Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín Em

MỤC LỤC
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
1

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

1

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

1

1.1

Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1

1.2

Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

1

2

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1

2.1

Định nghĩa dãy số có giới hạn

1

2.2

Một số định lí

1

2.3

Tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn

2

3

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

2

3.1

Dãy số có giới hạn +∞

2

3.2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

2

3.3

Một số kết quả

3

B

CÁC DẠNG TOÁN

3

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L

3

Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn

4

Dạng 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

6

Dạng 4. Dãy số có giới hạn vô cực

7

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

9

C

ĐÁP ÁN
2

1

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

50
51

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

51

1

Giới hạn của hàm số tại một điểm

51


/>
Chương 4 - Giải tích 11

2

Giới hạn của hàm số tại vô cực

51

3

Một số định lí về giới hạn hữu hạn

51

4

Giới hạn một bên

52

5

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

52

6

Các dạng vô định

53

B

CÁC DẠNG TOÁN

53

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

53

Dạng 2. Chứng minh rằng lim f (x) không tồn tại

54

Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn

54

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

57

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

59

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

59

x→x0

Dạng 7. Dạng

C

3

0

61

0

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞ , 0 · ∞, ∞0 .

79

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

80

ĐÁP ÁN

136

HÀM SỐ LIÊN TỤC

138

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

138

1

Hàm số liên tục tại một điểm

138

2

Hàm số liên tục trên một khoảng

138

3

Các định lí về hàm số liên tục

139

B

CÁC DẠNG TOÁN

139

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng I

139

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng II

140

Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

141

Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh

143

Th.s Nguyễn Chín Em

2

/>

C

Dạng 5. Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số

144

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

144

ĐÁP ÁN

173


CHƯƠNG

4

GIỚI HẠN
BÀI

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

1.

GIỚI HẠN DÃY SỐ

Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1.1

Định nghĩa 1. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 (hay giới hạn là 0) nếu mọi số hạng của dãy
số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi
Khi đó ta viết:
lim (un ) = 0 viết tắt là lim (un ) = 0 hoặc un → 0

n→+∞

Nhận xét.
1 Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số (|un |) có giới hạn là 0.
2 Dãy số không đổi (un ) với un = 0 có giới hạn 0.

Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

1.2

Từ định nghĩa, ta có kết quả:
1

1
• lim = 0
• lim √ = 0
n
n

1
• lim √
=0
3
n

Định lí 1. Cho hai dãy số (un ) và (vn ). Nếu |un |
Định lí 2. Nếu |q| < 1 thì

2

lim q n

vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0

=0

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

2.1

Định nghĩa dãy số có giới hạn

Định nghĩa 2. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là số thực L (hay giới hạn là L) nếu

lim (un − L) = 0
x→+∞

Khi đó ta viết:
lim (un ) = L viết tắt là lim (un ) = L hoặc un → L

n→+∞

2.2

Một số định lí

Định lí 3. Giả sử lim un = L. Khi
√ đó:
√
• lim |un | = |L| và lim 3 un = 3 L
√
√
• Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un = L
Định lí 4. Giả sử lim un = L, lim vn = M. Khi đó:
Các dãy số (un + vn ), (un − vn ), (un .vn ) và (c.un ) có giới hạn và:
1 lim (un + vn ) = L + M

2 lim (un − vn ) = L − M

3 lim (un .vn ) = L.M

4 lim (c.un ) = c.L

1

/>
Å
Nếu M = 0 thì dãy số

2.3

un
vn

ã

Chương 4 - Giải tích 11

Å

un
có giới hạn và lim
vn

ã
=

L
M

Tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn

Với cấp số nhân (un ) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 thì:

S = u1 + u2 + ... + un + ... =

3

u1
1−q

DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

3.1

Dãy số có giới hạn +∞

Định nghĩa 3. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là −∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn
một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết:
lim (un ) = −∞, viết tắt là lim (un ) = −∞ hoặc lim un = −∞ hoặc un → −∞

n→+∞

Nhận xét. Nếu lim un = −∞ thì lim (−un ) = +∞
1 Các dãy số có giới hạn +∞ và −∞ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần

đến vô cực.
2 Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

3.2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1
Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim (un .vn ) được cho trong bảng sau:
lim un
+∞
+∞
−∞
−∞

lim vn
+∞
−∞
+∞
−∞

lim (un vn )
+∞
−∞
−∞
+∞

Quy tắc 2
Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L = thì lim (un .vn ) được cho trong bảng sau:
lim un
+∞
+∞
−∞
−∞

Dấu của L
+

−
+
−

lim (un vn )
+∞
−∞
−∞
+∞

Quy tắc 3
un
được cho trong bảng sau:
Nếu lim un = L và lim vn = 0 = với mọi n thì lim
vn

Th.s Nguyễn Chín Em

Dấu của L

Dấu của vn

+
+
−
−

+
−
+

−

2

un
vn
+∞
−∞
−∞
+∞

lim

/>

/>
3.3

Chương 4 - Giải tích 11

Một số kết quả

Cho hai dãy số (un ) và (vn ).
• Nếu un vn với mọi n và lim un = +∞ thì lim vn = +∞.
un
• Nếu lim un = L ∈ R và lim |vn | = +∞ thì lim
=0
vn
• Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞) và lim vn = L ∈ R thì lim (un + vn ) = +∞ (hoặc −∞).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các dãy số (un ) sau đây có giới hạn 0 .

1 un =

1
n+1

2 un =

sin n
n+4

Lời giải.
1 a) Ta có :

1
1
1
1
< và lim = 0 ⇒ lim
=0.
n+1
n
n
n+1

2 b) Ta có :

sin n
1
1
sin n

< ⇒ lim
=0.
<
n+4
n+4
n
n+4

Nhận xét. Để chứng minh các dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định
1
1
un < và lim = 0 .
n
n
Ví dụ 2. Chứng minh dãy số (un ) với un =

√

n+1−

√

n có giới hạn 0.

Lời giải.
√
√
n+1
1
1

1
1
n+1− n= √
√ =√
√ < √ < √ và lim √ = 0 ⇒ lim un = 0 .
2 n
n
n
n+1+ n
n+1+ n
Nhận xét. Để chứng minh dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định
1
1
un < √ và lim √ = 0 .
n
n
Ví dụ 3. Chứng minh dãy số un với un =

cos(nπ)
có giới hạn 0 .
4n

Lời giải.
Å ãn
Å ãn
1
cos(nπ)
1
1
<

và
lim
= 0 ⇒ lim un = 0 .
Ta có
=
n
n
4
4
4
4
Nhận xét. Để chứng minh dãy số trên có giới hạn 0 chúng ta đã sử dụng phép đánh giá để khẳng định
un < qn và lim qn = 0

B

CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L
Phương pháp áp dụng là ta đi chứng minh lim (un − L) = 0
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
1 lim

3n − 1
3
=
2n + 1
2

2 lim

n2 + n
=1
n2 + 1

Lời giải.
Å
ã
Å
ã
3n − 1
3
3n − 1 3
−5
3
1 Đặt un =
⇒ lim un −
= lim
−
= lim
= 0 ⇒ lim un = .
2n + 1
2
2n + 1 2
2n + 1
2
Th.s Nguyễn Chín Em

3

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Å 2
ã
n2 + n
n +n
n−1
2 Đặt un = 2
⇒ lim(un − 1) = lim
− 1 = lim 2
= 0 ⇒ lim un = 1 .
2
n +1
n +1
n +1

ï
Ví dụ 2. Chứng minh rằng lim

ò
(−1)n
√
+
2
=2
3
n

Lời giải.

