Luận văn sư phạm Biến đổi Fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

L i c m n!
Em xin chân thành c m n các th y cô giáo trong khoa toán đã giúp đ
em trong th i gian v a qua.

c bi t em xin đ

c bày t lòng bi t n chân

thành và xâu s c nh t t i th y giáo, Ti n s . Bùi Kiên C
h

ng đã t n tình

ng d n, nghiêm kh c đ em hoàn thành t t khoá lu n và trong su t quá

trình h c t p.
Cu i cùng em xin c m n gia đình, b n bè đã t o đi u ki n, đóng góp
nh ng ý ki n h u ích đ em hoàn thành t t lu n v n này.

Phúc Yên, ngày 09 tháng 5 n m 2007
Tác gi
Mai Th Thu Trang.


Khoá lu n t t nghi p

M cl c
Trang
M c l c .............................................................................................................. 1
M đ u .............................................................................................................. 3
1. Lý do ch n đ tài .................................................................................. 3

2. M c đích nghiên c u ............................................................................ 3
3. Nhi m v nghiên c u ........................................................................... 3
4. Ph ng pháp nghiên c u...................................................................... 3
5. C u trúc lu n v n ................................................................................. 4
Kí hi u ............................................................................................................... 5
Ch ng 1. Các ki n th c chu n b
1.1. Không gian đ nh chu n, không gian banach ........................................ 6
1. Không gian đ nh chu n, không gian Banach ....................................... 6
2. Toán t tuy n tính ................................................................................ 7
3. Không gian liên h p ............................................................................. 8
1.2. Không gian Hilbert ............................................................................... 9
1.3. Không gian Lp    , 1  p    ........................................................ 11
1. Không gian L1    ............................................................................. 11
2. Không gian L p    ( 1  p   ) ........................................................ 12
3. Không gian L    ............................................................................ 13
4. Tích ch p ............................................................................................ 13

 
Không gian Schwartz S ฀  ............................................................ 18
S h i t trong không gian S ฀  .................................................... 21

1.4. Không gian Schwartz - S ฀ n ........................................................... 18
1.
2.

n

n

1.5.

o hàm suy r ng ( .h.s.r) ................................................................ 23
1.
o hàm suy r ng .............................................................................. 23
2. Tính ch t c a đ o hàm suy r ng ......................................................... 23
Ch ng 2. bi n đ i Fourier

Mai Th Thu Trang
1


Khoá lu n t t nghi p

2.1. Phép bi n đ i Fourier trong L1 ( ฀ ) ................................................ 27
n

1. nh ngh a và ví d ............................................................................ 27
2. Các tính ch t ....................................................................................... 28

  ................................................. 33

2.2. Phép bi n đ i Fourier trong S ฀

n

1. nh ngh a và ví d ............................................................................ 33
2. Các tính ch t ....................................................................................... 34
3. Bi n đ i Fourier ng c ...................................................................... 38

  ..................................... 43

2.3. Bi n đ i Fourier trong không gian L2 ฀

n

1. nh ngh a .......................................................................................... 43
2. Các tính ch t ....................................................................................... 43
Ch ng 3. Không gian các hàm suy r ng
3.1.
nh ngh a và ví d ............................................................................ 46
3.2. Toán t trong không gian .................................................................... 50
các hàm suy r ng ......................................................................................... 50
3.3. Giá c a hàm suy r ng......................................................................... 53

  ......................................................... 55

3.4. Bi n đ i Fourier trong S ฀

n

Ch ng 4 Toán t gi vi phân
4.1. Bi u tr ng............................................................................................ 60
4.2. Toán t gi vi phân ............................................................................ 65
1. nh ngh a và ví d ............................................................................ 65
2. Các tính ch t ....................................................................................... 66
4.3. Nhân Schwartz và tích phân đ ng ..................................................... 70
1. Nhân Schwartz ................................................................................... 70
2. Tích phân đ ng ................................................................................... 72
Ch ng 5. nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng
1. Ph ng trình đ o hàm riêng v i h s h ng ...................................... 78
2. Ph ng trình không d ng v i h s h ng. ......................................... 82

3. Ph ng trình đ o hàm riêng (gi ) eliptic ........................................... 84
K t lu n ........................................................................................................... 89
Tài li u tham kh o ........................................................................................... 90

