Luận văn sư phạm Phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp đại số với các đường conic trong chương trình toán ở TH

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

L IC M

N

th c hi n hoàn thành khóa lu n “Ph
ph

ng pháp đ i s v i các đ

ph thông ” em đã nh n đ

ng pháp hình h c t ng h p và

ng conic trong ch

ng trình Toán

trung h c

c s giúp đ nhi t tình c a các th y, cô và b n bè

trong l p.
Tru c h t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y giáo h
Th c s Phan H ng Tr
tình h

ng, ng

ng d n:

i đã giúp em xác đ nh đ tài nghiên c u, t n

ng d n, giúp đ em trong su t quá trình th c hi n khóa lu n này!
Em c ng xin bày t lòng c m n đ n các th y, cô đã gi ng d y em trong

su t b n n m hoc. Em xin c m n các th y cô giáo trong t Hình h c đã đóng
góp nhi u ý ki n quý báu cho khóa lu n c a em!
Cu i cùng, em xin g i đ n gia đình, b n bè, nh ng ng

i thân đã dành

cho em nh ng tình c m t t đ p, đã giúp đ , đ ng viên em trong su t khóa h c
lòng bi t n chân thành nh t!
M c dù đã c g ng hoàn thành lu n v n v i t t c nh ng n l c c a b n
thân, nh ng lu n v n ch c ch n không th tránh kh i nh ng h n ch , nh ng
thi u sót. Kính mong nh n đ

c nh ng ý ki n đóng góp c a quý Th y, Cô giáo,

các b n sinh viên và nh ng ai quan tâm đ n n i dung đ c p trong lu n v n này.
Xin chân thành c m n!
Hà N i, ngày 20/05/2007
Ng

i th c hi n

Ph m V n Gia

Ph m V n Gia

Trang 6


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

M cl c
Ph n m đ u
1. L i c m n

...................................................................................................01

2. M c l c ..........................................................................................................02
3. L i nói đ u ......................................................................................................04
Ph n n i dung
Ch

1 .Ph

ng 1: m t s ki n th c chu n b

ng pháp đ i s .......................................................................................06

1.1.

ng Elip ..............................................................................................06

1.2.

ng Hypebol .......................................................................................07

1.3.

ng Parabol ........................................................................................09

2 .Ph

ng pháp hình h c t ng h p...............................................................10

2.1.

ng Elip ..............................................................................................10

2.2.

ng Hypebol .......................................................................................12

2.3.

ng Parabol ........................................................................................13
Ch
ph

ng pháp đ i s và ph

ng 2
ng pháp hình h c t ng h p

v i m t s bài toán v các đ

1.Ph

ng conic

ng pháp đ i s ........................................................................................15

1.1. Ti p tuy n c a 3 đ

ng conic ............................................................15

1.2. Các bài toán thi t l p các đ

ng conic ..........................................20

1.3. M t s bài toán gi i tích khác ............................................................23
2.Ph

ng pháp hình h c t ng h p................................................................25

2.1. Ti p tuy n c a 3 đ
2.2.

ng conic ............................................................26

ng th ng ti p xúc v i 1 conic c đ nh ......................................33
PH L C : t ch c ngo i khóa cho h c sinh

Ph m V n Gia

Trang 7


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
v xây d ng đ nh ngh a các đ

ng cônic

1 .M c đích............................................................................................................40
2 .N i dung ............................................................................................................40
3 .Chu n b ............................................................................................................40
4 .Các b

c ti n hành ........................................................................................41

5 .T ng k t ............................................................................................................43

Ph n k t lu n
1.K t lu n...............................................................................................................44
2.Tài li u tham kh o ..........................................................................................46

Ph m V n Gia

Trang 8

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

L i nói đ u
Hình h c là m t ph n r t quan tr ng c a toán h c. Trong hình
h c, ph

ng pháp đ i s đ

c nghiên c u và s d ng r ng rãi,nó t ra

đ c bi t có hi u qu khi đã đ i s hóa hình h c, đem các y u t c a
hình h c chuy n sang đ i s .

