SKKN sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong nhà trường phổ thông bộ môn toán là bộ môn đóng vai trò quan trọng. Nó là
chìa khoá cho tất cả các bộ môn khoa học khác. Không những thế, trong thực tế toán
học còn xâm nhập vào các lĩnh vực xã hội và ngày càng phát huy vai trò của nó trong
các lĩnh vực đó.
Nhưng Toán học là một môn học khó và rộng, mỗi kiến thức có thể vận dụng để
giải nhiều dạng toán khác nhau. Việc học toán đòi hỏi học sinh phải có sự tìm tòi sáng
tạo, biết khai thác, mở rộng các kiến thức vào giải các bài toán khác.
Một trong những kiến thức cơ bản của chương trình toán lớp 9 đó là công thức
nghiệm của phương trình bậc hai. Với kiến thức này, hầu như học sinh mới chỉ biết sử
dụng nó để giải phương trình mà chưa biết khai thác để giải dạng toán tìm cực trị của
biểu thức, một trong những dạng toán gây cho các em rất nhiều khó khăn nhưng lại
thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, cũng như tuyển sinh vào lớp 10. Chính vì
vậy mà tôi đã đi sâu nghiên cứu việc "Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức".
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu
thức.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Hướng dẫn học sinh Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm
cực trị của một số biểu thức.
IV. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Cung cấp cho học sinh cách "Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
bậc hai để tìm cực trị của biểu thức ". Nhờ đó cải thiện được cho học sinh giải dạng
toán tìm cực trị của biểu thức, góp phần nâng cao chất lượng tuyển sinh lớp 10 và bồi
dưỡng học sinh giỏi toán 9.

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
Nghiên cứu lí luận: Tôi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu toán học, lí
luận dạy học môn toán, các sách giáo khoa và tài liệu hướng dẫn giảng dạy;
Điều tra thực tế;
Thực tiễn sư phạm: Qua quá trình dạy học và đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng
học sinh giỏi khối 9 và ôn thi tuyển sinh lớp 10 những năm gần đây.
1


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I. Kiến thức lý thuyết
1) Định nghĩa phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là
phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a,
�
b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0.
2) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a �0) và biệt thức  = b2 - 4ac :

 Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b  
b  
2a , x2 =
2a ;
x1 =



b
Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 2a ;

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Như vậy phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi  �0.
3) Một số kiến thức khác cần lưu ý :
* Quy tắc nhân với một số khi giải bất phương trình: Khi nhân (chia) cả hai vế của
bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
* Định lí Vi-et đảo: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P

�0.

II. Phương pháp chung
Dựa trên điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai  = b2 - 4ac � 0. Đặt biểu
thức cần tìm GTLN, GTNN là A, chuyển về phương trình bậc hai tham số là A, lập
biệt thức  . Do phương trình này có nghiệm nên  �0, từ đó suy ra được miền giá trị
của A
 Nếu A �M mà có dấu bằng xảy ra thì MaxA = M.
 Nếu A �m mà có dấu bằng xảy ra thì MinA = m.
2


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

 Nếu m �A �M mà có dấu bằng xảy ra thì MaxA = M và MinA = m.

III. Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức A = ax2 + bx + c (a �0).
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + 20x - 3 bằng nhiều phương pháp.
(Trích đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2004-2005)
a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi A là giá trị của biểu thức khi đó ta chuyển
sang vế trái ta được một phương trình bậc hai (2x 2 + 20x + (- 3 - A) = 0) khi đó ta có
thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (  ' = b'2 - ac � 0) để tìm
GTNN (  ' = 102 - 2(-3 - A) �0 � ... � A �-53. Suy ra AMin= -53.
b) Lời giải: Coi A là giá trị của biểu thức khi đó ta có phương trình:
2x2 + 20x + (- 3 - A) = 0
Có nghiệm khi và chỉ khi  ' �0 � 102 - 2(-3 - A) �0
� 100 + 6 + 2A �0 � 2A �-106 � A �-53
b'
10
 5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = - a = 2
.

