Luận văn sư phạm Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
****o0o****

đinh th len

ng d ng phép bi n hình đ gi i bài toán
qu tích
Khóa lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành : Hình h c
Ng

ih

ng d n khoa h c

T.S nguy n n ng tâm

Hà n i - 2008

-1-


Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
****o0o****

đinh th len

ng d ng phép bi n hình đ gi i bài toán
qu tích
Khóa lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành : Hình h c

Ng

Hà n i – 2008

-2-

ih

ng d n khoa h c

T.S. Nguy n N ng Tâm


L ic m n
Khoá lu n này trình bày v vi c s d ng phép bi n hình đ gi i bài toán
qu tích. Ngoài vi c làm rõ tính u vi t c a phép bi n hình, khoá lu n còn c
g ng khai thác, m r ng m t s bài toán .
hoàn thành khoá lu n này em xin chân thành c m n các th y cô giáo
trong t Hình h c, đ c bi t em xin chân thành c m n th y Nguy n N ng
Tâm đã t o đi u ki n, giúp đ em trong quá trình nghiên c u.
Tuy có nhi u c g ng, song n ng l c b n thân còn có h n c ng nh đi u
ki n v tài li u và th i gian còn h n ch nên bài khoá lu n ch c ch n còn
nhi u thi u sót. Em r t mong nh n đ

c s ch b o c a các th y cô và các b n

đ khoá lu n c a em hoàn thi n h n.
Em xin chân thành c m n!
Hà N i, tháng 5 n m 2008
Sinh viên
inh Th Len

-3-


L i cam đoan
Em xin cam đoan b n khoá lu n này đ

c hoàn thành do s c g ng,

n l c tìm hi u nghiên c u c a b n thân và s giúp đ nhi t tình c a các th y
cô giáo trong t Hình h c, đ c bi t là s giúp đ c a th y Nguy n N ng Tâm.
Các k t qu trong b n khoá lu n này không trùng v i k t qu c a các
tác gi khác và các k t qu đó là chân th c.

Hà N i, tháng 5 n m 2008
Sinh viên

inh Th Len

-4-

M cl c
N i dung

Trang

L ic m n
L i cam đoan
M đ u
Ch

ng 1. H th ng các ki n th c c b n

1

1.1. Phép bi n hình
1.2. M t ph ng đ nh h

1
ng, góc đ nh h

ng

2

1.3. Phép d i hình trong m t ph ng

3

1.4. M t s phép bi n hình đ c bi t

6

1.5. Bài toán qu tích
Ch

8

ng 2. ng d ng phép bi n hình đ gi i bài toán qu tích

9

2.1. Gi i bài toán qu tích nh phép bi n hình

9

2.2. Phép đ i x ng tâm v i bài toán qu tích

9

2.3. Phép đ i x ng tr c v i bài toán qu tích

13

2.4. Phép t nh ti n v i bài toán qu tích

17

2.5. Phép quay v i bài toán qu tích

23

2.6. Phép v t v i bài toán qu tích

29

2.7. Phép đ ng d ng v i bài toán qu tích

36

K t lu n

42

Bài t p luy n t p

43

Tài li u tham kh o

48

-5-


M đ u
1. Lý do ch n đ tài
Trong nhà tr

ng ph thông, hình h c là m t môn h c khó đ i v i h c

sinh. B i vì hình h c có tính ch t ch , tính logíc và tính tr u t

ng cao h n

các môn h c khác c a toán h c. Các phép bi n hình s c p là m t ph n quan
tr ng c a hình h c vì nó là m t công c h u ích đ i v i các bài toán trong
hình h c ph ng.
Tính u vi t c a phép bi n hình trong m t ph ng th hi n r t rõ khi ta
v n d ng nó đ gi i quy t các bài toán v d ng hình, qu tích, ch ng minh và
tính toán.
Tuy nhiên, vi c gi i bài toán hình h c b ng phép bi n hình không ph i
là d dàng, th c t nó là m t ph n khó đ i v i c giáo viên và h c sinh .
Trong khuôn kh c a m t khoá lu n t t nghi p, em ch trình bày nh ng
ki n th c c b n v phép bi n hình và ng d ng c a nó đ gi i bài toán qu
tích.
ó chính là lý do em ch n đ tài :

“ ng d ng phép bi n hình đ gi i bài toán qu tích”.
2. M c đích và nhi m v nghiên c u
2.1. Nghiên c u các ki n th c c b n c a phép bi n hình trong vi c gi i
bài toán qu tích.
2.2. Xây d ng h th ng các ví d minh ho và bài t p luy n t p th hi n
ph

ng pháp s d ng phép bi n hình vào gi i bài toán qu tích.