ây c ng là m t xu th phát tri n giáo

d c trên toàn th gi i.
Trong ch

ng trình toán trung h c ph thông, vi c đ a m t s y u

t hình h c gi i tích vào trong ch

ng trình THPT là m t trong nh ng

đi u phù h p v i quan đi m s d ng r ng rãi ph

ng pháp đ i s đ

nghiên c u hình h c. Nó đã t o c h i t t đ h c sinh có thêm công c
m i đ di n đ t, suy lu n, đ làm toán, thoát ly đ

c nh ng nh h

ng

không có l i cho tr c giác.
trung h c ph thông, các đ
ph
đ

ng conic đã đ

c nghiên c u b i

ng pháp t a đ quen thu c. Tuy nhiên, n u ta ch nghiên c u các
ng conic d

i góc đ hình h c gi i tích thì h c sinh s g p nhi u

khi m khuy t v hình nh tr c quan c a các đ
hình th

ng g p trong hình h c t ng h p.

Do v y, đ b khuy t cho nh ng nh
m t ngôn ng tr u t
quan th

ng conic v n là mô

ng c a ph

c đi m

ng pháp đ i s và hình nh tr c

ng g p trong hình h c t ng h p c n đ

đ y đ h n. Gi i quy t đ

c đ t ra m t cách

c v n đ này s có nhi u ý ngh a trong lí

lu n và th c ti n d y h c các tr

ng THPT hi n nay. V i nh ng lí do

y, em quy t đ nh ch n đ tài nghiên c u là: ” Ph

Ph m V n Gia

h c sinh THPT, thì

ng pháp hình h c

Trang 9

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
ng pháp đ i s v i các đ

t ng h p và ph
Toán

ng conic trong ch

ng trình

trung h c ph thông”.

Khóa lu n này trình bày v vi c s d ng 2 ph

ng pháp :đ i s và

hình h c t ng h p đ nghiên c u v đ nh ngh a và các tính ch t c a ba
đ

ng conic. N i dung c a khóa lu n bao g m 2 ch
Ch

ng 1 :Ph n m t s ki n th c chu n b v conic đ

trình bày b ng ph

ng pháp đ i s và đ

ngh a, tính ch t b ng ph
Ch

ng và 1 ph l c:
c

c b sung cho các đ nh

ng pháp hình h c t ng h p.

ng 2: Trình bày 1 s bài toán b ng 2 ph

s và hình h c t ng h p đ i v i các đ

ng pháp đ i

ng conic.

Ph l c :Trình bày d ki n t ch c bu i h c ngo i khóa v các
đ

ng cônic cho h c sinh l p 10.

Em xin bày t lòng bi t n chân thành và sâu s c t i th y Phan
H ng Tr
h

ng, ng

i đã giúp em xác đ nh đ tài nghiên c u, t n tình

ng d n, giúp đ , đ ng viên em trong su t quá trình th c hi n khóa lu n

này!

ng th i em c ng xin chân thành c m n các th y cô giáo trong t

Hình h c đã đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho khóa lu n c a em!

Hà N i, tháng 5 n m 2007
Sinh viên th c hi n

Ph m V n Gia

Ph m V n Gia

Trang 10


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
Ch

ng 1

M t s ki n th c chu n b
1.Ph

ng pháp đ i s

1.1.

ng ELIP

1.1.1. nh ngh a
Cho hai đi m c đ nh F 1 và F 2 ,v i F 1 F 2 =2c (c>0).
ng elip là t p h p các đi m M sao cho MF 1 + MF 2 =2a trong đó a là
1s cho tr

c l n h n c.

Hai đi m F 1 và F 2 g i là các tiêu đi m c a elip.
Kho ng cách 2c đ

c g i là tiêu c c a elip.
y
B

A’

F1

M(x;y)

O

F2

A

x

B’

AA’=2a là tr c l n, BB’=2b là tr c nh .Khi đó a 2 =b 2 +c 2
1.1.2.Ph

ng trình chính t c c a elip

Cho elip(E) nh trong đ nh ngh a trên.Ta ch n h tr c to đ Oxy có g c là
trung đi m c a F 1 F 2 .Tr c Oy là đ

ng trung tr c c a F 1 F 2 và F 1 ,F 2 n m

trên tr c Ox.
Xét đi m M(x;y) trên elip(E) . Khi đó ph

ng trình chính t c c a (E) là:

x2 y 2

1
a 2 b2

trong đó a 2 =b 2 +c 2
Ph m V n Gia

Trang 11

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

1.1.3.Tr c đ i x ng ,tâm đ i x ng c a elip
Elip (E) nh n các đ

ng AA’ và BB’ làm tr c đ i x ng

Elip (E) nh n O làm tâm đ i x ng.
1.1.4.Ti p tuy n c a elip
+ Xét đi m M( x 0 ;y 0 ) thu c (E). Khi đó ph

ng trình ti p tuy n c a (E)

t i đi m M là :
xo . x yo . y
 2 1
a2
b

+ i u ki n c n và đ đ đ

ng th ng Ax+By+C=0 ti p xúc v i ( E) là:
A2a 2  B2b 2  C 2

1.1.5.Tâm sai và đ
c

<1 đ
a

-S e=
-Các đ
elip t
1.2.

