Luận văn sư phạm Không gian định chuẩn lồi đều

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của
mình tới thầy giáo hướng dẫn- Th.S Hoàng Ngọc Tuấn, người đã hướng
dẫn tận tình và thường xuyên động viên em trong quá trình hoàn thành khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa
Toán đã tạo điều kiện và đóng góp ý kiến để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp.
Do thời gian và khuôn khổ cho phép của đề tài còn hạn chế nên chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của quý thầy cô và các bạn để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Trần Thị Hà


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là kết của nghiên cứu của riêng tôi và có sự
hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn.
Khóa luận với đề tài: “Không gian định chuẩn lồi đều” chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Trần Thị Hà

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Không gian định chuẩn
lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1. Modul lồi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. Sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn . . . . . . . . .

23

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1936 Clarkson đã đặt nền móng cho một hướng nghiên cứu rất quan
trọng trong Giải tích toán học đó là “ Hình học các không gian Banach”. Đây
là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều vấn đề trong khoa học kỹ thuật.
Năm 1948 các khái niệm modul lồi (moduls of convexity), đặc trưng lồi
(Characteristic of convexity) được xuất hiện, đã thu hút nhiều nhà toán học
nghiên cứu về quan hệ giữa modul lồi, đặc trưng lồi và không gian định
chuẩn lồi đều như: Bynum, Day, James, Goebel,. . .
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa modul lồi,
đặc trưng lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trong
không gian định chuẩn lồi đều, với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
Th.S Hoàng Ngọc Tuấn tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
“Không gian định chuẩn lồi đều”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một bài tổng quan về modul
lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trong không gian
định chuẩn lồi đều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là :

- Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul và đặc trưng lồi trong không gian
định chuẩn. Nghiên cứu các đặc trưng của không gian định chuẩn lồi đều.
- Nghiên cứu sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn lồi đều.

1


4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là modul lồi, không gian định chuẩn lồi đều và sự
biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn lồi đều.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu
6. Đóng góp mới
Đây là bài tổng quan về không gian định chuẩn lồi đều và sự biểu diễn
hữu hạn trong không gian định chuẩn. Giúp người đọc hiểu được khái niệm
về không gian định chuẩn lồi đều, các tính chất, đặc trưng của không gian
lồi đều và sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn lồi đều.
7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận
được triển khai theo 2 chương:
Chương 1: Kiến thức mở đầu.
Chương 2: Không gian định chuẩn lồi đều.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về
không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, một số tính
chất quan trọng và ví dụ minh họa về các không gian này.

1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian vectơ trên trường K (K= R hoặc
K= C), ánh xạ . : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu:
(i)

x ≥ 0 với mọi x ∈ X;

(ii)

x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ );

(iii)

λ x = |λ | x với mọi x ∈ X và với mọi vô hướng λ ∈ K;

(iv)

x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác).

Một không gian vectơ cùng với một chuẩn (X, . ) được gọi là một
3


không gian tuyến tính định chuẩn (hay đơn giản là không gian định chuẩn).
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim xn − x = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn → x

n→∞

n→∞

(n → ∞).
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ

bản (hay dãy Cauchy), nếu lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. C [0, 1], không gian các số giá trị thực liên tục trên đoạn [0, 1]
là một không gian Banach với chuẩn
f

∞

= sup {| f (t)| : t ∈ [0, 1]} = max {| f (t) : t ∈ [0, 1]|} .

Thật vậy, dễ kiểm tra được C [0, 1] là một không gian định chuẩn.
Xét một dãy cơ bản { fn }∞
n=1 trong C [0, 1]. Vì | f k (t) − f l (t)| ≤ f k − f l ,

nên dãy { fn (t)}∞
n=1 là một dãy cơ bản với mọi t. Đặt f (t) = lim ( f n (t)).
n→∞

Khi đó f là liên tục và fn hội tụ đều đến f . Cho ε > 0, có n0 sao cho

| fn (t) − fm (t)| ≤ ε với mọi t ∈ [0, 1] và mọi n, m ≥ n0 . Cố định n ≥ n0 và
cho m → ∞, ta được | fn (t) − f (t)| ≤ ε với mọi n ≥ n0 và mọi t ∈ [0, 1].

Lấy t0 ∈ [0, 1] và ε > 0 cố định. Chọn δ > 0 để fn0 (t) − fn0 (t0 ) < ε khi
|t − t0 | < δ . Thế thì

| f (t) − f (t0 )| ≤ f (t) − fn0 (t) + fn0 (t) − fn0 (t0 ) + fn0 (t0 ) − f (t0 )
< 3ε

khi |t − t0 | < δ .