Mai Th Thu Trang
2


Khoá lu n t t nghi p

M đ u
1. Lý do ch n đ tài
Lý thuy t hàm suy r ng và xây d ng các không gian hàm có nhi u ng
ng trình đ o hàm riêng, nó ph c v

d ng l n trong v t lý và lý thuy t ph

cho vi c nghiên c u tính kì d c a hàm và hàm suy r ng trong gi i tích vi đ a
ph

ng. Chính vì th vi c nghiên c u các không gian hàm là c n thi t đ i v i

m i sinh viên.
Trong quá trình h c t p em đã ti p thu đ

c m t s ki n th c: m đ u

là chu i Fourier, đ ng th c Parseval trong gi i tích, ti p đ n là tích phân
Lebegeus, ph

ng trinh đ o hàm riêng, gi i tích hàm….Chính nh ng ki n

th c này đã t o đi u ki n, đ ng l c thôi thúc em tìm hi u và quy t đ nh ch n
đ tài: “Bi n đ i Fourier, hàm suy r ng và gi i tích vi đ a ph

ng”.

2. M c đích nghiên c u
- Rèn luy n tính nghiêm túc, t

duy logic, t đó có ph

ng pháp

nghiên c u khoa h c thích h p thích h p và đúng đ n.
- Kh c sâu và tìm hi u nh ng ki n th c v bi n đ i Fourier và hàm suy
r ng.

3. Nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u v phép bi n đ i Fourier trong m t s không gian hàm:

không gian L1  ฀ n  ,S  ฀ n  ,L2  ฀ n  và không gian hàm suy r ng S  ฀ n  .
- Nghiên c u v không gian các hàm suy r ng .
- B
4. Ph

c đ u làm quen và tìm hi u v gi i tích vi đi ph

ng pháp nghiên c u
- Ph

ng pháp nghiên c u lý lu n.

- Ph

ng pháp phân tích đánh giá t ng h p.

- Ph

ng pháp phân nhóm h c t p.

Mai Th Thu Trang
3

ng.


Khoá lu n t t nghi p

5. C u trúc lu n v n
Ch

ng 1 Các ki n th c chu n b : trình bày v các không gian hàm và

tích ch p, dùng tích ch p đ ch ng minh tính trù m t c a

S  ฀ n  trong

Lp  ฀ n  ,1  p   .
Ch

ng 2 Bi n đ i Fourier trên m t s không gian hàm L1  ฀ n  ,

S  ฀ n  , L2  ฀ n  .
Ch

ng 3 Không gian các hàm suy r ng: đ nh ngh a, đ o hàm c a hàm

suy r ng, bi n đ i Fourier c a các hàm suy r ng.
Ch

ng 4 Toán t gi vi phân.

Ch

ng 5 Nghi m c a ph

hàm riêng v i h s h ng, ph

ng trình đ o hàm riêng: ph

ng trình đ o

ng trình không d ng v i h s h ng, ph

trình gi eliptic.

Mai Th Thu Trang
4

ng


Khoá lu n t t nghi p

kí hi u
 supp f là kí hi u c a hàm liên t c f , ngh a là bao đóng c a t p h p

x : f  x  0 .
 M t đa ch s  là m t b n s nguyên không âm   1 , 2 ,..., n  .
 N u  , là các đa ch s thì   1   2  ...   n

 !  1 ! 2 !...n ! .     1  1 , 2  2 ,..., n  n 
 ฀ n là kí hi u c a không gian Euclied n chi u và x   x1 ,x2 ,...,xn  ,

y   y1 , y2 ,..., yn  ,   1 ,2 ,...,n  là các ph n t trong ฀ n .
 N u x ฀ n và  là m t da ch s thì:

x  x11 x22 ...xnn ,

 xk 


,
xk

x  x11 x22 ...xnn
Dx   i  x , i  1 .


Dxk  i xk ,

 C   ฀ n  là không gian tuy n tính c a t t c các hàm kh vi vô h n trên

฀ n.
 C0  ฀ n  là không gian tuy n tính c a t t c các hàm kh vi vô h n trên

฀ n v i giá compact.
 Công th c Leibnitz

 
D  uv     D  uD  v
    
 
!
Trong đó u,v : ฀ n  ฀ là các hàm tr n   
    !     !
và      i  i ,i  1,n .

Mai Th Thu Trang
5


Khoá lu n t t nghi p

Ch

ng 1

Các ki n th c chu n b

1.1. Không gian đ nh chu n,
không gian banach
1. Không gian đ nh chu n, không gian Banach
nh ngh a 1.1. Ta g i không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính) là
không gian tuy n tính X trên tr

ng k ( k  ฀ ho c k  ฀ ) cùng v i m t ánh

x t X vào t p s th c ฀ kí hi u là  và đ c là chu n, tho mãn các tiên đ
sau:
1) x  X, x  0, x  0  x   , (  là ph n t không c a X).
2) x  X,  k,  x   x .
3) x, y  X, x  y  x  y .
S

x g i là chu n c a vector x . Không gian đ nh chu n đ

c kí hi u là X.