ng chu n c a elip

c g i là tâm sai c a elip

ng th ng (d):x=

ng

a
a
và (d’):x=- đ
e
e

c g i là các đ

ng chu n c a

ng v i các tiêu đi m F 1 và F 2

ng HYPEBOL

1.2.1. nh ngh a
Cho hai đi m c đ nh F 1 và F 2 ,v i F 1 F 2 =2c(c>0).
t p h p các đi m M sao cho MF1  MF2
tr

ng hypebol là

=2a ,trong đó a là 1s d

ng cho

c nh h n c.
Hai đi m F 1 và F 2 g i là các tiêu đi m c a elip.
Kho ng cách 2c đ

c g i là tiêu c c a elip.

Hypebol bao g m 2 nhánh và 2 nhánh này không có đi m chung.

Ph m V n Gia

Trang 12


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
y
b

A

B

M

-a

F1

a

O

D

-b

F2

x

C

b

Ox là tr c th c ;Oy là tr c o
1.2.2.Ph

ng trình chính t c c a Hypebol

Cho Hypebol(H) nh trong đ nh ngh a trên. Ta ch n h tr c to đ Oxy có
g c là trung đi m c a F 1 F 2 . Tr c Oy là đ

ng trung tr c c a F 1 F 2 và F 1 ,F 2

n m trên tr c Ox.
Xét đi m M(x;y) trên Hypebol(H). Khi đó ph

ng trình chính t c c a (H)

x2 y2

1
a 2 b2

là:

đây AB=2a, BC=2b và a 2  b2  c 2
1.2.3.Tr c đ i x ng và tâm đ i x ng c a Hypebol
Các đ

ng th ng ch a tr c th c và tr c o là các tr c đ i x ng c a (H).

O là tâm đ i x ng c a (H).
1.2.4.Ti p tuy n c a Hypebol
+ Xét đi m M( x 0 ;y 0 ) thu c (H). Khi đó ph

ng trinh ti p tuy n c a (H)

t i đi m M là :
xo .x yo . y
 2 1
a2
b

+ i u ki n c n và đ đ đ
Ph m V n Gia

ng th ng Ax+By+C=0 ti p xúc v i ( E) là:
Trang 13


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
A2 a 2  B2 b2  C 2

1.2.5. Tâm sai và đ
-S e=
-Các đ
c a elip t

c
>1 đ
a

ng chu n c a Hypebol

c g i là tâm sai c a Hypebol

ng th ng (d): x=
ng

a
a
và (d’): x=- đ
e
e

c g i là các đ

ng chu n

ng v i các tiêu đi m F 1 và F 2

1.2.6. Ti m c n c a Hypebol
Các đ

ng th ng y=

b
b
x và y=- x là 2 đ
a
a

ng ti m c n c a Hypebol

x2 y2


1
a 2 b2

1.3.

ng PARABOL

1.3.1. nh ngh a
Cho m t đi m F c đ nh và m t đ

ng th ng  c đ nh không đi qua F .

T p h p t t c các đi m M cách đ u F và  đ

c g i là đ

ng Parabol (hay

Parabol)
i m F g i là tiêu đi m c a Parabol.
ng th ng  g i là đ
Kho ng cách t F đ n  đ

Ph m V n Gia

ng chu n c a parabol
c g i là tham s tiêu c a parabol.

Trang 14

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
y

M

O

P

F

x

฀

1.3.2.Ph

ng trình chính t c c a parabol
p
2

Ch n h tr c t a đ Oxy sao cho parabol (P) có tiêu đi m F( ;0) và
đ

ng chu n  có ph

p
2

ng trình: x=- . Khi đó ph

ng trình chính t c c a

(P) là: y 2 =2px (p>0).
1.3.3.Tâm sai và đ ng chu n c a parabol
-Tâm sai c a parabol là: e=1
-

p
2

ng chu n c a parabol :x=- .

1.3.4.Ti p tuy n c a parabol(P)
+ Xét đi m M( x 0 ;y 0 ) thu c (P). Khi đó ph
t i đi m M là : y0 .y=p(x 0 +x)
+ i u ki n c n và đ đ đ

ng trinh ti p tuy n c a (P)

ng th ng Ax+By+C=0 ti p xúc v i ( P) là:

pB  2 AC
2

2.Ph

ng pháp Hình h c t ng h p.