(−1)n
(−1)n
√
+
2
⇒
lim
(u
−
2)
=
lim
= 0 ⇒ lim un = 0 .
Đặt un = √
n
3
3
n
n
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn
Phương pháp áp dụng là ta đưa dãy số đã cho về dạng tổng hiệu tích thương của những dãy số mà ta
đã biết giới hạn.
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
1 lim

n−1

n+1

3n − 1

2 lim 2
n −2

Lời giải.
1
1
1+
lim 1 + lim
n+1
1
n
n
1 Ta có lim
= lim
=
= .
1
1
3n − 1
3
3−
lim 3 − lim
n
n
1
1
1
1

− 2
lim − lim 2
n−1
0
n
n
n
n
2 Ta có lim 2
= lim
=
= =0.
2
2
n −2
1
1− 2
lim 1 − lim 2
n
n
Nhận xét. Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao
a
nhất của n và sử dụng kết quả lim k = 0 .
n
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
√
n2 + 1
1 lim
n+1

√
n2 + n 3 n3 + 1
2 lim √
n n2 + 1 + 1

Lời giải.
…
1
1+ 2
n2 + 1
n = 1 =1.
= lim
1 lim
1
n+1
1
1+
n
…
1
√
1+ 3 1+ 3
n2 + n 3 n3 + 1
n = 1+1 =2 .
2 lim √
= lim …
1+0
1
1
n n2 + 1 + 1

1+ 2 + 2
n
n
√

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
…
4n + sin(nπ)
1 lim
n

…
2 lim

3

8n + cos(nπ)
n

Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

4

/>

/>…
1 lim

…

3

2 lim

4n + sin(nπ)
= lim
n

…

8n + cos(nπ)
= lim
n

4+
…
3

8+

Chương 4 - Giải tích 11

sin(nπ) √
= 4=2
n

(vì lim

cos(nπ) √
= 38=2

n

sin(nπ)
= 0).
n

(vì lim

cos(nπ)
= 0) .
n

Nhận xét. Như vậy để tính các giới hạn trên, chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
3n − 4n+1

1 − 4n
1 + 4n

1 lim

2 lim n+2
3
+ 4n

Lời giải.
Å ãn
1
−1
0−1

1 − 4n
4
Å
ã
1 lim
=
lim
=
= −1 .
n
n
1
1+4
0+1
+1
4
Å ãn
3
−4
3n − 4n+1
0−4
4
= lim Å ãn
= −4.
2 lim n+2
=
n
3
3
+4

0+1
9·
+1
4
Nhận xét. Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho cơ số lớn
nhất và sử dụng kết quả lim qn = 0 với |q| < 1 .
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
√
√
1 lim
n+1− n

2 lim

Ä√
√

1
√
3 lim √
3n + 2 − 2n + 1

4 lim

n2 + n − n

ä

√
n2 + 1 − n + 1

3n + 2

Lời giải.
1 lim

√

n+1−

Ä√

√

n = lim √

1
n+1−n
√ = lim √
√ = 0.
n+1+ n
n+1+ n

n
1
1
= lim …
= .
2
1
+n+n

1+ +1
n
…
…
3
2
2
1
√
√
+ 2+
+ 2
1
3n + 2 + 2n + 1
0
n
n
n
n
√
= = 0.
3 lim √
= lim
= lim
1
n
+
1
1
3n + 2 − 2n + 1

1+
n
√
√
n2 − n
n2 + 1 − n + 1
Ä√
ä
= lim
4 lim
√
3n + 2
(3n + 2) ·
n2 + 1 + n + 1
1
1−
1
n
å= .
= lim Å
…
ã Ç…
3
2
1
1
1
3+
·
1+ 2 +

+ 2
n
n
n n
2 lim

ä
n2 + n − n = lim √

n2

Nhận xét. Như vậy,để tính các giói hạn trên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên lợp để khử dạng ∞ − ∞
k
và
.
∞−∞

Th.s Nguyễn Chín Em

5

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

√
n + 3 1 − n3
Ví dụ 6. Tính lim √
.

n2 + 1 − n
Lời giải.
Ä√
ä
√
n3 + 1 − n3 ·
n2 + 1 + n
n + 3 1 − n3
»
lim √
= lim
√
n2 + 1 − n
(n2 + 1 − n2 ) · n2 − n 3 1 − n3 + 3 (1 − n3 )2
√
n2 + 1 + n
»
= lim
√
n2 − n 3 1 − n3 + 3 (1 − n3 )2
…
1
1
1
+ 4+
2
0
n
n
n

 Å
= lim
…
ã2 = 1 = 0.
1
1
1− 3 3 −1+ 3
−1
n
n3

Ta có

Ví dụ 7. Tính L = lim

1 + a + a2 + . . . + an
, với |a| < 1, |b| < 1.
1 + b + b2 + . . . + bn

Lời giải.
1 + a + a2 + . . . + an (1 − a)(1 − b)
(1 + b + b2 + . . . + bn ) (1 − a)(1 − b)
1 − an+1 (1 − b)
= lim
(1 − bn+1 ) (1 − a)
(1 − a · an )(1 − b)
1−b
= lim
=
.

n
(1 − b · b )(1 − a)
1−a

L = lim

Dạng 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp áp dụng:
Sử dụng công thức:
S = u1 + u2 + · · · =

u1
,với |q| < 1.
1−q

Ví dụ 1. Tính các tổng sau:
1 S =1+

1 1
+ + ···.
2 4

2 S = −1 +

1
1
(−1)n
− 2 + · · · + n−1 + · · · .
10 10
10

Lời giải.
1 Xét cấp số nhân un có u1 = 1 và công bội q =

S=

u1
=
1−q

1
1−

1
2

1
< 1, ta được:
2

= 2.

1
1
(−1)n
−1
, − 2 , . . . , n−1 , . . . là một cấp số nhân có u1 = −1 và công bội q =
10 10
10
10

u1
−1
−10
Từ đó, suy ra: lim S =
=
=
.
1
1−q
11
1+
10

2 Dãy số −1,

Th.s Nguyễn Chín Em

6

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Ví dụ 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
1 0,444 . . .

