Luận văn sư phạm Làm đầy một không gian định chuẩn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (710.29 KB, 33 trang )
Khoá lu n t t nghi p
L ic m n
B n khoá lu n t t nghi p này là b
nghiên c u khoa h c.Tr
c đ u tiên đ em làm quen v i vi c
c s b ng và g p nhi u khó kh n khi m i b t
đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c,em đã nh n đ
c s giúp
đ đ ng viên c a các th y cô giáo và các b n sinh viên khoa Toán.
c bi t
em xin g i l i c m n sâu s c đ n PGS.TS. GVCC. Nguy n Ph Hy, đã
giúp đ em hoàn thành bài khoá lu n này.
Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Toán đã t o đi u
ki n đ em có c h i t p d
c v i vi c nghiên c u khoa h c.
Xuân Hoà, tháng 5 n m 2007
Sinh viên
ng Th Chinh
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
l i cam đoan
Tôi xin cam đoan k t qu đ tài :"Làm đ y m t không gian đ nh
chu n"đ m b o tính chính xác, khách quan, khoa h c, không trùng v i k t
qu c a tác gi khác.
N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m.
Xuân Hoà, tháng 5 n m 2007
Sinh viên
ng Th Chinh
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
L im đ u
Gi i tích hàm là m t ngành toán h c đ
c xây d ng vào n a đ u th k
XX, đây là ngành gi i tích Toán h c. N i dung c a nó là s h p nh t c a lí
thuy t t ng quát xu t phát t vi c m r ng m t s khái ni m và k t qu c a
gi i tích và đ i s . Trong đó đi u đáng chú ý nh t là tác gi c a các đ i t
đang đ
ng
c kh o sát gi ng nh không gian th c t i trong các m i quan h này
hay các m i quan h khác.
n nay gi i tích hàm đã đ t đ
cm ts n i
dung h t s c quan tr ng:
- Lý thuy t v các không gian tr u t
ng
- Lý thuy t v toán t tuy n tính
- Lý thuy t v n i suy toán t
- Lý thuy t v gi i tích hàm suy tuy n, gi i g n đúng ph
ng trình
tuy n tính
Ph
ng pháp c a gi i tích hàm là tiên đ hoá nh ng tính ch t đ c
tr ng c a t p s th c thành các không gian t
ng ng và m r ng các v n đ
c b n c a gi i tích c đi n vào nh ng không gian đó.
Gi i tích hàm có ý ngh a quan tr ng b i s
lí lí thuy t hi n đ i, đ c bi t trong c h c l
V i mong mu n đ
là b
ng d ng c a nó trong v t
ng t .
c nghiên c u và tìm hi u sâu h n v môn này và
c đ u ti p c n v i nghiên c u khoa h c, em đã ch n đ tài: “Làm đây
không gian đ nh chu n”.
Trong khoá lu n này em đã trình bày n i dung sau:
Ch
ng 1. Không gian đ nh chu n CL[a,b]
Ch
ng 2. Làm đ y không gian đ nh chu n
hoàn thành b n khoá lu n này, m c dù em đã h t s c c g ng song
do còn h n ch v th i gian và ki n th c nên khoá lu n không tránh kh i
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
nh ng thi u sót. Em r t mong nh n đ
c s đóng góp ý ki n c a th y cô và
b n bè.
CH
NG 1 : KHÔNG GIAN đ NH CHU N Cl a , b
l
1.1. Không gian tuy n tính đ nh chu n C a , b
1.1.1.
nh ngh a 1.1.1: (Không gian tuy n tính )
Gi s P là tr
ng s th c R hay tr
ng s ph c .T p
X cùng v i hai ánh x ( g i là phép c ng và phép nhân vô
h
ng ).