Suy ra AMin= -53 khi và chỉ khi x = -5.
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức: B = -3x2 + 15x - 7
Giải: Coi B là giá trị của biểu thức khi đó ta có phương trình:
-3x2 + 15x + (- 7 - B) = 0, có nghiệm khi và chỉ khi:

'

�0 � 152 - 4.(-3)(-7 - B) �0
� 225 - 84 - 12B �0
� 12B �141
47
� B � 4

15
5
b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = - 2a = 2.(3) 2 .
47
5
Suy ra BMax= 4 khi và chỉ khi x = 2 .

Tổng quát: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức: A = ax2 + bx + c (a �0).
3


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

Giải: Xem A là một giá trị, khi đó ta có phương trình ax 2 + bx + (c - A) = 0 có nghiệm
khi và chỉ khi  = b2 - 4a(c - A) �0
� b2 - 4ac + 4aA �0
� 4aA �-b2 + 4ac.

Xét hai trường hợp:



-b 2 + 4ac
Nếu a > 0, ta có: A � 4a .

-b 2 + 4ac
 '


b
4a
Suy ra A có giá trị nhỏ nhất bằng
= 4a (= a ) khi và chỉ khi x = - 2a
b'
(= - a )



-b 2 + 4ac
Nếu a < 0, ta có: A � 4a .

-b 2 + 4ac
 '

b
4a
Suy ra A có giá trị lớn nhất bằng
= 4a (= a ) khi và chỉ khi x = - 2a
b'
(= - a )

Nhận xét: Ở bài toán dạng 1 biểu thức cần tìm GTLN hoặc GTNN là một tam thức
bậc hai nên bất phương trình thu được từ điều kiện có nghiệm  � 0 là một bất
phương trình bậc nhất một ẩn nên việc giải rất đơn giản. Sau đây ta sẽ khai thác bài
toán với biểu thức hai ẩn, cũng như sử dụng kết quả bài toán dạng 1 để giải các dạng
khác.
Dạng 2: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức A = ax2 + by2 + cx + dy + exy +f.
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 + y2 - 3x -3y + xy

(Trích đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2006-2007)
a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi P là giá trị của biểu thức khi đó ta chuyển
sang vế trái và nhóm theo x ta được một phương trình bậc hai với biến x, còn y và P
xem như các tham số (x2 + (- 3 + y)x + (y 2 - 3y - P) = 0) khi đó ta có thể sử dụng điều
4


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (  = b2 - 4ac �0) để tìm GTNN (  = (- 3 +
3
y)2 - 4.1.(y2 -3y - P ) �0 � ... � P �-3 + 4 (y - 1)2. Suy ra PMin= -3

b) Lời giải: Coi P là giá trị của biểu thức khi đó ta có phương trình:
x2 + y2 - 3x -3y + xy = P
� x2 + y2 - 3x -3y + xy - P = 0
� x2 + (- 3 + y)x + (y2 - 3y - P) = 0

Có nghiệm khi và chỉ khi  ' �0 � (- 3 + y)2 - 4.1.(y2 -3y - P ) �0
� 9 - 6y + y2 - 4y2 + 12y + 4P �0
� 4P �-9 - 6y + 3y2
� 4P �-12 + 3(y2 - 2y +1)
3
� P �-3 + 4 (y - 1)2
b
3  y
3  1

1
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1, x = - 2a = - 2.1
.

Suy ra GTNN của P là -3 khi và chỉ khi x = 1, y = 1.
Bài 4. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = 0
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011)
a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta nhóm theo x ta được một phương trình bậc hai
với biến x, còn y xem như tham số (x 2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = 0) khi đó ta có thể sử
dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (  ' = b'2 - ac �0) để tìm GTLN (
 ' = (y + 3)2 - (2y2 + 2y) �0 � ... �  13 + 2 �y � 13 +2. Suy ra yMax=

b) Lời giải: Ta có: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = 0
� x2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = 0

Để phương trình có nghiệm thì  ' �0 � ( y + 3)2 - (2y2 + 2y) �0
� y2 + 6y + 9 - 2y2 - 2y �0
� y2 - 4y - 9 �0
� (y - 2)2 �13

5

13 +2.


