tổng hợp lý thuyết thống kê

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KÍ HIỆU
1. Khái niệm đám đông – mẫu
Đám đông (tổng thể): là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn nghiên cứu.
Mẫu: là tập hợp các phần tử lấy ra từ đám đông để nghiên cứu.
Kích thước mẫu: là số phần tử của mẫu, kí hiệu là n.
Dãy thống kê dạng điểm cho dưới dạng tần số:
x1
m1

X
m
k

Chú ý:

�m
i 1

i

x2
m2

xi
mi

…
…

xk
mk

…
…

n

2. Tham số đám đông – Tham số mẫu
Định nghĩa 1: Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu X của một đám đông có:
E  X   ;D  X    2 ;   X   

Các tham số đám đông:
Tham số


2


Tên gọi
Kỳ vọng
Phương sai
Độ lệch tiêu chuẩn

Ý nghĩa
Giá trị trung bình của X trong đám đông
Bình phương độ phân tán trong đám đông
Độ phân tán trong đám đông

Các tham số mẫu:
Tham số
X

2

S

Tên gọi
Trung bình mẫu
(Giá trị trung bình của X trong mẫu)
Phương sai mẫu

Cách tính
1 k
X  �mi x i
n i1

 

S2  X 2  X

2
S$

Phương sai mẫu điều chỉnh

2
n 2
S$ 
S
n 1

S

Độ lệch tiêu chuẩn mẫu

S  S2

S$

Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh
1

2
S$ S$

2

1 k
X  �mi x i2
n i1
với
2


Định nghĩa 2: Giả sử đám đông chỉ có 2 loại đối tượng là các phần tử mang đặc
tính A và các phần tử không mang đặc tính A. Ta có:
+ Tham số p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong đám đông.
+ Tham số f là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong mẫu.

f

m

n với m là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu.

2


BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG
Phân biệt bài toán ước lượng điểm và bài toán ước lượng khoảng:
+ Không có độ tin cậy: bài toán ước lượng điểm.
+ Có độ tin cậy: bài toán ước lượng khoảng.
I. Bài toán ước lượng điểm
+ Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng  ): Tính X rồi kết luận.
+ Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p): Tính f rồi kết luận.
2
$2
+ Ước lượng bình phương độ phân tán (ước lượng p/sai  ): Tính S rồi kết luận.

II. Bài toán ước lượng khoảng
Các bước làm:
+ Xác định bài toán: ước lượng kỳ vọng hay ước lượng xác suất? Nếu là ước lượng
kỳ vọng thì rơi vào trường hợp nào?
+ Viết biểu thức xác định khoảng tin cậy và công thức tính 
� �
� �
u� �
t n 1 � �
�2 �
+ Biết độ tin cậy  , ta đi tính   1   rồi suy ra �2 �hay
2
$2 ;S;f
$

X;S
;S;S
+ Tính các tham số mẫu (nếu cần tham số nào thì tính tham số đó):

rồi tính 
+ Tìm khoảng tin cậy rồi kết luận.
1. Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng  ):





X  ;X  
Khoảng tin cậy đối xứng của  là
với  tính như sau:
Trường hợp
 đã biết, X có phân phối chuẩn
hoặc mẫu lớn

Công thức tính

� � 
  u� �
.
2
�� n

3

 chưa biết, X có phân phối

� � S$
� � S
  t n 1 � �
.
  t n 1 � �
.
�2 � n
�2 � n  1 hoặc
chuẩn
 chưa biết, X không có phân
� � S$
� � S
  u� �
.
  u� �
.
2
2
n

1
n
�
�
�
�
phối chuẩn nhưng mẫu lớn
hoặc

2. Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p):
� � f  1  f 
  u� �
.
f


