Luận văn sư phạm Ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức thức

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và tạo
điều kiện của các Thầy, Cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là các Thầy Cô giáo
trong tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội 2.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô giáo, đặc biệt là thầy
giáo GVC, Ths Phùng Đức Thắng đã động viên, hướng dẫn tận tình giúp
đỡ em hoàn thành khóa luận của em.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2013
Sinh viên

Trần Thị Duyên

1


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu tôi đã được kế thừa, tham khảo những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự tôn trọng và biết
ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công
trình nào khác.
Hà Nội, năm 2013
Sinh viên

Trần Thị Duyên

2

Lời nói đầu
Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ
thông hiện nay. Bất đẳng thức chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Bất đẳng
thức có mặt trong hầu hết các phân môn Toán: Số học, Đại số, Giải tích,
Lượng giác và Hình học. Các bài toán về bất đẳng thức luôn quyến rũ và là
niềm say mê của những người yêu toán.
Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, trong đó ứng dụng
Giải tích để chứng minh bất đẳng thức được xem là một phương pháp nhiều
khi cho lời giải đẹp, độc đáo và tỏ ra ưu việt hơn so với các phương pháp khác.
Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của Thầy Phùng Đức Thắng
cùng với sự say mê của bản thân em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện bài
khóa luận với đề tài: ứng dụng giải tích trong bài toán bất đẳng thức.
Nội dung chính của khóa luận gồm các chương:
- Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày những kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu các
phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở chương 2.
- Chương 2: ứng dụng giải tích trong bài toán bất đẳng thức.
ở đây trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử
dụng các yếu tố giải tích. Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng dụng tính
đơn điệu của hàm số.
Các ví dụ ở khóa luận này được sưu tầm từ những đề thi học sinh giỏi, đề thi
Olympic và một số ví dụ được lựa chọn trong tạp chí toán học và tuổi trẻ, các

3


sách chuyên đề. Em hi vọng rằng đề tài này sẽ nhận được sự ủng hộ và cổ vũ
của các thầy cô và các bạn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng đây là lần đầu tiên bước vào nghiên cứu
một đề tài khoa học nên em không tránh khỏi những bỡ ngỡ. Do thời gian có

hạn, điều kiện nghiên cứu còn hạn chế, đặc biệt là nguồn tài liệu cũng chưa
thực sự phong phú nên khóa luận cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Em
kính mong được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để
khóa luận được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa ân cần chỉ bảo,
tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình
làm đề tài, đặc biệt là thầy giáo Phùng Đức Thắng đã hướng dẫn em hoàn
thành đề tài này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Duyên

4


Mục lục

Lời cảm ơn. ........................................................... 1
Lời cam đoan. ............................................................ 2
Lời nói đầu. ............................................................... 3
Mục lục ............................................................. 5
M u .......................................................................................................... 7
Chương 1 : Các kiến thức bổ trợ ............................................................ 9
1.1 lý thuyết hàm lồi. ............................................................ 9
1.1.1 Tập lồi .............................................................. 9
1.1.2 Hàm lồi........................................................... 12
1.2 Tính đơn điệu của hàm số. ............................................................ 16
1.2.1 Định nghĩa. ............................................................. 16
1.2.2 Định lý ........................................................... 17
Chương 2: ứng dụng lý thuyết hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số để

chứng minh bất đẳng thức. .............. 18
2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức .. .......................... 18
2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển. .............................. 18

5


2.1.2 Các bất đẳng thức đại số ............................ 26
2.2 Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức. ............................... 34
2.2.1 Phương pháp chung ............................ 34
2.2.2 Một số bài toán. ............................. 34
2.2.3 Các bài toán tương tự vận dụng phương pháp trên ......................... 49
Kết luận.......................... 50
Tài liệu tham khảo. ........................... 51

6


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một môn khoa học nghiên cứu các tính chất như tập hợp lồi,
hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số,Các kết quả của giải tích được áp dụng
trên nhiều lĩnh vực.
Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã được
làm quen với các khái niệm lồi và đơn điệu ngay từ khi cấp 2 khi học môn
Hình học và Đại số. Hầu hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và
Trung học phổ thông đều giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang,
hình bình hành, hình tròn,Trong đại số, tính lồi, lõm, tính đơn điệu của hàm
số được giảng dạy trong các chương trình học về hàm số bậc hai và dùng để
khảo sát hàm số.