3.

it
3.1.

ng, ph m vi nghiên c u
it

ng nghiên c u

Ki n th c v phép bi n hình trong m t ph ng.
3.2. Ph m vi nghiên c u

-6-


Các bài toán qu tích trong m t ph ng gi i b ng phép bi n hình.
4. Ph

ng pháp nghiên c u
Nghiên c u SGK, các sách tham kh o, các tài li u có liên quan đ n n i

dung này.

-7-


Ch

ng 1 : H th ng các ki n th c c b n

1.1. Phép bi n hình
1.1.1.

nh ngh a

Phép bi n hình c a m t m t ph ng là m t song ánh t m t ph ng vào
chính nó .
1.1.2. Phép bi n hình đ o ng

c

Cho phép bi n hình f : E2  E2. Khi đó ánh x ng

c f-1 c a f c ng là

m t song ánh t E2 vào E2 nên c ng là m t phép bi n hình c a m t ph ng . Ta
g i phép bi n hình đó là phép bi n hình đ o ng

c c a phép bi n hình f ( hay

là phép ngh ch đ o c a phép bi n hình f ) .
1.1.3. Phép bi n hình tích
Cho f và g là hai phép bi n hình c a m t ph ng, d th y ánh x tích f và
g là m t song ánh c a m t ph ng vào m t ph ng nên tích đó c ng là phép bi n
hình c a m t ph ng. Ta nói phép bi n hình đó là phép bi n hình tích c a f và
g. Kí hi u: g  f .
1.1.4. Phép bi n hình đ i h p
Cho phép bi n hình f : E2  E2 đ

c g i là phép bi n hình đ i h p n u

f2 = id E2 hay f = f-1.
1.1.5. Phép bi n hình m t đ i m t

N u m t phép bi n hình f bi n m t hình H thành m t hình G th a mãn
đi u ki n : t o nh f 1 ( M ) c a m i đi m M thu c hình G đ u ch g m có
m t đi m M c a hình F thì ta g i nó là phép bi n hình m t đ i m t.
Nh v y ng v i m i đi m M c a hình F ta có m t đi m M c a hình
G và ch m t mà thôi và ng

c l i, ng v i m i đi m M c a hình G ta có

m t đi m M c a hình F và ch m t mà thôi.

-8-


1.1.6. Các ph n t b t bi n trong m t phép bi n hình
Cho phép bi n hình f : E2  E2, v i m i đi m M  E2 mà f(M) =M thì
đi m M đ

c g i là đi m b t đ ng (đi m kép) đ i v i phép bi n hình f .

Hình H đ

c g i là hình b t bi n đ i v i phép bi n hình f c a E2 n u

f(H)=H.
Hình H đ

c g i là hình b t đ ng (c đ nh) đ i v i f c a E 2 n u v i

m i đi m M  H mà f(M)=M.

1.2. M t ph ng đ nh h

ng, góc đ nh h

1.2.1. M t ph ng đ nh h

ng

ng

Xung quanh m i đi m trong m t m t ph ng có hai chi u quay: chi u
quay theo chi u c a kim đ ng h và chi u ng
chi u quay đó là chi u d

ng thì chi u ng

b o r ng m t ph ng đã đ

c đ nh h

Thông th
h làm chi u d

ng ng

c l i g i là chi u âm và khi đó ta

ng.

i ta ch n chi u quay ng

c v i chi u c a kim đ ng

ng.