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

�  13 �y - 2 � 13
�  13 + 2 �y � 13 + 2

y=

b'
y3
 y  3  13  2  3  13  5
13 + 2 khi và chỉ khi x = - a = 1
.

Suy ra yMax= 13 +2 khi và chỉ khi x = 13 + 5.
 Lời bình: Trong giải bài toán này, khó khăn của học sinh đó là việc giải bất phương
trình y2 - 4y - 9 � 0 . Với bất phương trình dạng này, giáo viên nên hướng dẫn học
sinh biến đổi thành một bình phương nhỏ hơn một số dương nào đó rồi sử dụng bất
x a � m � m �
đẳng thức (x+a)2 �m (với m > 0) �
x+a � m �- m -

a �x � m - a hoặc đưa về bất phương trình tích [y - (  13 + 2)][y - ( 13 + 2)] �0
bằng cách áp dụng kiến thức nếu tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm
x1, x2 thì có thể phân tích được thành f(x) = a(x - x1)(x - x2).
a1x 2  b1x  c1
2
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = a 2 x  b 2 x  c 2 với b22 - 4a2c2 < 0.
2 x2  5x  2
x2  1
Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: M =

a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + 1 > 0 nên biểu thức M được xác định với mọi x.
Nếu ta coi y là giá trị của biểu thức M khi đó ta ta được một phương trình với ẩn x
(2x2 + 5x + 2 = y(x2 + 1) � (y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = 0) khi đó ta xét hai trường hợp: a
= 0 và a � 0 là phương trình bậc hai nên có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của
1

phương trình bậc hai (  = b - 4ac = 5 - 4(y - 2) �0) ta được miền giá trị của y là 2
2

2

2

9
1
9
�y � 2 suy ra minM = 2 và maxM = 2 .

b) Lời giải: Biểu thức M được xác định với mọi giá trị của x. Gọi y là giá trị của biểu
thức M, ta có:
2x2 + 5x + 2 = y(x2 + 1)

(1)
6


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

Xét (1) là phương trình ẩn x, ta được:
(y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = 0

(2)

 Nếu y = 2 thì (2) có nghiệm x = 0
 Nếu y �2 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là  �0, tức là:
52 - 4(y - 2)2 �0

25
� (y - 2)2 � 4

�



5
5
2 �y - 2 �2

1
9
� 2 �y � 2

5
1
9
b
Với y = 2 hoặc y = 2 thì (2) có nghiệm kép x = - 2a = 2( y  2)
1
9
Với y = 2 thì x = -1, với y = 2 thì x = 1

So sánh hai trường hợp y = 2 và y �2 nói trên ta thấy:
1
9
minM = 2 với x = -1; maxM = 2 với x = 1.

x  2 y 1

2
2
Bài 6. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: N = x  y  7

a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + 7 > 0 với mọi x, y nên biểu thức M được
xác định với mọi x và y. Nếu ta coi N là giá trị của biểu thức khi đó ta ta được một
phương trình với ẩn x (Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + 1 � Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1)
= 0 khi đó ta xét hai trường hợp: a = 0 và a � 0 là phương trình bậc hai nên có thể sử
dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (  = b2 - 4ac = 1 - 4N(Ny2 - 2y +
7N - 1) � 0 ) ta được miền giá trị của N là
1
MaxN = 2 .