Các tiên đ 1),2),3) g i là các tiên đ chu n.
nh ngh a 1.2. Dãy đi m  xn  c a không gian đ nh chu n X g i là h i t
xn  x  0 .
t i đi m x , n u lim
n

kí hi u: lim xn  x hay xn  x khi n   .
n
nh ngh a 1.3. Dãy đi m  xn  c a không gian đ nh chu n X g i là dãy c

xn  xm  0 .

b n n u lim
n
m

nh ngh a 1.4. Không gian đ nh chu n X g i là không gian Banach n u m i
dãy c b n trong X đ u h i t .

Mai Th Thu Trang
6


Khoá lu n t t nghi p

2. Toán t tuy n tính
nh ngh a 1.5. Cho hai không gian tuy n tính X và Y trên tr

ng k . ánh x

A t không gian X vào không gian Y g i là tuy n tính n u A tho mãn các
đi u ki n:
1) x, x  X ta có A x  x  Ax  Ax .
2) x  X,   X thì A x   Ax .
Ta th

ng g i ánh x tuy n tính là toán t tuy n tính. Khi A ch tho mãn 1)

thì A g i là ánh x c ng tính. Khi A ch tho mãn 2) thì A g i là toán t thu n
nh t. Khi Y  k thì A đ

c g i là phi m hàm tuy n tính.

nh ngh a 1.6. Cho X và Y là hai không gian đ nh chu n. Toán t tuy n
tính A t không gian X vào không gian Y g i là b ch n n u t n t i h ng s

c  0 sao cho:
Ax  c x ,x  X .

(1.1)

nh ngh a 1.7. Cho A là toán t tuy n tính b ch n t không gian đ nh
chu n X vào không gian đ nh chu n Y h ng s c  0 nh nh t tho mãn h
th c (1.1) g i là chu n c a toán t A và ta kí hi u là A .
nh lý 1.8. Cho A là m t toán t tuy n tính ánh x không gian đ nh chu n X
vào không gian đ nh chu n Y khi đó 3 m nh đ sau t

ng đ

ng.

1) A liên t c.
2) A liên t c t i đi m x0 nào đó trong X.
3) A b ch n.
nh lý 1.9. Cho toán t tuy n tính A t không gian đ nh chu n X vào không
gian đ nh chu n Y. N u A b ch n thì

Mai Th Thu Trang
7


Khoá lu n t t nghi p

A  sup Ax .
x 1

3. Không gian liên h p
nh ngh a 1.10. Cho không gian đ nh chu n X trên tr

ng k . Ta g i không

gian I  X, k  các phi m hàm tuy n tính liên t c trên X là không gian liên h p
(hay không gian đ i ng u) c a không gian X và kí hi u là X* (thay cho kí hi u

I  X, k  ).
nh ngh a 1.11. KG đ nh chu n X g i là kg ph n x n u X  X** .
nh ngh a 1.12.
n u X  X* .

Không gian đ nh chu n X g i là không gian t liên h p

Mai Th Thu Trang
8


Khoá lu n t t nghi p

1.2. Không gian Hilbert
ng K ( K  ฀ ho c

nh ngh a 1.13. Cho không gian tuy n tính X trên tr
K  ฀ ) ta g i là tích vô h

Descarts X  X vào tr

ng trên không gian X m i ánh x t

tích

ng k kí hi u là (,) tho mãn tiên đ :

1) x, y  X, thì

 x, y   x, y .

2) x, y, z X ta có

 x  y, z   x, z   y, z .

3) x, y  X, k ta có  x, y    x, y .
4) x  X khi đó  x.x  0,x   và  x, x  0  x   .
Các ph n t
là tích vô h
tích vô h

x, y, z,... đ

c g i là các nhân t c a tích vô h

ng c a hai nhân t

ng, s

 x, y g

i

x, y . Các ti n đ 1),2),3),4) g i là h ti n đ

ng.

nh lý 1.14 (B t đ ng th c Schwartz)
i v i m i x  X ta đ t x 

 x, x

(1.2) khi đó x, y  X ta có b t

đ ng th c schwartz

 x, y

 x.y.

