Luận văn sư phạm Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ MINH

ĐỊNH LÍ CAYLEY-HAMILTON
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học
Th. PHẠM THANH TÂM

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành
khoá luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô
trong tổ Hình Học và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy,
em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Minh

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy Phạm
Thanh Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Định lí Cayley-Hamilton
và ứng dụng ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Minh


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Định nghĩa, tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính . . . . . . . . . . . .

17

2.1. Trị riêng, vectơ riêng và đa thức đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2. Không gian con bất biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Dạng chuẩn Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Chương 3.

Định lí Cayley- Hamilton và ứng dụng . .

35

3.1. Định lí Cayley- Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2. Ứng dụng của định lí Cayley- Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.1. Tính lũy thừa của ma trận vuông cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2. Tìm ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.3. Ứng dụng định lí Cayley- Hamilton để tính giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.4. Ứng dụng vào lũy thừa của ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.5. Ứng dụng cho vết của ma trận và định thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

46
50


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Định lí Cayley-Hamilton là một định lí hoàn toàn mới trong chương
trình đại số tuyến tính ở bậc đại học khối ngành sư phạm. Nó là một
trong những định lí đóng vai trò quan trọng bậc nhất trong đại số tuyến
tính.
Sau khi học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm, đặc
biệt là sau khi học xong môn đại số tuyến tính. Em mong muốn học hỏi
và tìm hiểu sâu thêm về định lí Cayley-Hamilton, và một số ứng dụng
của nó nhằm giải quyết một số vấn đề của đại số tuyến tính. Đồng thời,
có thể dùng làm tài liệu cho các bạn sinh viên khóa sau tham khảo mở
rộng kiến thức của mình.
Đồng thời rèn luyện tư duy logic, tính chính xác và cẩn thận cho
người học.
Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong

khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài “Định lí
Cayley-Hamilton và một số ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu về định lí Cayley-Hamilton và một số ứng dụng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Định lí Cayley- Hamilton và một số dạng bài có thể giải nhờ ứng dụng
định lí.

2


4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu định lí Cayley- Hamilton và một số dạng bài tập ứng dụng
của nó trong phạm vi của môn đại số tuyến tính.
5. Giả thuyết khoa học
Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng định lí Cayley- Hamilton làm thành
tài liệu giúp các bạn sinh viên khóa sau có thể thấy được vai trò của nó
trong môn đại số tuyến tính .
6.Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến định lí CayleyHamilton.
7. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.
8. Cấu trúc khóa luận
Khoá luận gồm 3 chương:
Chương 1. Ánh xạ tuyến tính.
Chương 2. Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính.
Chương 3. Định lí Cayley- Hamilton và ứng dụng.

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2013
Tác giả
Trần Thị Minh

3


Chương 1
Ánh xạ tuyến tính
1.1. Định nghĩa, tính chất.
Định nghĩa 1.1.1. Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K.
Ánh xạ f : V → W là một ánh xạ tuyến tính nếu:
f (α + β) = f (α) + f (β).
f (kα) = kf (α).
với mọi α, β ∈ V, k ∈ K. Một ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng

cấu tuyến tính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu.

Tính chất 1.1.2. Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó:

a) f (0) = 0.

b) f (−α) = −f (α), ∀α ∈ V.

c) f (λ1 α1 +λ2 α2 +...+λn αn ) = λ1 f (α1 )+λ2 f (α2 )+...+λn f (αn ), ∀α ∈ V.
Ví dụ 1.1.3. a) Ánh xạ 0 : V → W cho bởi 0(α) = 0, ∀α ∈ V là một

ánh xạ tuyến tính.

b) Ánh xạ tuyến tính đồng nhất idV : V → W; idV (α) = α là một ánh

xạ tuyến tính.

c) Ánh xạ đạo hàm
đa thức một ẩn x.

d
: R[x] → R[x] ; trong đó R[x] là không gian các
dx

d
(an xn + ... + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + ... + a1 .
dx
là một ánh xạ tuyến tính.
d) Cho A = (aij )m×n ∈ M at(m × n, K). Ánh xạ f : Kn → Kn cho bởi:
4










x
x
 .1 
 .1 

 ..  → A  .. 
 
 
xn
xn

n
là một ánh
 tuyến tính nếu coi mỗi vectơ (x1 , ..., xn ) ∈ K là một ánh
 xạ
x
 .1 
.
xạ cột: 
 . .