Bởi vậy, f ∈ C [0, 1] và { fn } hội tụ đều (theo chuẩn . ) tới f . Do đó C [0, 1]

là không gian Banach.

4


Không gian C (K) các hàm vô hướng liên tục trên không gian compact
K, cho bởi chuẩn supremum, lập thành một không gian Banach .
Định nghĩa 1.5. Hai chuẩn .

1

và .

2

trên không gian tuyến tính X gọi là

tương đương nếu tồn tại hai số dương α, β sao cho:
α x

1

≤ x

2

≤ β x 1 , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.6. Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {xn } ⊂ X. Ta

gọi chuỗi là biểu thức dạng:

x1 + x2 + ... + xn + ....

(∗)

∞

Chuỗi (∗) thường viết là ∑ xn .
n=1
k

Biểu thức sk = ∑ xn ,, (k = 1, 2...) là tổng riêng thứ k của chuỗi.
n=1

Nếu tồn tại lim sk = s thì chuỗi (∗) được gọi là hội tụ và s là tổng của
k→∞
∞

chuỗi (ta viết s = ∑ xn ).
n=1

Chuỗi (∗) được gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi sau hội tụ:
x1 + x2 + ... + xn + ...
Định lý 1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi
trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
Định nghĩa 1.7. Một dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là

bị chặn nếu có hằng số C sao cho xn ≤ C với mọi n ∈ N.

Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian định chuẩn. Nếu dãy {xn }∞
n=1 ⊂ X là

dãy Cauchy, thì bị chặn trong X

5


Định nghĩa 1.8. Tập các hàm số F được gọi là liên tục đồng bậc trên không
gian định chuẩn X nếu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀ f ∈ F, ∀x ∈ X,
x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0 ) < ε.
Định nghĩa 1.9. Tập X0 = 0/ gọi là không gian định chuẩn con của không
gian định chuẩn X, nếu X0 là không gian tuyến tính con của không gian X
và chuẩn xác định trên X0 là chuẩn xác định trên X.

Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì X0 được gọi là
không gian định chuẩn con đóng của không gian X.
Định nghĩa 1.10. Cho Y là không gian con đóng của không gian định chuẩn
X và tập xˆ = {z ∈ X : (x − z) ∈ Y } = {x + y ∈ Y }. Khi đó không gian X Y =
{xˆ : x ∈ X} với chuẩn xˆ = inf { x : x ∈ x}
ˆ được gọi là không gian định
chuẩn thương của X theo Y.

Cho X = (X, . ) là không gian định chuẩn. Ta có một số ký hiệu sau:
• Tập BX = {x ∈ X : x ≤ 1} là hình cầu đơn vị đóng của X.
• SX = {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của X.
• conv (M) là bao lồi của M, conv (M) là bao lồi đóng của M.
• Cho tập M ⊂ X, span (M) là bao tuyến tính của M (tức là, giao của tất
cả các không gian con tuyến tính của X chứa M). span (M) là bao lồi

đóng tuyến tính của M.
Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian định chuẩn. X là hữu hạn chiều nếu
và chỉ nếu hình cầu đơn vị đóng BX của X là compact.
Định nghĩa 1.12. Không gian định chuẩn X được gọi là tách được (hay khả
ly) nếu trong không gian X tồn tại một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi.
6


Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là
trường số thực hoặc trường số phức). Ánh xạ T từ không gian X vào không
gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ T thỏa mãn:
(i)

∀x, x′ ∈ X : T (x + x′ ) = T x + T x′ .

(ii)

∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = K thì toán
tử T thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.14. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính T
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu, tồn tại hằng số C > 0
sao cho: T x ≤ C x , ∀x ∈ X.

(**)

Định nghĩa 1.15. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số C ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn

hệ thức (**) gọi là chuẩn của toán tử T, ký hiệu T , được xác định bởi
T = sup { T (x)

Y

: x ∈ BX }.

Không gian B (X,Y ) biểu thị không gian vectơ của tất cả các toán tử tuyến
tính bị chặn từ X vào Y. Nếu X = Y , ta viết B (X) = B (X,Y ). Dễ chứng minh
được B (X,Y ) là một không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.2. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. ba mệnh đề sau tương đương:
(i)

T là liên tục;

(ii)

T liên tục tại mọi điểm x0 nào đó thuộc X;

(iii) T bị chặn.
Từ đó, ta có B (X,Y ) là không gian vectơ tất cả các toán tử tuyến tính
liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y
7


Định nghĩa 1.16. Một toán tử T ∈ B (X,Y ) được gọi là một đẳng cấu tuyến

tính nếu T là một song ánh và T −1 ∈ B (Y, X).

