SKKN hướng dẫn học sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ

A.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Giải toán là một nghệ thuật thực hành, vì vậy để có kỹ năng giải toán phải
trải qua quá trình rèn luyện. Nhưng không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.
Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như khéo léo khai thác từ một bài tập sang một
loạt bài tập tương tự, biết quy lạ về quen, phải hiểu bản chất vấn đề và định hướng
kiến thức vận dụng. Học giải toán là tư duy sáng tạo về toán đồng thời là vấn đề
trừu tượng đối với học sinh. Vì vậy để giúp học sinh tự tin và yêu thích bộ môn
toán, có kỹ năng thực hành giải toán tốt thì mỗi giáo viên phải thường xuyên tìm
tòi, nghiên cứu. Bên cạnh việc hướng dẫn để các em tìm hiểu, lĩnh hội các kiến
thức cơ bản, cần phải xây dựng các dạng toán thành chuyên đề để học sinh được
mở rộng và phát triển năng lực học tập. Qua thực tế giảng dạy và đặc biệt qua quá
trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi thấy dạng toán về đa thức thường có
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Có những bài toán về đa thức chẳng hạn:
dạng toán tìm đa thức, tính giá trị của biểu thức liên quan đến giá trị của đa thức
nhưng các hệ số của đa thức còn là ẩn số,…..nếu dùng phương pháp thông thường
như phương pháp lập hệ phương trình rồi giải sẽ gặp khó khăn hoặc không thực
hiện được nếu số ẩn nhiều hay số ẩn nhiều hơn số phương trình lập được,…..hơn
nữa dùng cách giải này sẽ hạn chế phát huy tư duy sáng tạo của học sinh. Bởi vậy
bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi, đúc rút và xin trình bày đề tài: “Hướng dẫn học
sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ”
B. NỘI DUNG:
I. Một số vấn đề về lý thuyết:
1.1) Một số kiến thức về đa thức:
a) x = a là một nghiệm của đa thức P(x) <=> P(a)=0.
b) Đa thức bậc n :
P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ….. + a2 x2 + a1 x + a0 (với an ≠ 0)
Có : an là hệ số cao nhất; a0 là hệ số tự do.
1


c) Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của đa

thức đó.
d) Nếu đa thức bậc n: P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ….. + a2 x2 + a1 x + a0
(với an ≠ 0)
Có n nghiệm x1, x2, x3,…,xn thì P(x)= an(x – x1)(x – x2)(x – x3) ….. (x – xn) .
e) Dư khi chia đa thức P (x) cho đa thức ax + b chính bằng giá trị của đa thức
P(x) tại x=

−b
a

1.2) Vài vấn đề về sai phân:
Cho dãy số x0; x1;...;xn;... Ta biết rằng một dãy số là một hàm số với đối số nguyên,
kí hiệu xn = x(n).
* Định nghĩa sai phân: Ta gọi ∆xn = xn+1 –xn là sai phân cấp một của dãy xn = x(n)
với n ∈ N Và gọi ∆2 xn = ∆xn+1 −∆xn là sai phân cấp hai của dãy x n = x(n)với n ∈
N. . . . Một cách tương tự ∆k xn = ∆k-1 xn+1 −∆k-1 xn là sai phân cấp k của dãy số.
* Tính chất : Sai phân cấp k của đa thức bậc m là hằng số nếu m = k
2. Cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài đa thức phụ.
Ví dụ 1: Cho đa thức: P(x)=x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1)= 1; P(2)= 4;
P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8).
* Nhận xét: Đa số học sinh bước đầu tiếp cận bài này đều có ngay kết luận:
P(6) = 62 = 36; P(7)= 72 = 49; P(8)= 82 = 64; P(9)= 92 = 81; Nhưng đó là kết quả sai !
*Hướng dẫn học sinh giải bằng cách cài đa thức phụ:
Ta thấy: P(1) = 1 = 12
P(2) = 4 = 22
2