xn

e) Ánh xạ

f : R → R,

b = 0.

x → ax + b.
không phải là một ánh xạ tuyến tính.
Định lí 1.1.4. Giả sử V là không gian vectơ n- chiều.Khi đó mỗi ánh xạ
tuyến tính từ V vào W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nó qua một
cơ sở của V và W. Nói rõ hơn, giả sử (ǫ) = ǫ1 , ǫ2 , · · · , ǫn

là một cơ sở

của V và cặp β1 , β2 , ..., βn là n vectơ nào đó của W. Khi đó tồn tại một và
chỉ một ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho f (ǫi ) = βi , i = 1, 2, ..., n.
Chứng minh. Tồn tại: Nếu
α = x1 ǫ1 + x2 ǫ2 + ... + xn ǫn ∈ V.
ta đặt:
f (α) = x1 β1 + x2 β2 + ... + xn βn ∈ W.

thì dễ dàng thử lại rằng f : V → W là một ánh xạ tuyến tính và

f (ǫi ) = βi , i = 1, 2, ...n.

Duy nhất: Nếu có 2 ánh xạ tuyến tính f, g : V → W mà f (ǫi ) =

g(ǫi ) = βi , i = 1, 2, ..., n thì với mọi α =

n

i=1

5

xi ǫi ∈ V ta đều có:


n

f (α) = (

n

xi ǫ i ) =
i=1

n

xi f (ǫi ) =
i=1
n

=

xi g(ǫi ).
i=1

g(xi ǫi ) = g(α).
i=1

Vậy f = g.
Định nghĩa 1.1.5. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó f

được gọi là:

a) Một đơn cấu nếu f là đơn ánh.
b) Một toàn cấu nếu f là toàn ánh.
c) Một đẳng cấu nếu f là một song ánh.
Nếu f : V → W là một đẳng cấu thì f −1 : V → W cũng là một đẳng

cấu gọi là phép nghịch đảo của f . Do đó, ta cũng nói mỗi đồng cấu là

một đồng cấu khả nghịch.
Nếu có một đẳng cấu f : V → W thì ta nói V đẳng cấu với W và viết
V∼
= W.
Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian là một quan hệ tương đương.

Định lí 1.1.6. Cho V, W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường số K. Khi đó V đẳng cấu với W khi và chỉ khi dimV = dimW.
Chứng minh. Giả sử V ∼
= W, tức là có một đẳng cấu tuyến tính f : V →

W. Khi đó, nếu (α1 , ..., αn ) là một cơ sở của V thì (f (α1 ), ..., f (αn )) là
một cơ sở của W.
Thật vậy, mỗi vectơ β ∈ W có dạng β = f (α) với α nào đó trong W, vì

α có biểu thị tuyến tính α = a1 α1 + ... + an αn nên

β = f (α) = f (a1 α1 + ... + an αn ) = a1 f (α1 ) + ... + an f (αn ).
Nếu β còn biểu thị tuyến tính β = b1 f (α1 ) + ... + bn f (αn ) thì
α = f −1 (β) = b1 α1 + ... + bn αn .
6


Vì (α1 , ..., αn ) là một cơ sở của V cho nên a1 = b1 , ..., an = bn .
Vậy mỗi vectơ β biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ (f (α1 ), ..., f (αn ))
nên hệ này là một cơ sở của W. Nói cách khác dimV = dimW.
Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n. Chọn các cơ sở (α1 , ..., αn ) của
V và (β1 , ..., βn ) của W. Ánh xạ tuyến tính duy nhất ϕ : V → W được

xác định bởi ϕ(α1 ) = β1 , ..., ϕ(αn ) = βn là một đẳng cấu tuyến tính.

Thật vậy, nghịch đảo của ϕ là ánh xạ tuyến tính ψ : W → V được xác
định bởi điều kiện ψ(β1 ) = α1 , ..., ψ(βn ) = αn .