Không gian định chuẩn X, Y là đẳng cấu (đẳng cấu tuyến tính) nếu có

một đẳng cấu tuyến tính T từ X lên Y.
Định nghĩa 1.17. Một toán tử T ∈ B (X,Y ) được gọi là phép đẳng cự tuyến

tính nếu T (x)

Y

= x

X

với mọi x ∈ X.

Không gian X, Y được gọi là đẳng cự nếu tồn tại một phép đẳng cự tuyến
tính T từ X lên Y.
Định nghĩa 1.18. Cho không gian định chuẩn X trên trường K. Ta gọi không
gian I (X, P) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không
gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và ký hiệu X ∗ .
Ta có không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không
gian Banach.
Không gian liên hợp của không gian X ∗ là không gian liên hợp thứ hai
của không gian định chuẩn X và ký hiệu là X ∗∗ .
Định lý 1.2. Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là
tách được thì không gian X tách được.
Định nghĩa 1.19. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ, nếu
X = X ∗∗ .
Định lý 1.3. Không gian phản xạ là không gian Banach và không gian con
đóng của không gian phản xạ là không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.20. Không gian ℓn∞ là không gian vect n chiều của tất cả n bộ
vô hướng với chuẩn supremum
x = (x1 , ..., xn ) ∈ ℓn∞ thì x

∞

.

∞

được định nghĩa với

= max {|xi | : i = 1, ..., n}.
8

Chú ý rằng ℓn∞ là một trường hợp đặc biệt của C (K), trong đó K = 1, ..., k.
Để định nghĩa lớp không gian ℓ p với p < ∞, ta cần các bất đẳng thức sau.
Định nghĩa 1.21. (Bất đẳng thức Holder)
1
1
+ = 1. Thế thì với mọi ak , bk ∈ K,
Cho p, q > 1 sao cho
p
q
k = 1, ..., n, ta có
n

n

∑ |ak bk | ≤

k=1

∑ |ak |

p

1
p

.

k=1

n

∑ |bk |

1
q

q

.

k=1

Với p = 2, q = 2, bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
1 1
a p bq
Mệnh đề 1.3. Cho p, q > 1 sao cho + = 1. Thế thì ab ≤
+
với
p q
p
q
mọi a, b ≥ 0.
Chứng minh. Xét đồ thị của các hàm y = x p−1 , x ≥ 0 và các diện tích A1 của

miền bị chặn bởi đường cong y = x p−1 , y = 0, x = a và

A2 của miền bị chặn bởi các đường cong y = x p−1 , x = 0, y = b. Rõ ràng,
1
bq

ap
b q−1
a p−1
q−1
p−1
= y , ta được A2 = 0 y dy = .
A1 = 0 x dx = . Từ x = y
p
q
q
p
b
a
+ .
Từ đồ thị của các hàm y = x p−1 ta được ab ≤ A1 + A2 =
p
q
Chứng minh. Định lý 1.5: Giả sử ai , bi ≥ 0 và không phải tất cả ai và bi đều

bằng 0. Với k = 1, ..., n, kí hiệu
ak

Ak =
n

1
p

n

j=1
n

k=1

k=1

1
q

.

q
∑ bj

p
∑ aj

n

bk

và Bk =

j=1

Ta chú ý rằng ∑ Akp = ∑ Bqk = 1. Từ mệnh đề 1.3, ta có với k = 1, ..., n
thì Ak Bk ≤

1 p 1 q

A + B . Cộng các bất đẳng thức với k = 1, ..., n ta được
p k q k
9


n

∑ Ak Bk ≤

k=1

1 n p 1 n q 1 1
∑ A + ∑ B = + = 1.
p k=1 k q k=1 k
p q

Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Minkowski)
Cho p ∈ [1, ∞). Thế thì với mọi ak , bk ∈ K, k = 1, ..., n, ta có
1
p

n

p
∑ |ak + bk |

≤

k=1

1
p

n

p
∑ |ak |

+

k=1

Định nghĩa 1.22. Cho p ∈ [1, ∞). Không gian
chiều K n với chuẩn xác định bởi x

p

p
∑ |bk |

k=1
ℓnp là

n

p
∑ |xi |

p=

Theo bất đẳng thức Minkowski, .

n

1
p

1
p

.

không gian vectơ n

.

i=1

là chuẩn trên X.