1.2.2. Góc đ nh h

ng c a hai đ

Trong m t ph ng P đã đ
nhau t i O. Ng

c l i. N u ch n m t trong hai

ng th ng

c đ nh h

i ta g i góc đ nh h

th t đó là góc mà đ
trùng v i v trí c a đ

ng, xét hai đ

ng gi a hai đ

ng th ng a và b c t

ng th ng a và b l y theo

ng th ng ph i quay theo m t chi u xác đ nh đ đ n
ng th ng b. Góc đ nh h

ng đó kí hi u (a,b), trong đó

a là c nh đ u, b là c nh cu i c a góc.
S đo c a góc đó là d

ng và âm tu theo chi u quay c a a xung

quanh O đ n trùng v i b theo chi u d

ng hay âm c a m t ph ng. Do đó n u

(a,b)=  thì (b,a)=-  .
Góc đ nh h

ng c a hai đ

ng th ng a,b xác đ nh sai khác m t góc k

radian, (a,b)=  + k (  tính b ng radian). Kí hi u (a,b)=  ( mod  ).

-9-


1.3. Phép d i hình trong m t ph ng
1.3.1.

nh ngh a

Phép bi n hình c a m t ph ng E2 b o t n kho ng cách gi a hai đi m tu
ýđ

c g i là phép d i hình, ngh a là v i m i M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’,

f(N)=N’ thì đ u có M’N’=MN .
1.3.2. Tính ch t
- Phép d i hình bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và
không làm thay đ i th t c a ba đi m đó .
Phép d i hình bi n m t đ

ng th ng thành m t đ

ng th ng, bi n

m t tia thành m t tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng b ng nó.
Phép d i hình bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó, bi n
m t góc thành m t góc b ng nó, bi n m t đ

ng tròn thành m t đ

ng tròn

b ng nó, trong đó tâm bi n thành tâm.
- Phép d i hình f có ba đi m b t đ ng không th ng hàng thì f là m t
phép đ ng nh t .
1.3.3. M t s phép d i hình c b n
1.3.3.1. Phép đ i x ng tâm

a.

nh ngh a
N’

M’

M
O

N

- 10 -


Trong E2 cho đi m O, phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M thành
 
đi m M’ tho mãn OM ' =- OM , đ c g i là phép đ i x ng qua tâm O. Kí
hi u là

o

ho c Xo .

b. Tính ch t
- Trong m t ph ng phép đ i x ng tâm là phép d i hình nên nó có đ y
đ các tính ch t c a phép d i hình .
- Phép đ i x ng qua tâm O có đi m b t đ ng duy nh t là O .
- Tích c a ba phép đ i x ng tâm v i ba tâm phân bi t là m t
phép đ i x ng tâm

- Tích c a hai phép đ i x ng tâm v i hai tâm đ i x ng phân bi t
là m t phép t nh ti n, v i hai tâm đ i x ng trùng nhau là m t phép đ ng nh t.
1.3.3.2. Phép đ i x ng tr c
a.

nh ngh a
d

M’

M

Trong E2, cho đ

ng th ng d, phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M

thành đi m M’ sao cho đ

ng th ng d là trung tr c c a MM’ đ

phép đ i x ng qua d và kí hi u

d

ho c Sd .

đ i x ng.
b. Tính ch t

- 11 -

ng th ng d đ

c g i là

c g i là tr c


- Trong m t ph ng phép đ i x ng tâm là phép d i hình nên nó có đ y
đ

các tính ch t c a phép d i hình .
- Phép đ i x ng tr c có duy nh t m t đ
- Cho hai đ

ng th ng b t đ ng .

ng th ng phân bi t a , b . G i c là nh c a b qua phép đ i

x ng tr c Sa . Khi đó phép bi n hình S = Sa .Sb .Sa là phép đ i x ng qua
đ

ng th ng c .
1.3.3.3. Phép t nh ti n
a.


v

nh ngh a


Trong E2, cho vect v , phép bi n

M

M’

hình c a m t ph ng E2 bi n m i đi m M
 

thành đi m M’ tho mãn MM ' = v đ c g i là phép t nh ti n theo vect v . Kí
hi u Tv .
b. Tính ch t
- Phép t nh ti n là m t phép d i hình nên nó có đ y đ tính ch t c a
m t phép d i hình .
 
