Luận văn sư phạm Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
**************

Phan th chi n

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t
Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Gi i tích

Ng

i h

ng d n khoa h c:

Ts. Nguy n v n hùng

Hà n i - 2008


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

L ic m n
hoàn thành khóa lu n này, em đã nh n đ

c s giúp đ t n tình, t m

c a Th y giáo- Ti n s Nguy n V n Hùng c ng nh các th y, cô trong t gi i
tích khoa Toán, Tr

ng

i h c S Ph m Hà N i 2.

Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành và sâu s c nh t đ n Th y
Nguy n V n Hùng, ng
quá trình làm khóa lu n.

i đã tr c ti p h

ng d n và ch b o em trong su t

ng th i em xin chân thành c m n các th y, cô

giáo trong khoa đã d y d em trong su t b n n m qua đ em hoàn thành bài
khóa lu n này.
B ng s n l c h t s c c a b n thân, bài khóa lu n này đã đ

c hoàn

thành. Song trong khuôn kh th i gian có h n và n ng l c b n thân còn nhi u
h n ch nên bài khóa lu n khó tránh kh i thi u sót. Em r t mong đ

cs

đóng góp ý ki n c a quý th y, cô và các b n sinh viên đ b n thân có th ti p
t c hoàn thi n h n n a trong quá trình h c t p và gi ng d y.
Em xin chân thành c m n!
Hà N i, tháng 04 n m 2008.
Sinh viên:
Phan Th Chi n

Phan Th Chi n

2

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

L i cam đoan
Quá trình nghiên c u khóa lu n v i đ tài: “Ph

ng trình đ o hàm riêng

c p m t’’ ®· giúp em hi u sâu s c h n v b môn gi i tích hi n đ i, đ c bi t
là v ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng. Qua đó c ng b

c đ u giúp em làm

quen v i công tác nghiên c u khoa h c.
Bên c nh đó em c ng nh n đ
cô giáo trong khoa, đ c bi t là s h

c s quan tâm, t o đi u ki n c a các th y
ng d n nghiêm kh c, t n tình c a th y

Nguy n V n Hùng.
Vì v y, em xin cam đoan k t qu c a đ tài: “Ph

ng trình đ o hàm

riêng c p m t’’ không có s trùng l p v i k t qu c a các đ tài khác.
Em r t mong đ

c s đóng góp ý ki n c a quý th y, cô và các b n sinh

viên đÓ khóa lu n hoàn thi n h n.
Hà N i, tháng 04 n m 2008.
Sinh viên:
Phan Th Chi n

Phan Th Chi n

3

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

M cl c
L ic m n
L i cam đoan
M cl c
L im đ u
Ch

ng 1: Khái ni m m đ u và các ki n th c c s

1. Khái ni m m đ u ......................................................................................... 5
1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng và ph

ng trình đ o hàm riêng

c p m t. ............................................................................................................. 5
1.2. Nghi m c a ph
1.3. Phân lo i ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t..................................... 5

ng trình đ o hàm riêng ....................................................... 6

1.4. Bài toán Cauchy ......................................................................................... 7
2. Các ki n th c c s ....................................................................................... 7
2.1. Ph

ng trình vi phân .................................................................................. 7

2.2. Ph

ng trình vi phân c p m t .................................................................... 8

2.3. H ph
Ch

ng trình vi phân .......................................................................... 12

ng 2: Ph

1. Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m t ......................................... 16

1.1. Ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t c p m t .................... 17

1.2. Ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t c p m t ......... 26

2. Ph

ng trình phi tuy n c p m t .................................................................. 37

2.1. H hai ph

ng trình phi tuy n c p m t ................................................... 37

2.2. Ph

ng trình Pfap .................................................................................... 40

2.3. Ph

ng pháp Lagrang – Sacpi ................................................................. 42

Ch

ng 3: Bài t p v n d ng

Phan Th Chi n

4

K 30 E Toán

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

L i nói đ u
C ng nh các môn khoa h c khác, ph

ng trình đ o hàm riêng xu t hi n

trên c s phát tri n c a khoa h c k thu t và nh ng yêu c u đòi h i c a th c
t . Ph n l n các bài toán ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng đ

các v n đ trong th c ti n nên ph

c rút ra t

ng trình vi phân đ o hàm riêng đ

c coi

là chi c c u n i gi a toán h c và ng d ng.
Th c t cho th y có r t nhi u d ng ph
khác nhau và không t n t i m t ph
ph

ng trình đó.

i v i các ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng

ng pháp chung nào đ gi i t t c các

ng trình đ o hàm riêng nãi chung, ph

trình đ o hàm riêng phi tuy n nói riêng chúng ta ch ch ng minh đ

ng

cs t n

t i nghi m còn vi c tìm ra công th c nghi m thì h i khó. Tuy nhiên đ i v i
ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t thì vi c tìm ra công th c nghi m th

tuân theo m t s ph

ng pháp nh t đ nh. Chính vì th em ch n đ tài: Ph

tr nh đ o hàm ri ng c p m t v i mong mu n đ
ph

ng pháp này. N i dung khóa lu n g m ba ch

ng
ng

c hi u rõ h n v các

ng:

Ch

ng 1: Khái ni m m đ u và các ki n th c c s

Ch

ng 2: Ph

Ch

ng 3: Bài t p v n d ng

ng trình đ o hàm riêng c p m t

N i dung chính và tài li u dùng theo tài li u [1] và [2] ph n tài li u tham
kh o.