Phép c ng:
X X X
(x,y)
Phép nhân vô h
( x,y X )
x+ y
ng : P X
( .x)
X
.x ( P, x X)
G i là m t không gian tuy n tính ,n u các tiên đ sau tho mãn:
10: ( x,y X) : x+ y= y+ x
;
20: ( x,y,z X): (x+ y)+ z = x+ (y+ z);
30: ( X )( x X) x+ =x
;
( g i là ph n t không c a X)
40: ( x X) ( -x X) x+(-x)= ;
( -x g i là ph n t đ i c a x )
50: ( x,y X)( P) .(x+ y )= x+ y
;
60: ( x X)( , P) ( + ).x = x + x ;
70: ( x X) ( , P) : ( . ).x= .( x)
80 : ( x X)
;
1.x= x ;
N u P= R thì X g i là không gian tuy n tính th c
N u P= thì X g i là không gian tuy n tính ph c
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
l
1.1.2. Xây d ng không gian tuy n tính C a , b
Cl a , b = x= x(t): x(t) là các hàm liên t c trên đo n [a,b]
l
a)
a vào t p C a , b hai phép toán :
y= y(t) C a , b , R :
l
l
x= x(t) C a , b ,
Ta g i t ng c a 2 ph n t
x và y ,kí hi u x+ y
x+ y=x(t)+y(t)
Ta g i tích c a ph n t
x v i s ,kí hi u .x
.x = .x(t)
l
b) Các phép toán trên đóng kín trong C a , b .
l
Th t v y: x= x(t) C a , b
l
, y= y(t) C a , b ,
R.
Khi đó theo tính ch t các hàm s liên t c ta có
x(t)+ y(t);
.x(t) đ u là các hàm liên t c trên đo n [a,b].
Do đó x+ y C a , b ; .x C a , b
l
l
l
Suy ra các phép toán xây d ng trên đómg kín trong C a , b
l
c) C a , b cùng v i hai phép toán trên là m t không gian
tuy n tính.
Th t v y:
Ki m tra tiên đ 1
0
l
l
x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b .Ta có
V i m i t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên
x(t)+y(t) = y(t)+x(t).
Suy ra x+ y= y+ x
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
V y tiên đ 10 đ
c tho mãn .
Ki m tra tiên đ 2
0
l
l
l
x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b , z= z(t) C a , b
V i m i t [a,b] thì x(t), y(t), z(t) R nên
( x(t)+y(t) )+ z(t) =
x(t)+(y(t) + z(t))
( x+ y) +z = x+( y+ z ).
V y tiên đ 20 đ
c tho mãn .
Ki m tra tiên đ 3 :
0
Xét = (t)=0 , t [a,b]
Hi n nhiên C a , b , x=x(t) C a , b , ta có:
l
l
V i m i t [a,b] thì x(t) R nên :
x(t) +0 = 0+ x(t)= x(t)
x+ = + x= x .
V y tiên đ 30 đ
c tho mãn , và ph n t đ
c g i là
l
ph n t không c a C a , b .
Ki m tra tiên đ 4 :
0
l
l
x= x(t) C a , b ,đ t y= -x(t) . Rõ ràng y C a , b
V i m i t [a,b] thì x(t) R và -x(t) R ,nên
x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0
x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 , t [a,b] .
x+ y = .
Ph n t y đ
c g i là ph n t đ i c a x , kí hi u –x
V y tiên đ 40 đ
c tho mãn
Ki m tra tiên đ 5 :
0
x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b , R ta
l
ng Th Chinh
l
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
có :
V i m i t [a,b] thì x(t) ,y(t) R , nên :
.( x(t)+y(t) )= .x(t)+ .y(t).
V y tiên đ 50 đ
c tho mãn
Ki m tra tiên đ 6 :
0
x= x(t) C a , b , , R , ta có :
l
V i m i t [a,b] thì x(t) R nên :
( + ).x(t) = .x(t)+ .x(t)
( + ).x= .x+ .x .
V y tiên đ 60 tho mãn .
Ki m tra tiên đ 7 :
0
x= x(t) C a , b , , R , ta có :
l
V i m i t [a,b] thì x(t) R nên :
( .x( t ) )=( . ). x(t)
( x)=( . .)x ,
V y tiên đ 70 đ
c tho mãn.
Ki m tra tiên đ 8 :
0
l
x= x(t) C a , b , ta có:
V i m i t [a,b] thì x(t) R nên :
1.x(t) = x(t) ,
1.x = x.