- N u v = 0 thì T0 = i d E2
 

- N u v  0 thì phép t nh ti n theo vect v không có đi m b t đ ng .



- Tích c a hai phép t nh ti n Tu và Tv v i u và v khác 0 là m t phép
t nh ti n: Tu . Tv = Tu  v .
1.3.3.4. Phép quay
a.

nh ngh a

Trong m t ph ng đ nh h

cho đi m O c
h

ng E2,

M

đ nh và góc đ nh

ng  , phép bi n hình c a m t

ph ng E2 cho t

ng ng m i đi m M

- 12 -


O

M’


 
thành đi m M’ sao cho OM=OM’ và ( OM , OM ) =  , đ

c g i là phép quay

quanh đi m O và góc quay là  . Kí hi u : QO hay Q(O,  ) .
b. Tính ch t
- Phép quay QO là m t phép d i hình nên nó có đ y đ các tính ch t
c a m t phép d i hình .
- N u  =k2  thì QOk2  = i d E2
N u  =(2k+1)  thì QO =

O

N u   k2  thì QO có đi m b t đ ng duy nh t là O .
- ( QO ) -1 = QO .
- QO : a  a’ thì ( a , a ' ) = 
'
- QO . QO' = Q
O

- Cho hai phép quay QO11 và QO22 v i O1  O2
N u  = 1 + 2  k2  thì
Q = QO22  QO11

a

là m t phép quay

v i góc quay  , tâm quay O đ

c

xác đ nh nh sau :
Q

1
2
O1

: O1O2  a

Q

2
2
O2

: O2O1  b

O2

2
2

2


1

O’

O là giao đi m c a a và b

N u  =k2  thì tích QO22  QO11 là m t phép t nh ti n.

1.4. M t s phép bi n hình đ c bi t

- 13 -

b

O

1
2

O1


1.4.1. Phép v t
a.

O

M’

nh ngh a
Trong E2 cho

M

M’

O

đi m O c đ nh và

M

m t s th c k  0 , phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M thành đi m M’ sao


cho OM' = k OM đ c g i là phép v t tâm O , t s k . Kí hi u VOk hay
V(O,k) .
b. Tính ch t
- Phép v t

V(O,k) v i k  1 có m t đi m b t đ ng duy nh t đó là

đi m O .
- N u M’, N’ là nh c a hai đi m phân bi t M, N trong phép v t


V(O,k) thì M'N' = k MN .
- Phép v t

V(O,k) bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng

và không làm thay đ i th t c a ba đi m th ng hàng đó .
- Phép v t

V(O,k) bi n m t đ

song song ho c trùng v i đ

ng th ng thành m t đ

ng th ng

ng th ng đó , bi n tia thành tia , bi n đo n th ng

thành đo n th ng mà đ dài đ

c nhân lên v i k , bi n tam giác thành tam

giác đ ng d ng v i t s đ ng d ng k , bi n góc thành góc b ng nó, bi n
đ

ng tròn thành đ

ng tròn có bán kính g p k l n đ

ng tròn đó .

- k =-1 thì V(O,k) là phép đ i x ng tâm .
- k =1 thì V(O,k) là phép đ ng nh t .
1.4.2. Phép đ ng d ng
a.

nh ngh a
Phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M thành đi m M’sao cho v i m i

c p đi m b t kì M, N và c p nh t
(k >0 cho tr

c)đ

ng ng M’, N’ thì ta có M’N’ = kMN

c g i là phép đ ng d ng t s k. Kí hi u : Z k .

- 14 -


b. Tính ch t
- Phép đ ng d ng bi n m t đ

ng th ng thành m t đ

ng th ng, bi n

tia thành tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài g p k l n
đo n th ng đ u , bi n đ

ng tròn bán kính R thành đ

ng tròn bán kính kR .