(1.3)

H qu 1.15. Công th c (1.2) xác đ nh 1 chu n trên không gian X .
nh ngh a 1.16. Ta g i m t t p H   g m nh ng ph n t x, y, z... nào đ y
là không gian Hilbert, n u t p H tho mãn các đi u ki n:
1) H là không gian tuy n tính trên tr
2) H đ

c trang b m t tích vô h

ng k .

ng (,) .

3) H là không gian Banach v i chu n x 

 x, x ,

x H .

Ta g i không gian tuy n tính con đóng c a không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con c a không gian Hilbert H .

Mai Th Thu Trang
9


Khoá lu n t t nghi p

Ví d

1.17. Kí hi u ฀

x   xi   ฀ , y   yi   ฀
n

n

là không gian vector th c n chi u. V i
n

n

ta đ t  x,y   xi yi .

(1.4)

i 1

H th c (1.4) tho mãn h tiên đ tích vô h
h

ng. Chu n sinh ra b i tích vô

ng (1.4) là

x 

n

 x,x    xi2 ,

x   xi   ฀ n .

i 1

Chu n này trùng v i chu n c a x trong không gian ฀
chu n). Nên không gian vector th c ฀

n

n

(không gian đ nh

cùng v i tích vô h

ng (1.4) là m t

không gian Hilbert.
nh lý 1.18 ( nh lý Riesz). M i phi m hàm tuy n tính liên t c trong không
gian Hilbert H đ u có th bi u di n duy nh t d
x  H.

f (x)  x,a  ,
trong đó ph n t a  H đ

i d ng:

c xác đ nh duy nh t b i phi m hàm f và ta có

f  a.

(1.5)

Ch ng minh: (xem gi i tích hàm - Nguy n Ph Hy).
Nh n xét: Nh đ nh lý Riez m i phi m hàm tuy n tính liên t c f trên không
gian Hilbert H t

t

ng ng m t đ i m t v i ph n t

a trong H . Hi n nhiên

ng ng đó v a tuy n tính v a đ ng c . Vì v y ta có th đ ng nh t m i

phi m hàm f  H * v i ph n t

a  H ngh a là H   H . Nói cách khác

không gian Hilbert là không gian t liên h p.

Mai Th Thu Trang
10


Khoá lu n t t nghi p

1.3. Không gian Lp    , 1  p   
1. Không gian L1   
nh ngh a 1.19. Cho  là t p m c a ฀

n

trang b đ đo Lebesgue. Ta kí

hi u L1    là không gian các hàm kh tích trên  l y giá tr trong ฀ , và đ t
f

L1

  f  x  dx .


nh ngh a 1.20. Ta g i giá c a hàm f xác đ nh trên  và kí hi u là suppf
và supp   x  : f  x   0 .
Khi supp f   và suppf là t p compact thì ta nói f có giá compact trên
.

nh ngh a 1.21. M t hàm f xác đ nh h u kh p n i trên  đ
tích đ a ph

ng trên  n u f  L1  A v i m i t p đo đ

c g i là kh

c A  và kí

hi u là f  L1,loc    .
B đ 1.22 (B đ Fatou)
Gi s

 fk  là dãy các hàm trong L1    sao cho
1) V i m i k ta có fk  x  0 h u kh p n

i trên  .

2) sup  fk   .

V i m i x đ t f  x  liminf fk  x . Khi đó f  L1    và ta có:
k

 f  lim f
k

B đ 1.23.

Gi s

k

.

f  L1 , l o c   sao cho

h u kh p n i trên  .

Mai Th Thu Trang
11

 fu  0,u C   thì
0

f = 0


Khoá lu n t t nghi p

nh lý 1.24. Không gian C0    các hàm kh vi liên t c có giá compact trù

m t trong L1    t c là f  L1   và   0,f1  C0    sao cho
f  f1

L1

 .