2 0,2121 . . .

3 0,32111 . . .

Lời giải.
1 Nhận xét rằng:

4
4
4
+
+
+ ···
0, 444 . . . = 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . . =
10 100 1000
4
4
4
4
1
trong đó, các số
,
,
,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 =
và công bội q = .
10 100 1000
10
10
4
u1
4
Từ đó, suy ra: 0, 444 . . . =
= 10 = .

1
1−q
9
1−
10
2 Nhận xét rằng:

21
21
0, 2121 . . . = 0, 21 + 0, 0021 + · · · =
+
+ ···
100 10000
21
21
1
21
,
,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 =
và công bội q =
.
trong đó, các số
100 10000
100
100
21
u1
21
Từ đó, suy ra: 0, 2121 . . . =
= 100 = .

1
1−q
99
1−
100
3 Nhận xét rằng:

1
1
0, 32111 . . . = 0, 32 + 0, 001 + 0, 0001 + · · · = 0, 32 +
+
+ ···
1000 10000
1
1
1
1
trong đó, các số
,
,. . . là một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 =
và công bội q = .
1000 10000
1000
10
1
u1
32
289
Từ đó, suy ra: 0,32111 . . . = 0,32 +
=

+ 1000 =
.
1
1−q
100
900
1−
10
Dạng 4. Dãy số có giới hạn vô cực

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
1 lim(n2 − n + 1).

2 lim(−n2 + n + 1).

Lời giải.
ï Å
ãò
1
1
2
= +∞.
1 Ta có:
− n + 1) = lim n 1 − + 2
n n
ãò
ï
Å
1
1

2
2
= −∞.
2 Ta có: lim(−n + n + 1) = lim −n 1 − − 2
n n
lim(n2

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:
√
1 lim 2n2 − 3n − 8.

2 lim

√
3

1 + 2n − n3 .

Lời giải.
1 Ta có: lim

√

 
2n2

− 3n − 8 = lim

Th.s Nguyễn Chín Em

n2

Å
ã
3
8
2 − − 2 = +∞.
n n
7

/>

/>
2 Ta có: lim

√
3

 
1 + 2n − n3 = lim

n3

3

Å

Chương 4 - Giải tích 11

ã

1
2
+
−
1
= −∞.
n3 n2

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau:
1 lim

√
√
2n + 1 − n .

2 lim

Ä√

n2 + n + 2 −

√

ä
n+1 .

1
√
.
n+2− n+1

3 lim √

Lời giải.
1 Ta thực hiện phép nhân liên hợp:

lim

Ä√

2n + 1 −

√ ä
2n + 1 − n
n+1
n = lim √
√ = lim √
√
2n + 1 + n
2n + 1 + n
1
1+
n
= lim  
= +∞.
2
1
1
+
+√

n n2
n

2 Ta có:

lim

Ä

n2 + n + 2 −

√

n+1

ä

n2 + 1
√
n2 + n + 2 + n + 1
1
1+ 2
n
…
= lim …
= +∞.
1
1
2
1

1
+
+
+
+
n2 n3 n4
n3 n4
= lim √

3 Ta có:

lim √

√
√
1
√
= lim n + 2 + n + 1 = +∞.
n+2− n+1

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
Å

ã
1 2
2 lim
n − 3 sin 2n + 5 .
2

1 lim (2n + cos n).

Lời giải.
1 Ta có: 2n + cos n ≥ 2n − 1 và lim(2n − 1) = +∞

từ đó, suy ra: lim (2n + cos n) = +∞.
Å
ã
1
1 2
1 2
n − 3 sin 2n + 5 ≥ n2 + 2 và lim
n + 2 = +∞
2
2
2
Å
ã
1 2
từ đó, suy ra: lim
n − 3 sin 2n + 5 = +∞.
2

2 Ta có:

Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu q > 1 thì lim q n = +∞.
Áp dụng tìm giới hạn của các dãy số (un ) với:
3n + 1

2 un = 2n − 3n .

.
1 un = n
2 −1
Lời giải.
1
Ta có: lim q n = lim Å ãn = +∞.
1
q
Th.s Nguyễn Chín Em

8

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

1
1+ n
3n + 1
3
1 Ta có: lim un = lim n
= lim Å ãn
= +∞.
2
1
2 −1
− n
3
3

ïÅ ãn
ò
2
n
n
n
2 Ta có: lim un = lim 2 − 3 = lim 3
− 1 = −∞.
3

π
n cos
n
Ví dụ 6. Cho hai dãy số (un ), (vn ) với un = 2
và vn = 2 n .
n +1
n +1
1 Tính lim un .

2 Chứng minh rằng lim vn = 0.

Lời giải.
n

1 Ta có: lim un = lim 2
= 0.
n +1

π
n

n ≥ n
2 Ta có:
và lim 2
= 0, từ đó, suy ra điều cần chứng minh.
2
2
n +1
n +1
n +1
n cos

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMÅ

Câu 1. Kết quả của giới hạn lim
A. −2.

ã
sin 5n
− 2 bằng
3n

B. 3.

C. 0.

D.

5

.
3

Lời giải.
sin 5n
Ta có 0
3n
Chọn đáp án A

Å
ã
1
sin 5n
1
sin 5n
, mà lim = 0 nên lim
= 0, do đó lim
− 2 = −2.
n
n
3n
3n

√
1
n − 2 nk cos
n = 1?
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim
2n
2

A. 0.
B. 1.
C. 4.
Lời giải. √
√
n − 2 n sin 2n
1
n sin 2n
Ta có
= −
.
2n
2
n
√
1
nk cos
n = 0.
Điều kiện bài toán trở thành lim
n
1
Ta có lim cos = cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho
n
√
k
nk
k
lim
= lim n 2 −1 = 0 ⇔ − 1 < 0 ⇔ k < 2 mà k ∈ N∗ , k = 3l
n

2
nên không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn)
Chọn đáp án A
3 sin n + 4 cos n
bằng
n+1
B. 0.
C. 2.