1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử V, W là những K- không gian vectơ hữu hạn
chiều. Gọi (e) = {e1 , ..., en } là một cơ sở của V, (ǫ) = {ǫ1 , ..., ǫn } là một
cơ sở của W. Theo định lí 1.1.4, mỗi ánh xạ tuyến tính f : V → W sẽ
được biểu diến duy nhất bởi hệ vectơ {f (ǫ1 ), ..., f (ǫn )}. Các vectơ f (ej )

lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở (ǫ) = {ǫ1 , ..., ǫn } của
W.

n

f (ej ) =

aij ǫi , j = 1, 2, ..., n.
i=1

trong đó các aij đều thuộc trường K.
Đặt A là ma trận xác định bởi:


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 
 = (aij )m×n .
A=
 .

. ···
. 


am1 am2 · · · amn

Khi đó A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W đối với

cặp cơ sở (e) và (ǫ).

Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính. Cho f : V → W là ánh

xạ tuyến tính có ma trận A = (aij )m×n đối với cặp cơ sở (e) và (ǫ).
7


Mọi vectơα ∈
 V có tọa độ (x1 , ..., xn ) trong cơ sở (e), viết dưới dạng
x
 .1 
.
cột: α = 
 . . Khi đó, tọa độ của vectơ f (α) ∈ W trong cơ sở (ǫ) là
xn

 
y
 .1 
.
(y1 , ..., yn ), viết dưới dạng cột: f (α) = 

 .  cho bởi công thức:
yn
y = Ax.


y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn



 y = a x + a x + ... + a x
2
21 1
22 2
2n n
⇔

..............................................



y = a x + a x + ... + a x
n
n1 1
n2 2
mn n

n
 yi =
aij xj
⇔

i=1

i = 1, 2, ..., m

(1)

(2)

Ta gọi công thức trên là biểu thị tọa độ của ánh xạ tuyến tính f đối
với cặp cơ sở (e) và (ǫ) đã cho. Thật vậy, ta có:
n

n

yi ǫi = f (α) = f (
i=1

n

i=1
n

=
j=1

m

m

aij ǫi ) =

xj (

xj f (ǫj ).

xj ǫj ) =
i=1
n

(

aij xj )ǫj .

i=1 j=1

i=1

Dạng (1) được gọi là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f ; dạng (2)
được gọi là dạng tường minh của f .

1.3. Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính.
Mệnh đề 1.3.1. Giả sử f : V → W là một đồng cấu. Khi đó ảnh bởi

f của mỗi không gian vectơ con của V là một không gian vectơ con của
8


W. Nghịch ảnh bởi f của mỗi không gian vectơ con của W là một không
gian vectơ con của V.
Chứng minh. Giả sử T là một không gian vectơ con của V. Khi đó

f (T ) = ∅, bởi vì nó chứa một vectơ 0. Hơn nữa, nếu α′ , β ′ là những vectơ
của f (T ) thì chúng có dạng: α′ = f (α), β ′ = f (β), trong đó α, β ∈ T .

Khi đó, vì f là một đồng cấu cho nên với vô hướng bất kì a ∈ K, ta có:
α′ + β ′ = f (α) + f (β) = f (α + β) ∈ f (T ).
aα′ = af (α) = f (aα) ∈ f (T ).

Vậy f (T ) là một không gian vectơ con của W.
Bây giờ, giả sử U là một không gian vectơ con của W. Khi đó,
f −1 (U ) = ∅ bởi vì nó cũng chứa vectơ 0. Nếu α, β ∈ f −1 (U ) thì
f (α), f (β) ∈ U . Vì f là một đồng cấu cho nên với mọi vô hướng a ∈ K,

ta có:

f (α + β) = f (α) + f (β) ∈ U
f (aα) = af (α) ∈ U.
Vì thế α + β và aα ∈ f −1 (U ). Vậy f −1 (U ) là một không gian vectơ con
của V.

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f : V → W là một đồng cấu.

(i)

Ker(f ) = f −1 (0) = x ∈ V : f (x) = 0 ⊂ V được gọi là hạt nhân

(hay hạch) của f . Số chiều của Ker(f ) được gọi là số khuyết của f .
(ii)

Im(f ) = f (V) = f (x) : x ∈ V ⊂ W. được gọi là ảnh của f . Số

chiều của Im(f ) được gọi là hạng của f và được kí hiệu là rank(f ).

Tính chất 1.3.3. a) Định lí 1. Đồng cấu f : V → W là một toàn cấu
nếu và chỉ nếu rank(f ) = dimW.