V y tiên đ 80 đ
c tho mãn.
l
V y C a , b cùng v i hai phép toán trên l p th nh m t
không gian tuy n tính trên tr
ng Th Chinh
ng s th c R .
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
1.2 Không Gian
1.2.1
l
nh Chu n C a , b
nh ngh a 1.2.1 (Không gian đ nh chu n ).
Ta g i không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính đ
cùng v i m t ánh x t t p X vào t p R ,kí hi u là . và đ c là
chu n, tho mãn các tiên đ sau:
1o : ( x X) :
x 0
x =0 x= (ký hi u ph n t không c a X là
)
20: ( x X) ( P): .x = . x ;
30 : ( x,y X) x y x y
;
S x đ c là chu n c a vect x
Các tiên đê 10 ,20, 30 g i là h tiên đ chu n
Kí hi u không gian đ nh chu n : X hay (X, . );
l
1.2.2. Xây d ng không gian đ nh chu n C a , b
l
a) Ta đ a vào không gian tuy n tính C a , b chu n c a ph n
l
t x= x(t) C a , b , kí hi u x xác đ nh
b
x = x(t ) dt
(1)
a
l
D th y quy t c cho b i (1) là m t ánh x t C a , b vào R
b) Ch ng minh ánh x t
Cl a , b vào R xác đ nh b i (1)
tho mãn h tiên đ chu n
Th t v y:
x t CL x t CL x
a ,b
a ,b
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
Ki m tra tiên đ 1 :
o
l
x= x(t) C a , b do x(t ) 0
Bây gi ta ch ra
t [a,b]. nên
b
x(t ) dt =0 x(t ) 0 , t[a,b].
a
Th t v y ,chi u ng
c l i là hi n nhiên.
b
x(t ) dt =0 (*) và gi
N u
s t0 a.b sao cho
a
x(t0) 0.Khi đó , c, d a , b , t0 c, d sao cho
x(t ) 0, t c, d .T đó và t :
b
d
x(t ) dt x(t ) dt 0 ( mâu thu n v i (*) ). V y x(t ) 0, t a , b
c
a
T đó và t tính liên t c c a hàm x(t ) , x(t ) 0, t a , b .
V y
b
x(t ) dt =0 x(t ) 0 , t[a,b].
a
Hay x(t ) 0 x(t ) 0, t a , b
V y tiên đ 10 tho mãn.
Ki m tra tiên đ 2 :
0
x= x(t) C a , b , R ,Ta có : .x= .x(t);
l
b
b
b
.x = .x(t ) dt = x(t ) dt = . x(t ) dt = x
a
a
a
.x = x .
V y tiên đ 20 tho mãn
Ki m tra tiên đ 3 :
0
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
l
l
x= x(t) C a , b , y= y(t) C a , b ,
l
x+ y=x(t)+y(t) C a , b ,
b
b
b
b
a
a
a
a
x y = x(t ) y(t ) dt x(t ) y(t ) dt = x(t ) dt + y(t ) dt = x + y
xy x y
V y tiên đ 30 tho mãn
l
K t lu n : (C a , b , . ) là không gian đ nh chu n.
l
1.3. nh lí :Không gian đ nh chu n C a , b không đ y.
1.3.1.Các khái ni m c b n :
nh ngh a 1.3.1:
Dãy đi m (xn) trong không gian đ nh chu n X g i là h i t t i đi m
x X n u
lim x x =0 .Kí hi u lim xn= x hay xn x ( n )
n n
n
nh ngh a 1.3.2 :
Dãy đi m (xn) c a không gian đ nh chu n X g i là dãy c b n n u
lim xn xm . =0.
n , m
nh ngh a 1.3.3:
Không gian đ nh chu n X g i là không gian Banach n u m i dãy c
b n trong X đ u h i t .