D. Vô số.

Câu 3. Kết quả của giới hạn lim
A. 1.
Lời giải.
3 sin n + 4 cos n
n+1
Chọn đáp án B
Ta có 0

7
n+1

7
3 sin n + 4 cos n
→ 0 ⇒ lim
= 0.
n
n+1

Å

ã
n cos 2n
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 − 2
bằng
n +1
1
A. 4.
B. .
C. 5.
4
Th.s Nguyễn Chín Em

D. 3.

9

D. −4.
/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Lời giải.
ã
Å
1
n cos 2n
n cos 2n
= 5.
→ 0 ⇒ lim 2

= 0 ⇒ lim 5 − 2
n
n +1
n +1

n
2
n +1

n cos 2n
n2 + 1
Chọn đáp án C
Ta có 0

nπ
− 2n3 là
Câu 5. Kết quả của giới hạn lim n2 sin
5
A. −∞.
B. −2.
C. 0.
Lời giải.
Å
ã
nπ
1 sin nπ
2
3
3
Ta có lim n sin

− 2n = lim n
·
−2 .
5
n
5


3
3
 lim n = +∞
 lim n = +∞
Å
ã
Vì
⇒
1 sin nπ
1
1 sin nπ
0
 lim
·
→0
·
− 2 = −2 < 0
5
nã
n
5
Ån

1 sin nπ
⇒ lim n3
·
− 2 = −∞.
n
5
Chọn đáp án A
Å
ã
(−1)n
Câu 6. Giá trị của giới hạn lim 4 +
bằng
n+1
A. 1.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.
ã
Å
(−1)n
1
1
(−1)n
(−1)n
Ta có 0
= 4.
→ 0 ⇒ lim
= 0 ⇒ lim 4 +
n+1
n+1

n
n+1
n+1
Chọn đáp án C
Câu 7. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un =
A. 3.
Lời giải.


0
Ta có

0

B. 0.
|un |
|vn |

1
+1
1
n2 + 2
n2

D. +∞.

D. 2.

(−1)n
1

và vn = 2
. Khi đó lim (un + vn ) có giá trị bằng
2
n +1
n +2
C. 2.
D. 1.

1
→0
n
⇒ lim un = lim vn = 0 ⇒ lim (un + vn ) = 0.
1
→0
n

Chọn đáp án B
−3
là
− 2n + 1
B. −∞.

Câu 8. Giá trị của giới hạn lim
3
A. − .
4
Lời giải.

−3
Ta có lim 2

= lim
4n − 2n + 1

4n2

C. 0.

D. −1.

−3
0
n2
= = 0.
2
1
4
4− + 2
n n

Chọn đáp án C
n + 2n2
bằng
n3 + 3n − 1
B. 1.

Câu 9. Giá trị của giới hạn lim
A. 2.

C.

2
.
3

D. 0.

C.

2
.
7

D.

Lời giải.
n + 2n2
Ta có lim 3
= lim
n + 3n − 1

1
2
+
2
0
n
n
= = 0.
3
1

1+
1
n2 − 3
n

Chọn đáp án D
3n3 − 2n + 1
là
4n4 + 2n + 1
B. 0.

Câu 10. Giá trị của giới hạn lim
A. +∞.

3
.
4

Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

10

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

1
3

2
− 2+ 4
0
3n3 − 2n + 1
n
n
n
= = 0.
Ta có lim 4
= lim
1
2
4n + 2n + 1
4
4+ 3 + 4
n
n
Chọn đáp án B
√
n n+1
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim 2
bằng
n +2
3
A. .
B. 2.
2
Lời giải.
1
1

√
√ + 2
n n+1
0
n n
Ta có lim 2
= lim
= = 0.
2
n +2
1
1+ 2
n
Chọn đáp án D
Câu 12. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un =
A. 1.
Lời giải.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

1
2
vn
có giá trị bằng
và vn =
. Khi đó lim

n+1
n+2
un
C. 0.
D. 3.

1
1+
vn
n+1
n = 1 = 1.
Ta có lim
= lim
= lim
2
un
n+2
1
1+
n
Chọn đáp án A
Câu 13. Cho dãy số (un ) với un =
giá trị của a là
A. a = 10.
Lời giải.

an + 4
trong đó a là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn bằng 2,
5n + 3

B. a = 8.

C. a = 6.

D. a = 4 .

4
a+
an + 4
a
a
n
Ta có lim un = lim
= . Khi đó lim un = 2 ⇔ = 2 ⇔ a = 10.
= lim
3
5n + 3
5
5
5+
n
Chọn đáp án A
Câu 14. Cho dãy số (un ) với un =

2n + b
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn,
5n + 3

giá trị của b là
A. b là một số thực tùy ý.

C. không tồn tại b.
Lời giải.

B. b = 2.
D. b = 5.

b
2+
2n + b
2
n
Ta có lim un = lim
= lim
= (∀b ∈ R).
3
5n + 3
5
5+
n
Chọn đáp án A
n2 + n + 5
.
2n2 + 1
1
B. L = .
2

Câu 15. Tính giới hạn L = lim
3
A. L = .

2
Lời giải.

C. L = 2.

D. L = 1.

1
5
1+ + 2
n2 + n + 5
1
n
n
Ta có L = lim
= lim
= .
1
2n2 + 1
2
2+ 2
n
Chọn đáp án B
4n2 + n + 2
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là
an2 + 5
B. a = 4.
C. a = 3.
D. a = 2.

Câu 16. Cho dãy số (un ) với un =
A. a = −4.
Th.s Nguyễn Chín Em

11

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Lời giải.
1
2
4+ + 2
4n2 + n + 2
n n = 4 (a = 0) ⇔ a = 2.
2 = lim un = lim
= lim
2
5
an + 5
a
a+ 2
n
Chọn đáp án D
n2 − 3n3
.
2n3 + 5n − 2
1

B. L = .
5

Câu 17. Tính giới hạn L = lim
3
A. L = − .
2
Lời giải.
n2 − 3n3
L = lim 3
= lim
2n + 5n − 2

1
C. L = .
2

D. L = 0.

1
−3
−3
n
=
.
2
5
2
2+ 2 − 3
n

n

Chọn đáp án A
5n2 − 3an4
> 0.
(1 − a) n4 + 2n + 1
C. a < 0; a > 1.
D. 0

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim
A. a 0; a
Lời giải.

1.

B. 0 < a < 1.

5n2 − 3an4
= lim
L = lim
(1 − a) n4 + 2n + 1

a < 1.

5
ñ
− 3a
a<0
−3a
n2

>0⇔
=
2
1
(1 − a)
a > 1.
(1 − a) + 3 + 4
n
n

Chọn đáp án C
Câu 19. Tính giới hạn L = lim
3
A. L = − .
2
Lời giải.

2n − n3 3n2 + 1
.
(2n − 1) (n4 − 7)

B. L = 1.

C. L = 3.

D. L = +∞.

ã
Å
Å

ãÅ
ã
ã
2
2
1
2 3+ 1
−
1
·
n
−
1
3
+
2n − n3 3n2 + 1
n2
n2
n2
n2
ã
Å
ã
Å
ã
Å
ã
Å
=
lim

L = lim
=
lim
1
7
1
7
(2n − 1) (n4 − 7)
· n4 1 − 4
2−
1− 4
n 2−
n
n
n
n
−1 · 3
3
=
=− .
2·1
2
Chọn đáp án A
n3

Câu 20. Tính giới hạn L = lim

Å

n2 + 2n 2n3 + 1 (4n + 5)

.
(n4 − 3n − 1) (3n2 − 7)

8
C. L = .
D.
3
Lời giải.
Å
ãÅ
ãÅ
ã
2
1
5
1
+
2
+
4
+
n2 + 2n 2n3 + 1 (4n + 5)
1·2·4
n
n3
n
Å
ãÅ
ã =
L = lim

=
lim
=
4
2
3
1
7
(n − 3n − 1) (3n − 7)
1·3
1− 3 − 4
3− 2
n
n
n
Chọn đáp án C
√
3
n+1
Câu 21. Tính giới hạn L = lim √
.
3
n+8
1
1
A. L = .
B. L = 1.
C. L = .
D.
2

8
Lời giải.
1
√
1+ √
3
3
n+1
1
n
L = lim √
= lim …
= √
= 1.
3
3
n+8
8
1
3
1+
n
Chọn đáp án B
A. L = 0.

Th.s Nguyễn Chín Em

B. L = 1.

12

L = +∞.