Chứng minh. Theo định nghĩa, f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im(f ) =
W. Vì Im(f ) là một không gian vectơ con của W, nên đẳng thức trên
9


tương đương với:
rank(f ) := dimf (V) = dimW.
Thật vậy, nếu f (V) = W thì hiển nhiên dimf (V) = dimW. Ngược lại,
giả sử dimf (V) = dimW. Do f (V) là một không gian vectơ con của W,
nên mỗi cơ sở của f (V) cũng là một hệ độc lập tuyến tính trong W với
số phần tử bằng dimf (V) = dimW. Nói cách khác, mỗi cơ sở của f (V)
cũng là một cơ sở của W. Vậy f (V) = W.
b) Định lí 2. Cho đồng cấu f : V → W khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i)

f là đơn cấu.

(ii)

Ker(f ) = {0}.

Ảnh bởi f của một hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ vectơ

(iii)

độc lập tuyến tính.
Ảnh bởi f của mỗi cơ sở của V là một hệ độc lập tuyến tính

(iv)
trong W.

Ảnh của một cơ sở nào đó của V là một hệ độc lập tuyến tính

(v)
trong W.

(vi) Rank(f ) = dimV.
Chứng minh. (i) → (ii): Giả sử α ∈ Ker(f ). Khi đó, f (α) = f (0) = 0.
Vì f là đơn cấu nên suy ra α = 0. Do đó Ker(f ) = {0}.

(ii) → (iii): Giả sử (α1 , ..., αk ) là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V.
Nếu có một quan hệ tuyến tính giữa các ảnh bởi f của các phần tử đó:
k

ai f (αi ) = 0
i=1

thì f (

k
i=1

(ai ∈ K),

ai αi ) = 0. Vì Ker(f ) = {0} cho nên

k
i=1

ai αi = 0. Từ đó, ta có:

a1 = ... = ak = 0, bởi vì hệ vectơ (α1 , ..., αk ) là độc lập tuyến tính. Như
10


vậy, (f (α1 ), ..., f (αk )) cũng độc lập tuyến tính.
(iii) → (iv) và (iv) → (v) là hiển nhiên.

(v) → (vi): Giả sử (α1 , ..., αn ) là một cơ sở của V sao cho (f (α1 ), ..., f (αn ))
là một hệ độc lập tuyến tính. Rõ ràng, hệ này sinh ra f (V). Ta có:
Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α1 ), ..., f (αn )) = n = dimV.
(vi) → (i) :Giả sử (α1 , ..., αn ) là một cơ sở của V. Ta có:
Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α1 ), ..., f (αn )) = dimV = n.
cho nên hệ vectơ (f (α1 ), ..., f (αn )) là độc lập tuyến tính. Giả sử

α=

bi αi và f (α) = f (β).

ai αi , β =
i

Khi đó:

i

0 = f (α) − f (β) = f (α − β) = f (
=
i

i

(ai − bi )αi ).

(ai − bi )f (αi ).

Từ đó, a1 = b1 , ..., an = bn , bởi vì (α1 ), ..., f (αk )) độc lập tuyến tính.
Điều này có nghĩa là α = β. Vậy f là đơn cấu.
c) Định lí 3. (Định lí đồng cấu các không gian vectơ). Giả sử f : V → W
là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ánh xạ f¯ : V/Ker(f ) → W cho bởi
f¯([α]) = f (α) là một đơn cấu, lúc này nó gây nên một đẳng cấu từ

V/Ker(f ) lên Im(f ).
Chứng minh. Trước hết, ta cần chỉ ra f¯ hoàn toàn xác định, nghĩa là
nó không phụ thuộc vào phần tử đại diện α của lớp [α] ∈ V/Ker(f ).

Thật vậy, nếu [α] = α′ , thì α − α′ ∈ Ker(f ) nên f (α − α′ ) = 0 suy
ra f (α) = f (α′ ). Vì f là một ánh xạ tuyến tính nên dễ dành kiểm tra f¯
cũng là một ánh xạ tuyến tính.
Giả sử có f¯ [α] = f¯ β ,thì f (α) = f (β) nên f (α− β) = f (α)−f (β) =
0. Từ đó, α − β ∈ Ker(f ) hay [α] = β . Vậy f¯ là một đơn cấu.
11

