SKKN phát huy năng lực tư duy của học sinh thông qua khai thác và phát triển bài tập toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG
QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN

Tổ trưởng: Nguyễn Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp

Thạch Hà, tháng 10 năm 2016

1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG
QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN

Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Hoa
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp

Thạch Hà, tháng 10 năm 2016

2


A . ĐẶT VẤN ĐỀ:

I. Lý do chọn đề tài
Ở trường phổ thông có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của học
toán. Để dạy học sinh giải một bài tập toán không chỉ đơn thuần là giúp học sinh
có được lời giải bài toán đó, mà cần giúp học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
Đó là một quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lô gic giữa cái đã cho
(giả thiết) và cái phải tìm (kết luận). Nhưng thực tế quy tắc suy luận, các phương
pháp chưa được thể hiện một cách tường minh. Đó là một trong những nguyên
nhân gây khó khăn cho học sinh khi giải bài tập. Các em thường tự mình đúc kết
những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm.
Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập, tuy nhiên không phải
giải nhiều bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập sẽ hiệu quả khi biết khéo léo
khai thác từ một bài tập sang một bài tập tương tự nhằm vận dụng một tính chất,
rèn luyện một phương pháp nào đó.
Qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy rằng hầu
hết các bài toán khó và phức tạp hầu như đều được khai thác và phát triển từ
những bài toán mà ta có thể gọi là “Bài toán cơ bản”, mặc dù vậy chúng cũng
gây ra không ít khó khăn cho học sinh, kể cả rất nhiều thầy cô giáo. Một trong
những nguyên nhân gây nên sự khó khăn đó là chúng ta chưa tìm ra được mối
liên hệ giữa các bài toán với bài toán cơ bản. Với trăn trở đó, tôi xin mạnh dạn
nêu một kinh nghiệm khai thác và phát triển các bài tập trên một bài toán đại số
trong chương trình Đại số lớp 8 nhằm giúp các em học sinh phát triển thêm năng
lực giải toán với đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát huy năng lực tư duy của
học sinh thông qua khai thác và phát triển bài tập toán”
II. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Khai thác và phát triển bài toán a2 – ab + b2 ≥ 0 trong phạm vi chương trình
bồi dưỡng Toán lớp 8.
III. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu
- Giúp học sinh giải tốt một số bài tập chứng minh bất đẳng thức.
- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết, mở rộng, khai thác các bài toán từ
đó chủ động hơn trong giải toán góp phần phát triển năng lực sáng tạo và tư duy

lô gic.
IV. Giải pháp nghiên cứu
Từ những khó khăn trong việc giải bài tập của học sinh, đặc biệt là qua quá
trình làm bài thi trong các kì thi học sinh giỏi, tôi đã tiến hành phân tích nguyên
3


nhân dẫn đến kết quả học tập chưa cao của học sinh từ đó nghiên cứu tài liệu,
các đề thi học sinh giỏi hằng năm và đưa ra giải pháp khắc phục:
- Dạy tốt kiến thức cơ bản cho học sinh
- Tạo thói quen cho học sinh khai thác, mở rộng, tìm tòi các bài toán mới từ
các bài toán cơ bản.
V. Tính mới của đề tài
Để dạy phần chứng minh bất đẳng thức, so với trước đây là dạy lí thuyết
sau đó cho học sinh làm các tập vận dụng thì bây giờ hướng dẫn học sinh khai
thác để tạo ra các bài tập toán hay từ những bài tập quen thuộc. Vì thế rất nhiều
bài tập tưởng chừng như rất khó lại trở nên gần gũi với các em học sinh.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. Cơ sở lý luận.
Học sinh được làm quen với bất đẳng thức ngay từ tiểu học dưới dạng các
bài toán so sánh hai số, đến lớp 8 các em được nghiên cứu về bất đẳng thức một
cách hệ thống hơn từ định nghĩa, các tính chất của bất đẳng thức:
a) Định nghĩa: Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a < b (hay a > b, a ≥ b, a
≤ b)
b) Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c.
- Tính chất cộng hai vế với cùng một số: a > b ⇔ a + c > b + c
- Tính chất nhân cả hai vế với cùng một số khác 0:
a > b ⇔ ac > bc với c > 0
a > b ⇔ ac < bc với c <0

c) Cách chứng minh bất đẳng thức:
Để chứng minh một bất đẳng thức ta phải dụa vào những bất đẳng thức
đúng đã biết, ví dụ như: a2 ≥ 0; -a2 ≤ 0; - a ≤ a ≤ a ; ...
Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức
tương đương mà ta đã biết là đúng.
Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức
cần chứng minh.
Ví dụ:
a) Chứng minh rằng: (a + b)2 ≥ 4ab
b) Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
4