8
.
3

L = +∞.

/>

/>
Câu 22. Kết quả của giới hạn lim
1
A. − .
3
Lời giải.

Chương 4 - Giải tích 11

n3 − 2n
là
1 − 3n2
C. −∞.

B. +∞.

D.

2

.
3

D.

5
.
7

ã
Å
2
2
1− 2
1− 2
n3 − 2n
n
n .
ã = lim n ·
lim
= lim Å
1
1
1 − 3n2
−3
n2
−3
n2
n2



lim n = +∞

2



1− 2
3 − 2n
2
n
n = −∞.
1− 2
Ta có
n = − 1 < 0 ⇒ lim 1 − 3n2 = lim n · 1

lim

−3

1
3


n2
−
3
n2
Chọn đáp án C
n3

Câu 23. Kết quả của giới hạn lim
3
.
4
Lời giải.

2n + 3n3
là
4n2 + 2n + 1

B. +∞.

A.

C. 0.

Å
ã
2
2
3
n
+
3
+3
2
2n + 3n3
n2
ã = lim n · n

= lim Å
.
lim 2
1
2
2
1
4n + 2n + 1
4+ + 2
n2 4 + + 2
n n
n n


lim
n
=
+∞

2



+3
3
2
2n
+
3n
n2

+3
Ta có
⇒
lim
=
lim
n
·
= +∞.
2
3
2
1
 lim n
4n2 + 2n + 1
= >0

4
+
+

1
2
4


n n2
4+ + 2
n n
Chọn đáp án B

Câu 24. Kết quả của giới hạn lim
A. 0.

3n − n4
là
4n − 5
C. −∞.

B. +∞.

D.

3
.
4

Lời giải.
ã
3
3
−1
−1
3
3n − n4
n3
n
3
ã = lim n .
lim
= lim Å

.
5
5
4n − 5
4−
n 4−
n
n

3

lim
n
=
+∞

3



−1
4
3
3
3n
−
n
n
3
−

1
Ta có
⇒
lim
=
lim
n
·
= −∞.
1
n3
5

4n − 5
=
−
<
0
lim

4−

5
4


n
4−
n
Chọn đáp án C

n4

Å

Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
3 + 2n3
2n2 − 3
2n − 3n3
A. lim 2
.
B. lim
.
C.
lim
.
2n − 1
−2n3 − 4
−2n2 − 1
Lời giải.
3 + 2n3
lim 2
= +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = 2 · 2 = 4 > 0.
2n − 1
2n2 − 3
lim
= 0 : « bậc tử » < « bậc mẫu ».
−2n3 − 4
3
2n − 3n
= +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và an bk = (−3) · (−2) > 0.

lim
−2n2 − 1
2n2 − 3n4
−3
3
am
−3
3
lim
=
= : « bậc tử » = « bậc mẫu » và
=
= .
4
2
−2n + n
−2
2
bk
−2
2
Th.s Nguyễn Chín Em

13

D. lim

2n2 − 3n4
.
−2n4 + n2

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Chọn đáp án B
1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng − ?
3
n2 − 2n
A. un =
.
3n2 + 5
n2 − 3n3
C. un = 3
.
9n + n2 − 1
Lời giải.
−3
1
n2 − 3n3
=
=− .
lim un = lim 3
9n + n2 − 1
9
3
Chọn đáp án C

−n4 + 2n3 − 1
.
3n3 + 2n2 − 1
−n2 + 2n − 5
D. un =
.
3n3 + 4n − 2
B. un =

Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?
1 + n2
n2 − 2n
n2 − 2
A. un =
.
C.
u
=
.
.
B. un =
n
5n + 5
5n + 5n3
5n + 5n2
Lời giải.


lim n = +∞


1



+
1
1
2
1 + n2
+1
lim un = lim
= lim n · n
= +∞ vì
am
1
n2
5

5n + 5
=
lim
= > 0.

5+

5
b
5

k


n
5+
n
Chọn đáp án A

D.

1 + 2n
.
5n + 5n2

Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞?
n3 + 2n − 1
2n2 − 3n4
n2 − 2n
1 + 2n
.
B.
u
=
.
C.
u
=
.
D.
u
=
.

A.
n
n
n
5n + 5n2
−n + 2n3
n2 + 2n3
5n + 1
Lời giải.
2n2 − 3n4
un = 2
: « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = −3.2 = −6 < 0 ⇒ lim un = −∞.
n + 2n3
Chọn đáp án C
Câu 29. Tính giới hạn L = lim 3n2 + 5n − 3 .
A. L = 3.
B. L = −∞.
C. L = 5.
D. L = +∞.
Lời giải.

2
Å
ã
 lim n = +∞
5
3
Å
ã
2

2
L = lim 3n + 5n − 3 = lim n 2 + − 2 = +∞ vì
5
3
 lim 2 + −
n n
= 2 > 0.
n n2
Chọn đáp án D
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (−10; 10) để L = lim 5n − 3 a2 − 2 n3 =
−∞?
A. 19.
B. 3.
C. 5.
D. 10.
Lời giải.
Å
ã
5
2−2
Ta có lim 5n − 3 a2 − 2 n3 = lim n3
−
3
a
= −∞
n2
Å
ã
√
√

5
⇔ lim
− 3 a2 − 2 = a2 − 2 < 0 ⇔ − 2 < a < 2.
2
n
Vì a ∈ Z, a ∈ (−10; 10) nên a = −1; 0; 1.
Chọn đáp án B
Câu 31. Tính giới hạn lim 3n4 + 4n2 − n + 1 .
A. L = 7.
B. L = −∞.
C. L = 3.
D. L = +∞.
Lời giải.

4
Å
ã
 lim n = +∞
4
1
1
Å
ã
lim 3n4 + 4n2 − n + 1 = lim n4 3 + 2 − 3 + 4 = +∞ vì
4
1
1

n
n

n
lim 3 + 2 − 3 + 4 = 3 > 0.
n
n
n
Chọn đáp án D
Ä√ ä2
Ä√ än
√
Câu 32. Cho dãy số (un ) với un = 2 +
2 + ··· +
2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Th.s Nguyễn Chín Em

14

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11
√

2
√ .
1− 2
D. Không tồn tại lim un .