Phan Th Chi n

5

K 30 E Toán

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Ch

ng 1

Khái ni m m đ u và các ki n th c c s
1. Khái ni m m đ u

1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng và ph

ng trình đ o

hàm riêng c p m t.
1.1.1. Khái ni m ph

ng trình đ o hàm riêng.

nh ngh a 1.1. M t ph

ng trình liên h gi a n hàm u(x1, x2,…,xn) các

bi n đ c l p x1, x2, …,xn và các đ o hàm riêng c a nó đ

c g i là ph

ng

trình vi phân đ o hàm riêng. Nó có d ng




F  x1, x2 ,..., xn , u,


u
 ku
,..., k
,...
= 0
x1
x ...xnk 

(1)

trong đó F là m t hàm nào đó c a các đ i s c a nó.
C p cao nh t c a đ o hàm riêng u, có m t trong ph
c p c a ph

ng trình. Ch ng h n ph


F  x, y, u,


là ph

ng trình đ

c g i là

ng trình

u u 
, = 0
x y 

ng trình đ o hàm riêng c p m t c a hàm hai bi n.

1.1.2. Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t.

nh ngh a 1.2. T đ nh ngh a 1.1 ta có th suy ra đ
trình đ o hàm riêng c p m t là ph


F  x1,...xn , u,


ng

ng trình có d ng

u u
u 
,
,...,
= 0
x1 x2
xn 

1.2. Nghi m c a ph
Gi s có ph

c r ng: Ph

(1.1)

ng trình đ o hàm riêng c p m t.

ng trình đ o hàm riêng c p m t (1.1) và gi s mi n F xác

đ nh trong mi n G c a không gian 2n + 1 chi u. Hàm u = u(x1, x2, …, xn) liên

Phan Th Chi n

6

K 30 E Toán

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

t c cùng v i các đ o hàm riêng c p m t c a nó trong mi n D c a không gian
n chi u đ

c g i là nghi m c a ph

ng trình (1.1) trong D n u:

i) V i m i (x1,x2,…,xn)  D thì

u
u 
,...,
 x1,..., xn ; u x1,..., xn ;
  G
x
x


n
1







ii) Khi thay u = u( x1, x2, …,xn) vào (1.1) thì ta đ

c đ ng nh t th c trên

D.
Thông th

ng khi ta tích phân ph

ng trình đ o hàm riêng ta tìm đ

h nghi m ph thu c vào nh ng hàm s b t kì. Gi s ph

c

ng trình (1), u là

hàm 2 bi n (n = 2): u = u(x1, x2). Khi đó nghi m u = u(x1, x2) s t

ng ng

v i m t m t cong trong không gian ba chi u ( x1, x2, u). M t cong này g i là
m t cong tích phân. Ch ng h n đ i v i ph

x

ng trình

z
z
=0
y
x
y

hàm z = x2 + y2 s là nghi m xác đ nh v i m i x, y. Nghi m trên đ

c bi u

di n b i m t paraboloit (là m t cong do parabol z = y2, trong m t ph ng (y, z)
t o lên khi quay quanh tr c oz).
Hàm Z = F(x2 + y2) v i F là kh vi liên t c b t kì c ng là nghi m c a
ph

ng trình trên.
1.3. Phân lo i ph

ng trình đ o hàm riêng.

nh ngh a 1.3.
i) Ph

ng trình đ o hàm riêng đ

c g i là tuy n tính n u n u nh nó

tuy n tính v i n hàm và t t c các đ o hàm riêng c a nó.
ii) Ph

ng trình đ o hàm riêng đ

c g i là phi tuy n tính n u nó không

tuy n tính.
iii) Ph

ng trình đ o hàm riêng đ

c g i là t a tuy n tính (hay á tuy n

tính) n u nh nó tuy n tính đ i v i t t c các hàm cao nh t c a hàm ph i tìm.