Từ định nghĩa của f¯ ta có Im(f¯) = Im(f ). Cho nên, nếu xét f¯ như
một đồng cấu từ V/Ker(f ) tới Im(f ) thì nó là một đẳng cấu.
d) Hệ quả 1. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của không gian
vectơ hữu hạn chiều V. Khi đó:

dimV = dimKer(f ) + dimIm(f ).
Chứng minh. Theo định lí 3, ta có:
dimIm(f ) = dimIm(f¯) = dimV/Ker(f ) = dimV − dimKer(f ).
⇒ V = dimKer(f ) + dimIm(f ).
e) Hệ quả 2. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, với
mọi không gian vectơ con U của V ta có:

dimf (U ) ≤ dimU.
Chứng minh. Xét các hạn chế f |U của ánh xạ f trên không gian vectơ

con U , ta có:

dimU = dimKer(f |U ) + dimIm(f |U ) ≥ dimIm(f |U ) = dimf (U )
⇒dimf (U ) ≤ dim(U ).
f) Định lí 4. Giả sử f : V → W là một tự đồng cấu của không gian
vectơ hữu hạn chiều V. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i)

f là một đẳng cấu.

(ii)

f là một đơn cấu.

(iii)

f là một toàn cấu.

Chứng minh. Theo định lí 2, thì f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f ) =
{0}. Theo định lí 1, ta có f là đơn cấu khi và chỉ khi dimIm(f ) = dimV.
Mà dimV = dimIm(f ) + dimKer(f ) ⇒ f là đơn ánh khi và chỉ khi
dimKer(f ) = 0 hay dimV = dimIm(f ) tức là f là toàn cấu.

⇒ (ii) tương đương với (iii), do đó chúng cùng tương đương với (i).
12


Mệnh đề 1.3.4. Giả sử (e) = {e1 , ..., en } và (ǫ) = {ǫ1 , ..., ǫn } là hai cơ
sở của không gian vectơ V, C là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở

(ǫ) và f : V → V là một tự đồng cấu của V. Khi đó, nếu f có ma trận A

trong cơ sở (e), có ma trận B trong cơ sở (ǫ) thì ma trận A đồng dạng
với ma trận B. Nói cách khác, ta có: B = C −1 AC.
Chứng minh. Giả sử C = (ckj ), A = (ajk ), B = (bli ) thì ta có:
n

ǫj =

ckj ek ,

j = 1, ..., n.

ajk ej ,

k = 1, .., n.

bli ǫl ,

i = 1, ..., n.

k=1
n

f (e k ) =
j=1
n

f (ǫi ) =
l=1

Khi đó, ta có:
n

n

f (ǫi ) = f (

cki ek ) =
k=1

cki f (ek ).
k=1

n

n

=

n

ajk ej ) =

cki (

(

ajk cki )ej .

i=1 k=1

j=1

k=1

n

Mặt khác:
n

n

bli ǫl =

f (ǫi ) =
l=1

n

bli (
l=1

n

cjl ej ) =
j=1

n

(

cjl bli )ej .

j=1 l=1

Từ hai đẳng thức trên, ta suy ra:
n

n

ajk cki =
k=1

cjl bli .

i = 1, .., n;

j = 1, ..., n.

l=1

Vậy A.C = C.B. Do đó, C khả nghịch nên ta có B = C −1 AC.
Hệ quả 1.3.5. a) Hai ma trận đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng
là ma trận của cùng một tự đồng cấu, của một không gian vectơ trong
13


cơ sở tương ứng nào đó của không gian này.
b) Định thức của ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính trong những
cơ sở khác nhau của không gian là như nhau.
Định nghĩa 1.3.6. Cho f ∈ End(V). Gọi A = (aij )m×n là ma trận của

f trong một cơ sở nào đó của V. Ta gọi:

a) detA là định thức của tự đồng cấu f và kí hiệu là detf .
b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vết
của f , kí hiệu là tr(f ):

n

tr(f ) =

aii .
i=1

Ta cũng gọi số này là vết của ma trận A, kí hiệu là tr(A).
Tính chất 1.3.7 (Tính chất của vết ma trận). a) Tuyến tính. Cho
A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:
tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
tr(c.A) = c.tr(A)
b) Giao hoán. Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n
hàng và m cột, thì
tr(AB) = tr(BA).
c) Vết của ma trận liên hợp. Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì,
cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch. Liên hợp của A theo P là
P AP −1 , khi đó:
tr(A) = tr(P AP −1 ).
như vậy khi lấy liên hợp thì vết của nó không thay đổi.
d) Vết của ma trận chuyển vị. Cho A là ma trận vuông cáp n bất
kì, At là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:
tr(A) = tr(At ).

