  2 x0



 1 0 2 0
+ Thay x2  x0 vào phương trình


( Dùng cho lớp 9)
 x1  x0  x2  x0   0
 x1  x0  x2  x0   0
để tìm m, thay m trả lại phương
 a  0;
 a  0;
 a  0;
trình để tìm nghiệm còn lại và kết

 0
 0
Cách 2:    0
luận.


Cách 2: 
(Dùng cho lớp 10)
Cách 2: 
(Dùng cho lớp 10)
a. f  x   0
Trường hợp 2: Phương trình có
0

 x1  x2  2 x0

 x1  x2  2 x0
nghiệm x1  x2  x0 ( giải như
 a. f  x0   0
 a. f  x0   0
(Dùng cho lớp 10)
bảng bên cạnh)
PT có nghiệm x1  c  b  x2
PT có nghiệm x1  c  x2  b
PT có nghiệm c  x1  b  x2
Tương tự cho bài toán:
x0  x1  x2
a  0
a  0
a  0
  0


PT có nghiệm c  x1  x2  b

  0
  0
Cách 1: 


a  0
Cách 1:  x1  c  x2  c   0
Cách 1:  x1  c  x2  c   0
 x1  c  x2  c   0




 x  b  x  b   0
2
 1
  0
 x1  b  x2  b   0
 x1  b  x2  b   0

 x  x  2b
 x  x  2c
Cách 1:  x1  c  x2  c   0
a  0
 1 2
 1 2
  0


a  0
a  0
 x1  b  x2  b   0
Cách 2: 


 2c  x  x  2b

1
2
a. f  b   0
  0
  0

a. f  c   0


a  0

Cách 2:  a. f  b   0
Cách 2:  a. f  b   0



  0
 a. f  c   0
 a. f  c   0

 x  x  2b
 x  x  2c
Cách 2: a. f  b   0
 1 2
 1 2

Phương trình bậc ba ax3  bx2  cx  d  0
a. f  c   0
2c  x  x  2b
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình có hai nghiệm
Phương trình có một nghiệm

1
2
Nhẩm một nghiệm x0 rồi đưa phương Đưa phương trình về dạng:  x  x0   ax2  bx  c   0 . Nhẩm một nghiệm x0 rồi đưa phương

trình về dạng:  x  x0   ax2  bx  c   0

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
thì : f  x   ax2  bx  c  0 phải có
hai

nghiệm
phân
 a0

x0     0  m
 f x   0
0


biệt

khác

Để phương trình có 2 nghiệm thì :
TH1: f  x   ax2  bx  c  0 phải có nghiệm kép


 a0

khác x0     0  m
 b

 x0
 2a

TH2: f  x   ax2  bx  c  0 hai nghiệm phân biệt ,

 a0

một nghiệm bằng x0     0  m
 f x   0
0


trình về dạng:  x  x0   ax2  bx  c   0
Để phương trình có 1 nghiệm thì :
TH1: f  x   ax2  bx  c  0 vô

a  0
m
nghiệm  
  0
TH2: f  x   ax2  bx  c  0 có

 a0

nghiệm kép bằng x0     0  m
 b

 x0
 2a

LỚP TOÁN THẦY THÀNH
NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122

TỔNG HỢP CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – BẬC 3 – BẬC 4 - Giáo viên: Nguyễn Chí Thành – 0975.705.122
Phương trình bậc 4 trùng phương ax4  bx2  c  0 1
Cách giải
Đặt t  x2  t  0 .
Suy ra at 2  bt  c  0 (2)
Giải phương trình (2) suy ra t,
sau đó kiểm tra điều kiện
t  0 rồi thay vào x 2  t để
tìm x
chú ý x 2  t  0  x   t

Phương trình có 4 nghiệm
Đặt t  x2  t  0 . Suy ra at 2  bt  c  0 (2)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương
trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt.

a  0 ;   0

 b
Suy ra: 
0 m
 a
 c
 a  0

Phương trình có 3 nghiệm
Đặt t  x2  t  0 . Suy ra at 2  bt  c  0 (2)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương

trình (2) có hai nghiệm trong đó có một
nghiệm bằng 0, một nghiệm dương :

a  0 ;   0

b

S
 0  m rồi kiểm tra lại.
a

c

 P  a  0
Phương trình vô nghiệm
Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) vô
nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt âm
 0

  0
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
 
m
 S  0

  P  0

Phương trình có 1 nghiệm
Để phương trình (1) có 1 nghiệm thì phương trình (2) có một
nghiệm kép bằng 0 hoặc 1 nghiệm bằng 0 và một nghiệm

  0

 P  0
âm ⇔     0  m

 S  0
 P  0

Phương trình ( x  a )( x  b)( x  c )( x  d )  m với a  b  c  d

Đặt t  x 2  (a  b) x , đưa về phương trình bậc hai (t  ab)(t  cd)  m .
Ví dụ:  x  3 x  2 x  1 x  6 84

  x  3 x  6 x  2 x  1  84   x2  3x  18 x2  3x  2   84

Đặt x 2  3x  a . Phương trình (1) có dạng:  a  18 a  2  84
Phương trình hồi quy ax4  bx3  cx2  dx  e  0

mà ad 2  eb2

d
 t đưa về phương trình mới
Đặt
b
Kiểm tra x  0 có phải là nghiệm phương trình không rồi chia cả hai vế cho

t
t2  
t
x 2 ta được: a  x 2  2   b  x    c  0 . Sau đó đặt x   a .

x
x
x


 
Phương trình dạng ( x  a)4  ( x  b) 4  c

ab
, đưa về phương trình trùng phương theo t.
2
Chú ý: ( x  y)4  x 4  4 x3 y  6 x 2 y 2  4 xy3  y 4 .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH
NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN
0975.705.122
Đặt t  x 

Phương trình có hai nghiệm
Đặt t  x2  t  0 . Suy ra at 2  bt  c  0 (2)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương
trình (2) phải có :
TH1: Xét a  0 suy ra m, thay m trả lại kiểm
tra.
TH2: Có nghiệm kép dương:

a  0 ;   0

 b
0 m


 a
 c
 a  0

a  0 ;

TH3: Có hai nghiệm trái dấu:    0  m
c
 0
a

Phương trình dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   rx2 với ab  cd .
Đưa phương trình về dạng:  x2   a  b  x  ab   x 2   c  d  x  cd   rx 2
Kiểm tra x  0 có phải là nghiệm của phương trình không rồi chia cả hai vế cho x 2
ab
ab
cd



2
 x  x  a  b   x  x  c  d   r ( chú ý tách x  x.x ). Đặt t  x  x



Ví dụ:  x2  3x  2  x2  9 x  18 168x 2

 x  1 x  2 x  3 x  6 168x2   x2  7 x  6 x2  5x  6   168x2

Nhận xét: x  0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế phương trình (1) cho x 2

6
6 
6

ta được:  x  7   x  5   168 . Đặt x   t .
x 
x
x

 t t
Phương trình có dạng:  t  7  t  5  168  t 2  12t  133  0  
t  19
4
3
2
Phương trình ax  bx  cx  bx  a  0
Nhận xét x  0 không phải là nghiệm của phương trình.
1  
1

Với x  0 , chia 2 vế của phương trình cho x 2 ta được: a  x 2  2   b  x    c  0 .
x
x  

1
Đặt t  x  , đưa về phương trình bậc hai theo t.
x