Định nghĩa 1.23. Cho p ∈ [1, ∞). Không gian ℓ p = ℓ p (N) biểu thị không
gian vectơ của tất cả các dãy giá trị vô hướng x = {xi }∞
i=1 thỏa mãn

p
∑ |xi | < ∞ với chuẩn x

∞

p

=

p
∑ |xi |

1
p

.

i=1

Cho x = (xi )∞
i=1 là dãy vô hướng. Ta định nghĩa giá của x là supp (x) =

{i : xi = 0}.
Định nghĩa 1.24. Không gian ℓ∞ = ℓ∞ (N) biểu thị không gian vectơ của
tất cả các dãy giá trị vô hướng bị chặn với chuẩn xác định bởi
x

∞

= sup {xi : i ∈ N} .

Không gian c00 là không gian con của ℓ∞ bao gồm tất cả x = (xi ) sao
cho supp(x) là hữu hạn.
Không gian c = c (N) là không gian con của ℓ∞ bao gồm tất cả x = (xi )
sao cho lim (xi ) tồn tại và là hữu hạn.
i→∞

Không gian c0 = c0 (N) là không gian con của ℓ∞ bao gồm tất cả x = (xi )
sao cho lim (xi ) = 0.
i→∞

10


Chú ý rằng c0 là bao đóng của c00 trong ℓ∞ . Hơn nữa nếu x = (xi ) thuộc
c0 hoặc c00 , thì x = max {|xi | : i ∈ N}.
Định nghĩa 1.25. Cho p ∈ [1, ∞). Không gian L p = L p [0, 1] biểu thị không

gian vectơ của lớp tất cả các hàm số vô hướng f xác định và khả tích
Lebesgue trên [0, 1] sao cho
f

1
0 |f
p

(t)| p dt < ∞, với chuẩn
1
0 |f

=

p

(t)| dt

1
p

.

Định nghĩa 1.26. Không gian L∞ = L∞ [0, 1] biểu thị không gian vectơ của
tất cả các lớp hàm f khả tích và bị chặn hầu khắp nơi (tức là, ess sup (| f |) <

∞), với chuẩn f

∞

= ess sup (| f |).

Cho không gian đo được (Ω, µ) và p ∈ [1, ∞], không gian L p (Ω, µ) (hay

ký hiệu là L p (µ)) là tập tất cả các hàm x (t) đo được theo độ đo µ trên tập
Ω sao cho tích phân |x (t)| p dµ hội tụ.
Ω

Định nghĩa 1.27. Không gian (∑ ℓn∞ )2 biểu thị không gian vectơ của tất
cả các dãy giá trị vô hướng, với chuẩn xác định bởi: ∀x = (xi ) ∈ (∑ ℓn∞ )2 ,

∀xi ∈ ℓi∞ (i = 1, 2, ...) , x =

∞

∑ xi2 .

i=1

Mệnh đề 1.4.
1. Nếu p ∈ [1, ∞), thì không gian ℓ p và không gian L p là tách được.
2. Không gian c và c0 là các không gian tách được.
3. Không gian ℓ∞ và không gian L∞ không tách được.
4. Không gian C [0, 1] tách được.
Mệnh đề 1.5.
11


1. Với p ∈ [1, ∞], không gian ℓ p là một không gian Banach.
2. Không gian c và c0 là không gian con đóng của ℓ∞ và do đó chúng là
các không gian banach.
3. Không gian L p , L p (µ) là các không gian Banach với p ∈ [1, ∞).
4. Không gian L∞ là không gian banach.
Mệnh đề 1.6. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Nếu Y là không gian
Banach thì B (X,Y ) cũng là không gian banach.

1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.28. Một tích vô hướng trên một không gian vectơ X là một
hàm giá trị vô hướng ·, · trên X × X sao cho:
(i)

Với mọi y ∈ X, hàm x → x, y là tuyến tính;

(ii)

x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;

(iii)

x, x ≥ 0 với mọi x ∈ X;

(iv)

x, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.

Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho x, y là một tích vô hướng trên không gian vectơ X.
(i)

Với x, y ∈ X, ta có | x, y | ≤

(ii) Hàm x =

x, x

y, y .

x, x là một chuẩn trên X.

Chứng minh. (i): Nếu y, y = 0, ta có y = 0 và bất đẳng thức thỏa mãn.
Giả sử y, y > 0. Thế thì

12


| x, y |2
x, y
x, y

0 ≤ x−
y, x −
y = x, x −
,
y, y
y, y
y, y
và thỏa mãn bất đẳng thức trên.
(ii): Ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức tam giác. Với x, y ∈ X, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x, x + y, y + x, y + y, x
= x, x + y, y + 2Re x, y ≤ x, x + y, y + 2 | x, y |
= x, x + y, y + 2
=

x, x +

x, x
2

y, y

y, y

= ( x + y )2 .