1.3.2.Ch ng minh đ nh lí:
Th t v y: Trong không gian CL ta xét dãy ( xn (t )) nh sau:
a ,b
1
ng Th Chinh
v i a t
10
a b
,
2
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
a b 1
a b
t
2
2
2n
1+(a+b)n-2nt v i
xn(t) =
v i
0
a b 1
tb
2
2n
(n * )
.
a) Ta ch ng minh xn(t) CLa ,b
Th t v y :
V it
[a;
V it
(
( a b ;
2
a b
2
) thì xn(t) =1 nên xn(t) liên t c trên [a;
a b a b
;
2
2
+
a b
2
)
1
) thì xn(t) nên xn(t)=1+(a+ b)n-2nt liên t c trên
2n
a b 1
+ )
2n
2
(
V it
T i t=
a b
2
a b
2
a b 1
1
;b] thì xn(t) =0 nên xn(t) liên t c trên (
+ ;1].
2n
2n
2
+
ta có xn(
a b
2
)=1 ,
lim
xn(t) = lim
(1+(a+ b)-2nt)=1 =xn( 1 )
a b
a b
t (
)
2
t (
2
2
)
lim
xn(t)= lim
1=1 = lim
xn(t)
a b
a b
a b
t (
2
)
t (
)
2
t (
V y xn(t) liên t c tai t=
a b
T i t=
t (
2
+
t (
2n
)
)
a b
.
2
1
a b 1
,ta có xn(
+ )=0 , n * .
2n
2n
2
lim
(xn(t))=
a b 1
2
2
t (
a b 1
lim
0 =0=xn(
+ );
a b 1
2
2n
2
)
2n
a b 1
lim
1 (a b)n 2nt =0= xn(
(xn(t)) = lim
+ ).
a b 1
a b 1
2
2n
)
ng Th Chinh
t (
2
2n
)
10
2
2n
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
V y xn(t) t i t=
a b
2
+
1
.
2n
Do v y xn(t) liên t c trên đo n [a,b] .Suy ra xn(t) C
L
[a,b]
L
b) Dãy ( xn (t )) là dãy c b n trong C [a,b]
n1
m= n+ p , p * ta có :
Th t v y: m,n * , gi s
b
xm xn xn (t ) xm(t ) dt
a
a b 1
2 2n
a b
2
=
xn (t ) xm (t ) dt +
xn (t ) xm (t ) dt +
a b
2
a b 1
2 2n
a
a b
2
1 1 dt +
xn (t ) xm (t ) dt
a b 1
2 2n
a b
2
a
=
b
b
xn (t ) xm (t ) dt +
0 0 dt
a b 1
2 2n
a b 1
2 2n
=
xn (t ) xm (t ) dt
a b
2
Vì xn (t ) xm(t ) 1 , t [a,b] nên
xn xm =
a b 1
2 2n
xn (t ) xm (t ) dt
a b 1
2 2n
a b
2
a b
2
dt =
1
2n
1
hay xn xm
0 ( n )
2n
Do đó dãy ( xn (t )) là m t dãy c b n
n1
c. Dãy ( xn ) không h i t trong C
L
[a,b]
.Th t v y :
L
Gi s dãy ( xn (t )) h i t t i m t hàm x(t) nào đó trong C [a,b] ,t c là
n1
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
xn x 0 (n ) ,hay
a b
2
xn (t ) x(t ) dt 0 (n )
a
Tích phân này có th vi t
a b
2
b
xn (t ) x(t ) dt +
ph i có:
a b
2
b
xn (t ) x(t ) dt 0 (n ) và
xn (t ) x(t ) dt
cho nên ta
xn (t ) x(t ) dt 0 (n )
a b
2
a
hay
a b
2
a
lim xn (t ) x(t ) trong không gian
n
CL[a, a b ]
2
L
xn (t ) x(t ) trong không gian C [ a b ,b]
Và lim
n
2
Nh ng rõ ràng
a b
2
xn (t ) 1 dt 0 (n ) ,
b
xn (t ) 0 dt 0 (n )
a b
2
a
xn (t ) 1 trong không gian C
V y lim
n
L a b
]
[a,
2
L
xn (t ) 0 trong không gian C [ a b ,b]
Và lim
n
2
V y x(t) và 1 cùng là gi i h n c a dãy ( xn (t )) trong không gian
CL[a, a b ]
2
L
x(t) và 0 cùng là gi i h n c a dãy ( xn (t )) trong không gian C [ a b ,b]
2
Do tính duy nh t c a gi i h n ,ta suy ra
1
v i a t
a b
2
x(t)=
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
0
Nh ng nh th
v i
a b
t b
2
x(t) không liên t c vì t i t=
a b
2
thì x(t) b gián đo n
nên
x(t) C
L
[a,b]
Do đó xn(t) không th có gi i h n trong C
K t lu n : V y không gian C
Trong ch
L
[a,b]
L
[a,b]
không đ y
ng sau chúng ta s tìm cách làm đ y m t không gian đ nh
chu n ch a đ y thành không gian Banach .