7



5
14

1
5

� N � 2 suy ra MinN = 14 và


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

b) Lời giải:
x  2 y 1

2
2
Ta có N xác định với mọi x, y. Ta tìm N để tồn tại x, y thỏa mãn: N = x  y  7

Hay Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + 1 � Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1) = 0 (*)
(với a1 = N, b1 = -1, c1 = Ny2 - 2y + 7N - 1)
 Nếu N = 0 thì (*) trở thành x + 2y + 1 = 0 hiển nhiên tồn tại x và y, chẳng hạn x
= 1, y = - 1.
 Nếu N � 0 thì tồn tại x, y thỏa mãn (*) � tồn tại y thỏa mãn:  x �0 , tức là tồn
tại y thỏa mãn:
1 - 4N(Ny2 - 2y + 7N - 1) �0 hay 4N2y2 - 8Ny + (28N2 - 4N - 1) �0 (**)
(với a2 = 4N2, b2' = -4N, c2 = 28N2 - 4N - 1)
Theo bài toán tổng quát ở Dạng 1 vì a2 = 4N2 > 0 nên GTNN của (4N2y2 - 8Ny + 28N2
 ' y

- 4N - 1) là

 ' y

 ' y

a . Do đó (**) tồn tại y khi GTNN

a

�0 �

'
4 N 2 �0 �  y �0

� 16N2 - 4N2(28N2 - 4N - 1) �0
� 28N2 - 4N - 5 �0
1
1
� 28.(N2 - 2. 14 . N + 196 )
1
� (N - 14 )2

�
�



3
7



5
14

36
�7

9
� 49

1
�N - 14

3
�7

1
�N � 2

b2'
b1
5
1
14
1
7



5 , x = - 2a1 = 2 N
5.
N = 14 khi và chỉ khi y = - a2 = N
b2 '
b1
1
1
1
2
1
N = 2 khi và chỉ khi y = - a2 = N
, x = - 2a1 = 2N .

So sánh hai trường hợp N = 0 và N �0 suy ra:

8


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

MinN =



5
7
14


14 khi và chỉ khi x =
5,y= 5 .

1
MaxN = 2 khi và chỉ khi x = 1 , y = 2.

 Lời bình: Với bài toán dạng phân thức, cần phải xác định điều kiện xác định và khi
chuyển về phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 thì hệ số a còn chứa tham số nên phải
xét hai trường hợp a = 0 và a � 0.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức thỏa mãn điều kiện
Bài 7. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + 5y2 - x + 2y - 4xy - 6 = 0 (1)
x
1
y
2
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: E = 2

(2)

a) Phân tích hướng dẫn giải: Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện
x
1
x 1
y

2 rút một đại lượng (y = -E + 2 2 ) rồi thế vào hệ thức x2
nên từ biểu thức E = 2

+ 5y2 - x + 2y - 4xy - 6 = 0 ta được một phương trình bậc hai ẩn x (x 2 + 2(1 - 2E)x +
(20E2 - 28E - 15) = 0) khi đó ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
1
(  = b' - ac = (1 - 2E) - (20E - 28E - 15 ) �0 ) ta được miền giá trị của E là 2 �E
2

2

2

1
�2. Suy ra MinE = 2 và MaxE = 2.

b) Lời giải:
x 1

Từ (2) suy ra y = -E + 2 2 , thay vào (1) ta được phương trình:
x 1

x 1


x2 + 5(-E + 2 2 )2 - x + (2 - 4x)(-E + 2 2 ) - 6 = 0

� x2 + 2(1 - 2E)x + (20E2 - 28E - 15) = 0

Phương trình ẩn x với a = 1, b' = 1 - 2E, c = 20E 2 - 28E - 15 có nghiệm khi và chỉ khi
 ' �0, tức là:

(1 - 2E)2 - (20E2 - 28E - 15 ) �0
� 2E2 - 3E - 2 �0

9


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

�

3
25
2(E - 4 )2 � 8

�

3
25
2
(E - 4 ) � 16

5
3
5
� 4 �E - 4 � 4
1
� 2 �E �2

b'
1
1  2E
1
1
1
 1  2.( )  2
2
E= 2 � x=- a = 1
,y=- 2 +1+ 2 =2
b'
1  2E
3
1
 1  2.2  3
E=2 � x=- a = 1
, y = - 2 + 2 + 2 = -3