Định nghĩa 1.29. Một không gian Banach H được gọi là không gian Hilbert

nếu có một tích vô hướng trên H sao cho x =

x, x với x ∈ H.

Định lý 1.6. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H
đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) = x, a , x ∈ H
trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và f = a.
Định nghĩa 1.30. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tử A ánh xạ không gian Y vào
không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử T, nếu:
T x, y = x, Ay , ∀x ∈ X,
Toán tử liên hợp A thường ký hiệu là T ∗ .

13

∀y ∈ Y .


Chương 2

Không gian định chuẩn
lồi đều

Trong chương này chúng ta sẽ xét modul lồi trong không gian định
chuẩn, sự biểu diễn hữu hạn trong không gian định chuẩn và một số ví dụ
minh họa.

2.1. Modul lồi trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 2.1. Cho (X, . ) là một không gian Banach. Với mọi ε ∈ (0, 2],

ta định nghĩa modul lồi (hoặc độ tròn) của . bởi
δX (ε) = inf 1 −

x+y
: x, y ∈ BX , x − y ≥ ε .
2

14


Chuẩn . được gọi là lồi đều (UC) (hoặc tròn đều (UR)) nếu δX (ε) > 0
với mọi ε ∈ (0, 2]. Khi đó không gian (X, . ) được gọi là không gian lồi đều.
Chú ý rằng δX (ε) = inf {δY (ε) : Y là không gian con hai chiều của X}.
Bổ đề 2.1. Cho (X, . ) là không gian Banach và δ (ε) là modul lồi của
. . Thế thì
δ (ε) = inf 1 −

x+y
: x, y ∈ SX , x − y = ε .
2

Chứng minh. [10] Trước tiên, chú ý rằng nếu x, y ∈ BX và x − y ≥ ε thì có
x+y
x′ + y′
=
và x′ − y′ = ε. Do đó, ta xét
x′ , y′ trên đoạn [x, y] sao cho
2
2

′
′
x, y ∈ BX với x − y = ε. Ta còn phải chứng minh rằng
sup { x + y : x, y ∈ BX , x − y = ε} = sup { x + y : x, y ∈ SX , x − y = ε}.

Giả sử u0 , v0 ∈ BX thỏa mãn u0 + v0 = sup { x + y : x, y ∈ BX , x − y = ε} .
Ta sẽ chỉ ra rằng u0 , v0 ∈ SX . Ngược lại giả sử v0 < 1.

Kí hiệu A = {ω ∈ BX : ω − u0 = ε}. Cho x∗ ∈ SX ∗ là hàm số sao cho

x∗ (u0 + v0 ) = u0 + v0 . Thế thì, với ω ∈ A, ta có x∗ (u0 + ω) ≤ u0 + ω ≤

u0 + v0 = x∗ (u0 + v0 ). Từ v0 < 1, dẫn đến x∗ đạt cực đại địa phương

trên A tại v0 . Bởi vậy, x∗ (v0 − u0 ) = v0 − u0 = ε. Khi đó ta được u0 ≤
1
1
( u0 + v0 + v0 − u0 ) = (x∗ (u0 + v0 ) + x∗ (v0 − u0 )) = x∗ (v0 ) < 1.
2
2
Điều này là không thể. Thật vậy, lấy δ = 12 min (1 − u0 , 1 − v0 ) > 0,
ta có u′ = u0 + δ (u0 + v0 ) ∈ BX , v′ = v0 + δ (u0 + v0 ) ∈ BX , u′ − v′ = ε
và u′ + v′ = (1 + 2δ ) u0 + v0 > u0 + v0 , mâu thuẫn với giả thiết.
Lưu ý rằng nếu x = y = 1 và x − y = ε, thì
ε
x+y
y−x
y−x
= x+
≥ x −

≥ 1−
2
2
2
2

15


ε
với mọi ε ∈ [0, 2].
2
Dễ thấy ℓk1 và ℓk∞ không lồi đều. Do đó, c0 , ℓ1 và ℓ∞ là không lồi đều.

và do đó ta có δ (ε) ≤

Mặt khác, nếu H là không gian Hilbert và . là chuẩn Hilbert của H, thì .
là lồi đều.
Thật vậy, sử dụng đẳng thức hình bình hành, ta có với ε ∈ (0, 2],
x+y
: x, y ∈ SX , x − y = ε
2

δ (ε) = inf 1 −


= inf 1 −


1

x
2

2

+ y

2

−

2

x−y
2

: x, y ∈ SX , x − y = ε

ε2
>0
1−
4

= 1−





Định lý 2.1. ([7]) Cho (Ω, µ) là không gian đo được. Nếu p ∈ (1, ∞), thì

L p (µ) là lồi đều.