14


1.4. Bài tập.
Bài tập 1.1. Cho Rn [x] là không gian các đa thức một ẩn x gồm đa
thức không và các đa thức có bậc ≤ n, n nguyên dương.
a) Chứng minh rằng, phép lấy đạo hàm

d
dx

: Rn [x] → Rn [x] cho bởi :

d
(a0 + a1 x + ... + an xn ) = a1 + 2a2 x + ... + nan xn−1 .
dx
d
d
là một tự đồng cấu của . Hãy tìm Im( ) và Ker( ).
dx
dx
d
trong cơ sở {1, x, ..., xn } của Rn [x].
b) Viết ma trận của dx
Bài tập 1.2. Tự đồng cấu f có ma trận là :


1 2 0 1


3 0 −1 2

A=
2 5 3 1  .


1 2 1 3
trong cơ sở {e1 , e2 , e3 , e4 } của V.

Tìm ma trận của f trong cơ sở {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 }
của V.

Bài tập 1.3. Trong không gian vectơ M at(2 × 2, K) cho ma trận A =
a b
. Chứng minh rằng các ánh xạ nhân bên trái với A, nhân bên
c d
phải với A:
ϕ : M at(2 × 2, K) → M at(2 × 2, K).
X → AX.
ψ : M at(2 × 2, K) → M at(2 × 2, K).
X → XA.

đều là những tự đồng cấu của M at(2 × 2, K). Hãy tìm ma trận của ϕ, ψ

trong cơ sở của M at(2 × 2, K) gồm ma trận:
A1 =

1 0
0 0

A2 =

0 1

A3 =

0 0
15

0 0
1 0

A4 =

0 0
0 1


Bài tập 1.4. Cho f : V → V là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f 2 = f .

Chứng minh rằng V = Ker(f ) + Im(f ).

Bài tập 1.5. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp. Chứng minh
rằng vết của AB bằng vết của BA.
Bài tập 1.6. Chứng minh rằng các ma trận của một tự đồng cấu trong
hai cơ sở của không gian la trùng nhau khi và chỉ khi ma trận chuyển
giữa hai cơ sở đó giao hoán với ma trận của đồng cấu đã cho trong hai
cơ sở nói trên.
Bài tập 1.7. Giả sử ϕ và ψ là các tự đồng cấu của không gian vectơ
hữu hạn chiều V. Chứng minh rằng ϕψ là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu
ϕ và ψ là các đẳng cấu. Khi đó: (ϕψ)−1 = ψ −1 ϕ−1 .

16


Chương 2
Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính
2.1. Trị riêng, vectơ riêng và đa thức đặc trưng.
Cố định một không gian vectơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 và một tự
đồng cấu tuyến tính f : V → V.

Định nghĩa 2.1.1. Số thực λ được gọi là trị riêng của f nếu tồn tại

vectơ v = 0 sao cho
f (v) = λv.
Khi đó, v được gọi là vectơ riêng của f ứng với trị riêng λ.
Định nghĩa 2.1.2. Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông
A cấp n nếu tồn tại một vectơ v = 0 sao cho
Av = λv.
Khi đó v được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
Ví dụ.
a). Mọi vectơ khác 0 đều là vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính thuần
nhất hoặc ánh xạ 0. Với ánh xạ tuyến tính đồng nhất giá trị riêng là 1,
còn ánh xạ 0 giá trị riêng là 0.
b). Nếu f là phép quay trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc
0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá trị riêng nếu α = π. Nếu
α = π thì nó có giá trị riêng là -1 và mọi vectơ khác vectơ 0 đều là vectơ
riêng.
Định nghĩa 2.1.3. Đa thức đặc trưng của f , kí hiệu là Pf (t), được định
nghĩa là định thức của ánh xạ f − t · id, trong đó id là ánh xạ tuyến tính

đồng nhất. Để đơn giản, ta quy ước phép vị tự · id sẽ được kí hiệu là λ.
17


Định lí 2.1.4. Cho A ∈ M at(n × n, K) là ma trận trên trường K. Khi

đó đa thức đặc trưng của A là PA (t) có dạng:

PA (t) = |A − tI| = (−t)n + c1 (−t)n−1 + c2 (−t)n−2 + ... + c0 .
trong đó các ck tương ứng là các định thức con cấp k của ma trận A.
Định lí 2.1.5. Số thực λ là trị riêng của f khi và chỉ khi nó là nghiệm
của đa thức đặc trưng Pf (t).