- B o t n đ l n c a góc ph ng .
- Tích c a m t phép v t và m t phép d i hình ho c tích c a m t phép
d i hình và m t phép v t là m t phép đ ng d ng .
- Trong m t ph ng m i phép đ ng d ng khác phép đ ng c có duy nh t
m t đi m b t đ ng.
1.5. Bài toán qu tích
Bài toán qu tích là bài toán tìm t p h p nh ng đi m (hay còn g i là

m t hình) có tính ch t  cho tr

c v i nh ng đi u ki n nh t đ nh .

Vi c kh ng đ nh qu tích nh ng đi m có tính ch t  là hình ( H ) nào
đó, ta ph i th c hi n hai b

c:

B

c 1 : (Ph n thu n) Ch ng minh đi m M có tính ch t  thu c (H).

B

c 2 : (Ph n đ o) Ch ng minh m i đi m thu c hình (H) đ u có tính

ch t  .

- 15 -


Ch

ng 2 : ng d ng phép bi n hình đ gi I bài

toán qu

tích
2.1. Gi i bài toán qu tích nh phép bi n hình

Gi s f : E2  E2 là m t phép bi n hình c a m t ph ng

M  M'
Lúc đó, do tính ch t 1-1 c a phép bi n hình ta suy ra đ

c:

Qu tích c a đi m M là hình (H) thì ta có qu tích đi m M’ là hình
f(H).
Ng

c l i, n u qu tích c a các đi m M’ là hình (H’) thì qu tích

nh ng đi m M là hình f -1(H’) .
Do đó, n u s d ng phép bi n hình vào gi i bài toán qu tích thì cùng
lúc c hai ph n thu n và đ o đ u đ

c gi i quy t .

Nh v y đ gi i các bài toán qu tích nh phép bi n hình ta có th ch n
m t phép bi n hình thích h p f bi n đi m M thành đi m M’ sao cho qu tích
nh ng đi m M’ tìm đ

c d dàng h n đ r i t đó suy ra qu tích đi m M .

Nguyên t c chung áp d ng phép bi n hình vào gi i toán tìm t p h p đi m M
tho mãn tính ch t  nào đó : n u ta ch ng minh đ

c m i đi m M’ là nh

c a m t đi m M qua m t phép bi n hình f xác đ nh và n u t p h p các đi m
M là hình ( H ) thì t p h p các đi m M’ là hình ( H’) = f( H ) .

2.2. Phép đ i x ng tâm v i bài toán qu tích
2.2.1. Ph

ng pháp chung

Ta th c hi n theo các b
B

c:

c 1 : Tìm m t phép đ i x ng tâm

thành đi m M’ .
B

c 2 : Tìm t p h p ( H ) các đi m M .

- 16 -

o

bi n m i đi m M di đ ng


B
x ng tâm

c 3 : K t lu n t p h p các đi m M’ là nh c a ( H ) trong phép đ i
o

.

2.2.2. Ví d
Ví d 1. Cho đ

ng tròn (O) và dây cung AB c đ nh, M là m t đi m

di đ ng trên (O), M khác A, B . Hai đ

ng tròn (O1) và (O2) qua M theo th

t ti p xúc v i AB t i A và B . G i N là giao đi m th hai c a (O 1) và (O2) .
Tìm t p h p N khi M di đ ng trên (O) .
L i gi i
M
O2

O1

.O
N

I

A

B

P

G i I là giao đi m c a MN và AB
P là giao đi m c a MN v i (O)
Ta có : IA2 = IM . IN = IB2

(1)

 IA = IB  I là trung đi m c a AB .Mà A, B c đ nh  I c đ nh. M t
khác, ta có : IP . IM = IA . IB = - IA 2 (2)
T (1) ,(2) suy ra : IP . IM =- IM . IN

 IP =- IN  N=

I

(P)

Vì t p h p các đi m P là đ
các đi m N là đ

ng tròn (O) qua hai đi m A, B nên t p h p

ng tròn (O’) b đi hai đi m A, B v i (O’) =

K t lu n : T p h p đi m N khi M di đ ng trên (O) là đ
c ađ

ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm I.

