Luận văn sư phạm Ứng dụng của giải tích lôig để giải toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
-------------------

BÙI THỊ HỒNG HOA

ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI
ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2013


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ em trong 4
năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Năng
Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô

và các bạn để tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Hồng Hoa


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, cùng với đó là sự côc gắng của bản
thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là
kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các tác giả khác.
Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Hồng Hoa


MỤC LỤC

Mở đầu .................................................................................................. 1
Chương 1. Các kiến thức cơ bản của giải tích lồi ................................. 4
1.1. Tập hợp lồi................................................................................................... 4
1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi. .................................................................... 4
1.1.2 Tính chất. ........................................................................................ 4
1.2. Hàm lồi. ............................................................................................... 6
1.2.1 Định nghĩa hàm lồi. ........................................................................ 6
1.2.2 Một số tính chất của hàm lồi........................................................... 7
1.3. Định lí Kelli trong không gian hai chiều

. ...................................... 19

1.4. Định lí Kelli trong không gian một chiều

...................................... 21

Chương 2. Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán hình học. ..... 24
2.1. Các bài toán sử dụng định lí Kelli. ...................................................... 24
2.2. Các bài toán sử dụng tính chất của tập hợp lồi và bao lồi. ................... 28

Chương 3. Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải
tích. ...................................................................................................... 31
3.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức. .................................. 31
3.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển. ...................................... 37
3.1.2 Chứng minh các bất đẳng thức đại số. .......................................... 42
3.1.3

Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác . .............................. 46

3.1.4

Chứng minh các bất đẳng thức hình học. ..................................... 49

3.2. Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
.................................................................................................................. 52
3.3. Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương trình có tham
số. ............................................................................................................. 58

Kết luận. .............................................................................................. 60
Tài liệu tham khảo. ............................................................................. 61


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Gỉải tích lồi là một môn nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và
hàm lồi. Các kết quả Giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toán
học nhất là trong lí thuyết tối ưu hóa.
Trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã
được làm quen với khái niệm “ lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học. Hầu
hết chương trình hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều
giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn; rồi
đến các khối đa diện lồi như hình chop, hình lâng trụ, hình cầu hoặc các khối
tròn như hình nón hình trụ hình cầu. Trong đại số tính lồi, lõm của hàm số
được dạy trong các chương trình học về hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm
số.
Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng thành công
trong việc giải nhiều lớp các bài toán của hình học, đại số và giải tích sơ cấp
như: giải các bài toán bằng cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất của
tập hợp lồi và bao lồi, chứng minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ
phương trình và bất phương trình chứa tham số .
Với lí do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng của giải tích lồi để giải
toán sơ cấp”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic
đặc thù của bộ môn.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của giải tích lồi để giải toán sơ cấp.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông.
+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán sơ cấp.

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm ba chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ bản của giải tích lồi.
Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập hợp lồi và hàm
lồi được trình bày trong chương 1 của luận văn. Đó là những kiến thức cần
thiết sẽ sử dụng đến trong hai chương tiếp theo của luận văn này.
Chương 2. Ứng dụng của Giải tích lồi vào các bài toán Hình học.
Trong chương này giới thiệu cách vận dụng định lí Kelli về sự giao nhau khác
rỗng của một họ các tập hợp lồi và phép lấy bao lồi của một hình phẳng để
giải nhiều bài toán đặc sắc của Hình học tổ hợp.
Chương 3. Ứng dụng của Giải tích lồi vào các bài toán Đại số và Giải

tích.
Chương 3 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số các lớp các bài toán
Đại số và Lượng giác sơ cấp. Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng
thức kinh điển, các bất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các
bài toán về phương trình và bất phương trình chứa tham số.
Sử dụng các kết quả cơ bản của lí thuyết hàm lồi như bất đẳng thức
Jen-xen, tính chất “Cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục”,… hay đặc

2


trưng của tập hợp lồi sẽ cho phép chuáng ta giải được nhiều lớp bài toán khác
nhau trong Đại số và Lượng giác sơ cấp.

3


CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA

GIẢI TÍCH LỒI

1.1

Tập lồi

1.1.1 Định nghĩa
được gọi là lồi nếu

Định nghĩa 1: Tập

Định nghĩa 2: Giả sử
Đoạn nối

được định nghĩa như sau:

Nhận xét: Tập

và

là tập lồi.

Định nghĩa 3: Nếu

thì ta định nghĩa

1.2.2 Tính chất
Tính chất 1: Cho

và

là các tập hợp lồi. Khi đó

cũng là tập hợp lồi.

Chứng minh
Lấy

tùy ý thuộc

Do ,

là hai tập hợp lồi, mà

, và

là số thực tùy ý sao cho
;

4

, nên:


Từ đó

Vậy

là tập hợp lồi.

Đó là đ.p.c.m.
là các tập hợp lồi. Khi đó

Tính chất 2: Cho

cũng là tập hợp lồi.

Chứng minh
Đặt
Lấy

, thì
,

.

tùy ý thuộc , và

Vì

là số thực tùy ý.

với

,

với

,

.