P(3) = 9 = 32
P(4) = 16 = 42

P(5) = 25 = 52
Ta cài thêm đa thức phụ R(x) sao cho tại các giá trị đã cho của biến x: x ∈
{1;2;3;4;5} thì Q(x)= P(x) - R(x) = 0
Tức là chọn R(x) sao cho: R(1) = 12; R(2) = 22; R(3) = 32; R(4) = 42; R(5) = 52
Như vậy ta chọn R(x)= x2. Từ đó: Q(1)= Q(2)= Q(3)= Q(4)= Q(5)= 0 ; Suy ra: 1; 2;
3; 4; 5 là 5 nghiệm của Q(x).
Vì Q(x)= P(x)- x2 mà P(x) có bậc 5, hệ số cao nhất bằng 1 nên Q (x) cũng có bậc
5, hệ số cao nhất bằng 1, do đó:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
=> P(x)= Q(x) + R(x)= (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2
Từ đó dễ dàng tính được giá trị của P(x) tại bất kỳ giá trị nào của biến x.
Bài giải: Đặt Q(x)=P(x)- x2. Từ giả thiết ta có Q (1)= Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=0 => 1; 2; 3;
4; 5 là 5 nghiệm của Q(x). Vì Q(x)= P(x)- x2 mà P(x) có bậc 5, hệ số cao nhất bằng 1
nên Q(x) cũng có bậc 5, hệ số cao nhất bằng 1, do đó:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
=> P(x)= Q(x) + x2 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 .
Do đó: P(6)= (6 - 1)(6 - 2)(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5) + 62 = 156
P(7)= (7 - 1)(7 - 2)(7 - 3)(7 - 4)(7 - 5) + 72 = 769
P(8)= (8 - 1)(8 - 2)(8 - 3)(8 - 4)(8 - 5) + 82 = 2584
Ghi chú: Có thể dùng dãy sai phân để tìm đa thức phụ R(x) như sau:

3


Xét dãy số: 1

4
3

9

5

2

16
7

2

25
9

2

Với dãy số trên, sau 2 lần thực hiện tìm dãy số tiếp theo bằng cách tìm hiệu 2 giá
trị ak+1 và ak của dãy trước đó ta được dãy mới có các số hạng đều bằng nhau, ta có
R(x) có bậc 2 => R(x)= ax2+ bx + c
R(1) = 1 = a + b + c

a=1

=> R(2) = 4 = 4a + 2b + c

=>

b=0

R(3) = 9 = 9a + 3b + c

=> R(x)= x2

c=0

Ví dụ2: Cho đa thức: Q(x)= x4 + mx3 + nx2 +px + q. Biết Q(1)= 5; Q(2)= 7; Q(3)= 9;
Q(4)= 11. a) Tìm các hệ số m, n, p, q;

b) Tính Q(10) .

*Hướng dẫn HS cách tìm đa thức phụ R(x):
Để có P(x)= Q(x) - R(x) = 0 tại x = 1; 2; 3; 4 ta cần có:
R(1)= 5 = 2.1 + 3
R(2)= 7 = 2.2 + 3
R(3)= 9 = 2.3 + 3
R(4)= 11 = 2.4 + 3
=>R(x)= 2x + 3
* Có thể dùng dãy sai phân để tìm đa thức phụ R(x) như sau:
Xét dãy số:

5

7
2

9
2

11
2

4

Sau 1 lần thực hiện tìm dãy số tiếp theo bằng cách tìm hiệu 2 giá trị a k+1 và
ak của dãy trước đó ta được dãy mới có các số hạng đều bằng nhau, ta có R (x) có
bậc 1 => R(x)= ax + b
R(1) = 5 = a + b

a=2

=>

=> R(x)= 2x + 3

=>
R(2) = 7 = 2a + b

b=3

Bài giải: Đặt P(x) = Q(x)- (2x + 3). Từ giả thiết ta có P(1)= P(2)= P(3)= P(4)= 0 =>
1; 2; 3; 4; là 4 nghiệm của P (x). Vì P(x)= Q(x)- (2x + 3) mà Q(x) có bậc 4, hệ số cao
nhất bằng 1 nên P(x) cũng có bậc 4, hệ số cao nhất bằng 1, do đó:
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)
=> Q(x)= P(x) +(2x + 3) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3)
= x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27
Vậy: m = -10; n = 35; p = -48; q = 27.
Q(10) = (10 - 1)(10 - 2)(10 - 3)(10 - 4) + 2.10 + 3 = 3047
Ví dụ 3: (Đề thi HS giỏi giải toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009-2010)
Đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27;
48 khi x lần lượt nhận các giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Tìm dư khi chia P(x) cho x - 7.