T nh ng đ nh ngh a đ

c nêu ra theo ph

sung đ nh ngh a và tính ch t c a các đ

ng pháp gi i tích, ta có th b

ng conic theo ph

ng pháp hình h c

t ng h p nh sau:
Ph m V n Gia

Trang 15


Khoa Toán
2.1.

Lu n v n t t nghi p đ i h c

ng Elip

2.1.1. nh ngh a:

I
M

F2

F1

F2

-Elip là t p h p nh ng tâm M c a nh ng đ
đ

ng tròn (M) ti p xúc v i 1

ng tròn c đ nh tâm F1 bán kính 2a, đ ng th i (M) đi qua 1 đi m c đ nh

F2 n m

trong đ

ng tròn ( F1 ).

-Gi s I là ti p đi m c a 2 đ

ng tròn nói trên.Khi đó:

M F1 +M F2 = M F1 +MI (Vì F2  (M))
= F2 I=2a
Theo đ nh ngh a nói trên thì M n m trên elip có tiêu đi m là F1 và F2
2.1.2. nh lí

Cho elip (E) có 2 tiêu đi m F1 và F2 , M là 1 đi m n m trên (E). Khi đó
ti p tuy n (d) t i M là đ

ng phân giác ngoài c a góc F฀1MF2 .
Ch ng minh

Xét đi m M( x 0 ;y 0 ) thu c (E). Khi đó ph

ng trinh ti p tuy n (d) c a

(E) t i đi m M là :
xo .x yo . y
 2  1 (1)
a2
b

Ph m V n Gia

Trang 16


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

+N u x 0 =0 thì (d) ฀ Ox  ฀ F1 MF2 cân t i M.
Khi đó k t lu n c a bài toán trong tr
y

ng h p này hi n nhiên đúng.

M

t
d

A’

F1

O

F2

A

E

x

+N u x 0  0 :
Gi s ti p tuy n (d)  Ox=E.T (1), ta có: xE  OE 
Ta có: EF2  xF  xE  c 
2

a2
x0

a2
a2

, EF1  xF1  xE  c 
x0
x0

EF2 a 2  c.x0 a (a  ex0 ) MF2



EF1 a 2  c.x0 a (a  ex0 ) MF1

Nh v y

Do đó ME là đ

ng phân giác ngoài c a góc F฀1MF2 . pcm.

2.2.

ng HYPEBOL

2.2.1

nh ngh a

Hypebol là t p h p t t c nh ng tâm M c a nh ng đ
xúc v i 1 đ

ng tròn (M) ti p

ng tròn c đ nh (F 1 )(có tâm F 1 bán kính 2a), đ ng th i (M) đi

qua 1 đi m c đ nh F2 n m

Ph m V n Gia

ngoài (F 1 )

Trang 17


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

F

M
I

1

F

2

Ta th y r ng : MF2  MF1  MF2  (MI  IF1 )  IF1 =2a
Theo đ nh ngh a c a ph

ng pháp gi i tích: M n m trên hypebol có 2 tiêu

đi m là F 1 và F 2
Nh v y đ nh ngh a theo 2 ph
2.2.2.

ng pháp là t

ng đ

ng nhau.

nh lí

Cho Hypebol (H) có 2 tiêu đi m F 1 và F 2 . Khi đó ti p tuy n (d) c a (H) t i
1 đi m M n m trên nó là đ
(Ch ng minh t

2.3.

ng phân giác trong c a góc F฀1MF2

ng t nh

đ i v i elip)

ng PARABOL

2.3.1. nh ngh a
Cho đ

ng tròn (F) ti p xúc v i đ

t t c các tâm đ

ng tròn ti p xúc v i đ

ng th ng (d). Khi đó Parabol là t p h p
ng tròn (F) và đ

ng th ng (d) t i hai

đi m phân bi t.

Ph m V n Gia

Trang 18


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

M
H

K
Q

P
d’

F

O

d

Hai đ nh ngh a theo 2 ph

ng pháp trên t

ng đ

ng nhau

Th t v y:
G i O là ti p đi m c a d và (F), Q là ti p đi m c a (M) và (F)
K là ti p đi m c a (M) và d, d’là nh c a d qua phép v t tâm F t s 2
H=MH  d’.
Nh n th y MF=MQ+QF
=MK+OF=MK+HK
=MH=d(M,d’)
 M n m trên elip có tiêu đi m F.