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
Ch
ng 2 : LƠm đ y không gian đ nh chu n không đ y thƠnh
không gian Banach
*
Nh n xét : T đ nh lý :” Cho không gian đ nh chu n X .
vector b t kì x, y X ,ta đ t d(x,y)= x y
i v i hai
(2.1.1)
Khi đó d là m t metric trên X .
Nh đ nh lý trên mà m i không gian đ nh chu n đ u có th tr thành
không gian metric v i metric (2.1.1) .Do đó m t m nh đ đã đúng trong
không gian metric đ u đúng trong không gian đ nh chu n .
Vì v y nh nguyên lí làm đ y không gian metric , và metric (2.1.1)
m i không gian đinh chu n không là không gian Banach đ u có th làm đ y
thành không gian Banach .
* Quá trình làm đ
y không gian đ nh chu n X th c ch t là : M i dãy
c b n mà không h i t trong X thì coi nh xác đ nh m t ph n t m i làm
gi i h n cho dãy đó
Sau khi thêm nh ng ph n t m i này ,ng
i ta có th đ nh ngh a m t
chu n thích h p đ không gian đã b sung là đ trong chu n đó , và lúc này
X tr thành không gian con c a không gian đã b sung .
2.1. LƠm đ y không gian đ nh chu n .
Cho không gian đ nh chu n ( X, . ) ( nói chung X là không gian
không đ y ). Khi đó t n t i không gian Banach X sao cho :
1) Không gian X đ ng c tuy n tính v i m t không gian con c a không
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
gian X
2) X trù m t kh p n i trong X .
Không gian X g i là cái làm đ y c a không gian X
Ch ng minh đ nh lý :
2.1.1.Xây d ng X là không gian đ nh chu n
2.1.1.1. Xây d ng X là t p t t c các l p dãy c b n c a không gian
X.
Ta phân ho ch t p X thành cácl p ph n t nh sau:
+V i hai dãy c b n ( xn ),( xn ) ,trong không gian X ta xây d ng quan h
V i m i dãy c b n (xn) và (xn’) trong không gian X,ta xây d ng quan
h
sau: ( xn ) ( xn ) lim xn xn 0 .
n
D th y là m t quan h t
ng đ
ng b i nó có đ y đ nh ng tính
ch t : ( xn ),( xn ),( yn ) là các dãy c b n trong X.
a) Tính ph n x : Vì lim xn xn 0 nên ( xn ) ( xn ) .
n
b) Tính đ i x ng: Ta có
lim xn xn lim xn xn
n
n
,nên n u
lim xn xn 0 thì lim xn xn 0 .
n
n
n u ( xn ) ( xn ) thì ( xn ) ( xn )
c) Tính b c c u: Ta có lim xn xn 0 , lim xn yn 0
n
n
0 lim xn yn lim xn xn lim xn yn 0
lim xn yn 0 .
V y n u ( xn ) ( xn ) và ( xn ) ( yn ) thì ( xn ) ( yn ) .
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
Do đó t p t t c các dãy c b n trong không gian X đ
các l p,hai dãy c b n thu c cùng m t l p thì t
ng đ
c chia thành
ng .Ta kí hi u t p
t t c các l p k trên là X ,kí hi u các ph n t c a X là x , y ,….