A. lim un = −∞.

B. lim un =

C. lim un = +∞.
Lời giải.
Ä√ än
√
√ Ä√ ä2
2 ,...,
2 lập thành cấp số nhân có u1 = 2 = q nên
Vì 2,
Ä√ än
√
Ä
ó
2
√ 1−
√ ä îÄ√ än
a=2− 2>0
√
un = 2 ·
= 2− 2
2 − 1 ⇒ lim un = +∞ vì
√
1− 2
q = 2 > 1.
Chọn đáp án C
1
3
n
+ 1 + + ··· +
2

2 bằng
Câu 33. Giá trị của giới hạn lim 2
n2 + 1
1
1
1
A. .
B. 1.
C. .
D. .
8
2
4
Lời giải.
3
n
1
1 n (n + 1)
1
. Do đó
Ta có + 1 + + · · · + = (1 + 2 + · · · + n) = ·
2
2
2
2
2
2
1
3
n

+ 1 + + ··· +
2
2
2 = lim n + n = 1 .
lim 2
n2 + 1
4n2 + 4
4
Chọn đáp án D
ã
Å
2
n−1
1
+
+ ··· +
bằng
Câu 34. Giá trị của giới hạn lim
n2 n2
n2
1
1
C. .
D. 1.
A. 0.
B. .
3
2
Lời giải.
1

2
n−1
1
1 (n − 1) (1 + n − 1)
n2 − n
Ta có 2 + 2 + · · · +
=
(1
+
2
+
·
·
·
+
n
−
1)
=
·
=
.
n Ån
n2
n2 ã
n2
2
2n2
2
1

2
n−1
n −n
1
Do đó lim
+ 2 + ··· +
= lim
= .
2
2
2
n
n
n
2n
2
Chọn đáp án C
Å
ã
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim
bằng
3n2 + 4
2
1
C. .
D. 1.
A. 0.
B. .
3

3
Lời giải.
n (1 + 2n − 1)
Ta có 1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1) =
= n2 nên
2
Å
ã
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)
n2
1
= .
lim
=
lim
2
2
3n + 4
3n + 4
3
Chọn đáp án B
Å
ã
1
1
1
+
+ ··· +
là
Câu 36. Giá trị của giới hạn lim

1·2 2·3
n (n + 1)
1
A. .
B. 1.
C. 0.
D. −∞.
2
LờiÅgiải.
ã
Å
ã
1
1
1
1 1 1
1
1
lim
+
+ ··· +
= lim 1 − + − + · · · + −
1Å· 2 2 · 3 ã
n (n + 1)
2 2 3
n n+1
1
= lim 1 −
= 1.
n+1

Chọn đáp án B
Å
ã
1
1
1
Câu 37. Giá trị của giới hạn lim
+
+ ··· +
bằng
1·3 3·5
(2n − 1) (2n + 1)
1
1
A. .
B. .
C. 1.
D. 2.
2
4
Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

15

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Å
ã
1
1
1
1
Với mọi k ∈
thì
, do đó
=
−
(2k − 1) (2k + 1)
2 ã2k − 1 ï2k + 1
ò
Å
1
1 1 1
1
1
1
1
1
= lim
1− + − +
lim
+
+ ··· +
−
1·3 3·5
(2n − 1) (2n + 1)

2
3 3 5 2n − 1 2n + 1
ï
ò
1
1
1
= lim
1−
= .
2
2n + 1
2
Chọn đáp án A
ï
ò
1
1
1
Câu 38. Giá trị của giới hạn lim
+
+ ··· +
bằng
1·4 2·5
n (n + 3)
11
3
A.
.
B. 2.

C. 1.
D. .
18
2
Lời giải.
Ta có
ï
ò
1
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 − + − + − + ··· + −
+
+ ··· +
=
1·4 2·5
n (n + 3)
3
4 2 5 3 6
n n+3
ïÅ
ã Å
ãò
1 1
1 1 1
1

1
1
1 + + + ··· +
−
=
+ + + ··· +
3
2 3
n
4 5 6
n+3
Å
ã
.
1
1 1
1
1
1
=
1+ + −
−
−
3
2 3 n+1 n+2 n+3
Å
ã
1 11
1
1

1
=
.
−
−
−
3 6 ãn + 1 nÅ+ 2 n + 3
Å
ã
1
1
1
1 11
1
1
1
11
Do đó lim
+
+ ··· +
= lim
−
−
−
= .
1·4 2·5
n (n + 3)
3 6
n+1 n+2 n+3
8

Chọn đáp án A
N∗

Câu 39. Giá trị của giới hạn lim
A. 4.

12 + 22 + · · · + n2
bằng
n (n2 + 1)

B. 1.

C.

1
.
2

D.

1
.
3

Lời giải.
2n3 − 3n2 + n
n (n − 1) (2n + 1)
=
thì ta có
6

6
12 + 22 + 32 + · · · + n2 = (P (2) − P (1)) + (P (3) − P (2)) + · · · + (P (n + 1) − P (n))
.
n (n + 1) (2n + 3)
= P (n + 1) − P (1) =
.
6
n (n + 1) (2n + 3)
2
1
12 + 22 + · · · + n2
Do đó lim
= lim
= = .
2
2
n (n + 1)
6n (n + 1)
6
3
Chọn đáp án D

1

un =
2
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi
. Tính lim un .
1


un+1 =
,n 1
2 − un
1
A. lim un = −1.
B. lim un = 0.
C. lim un = .
D. lim un = 1.
2
Lời giải.
Giả sử lim un = a thì ta có
®
®
a=2
a=2
1
1
a = lim un+1 = lim
=
⇔
⇔
⇔ a = 1.
2 − un
2−a
a (2 − a) = 1
a2 − 2a + 1 = 0
Đặt P (n) =

Chọn đáp án D
Câu 41. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi

A. lim un = 1.
B. lim un = 0.
Lời giải.
Giả sử lim un = a thì ta có
un + 1
a+1
a = lim un+1 = lim
=
⇔ a = 1.
2
2
Th.s Nguyễn Chín Em


u1 = 2
un+1 = un + 1 , n
2
C. lim un = 2.

16

1

. Tính lim un .
D. lim un = +∞.

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Chọn đáp án A
√
Câu 42. Kết quả của giới hạn lim
2
.
3
Lời giải.
A.

B.

3
.
4

9n2 − n + 1
bằng
4n − 2
C. 0.

D. 3.

…
1
1
9− + 2
9n2 − n + 1
n n = 3.
lim

= lim
2
4n − 2
4
4−
n
Chọn đáp án B
√

Câu 43. Kết quả của giới hạn lim
2
A. − .
3
Lời giải.