2.3.2. nh lí
Cho parabol(H) có tiêu đi m F và đ

ng chu n  . V i m i đi m M n m trên

(E), d ng H là hình chi u c a M trên  , khi đó ti p tuy n (d) t i M là đ

ng

฀
phân giác trong c a góc HMF
.

Ch ng minh

Ph m V n Gia

Trang 19


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

y
M

H

E
O

F

x

d



Gi s elip(E) có ph

ng trình chính t c: y 2 =2px (p>0)

Khi đó v i M(x 0 ;y 0 ) ,ph

ng trình ti p tuy n (d): y 0 .y=p(x 0 +x).

G i E= d  Ox. Suy ra E(-x 0 ;0),
EF =x F -x E =

p  2x 0
p
+ x0=
2
2

p
2

MF= + x 0 (Công th c bán kính qua tiêu c a elip).
฀ = EMF
฀
Do đó MF= EF   MEF cân t i F  MEF
฀ = EMH
฀
L i có MH ฀ Ox nên MEF
฀

฀
 EMF
= EMH
฀
 d là phân giác c a góc HMF
.

pcm.

Ph m V n Gia

Trang 20


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Ch
ph

ng pháp đ i s và ph

ng pháp hình h c t ng h p v i m t s bài toán
v các đ

1. Ph

ng 2
ng conic

ng pháp đ i s v i m t s bƠi toán v các đ

Nh ng l i gi i b ng ph

ng conic

ng pháp đ i s thu n túy th hi n s c m nh n i

t i c a môn Hình h c gi i tích và ph

ng pháp t duy ki u hình h c gi i tích.

Trong ph n này, ta s xét các d ng bài toán mà s d ng nhi u đ n các tính
ch t gi i tích c a 3 đ

ng conic. C th là s d ng đ n các ph

ng trình chính

t c, c ng nh các d ng gi i tích c a các ti p tuy n c a chúng, nó mang n ng
“màu s c” hình h c gi i tích theo đúng ngh a c a nó. Sau đây là 1 s d ng toán:
1.1.Ti p tuy n c a các đ

ng conic

Nh n xét: Nh ng bài toán đ
hi n l i t

duy theo ph

gi i theo ph

c gi i b ng ph

ng pháp đ i s

th

ng pháp hình h c gi i tích. N u chúng đ

c

ng pháp hình h c t ng h p thì s r t r c r i trong vi c

quan sát hình v và bài toán đ a ra c ng không có nhi u d
ph c v cho ph

ki n đ

ng pháp hình hình h c t ng h p. Cho nên trong ph n

này các bài toán đ

c đ a ra gi i b ng ph

ng pháp đ i s là m t đi u

h p lí.
x2 y 2

Bài1 : Cho elip (E): 2  2  1 , tr c l n A A' =2a ,hai tiêu đi m là F và F ' .
a
b
V 2 ti p tuy n At và A ' t’ v i (E).  là 1 ti p tuy n di đ ng c a (E), (   At và
  A’t’).
Bàit gi
Gi s  c t At và A’t’ t ng ng
i Mi và M’.
 di đ ng thì AM.A’M’= const
Trang 21
Ph m V 1/CMR:Khi
n Gia
2/CMR:Tích các kho ng cách t F và F’ t i  c ng là h ng s .


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

y

M’


M
A’

O

F

1/ Gi s ti p tuy n  có ph

F’

A

x

ng trình Ax+By+C=0.

Do   At và   A’t’ nên B  0.Ta có

A2a 2  B2b 2  C 2

(1)
D th y tung đ c a M và M’ đ
yM 

Do v y

C  Aa
B

c xác đ nh theo công th c:

và yM ' 

C  Aa
B

(2)

AM.A’M’= yM . yM ' =
=

(aA C )(aA C ) C 2  a 2 A2

B2
B2

(3)

Thay (1) vào (3) suy ra AM.A’M’=b 2 =const
 đpcm.

2/ Kho ng cách t F(c;0) và F’(-c;0) t i  là:
d(F,  )=

Ac  C
A2  B2

d(F’,  )=

;

T đó suy ra d(F,  ).d(F’,  )=

C 2  A2c 2
A2  B2

 Ac  C
A2  B2

,

(4)

Thay (1) vào (4) ta có
d(F,  ).d(F’,  ) =
Ph m V n Gia

A2 a 2  B2b 2  A2c 2
A2  B2

=

A2 a 2  B2b 2  A2 (a 2  b 2 )
A2  B2

=b 2 =const
Trang 22


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
 đpcm.