;f




2
n
�
�
Khoảng tin cậy đối xứng của p là
với

4


BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH
Phân biệt với bài toán ước lượng:
+ Bài toán ước lượng: có từ ước lượng, có từ độ tin cậy
+ Bài toán kiểm định: có từ kiểm định, có từ mức ý nghĩa
Các bước làm:
+ Xác định bài toán: giả thuyết H, đối thuyết K, mức ý nghĩa  .
+ Nêu các điều kiện (nếu có) để đưa ra thống kê.
+ Xác định miền bác bỏ H (miền W)

+ Tính giá trị quan sát của thống kê. Kiểm tra xem giá trị quan sát của thống kê có
thuộc miền W hay không:
 Nếu thuộc thì ta bác bỏ H, chấp nhận K.
 Nếu không thuộc thì chưa bác bỏ được H nên tạm thời chấp nhận H, bác bỏ K
Hai vấn đề chính trong mỗi bài toán kiểm định:
+ Xác định thống kê được sử dụng
+ Xác định miền W
I. Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình (Kiểm định kỳ vọng)

BT1:

H :   0
�
�
K :   0
�

BT2:

H :   0
�
�
K :   0
�

Trường hợp

Sử dụng thống kê

 đã biết, X có phân phối

 X 
G

chuẩn hoặc mẫu lớn

0

BT3:

H :   0
�
�
K :  � 0
�

Miền W

BT1: W   G : G �u    

BT2 : W   G : G �u    

n



�
�
� �
BT3: W  �

G : G �u � �
�
�2 �
�

 chưa biết, X có phân

BT1: W   T : T �t n 1    

phối chuẩn

BT2 : W   T : T � t n 1    

5


T

 X  
0




�
�
� �
BT3: W  �
T : T �t n 1 � �
�

�2 �
�

n 1

S




X  0 n
T  X 
 chưa biết, X không có
S$0 n  1
G
S
phân phối chuẩn nhưng
X  0 n
G
mẫu lớn
S$



BT1: W   G : G �u    
BT2 : W   G : G �u    



�

�
� �
BT3: W  �
G : G �u � �
�
�2 �
�

II. Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ (Kiểm định xác suất)
Gọi p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong tổng thể.

BT1:

H : p  p0
�
�
K : p  p0
�

BT2:

H : p  p0
�
�
K : p  p0
�

Trường hợp

Sử dụng thống kê

Mẫu lớn

G

BT3:

H : p  p0
�
�
K : p �p 0
�
Miền W

BT1: W   G : G �u    

 f  p0  n
p0  1  p0 

BT2 : W   G : G �u    
�
�
� �
BT3: W  �
G : G �u � �
�
�2 �
�

III. So sánh hai tỉ lệ (So sánh hai xác suất)

Giả sử ta cần so sánh tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông.
Gọi p1 ;p 2 lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông đó.
Ta có các bài toán so sánh:

BT1:

H : p1  p 2
�
�
K : p1  p 2
�

Trường hợp
Hai mẫu lớn

BT2:

H : p1  p 2
�
�
K : p1  p 2
�

Sử dụng thống kê

BT3:

H : p1  p 2
�
�

K : p1 �p 2
�

Miền W

BT1: W   G : G �u    

BT2 : W   G : G �u    
6


�
�
� �
BT3: W  �
G : G �u � �
�
�2 �
�

f1  f 2

G

�1
1 �
f 1 f  �  �
�n1 n 2 �

Ở đó:

n1 là kích thước mẫu thứ nhất, n 2 là kích thước mẫu thứ hai.

f1 

m1
n1 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ nhất.

f2 

m2
n 2 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ hai.

f

m1  m 2
n1  n 2 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A chung của cả hai mẫu.