Phan Th Chi n

7

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Ví d 1.1.

a. Ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m t.

u
u
  2  x1, x2 ,..., xn , u   ... 
x
x
u
 n  x1 , x2 ,..., xn , u 
 R  x1, x2 ,..., xn , u 
xn
X1  x1 , x2 ,..., xn , u 

b. Ph

(1.2)

ng trình đ o hàm riêng phi tuy n c p m t.
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0

1.4. Bài toán Cauchy: Tìm nghi m u =  (x1, x2, …, xn) c a ph

ng

trình (1.2) sao cho khi x1  x10 thì u =  (x1, x2, …,xn) trong đó  là m t hàm
cho tr

c. Ta có th thay vai trò x1 b ng m t trong các bi n còn l i.

2. Các ki n th c c s

2.1. Ph

ng trình vi phân
nh ngh a ph

2.1.1.

nh ngh a 2.1.1. Ph

ng trình vi phân.
ng trình vi phân là ph

ng trình liên h gi a

bi n đ c l p, hàm ph i tìm và đ o hàm c a hàm ph i tìm.
Ph

ng trình vi phân có d ng
F(x, y, y’,…, y(n)) = 0

(2.1)

Trong đó x là bi n đ c l p, y = y(x) là đ o hàm c a hàm ph i tìm.
Ví d 2.1.
dt
 3tx  4  0
dx

Ví d 2.2.
y’’’ + 2x5y’’ + 4xy – 7 = 0

Phan Th Chi n

8

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

2.1.2. C p c a ph

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình vi phân.

nh ngh a 2.1.2 C p c a ph

ng trình vi phân là c p cao nh t c a đ o

hàm c a hàm ph i tìm có m t trong ph
Ví d 2.3 Ph

ng trình đó.

ng trình vi phân

ví d 2.2 là ph

ng trình vi phân c p

ba.
2.1.3. Nghi m c a ph

ng trình vi phân.

nh ngh a2.1.3. Nghi m c a ph
ph

ng trình vi phân là m i hàm th a mãn

ng trình đó t c là m i hàm kh vi sao cho thay vào ph

ng trình đó nó

tr thành đ ng nh t th c.
Ví d 2.4. Ph

dy
 2 y có nghi m là hàm y = ce2x xác đ nh trên
dx

ng trình

kho ng  ,   ( c là h ng s tùy ý).
ng trình vi phân c p m t

2.2.Ph
2.2.1.

nh ngh a ph

nh ngh a 2.2.1. Ph

ng trình vi phân c p m t
ng trình vi phân c p m t là ph

ng trình có d ng

t ng quát là F(x, y, y’) = 0

(2.2)

Trong đó hàm F xác đ nh trong mi n D  R3
N u trong mi n D, t ph

ng trình (2.2) ta có th gi i đ

c y’

y’ = f(x, y)
thì ta đ

c ph

Trong ph

(2.3)

ng trình vi phân c p m t gi i ra đ o hàm.
ng trình (2.3) f là m t hàm 2 bi n, hàm này xác đ nh trong

mi n D nào đó c a không gian hai chi u.
nh ngh a 2.2.2. Hàm y =  (x) xác đ nh và kh vi trên kho ng
I = (a,b) đ

c g i là nghi m c a ph

ng trình (2.2) n u

a) (x,  (x),  ’(x))  D v i m i x  I.
b) F(x,  (x),  ’(x))  0 trên I.

Phan Th Chi n

9

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ví d 2.5. Gi i ph

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình:

dy
 2sin x, y(0)  2
dx

Gi i:
Ph

ng trình trên t

ng đ

ng v i

dy = 2sinxdx
L y nguyên hàm hai v ta đ

c

 dy   2sin xdx
 y =  2sin xdx  c
 y = - 2cos x  c
M t khác, ta l i có y(0) = 2 nên suy ra y  2cos x  4
V y nghi m c a ph

ng trình đ u là y  2cos x  4

2.2.2. Bài toán Cauchy.
Tìm nghi m y = y(x) c a ph

ng trình (2.3) sao cho x = x0 thì y = y0.

Trong đó x0, y0 là các giá tr tùy ý cho tr

c mà ta g i là các giá tr ban đ u.

i u ki n nghi m ph i tìm y = y(x) nh n giá tr y = y0 khi x = x0 g i là
đi u ki n ban đ u và kí hi u là: y(x0) = y0 ho c y x = y0.
0

Ví d 2.6 :Xét ví d 2.5 ta th y đi u ki n ban đ u c a bài toán là: x0 = 0
và y0 = 2.
2.2.3

nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy.

nh lý 2.2.3. Xét ph

ng trình (2.3) và các giá tr ban đ u (x0, y0) .