Vậy E đạt GTLN là 2 khi x = -3, y = -3
1
E đạt GTNN là 2 khi x = 2, y = 2

Bài 8. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + y2 + xy = 1 (1)
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: A = x2- xy + 2y2

(2)

a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + xy = 1 nên ta có thể viết A dưới dạng phân
x 2  xy  2y 2
2
2
thức A = x  xy  y hai ẩn nên ta xét trường hợp y = 0 thì A = 1, còn khi y � 0 ta
x
t2  t  2
2
chia cả tử và mẫu cho y2 và đặt t = y (A = t  t  1 ) đưa bài toán về dạng Bài 5 đã

có cách giải.
b) Lời giải:
x 2  xy  2y 2
2
2
Ta có thể viết A dưới dạng: A = x  xy  y

 Nếu y = 0 thì A = 1.

10


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC



x
Nếu y �0 thì chia cả tử và mẫu của A cho y2 và đặt t = y , ta được: A =
t2  t  2
t2  t 1

t2  t  2
2
Cần xác định A để phương trình A = t  t  1 có nghiệm. Điều đó tương đương với

việc phương trình (A - 1)t2 + (A + 1)t + A - 2 = 0 có nghiệm
+) A = 1 thì rõ ràng tồn tại x và y.
+) A �1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 = (A + 1)2 - 4.(A - 1)(A - 2) �0

� 3A2 -14A + 7 �0
�

7
28
3(A - 3 )2 � 3

�

7
28
2
(A - 3 ) � 9

2 7

7 2 7
�
3
�A - 3 � 3
72 7
72 7
�
3
�A � 3
72 7
3
Vậy MinA =
, đạt được khi

A 1
�
x 1
y
A1  1
�
�
�x  2(1  A ) y
� 2(1  A1 )
hay �
1
�
2( A1  1)
�x 2  y 2  xy  1 
�y  �
�

�
7  6 A1  3 A12
�
72 7
3
và maxA =
, đạt được khi

A2  1
�
x
y
A2  1
�
�
�x  2(1  A ) y
� 2(1  A2 )
hay �
2
�
2( A2  1)
�x 2  y 2  xy  1 
�y  �
�
�
7  6 A2  3 A2 2
�

11

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

Trong đó A1, A2 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
�x  y  z  7 
�
Bài 9. Cho x, y, z là các số thỏa mãn hệ phương trình: �xy  yz  zx  15 

Tìm GTLN và GTNN của x, y, z.
a) Phân tích hướng dẫn giải: Do vai trò của x, y, z là như nhau nên ta chỉ cần tìm
GTLN và GTNN của x rồi suy ra GTLN và GTNN của y và z. Đề bài cho một hệ
phương trình với ba ẩn số là x, y và z nên ta phải rút tổng S = y + z và P = yz thông
qua ẩn x, như vậy thì y và z là nghiệm của phương trình t2 - (7 - x)t + (x2 - 7x + 15) = 0
do đó ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN và
7
16
4
GTNN của x (  = b2 - 4ac = (7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15) �0 � (x - 3 )2 � 9 � 3 �x
7
4
11
11
- 3 �3 � 1 �x �3 suy ra Min x = 1 và Max x = 3 ).

b) Lời giải:
�x  y  z  7 
�
Xét hệ phương trình: �xy  yz  zx  15 

�y  z  7 - x 

�y  z  7 - x 
�y  z  7 - x 
��
��
��
2
�yz = x -7x+15
�yz = 15  x ( y  z )
�yz = 15  x(7  x)
� y, z là nghiệm của phương trình:

t2 - (7 - x)t + (x2 - 7x + 15) = 0

(*)

y, z có giá trị lớn nhất, bé nhất � phương trình (*) có nghiệm �  �0, tức là:
(7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15) �0
7
49
16
� 3x2 - 14x + 11 �0 � x2 - 2.x. 3 + 9 � 9
7
16
4
7
4
11
2
� (x - 3 ) � 9 � 3 �x - 3 �3 � 1 �x �3
7x