IV. So sánh hai giá trị trung bình (So sánh kỳ vọng)
Giả sử cần so sánh 2 giá trị trung bình của một dấu hiệu nghiên cứu nào đó ở hai
đám đông khác nhau. Gọi X là dấu hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ nhất, Y là dấu
hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ hai.
2
2
Kí hiệu E  X   1;E  Y    2 và D  X   1 ;D  Y    2

Ta có các bài toán so sánh:

BT1:

H : 1   2
�
�
K : 1   2
�

Trường hợp
12 ;  22 đã biết, X và

BT2:

hoặc

BT3:

Sử dụng thống kê

BT1: W   G : G �u    

BT2 : W   G : G �u    




n1 n 2
2
1

hai

2
2

�
�
� �
BT3: W  �
G : G �u � �
�
�2 �
�

mẫu lớn



H : 1   2
�
�
K : 1 � 2
�

Miền W

XY

Y có phân phối G 
chuẩn

H : 1   2

�
�
K : 1   2
�



12  22 chưa biết,
X  Y n1n 2  n1  n 2  2 
T
 n1  n 2   n1SX2  n 2S2Y 
X và Y có phân
7



BT1: W  T : T �t n1  n2 2   





BT2 : W  T : T � t n1  n2 2   




�
�
� �

BT3: W  �
T : T �t n1 n 2 2 � �
�
�2 �
�

phối chuẩn
G

 ;  chưa biết, X
2
1

2
2

và Y không có phân
phối chuẩn nhưng G 
hai mẫu lớn

BT1: W   G : G �u    

XY
2
X

2
Y

S

S

n1  1 n 2  1

BT2 : W   G : G �u    

XY

�
�
� �
BT3: W  �
G : G �u � �
�
�2 �
�

2
2
S$X S$Y

n1 n 2

2
2
Trường hợp 1 ; 2 chưa biết, X và Y không có phân phối chuẩn nhưng hai mẫu bé

thì ta giải quyết bài toán so sánh kỳ vọng (bài toán 3) bằng tiêu chuẩn hạng của Mann –
Whitney hoặc tiêu chuẩn hạng của Wilcoxon:
+ Nếu số liệu cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Wilcoxon.

+ Nếu số liệu không cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Mann – Whitney.
Lưu ý: Hai tiêu chuẩn này chỉ giải quyết được bài toán 3.
Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Wilcoxon:

+ Tính d i ; d i và đếm số giá trị d i �0 . Gọi số giá trị d i �0 là n

+ Sắp xếp các
+ Tính

+ Đặt

d i �0 theo thứ tự từ bé đến lớn.

rank  d i



T  T  thì

G
+ Đặt
+ Tính

G qs

với d i  0 rồi tính

E T 

T  E T

D T

n   n   1
4

T   �rank  di
di 0

;D  T  



n   n   1  2n   1
24

�
�
� �
W�
G : G �u � �
�
�2 �
�
thì miền bác bỏ H là

rồi kết luận.
8


Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Mann – Whitney:

+ Gộp chung 2 dãy số liệu mẫu và sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.
+ Tính hạng của các phần tử trong mẫu 1, tức là tính

rank  x i  ,i  1;n1

n1

+ Tính

+ Tính

R1  �rank  x i 
i 1

U1  n1n 2 

+ Đặt U  U1 thì
G

G qs

E U 

U  E U
D U

+ Đặt
+ Tính

n1  n1  1

 R1
2
n n  n  n 2  1
n1n 2
;D  U   1 2 1
2
12

�
�
� �
W�
G : G �u � �
�
2
�
�
�
thì miền bác bỏ H là

rồi kết luận.

V. Kiểm định sự phù hợp của số liệu mẫu
Bài toán: Gọi p1 ,p 2 ,..., p k lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A1;A 2 ;...;A k trong
một đám đông ( p1  p 2  ...  p k  1 ). Từ đám đông, ta lấy ra mẫu có kích thước n.
Ta có bài toán kiểm định:
Giả thuyết H: Số liệu mẫu phù hợp với k tỉ lệ đã cho.
Đối thuyết K: Số liệu mẫu không phù hợp với k tỉ lệ đã cho.