Trong chứng minh, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất trong không gian
một chiều như sau.
Tính chất 2.1.1. Cho p ∈ (1, ∞) và ε > 0. Có δ˜ (ε) > 0 sao cho nếu các số
x, y ∈ R thỏa mãn |x − y| ≥ ε max {|x| , |y|}, thì
x+y
2

p

< 1 − δ˜ (ε)

|x| p + |y| p
.
2

Chứng minh. Bởi tính đồng nhất, ta có thể giả sử rằng x = 1 và 1−ε ≥ y ≥ 0.

Ta có

f (y) =

1+y
2

1+y p
2

p ′

−

=
1+y
2

1+y
2

p
2

p

p−1

> 2p y p−1 =

1+y p
2

′

với y ∈ (0, 1). Do đó

là hàm giảm trên [0, 1]. Bởi vậy f (y) ≥ f (1 − ε) >

f (1) = 0 với y ∈ (0, 1 − ε), và tồn tại δ˜ (ε) như trên.

16


1
Chứng minh. Định lý 2.1: Lấy ε ∈ (0, 2] đã cho và δ = δ˜ ε.4− p

từ Tính

chất 2.1.1. Cho x, y ∈ L p (µ) , x , y ≤ 1 và x − y ≥ ε. Đặt

M = {ω : ε p (|x (ω)| p + |y (ω)| p ) ≤ 4|x (ω) − y (ω)| p }.
p

Ta định rằng max

p

|x| dµ, |y| dµ

εp

≥

1 +1
p

.

2
Giả sử nhận định trên là đúng, ta có thể hoàn thành chứng minh như sau.

M

M

Sử dụng tính lồi của hàm |x| p , Tính chất 2.1.1 và nhận định trên, ta có

Ω

≥
≥

p

|x (ω)| p + |y (ω)| p
x (ω) + y (ω)
−
2
2

M

|x(ω)| p + |y (ω)| p
x (ω) + y (ω)
−
2
2
δ

M

dµ

|x (ω)| p + |y (ω)| p
2

dµ ≥

p

dµ

δεp
1

2 p +1

Vậy thì,
x (ω) + y(ω) p
dµ ≤
2

|x (ω)| p + |y (ω)| p
εp
dµ − δ 1
2
2 p +2

≤ 1−δ
1
p

Do đó ta có
x + y ≤ 1 − δ ε1 +2
2
2p

εp
1

2 p +2
1
p

δ (ω) ≥ 1 − 1 − δ

, bởi vậy
εp
2

1 +2
p

p

> 0.

Để chứng minh nhận định trên, xét phần bù M c của tập M. Ta có
εp
|x (ω) − y (ω)| p dµ ≤
(|x (ω)| p + |y (ω)| p ) dµ
4 MC

MC
εp
εp
p
p
(|x (ω)| + |y (ω)| ) dµ ≤ .
≤
4 Ω
2
17


εp
. Do đó
Bởi vậy, sử dụng x + y ≥ ε, ta có [ M |x (ω) − y (ω)| dµ ≥
2
1
x − y M ≥ ε2− p , trong đó . M là chuẩn của L p (M, µ).
p

Vậy max { x

1 ε
}
≥
. .
M
2 2 1p

M, y

Tính chất 2.1.2. Cho (X, . ) là không gian banach. Những điều sau là
tương đương:
1. X là lồi đều;
2

2. Nếu xn , yn ∈ X, n ∈ N, lim 2 xn
n→∞

+ 2 yn

{xn }, thì lim xn − yn = 0.

2

− xn − yn

2

= 0, và

n→∞

3. Nếu xn , yn ∈ BX , n ∈ N, và lim xn + yn = 2, thì xn − yn = 0.
n→∞

Chứng minh. Ta chứng minh từ (3) ⇒ (2). Cho {xn } , {yn } ⊂ X, {xn } bị

chặn và lim 2 xn

2

n→∞

2 xn

2

+ 2 yn

2

+ 2 yn

2

− xn − yn

− xn − yn

2

≥ 2 xn

2

2

= 0. Từ sự đánh giá

+ 2 yn

2

−

xn + yn

2

= ( xn − yn )2 ≥ 0,
dẫn đến lim ( xn − yn ) = 0 và do đó {yn } bị chặn. Từ những điều trên
n→∞

ta có thể giả sử rằng lim xn = lim yn = a. Nếu a = 0, ta có điều phải
n→∞

n→∞

chứng minh.
Giả sử a > 0, khi đó
xn
yn
+
xn
yn

xn + yn → 2a. Ta có

→ 2. Từ (3),

yn
xn
−
xn
yn

yn
xn
,
xn
yn

∈ BX , và

→ 0, do đó xn − yn → 0.