2. Không gian Lp    ( 1  p   )
nh ngh a 1.25. Cho  là t p m trong ฀ n . Không gian L p    là t p h p
t t c các hàm f v i lu th a b c p kh tích trên  ngh a là



Lp      f /  f  x      cùng v i chu n f
 


1 1
  1 (khi đó p đ
p q

Lp



p
   f  x  dx  .



f  Lp    ; g Lq    trong đó

nh lý 1.26 (b t đ ng th c Holder). Gi s
p  1, q  1,

1
p

c g i là m

liên h p v i q ) thì

gf L1    và

 f  x  g x  dx 



f

Lp

gL .

nh lý 1.27 (b t đ ng th c Minkovsky). Gi s

q

f  Lp    g  Lp    ,

p> 1. Khi đó:

f gL  f
p

Lp

 gL

p

nh lý 1.28 (Tính trù m t)
Không gian C0    trù m t trong L p    v i 1  p   .
nh lý 1.29. Kí hi u

 L 



p

là không gian liên h p c a L p   

( 1  p   ). Khi đó  Lp     = Lq    trong đó q> 1 tho mãn


Mai Th Thu Trang
12

1 1

 1
p q


Khoá lu n t t nghi p

Ngh a là n u  : Lp     ฀ là m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên
L p    thì t n t i duy nh t m t hàm g  Lq    sao cho   f    gf dx và


g   . Ng

c l i v i m i hàm g  Lq    đ u t n t i m t phi m hàm

tuy n tính liên t c  sao cho   f    gf dx,f  Lp    .


nh lý 1.30. L2    là không gian Hilbert v i tích vô h

ng

 f ,g   f  x  g x dx .


H qu 1.31. L2    là không gian t liên h p.
nh lý 1.32. Không gian L2    là không gian ph n x v i 1  p   .

3. Không gian L   
nh ngh a 1.33. L    là t p h p t t c các hàm f :   ฀ đo đ

c và b

ch n h u kh p n i trong . Ngh a là c  0: f  x   c h u kh p n i trong  .
Kí hi u: f

f








 inf c: f  x   c h.k.n /
 essup p f  x  .
x

nh lý1.34. L p    là không gian Banach  1  p    .
H qu 1.35. N u  1  p    thì m t dãy Cauchy trong L p    bao gi c ng
có m t dãy con h i t t ng đi m h u kh p n i trên  .
H qu 1.36
Lp     L1.loc    , 1  p   trong đó  là mi n tu ý trong ฀ n .

4. Tích ch p
B đ 1.37

Mai Th Thu Trang
13

Khoá lu n t t nghi p

N u hàm f ,g L1  ฀

 thì h x   f  x  yg y dy là kh

n

฀

tích trên ฀ n .

n

Ch ng minh. Theo đ nh lý Fubini ta có:



฀

h x  dx 

f  x  y  g y  dydx 

 

n

฀

n

฀

n



f
x

y
g
y
dy




dx
n  n

฀ ฀



=  g y   f  x  y  dx dy  f



 f  x  yg y dy đ

฀

. f

L1

.

các hàm f ,g kh tích trên ฀ n . Khi đó hàm

nh ngh a 1.38. Gi s
h x  

L1

c g i là tích ch p c a hàm f và g. Ta kí hi u

n

tích ch p c a f và g là f  g.
nh lý 1.39 (B t đ ng th c Young). N u f  L1  ฀

1  p   thì f  g  Lp  ฀

n

 và

f g  f

L1

n



và g Lp  ฀

n



v i

.gL .
p

Ch ng minh
t h x  

+Xét v i p = 1.

 f  x  y g x dx . Theo b

฀

tích trên ฀

n

đ 1.36 thì h x  kh

n

và h x  h u h n v i h u kh p x  ฀ n . H n n a ta có

f g L 
1

 
n

฀



฀



฀

n

f  x  y  g y  dy dx 

n



f
x

y
g
y
dy





dx
n n

฀ ฀



g y    f  x  y  dx  dy  f
฀ n


V y đ nh lý đúng v i p = 1.

Mai Th Thu Trang
14

L1

gL.
1


Khoá lu n t t nghi p

+ Xét v i 1  p   đ t hp  x  

 f  x  y g x

p

dy thì hp  x  h u h n v i

n

฀

1 1
  1 . áp
p p

h u kh p x  ฀ n . G i p là s m liên h p c a p ngh a là
d ng b t đ ng th c Holder ta có
1
p

 f  x  y g y dx    f  x  y  f  x  y

฀

n

฀



   f  x  y 
฀ n


1
p

1
p

g y dy

n

1
p



p

.  f  x  y  g y  dx   f
฀ n


1
p
L1

 h  x
p

1
p

.