Gi s hàm f(x, y) và f’y(x, y) xác đ nh và liên t c trên mi n D. Khi đó
t i lân c n c a đi m x0 ph

ng trình (2.3) t n t i và duy nh t m t nghi m y =

y(x) c a bài toán Cauchy có ngh a là nghi m đó th a mãn ph

ng trình

dy
 f ( x, y) và y(x0) = y0.
dx

Phan Th Chi n

10

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

2.2.4. ý ngh a hình h c.
a) ý ngh a hình h c c a đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m.
T i m i đi m (x0, y0)  D t n t i và duy nh t m t đ
th a mãn ph

ng trình (2.3) đi qua.

b) ý ngh a hình h c c a ph
Xét ph

ng trình vi phân.

ng trình (2.3) trên mi n D, gi i ph

t c là tìm m t h đ
ti p tuy n đ

ng cong y = y(x)

ng trình (2.3) trên mi n D

ng cong mà t i m i đi m c a nó ta đã bi t h s góc c a

ng cong đó.

V y cho ph

ng trình (2.3) có ngh a là cho m t tr

ng h

ng trên mi n

D.
2.2.5. Nghi m t ng quát.
Gi s D là mi n trong R2 mà t i m i đi m M(x, y) c a nó đi u ki n c a
đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ
Khi đó hàm y = y(x, c) (2.4) có đ o hàm riêng theo x đ
quát c a ph

c th a mãn.

c g i là nghi m t ng

ng trình (2.3) n u nó th a mãn 2 đi u ki n sau:

i) V i m i đi m (x, y)  D t ph

ng trình (2.4) ta gi i đ

c duy nh t

đ i v i c.
ii) Hàm y = y(x) th a mãn ph

ng trình (2.3) v i m i giá tr c a h ng s

c khi đi m (x, y) ch y kh p mi n D.
Nh n xét:
a)Khi gi i ph
nghi m c a (2.3) d

ng trình vi phân (2.3) nhi u khi ta không tìm đ
i d ng y = y(x, c) mà ta ch tim đ

c

c m t bi u th c

( x, y, c)  0 .

Bi u th c d
ph

i d ng n này đ

c g i là ph

ng trình t ng quát c a

ng trình vi phân (2.3).

Phan Th Chi n

11

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

b) Trong th c t ng

i ta th

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng đ ng nh t nghi m t ng quát và tích

phân t ng quát v i nhau.
c) V ph
đ u là h đ

ng di n hình h c thì tích phân t ng quát và nghi m t ng quát
ng cong th a mãn ph

ng trình (2.3).

2.2.6. Khái ni m nghi m riêng.
Nghi m y = y(x) đ

c g i là nghi m riêng c a ph

ng trình (2.3) n u t i

m i đi m c a nó đ u có đi u ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ

c

th a mãn.
Ví d 2.7 Gi i ph
Gi i ph

ng trình

ng trình (2.4) ta đ

y

dy
dx
, y(2)  3

y
x

(2.4)

c

c
(c = const)
x

Mà

y(2)  3  3 

c
2

c6
V y ta tìm đ

cm tđ

ng cong d ng y 

Trong ví d này ta th y y 

cho còn y 

c
là nghi m t ng quát c a ph
x

6
là nghi m riêng c a ph
x

Nh n xét: Nghi m riêng th

ng trình đã

ng trình đã cho.

ng tìm đ

Gi s nghi m t ng quát c a ph
nghi m riêng c a ph

6
x

c t nghi m t ng quát.

ng trình (2.3) là y = y(x, c). đ tìm

ng trình (2.3) v i giá tr ban đ u (x0, y0) ta tìm c0 =

 (x0, y0). Sau đó thay y0 = y(x, c0) = y(x,  (x0, y0)).
2.2.7. Nghi m kì d .

Phan Th Chi n

12

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p
Nghi m y = y(x) đ

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

c g i là nghi m kì d n u mi n D t n t i đi m t i đó

tính duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ
2.3. H ph
2.3.1

ng trình vi phân.

nh ngh a h ph

ng trình vi phân chu n t c c p m t.

nh ngh a 2.3.1.1 H ph

ph

c vi ph m.

ng trình vi phân chu n t c c p m t là h

ng trình có d ng
 dy1
 f1 x, y1,..., yn

 dx
 dy2
 f2 x, y1,..., yn

 dx
....................................

 dyn
 dx  fn x, y1,..., yn


H (2.5) còn đ













c vi t d

(2.5)

i d ng véc t nh sau

dY
 f  x, Y
dx

(2.6)

Trong đó
 dy1 
 y1 

 f1 
 
dx 

y


dY
Y   2  ;

 ...  ; f  ... 
... dx 
f 
 
dyn 
n


y
 n 
 dx 

Nh n xét: Trong v ph i c a h ph
đ u gi i đ

c đ i v i đ o hàm

ng trình (2.5) v i m i ph

ng trình

dy1
(i = 1,2,…).
dx

Còn v ph i không ch a đ o hàm c a hàm c n tìm.
2.3.2. Nghi m c a h ph
Nghi m c a h ph

ng trình vi phân chu n t c c p m t.

ng trình vi phân chu n t c c p m t (2.5) là t p h p n

hàm kh vi y1 = y1(x), y2 = y2(x) ,…, yn(x) trên m t hàm nào đó sao cho chúng

Phan Th Chi n

13

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

th a mãn t t c các ph
chúng vào h (2.5) ta đ

ng trình đ o hàm riêng c p m t

ng trình c a h (2.5) hay nói cách khác khi thay
c các đ ng nh t th c.