- 17 -

I(O)

.

ng tròn nh


Ví d 2. Cho  ABC n i ti p đ

ng tròn (O), bán kính R c đ nh. Tìm

qu tích tr c tâm H c a  ABC khi A chuy n đ ng trên ( O).
L i gi i
A

O

H
B

C

I
A1

Gi s AA1 là đ

ng kính c a (O;R)

G i I là trung đi m c a BC  I c đ nh .
Ta có : BH  AC và A1C  AC  BH // A1C .
 BHI =  CA1 I vì :

฀  ICA
฀ ( so le trong )
HBI
1
BI = IC

฀ A
฀ IC ( đ i đ nh )
BIH
1

 HI = A1 I 

I

: A1  H .

Do đi m A thay đ i trên đ

ng tròn (O;R) nên A1 thay đ i trên (O;R)

Do đó qu tích tr c tâm H là đ

ng tròn nh c a đ

ng tròn (O;R) qua

phép đ i x ng tâm I .
K t lu n : qu tích tr c tâm H là đ
qua

ng tròn nh c a đ

ng tròn (O;R)

I

Ví d 3. Cho ba phép đ i x ng tâm
g i M1 là nh c a M qua
M qua

C.

A;

A,

B

,

C.

g i M2 là nh c a M qua

V i M là đi m b t kì,
B

; g i M3 là nh c a

Tìm qu tích đi m M3 khi M ch y trên (O) hay đ

- 18 -

ng th ng d.


L i gi i
Do

B

: M1  M2  B là trung

đi m c a M1M2
T

M3

M1
D

A
M

ng t C là trung đi m

c a M2 M3

C

Theo tính ch t đ

B

ng trung bình

1
M1
2

Trong  M1 M2 M3 có BC =

M2

M3
và BC// M1 M3
T

ng t , có AD =

1
M1 M3 và AD// M1 M3
2

 BC = AD và BC//AD ( v i D là trung đi m c a MM3 )
Do A, B, C c đ nh  D c đ nh
Ta có

D

: M  M3 .

Do đó n u M ch y trên đ
(O’) là nh c a đ

D

ng tròn

ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm D .

N u M ch y trên đ
th ng d qua

ng tròn (O) thì qu tích M3 là đ

ng th ng d thì qu tích M3 là nh c a đ

ng

.

Ví d 4. Cho  ABC . G i A’, B’, C’ l n l

t là trung đi m c a các

c nh BC, CA , AB . Tìm t p h p đi m M trong tam giác sao cho nh c a M
trong các phép bi n đ i ZA' , ZB' , ZC' n m trên đ

ng tròn ngo i ti p tam

giác.
L i gi i
Ta kí hi u M1, M2 l n l

t là nh c a M trong phép đ i x ng tâm A’ và

B’ .




Khi đó ta có : CM = - AM 2 = - BM1

- 19 -


A

M2
B’
M
A’

C

B
M1

Do đó, t giác AB M1 M2 là hình ch nh t và CM  AB .
T

ng t

ta có : BM  AC .

 M là giao đi m ba đ

ng cao c a  ABC

N u  ABC nh n thì t p h p đi m M g m m t đi m là tr c tâm c a
ABC.
T p h p đi m M là t p r ng n u  ABC không nh n .

2.3. Phép đ i x ng tr c v i bài toán qu tích
2.3.1 Ph

ng pháp chung

Ta th c hi n theo các b
B

c:

c 1 : Tìm m t phép đ i x ng tr c

d,

bi n đi m E di đ ng thành

đi m M .
B

c 2 : Tìm t p h p ( H ) c a các đi m E .

B

c 3 : K t lu n t p h p các đi m M là nh c a ( H ) trong phép đ i

x ng tr c

d

.