Ví dụ 2.1 Định nghĩa một chuẩn tương đương | . | trên C [0, 1] bởi
|f|

2

= f

2

∞+

f

2
2,

trong đó .

∞

18

là chuẩn supremum của C [0, 1] và


.

2

là chuẩn của L2 [0, 1]. Khi đó | . | là chuẩn lồi chặt trên C [0, 1]. Xét

các hàm fn ≡ 1 và gn với mọi n, trong đó gn là đường gấp khúc xác định
1
n,1

bởi các điểm (0, 1) ,

, (1, 1). Dễ dàng kiểm tra rằng fn , gn không có các

tính chất của tập lồi. Do đó, | . | không lồi đều.
Định nghĩa 2.2. Cho (X, . ) là một không gian Banach. Với τ > 0, ta định
nghĩa modul trơn của . ,
x + τh + x − τh − 2

: x = h =1 .
2

ρ (τ) = sup

ρ(τ)
τ→0 τ

Ta nói rằng . là trơn đều nếu lim

= 0. Khi đó ta nói rằng (X, . ) là

không gian trơn đều.
Lưu ý rằng 2 x = (x + τh) + (x − τh) ≤ x + τh + x − τh , do đó

ρ là một hàm không âm.

Một chuẩn . là trơn đều nếu với mọi ε > 0 có δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ SX và y ∈ δ BY ta có x + y + x − y ≤ 2 + ε y .

Rõ ràng, một không gian con của không gian trơn đều là trơn đều.

Định nghĩa 2.3. Cho (X, .

X)

và (Y, .

Y)

là hai không gian định chuẩn

thực. Cho S ⊆ X là tập mở khác rỗng, f : S → Y và x ∈ S. Nếu, ∀h ∈ X, giới
hạn

f ′ (x) (h) = lim

λ →0

f (x + λ h) − f (x)
λ

tồn tại, ở đây f ′ (x) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y, thì f ′ (x) được
gọi là đạo hàm Gateaux của f tại x và f được gọi là khả vi Gateaux tại x.
Định nghĩa 2.4. Cho (X, .

X)

và (Y, .

Y)

là hai không gian định chuẩn

thực. Cho S ⊆ X là tập mở khác rỗng, f : S → Y và x ∈ S. Nếu có hàm số

tuyến tính liên tục f ′ (x) : X → Y với

19

lim

h X →0

f (x + h) − f (x) − f ′ (x) h
h X

Y

= 0,

thì f ′ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và f được gọi là khả vi Fréchet
tại x.
Tính chất 2.1.3. Cho (X, . ) là không gian Banach. Những điều sau là
tương đương:
(i)

X là trơn đều.

(ii)

Gới hạn lim

t→∞

mọi x, h ∈ SX .

x + th − x
= x ′ (h) ∈ X ∗ tồn tại không đổi với

t

(iii) Chuẩn là khả vi Fréchet trên SX và ánh xạ x → x

′

từ SX vào SX∗

là liên tục đều.

Định nghĩa 2.5. Cho f là hàm nhận giá trị thực trên một tập mở U của
không gian Banach X.
Ta nói rằng f là hàm khả vi Gateaux (UG) đều trên U nếu với mọi h ∈ SX

f (x + th) − f (x)
= f ′ (x) (h) ∈ X∗ là không đổi tại x ∈ U.
t→∞
t
Ta nói rằng f là hàm khả vi Fréchet (UF) đều trên U nếu giới hạn đó là

giới hạn lim

không đổi tại x ∈ U và h ∈ SX .
Lưu ý rằng f là khả vi Fréchet đều trên tập lồi mở U nếu và chỉ nếu nó
là khả vi Fréchet tại mọi điểm của U và ánh xạ x → f ′ (x) liên tục đều từ U
vào X ∗ .

Chuẩn . của không gian Banach X được gọi là khả vi Fréchet đều
(hoặc UF-trơn), tương ứng khả vi Gateaux (hoặc UG-trơn), nếu . là khả
vi Fréchet (tương ứng khả vi Gateaux) đều trên SX .