Nh v y f  g x  t n t i v i h u kh p x  ฀ n . Theo b đ 1.36 ta có:


p
f  g L     f  g x  dx 
p
฀n


1
p


 

฀n


1

p
f  x  y  g y  dy dx 


p



฀n

1

p
 
p

     f  x  y  g x  dy  dx   f
฀ n  ฀ n





 f

1
p
L1

 f

1
p
L1

 f

 
 
p
    f  x  y  g x  dy  dx 
 n n

 
฀ ฀



  f  x  y  dx 
฀n


1
p
L1

f

1
p
L1

gL  f
p

1
p

L1

1

1
p
L1


p
h
x
dx


  p


฀n


1
p



p
  g y  dy 
฀n


1
p

gL .
p

V y đ nh lý đúng v i 1  p   .
+ Xét v i p   ta có:

 f  x  y g y dy 

฀

n

gL



 f  x  y dy  g

฀

n

Mai Th Thu Trang
15

L

f

L1

.


Khoá lu n t t nghi p

Nh v y t n t i

 f  x  y g y dy,x  ฀

฀

T ng quát:

n

.

n

N u f  Lp  ฀

n

1 1 1
   r thì f  g  Lr  ฀
r p q

,
n

g  Lp  ฀

 và

M nh đ 1.40. gi s   L1  ฀

n

n



v i

f g L  f

Lp

r

1 1
  1, p, n,q  1 đ t
p q

gL .
p

 sao cho    x dx  a,   0. Ta đ nh


฀n

 x
ngh a hàm:   x    n   , x  ฀ n khi đó v i m i hàm f trong Lp  ฀

, 1  p   ta có f    af trong Lp  ฀

n

n



 khi   0 .

Ch ng minh. T b t đ ng th c Minkovsky d ng tích phân và đ ng
th c

   x dx  a,  0. ta có:


฀n

1


p
p
f    af     f    af   x  dx 
฀n



p
    f *    x   a. f  x  dx 
฀n


 
฀n


1

p

1

p
f  x  y    y  dy  f  x     y  dy dx 

฀n

p



฀n


 
฀n







f
x
y
f
x

y
dy
dx








 
n 

฀



 
฀n



n  f  x  y  f  x    y dy dx 
฀


p

p

Mai Th Thu Trang
16

1
p

1
p


Khoá lu n t t nghi p



   f  x  y  f  x 



฀n

p

฀n

1
p


p

  y  dy  dx

1
p





p

y
f
x


y

f
x
dx







 dy
n

 n
฀

฀



   y

฀

fy  f

Lp

n

dy .

trong đó fy  x   f  x  y .
Do C0  ฀ n  trù m t trong Lp  ฀

g C0  ฀ n  sao cho f  g Lp 

fy  f

Lp



nên v i m i   0 t n t i hàm


. Theo b t đ ng th c tam giác, ta có:
3

 fy  gy

nh . i u này suy ra: fy  f

n

Lp

Lp

 gy  g L  f  g L   khi y đ
p

p

 0 khi   0 .

Nh v y ta có f * g  af trong Lp  ฀

n

.



M nh đ 1.41. Gi s

f  C0  ฀ n  và g L1,loc  ฀ n  thì f  g  C0  ฀ n  .

M nh đ 1.42. Gi s

f ,g C0  ฀ n  khi đó f  g c ng có giá compact. H n

n a supp( f  g)  supp(f) + supp(g).
Ch ng minh
Vì

 f * g x    f  x  y  g y dy

do đó n u x  supp( f  g) thì t n t i

฀n

y supp(g) sao cho x - y  supp(f) hay x  supp(f)+ supp(g).
V y ta có đi u ph i ch ng minh.
nh lý 1.43. C0  ฀ n  trù m t trong Lp  ฀

Mai Th Thu Trang
17

n

,

1 p   .


Khoá lu n t t nghi p

Ch ng minh. Gi s

 C0  ฀ n  là m t hàm không âm sao cho

 x
i   0, đ t   x     n   , x  ฀ n . Khi đó theo m nh


   x  dx  1. V

฀n

đ 1.40 v i m i hàm g C0  ฀ n  thì g*  C0  ฀ n  . Do đó theo m nh đ
1.39 ta có g*   g trong Lp  ฀
Gi s   0 và hàm f  Lp

(1.6)
.
 ฀  . Khi đó C  ฀  trù m t trong L  ฀ 
n

n

n

nên t n tai hàm h  C0  ฀ n  sao cho f  h L 
p
Theo (1.6), v i h  C0  ฀ n  ta có th
h 

Lp




2

V y đ nh lý đ

Lp

 f  h L  h 
p

2

.

tìm hàm   C0  ฀

n



sao cho

Lp




2




2

 .

c ch ng minh. 