2.3.3. Bài toán Cauchy v s t n t i và duy nh t nghi m c a h vi
phân chu n t c c p m t.
a) Bài toán Cauchy c a h vi phân (2.5) đ

Tìm nghi m

c hi u nh sau

 y1  y1  x

 y2  y2  x

.................

 yn  yn ( x)

(2.7)

th a mãn các đi u ki n ban đ u cho tr

c : y10 , y20 ,..., yn0 có ngh a là

y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,..., yn  x0   yn0 trong đó x0 , y10 ,..., yn0 là các giá tr cho

tr

c tùy ý mà ta g i đó là các giá tr ban đ u.
b)

nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m.
nh lý 2.3.3. Gi s h ph

ng trình vi phân (2.5) có các hàm fi

(i = 1, 2, …) liên t c và có các đ o hàm riêng

fi fi
f
,
,..., i (i = 1, 2, …)
y1 y2
yn

trong mi n D nào đó D  Rn+ 1
Khi đó t i m t lân c n c a đi m x0 sao cho h ph

ng trình (2.5) t n t i

m t h nghi m:
 y1  y1 ( x)

 y2  y2 ( x)

.................
 y  y ( x)
n
 3

th a mãn đi u ki n Cauchy (2.7).
2.3.4. Các loai nghi m c a h ph

ng trình vi phân chu n t c c p

m t.

Phan Th Chi n

14

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

2.3.4.1: Nghi m t ng quát.
nh ngh a 2.3.4.1. Gi s mi n D  Rn+ 1 là mi n trong đó các đi u
ki n c a đ nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy đ

c

th a mãn (2.5), (2.7).
V y n hàm
 y1  y1 ( x, c1, c2 ,..., cn )

 y2  y2 x, c1, c2 ,..., cn

....................................
 y  y x, c , c ,..., c
n
n
1 2
 n









(2.8)

ph thu c n h ng s c1, c2,…, cn có đ o hàm riêng liên t c theo x đ

c g i là

nghi m t ng quát c a h vi phân (2.5) n u:
i) V i m i (x, y1, y2, …,yn)  D. T h ph
(x, y1, y2, …,yn)  D ta gi i đ

ng trình (2.8) v i m i

c duy nh t đ i v i c1, c2,…, cn v i











c   x, y ,..., yn
1
1
 1
c   x, y ,..., y
n
2
2
1

.................................

cn  n x, y1,..., yn

(2.9)

ii) T p n c a hàm (2.8) th a mãn h (2.5) v i m i h ng s c1, c2,…, cn.
2.3.4.2. Nghi m riêng.
Nghi m riêng c a h ph

ng trình vi phân (2.5) là nghi m c a h (2.5)

và t i m i đi m c a nó đi u ki n duy nh t nghi m c a đ nh lý Cauchy đ

c

th a mãn.

Nh n xét: Nghi m riêng c a h (2.5) c ng có th tìm t nghi m t ng quát
b ng cách cho các h ng s c1, c2,…, cn các giá tr nào đó.
2.3.4.3. Tích phân t ng quát.
Gi i h ph

ng trình vi phân (2.5) nhi u khi ta ch tìm đ

Phan Th Chi n

15

c các h th c

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph



ng trình đ o hàm riêng c p m t



 x, y ,..., yn , c ,..., cn  0
1
1
 1

..............................................

 n x, y1,..., yn , c1,..., cn  0



H th c này đ

(2.10)



c g i là tích phân t ng quát c a h vi phân (2.5).

2.3.4.4. Nghi m kì d .
Nghi m c a h ph

ng trình vi phân (2.5) mà t i m i đi m c a nó đi u

ki n duy nh t nghi m c a bài toán Cauchy không đ

Phan Th Chi n

16

c th a mãn.