Giải quyết: Ta sử dụng thống kê:

k

 mi  npi 

 �
2

i 1

2

npi

Ở đó: m1;m 2 ;...;m k lần lượt là số phần tử mang đặc tính A1;A 2 ;...;A k trong mẫu.
Miền bác H:

W    2 :  2 � k2 1    

Chú ý: Điều kiện là mi �5;i  1;k .
9


VI. Kiểm định tính độc lập của hai dấu hiệu
Bài toán: Giả sử ta có hai dấu hiệu X và Y. Ta có bài toán kiểm định:
Giả thuyết H: X và Y độc lập nhau; Đối thuyết K: X và Y phụ thuộc nhau.
Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:
B1

B2

…

Bs

Tổng hàng

A1

m11

m12

…

m1s

hg1

A2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

…

…

…

…

…

…

Ar

m r1

mr 2

…

m rs

hgr

cot1

cot2

…

cots

n

X

Y

Tổng cột

�r s m 2ij
�
�
�
  n�
 1�
�
�
�i 1 j1 hg i cot j �
Ta sử dụng thống kê:
2

Miền bác H:



W   2 :  2 �2r 1 s 1   



VII. So sánh nhiều tỉ lệ (So sánh nhiều xác suất)
Bài toán: Gọi lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của s đám đông. Ta có bài
toán kiểm định:
Giả thuyết H : p1  p 2  ...  ps
Đối thuyết K: Các tỉ lệ p1 ;p 2 ;...;ps không đồng thời bằng nhau.
Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:
B1

B2

…

Bs

Tổng

A1

m11

m12

…

m1s

hg1

A2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

X

Y

10


Tổng
Ở đó,

m1j

cot1

…

cot2

cots

n

là số phần tử mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j còn

số phần tử không mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j, j  1;s
2
�
�
�2 s m ij
�
  n�
 1�
�
�
�i 1 j1 hg i cot j �
Ta sử dụng thống kê:
2

Miền bác H:

W    2 :  2 �s21    

11

m 2j

là

TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY
I. Tương quan
1. Hệ số tương quan
 Ta có đánh giá mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y dựa vào  như sau:
Rất yếu

Yếu

0

Trung bình

0,5

Chặt

Rất chặt

0,7

1

 Khi   0 thì ta nói X và Y không tương quan với nhau.
 Nếu   0 thì X, Y đồng biến và nếu   0 thì X, Y nghịch biến.
2. Hệ số tương quan mẫu
Hệ số tương quan mẫu của 2 biến ngẫu nhiên X, Y là:

r  X,Y  

XY  X.Y

SX .SY

Với bảng số liệu:
y1

y2

…

ys

Tổng hàng

x1

m11

m12

…

m1s

hg1

x2

m 21

m 22

…

m 2s

hg2

…

…

…

…

…

…

xr

m r1

mr 2

…

m rs

hgr

cot1

cot2

…

cots

n

X

Y

Tổng cột

12


Ta có:

�
1 �r s
XY  �
m
x
y
�� ij i j �
n �i1 j1

�

Ta có dãy thống kê của X:
X
m
Ta tính được X;SX

x1
hg1

x2
hg2

…
…

xr
hgr

y2
cot2

…
…

ys
cots

Ta có dãy thống kê của Y:
Y

m
Ta tính được Y;SY

y1
cot1

Với bảng số liệu:

 X,Y 

 x1; y1 

 x 2 ; y2 

 x k ; yk 

m2

…
…

m

m1

x1
y1
m1

x2

y2
m2

…
…
…

xk
yk
mk

mk

Hoặc:

X
Y
m
Ta có:

XY 

k
1 k
m
x
y
n

mi

�i i i
�
n i 1
i 1
với

Ta cũng lập dãy thống kê của X và Y rồi tính X;SX ; Y;SY .
II. Hồi quy
Đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thực nghiệm
Y  Y  r.



SY
. XX
SX

Sai số bình phương trung bình thực nghiệm:

13




S2Y/X  SY2  1  r 2 
Điều kiện áp dụng tốt: r �0,7

14