Chứng minh. Xét đa thức đặc trưng Pf (t) = 0. Cố định một cơ sở (e) =
{e1 , ..., en } của V và kí hiệu A là ma trận của f , [x] là tọa độ của x theo

cơ sở này. Khi đó det(A − λ) = 0. Từ đó hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất

(A − λIn )[x] = 0.

có nghiệm không tầm thường. Nghiệm của hệ này cũng chính là vectơ
riêng của f ứng với trị riêng λ.
Ngược lại, giả sử v = 0 là nghiệm của hệ (A − λIn )[x] = 0 ta có:
(A − λIn )[v] = 0 ⇔ A[x] − λ[v] = 0 ⇔ A[v] = λ[v].
Suy ra λ chính là giá trị riêng của f .
Để đơn giản bài toán, ta chỉ xét các tự đồng cấu f mà đa thức đặc
trưng của f có đủ các nghiệm thực. Khó khăn duy nhất mà chúng ta
phải đối mặt là đa thức này có thể có nghiệm bội.
Định lí 2.1.6. Giả thiết Pf (t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λi . Khi
đó, tồn tại một cơ sở mà ma trận của f là ma trận đường chéo với các
phần tử trên đường chéo là các số λi .
Chứng minh. Giả sử tồn tại duy nhất các vectơ riêng vi ứng với các λi .
Ta chỉ cần chứng minh các vectơ vi là độc lập tuyến tính. Ta sẽ chứng
minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1, vectơ riêng v1 = 0 nên {v1 } độc lập tuyến tính.
18


Giả sử định lí đúng với đối với hệ gồm n − 1 vectơ. Ta phải chứng minh

định lí đúng với hệ gồm n vectơ.

Xét hệ vectơ riêng v1 , ..., vn ứng với n vectơ riêng đôi một khác nhau
λ1 , ..., λn . Nếu có:
a1 v1 + ... + an vn = 0.

(1)

⇒f (a1 v1 + ... + an vn ) = f (0).
⇒a1 f (v1 ) + ... + an f (vn ) = 0.
⇒a1 λ1 v1 + ... + an λn vn = 0.

(2)

Nhân (1) với (−λn ) rồi cộng vào đẳng thức (2) ta nhận được
a1 (λn − λ1 )v1 + ... + an−1 (λn − λn−1 )vn−1 = 0.
Theo giả thiết quy nạp, hệ v1 , ..., vn−1 độc lập tuyến tính cho nên ta có:
a1 (λn − λ1 ) = ... = an−1 (λn − λn−1 ) = 0.
Do λn − λi = 0 với i = 1, ..., n − 1 từ đó suy ra a1 = ... = an−1 = 0. Thay
các giá trị này vào (1) ta được an vn = 0. Vì vectơ riêng vm = 0 nên suy

ra am = 0. Hay ta có:
a1 = ... = an = 0.
Vậy các vectơ vi độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 2.1.7. Ánh xạ f được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tại
một cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đường
chéo. Nói cách khác, f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toàn
những vectơ riêng của f .
Định nghĩa 2.1.8. Ma trận A ∈ M at(n × n, K) đồng dạng với một ma

trận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được trên K.

Như vậy A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũng
chéo hóa được. Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) sao cho
C −1 AC được gọi là việc chéo hóa ma trận A.
19


Định lí 2.1.9. Tự đồng cấu f của K- không gian vectơ n chiều V chéo
hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i)

Đa thức Pf (t) có đủ các nghiệm thực trên trường K. Tức là, đa

thức Pf (t) phân tích được thành
Pf (t) = (−1)n (t − λ1 )s1 ...(t − λm )sm .
trong đó λ1 , ..., λm là các số đôi một khác nhau.
(ii)

Mỗi λi là nghiệm bội si thì hệ phương trình (f − λi )(x) = 0 có

si nghiệm độc lập tuyến tính. Tức là không gian vectơ (f − λi )(x) = 0
có số chiều là si .