Bổ đề 2.2. ([14]) Cho (X, . ) là không gian Banach và cho δ (ε) là modul
lồi của . và ρ ∗ (τ) là modul trơn của chuẩn đối ngẫu . ∗ . Khi đó, với mọi
20


τ > 0,
ε
ρ (τ) = sup τ − δ ∗ (ε) : 0 < ε ≤ 2 .
2
Tương tự, cho ρ (τ) là modul trơn của . và δ ∗ (ε) là modul lồi của chuẩn
đối ngẫu . ∗ . Thế thì, với mọi τ > 0,
ε
ρ (τ) = sup τ − δ ∗ (ε) : 0 < ε ≤ 2 .
2
ε
Chứng minh. Với mọi ε ∈ (0, 2] và τ > 0 ta có δ (ε) + ρ ∗ (τ) ≥ τ .
2
Thật vậy, cho x, y ∈ SX sao cho x − y ≥ ε. Chọn f , g ∈ SX ∗ sao cho
f (x + y) = x + y và g (x − y) = x − y . Từ định nghĩa của ρ ∗ (τ), ta có
2ρ ∗ (τ) ≥ f + τg

∗

+ f − τg

∗

−2

≥ ( f + τg) (x) + ( f − τg) (y) − 2

= f (x + y) + τg (x − y) − 2
= x + y + τ x − y − 2 ≥ x + y + τε − 2
Do đó 2 − x + y ≥ τε − 2ρ ∗ (τ). Bởi vậy, từ định nghĩa của δ (ε) ta có
ε
ε
δ (ε) + ρ ∗ (τ) ≥ τ . Vậy, ρ ∗ (τ) ≥ sup λ − δ (ε) : 0 < ε ≤ 2 .
2
2
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, cho τ > 0 và f , g ∈ SX ∗ . Với
η > 0, tồn tại x, y ∈ SX sao cho ( f + τg) ≥ f + τg
f − τg

∗

− η.Do đó

1
( f + τg
2

∗

+ f − τg

∗

∗

− η và ( f − τg) (y) ≥

τ
1
( f (x + y) − 2) + g (x − y) + η
2
2
x+y
τ
≤
−1 +
x−y +η
2
2
τ
x−y +η
≤ −δ ( x − y ) +
2
ε
≤ sup t − δ (ε) : 0 < ε ≤ 2 + η.
2

− 2) ≤

21


ε
Vì vậy ρ ∗ (τ) ≤ sup τ − δ (ε) : 0 < ε ≤ 2 , vì η > 0 tùy ý.
2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đối với không gian Hilbert H, ta có ρH (τ) =

√

1 + τ 2 − 1; Đặc biệt, H

là trơn đều. Thực tế, không gian Hilbert là không gian lồi đều lớn nhất và là
không gian trơn đều lớn nhất; chính xác hơn, với mọi không gian Banach X,
√
2
ta có δX (ε) ≤ 1 − 1 − ε4 và ρX (τ) ≥ 1 + τ 2 − 1 [7].
Định lý 2.2. [5] Cho (X, . ) là không gian Banach và (X ∗ , . ∗ ) là không
gian đối ngẫu của nó. Ta có:
1. Chuẩn . là lồi đều nếu và chỉ nếu .

∗

là khả vi Fréchet đều.

2. Chuẩn . là khả vi Fréchet đều nếu và chỉ nếu .

∗

là lồi đều.

Chứng minh. (1): Cho (X, . ) là không gian lồi đều với modul lồi δ (ε),
và cho ρ ∗ (τ) là modul trơn của . ∗ . Lấy ε0 > 0 cho trước. Từ định nghĩa
của δ (ε), ta có δ (ε) ≥ δ (ε0 ) > 0 với mọi ε ∈ [ε0 , 2]. Cho

ε δ (ε)
ε δ (ε0 )

ε
−
≤ −
≤ − 1 ≤ 0,
2
τ
2
τ
2

τ ∈ (0, δ (ε0 )). Với ε ∈ [ε0 , 2], ta có

từ Bổ đề 2.2,

ρ ∗ (τ)
= sup
τ
0<ε<ε0

ε δ (ε)
−
2
τ

≤ sup

0<ε<ε0

ε
ε0

= .
2
2

ρ ∗ (τ)
Do đó lim
= 0.
τ→0
τ
Ngược lại, nếu . không lồi đều, thì có ε0 > 0 sao cho δ (ε0 ) = 0. Thế
thì, từ Bổ đề 2.2, ta có với mọi τ > 0
ρ ∗ (τ) = sup

ετ
ε0 τ
− δ (ε) ≥
2
2

22