2.1.1.2. Xây d ng X là không gian tuy n tính .
a)
a vào X hai phép toán :
x , y X , P .
V i ( xn ) x , ( yn ) y ,ta kí hi u ( xn yn ) ( x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ,...) ,
và ( xn ) ( x1, x2 ,..., xn ,...) .
+ Ta g i t ng c a hai ph n t
x và y ,kí hi u là x + y :
x + y = ( xn yn ) : ( xn ) x,( yn ) y .
+ Ta g i tích c a s v i x , kí hi u x :
x = ( xn ) : ( xn ) x .
b) Các phép toán trên đóng kín trong không gian
X .
Th t v y:
x , y X , P . Ta gi s dãy ( xn ) x và dãy ( yn ) y
+ Ta ch ng minh x + y X :
*D th y x + y là t p các dãy c b n trong X.
* x + y là l p các dãy c b n t
ng đ
ng :
V i hai dãy c b n b t kì (n ),(n ) x + y ta có
( xn0 ) x , (y0n ) y sao cho n xn0 yn0 , n * ;
( x1n ) x , ( y1n ) y sao cho n x1n y1n , n *
Khi đó:
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
0 lim n n lim xn0 yn0 x1n y1n lim xn0 x1n lim yn0 y1n =0.
0 lim n n 0 (n ) (n ) .
V y x + y X
+ Ta ch ng minh x X :
* D th y x là t p các dãy c b n trong X
* x là l p ch a các dãy c b n t
ng đ
ng
L y hai dãy c b n b t kì (n ),(n ) x . Ta c n ch ng minh dãy
(n ) (n ) . Th t v y ( xn0 ) x sao cho n xn0 , n * và
( x1n ) x sao cho
n x1n , n * .
Ta có : lim` n n lim xn0 x1n lim xn0 x1n 0
x X .
c) X cùng v i hai phép toán trên l p thành không gian tuy n tính.
+Ki m tra tiên đ 10:
x , y X , do X là không gian tuy n tính,nên phép c ng trong X có
tính giao hoán : xn yn yn xn , xn , yn X ( xn yn ) ( yn xn )
x + y = ( xn yn ) : ( xn ) x,( yn ) y =
= ( yn xn ) : ( xn ) x,( yn ) y = y + x ;
V y tiên đ 10 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 20 :
x , y, z X .Do X là không gian tuy n tính nên phép c ng trong X
có tính k t h p : ( xn yn ) zn xn ( yn zn ), xn , yn , zn X
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
= ( x ( y z ))
: ( x ) x,( y )
y,( z ) z
( x y) z (( xn yn ) zn )n1 : ( xn ) x,( yn ) y,( zn ) z
n
n
n
n 1
n
n
n
( y z ) .
=x
V y tiên đ 20tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 30:
Xét X , ( ) ( , ,..., ,...) , trong đó là ph n t
không c a X .
Do X là không gian tuy n tính nên xn xn , xn X
x X ,ta có
( x ) x x
x + = ( xn ) : ( xn ) x
n n1
n1
V y tiên đ 30 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 40.
x X , đ t y (1) x , ( trong đó -1 là ph n t đ i c a ph n t đ n v
trong P ).
X và ta có xn (1.xn ) , xn X .
Rõ ràng y
x y ( xn (1xn ))n1 : ( xn ) x = .
Ph n t y đ
c g i là ph n t đ i c a ph n t x , kí hi u là - x .
V y tiên đ 40 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 50 :
x, y
X, P ,
do X là không gian tuy n tính nên
( xn yn ) xn yn , xn , yn X
= ( x y )
,( x ) x,( y ) y x y
( x y) ( ( xn yn ))n1 : ( xn ) x,( yn ) y
n
ng Th Chinh
n n 1
n
10
n
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
V y tiên d 50 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 60:
x
X , , P .
Do
X
là
không
gian
tuy n
tính
nên
không
gian
tuy n
tính
nên
( ) xn xn xn , xn X .
(( ) xn ) ( xn xn ) , ( xn ) x
( )x x x .
V y tiên đ 60 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 70.
x
X , , P .