K 30 E Toán

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Ch
Ph
1. Ph

Xét ph

ng 2

ng trình đ o hàm riêng c p m t
ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m t.

ng trình đ o hàm riêng c p m t

X1  x1, x2 ,..., xn , u 

u
u
u
 X2  x1, x2 ,..., xn , u 
 ...  Xn  x1, x2 ,..., xn , u 
 R  x1, x2 ,..., xn , u 
x1
x2
xn

(1.1)
Ta có các đ nh ngh a sau:
nh ngh a: Ph

ng trình (2) đ

c g i là ph

tuy n tính thu n nh t c p m t n u (1.1) đ
X1 ( x1, x2 ,..., xn , u )

c vi t d

ng trình đ o hàm riêng
i d ng

u
u
u
 X2 ( x1, x2 ,..., xn , u )
 Xn ( x1, x2 ,..., xn , u )
 0 (1.2)
x1
x2
xn

Trong đó các hàm X1, X2, …,Xn không ph thu c bi n u, không đ ng
th i tri t tiêu t i b t kì đi m nào c a mi n đang xét. Ngoài ra ta gi thi t trong
mi n đó các hàm X1, X2, …,Xn liên t c cùng v i t t c các đ o hàm riêng c p

m t c a chúng.
nh ngh a: Ph

ng trình (1.1) đ

c g i là ph

ng trình đ o hàm riêng

tuy n tính c p m t không thu n nh t n u các h s Xj có th ch a u và v ph i
có hàm R. Khi R  0 nh ng có m t hàm Xj ch a u thì ph
ph

ng trình v n coi là

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t. B i v y ta luôn gi

thi t r ng các hàm Xj, R kh vi liên t c và các hàm Xj không đ ng th i tri t
tiêu trong mi n bi n thiên đang xét c a các bi n X1, X2, …,Xn, u.
Ph
vi t d

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không thu n nh t c p m t đ
i d ng:

Phan Th Chi n

17

K 30 E Toán

c


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

X1  x1, x2 ,..., xn , u  u  X2  x1, x2 ,..., xn , u  u  ... 
x1
x2
 Xn  x1, x2 ,..., xn , u  u  R x1, x2 ,..., xn , u 
xn

1.1. Ph

(1.3)

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t c p m t.

1.1.1. M i liên h gi a ph
nh t c p m t và h ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n

ng trình vi phân th

ng d ng đ i x ng t

ng

ng.
Cùng v i ph

ng trình (1.2) ta xét h ph

ng trình vi phân th

ng d

i

d ng đ i x ng sau

dx1
dx2
dxn

 ... 
X1  x1, x2 ,..., xn  X2  x1, x2 ,..., xn 
Xn  x1, x2 ,..., xn 
H (1.4) này đ
t

ng ng v i ph

c g i là h ph

ng trình vi phân th

(1.4)

ng d ng đ i x ng

ng trình (1.2).

Do X1, X2, …,Xn không ph thu c vào bi n u, không đ ng th i tri t tiêu
t i b t c đi m nào c a mi n đang xét và các hàm này liên t c cùng v i t t c
các đ o hàm riêng c p m t c a chúng nên h (1.4) th a mãn các đi u ki n c a
đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m.
Vì v y có th tìm đ

c h n tích phân đ u đ c l p c a h (1.4)











 x , x ,..., x  c
1
n
 1 1 2


 2 x1, x2 ,..., xn  c2

................................

 n x1, x2 ,..., xn  cn


Trong không gian (x1, x2,…,xn) h tích phân đ u đ c l p này xác đ nh m t
h đ

ng cong ph thu c n - 1 tham s g i là đ

trình (1.2). T đó m i liên h gi a ph
thu n nh t c p m t và h ph
ng đ

ng đ c tr ng c a ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính

ng trình vi phân th

ng d ng đ i x ng t

c xác đ nh qua các đ nh lý sau:

Phan Th Chi n

18

ng

K 30 E Toán

ng


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

nh lý 1.1. V trái c a tích phân đ u b t kì   x1, x2 ,..., xn   c là nghi m
không t m th

ng c a ph

ng trình (1.2).

Ch ng minh:
Theo đ nh ngh a tích phân đ u   c d c theo đ

ng cong tích phân c a

h (1.4) và do đó

dx j  0
j 1 x j

n

d  

Vì d c theo m i đ

dx j  X j

(1.5)

ng cong tích phân c a (1.4) ta có

dx1
, j  2,..., n
X1

(1.6)

Thay (1.6) vào (1.5) ta có

 X2
 Xn
dx1 
dx1  ... 
dx  0
x1
x2 X1
xn X1 1

Hay

X1




 X2
 ...  Xn
0
x1
x2
xn

(1.7)

T i m i đi m (x1, x2,…,xn) c a mi n đang xét đ u có m t đ

ng cong

tích phân c a h (1.4) đi qua nên đ ng nh t th c (1.7) th a mãn v i m i (x1,
x2,…,xn) thu c mi n đang xét.





i u này ch ng t hàm u  x1, x2 ,..., xn là

nghi m c a h (1.4). Ta có đi u ph i ch ng minh.





nh lý 1.2. Gi thi t u  x1, x2 ,..., xn là nghi m không t m th
c a ph

ng trình (1.2). Khi đó h th c

  x1, x2 ,..., xn   c
là m t tích phân đ u đ c l p c a h (1.4).
Th t v y, theo gi thi t ta có