−n2 + 2n + 1
√
bằng
3n4 + 2

1
B. .
2

C. −

2
1
−1 + + 2
1

−n2 + 2n + 1
= lim … n n = − √ .
lim √
4
2
3
3n + 2
3+ 4
n
Chọn đáp án C
√
2n + 3
là:
Câu 44. Kết quả của giới hạn lim √
2n + 5
5
5
A. .
B. .
2
7
Lời giải.
…
3
√
√
2+
2n + 3
2
n

= √ = 1.
lim √
= lim √
5
2n + 5
2
2+ √
n
Chọn đáp án D
√
n+1−4
Câu 45. Kết quả của giới hạn lim √
bằng
n+1+n
A. 1.

√

B. 0.

3
.
3

1
D. − .
2

C. +∞.

D. 1.

C. −1.

D.

1
.
2

Lời giải.
…

1
1
4
√
+
−
2
n+1−4
n = 0 = 0.
lim √
= lim …n n
1
n+1+n
1
1
+ 2 +1
n n

Chọn đáp án B
√
n + n2 + 1
π
= a sin + b. Tính S = a3 + b3 .
Câu 46. Biết rằng lim √
2
4
n −n−2
A. S = 1.
B. S = 8.
C. S = 0.
D. S = −1.
Lời giải.
…
1
√
®
√
√
1+ 1+ 2
√
a=2 2
n + n2 + 1
1+ 1
π
n
Ta có lim √
= lim …
=

= 2 2 sin ⇒
⇒ S = 8.
1
4
1
2
b=0
n2 − n − 2
1− −
n n
Chọn đáp án B
Câu 47. Kết quả của giới hạn lim √
A. +∞.
Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

10
là
n4 + n2 + 1

B. 10.

C. 0.

17

D. −∞.

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

10
2
10
0
n
lim √
= = 0.
= lim …
4
2
1
1
1
n +n +1
1+ 2 + 4
n
n
Chọn đáp án C
…
2n + 2
Câu 48. Kết quả của giới hạn lim (n + 1)
là
4
n + n2 − 1
A. +∞.
B. 1.
C. 0.

D. −∞.
Lời giải.
 
…
2n + 2
2(n + 1)3
lim (n + 1)
=
lim
= 0.
n4 + n2 − 1
n4 + n2 − 1
Chọn đáp án C
√
3
√
an3 + 5n2 − 7
Câu 49. Biết rằng lim √
= b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức
2
3n − n + 2
a+c
P = 3 .
b
1
1
C. P = 2.
D. P = .
A. P = 3.
B. P = .

3
2
Lời giải.
…

5
7
3
√
√
√
b
a
+
−
3
3
√
3
3
3
2
√
√
3
a=
an + 5n − 7
b
a
1

n
n
3 ⇒P = .
Ta có lim √
=√ =
= lim …
3= b 3 + c ⇒
2

3
3
1
2
3
3n − n + 2
c=0
3− + 2
n n
Chọn đáp án B
√
Câu 50. Kết quả của giới hạn lim 5 200 − 3n5 + 2n2 là
A. +∞.
B. 1.
C. 0.
D. −∞.
Lời giải.

å
Ç…
= +∞


 lim n
√
Ç
å
…
2
200
5
5
√
lim 200 − 3n5 + 2n2 = lim n
− 3 + 3 = −∞ vì
2
5
5 200

n5
n
−
3
+
=
−
3 < 0.
 lim
5
3
n
n

Chọn đáp án D
√
√
Câu 51. Giá trị của giới hạn lim n + 5 − n + 1 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 3.
Lời giải.
√
√
4
√
lim n + 5 − n + 1 = lim √
= 0.
n+5+ n+1
Chọn đáp án A
Ä√
ä
Câu 52. Giá trị của giới hạn lim
n2 − n + 1 − n là
1
A. − .
B. 0.
C. 1.
2
Lời giải.

D. 5.

D. −∞.

1
−1 +
−n
+
1
1
n
lim
n2 − n + 1 − n = lim √
= lim …
=− .
2
2
1
1
n −n+1+n
1− + 2 +1
n n
Chọn đáp án A
Ä√
ä
√
Câu 53. Giá trị của giới hạn lim
n2 − 1 − 3n2 + 2 là
A. −2.
B. 0.
C. −∞.
Lời giải.
Ç…

å
…
Ä√
ä
√
1
2
2
2
lim
n − 1 − 3n + 2 = lim n
1 − 2 − 3 + 2 = −∞ vì
n
n
Ç…
å
…
√
1
2
lim n = +∞, lim
1 − 2 − 3 + 2 = 1 − 3 < 0.
n
n
Chọn đáp án C
Ä√

ä

Th.s Nguyễn Chín Em

18

D. +∞.

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

Ä√
ä
√
Câu 54. Giá trị của giới hạn lim
n2 + 2n − n2 − 2n là
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. +∞.
Lời giải.
Ä√
ä
√
4
4n
√
…
= lim …
= 2.
lim

n2 + 2n − n2 − 2n = lim √
2
2
2
2
n + 2n + n − 2n
1+ + 1−
n
n
Chọn đáp án B
Ä√
ä
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để lim
n2 + a2 n − n2 + (a + 2) n + 1 = 0?
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Lời giải.
ä
Ä√
a2 − a − 2 n − 1
√
n2 + a2 n − n2 + (a + 2) n + 1 = lim √
Ta có lim
n2 + n + n2 + 1
1
ñ
a2 − a − 2 −
a = −1

a2 − a − 2
n
…
=
= lim …
=0⇔
2
a = 2.
1
1
1+ + 1+ 2
n
n
Chọn đáp án B
Ä√
ä
√
Câu 56. Giá trị của giới hạn lim
2n2 − n + 1 − 2n2 − 3n + 2 là
√
2
A. 0.
B.
.
C. −∞.
D. +∞.
2
Lời giải.
Ä
ä

2n − 1
√
lim
2n2 − n + 1 − 2n2 − 3n + 2 = lim √
2
2n − n + 1 + 2n2 − 3n + 2
1
2−
1
n
…
= lim …
=√ .
1
2
1
3
2
2− + 2 + 2− + 2
n n
n n
Chọn đáp án B
Ä√
ä
√
Câu 57. Giá trị của giới hạn lim
n2 + 2n − 1 − 2n2 + n là
√
C. −∞.
D. +∞.

A. −1.
B. 1 − 2.
Lời giải.
å
Ç…
…
Ä√
ä
√
2
1
1
2
2
= −∞ vì
n + 2n − 1 − 2n + n = lim n ·
1+ − 2 − 2+
lim
n n
n
Ç…
å
…
√
2
1
1
lim n = +∞, lim
1+ − 2 − 2+
= 1 − 2 < 0.

n n
n
Chọn đáp án C
Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim
A. 0.
Lời giải.

Ä√

B. 2.

ä
n2 − 8n − n + a2 = 0?