Do
X
là
( ) xn ( xn ), xn X (( ) xn ) ( ( xn )), ( xn ) x
( ) x ( x ) .
V y tiên đ 70 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 80:
x
X ,do X là không gian tuy n tính nên 1. xn = xn , xn X
( 1 là ph n t đ n v c a P)
x .
(1xn )n1 ( xn )n1, ( xn ) x 1x
V y tiên đ 80 tho mãn .
V y X cùng v hai phép toán trên l p thành không gian tuy n tính .
2.1.1.3. Xác đ nh chu n trên X .
*
x X , ( xn ) x .Ta xác đ nh chu n nh sau :
= lim x
x
1
n n
(2.1.1.3)
+Gi i h n này t n t i vì : xn xm xn xm
Và do (xn) là dãy c
ng Th Chinh
b n trong X ,nên xn xm 1 0
K29B- Toán
10
Khoá lu n t t nghi p
( m, n ) ,ngh a là ( xn ) là dãy s c b n ,do đó ph i t n t i lim xn
n
+ Cách xác đ nh chu n trên không ph thu c vào vi c ch n dãy ( xn ) x .
Th t v y: Gi s ( xn ) x,( xn ) x thì lim xn xn 0 .
T đó và t h th c
xn - xn
xn xn 0 (n ) .
lim xn lim xn = x .
* Ta ch mg minh (2.1.1.3) tho mãn 3 tiên đ chu n :
+ Ki m tra tiên đ 1:
x X .T
(2.1.1.3) suy ra x 0 ,
V i ( xn ) x , ta có x 0 lim xn 0 ( xn ) ( )
1
mà ( ) .
V y x ( trong đó ( ) là dãy d ng g m các ph n t c a X)
V y tiên đ 1 tho mãn .
+ Ki m tra tiên đ 2 :
x X , P ,v i (xn) x .
Ta có: x lim x n lim( . x n ) .lim x n x
1
1
V y tiên đê 2 tho mãn
+Ki m tra tiên đ 3:
x,y X v i (x n ) x ,(y n ) y , Ta có
lim x n y n lim x n lim y n .
x y x y
1
1
1
V y tiên đ 3 tho mãn
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
2.1.2.Không gian X đ ng c tuy n tính v i m t không gian con c a X .
M i ph n t x X cho ta dãy d ng (x,x,…),và do dãy d ng là dãy c b n
nên m i x X cho ta t
khi đó x ch a dãy d ng ( x, x,…).
ng ng x X
Khi đó l p x ch a t t c các dãy (xn) X mà h i t t i x.
Xét ánh x f :X X
x x
( Trong đó xn x lim xn x )
* D th y v i quy t c xác đ nh trên thì f là m t ánh x .
* f là m t ánh x đ ng c t
x,yX , đ t
:
X vào X
x f x , y f y
ngh a là
( xn ) x , ( yn ) y
thì
x limx n , y limy n
T h th c : x y xn yn x xn y yn 0 (n ).
y .
x y = lim xn yn = x
1
n
Do đó ánh x f thành l p trên là m t phép đ ng c t
X vào X ,hay X
đ ng c v i m t b ph n c a X
f là m t ánh x tuy n tính t X vào X .
Th t v y:
+ x,y X ,khi đó đ t x f x, y f y sao cho ( xn ) x, ( yn ) y
Ta có lim xn=x , lim yn=y .
n
n
+ , P ta có
lim ( xn yn )= . lim xn+ . lim yn = x+ y
n
n
n
y
Và do ( xn yn )1 x
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
Do v y f( x+ y) = x + y = f(x)+ f(y)
f là m t ánh x tuy n tính t X vào X
V y f là m t phép đ ng c tuy n tính t X vào X .Do dó X đ ng c tuy n
tính v i m t b ph n c a X .
Do đó x y 1 = lim x yn
n
(2.2.1)
2.1.3. X trù m t kh p n i trong X .
Gi s x X và >0 nh tu ý cho tr
c.