1.4. không gian Schwartz - S ฀ n 

1. Không gian Schwartz S ฀

n



nh ngh a 1.44. Ta nói r ng f  S ฀
 ,



p

. S d ng b t đ ng th c tam giác ta có:
f 

f

n

0

n

nu

f kh vi vô h n và tho mãn:

 sup p x x f  x    v i m i đa ch s  ,  .

Hi n nhiên S ฀

n

 là m

t không gian tuy n tính. N u f  S ฀

đa ch s  và m i s nguyên d

n

v

im i

ng k ta có:

x f  x   c ,  1  x  .
k

trong đó c , là h ng s ph thu c vào  và  . Do đó hàm f  S ฀
g i là hàm gi m nhanh. D dàng ta th y C0  ฀ n   S ฀

Mai Th Thu Trang
18

n

.

n

đ

c


Khoá lu n t t nghi p

Ví d 1.45. Hàm f  x   e x thu c vào S ฀

2

n

.

Th t v y,
+ Tr

c h t ta ch ng minh v i n= 1. Khi đó f  x   e x . Ta có:
2

f   x   2xe x   2x  e x
2

1

2

2
f   x    4x2  2 e x   2x   A2  x  e x


2

2

3
f   x    8x3  4x  e x   2x   A3  x  e x



...
2

2

f    x    2x   A  x   e x ,  ฀ * .




2

trong đó A  x  là các hàm đa th c theo bi n x và degA  x    . V i x đ

 1
l n ta có:  2x   A  x   2x .



Do đó x x f  x    2x  A  x e x




 x 2x

2

2 1e   1

e =
, ,   ฀ .
2
ex

  1  x2

áp d ng công th c khai tri n Taylor cho hàm f  x   ex ta có:
2

k

 x2 

i 0

i!

ex  
2

Th vào (1.7) ta đ

x  x f  x 

i

   x k 1  .

c:

2 1 x2m

 

m

x 

i 0

i!



2 i

ex  m!.2 1   khi x   .
2

   xm1 

Trong đó m =  +  + 1. T đó suy ra

x x f  x   , ,   ฀ hay f
V y f  S ฀

1

.

Mai Th Thu Trang
19

 ,

 , ,   ฀ .

(1.7)


Khoá lu n t t nghi p

+ V i n tu ý ta có:
V i

đa

m i

ch

x   x1, x2 ,.., xn   ฀

  1, 2 ,..., n  ,

s
n

   1, 2 ,..., n 

và

x  x11 x22 ...xnn . Khi đó

thì

f  x   e x  e x1 e x2 ...e xn .
2

t

2

2

2

fi  x   e xi , i  1,n ta có f  x  f1  x f2  x ...fn  x  . Mà theo ch ng
2

  , i  1,n nên:

minh trên ta có fi  S ฀

n

xi xi fi  x   ,i  1,n,i , i  ฀
 f

 ,

V y f  S ฀

 sup x  x f  x   , đa ch s  ,  .
x฀

n

.

n



B đ 1.46. N u f  S(R n ) thì

x x f

 , 

x x f (x)  S(Rn ) và

c



     

f

 , 

      

V i m i đa ch s  ,  , ,   .
Ch ng minh
Cho f  S ฀

n

 khi đó theo đ nh ngh a không gian Schwartz ta có:
f

 ,

 sup x  f  x  c ,   .
x฀ n

V i m i đa ch s  ,  .

  
Ta l i có: x    x x f (x)   x      x     x f (x) 
     
  
  
    x   x      f ( x)   c.   f
     
      
    

V yb đ đ

c ch ng minh. 

Mai Th Thu Trang
20

 ,  

.


Khoá lu n t t nghi p

B đ 1.47. Cho m là m t s nguyên không âm, f  S ฀

n

 và

y ฀

n

là m t

đi m c đ nh. N u f và các đ o hàm đ n c p m c a nó tri t tiêu t i y thì t n

  sao cho:

t i h  S ฀

n

f  x 


 x  y h  x  ,x  ฀

 

.

(1.8)

m1

:

Ch ng minh. Cho   C0  ฀
y.

n

n



và   1 trong m t lân c n c a đi m

t f1   1    f , f2   f . Hi n nhiên hàm
h x   x  y

2m 2

f1  x   x  y

2m 2

f1  x   S ฀

h x  

n

 . Ta có:


 x  y P  x  yh x 

 
m1

:

Trong đó P là các đa th c. Suy ra hàm f1 bi u di n đ
theo công th c Taylor: f2  x  



 x  y ฀h  x  trong đó ฀h

 
:

n

đ ng th c trên v i ฀ ta đ

c s m r ng (1.8) cho f2 .

n

i d ng (1.8)
là các hàm

m1

tr n vô h n. n u ฀  C0  ฀

nh lý 1.48. S ฀



cd

và ฀  1 trên sup p thì nhân c hai v c a

 trù m t trong L  ฀ 
n

p

1 p   .