Nh n xét 1:Trong bài này ta đã s

tích: đi u ki n ti p xúc c a 1 đ
đi m t i 1 đ

d ng ki n th c v hình h c gi i

ng th ng v i elip và kho ng cách t 1

ng th ng…L i gi i b ng ph

hi u và ta nên s d ng ph

ng pháp này r t g n và d

ng pháp này đ gi i bài toán trên.

Nh n xét 2: Có nh ng bài toán mà n u ta s

d ng ph

ng pháp

hình h c t ng h p thì vi c quan sát và thu nh n ki n th c t hình v r t
khó kh n.Tuy nhiên đ
nh ng tr

kh c ph c nh ng khi m khuy t

ng h p này, ph

y thì trong

ng pháp đ i s l i phát huy r t t t vai trò

c a mình. Sau đây là 2 ví d minh h a:
Bài 2: Cho elip (E) :

x2 y2
x2 y 2
,
và
hypebol
(H):

 1 trên cùng
1


a 2 b2
m2 n2

m t h tr c t a đ và a  m . CMR: i u ki n c n và đ đ (E) và (H)
tr c giao v i nhau là chúng có cùng 2 tiêu đi m.
Bài gi i
1/ i u ki n đ :
Gi s (E) và (H) có cùng 2 tiêu đi m F và F’. Vì F và F’
gi i h n b i 2 nhánh c a (H) và c ng

trong (E) nên hai đ

trong mi n

ng cong này c t

nhau t i 4 đi m.Gi s M là 1 trong s 4 đi m đó (v i các giao đi m khác ta
c ng l p lu n t

ng t ).

฀ ' . G i  ’ là
G i  là ti p tuy n v i(E) ,thì  là phân giác ngoài c a FMF
฀ ' . Do v y    ' . Theo
ti p tuy n v i(H) ,thì  ’ là phân giác trong c a FMF

đ nh ngh a,(E) và (H) tr c giao v i nhau.
i u ki n đ đ

c ch ng minh.

2/ i u ki n c n
Ph m V n Gia

Trang 23


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Gi s (E) và (H) tr c giao v i nhau, G i A ( x0 ; y0 ) =(E)  (H).
Khi đó x0 và y 0 là nghi m c a h sau:

Gi i h này ta đ

2 2
2 2
2
2 2
2
2

(m b  a n ) x0  a m (b  n )
c 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(m b  a n ) y0  b n (a  m )

Ti p tuy n c a (E) t i A là :

(I)

xo . x yo . y
 2  1,
a2
b


vect pháp tuy n là: n1  (
Ti p tuy n c a (H) t i A là :

x0 y0
; )

a 2 b2

xo .x yo . y
 2  1,
m2
n


vect pháp tuy n là: n2  (
Vì (E) và (H) tr c giao v i nhau nên


 x2 y2
 2  2  1
a
b
 2
2
 x  y 1
 m2 n 2

x0
y
;  02 ) .
2
m
n
 
 
n1  n2 hay n1.n2 =0

x02
y02

0
a 2 m2 b2 n2

(II)

T (I) và (II) ta có:

a 2  b 2  m2  n 2

Trong elip (E) ta có

a 2  b 2 = c12

( 2c1 là tiêu c c a (E))

Trong hypebol (H) ta có

m2  n2  c22

(2 c2 là tiêu c c a (H))

Do đó c12 = c22 , mà c1 >0, c2 >0 nên c1 = c2 . Ngh a là (E) và (H) có cùng hai
tiêu đi m.
V y đi u ki n c n đ

c ch ng minh.

Bài 3 Cho hypebol (H) có 2 tiêu đi m F và F’ ,tâm là O.Gi s N là 1 đi m di
đ ng trên nhánh MF’-MF>0 c a (H).G i  là ti p tuy n v i (H) t i N. T F
k FM   (M ON).
Tìm qu tích c a M
Bài gi i

Ph m V n Gia

Trang 24


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Gi s (H) có ph
Khi đó ph

x2 y2

 1 , N có t a đ là N( x0 ; y0 ).
a 2 b2

ng trình :

ng trình (  ):

xo .x yo . y
 2  1 ,  có vecto ch ph

a2
b



ng u =  20 ; 02  .
b a 
y

x

y
F
O

x
N

M


N

V y ph

ng trình đ

y0
x
.(x-c)+ 02 .y=0

2
b
a

ng th ng MF là:

ng th ng ON có ph

ng trình :y=

y0
.x
x0

(1)
(2)

x0
 y0
 b 2 ( x  c)  a 2 y  0
V y t a đ (x;y) c a M là nghi m c a h : 
 y  y0 x
x0

y
y0
x
.(x-c)+ 02 . 0 .x =0  (a 2  b2 ) x  a 2c
2
x0

b
a

Thay (2) vào (1) ta có
 x

V y qu tích c a M là đ

a 2c
a
(do a 2  b2  c 2 )  x  .
2
c
e

ng chu n c a hypebol ng v i tiêu đi m F.