2.3.2. Ví d
Ví d 1. Cho ( O;R ) trên đó có hai đi m A,B . M t đ

ng tròn (O1;R1)

ti p xúc ngoài (O) t i A. M t đi m M di đ ng trên ( O ), tia MA c t đ
tròn (O1) t i đi m th

hai A1. Qua A1 v đ

tia MB t i B1. Tìm t p h p đi m B1 .
L i gi i

- 20 -

ng

ng th ng song song v i AB c t


d

x
A1

A2

B1
O2

O1

B

A
O
x

’

M

G i giao đi m th hai c a B1 A1 v i đ

ng tròn ( O1 ) là A2. K ti p

tuy n chung xx’ c a (O) và (O1) t i A, ta có :

฀ B B  ABM
฀
฀
฀
A
 x฀AM  xAA
1 1
1  AA 2 A1
 hình thang AB B1A2 là hình thang cân
 A2 và B1 đ i x ng v i nhau qua đ

ng trung tr c ( d ) c a AB .

M t khác, khi M di đ ng trên (O) thì A2 di đ ng trên (O1)
 T p h p các đi m A2 là đ

Ta l i có , B1 =
đ

d(A2

ng tròn( O1 ) .

) nên t p h p các đi m B1 là đ

ng tròn ( O1 ) qua phép đ i x ng tr c d.
K t lu n : T p h p các đi m B1 là đ

ng tròn (O2) v i (O2) =Sd(O1) .

Ví d 2. Trong m t ph ng , cho hai đ

ng th ng d1 và d2 c t nhau

quanh P c t d1

A , d2

B . Các đ

t qua d1 và d2 c t nhau

O

ng th ng  quay xung

và m t đi m P c đ nh n m ngoài d1 , d2 . M t đ
l

ng tròn nh c a

ng th ng  1 và  2 đ i x ng v i  l n

M. Tìm


qu tích c a đi m M.

d2

P2

L i gi i :

B

O
P
M
P1

- 21 -

A
d1

1
2

G i Pi là đi m đ i x ng v i P qua di ,i=1,2 . Vì P   nên suy ra :
Pi   i =

di (  )

T đó , ta có : (  1,  ) = 2(  1, d1)
=2(d1,  ) (mod  ) (1) (  ,  2) = 2(d2,  2)
= 2(  ,d2) (mod  ) (2)
Theo h th c Chasles, t (1) ,(2)
 (  1,  2) = 2(d1, d2) (mod  )

= 2  =  (mod  )

(3)

Trong đó (d1, d2) =  (mod  )
Vì  1   2 = M và Pi   i (i=1,2)
 (3)  (MP1,MP2) = 2(d1 ,d2) (mod  )

M t khác, vì Pi =

(i)

d i (P) (i=1,2) và O = d1

 d2 nên ta có :

(OP1, OP) = 2(OP1 , d1) = 2(d1,OP) (mod  )

(4)

(OP , O P2) =2(d2,OP2) = 2( OP,d2) (mod  )

(5)

Theo h th c Chasles,
t (4), (5)  (OP1,OP2) = 2(d1 ,d2 ) (mod  )
T (i) , (ii)

(ii)

(MP1,MP2) = (OP1,OP2) (mod  )

(iii)

ng th c (iii) ch ng t , b n đi m O, P1, P2, và M  1  2 cùng
thu c m t đ

ng tròn v i m i v trí c a đ

ng  quay quanh đi m P c đ nh.

K t lu n :
- N u d1 và d2 không vuông góc v i nhau thì O, P1, P2 không th ng
hàng, nên qu tích đi m M n m trên đ

ng tròn ngo i ti p OP1P2.

- N u d1  d2 thì qu tích đi m M là đ

ng th ng đi qua P1 ,P2.

Nh n xét :
Ta nh n th y các y u t đ i x ng tr c đã xu t hi n ngay trong d kiên
c a bài toán. Vì v y bài toán này đòi h i ph i s d ng tính ch t c a phép đ i
x ng tr c và góc đ nh h

ng c a hai đ

ng th ng (mod  ) đ tìm qu tích.

- 22 -


Ví d 3. Cho ABC n i ti p đ

ng tròn (O) , bán kính R c đ nh. Tìm

qu tích tr c tâm H c a ABC khi A di đ ng trên (O).
L i gi i
ng cao AH c t (O,R) t i A .