Sử dụng các kết quả cơ bản của hàm lồi và tính đơn điệu của hàm số cho
chúng ta thành công trong việc giải các bài toán đại số và giải tích sơ cấp như
chứng minh các bất đẳng thức.
Với lý do trên em đã chọn đề tài ứng dụng giải tích trong các bài toán
bất đẳng thức, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức
Thắng.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức.

7


4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông.
+ Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương:
Chương 1. Các kiến thức bổ trợ.
Chương 2. ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức
Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm
đơn điệu được trình bày trong chương 1.
Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi và tính đơn điệu của hàm số để
giải một số bài toán đại số và giải tích. Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất
đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức đại số.

8

Chng 1
Kiến thức cơ sở

1.1. Lý thuyết hàm lồi
1.1.1. Tập lồi
Định nghĩa và tính chất
Giả sử X là một không gian tuyến tính, là một tập số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập A X được gọi là tập lồi nếu:
x1 , x2 A : 0;1 x1 1 x2 A

Nhận xét 1.1. Tập là tập lồi.
Giả sử A X ; x1 , x2 A
Định nghĩa 1.2. Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau:

x , x x A : x x 1 x ,0 1
1

2

1

2

Nhận xét 1.2. Tập A là tập lồi nếu x1 , x2 A x1 , x2 A
Ví dụ 1.1. Các nửa khoảng là các tập lồi. Tam giác và hình tròn đơn vị trong
mặt phẳng là tập lồi. Hình cầu trong không gian Banach là tập lồi,
Mệnh đề 1.1. Giao tùy ý của các tập lồi là tập lồi.
Chứng minh

9


Giả sử A X I là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì. Khi đó tập
A A cũng là tập lồi.
I

Thật vậy, lấy x1 , x2 A x1 , x2 A I
Do A lồi nên x1 1 x2 A I , 0;1 x1 1 x2 A ,
suy ra A là tập lồi.





Mệnh đề 1.2. Giả sử Ai X lồi i i 1, m . Khi đó

m

A
i 1

i

i

là tập lồi.

Chứng minh
m

Đặt A i Ai , x, y A thì
i



x 1 x1 2 x2 ... m xm ; y 1 y1 2 y2 ... m ym xi , yi Ai ; i 1, m



Với mọi 0;1 ta có
m

m

m

i 1

i 1

i 1

x 1 y i xi 1 i yi i xi 1 yi



Do Ai lồi x1 1 x2 Ai , i 1, m

m

i xi 1 yi A , suy ra A là tập lồi.
i 1





Mệnh đề 1.3. Giả sử X i là không gian tuyến tính, tập Ai X i lồi i 1, m .
Khi đó tích đề các A1 A2 ... Am là tập lồi trong X 1 X 2 ... X m
Chứng minh

10


Đặt A A1 A2 ... Am , x x1 , x2 ,..., xm , y y1 , y2 ,..., ym 0;1 ta có

x 1 y x1 , x2 ,..., xm 1 y1 , 1 y2 ,..., 1 ym
x1 1 y1 , x2 1 y2 ,..., xm 1 ym



Do Ai X i lồi nên xi 1 yi Ai , xi , yi Ai , i 1, m



x 1 y A1 A2 ... Am A . Suy ra A lồi.
Mệnh đề 1.4. Giả sử X , Y là không gian tuyến tính, f : X Y là toán tử

tuyến tính, khi đó :
a) A X lồi f A lồi trong Y
b) B Y lồi nghịch ảnh f 1 B của B là tập lồi.
Chứng minh
a) y1 , y2 f A x1 , x2 A để f x1 y1 , f x2 y2 .
Do A lồi nên 0;1 ta có x1 1 x2 A

f x1 1 x2 f A
f x1 1 f x2 f A (Do f là toán tử tuyến tính)

y1 1 y2 f A f A lồi.
b) x1, x2

f B ; 0;1 ta có
1

f x1 1 x2 f x1 1 x2 B
(do B lồi) x1 1 x2 f 1 B . Suy ra f 1 B lồi.