Phan Th Chi n

19

K 30 E Toán

ng


Lu n v n t t nghi p

X1

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t




 X2
 ...  Xn
0
x1
x2
xn

(1.8)

Ta l y vi phân toàn ph n hàm  d c theo nghi m c a h (1.4)
d 




dx1 
dx2  ... 
dx
x1
x2
xn n

  X1



 x1 Xn



  X1




 X2
 
 ... 
 dx
x2 Xn
xn  n



  dxn
 X1
 ...  X1

x1
x1
x1  Xn

Theo gi thi t ta có th coi Xn  0. Khi đó t (1.8), (1.9) ta suy ra

d  0 d c theo nghi m c a h (1.4).

i u này ch ng t   x , x ,..., xn   c

1 2




là tích phân đ u c a h (1.4).
T m i liên h gi a ph
c p m t và h ph
các b
B
v i ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính thu n nh t

ng trình vi phân th

c tìm nghi m không t m th
c 1: Tìm h ph

ng d ng đ i x ng t

ng c a ph

ng trình vi phân th

ng ng ta có

ng trình (1.2) nh sau:
ng d ng đ i x ng t

ng ng

ng trình đ o hàm riêng đang xét.

B

c 2: Tìm các tích phân đ u đ c l p.

B

c 3: K t lu n nghi m.

Ví d 1.1. Xét ph

ng trình

T (1.10) ta có h ph

x

u
u
u
 2y  z  0
x
y
z

ng trình vi phân th

(1.10)

ng d ng đ i x ng t

ng ng

là

dx  dy  dz
x 2 y  z
D th y ph

ng trình này có 2 tích phân đ u đ c l p là

xz  c1, x y  c2

Phan Th Chi n

20

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

V y u1  xz, u2  x y là các nghi m không t m th

ng c a ph

ng

trình đ o hàm riêng c p m t.

1.1.2. Nghi m t ng quát c a ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính

c p m t.
nh lý 1.3. Gi

thi t   x , x ,..., xn   c ,   x , x ,..., xn   c , …,
2 1 2
2
1 1 2
1








 n1  x1, x2,..., xn   cn1 là các tích phân đ u d c l p c a h (1.4). Khi đó




u   1, 2 ,..., n1 


(1.11)



V i  là hàm b t kì có các đ o hàm riêng theo  1,..., n1 liên t c s
cho ta nghi m t ng quát c a ph

ng trình (1.2).

Ch ng minh:
Vi c ch ng minh đ nh lý này đ

c ti n hành nh sau:

Ch ng minh v ph i c a (1.11) là nghi m c a (1.2).
Ch ng minh nghi m c a ph
ph

ng trình (1.11) ch a m i nghi m c a

ng trình (1.2), t c (1.11) là nghi m t ng quát c a (1.2).
Th t v y, thay (1.11) vào (1.2) ta có

X1




 X2
 ...  Xn

x1
x1
xn
n 1
n 1
n 1
 j
  j
  j
= X1  
 X2 
 ...  Xn 
j 1  j x1
j 1  j x2
j 1  j xn

n1

=

 

 X1


j 1  j 


 j
 j
 j 
 X2
 ...  Xn
 0
x1
x2
xn 

Theo đ nh lý 1.1 ta có  j là nghi m c a ph

ng trình (1.2) hay v ph i

c a (1.11) là nghi m c a (1.2).

Phan Th Chi n

21

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t





Gi s u  x1, x2 ,..., xn là m t nghi m c a ph

ng trình (1.2). Ta đi

ch ng minh có m t hàm  có các đ o hàm riêng liên t c sao cho
u    1, 2 ,..., n1 

Theo ch ng minh trên ta có  ,1,..., n1 đ u là nghi m c a ph

ng

trình (1.2) nên
 n

0
 Xi
xi
 i 1
 n
 1
 Xi
0
xi
 i 1

................

 n
 n1
0
 Xi
xi
 i 1




(1.12)



Ta coi h ph

ng trình (1.12) nh h n ph

ng trình đ i s tuy n tính

thu n nh t đ i v i X1, X2, …,Xn không đ ng th i tri t tiêu nên h ph

ng trình

(1.12) t i m i đi m (x1, x2,…,xn) c a mi n đang xét có nghi m không t m
th

ng. V y đ nh th c Grame c a hêi ph i b ng không, t c là



.................
x1
xn
 1

................ 1
x1
xn  0
........................
 n1

............. n1
x1
xn
T đó ta suy ra các hàm  ,1,..., n1 là ph thu c nhau, t c là t n t i h
th c
F  , 1,..., n1   0

Phan Th Chi n

22

(1.13)

K 30 E Toán

Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

M t khác, các tích phân đ u c a h

1  x1, x2 ,..., xn   c1 , 2  x1, x2 ,..., xn   c2 ,…, n1  x1, x2 ,..., xn   cn1 đ c l p
nên có ít nh t m t đ nh th c c p n-1 d ng

D  1, 2 ,..., n1 
0
D( x1 ,..., xn1 )
V y t (1.13) ta có    1, 2 ,..., n  .
V y đ nh lý đ

c ch ng minh.