3
x = 1 khi và chỉ khi y = z = 2
;
11
7x 5

3
x = 3 khi và chỉ khi y = z = 2

12


SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

Suy ra giá trị nhỏ nhất của x là 1, đạt được khi y = z = 3
11
5
và giá trị lớn nhất của x là 3 , đạt được khi y = z = 3
11
Vì vai trò x, y, z như nhau nên GTNN của y, z cũng là 1, và GTLN của y, z là 3 .

 Lời bình: Đối với dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải có sự khéo léo chuyển từ điều
kiện và biểu thức cần tìm cực trị đã cho về một phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0.
Các cách thường sử dụng là từ biểu thức cần tìm cực trị rút một đại lượng thông qua
các đại lượng khác rồi thế vào biểu thức điều kiện và ngược lại (như ở bài 7); chia hai
biểu thức (biểu thức điều kiện và biểu thức cần tìm cực trị) cho nhau theo vế với vế
(như ở bài 8); chuyển thành một hệ phương trình rồi thực hiện các phép biến đổi…
IV. Một số bài tập tự luyện:
Bài 1. a) Tìm GTNN của biểu thức: A = 7x2 - 2x +3
 x2

 2x  5
b) Tìm GTLN của biểu thức: B = 3

Bài 2. Tìm x để y đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 4y = 0
Bài 3. a) Tìm GTNN của biểu thức: D = x2 - x y + x + y -

y +1

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004)
b) Tìm GTLN của biểu thức P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường Đại học sư phạm ngoại ngữ Hà Nội năm học 04-05)
x2  2x  4
2
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: M = x  2 x  4 ;

x2  y 2
2
2
N = 2 x  y  xy .

Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = 2x2 - xy - y2 thỏa mãn điều kiện:
x2 + 2xy + 3y2 = 4.
(Trích đề số 2 đề thi tuyển sinh vào trường chuyên - Sách Ôn thi vào lớp 10 của sở GDĐT Hà Tĩnh)

Bài 6. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: 36x2 + 16y2 - 9 = 0
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: R = -2x + y + 5.
Bài 7. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 3x - 4y = 7
Tìm GTNN của biểu thức: H = 3x2 + 4y2.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
13

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦABIỂU THỨC

Đối với học sinh lớp 9, dạng toán tìm cực trị là một trong những loại toán thường
gặp và gây cho các em không ít khó khăn, nhưng khi sử dụng điều kiện có nghiệm của
phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức, tôi thấy rất có hiệu quả, học sinh dễ
tiếp thu và vận dụng vì phương pháp này sử dụng kiến thức cơ bản và quen thuộc của
chương trình Đại số lớp 9. Trên đây là một trong những sáng kiến về việc khai thác
kiến thức cơ bản của môn Toán ở bậc THCS mà khi vận dụng vào giảng dạy tôi thấy
có hiệu quả, tuy nhiên với kinh nghiệm còn ít nên trong sáng kiến không tránh khỏi
những hạn chế thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của bạn bè đồng
nghiệp, của hội đồng khoa học phòng giáo dục để bài viết được tốt hơn.
Qua đây tôi muốn đề xuất một số ý kiến:
1. Đối với giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn cũng như khuyến khích học sinh khai
thác, mở rộng các kiến thức cơ bản từ chương trình học vào giải các dạng toán khác;
đối với từng dạng toán phải đi sâu, cụ thể từng phương pháp giải, đặc biệt là đối với
dạng toán tìm GTLN, GTNN vì đây là một dạng toán khó và thường gặp.
2. Đối với giáo viên ra đề trong các kì thi đặc biệt là thi học sinh giỏi, cần đưa dạng
toán tìm cực trị vào vì đây là một trong những dạng toán đòi hỏi tư duy sáng tạo của
học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!

14