L y m t dãy b t kì (x n ) x khi đó ( xn ) là dãy c b n trong X nên :
n1
( n0 *)(m, n n0 ) xn xm t đó và t (2.2.1) ta có :
xn x = lim xn xm < ( n n0 )
m
lim xn x 1 =0 hay lim xn= x trong không gian X
n
n
V y >0 nh tu ý luôn tìm đ
c xn X cách x không quá .Do đó
X trù m t kh p n i trong X .
2.1.4. X là không gian đ y.
Ta l y m y dãy c b n b t kì ( x n) trong X .Do s trù m t kh p n i c a X
trong X nên v i m i x n X ta tìm đ
c l p z
X ch a dãy d ng
(zn, zn,…, zn,…) v i zn X , sao cho
1
zn xn (n=1,2…);
1
n
Khi đó ta nh n đ
c dãy z1, z2,…,zn,.. là dãy c b n trong. X
Th t v y:
Dzn-zmD = Dzn-zmD1 Dzn- x nD1 + D x n - x m D1 + D x m – zmD1 <
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
1
1
< + D x n - x m D1 + 0 (m,n );
n
m
V y (zn )1 xác đ nh m t l p z X v i z là gi i h n c a dãy ( xn ) trong
không gian X .Th t v y : V i n đ l n ta có
x n z 1 zn z 1 + zn z 1 < zn x 1 +
1
0
n
z là gi i h n c a dãy ( x n).
V y m i dãy c b n trong X đ u h i t ,suy ra X là không gian đ y
2.2.M i b sung m t không gian đ nh chu n đ u đ ng c tuy n tính .
2.2.1. Xây d ng ánh x t M1 lên M 2 .
*
Gi s M1 =( X , . 1 ) và M2=( X , . 2) đ u là cái làm đ y c a không
gian đ nh chu n M=(X, . ) đã cho .
L y ph n t tu ý x X .Khi đó (xn) X h i t đ n x trong M1 do
đó dãy ( xn ) là dãy c b n trong X theo ch ng minh (2.1.4) và do đi u
n1
ki n 1) c a đ nh lý thì ( xn ) là dãy c b n trong không gian M2, và k t
n1
h p v i tính đ y c a M2 nên dãy ( xn ) h i t đ n ph n t x trong không
n1
gian M2 .
Ta nh n đ
c ánh x g: M1 M2
x
x
(theo quy t c trên )
Do M1 và M2 là hai không gian có vai trò nh nhau v y nên theo cách l p
lu n trên v i m i x tu ý trong M2 luôn t n t i x ( thao quy t c xác đ nh
trên ).
Do v y g là m t toàn ánh .
Sau đây ta ch ng minh g là ánh x tuy n tính đ ng c t M 1 lên M2
:
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
Khoá lu n t t nghi p
Th t v y:
2.2.2. g là ánh x tuy n tính .
Th t v y: x , y M1 , , P ta có :
g( x )= x M2, g( y )= y M2 .V i x M1, (xn) X sao cho lim xn= x
n
trong M1 và lim xn= x trong M2 .
n
V i y M1 t n t i dãy (yn) X sao cho lim yn= y trong không gian M1
n
và lim yn= y trong không gian M2 .
n
Suy ra lim ( xn yn )= . x + . y trong không gian M1 và
n
lim ( xn yn )= . x + . y trong không gian M2.
n
g( . x + . y )= . x + . y = g( x )+ g( y ).
V y g là ánh x tuy n tính .
2.2.3. g là ánh x đ ng c ánh x M1 lên M2
Th t v y:
L y hai ph n t tu ý x , y X .Khi đó t n t i hai dãy (xn),(yn) X
sao cho lim xn= x và lim yn= y trong không gian
n
n
và
lim xn= x , lim yn= y trong không gian M2.
n
n
Khi đó ta có :
y = lim x y = lim x y =
x
1
n n n 1 n n n
= lim x y = D x - y D .
2
n n n 2
V y g là ánh x tuy n tính đ ng c t không gian M1 len không gian M2.
K t lu n: M i b sung m t không gian đ nh chu n không đ y đ u đ ng c
tuy n tính .
2.3.Ví d :
ng Th Chinh
10
K29B- Toán