c) Chứng minh rằng: a2 – ab + b2 ≥ 0
d) Chứng minh: a4 + b4 + a3b + ab3 ≥ 0 với mọi a, b.
e) Chứng minh: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b
II. Cơ sở thực tiễn:
Sau khi dạy phần bất đẳng thức, tôi tiến hành khảo sát 10 em học sinh khá
giỏi của khối 8 tôi nhận được kết quả như sau:
- Với các bài tập ở câu a, b, c học sinh dễ dàng biến đổi:
a) Ta có: (a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ≥ 0
Vậy (a + b)2 ≥ 4ab
b) 2(a2 + b2) – (a + b)2 = 2a2 + 2b2 – a2 – 2ab – b2 = a2 – 2ab + b2
= (a – b)2 ≥ 0. Vậy: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
2
3 2 
3
b
b2

c) a – ab + b = (a – ab + ) + b =  a − ÷ + b2 ≥ 0.
4
2 4
4


2

2

2

Tất cả 10 em đều làm tốt cả ba câu a, b và c.
Với câu d) chỉ có 2 em làm tốt, có 3 em đã biết cách biến đổi:
a4 + b4 + a3b + ab3 = (a + b)(a3 + b3) = (a + b)2(a2 – ab + b2) nhưng lại
quên đi bất đẳng thức a2 – ab + b2 ≥ 0, có 2 em chỉ biến đổi được:
a4 + b4 + a3b + ab3 = (a + b)(a3 + b3) mà không biết cách tách để đưa về
dạng (a + b)2(a2 – ab + b2), còn 3 em không định hướng được cách giải.
Không có em nào làm được câu e.
Thực chất đẳng thức ở câu d) và e) là hai đẳng thức rất gần với đẳng thức
ở câu c) nhưng tại sao các em vẫn làm bài không tốt. Điều làm tôi băn khoăn và
trăn trở nhất là sau một thời gian, bài tập này được ra lại thì các em làm bài cũng
không tốt lắm, các em đã quên đi các bước biến đổi cho dù trước đây tôi hướng
dẫn giải rất kĩ càng.
Tôi thiết nghĩ rằng tôi phải thay đổi cách truyền đạt kiến thức, thay đổi
cách hướng dẫn các em học tập. Tôi cần phải rèn luyện cho học sinh cách học
toán một cách đúng nghĩa để các em không lúng túng trước những bài toán có vẻ
như là mới lạ, không nhớ máy móc rập khuôn để rồi dễ dàng quên đi các bài
toán đã giải.
III. Biện pháp thực hiện

1. Trang bị kiến thức cơ bản
Kiến thức cơ bản là cái cốt lõi, với phần bất đẳng thức, học sinh cần nắm
vững các kiến thức cơ bản sau:
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ, một số bất đẳng thức đã biết.
5


- Các tính chất cơ bản và mở rộng của bất đẳng thức
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
2. Khai thác bài toán cơ bản dưới các góc độ khác nhau để có những bài
toán mới.
Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số thực m, n ta luôn có:
m2 – mn + n2 ≥ 0 (*)
(bài toán ở câu c ở phần II)
Giải:
2

2

n2

3

2

3
n

Ta có: m – mn + n = (m – mn +
) + n =  m − ÷ + n 2 ≥ 0. Dấu

4
4
2
4

2

2

bằng xảy ra khi và chỉ khi m = n = 0.
Với bài tập trên, nếu ta thay đổi một chút giả thiết ta sẽ có các bài toán
mới lạ như sau:
Nhận xét 1: Từ bất đẳng thức (*), nếu cho m = x – 1, n = y – 1, ta có:
(x – 1)2 – (x – 1)(y – 1) + (y – 1)2 ≥ 0
⇔ x2 – 2x + 1 – xy + x + y – 1 + y2 – 2y + 1 ≥ 0
⇔ x2 + y2 –x - y – xy ≥ 0
Ta có bài toán mới sau:
Bài 1: Chứng minh rằng: x2 + y2 - x - y – xy ≥ 0
Nhận xét 2: Từ bất đẳng thức (*), nếu cho m = x – 1, n = 1 – y, ta có:
(x – 1)2 – (x – 1)(1 – y) + (1 – y)2 ≥ 0
⇔ x2 – 2x + 1 + xy - x - y + 1 + y2 – 2y + 1 ≥ 0
⇔ x2 + y2 –3x - 3y + xy ≥ 0
Ta có bài toán sau:
Bài 2: Chứng minh rằng: x2 + y2 + xy – 3x - 3y + 3 ≥ 0
Bằng cách thay đổi tương tự như vậy, học sinh sẽ đưa ra được các bài toán
khác nhau. Bây giờ ta sẽ thay đổi bài toán dưới một góc khác:
Nhận xét 3: Ta có bất đẳng thức (*): a2 - ab + b2 ≥ 0
Mà (a + b)2 ≥ 0 với mọi a, b nên ta có:
(a + b)2(a2 - ab + b2) ≥ 0
⇔ (a + b)(a + b)(a2 - ab + b2) ≥ 0