11


Định nghĩa 1.3. Vecto x được gọi là tổ hợp lồi của các vecto x1,x2,...,xm
nếu i 0 i 1,2,..., m ,

m

m

i

i

i 1 sao cho x i xi .

Định lý 1.1. Giả sử tập lồi, x1 , x2 ,..., xm . Khi đó chứa tất cả các
tổ hợp lồi của x1 , x2 ,..., xm .
Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp.
+) m 2 .

1 , 2 0; 1 2 1; x1 , x2

theo định nghĩa ta có

1 x1 2 x2 .
+)

Giả

sử

kết

luận

đúng

mk

với

ta

sẽ

chứng

minh

rằng x1 , x2 ,..., xk 1

i 0 i 1,2,..., k 1 ,

k 1

k 1

i 1

i 1

i 1 , x i xi

Có thể xem như k 1 1 (vì nếu k 1 1 thì i 0, i 1, 2,..., k )
x k 1 xk 1 . Khi đó 1 k 1 1 2 ... k 0

i
0 i 1, 2,..., k . Lại vì
1 k 1

nạp ta có y

i

k

1
i 1

1 cho nên theo giả thiết quy

k 1

1
k
x1 ...
x2 .
1 k 1
1 k 1

Với các điểm y, xk 1 ta có 1 k 1 0; 1 k 1 k 1 1
Do đó x 1 k 1 y k 1 xk 1 x 1 x1 ... k 1 xk 1 chứa tất
cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 ,..., xm m .

12


1.1.2. Hàm lồi
1.1.2.1. Các định nghĩa
Giả sử là một không gian lồi địa phương,

D X , , f : D

Định nghĩa 2.1. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epi f , được định nghĩa như

epi f x, r : f x r.

sau :

Định nghĩa 2.2. Miền hữu hạn của hàm f , kí hiệu là dom f , được định
nghĩa như sau :

dom f x D : f x .

Định nghĩa 2.3. Hàm f được gọi là chính thường nếu

dom f và f x x D
Định nghĩa 2.4. Hàm f gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong X
Hàm f được gọi là lõm trên D nếu f là hàm lồi trên D.
Nhận xét 2.1 : f lồi dom f lồi.
Thật vậy, dom f là hình chiếu của epi f lên X.

dom f = x : f x x : r , x, r epi f .
Như vậy, dom f là ảnh của tập lồi epi f qua ánh xạ tuyến tính

p:
Theo mệnh đề 1.4 thì dom f là tập lồi.

13

.

.


1.1.2.2. Các điều kiện đương
Định lý 2.1. Giả sử D là tập lồi trong không gian , hàm f : D , .
Khi đó f lồi trên D khi và chỉ khi :

f x 1 y f x 1 f y , 0;1 , x, y D

(2.1)

Chứng minh
1. Điều kiện cần. Giả sử f là hàm lồi. Không mất tính tổng quát có thể xem
như 0;1 . Do domf lồi nên x, y domf x 1 y domf
Suy ra f x 1 y . Vì thế không xảy ra trường hợp: f x ,

f y mà f x 1 y . Do 0;1 nên f x . Suy ra

f x .
Vậy nếu x hoặc y domf thì f x hoặc f y và (2.1) đúng.
Bởi vì epif lồi, x, r , y, s epif, 0;1 ta có

x, r 1 y, s x 1 y, r 1 s epif
f x 1 y r 1 s
f x 1 y f x 1 f y (lấy r f x , s f y ).
2. Điều kiện đủ. Giả sử (2.1) đúng. Lấy (x, r), (y, s) epif, 0,1 . Ta phải

f x r , f y s .
f x 1 y f x + 1 f y r 1 s

x 1 y, r 1 s epif.