Từ đó
(
.
Do ,

lồi mà

,

,

(1)

, nên :
;

Vì lẽ đó từ (1) suy ra
Điều đó có nghĩa là
Tính chất 3: Cho
nhất chứa

.
lồi, tứa là

+

lồi.

là tập hợp cho trước. Ta kí hiệu

(và thường gọi là bao lồi của tập hợp).
. Khi đó

Gọi

5

là tập hợp lồi nhỏ

Chứng minh
Không giảm tổng quát có thể cho rằng
hoặc

là tập hợp trong mặt phẳng

thì lí luận không có gì thay đổi).

Trước hết ta thấy rằng:

Thật vậy, ít nhất toàn mặt phẳng
Vì

chính là một tập hợp lồi chứa

là tập hợp lồi, nên như ta biết giao của các tập hợp lồi chính là tập

hợp lồi.

Mặt khác vì

là một tập hợp lồi chứa

Từ (1) và (2) suy ra

6

, nên dĩ nhiên

(nếu


1.2

Hàm lồi

1.2.1 Định nghĩa
Giả sử
trên

là tập hợp lồi trong
, nếu như với mọi

. Hàm số

,

:

→

, với mọi

, thì

1.2.2 Một số tính chất của hàm lồi
Tính chất 1: Cho

là tập hợp lồi trong

.

là các hàm lồi xác định trên

Giả sử
Cho

với mọi

cũng là hàm lồi trên

Khi đó hàm số

.

Chứng minh :
Đặt

Lấy

,

và

là số thực sao cho

Ta có

7

được gọi là lồi

.


Vì

là các hàm lồi với

, nên ta có với mọi

, thì
(2)
,

Do

nên từ (2) ta có:
,

.

Từ đó đi đến:

hay

Từ (1), (3) đi đến
.
Vậy

là hàm lồi trên

.

Tính chất 2: Cho hàm số
vừa lồi vừa lõm. (Để ý rằng

. Hàm
là aphin tức là

).
Chứng minh:
1) Giả sử

là aphin, tức là

8

là aphin khi và chỉ khi nó
ở đây


Rõ ràng vì với mọi

, với mọi

, ta có

(1)

Từ (1) suy ra

vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm trên

2) Đảo lại giả sử

là hàm vừ lồi vừa lõm trên

.
. Theo định nghĩa

, với mọi

của hàm lồi, hàm lõm ta suy ra với mọi

, ta

có:
.
với

Đưa vào xét hàm số
Với mọi

, với mọi

(2)

.

, theo (2) ta có:

(3)

Từ định nghĩa

suy ra:
(4)

Lấy

tùy ý thuộc

. Với

, từ (3) suy ra :

9


Từ đó theo (4) đi đến:
.
Với

, ta có ( lại theo (3))

,

Như vậy
Với mọi

ta có (dựa vào (3), (4))

Như vậy
Với

(5)

.

(7)

ta có dựa vào (6), (7)
(8)

Như vậy từ (5), (6), (8) suy ra
(9)
Với mọi

, theo (9) và (3) ta có :

10


Từ (9) và (10) đi đến

là hàm tuyến tính, tức là

có

dạng :
(11)
ở đây

là một hằng số nào đó. Như vậy

Đặt
Vậy

là hàm aphin.

Tính chất 3 : Cho
hàm lồi trên

là tập hợp lồi thuộc

. Hàm

khi và chỉ khi với mọi (

là một
, thì hàm một biến

;
.

là hàm lồi trên đoạn
Chứng minh :
1)

;

Giả sử
là hàm lồi trên đoạn

với mọi (

và

là số sao

cho
Ta có:
;
(1)
Từ (1) và do tính lồi của hàm

trên

11

, ta có:


(

Như vậy thay vào (1) ta có :

Bất đẳng thức (2) đúng với mọi (
nên

và

mà

,

là hàm lồi trên

2)

Bây giờ giả sử
tùy ý thuộc

(

là hàm lồi trên . Lấy

. Xét hàm số

xác định

như sau :
;
Ta phải chứng minh
Thật vậy, lấy

là hàm lồi trên

tùy ý thuộc

.
.

. Lấy sao cho

.

Ta có :
,
)

(3)

Để ý rằng :

,

12

(4)


.
là hàm lồi trên

do

(5)

, nên từ (4) và (5) suy ra :

VP(3)
(
hay

(6)

VP (3)

Kết hợp (3) và (7) đi đến

là hàm lồi trên

Vậy

Tính chất 4 : Cho

.

là tập hợp lồi. Hàm số

. Khi đó với mọi số thực

trên

là hàm lồi

, thì các tập

và
là các tập hợp lồi trong
Chứng minh:
Lấy

và

Theo cách xác định

, ta có

Vì

nên ta có :

là hàm lồi trên

và

.

(1)

(2)
Bây giờ từ (1) và (2) suy ra :

13


.