⇔ (a + b)(a3 + b3) ≥ 0
⇔ a4 + a3b + ab3 + b4 ≥ 0
Ta có bài toán sau:
Bài 3: Chứng minh rằng: a4 + b4 + a3b + ab3 ≥ 0 với mọi a, b.
6


Nhận xét 4: Từ bất đẳng thức (*): a2 - ab + b2 ≥ 0, nếu cho m = a, n = -b
thì ta có:
a2 – a(-b) + (-b)2 ≥ 0
⇔ a2 + ab + b2 ≥ 0 mặt khác (a – b)2 ≥ 0 với mọi a, b nên ta có:
(a2 + ab + b2)(a – b)2 ≥ 0
⇔ (a2 + ab + b2)(a – b)(a – b) ≥ 0
⇔ (a3 – b3)(a – b) ≥ 0
⇔ a4 – a3b – ab3 + b4 ≥ 0
⇔ a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Ta lại có bài toán mới như sau:
Bài 4: Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b.
(Đây chính là bài tập ở câu d phần II)
Nhận xét 5: Từ bài toán 4: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b ta cho a = x2;
b = y2 với x, y khác 0, khi đó:

( x ) +( y ) ≥( x )
2 4

2 4

2 3

y2 + x2 ( y2 )

3

⇔ x8 + y8 ≥ x 6 y 2 + x 2 y 6
⇔
⇔

x8
2

x y

x6
y

2

2

+

+

y6
x

2

y8
2

x y

2

≥

x6 y 2
2

x y

2

+

x2 y6
2

x y

2

(Chia cả hai vế cho số dương x2y2)

≥ x 4 + y 4 , ta đi đến bài toán sau:

Bài 5: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0 ta luôn có:
x6 y6
4

4
2 + 2 ≥ x +y
y x

(Đây chính là bài tập ở câu e phần II)
Nhận xét 6: Cũng từ bài toán 4: a4 + b4 ≥ a3b + ab3, nếu cho a = x2; b = y2
với x, y khác 0 ta có:
( x 2 )4 + ( y 2 ) 4 ≥ ( x 2 ) 3 y 2 + x 2 ( y 2 )3

⇔ x8 + y8 ≥ x 6 y 2 + x 2 y 6
⇔

x8
y8
x6y2 x2y6 (Chia cả hai vế cho số dương x4y4)
+
≥
+
x4 y4 x4 y4 x4 y4 x4 y2

⇔

x4 y4 x 2 y 2
+ ≥
+
y4 x4 y 2 x 2

Ta có bài toán sau:
Bài 6: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0 ta luôn có:
7

x4 y4 x 2 y 2
+ −
−
≥0
y4 x4 y 2 x 2
x y

Nhận xét 7: Từ kết quả của bài toán 6, nếu x>0 và y > 0 thì y +x ≥ 2
(dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y) thì ta có:
x4 y4 x 2 y 2 x y
+ −
−
+ + ≥2
y4 x4 y 2 x 2 y x

Ta có bài toán sau:
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x4 y4 x 2 y 2 x y
+ −
−
+ +
y4 x4 y 2 x 2 y x

Cũng từ đẳng thức x2 – xy + y2 ≥ 0, chúng ta sẽ khai thác dưới dạng khác:

( x − y)

Nhận xét 8: Từ bất đẳng thức (*): x – xy + y ≥ 0, mà

2

2
2
y khác 0, ta có: ( x − xy + y ).