14


Định lý 2.2 (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử f : D , . Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi i 0 ,

(i 1,2,..., m) ,

m


i 1

i

1,x1 , x2 ,..., xm D

f 1 x1 2 x2 ... m xm 1 f x1 2 f x2 ... m f xm .
(dấu đẳng thức xảy ra x1 x2 ... xm ).
Mệnh đề 2.1. Giả sử f : , . Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi

f x 1 y r 1 s, 0,1 , x, y : f x r , f y s .
Định lý 2.3. Hàm thuần nhất dương f : , là lồi khi và chỉ khi

f x y f x f y x, y .
Chứng minh
a) Điều kiện cần. Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi. Lấy x, y . Khi đó
1

x y 1

f x y 2 f
f x f y f x f y .
2
2 2


b) Điều kiện đủ. Nếu thuần nhất dương và: f xy f x f y , x, y . Khi
đó ta có f x 1 y f x f 1 y f x 1 f y .
Vậy f là hàm lồi.
Hệ quả 2.3.1. Giả sử f là một hàm chính thường, thuần nhất dương. Khi đó

xi , i 0 i 1,2,..., m

f 1 x1 2 x2 ... m xm 1 f x1 2 f x2 ... m f xm .
Hệ quả 2.3.2. Giả sử f là một hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi
đó f x f x 0 x .

15


Mệnh đề 2.3. Giả sử f : D là một ánh xạ lồi. Khi đó f khả vi trái và
phải tại mọi điểm thuộc intD và với mọi a, b, c D 3 sao cho a b c ta có

f b f a
f c f a
ft ' b f p' b
ba
ca

( f p' b , f t ' b : đạo hàm phải (trái) của f tại b).
Hệ quả. Nếu f lồi trên khoảng D thì f liên tục trên int D.
Nhận xét: Hàm f có thể lồi trên a, b nhưng vẫn gián đoạn tại a hoặc liên
tục tại a nhưng không khả vi tại a .
Định lý 2.4. Cho f : D khả vi trên D. Để f là hàm lồi trên D điều kiện
cần và đủ là f ' tăng trên D.
Hệ quả 2.4.1. Cho f : D khả vi hai lần trên D. Điều kiện cần và đủ để

f là hàm lồi là: f " 0.
1.1.2.3. Hàm lồi nhiều biến
Giả sử D là miền lồi trong mặt phẳng (x,y), tức là miền chứa toàn bộ đoạn
thẳng nối hai điểm bất kì của nó. (trong giới hạn của đề tài ta chỉ khảo sát các
miền chữ nhật).
Hàm x, y được gọi là lồi trong D nếu nó xác định khắp nơi trong D và
x1 x2 y1 y2 1
,
x1 , y1 x2 , y2
2 2
2



(2.3.1)

Đối với tất cả x1 , y1 , x2 , y2 D.
Nhận xét: Định nghĩa này tổng quát hơn so với tính lồi riêng biệt đối với x
hoặc đối với y. Chẳng hạn hàm xy là hàm lồi của x đối với y và là hàm lồi của
y đối với x nhưng không là hàm lồi của x và y.

16

Định lý 2.3.1. Nếu x, y lồi và liên tục thì

qi xi , qi yi qi xi , yi .
m

i 1

m

i 1

m



(2.3.2)

i 1

Định lý 2.3.2. Nếu x, y hai lần khả vi trong miền mở D điều kiện
cần và đủ để lồi trong D là dạng toàn phương sau đây dương:
2
2
Q= xxu 2 xy uv yy v đối với bất kỳ u, v và tất cả x, y D.

Nếu Q dương thực sự thì (2.3.2) có dấu bất đẳng thức trừ trường hợp x y.
1.2. Một số kiến thức về tính đơn điệu của hàm số.
1.2.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y f x xác định trên khoảng a; b . Ta bảo rằng:
- Hàm số y f x đồng biến trên khoảng

a; b

nếu với mọi

a; b

nếu với mọi

x1 , x2 a; b mà x1 x2 thì f x1 f x2 .
- Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng

x1 , x2 a; b mà x1 x2 thì f x1 f x2 .
Chú ý:
- Hàm số đồng biến còn gọi là hàm đơn điệu tăng.
- Hàm số nghịch biến còn gọi là hàm đơn điệu giảm.
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi
chung là đơn điệu trên khoảng đó.
Định lý 2.1.1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a; b .
a) Nếu f ' x 0 với mọi x a; b thì hàm số y f x đồng biến
trên khoảng đó.
b) Nếu f ' x 0 với mọi x a; b thì hàm số y f x nghịch biến
trên khoảng đó.