Gi s đ

฀ C
฀ (  1 AB)
฀
Ta có A
1
1

2

A

฀1  B
฀ 1  90o
M t khác A
฀1  B
฀ 2  90o
C
฀1  B
฀2
 B

O

Ta có BHI = B A I

B

(g.c.g)

2
1

HI = I A
BC

.

H

1
1

C

I
O’

A’

: A  H

Khi A thay đ i trên (O,R) thì A c ng thay đ i trên (O,R).
Do đó, qu tích tr c tâm H là đ

ng tròn nh c a đ

ng tròn (O,R) qua

phép đ i x ng tr c BC.
K t lu n : Qu tích tr c tâm H là đ
tròn (O,R) qua

BC

ng tròn ( O ,R), nh c a đ

.

Ví d 4. Cho ABC n i ti p trong m t đ
đ ng trên đ

ng

ng tròn. G i M là đi m di

ng tròn y và M1, M2. M3 theo th t là các đi m đ i x ng c a

M qua BC, CA và AB.
Tìm t p h p các đi m M1, M2. M3 khi M di đ ng trên đ

ng tròn y.

L i gi i
Ta có M và M1 đ i x ng nhau qua BC
Do đó khi M di đ ng trên đ
thì M1 di đ ng trên đ

ng tròn (O) ngo i ti p tam giác ABC

ng tròn nh c a đ

x ng tr c BC. Ta kí hi u đ

ng tròn (O) đã cho qua phép đ i

ng tròn ch a M1 là (O1).

- 23 -


A

O3

. O2

.

M2

M1
B

C

M3
M

.
O1

o l i, l y m t đi m M1 tu ý trên đ
x ng v i M1 qua BC. Ta ch ng minh đ
V y t p h p đi m M1 là đ

ng tròn (O1) và d ng M đ i

c M thu c vào đ

ng tròn (O).

ng tròn (O1) đ i x ng v i đ

ng tròn (O)

c t p h p các đi m M2 là đ

ng tròn (O2)

qua BC.
T

ng t ta ch ng minh đ

đ i x ng v i đ

ng tròn (O) qua tr c CA và t p h p các đi m M3 là đ

tròn (O3) đ i x ng v i đ

ng

ng tròn (O) qua tr c AB.

2.4. Phép t nh ti n v i bài toán qu tích
2.4.1. Ph

ng pháp chung

Ta th c hi n theo các b

c:

B

c 1: Tìm m t phép t nh ti n Tv bi n đi m di đ ng E thành đi m

B

c 2: Tìm t p h p (H ) c a các đi m E.

B

c 3: K t lu n t p h p các đi m M là nh c a (H) trong phép t nh

M.

ti n Tv .
2.4.2. Ví d
Ví d 1. Cho hai vòng tròn b ng nhau (O) và (O’) ; A và A’ là hai đi m
c đ nh th t trên chúng. Các đi m M, M’ di đ ng trên các vòng tròn t

- 24 -

ng

฀
฀M b ng nhau và cùng h
ng (O) và (O’) sao cho AM
và A
h

ng (ng

c

ng). Tìm t p h p các trung đi m c a MM’.
L i gi i
a) Tr

฀ và A
฀M cùng h
ng h p 1: AM

ng

M

N

A

B
I
’

O

.

’

A

J

O

’

M

G i R là bán kính c a đ

ng tròn (O) và (O’) . I là trung đi m c a đo n MM’.

Xét phép t nh ti n
T' : (O)  (O' )
OO

A B
MN

฀ = BN
฀ và cùng h
 AM

฀ =A
฀M và cùng h
 BN

ng
ng

฀   NM
฀  và cùng h
BA

฀  không đ i nên NM
฀  có đ dài và h
Do BA

ng

ng không đ i.

G i J là trung đi m c a NM’ thì ta có :

BA '2
O J= R 
 r không đ i
4
'

2

V y khi M và M’ di đ ng thì t p h p đi m J là vòng tròn (O’,r).
M t khác, xét tam giác MM’N có IJ là đ ng trung bình.


 1 

1
1
1 '
'
'
'
 IJ= MN  OO và IJ// MN// O O  IJ =  O O hay JI  O O
2
2
2
2

- 25 -