⇔

( x − y)2

x2 y 2

2

x2 y2

2

≥ 0 với x,

≥0

x 2 − xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2
.
≥0
xy
xy
x y x y

+ − 1÷.  + − 2 ÷ ≥ 0

y x y x


⇔

2

 x y
 x y  x y
⇔  + ÷ − 2  + ÷−  + ÷+ 2 ≥ 0
 y x
 y x  y x

⇔

 x y
x2 y 2
2 + 2 − 3.  + ÷+ 4 ≥ 0
y
x
 y x

Ta có bài toán sau:
Bài 8: Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
 x y
x2 y2
+
−
3.
 + ÷+ 4 ≥ 0

y2 x2
 y x

Nhận xét 9: Từ bất đẳng thức (*): x – xy + y ≥ 0, mà
2

y khác 0, ta có: ( x − xy + y )
2

⇔

2

( x + y)2

x2 y 2

2

( x + y)
x2 y 2

2

≥ 0 với x,

≥0

x 2 − xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2
.

≥0
xy
xy

8


x y x y

+ − 1÷.  + + 2 ÷≥ 0
y x y x


⇔

2

 x y
 x y  x y
⇔  + ÷ + 2  + ÷−  + ÷− 2 ≥ 0
 y x
 y x  y x

x2 y 2  x y 
⇔ 2 + 2 +  + ÷≥ 0
y
x  y x
Ta có bài toán mới như sau:
Bài 9: Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
x2 y2 x y

+ + + ≥0
y2 x2 y x
Nhận xét 10: Từ bất đẳng thức (*): x2 – xy + y2 ≥ 0 ta có bất đẳng thức:
x + xy + y ≥ 0 (**), mà
2

2

(x 2 + xy + y 2 ).

( x − y)
x2 y 2

2

≥ 0 với x, y khác 0, ta có:

(x - y) 2
≥0
x 2 y2

x 2 + xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2
⇔
.
≥0
xy
xy
x y x y

+ + 1÷.  + − 2 ÷≥ 0

y x y x


⇔

2

 x y
 x y  x y
⇔  + ÷ − 2  + ÷+  + ÷− 2 ≥ 0
 y x
 y x  y x

⇔

x2 y 2  x y 
+ −  + ÷≥ 0
y2 x2  y x 

⇔

x2 y 2 x y
+ ≥ + ta có bài toán mới:
y 2 x2 y x

Bài 10: Cho a, b là hai số thực khác 0, chứng minh rằng:
x2 y2 x y
+ ≥ +
y2 x2 y x
Nhận xét 11: Từ bất đẳng thức (**): x + xy + y ≥ 0 mà

2

2

( x + y)
x2 y 2

2

≥ 0 với

x, y khác 0, ta có:
(x 2 + xy + y 2 ).

(x + y) 2
≥0
x 2 y2

9


⇔

x 2 + xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2
.
≥0
xy
xy

x y x y


⇔  + + 1÷.  + + 2 ÷ ≥ 0
y x y x

2

 x y
 x y  x y
⇔  + ÷ + 2  + ÷+  + ÷+ 2 ≥ 0
 y x
 y x  y x

⇔

x2 y 2  x y 
+ + 3  + ÷+ 4 ≥ 0 ta có bài toán mới:
y2 x2  y x 

Bài 11: Cho a, b là hai số thực khác 0, chứng minh rằng:
x2 y2  x y 
+ + 3  + ÷+ 4 ≥ 0
y2 x2  y x 
Nhận xét 12: Nếu a, b là những số dương thì theo bài toán 1 ta có:
a2 + ab + b2 > 0. Nếu cho thêm giả thiết a + b ≥ 2 khi đó ta có:
(a + b)(a2 + ab + b2) ≥ 2(a2 + ab + b2)
⇔ a3 + b3 ≥ (a2 – 2ab + b2) + (a2 + b2)
⇔ a3 + b3 ≥ (a - b)2 + (a2 + b2)
⇔ a3 + b3 ≥ a2 + b2
Ta đi đến bài toán sau:
Bài 12: Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 2 và a, b> 0 thì:

a3 + b3 ≥ a2 + b2
Trên đây chỉ là một số bài tập được khai thác từ bất đẳng thức a2 – ab + b2
≥ 0. Bằng cách tương tự chúng ta có thể tạo ra nhiều bài tập có nội dung phong
phú hơn nữa.
IV. Kết quả đạt được
Sau khi tôi hướng dẫn cho học sinh cách khai thác bài toán cơ bản như trên
tôi nhận thấy rằng các em rất hứng thú trong học tập nói chung và trong giải
toán nói riêng. Các em thấy được tầm quan trọng của việc nắm vững kiến thức
cơ bản cũng như có một cái nhìn sâu sắc hơn về các bài tập. Với cách tìm tòi
khai thác như thế này các bài tập toán trở nên dễ dàng hơn với các em, môn toán
học không khô khan như người ta thường hay nói. Từ việc khai thác sâu bài toán
cơ bản, biết xâu chuỗi các bài toán nhỏ lại với nhau, các em đã tự tin để giải
được nhiều bài toán khó, còn tự sáng tạo ra nhiều bài tập hay hơn không những
với bất đẳng thức mà cho các chuyên đề khác. Cụ thể:
+ 100% học sinh định hướng được phương pháp giải các bài toán tương tự.
10