Điều đó có nghĩa là (

, và vì thế

là

tập hợp lồi trong
Hoàn toàn tương tự,

cũng là tập hợp lồi trong

Đó là đ.p.c.m.
Tính chất 5 : (Mối quan hệ giữa tập lồi và hàm lồi).
Giả sử

, ở đây

(

gọi là

Hàm

là lồi trên

là tập hợp lồi trên

khi và chỉ khi

. Đặt

là tập hợp lồi trong

.

Chứng minh :
1)

Giả sử

:

→

Lấy (

và

Theo định nghĩa của tập hợp

là hàm lồi trên

.

(

, ta có :

và
Do

là lồi trên , và do

(1)
, nên từ (1) ta có :
.

Do

mà

là tập hợp lồi nên :
.

14

(2)


Kết hợp với (2) suy ra điểm

, tức

là tập hợp lồi.

là

2)

Bây giờ ta giả sử

là tập hợp lồi. Gỉa thiết trái lại

không phải là hàm lồi trên
, tồn tại số

. Điều đó có nghĩa là tồn tại
sao cho:

)

(3)

Rõ ràng theo định nghĩa thì :
tức là
Do

là tập hợp lồi, mà

⇒

là tập hợp lồi.

, nên

(4)

Từ (4) theo định nghĩa của

, suy ra :

(5)

Từ (3), (5) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả thiết phản chứng là sai, suy ra
trên

là lồi

.

Đó là đ.p.c.m.
Tính chất 6: Cho

là tập hợp lồi trong

, và các hàm

là

các hàm lồi trên . Xét các hàm số sau trên
,

15

.


Khi đó

cũng là hàm lồi trên

Chứng minh :
Lấy (

và
,

;

và

(

ta có :
.
, nên với mọi

Vì
ta có :

(2)
Xét phần tử
(

(

(3)

tức là
Ta sẽ chứng minh rằng (
Do

,

và

, mà các

là các hàm lồi trên , nên :

(

(4)
thì :

Từ (2) và (4), suy ra với mọi
(

(5)

Bây giờ từ (1), (5) đi đến :

16


(

.

Vì lẽ đó, ta có :

hay

(

.

⇒

⇒(

Vậy (3) đúng. Như vậy với

là tập hợp lồi, tức là

là hàm lồi trên

điều này suy ra từ tính chất 5).
Tính chất 7: (
:

→

Cho

là tập hợp lồi trong

là hàm số xác định trên . Khi đó

chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với mọi
và

và ta có bất đẳng thức sau :

Bất đẳng thức (1) có tên gọi là
Chứng minh :

17

,

là hàm lồi trên
thuộc

khi và

, với mọi số


1)

Giả sử (1) thỏa mãn. Khi đó ứng với
nghĩa

, theo định

là hàm lồi trên

2)

Bây giờ giả sử

là hàm lồi trên

. Ta phải chứng minh

một là đúng.
Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau :
Với

, thì (1) hiển nhiên đúng.

Với

, theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng.

Giả sử (1) đã đúng đến
Xét với

.

Lấy

lấy

, với mọi

Ta có :

(rõ ràng ta có thể cho là

, với mọi

, vì nếu không áp

dụng giả thiết quy nạp sẽ suy ra điều cần chứng minh).

18

mà


Ta viết lại (2) dưới dạng sau

mà

là tập hợp lồi, nên :

Bây giờ vế phải của (3) có dạng :

, nên từ (4)

Để ý rằng
và theo giả thiết quy nạp suy ra :

Lại do

là hàm lồi, nên :

Bây giờ kết hợp (3), (4), (5), (6) suy ra :

19


Vậy (1) cũng đúng khi
Theo nguyên lí quy nạp suy ra (1) đúng với mọi .
Đó là đ.p.c.m.

1.3

Định lí Kelli trong không gian hai chiều
hình lồi (

Trong mặt phẳng cho

. Biết rằng giao của ba hình lồi

bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của

hình lồi cũng khác rỗng.

Chứng minh:
các hình lồi.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số

là bốn hình lồi có tính chất là giao của ba hình bất kì trong

Gọi

nên tồn tại

chúng là khác rỗng. Vì
Tương tự tồn tại
;

;

.

Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:
a) Nếu bốn điểm

,

không hoàn toàn khác nhau. Khi đó
. Từ đó suy ra :

không giảm tính tổng quát ta cho là

Nên

20

.


Vậy kết luận của định lí Kelli đúng trong trường hợp khi
b)

,

là bốn điểm phân biệt, khi này lại có hai khả năng

xảy ra
Bao lồi của
Giả sử

chính là tứ giác lồi

là giao điểm của hai đường chéo

mà

.

.

, nên

Do
Vì

,

nên

nên

. Nói riêng

.
.

Lập luận hoàn toàn tương tự suy ra

. Điều đó có

nghĩa là :

Bao lồi của chúng là tam giác chứa điểm còn lại bên trong.
Không giảm tổng quát ta có thể cho là ∆
,

Vì

đều thuộc

, mà

chứa

.

lồi nên toàn bộ miền trong ∆

thuộc

Vậy định lí Kelli đúng khi
2) Giả sử kết luận của định lí Kelli đúng đến

21