  S ฀  nên cl  C  ฀   cl  S ฀  .
M t khác theo đ nh lý 1. 42 ta có L  ฀   cl  C  ฀   . Suy ra
S ฀  trù m t trong L  ฀  . 
M nh đ 1.49. S ฀  không trù m t trong L  ฀  .
2. S h i t trong không gian S ฀ 
Ch ng minh. Do C0  ฀

n


0

n


0

n

p

n

n

p

n



n

Mai Th Thu Trang
21

n

n

n

n


Khoá lu n t t nghi p

nh ngh a 1.50. Ta nói r ng
không gian S ฀

n

 và vi t

 fk   S ฀ n 

S
fk 
 f n u f  fk

h i t v
 ,

f  S ฀

n



trong

 0 khi k   , v i m i

đa ch s  ,  .
S
* fk 
 f trong S ฀

m t metric trên S ฀

n

n



khi và ch khi   f , fk   0 trong đó  là

.

  f ,g  

f  g  ,

    !  1 

Mai Th Thu Trang
22

f  g  ,



.


Khoá lu n t t nghi p

1.5.
1.

o hàm suy r ng ( .h.s.r)

o hàm suy r ng
nh ngh a 1.51. Gi

f   x   L2,loc    đ

s

  1, 2 ,.., n  là m t đa ch s . Hàm

c g i là đ o hàm suy r ng c p  trong mi n   ฀

n

c a hàm f  x  L2,loc   , n u đ i v i hàm tu ý g C0    ta có:



 f  x D g x dx   1  f  x  g x dx .





B đ 1.52. Cho f  L2    n u


 f  x  g x dx  0,g  C   thì f  x  0
0



h u kh p n i trên  .

B đ 1.53. f  x   0 h u kh p n i trên ,   thì f  x   0 h u
kh p n i trên  .

2. Tính ch t c a đ o hàm suy r ng
Tnh ch t 1.54. N u hàm f có d. h. s. r c p  thì đ o hàm suy r ng c p 
c a f là duy nh t.

f có 2 d.h.s.r c p  là f1 , f2 trong

Ch ng minh. Th t v y gi s
mi n   ฀ n . Khi đó:




 f  x D g x  dx   1  f  x g x  dx
1





=  1





 f  x g x  dx, g C   .
2

0



T đó suy ra:




 f  x g x  dx   f  x g x  dx  0, g  C   
1



2

0



   f1  x   f2  x  g x  dx  0, g  C0   .


 f1  f2 h u kh p n i trên  , t đó ta có đi u ph i ch ng minh.

Mai Th Thu Trang
23

Khoá lu n t t nghi p

o hàm suy r ng c p  không ph thu c vào th t l y

Tinh ch t 1.55.
tích phân.

Tinh ch t 1.56. N u các hàm f1, f2 có đ o hàm suy r ng f1 , f2 trong mi n
 thì hàm s

f  c1 f1  c2 f2 c ng có đ o hàm suy r ng c p  trong  và

f   c1 f1  c2 f2 .
Ch ng minh. V i m i   C0   ta có:




  x   c f  x   c f  x  dx   c   x  f  x dx   c   x  f  x dx
1 1

2 2

1



1



2

2




 
=  1 c1  f1  x D  x  dx  c2  f2  x  D  x dx 
 


  1




 c f  x   c f  x D   x  dx
1 1

2 2



  1



 f  x  D   x  dx.





T đó ta có đi u phai ch ng minh. 
Ví d 1.57. Cho   B 0,1  x  ฀ n / x  1, f  x   x1 xác đ nh trên  ,
có các đ o hàm suy r ng c p 1:

f
f
 signx1;
 0,i  2,n .
x1
xi
Th t v y: V i m i i  2 thì f = const đ i v i bi n xi nên nó có đ o hàm suy
r ng

f
f
 0,i  2,n trên  .
 0 . Vì v y f có đ o hàm suy r ng
xi
xi

 

+ V i   C01  ta có:

 f  x






dx   f  x 
dx   f  x 
dx .
x1


x
x
1
1



trong đó    x  : x1  0,    x  : x1  0 , nên

 f  x






dx   x1
dx   x1
dx .

x1


x
x


1
1



Mai Th Thu Trang
24