Nh n xét: Nh n th y vi c tìm nghi m t ng quát c a ph
t

ng đ

ng v i vi c tìm n tích phân đ u đ c l p c a h (1.4).

Ví d . Gi i ph
x1

Ph

t

ng trình (1.2)

ng trình

u
u
u
 x2
 ...  xn
0
x1
x2
xn

ng trình (1.14) có h ph

(1.14)

ng trình vi phân th

ng d ng đ i x ng

ng ng là

dx1 dx2

 ...  dxn
x1 x2

xn
Tích phân h (1.14’) ta thu đ

c1 

(1.14’)
c n tích phân đ u đ c l p

x
x2
, c2  3 ,..., cn1  xn
x1
x1
x1



V y u    x2 , x3 ,..., xn  là nghi m t ng quát c a ph
 x1 x1
x1 


ng trình trong đó

 là hàm kh vi, liên t c theo các bi n x1, x2,…,xn. Ch ng h n u có th là các

hàm sau:
2

x 

x 
x
x x
x
x
u  2 ,..., u  n ; u  2  3  ...  n ; u   2  ; u  sin  2  ;...
x1
x1
x1 x1
x1
 x1 
 x1 

Ví d 1.3. Gi i ph

Phan Th Chi n

ng trình

23

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

 z  y ux   x  z uy   y  x uz  0
H ph

ng trình vi phân th

(1.15)

ng d ng đ i x ng t

ng ng là

dx
dy
dz


z y x z y x

Tích phân h (1.15’) ta thu đ

(1.15’)

c 2 tích phân đ u đ c l p

1  x  y  z; 2  x2  y2  z2





Do đó bi u th c u   x  y  z, x2  y2  z2 là nghi m t ng quát c a
ph

ng trình (1.15). Trong đó  là hàm 2 bi n kh vi liên t c b t kì.
1.1.3. Bài toán Cauchy
Tìm nghi m u = u(x1, x2, …,xn) c a ph

ng trình (1.2) th a mãn đi u

ki n ban đ u

u  u  x1, x2 ,..., xn1  khi xn  xn0
Trong đó u là hàm kh vi liên t c cho tr

c c a các bi n x1, x2, …,xn (t c

là v i m t giá tr c đ nh c a m t trong các đ i s thì nghi m u tr thành hàm
đã cho c a các đ i s còn l i)
Cách gi i:
Ta th y n u  1( x1, x2 ,..., xn ), 2 ( x1, x2 ,..., xn ),..., n ( x1, x2 ,..., xn ) là
các tích phân đ u đ c l p cu h ph
nghi m t ng quát c a ph

ng trình vi phân th

ng (1.4) thì

ng trình có d ng

u    1, 2 ,..., n 

Phan Th Chi n

24

K 30 E Toán


Lu n v n t t nghi p

Ph

ng trình đ o hàm riêng c p m t

Do đó bài toán tìm nghi m u = u(x1, x2, …,xn) c a ph

ng trình (1.2)

th a mãn đi u ki n
u

xn  xn0

   x1, x2 ,..., xn1 

(1.17)

đ a v d ng xác đ nh hàm  sao cho
  1, 2 ,..., n1 

Kí hi u

   x1,..., xn1 

xn  xn0











(1.18)

 x , x ,..., x , x0  
n 1 n
1
 1 1 2

0
 2 x1, x2 ,..., xn1, xn   2

............................................

 n x1, x2 ,..., xn1, xn0   n


Suy ra đ ng th c (1.18) đ



(1.19)

c vi t



  1, 2 ,..., n1    x1, x2 ,..., xn1 

H (1.19) gi i đ



(1.20)

c đ i v i x1, x2, …,xn-1 ít nh t trong m t lân c n nào đó







c a đi m x10 , x20 ,..., xn0 mà ta gi thi t Xn x10 , x20 ,..., xn0  0. Khi đó ta có








 x    , ,...,
1
1
2
n 1
 1

 x2  2  1, 2 ,..., n1

......................................

 xn1  n1  1, 2 ,..., n1






T đó n u l y hàm  d ng
( 1, 2 ,..., n1 )   1  1, 2 ,..., n1  ,...,n1  1, 2 ,..., n1 


thì đi u ki n (1.20) đ



c th a mãn.

Th t









v y, ( 1, 2 ,..., n1 )   1  1, 2 ,..., n1 ,...,n1  1, 2 ,..., n1 


Phan Th Chi n

25

K 30 E Toán