+ Có đến 80% học sinh tự mình sáng tạo ra những bài toán mới bằng cách
thay đổi giả thiết và kết luận của bài toán cơ bản.
+ Các em có cái nhìn sâu sắc hơn về giải toán, luôn có thói quen tìm tòi,
khai thác bài toán, mối liên hệ giữa bài toán đang xét với bài toán đã học, …
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là
mục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới. Phát triển kết quả là một
công việc cực kỳ thú vị đối với người làm toán. Từ một kết quả đơn giản ban
đầu, bằng sự phát triển thông minh và sáng tạo, ta có thể đi đến những kết quả
bất ngờ và sâu sắc.
Sáng kiến kinh nghiệm này được hoàn thành nhờ việc nghiên cứu từ các

cuốn sách tham khao, từ một số đề thi. Các bài tập trong đề tài được xây dựng
trên một hệ thống lôgic nhằm ứng dụng từ một bài toán cơ bản về bất đẳng thức,
thông qua đó giúp học sinh giải quyết tốt hơn các bài tập về chứng minh đẳng
thức và một số bài toán liên quan đồng thời phát triển tư duy khái quát và năng
lực sáng tạo trong học toán của học sinh.
Sau khi triển khai dạy học theo phương pháp khai thác và phát triển bài
tập toán như trên vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 trong năm học 20152016 tôi thấy rằng học sinh rất hứng thú phương pháp học tập này. Giờ đây các
em có một phương pháp học toán khá hiệu quả, các em rất tự tin khi bước vào
phòng thi, vì thế 5/5 học sinh đã đạt học sinh giỏi cấp huyện môn toán với 2 giải
nhì và 3 giải ba.
2. Kiến nghị
* Đối với giáo viên:
+ Người giáo viên phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc. Vì vậy, giáo viên
phải không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân, phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào
sâu suy nghĩ từng bài toán, phân dạng, xâu chuỗi và khai thác bài toán theo các
hướng khác nhau. Giáo viên cần chủ động phát hiện ra những bài toán cơ bản có
nhiều ứng dụng và tập hợp các ứng dụng đó, viết thành tư liệu dành cho học sinh
tham khảo. Đó là một phương pháp mang lại hiệu quả cao trong công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán.
+ Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ năng thường xuyên lưu ý;
liên hệ một bài toán “mới” với những bài toán đã biết, giúp học sinh phát hiện ra
rằng, bài toán đó không còn mới đối với các em hoặc nhanh chóng xếp loại được
bài toán, từ đó định hướng được phương pháp giải quyết.
11


+ Nên tạo ra bài tập toán đa dạng và phong phú (với mục đích vận dụng
kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra năng lực toán học,...) để phù hợp với
phương pháp dạy học đổi mới theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo.
* Đối với học sinh:

Cần tăng cường tự đọc và nghiên cứu tài liệu nhằm tìm tòi và xâu chuỗi các
bài tập cùng dạng để bước đầu hình thành năng lực tổng hợp,khái quát từ đó phát
triển tư duy sáng tạo để khai thác bài tập cơ bản theo nhiều khía cạnh khác nhau.
* Đối với các cấp quản lý giáo dục:
Tăng cường hơn nữa việc triển khai các chuyên đề mang tính định hướng
khai thác kiến thức cơ bản để xây dựng hệ thống bài tập tương ứng, nhằm giúp
các thầy cô giáo và các em học sinh có cái nhìn xuyên suốt và hệ thống các bài
tập trong chương trình Toán phổ thông.
Trên đây là một số cách khai thác và phát triển bài tập toán từ một bài
toán cho trước với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào quá trình đổi mới
nội dung, phương pháp dạy học toán ở trường Trung học cơ sở nhằm giúp học
sinh phát triển tư duy toán học cho học sinh. Do trình độ có hạn cũng như kinh
nghiệm chưa nhiều nên chắc chắn đề tài còn có những hạn chế, thiếu sót, rất
mong được sự đóng gớp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài này được
hoàn thiện và có tác dụng hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

12