17


Chó ý:

Trong ®Þnh lý trªn nÕu cho thªm ®iÒu kiÖn: hµm sè y  f  x  liªn tôc trªn

 a; b, th× kÕt qu¶ cña ®Þnh lý trªn sÏ ®óng trªn  a;b.

18


Chương 2
ứng dụng giải tích
trong các bài toán bất đẳng thức

2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.
Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức
sơ cấp. Lược đồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một
hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh. Sau
đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc
lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jensen để đưa ra lời giải.
2.1.1. Các bất đẳng thức kinh điển
Bài 1. (Bất đẳng thức Cauchy)
Cho x1 , x2 ,..., xn 0. Chứng minh rằng

x1 x 2 ... x n

n

n

x1 x 2 ... x n .

(1.1)

Chứng minh
- Nếu tồn tại xk 0 thì (1.1) luôn đúng.
- Nếu xi 0 i 1, n. Xét hàm số f x ln x ( x 0) f

f " x

0;

'

x

1
x

1
0, x 0. Vậy theo hệ quả 2.4.1 thì f x là hàm lồi trên
x2

theo bất đẳng thức Jensen ta có

19


 x  x  ...  xn  1
f 1 2
   f  x1   f  x2   ...  f  xn  
n


 n

  ln

1
x1  x2  ...  xn
   ln x1  ln x2  ...  ln xn 
n
n

  ln

x1  x2  ...  xn
1
  ln x1 x2 ...xn
n
n

 ln



x1  x2  ...  xn
 ln n x1 x2 ...xn
n

x1  x2  ...  xn n
 x1 x2 ...xn
n

(®pcm).

Bµi 2. (BÊt ®¼ng thøc Schwartz)
Cho 2n sè: a1 , a2 ,..., an vµ b1 , b2 ,..., bn trong ®ã bi  0 i  1, 2,..., n.

n

Chøng minh r»ng



i 1

a
bi

2
i



 

n



i 1
n



j 1

a i 
.

bj

Chøng minh
XÐt hµm sè f  x   x2  f '  x   2 x  f "  x   2  0 x ฀ . Theo hÖ qu¶
n
b
a
2.4.1 th× f lµ hµm låi trªn ฀ . LÊy i  n i ; xi  i   i
bi
i 1
 bj
j 1

Theo bÊt ®¼ng thøc Jensen ta cã

20


2



2

n
n
n
n




b
a
b
a
f i xi i f xi n i i n i i
i 1
i 1
i 1
b j bi
i 1 b j bi


1

1
j
j




n a

n i
i 1 b j
j 1

2


n

ai2

n
i 1
bj bj

j 1


n a
2
n
a i
i i n1
i 1 b
i
b



2

j

j 1

n

(do bj 0 bj 0 )
j 1

Bài 3. (Bất đẳng thức Minkowski)
Cho 2n số dương a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh rằng
n

a1a2 ...an n b1b2 ...bn

n

a

1

b1 a2 b2 ... an bn .

Chứng minh
Xét hàm số f x ln 1 e x trên .
Ta có

f ' x

ex
ex
"


, x .
f
x


x 2
1 ex
1

e



Theo hệ quả 2.4.1 thì f x lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có
1 n

n i 1

n x
i
f xi f i 1
n

bi
với x i ln a
i



21


1
n

Ta có

ln n




a

1

1

n

i 1

1

a

n



a

ln n

b
1
ln


bi
n
a
ln 1
ln 1 e
ai


n

n

i 1

b1 a 2 b2 ... a n bn
ln 1
a1 .a 2 ...a n


i
i

n









b1 .b2 ...bn

a1 .a 2 ...a n

n a .a ...a n b .b ...b
b1 a2 b2 ... an bn
1 2
n
ln 1 2 n
n a .a ...a

a1.a2 ...an
1 2
n

b1 a2 b2 ... a n bn

a1 .a 2 ...an

a1a 2 ...a n

n

b1b2 ...bn

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

n

a

1

n

a1 .a2 ...a n n b1 .b2 ...bn
a1 .a2 ...a n

n

b1 a 2 b2 ... a n bn (đpcm).

b1 b2
b
... n .
a1 a2
an

Bài 4. (Bất đẳng thức Bunhiakovski)
Cho 2n số dương a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Khi đó ta có
n



i 1

a

2
i

n



i 1

bi

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2




n



i 1

2

a i b i .