*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x):
Xét dãy số:

3

0
-3

3
3

6

12
9

6

27

15
6

48
21

6

Tương tự như các ví dụ trước ta có: R(x) có bậc 2 => R(x) = ax2 + bx + c
5

R(1) = 3 = a + b + c
=>

a=3

R(2) = 0 = 4a + 2b + c

<=>

=> R(x) = 3x2 - 12x + 12

b = -12

R(3) = 3 = 9a + 3b + c

c = 12

Bài giải: Đặt Q(x)= P(x) - (3x2 - 12x + 12)
Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Q(6) = 0
Do đó: 1; 2; 3; 4; 5; 6 là 6 nghiệm của đa thức Q(x). Vì đa thức P(x) có 6 bậc, hệ số
cao nhất là 1 mà Q(x)=P(x)- (3x2 -12x + 12) nên ta có đa thức Q(x) cũng có bậc 6, hệ
số cao nhất là 1
=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)
=> P(x) = Q(x) + 3x2 - 12x + 12
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) +3x2 - 12x + 12
Do đó dư khi chia P(x) cho x – 7 là:
P(7) = (7- 1) (7- 2) (7- 3) (7- 4) (7- 5) (7- 6) + 3.72 - 12.7 + 12 = 795
Ví dụ 4: Đa thức P(x) bậc 6 có hệ số cao nhất là 2, biết P(1) = 0; P(3) = 24;

P(5) = 120; P(7) = 336; P(9) = 720; P(11) = 1320. Tính P(2); P(4); P(6); P(8);
*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x):
Xét dãy sai phân:
0

24
24

120
96

82

336

216
120

48

384

168
48

720

1320
600

216
48

Tương tự như các ví dụ trước ta có: R(x) có bậc 3 => R(x) = ax3 + bx2 + cx + d
6


R(1) = a + b + c + d = 0

a=1

R(3) = 27a + 9b + 3c + d = 24

b=0

=>

=>
R(5) = 125a + 25b + 5c + d = 120

c=1

R(7) = 343a + 49b + 7c + d = 336

d=0

=> R(x) = x3 - x

Bài giải:
Đặt Q(x) = P(x)- (x3 - x)

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = Q(9) = Q(11) = 0
=> 1; 3; 5; 7; 9; 11 là 6 nghiệm của đa thức Q (x). Vì đa thức P(x) có bậc 6, hệ số cao
nhất là 2 mà Q(x) = P(x)- (x3 - x) nên ta có: đa thức Q(x) cũng có bậc 6, hệ số cao
nhất là 2 => Q(x) = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x - 11)
=> P(x) = Q(x) + x3 - x = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x-11) + x3 - x
Do đó: P(2) = 2.1.(-1)(-3).(-5).(-7).(-9) + 23 - 2 = -1884
P(4 )= 2.3.1.(-1)(-3).(-5).(-7) + 43 - 4 = 690
P(6) = 2.5.3.1.(-1)(-3).(-5) + 63 - 6 = -240
P(8) = 2.7.5.3.1.(-1)(-3) + 83 - 8 = 1134
Ví dụ 5:Đề thi HS giỏi toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2018-2019)
Cho đa thức: P(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 3; P(2) = 6; P(3) = 11. Tính giá
trị của biểu thức: Q = 4P(4) + P(-1) .
*Nhận xét: Với bài toán này không thể dùng hệ phương trình để tìm các hệ số của
đa thức P(x), còn dung hệ phương trình để tính Q sẽ khá khó khăn, do đó ta thực
hiện giải bằng phương pháp cài đa thức phụ.
*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x):
Với bài này ta dễ dàng xác định đa thức phụ bằng cách nhẩm tính.
7


R(1) = 3 = 12 + 2
Ta có:

R(2) = 6 = 22 + 2

=>

R(x) = x2 + 2

R(3) = 11 = 32 + 2

Bài giải:
Đặt H(x)= P(x) – (x2 + 2)
Từ giả thiết ta có: H(1) = H(2) = H(3) = 0
=>1; 2; 3 là 3 nghiệm của đa thức H (x). Vì đa thức P(x) có bậc 4, hệ số cao nhất là
1 mà H(x)= P(x) – (x2 + 2) nên đa thức H(x) cũng có bậc 4, hệ số cao nhất là 1
=> H(x) có dạng: H(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)
=> P(x)= H(x) + (x2 + 2) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + (x2 + 2)
Do đó: Q = 4P(4) + P(-1) .= 4[(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)(4 - m) + (4 2 + 2)] + [(-1 - 1)(-1 - 2)
(-1 - 3)(-1 - m) + (-1)2 + 2] = 4[3.2.1.(4 - m) + 18] + [2.3.4.(1 + m) + 3]
= 96 – 24m + 72 + 24 + 24m + 3 = 195.
Ví dụ 6:(Đề thi GV giỏi cấp THCS huyện Kỳ Anh năm học 2015-2016)
Cho đa thức: f(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết f(1)= 10; f(2)= 20;
f(3) = 30. Tính: M =

f (12) +f (-8)
10

+ 32 .

*Nhận xét: Tương tự bài 5 bài toán này cũng không thể dùng hệ phương
trình để tìm các hệ số của đa thức P (x), do đó ta thực hiện giải bằng phương pháp
cài đa thức phụ. Dễ dàng nhẩm được đa thức phụ R(x) = 10x
Bài giải:
Đặt Q(x)= f(x) – 10x
Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0
8


=> 1; 2; 3 là 3 nghiệm của đa thức Q(x). Vì đa thức f(x) có bậc 4, hệ số cao nhất là 1
mà Q(x)= f(x) – 10x nên ta có: đa thức Q(x) cũng có bậc 4, hệ số cao nhất là 1. Do

đó:

Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)

Suy ra: f(x) = Q(x)+ 10x =(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 10x
=>M=

f (12) +f (-8)
10

+ 32

Q( 12 ) + 10.12 + Q( −8 ) + 10.( −8 )

+ 32
10
11.10.9.(12 − m) + 10.12 + (−9).(−10).(−11).(−8 − m) + 10.(−8)
=
+ 32
10
=

=11.9.(12-m)+12+9.11.(8+m)- 8+32
=9.11.(12-m+8+m)+36 = 9.11.20+36 = 2016
Ví dụ 7:(Đề thi HS giỏi Giải toán lớp 9 tỉnh Hà tĩnh năm học 2007-2008)
Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức P (x)=x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007.
Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị là: 1; 2; 3; 4; Thì P (x) có giá trị tương ứng
là 9; 21; 33; 45 ( lấy kết quả một chữ số ở phần thập phân).
*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R(x):
Để có Q(x)= P(x) - R(x) = 0 tại x= 1; 2; 3; 4 ta cần có:

R(1)= 9 = 12.1 - 3; R(2)= 21 = 12.2 - 3; R(3)= 33 = 12.3 - 3; R(4)= 45 = 12.4 - 3
=>R(x)= 12x - 3
Bài giải:
Đặt Q(x)= P(x) - (12x - 3)
Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0

9


=> 1; 2; 3; 4 là 4 nghiệm của đa thức Q (x). Vì đa thức P(x) có bậc 5, hệ số cao nhất
là 1 mà Q(x)= P(x) - (12x - 3) nên ta có: đa thức Q(x) cũng có bậc 5, hệ số cao nhất
là 1. Do đó: Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - m)
= (x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007) - (12x - 3)
=>(-1)(-2)(-3) (-4)(-m) = -2007 + 3 <=> -24m = -2004 => m = 83,5
=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5)
=> P(x) = Q(x) + 12x - 3 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5) + 12x - 3
Khai triển, rút gon ta được: P(x) = x5 - 93,5x4 + 870x3 - 2972,5x2 + 4211x -2007
Do đó: a = -93,5; b = -870; c = -2972,5; d = 4211.
Ví dụ 8:(Đề thi HS giỏi Giải toán lớp 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 20092010)
Cho đa thức: P(x)= x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Có giá trị lần lượt là -14;
-9; 0; 13; 30 Khi x lần lượt nhận các giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5.
a) Tìm biểu thức hàm của đa thức P(x)
b)Tính giá trị chính xác của P(17); P(25)
Hướng dẫn: Dùng dãy sai phân, xác định được đa thức phụ: R(x) = 2x2 - x - 15
Bài giải:
a) Đặt Q(x) = P(x)- (2x2 - x - 15)
Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0
=> 1; 2; 3; 4; 5 là 5 nghiệm của đa thức Q (x). Vì đa thức P(x) có bậc 5, hệ số
cao nhất là 1 mà Q(x)= P(x)- (2x2 - x - 15) nên ta có: đa thức Q (x) cũng có bậc 5, hệ
số cao nhất là 1.