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f chéo hóa được. Tức là, ma trận A
của f trong một cơ sở nào đó của V là một ma trận chéo với si phần tử
trên đường chéo bằng λi , i = 1, .., m trong đó λi đôi một khác nhau và
n = s1 + ... + sm . Khi đó:
Pf (t) = PA (t) = (λ1 − t)s1 ...(λm − t)sm .

= (−1)n (t − λ1 )s1 ...(t − λm )sm .

Do (A − λi In ) là một ma trận chéo, với si phần tử trên đường chéo bằng

λi − λi = 0, các phần tử còn lại bằng λj − λi = 0 với j = i. Vì thế:
rank(f − λi idV ) = rank(A − λi In ) = n − si ,
với i = 1, ..., m.
Tức là, không gian vectơ (f − λi )(x) = 0 có số chiều là si .

Điều kiện đủ: Chọn một hệ đầy đủ các vectơ độc lập tuyến tính đối với si
tương ứng là x1i , ..., xsii , i = 1, ..., m. Khi đó hệ vectơ x1i , ..., xsii là độc
lập tuyến tính hay nói cách khác là một cơ sở của không gian nghiệm
của hệ (f − λi )(x) = 0.
Không gian nghiệm của hệ (f − λi )(x) = 0 được gọi là không gian

riêng của f ứng với trị riêng λi . Kí hiệu là Vλi . Như vậy, nếu ánh xạ f
20


chéo hóa được thì V được triển khai duy nhất thành tổng trực tiếp
V=

Vλi
i

sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian Vλi là một phép vị tự.
Thật vậy, theo định lí 2.1.6 ta có các vectơ riêng ứng với các giá trị
riêng đôi một khác nhau thì lập thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính
cho nên



V ∩

i=j



Vλi  = {0} .

Mặt khác s1 + ... + sn = n nên ta có:

V = Vλ1 ⊕ ... ⊕ Vλm .
Với mỗi i = 1, ..., m, ta lấy {ei1 , ..., eisi } là một cơ sở của Vλi là một cơ

sở gồm toàn những vectơ riêng.

Hệ quả 2.1.10. Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V chiều
n. Khi đó:
(i) f chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm các vectơ riêng.
(ii) Nếu f có n giá trị riêng khác nhau thì f chéo hóa được.

2.2. Không gian con bất biến.
Định nghĩa 2.2.1. Không gian con U ⊂ V được gọi là bất biến đối với

f (hoặc ổn định với f ) nếu f (U ) ⊂ U .

Ý nghĩa của không gian con bất biến nằm ở chỗ, khi tìm được một
không gian con bất biến ta sẽ thu được một mô tả đơn giản hơn về f .
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử U là không gian con bất biến đối với ánh xạ f .
Khi đó ta có các mệnh đề sau:
21

(i)

Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ f có dạng đường

chéo khối
A B
0 D
với A, B, D là các ma trận khối, trong đó A, D là các ma trận vuông và
A có kích thước bằng số chiều của U .
(ii)

Kí hiệu W là không gian thương của V theo U . Khi đó f cảm

sinh một ánh xạ:
fW : W → W.
v¯ → fW (¯
v ) = f (v).
ở đây v¯ kí hiệu lớp ghép v + U trong W.
(iii)

Kí hiệu fU là hạn chế của f trên U . Khi đó đa thức đặc trưng

của f là tích của fU và fW .
Pf (t) = PfU (t)PfW (t).
Chứng minh. (i). Chọn một cơ sở (u) = (u1 , ..., ur ) của U và mở rộng
thành một cơ sở của V bằng cách bổ sung các phần tử (w) = (w1 , ..., ws ).
Theo giả thiết f (ui ) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vectơ uj

bởi một ma trận A. Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các f (wk ) có thể
B
. Vậy theo cơ sở
biểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng
D
(u, w), ánh xạ f có ma trận với dạng đã khẳng định.
(ii). Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ fW được định nghĩa đúng.
Thật vậy, nếu v1 và v2 có hiệu thuộc U , nghĩa là cùng xác định một phần
tử trong W, thì theo giả thiết f (v1 ) − f (v2 ) = f (v1 − v2 ) cũng thuộc U ,
do đó f (v1 ) và f (v2 ) cũng xác định một phần tử trong W.

(iii). Xét cơ sở của V như trong (i). Khi đó ma trận của fU theo cơ sở
U là A và
PfU (t) = det(A − t).
22