a1 a2
a
... n .
b1 b2
bn

Chứng minh
Xét hàm số f x x 2 f ' x 2 x f " x 2 0 x

suy ra hàm



f x lồi trên . Theo bất đẳng thức Jensen ta có f i xi i f xi

i 1
i 1
n

2
0; n 1 chọn bi ; x ai suy ra
i


n
i
i
i
2
bi
i 1


b
j 1

j

22

n

2

b i2

n



n



i 1


n ab
ni i
i 1 b j2
j 1


j 1

b 2j

ai

bi


b i2

n



i 1

n



j 1

b 2j

a i2
b i2

2


n

ai2

n 2
i 1
bj


j 1


n ab
a
b

i i


i 1
i 1
i 1

n

2
i

n

2

2

i

(đpcm).

Bài 5. (Bất đẳng thức Bernoulli)
Giả sử x 1. Khi đó:
1. 1 x 1 ax nếu a 1 hoặc a 0;
a

2. 1 ax 1 ax nếu 0 a 1.
a

Chứng minh
1. Xét hàm số f x x 1 trên khoảng 1; . Ta có
a

f ' x a x 1

a 1

f " x a a 1 x 1

a2

f " x 0 khi a 1 hoặc

a 0. Vậy f x lồi khi a 1 hoặc a 0, suy ra mọi tiếp tuyến với đồ thị
hàm số y f x đều nằm phía dưới đồ thị hàm số y f x . Tiếp tuyến tại

0;1 có phương trình là

y ax 1. Từ đó suy ra 1 a 1 ax.
a

2. Tương tự phần 1.
Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

23


Bµi 6. (BÊt ®¼ng thøc Young)

1 1
  1. Ta cã:
p q

Víi hai sè kh«ng ©m bÊt kú a, b vµ p  0, q  0 sao cho
ab 

a p bq
 .
p
q

(1)

Chøng minh
BÊt ®¼ng thøc hiÓn nhiªn ®óng khi a  0 hoÆc b  0. Gi¶ sö a  0, b  0.
XÐt hµm sè f  x   e x  f "  x   e x  0 x  f  x  låi trªn ฀ .
1

 1
1
1
f  ln a p  ln b q   f  ln a p   f  ln b q 
q
q
p
 p

 f  ln a  ln b  

 e ln a b 

1
1
f  p ln a   f  q ln b 
p
q
1
e
p

p ln a

ap
bq
 ab 

p
q



1 q ln b
e
q
(®pcm).

Bµi 7. (BÊt ®¼ng thøc Petrovica)
n

Cho f  x  låi trªn ®o¹n  0, a  ,xi   0, a  i  1,2,..., n  ;  xi   0, a  th×:
i 1

n


i 1

n
f  xi   f   xi    n  1 f  0  .
 i 1 

Chøng minh

24



x j

xi n
f xi f n x j jni .0
xj
x j j 1

j 1
j 1


Ta có

n

xi 0, a ; xi 0, a ;

Do

i 1

n

xi

xj



j 1

x
j i
n

j

1

xj
j 1

Vì f lồi trên 0,a nên áp dụng bất đẳng thức Jensen ta được


x j

x
xi n
xi
n j i j
j i
f n x j n .0 n
f xj n
f 0
j 1
j 1


xj xj
xj

xj


j 1
j 1
j 1
j 1

(1)

Cho i chạy từ 1 đến n ta có bất đẳng thức dạng (1). Cộng vế với vế của n bất
đẳng thức trên ta được

n
f xi n 1 f 0 .
i 1

n

f x
i 1

i

n

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

x
i 1

i





0 x j 0 j 1, n .

Bài 8. (Bất đẳng thức Petrovica tổng quát)
Cho

f x

lồi

n

xi 0, x j p j và
j 1


trên
n

x
j 1

j

đoạn

0, a; p , p ,..., p
1

2

n

0, x1 , x2 ,..., xn

p j a. Ta đều có

n x p n x p 1 f 0

p
f
x
f
i i i i i

i
i 1
i 1
i 1

n

Chứng minh
Bất đẳng thức này được suy ra từ bất đẳng thức Petrovica.

25

mà