M t s bài t p đ ngh :
Bài 1
Cho parabol y 2 =2px (p>0),M,N,P là 3 đi m n m trên parabol có tung đ
t

ng ng là m, n, p . Các ti p tuy n v i parabol t i M,N,P đôi m t c t nhau

t i A,B,C.
Ph m V n Gia

Trang 25

Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Tìm qu tích tr c tâm tam giác ABC khi M,N,P di đ ng trên parabol
A:Qu tích c a tr c tâm H là đ

ng chu n c a c a parabol đã cho.

Bài 2: Cho parabol x 2 =2py v i tiêu đi m F, d là đ

ng th ng b t kì qua F và

c t parabol t i M và N. CMR: ti p tuy n t i M và N vuông góc v i nhau.
Bài 3:
Trên m t ph ng t a đ cho A(1;0) và B(-1;0).At và Bt’ là 2 tia vuông góc
v i AB và

cùng 1 phía đ i v i AB. I là đi m c đ nh trên đo n OA. M và N

฀  90o .
di đ ng trên At và Bt’ sao cho MIN

CMR: MN luôn ti p xúc v i 1 elip c đ nh.
1.2.các bƠi toán thi t l p các đ

ng conic

Nh n xét: Trong m c này,ta s xét 1 s bài toán tìm qu tích các đi m
đ

c s d ng ph

ng pháp đ i s (qu tích c a nó là các đ

ng conic).

Ta bi u di n t a đ c a nh ng đi m di đ ng d a vào m t s d ki n c a
bài toán. Sau đó d a vào m i liên quan c a nh ng đi m này v i các y u
t c đ nh đ ta suy ra qu tích c a chúng.
Sau đây là m t s ví d minh h a:
Bài 1:Cho elip (E) có ph

ng trình

x2 y 2

 1 ,(a>b) nh n F và F’ làm 2
a 2 b2

tiêu đi m,AA’ là tr c l n. M là 1 đi m di đ ng trên (E) .G i I là tâm đ
tròn n i ti p ฀ MFF ' .
Tìm qu tích c a I
y

ng

M
I

F’

Ph m V n Gia

O

H

F

x

Trang 26


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c
Bài gi i

Gi s M ( x0; y0 ) n m trên (E). G i I( x1 ; y1 ) là tâm đ
Ta có x1 = OH ,

ng tròn n i ti p ฀ MFF ' .

đây H là hình chi u c a I lên Ox.

Mà OH = OF - HF = OF -HF (1) (vì HF >0 do F luôn n m

bên ph i H)

1
2

t p là n a chu vi ฀ MFF '  p= (MF+MF’+FF”)=a+c ;MF’=a+e x0 ;

-

Mà HF =p - MF’=c-e x0
Thay HF vào (1) ta đ
t r là bán kính đ

-

c OH = e x0  x1 =

- L i do M ( x0; y0 )  (E)
(2) ,(3), (4) , có

Vì c >

bc
nên t
a c

(2).

ng tròn n i ti p ฀ MFF ' ,thì

1

.2c. y0 c. y
S
2
y1 = r =
=
= 0
a c
a c
p

T

ax
c
x0 .  x0  1
c
a

 y0 


(a  c) y1
c

x0 2 y0 2

1
a 2 b2

x12

y12

1
c 2  bc 2


 a c

(3)
(4)
(5)

(5) suy ra qu tích tâm đ

ng tròn n i ti p ฀ MFF '

chính là elip nh n tiêu c FF’ làm tr c l n ,và có ph

ng trình chính t c

(5).
Bài 2: Cho elip (E) có ph

ng trình

x2 y 2

 1 , (a> b) nh n F và F’
a 2 b2

làm 2 tiêu đi m,AA’ là tr c l n.M là 1 đi m di đ ng trên (E). G i H là
tr c tâm ฀ MAA' .
Tìm qu tích c a H
Bài gi i

Ph m V n Gia

Trang 27


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Gi s M ( x0; y0 ) n m trên (E). G i H( xH ; yH ) là tr c tâm ฀ MAA' .