=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
10


=> P(x) = Q(x) + (2x2 - x - 15) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + (2x2 - x - 15)
b)

P(17) = 524706
P(25) = 5101690

Ví dụ 9:Cho đa thức P(x) bậc 4, biết: P(1) = 2; P(2) = 8; P(3) = 18, hệ số cao nhất bằng
P(12) +P(-8)
2. Tính: A = P +P
(32)
(-28)
*Nhận xét: Với bài toán trên không thể dùng hệ phương trình để tìm các hệ
số của đa thức P(x), do đó ta thực hiện giải bằng phương pháp cài đa thức phụ.
Dễ thấy: Đa thức phụ R(x) = 2x2
Bài giải:

Đặt Q(x) = P(x)- 2x2

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0
=> 1; 2; 3 là 3 nghiệm của đa thức Q (x). Vì đa thức P(x) có bậc 4, hệ số cao
nhất là 2 mà Q(x) = P(x)- 2x2 nên ta có: đa thức Q(x) cũng có bậc 4, hệ số cao nhất là
2 => Q(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)
=> P(x) = Q(x) + 2x2 = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 2x2
=> P(12) + P(-8) = 2.11.10.9.(12-m) + 2.122 + 2.9.10.11(m+8) + 2.(-8)2 = 40016
Tương tự: P(32) + P(-28) = 2.31.30.29.(32- m) + 2.322 + 2.29.30.31(m+28) + 2.282
= 3240016

Vậy A =

40016
2501
=
3240016 202501

3. Một số bài tập tương tự để học sinh luyện tập:
Bài 1: Cho đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1)= 27;
P(2)= 125; P(3)= 343; P(4)= 729; P(5) = 1331; P(6)=2197
a)Tính P(-1); P(15); .
11


b) Tìm dư khi chia P(x) cho 2x – 5.
Bài 2: Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + 132005. Biết rằng khi x lần
lượt nhận các giá trị: 1; 2; 3; 4 thì giá trị tương ứng của P (x) lần lượt là: 8; 11; 14;
17. Tính P(11); P(15).
Bài 3: Đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Có giá trị lần lượt là: 11; 14; 19;
26; 35 khi x theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng: 1; 2; 3; 4; 5
a) Hãy tính giá trị của P(x) khi x lần lượt nhận các giá trị: 12; 13.
b) Tìm dư r khi chia đa thức P(x) cho 10x – 3.
Bài 4: Đa thức bậc 5: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Có P(1)= 1; P(2)= 13; P(3)=
33; P(4)= 61; P(5) = 97. Tính P(5); P(6).
Bài 5: cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1)= 2; P(2)= 6; P(3)=
12; P(4)= 20; P(5) = 30.
a) Tìm biểu thức hàm của đa thức P(x).
b) Tính; P(6); P(7); P(10).
Bài 6: Đề thi HS giỏi giải toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013)
Cho đa thức bậc bốn f(x) có hệ số của x4 là 1 và thỏa mãn đồng thời các điều

kiện: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị của biểu thức: A = 7f(6) + f(-2) .
Bài 7: ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2006-2007)
Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30
Tính: P =

f (12) +f (-8)
10

+ 23

Bài 8: ( Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Sóc Trăng năm học 2008-2009)
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11
P
-P
Tính: P = (20) (10)
2
Bài 9: Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1; f(2) = 3;
12


f(3) = 7, f(4)= 13; f(5) = 21. Tính f(34,5).
Bài 10: Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e .Biết f(1) = -1 ; f(2) = -1 ;
f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15), f(16)
C. KẾT LUẬN:
- Nội dung kiến thức về đa thức là nội dung rộng. Các bài toán về đa thức gặp
rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Với đề tài trên đây bản thân tôi đã
tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút được qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
khá giỏi lớp 8, 9.
Tôi tin tưởng rằng nếu đề tài “Hướng dẫn học sinh cách giải một số dạng
toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ” được áp dụng chắc chắn góp

phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá
giỏi lớp 8 và lớp 9.

13