Ta có A' M =( a 0 +a ;y 0 ) là vecto pháp tuy n c a AH  Ph

ng trình đ

th ng AH : ( a 0 +a)(x-a)+ y 0 y=0 hay ( a 0 +a)x+ y 0 y-a( a 0 +a)=0

ng
(1)

Do H  AH nên ( xH ; yH ) th a mãn (1),
t c là: ( a 0 +a)x H + y 0 y H -a( a 0 +a)=0

y

(2)

H

M

A’

A

O

Vì HM  AA’ nên

x

xH = x0

Thay (3) và (2) ta có ( a 0 +a) x0 + y 0 y H -a( a 0 +a)=0  y0 yH = a 2 - x02
Vì M ( x0; y0 )  (E) nên ta có

x0 2 y0 2

1
a 2 b2
y02
a 2  x02
 2 =
b

a2

Thay (5) vào (4) ta đ

c

-N u y0  0  yH =

(4)
(*)
(5)

a 2 y02
b2

a 2 y0
b2

T (3) và (6) và (*) suy ra

Ph m V n Gia

y0 yH =

(3)

(6)
xH2
yH2


1
a 2  a 2 2
 
 b 

(7)

Trang 28


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

Do a>b nên

a2
> a ,v y t
b

tr c nh và đ dài tr c l n là

(7)  H( xH ; yH ) n m trên elip nh n AA’ làm
a2
(Tr ra 2 đ nh).
b

-N u y0 =0 thì x y ra 2 tr

ng h p:

+ MA  HA
+ M  A’  H  A’
Nói tóm l i, qu tích H là toàn b elip cho b i ph

ng trình (7) trên.

Nh n xét: Nh ng bài toán trên không nên s

d ng ph

ng pháp hình

h c t ng h p đ gi i b i vì vi c xác đ nh hình d ng c a qu tích trên là
vi c không d dàng, ta khó có th phán đoán ra qu tích c a chúng.

M t s bài t p đ ngh :
Bài 1:Cho O là 1 đi m c đ nh trên 1 đ
các đi m di đ ng trên đ

ng th ng d c đ nh ,P,Q theo th t là

ng tròn (O;a) và (O;b) (a>b),sao cho d là phân giác


 

฀
trong c a POQ
.Xét đi m M sao cho OM  OP  OQ

Tìm qu tích đi m M.
Bài 2 (Bài toán Sal )
x2 y 2
Cho elip 2  2  1 ,tâm O, F và F’ là 2 tiêu đi m ,a>b.M là 1 đi m di đ ng
a
b

trên elip ,  là đ

ng th ng qua M và vuông góc v i ti p tuy n t i M .

ng th ng qua M vuông góc v i Ox c t đ
 c t các đ

ng th ng OC và OD

ng tròn chính (O;a) t i C và D ,

I và J .

Khi M di đ ng ,tìm qu tích c a I và J .

Ph m V n Gia

Trang 29


Khoa Toán

Lu n v n t t nghi p đ i h c

1.3.M t s bƠi toán gi i tích khác

Bài 1: Cho elip (E) có ph

x2 y 2

 1 , (a>b) nh n F(c;0) và
a 2 b2

ng trình

F’ (-c;0) làm 2 tiêu đi m,AA’ là tr c l n.M là 1 đi m di đ ng trên (E),g i 
là góc c a FM t o v i chi u d ng c a tr c Ox.FM c t elip t i M’.
1/ Tính đ dài MF theo  ,a,b,c.
2/ CMR:

1
1
= const.

FM F ' M

3/Tìm  đ MM’ đ t giá tr nh nh t.
Bài gi i
y
M

F’

F

O

P

x

M’

1/ K MP  Ox=P .Ta có OP = OF + FP = c+ FM.cos 

(1)

Gi s M ( x0; y0 ) n m trên (E).Vì OP = x0 và FM=a- e x0 nên ta có
c
a

MF=a-e(c+FM.cos  )=a- (c+MF.cos  ).
 MF(a+c.cos  )=a 2 -c 2 =b 2
 MF=

b2
.
a  c.cos 

2/Ta th y FM’ t o v i chi u d

ng c a tr c Ox góc  -  .

V y áp d ng k t qu c a ph n 1,ta có:
b2
b2
 FM’=
M’F=
a  c.cos 
a  c.cos(   )

Ph m V n Gia

Trang 30