C. 1.

D. Vô số.
Ü

Ä√
ä
n2 − 8n − n + a2 = lim √
Å

Ta có lim

−8n
+ a2 = lim
− 8n + n
ã

n2

= a2 − 4 = 0 ⇔ a = ±2.
Chọn đáp án B

ê
−8
…
+ a2
8
1− +1
n

Ä√
ä
Câu 59. Giá trị của giới hạn lim
n2 − 2n + 3 − n là
A. −1.
B. 0.
C. 1.
Lời giải.

D. +∞.

3
−2 +
−2n
+
3

n
lim
n2 − 2n + 3 − n = lim √
= lim …
= −1.
2
3
n2 − 2n + 3 + n
1− + 2 +1
n n
Chọn đáp án A
Ä√

ä

Th.s Nguyễn Chín Em

19

/>

/>
Chương 4 - Giải tích 11

√
√
Câu 60. Cho dãy số (un ) với un = n2 + an + 5 − n2 + 1, trong đó a là tham số thực. Tìm a để
lim un = −1.
A. 3.
B. 2.

C. −2.
D. −3.
Lời giải.
Ä
ä
an + 4
√
− 1 = lim un = lim
n2 + an + 5 − n2 + 1 = lim √
n2 + an + 5 + n2 + 1
4
a+
a
n …
= lim …
= ⇔ a = −2.
2
a
1
5
1+ + 2 + 1+ 2
n n
n
Chọn đáp án C
Ä√
ä
√
Câu 61. Giá trị của giới hạn lim 3 n3 + 1 − 3 n3 + 2 bằng
A. 3.
B. 2.

C. 0.
D. 1.
Lời giải.
Ä√
ä
√
−1
»
= 0.
lim 3 n3 + 1 − 3 n3 + 2 = lim »
√
√
3
3
2
(n3 + 1) + n3 + 1 · 3 n3 + 2 + 3 (n3 + 2)2
Chọn đáp án C
Ä√
ä
Câu 62. Giá trị của giới hạn lim 3 n2 − n3 + n là
1
A. .
B. +∞.
C. 0.
D. 1.
3
Lời giải.
ä
Ä√
n2

1
1
= lim  Å
= .
lim 3 n2 − n3 + n = lim »
…
√
ã
2
3
3
1
1
(n2 − n3 )2 − n 3 n2 − n3 + n2
3
−1 − 3 −1+1
n
n
2
2
√
n
1
n
Giải nhanh: 3 n2 − n3 + n = »
∼ √
= .
√
√
3

3
6
3
2
3
3
3
n − n −n + n
(n2 − n3 )2 − n n2 − n3 + n2
Chọn đáp án A
Ä√
ä
Câu 63. Giá trị của giới hạn lim 3 n3 − 2n2 − n bằng
1
2
A. .
B. − .
C. 0.
D.
3
3
Lời giải.
ä
Ä√
−2n2
lim 3 n3 − 2n2 − n = lim »
√
3
(n3 − 2n2 )2 + n · 3 n3 − 2n2 + n2
−2

2
= lim  Å
=− .
ã2 …
3
2
2
3
1−
+ 3 1− +1
n
n
Chọn đáp án B
√
√ √
Câu 64. Giá trị của giới hạn lim n n + 1 − n − 1 là
A. −1.
B. +∞.
C. 0.
D.
Lời giải.
√
√
√ √
2 n
2
√
…
= lim …
= 1.

lim n n + 1 − n − 1 = lim √
n+1+ n−1
1
1
1+ + 1−
n
√
√n
√
√ √
2 n
2 n
√
√ = 1.
Giải nhanh: n n + 1 − n − 1 = √
∼√
n+ n
n+1+ n−1
Chọn đáp án D
√ √
√
Câu 65. Giá trị của giới hạn lim n n + 1 − n bằng
1
1
A. 0.
B. .
C. .
D.
2
3

Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

20

1.

1.

1
.
4

/>

/>√

√

√

Chương 4 - Giải tích 11

√

1
n
1
= .
√ = lim …

2
n+1+ n
1
1+ +1
√
√n
√
√ √
n
n
1
√ = .
Giải nhanh: n n + 1 − n = √
√ ∼√
2
n+ n
n+1+ n
Chọn đáp án B
î Ä√
äó
√
Câu 66. Giá trị của giới hạn lim n
n2 + 1 − n2 − 3 bằng
A. −1.
B. 2.
C. 4.
D. +∞.
Lời giải.
ä
Ä√

√
4n
4
√
…
n2 + 1 − n2 − 3 = lim √
= lim …
= 2.
lim n
1
3
n2 + 1 + n2 − 3
1+ 2 + 1− 2
n
n
Ä√
ä
√
4n
4n
2
2
√ = 2.
√
Giải nhanh: n
n +1− n −3 = √
∼√
n2 + 1 + n2 − 3
n2 + n2
Chọn đáp án B

î Ä√
äó
√
Câu 67. Giá trị của giới hạn lim n
n2 + n + 1 − n2 + n − 6 là
√
7
A. 7 − 1.
B. 3.
C. .
D. +∞.
2
Lời giải.
ä
Ä
7n
√
lim n
n2 + n + 1 − n2 + n − 6 = lim √
n2 + n + 1 + n2 + n − 6
7
7
.
…
= .
= lim …
2
1
1
1

6
1+ + 2 + 1+ − 2
n n
n n
Ä√
ä
√
7n
7n
7
√ = .
√
Giải nhanh : n
n2 + n + 1 − n2 + n − 6 = √
∼√
2
n2 + n + 1 + n2 + n − 6
n2 + n2
Chọn đáp án C
lim n

n+1−

n = lim √

Câu 68. Giá trị của giới hạn lim √
A. 1.
Lời giải.

B. 0.

n2

1
√
là
+ 2 − n2 + 4
C. −∞.

D. +∞.

ñ
Ç…
åô
…
ï
äò
√
1 Ä√ 2
1
2
4
1
2
√
= lim −
n + 2 + n + 4 = lim n · −
1+ 2 + 1+ 2
lim √
2

2
n
n
n2 + 2 − n2 + 4
ñ
Ç…
åô
…
1
2
4
= −∞ vì lim n = +∞, lim −
1+ 2 + 1+ 2
= −1 < 0.
2
n
n
ä
√
1
1 Ä√ 2
1 Ä√ 2 √ 2 ä
√
Giải nhanh: √
=−
n + 2 + n2 + 4 ∼ −
n + n = −n → −∞.
2
2
n2 + 2 − n2 + 4

Chọn đáp án C
√
√
9n2 − n − n + 2
Câu 69. Giá trị của giới hạn lim
là:
3n − 2
A. 1.
B. 0.
C. 3.
D. +∞.
Lời giải.
…
…
1
1
2
√
√
√
+ 2
9− −
9n2 − n − n + 2
9
n
n
n
lim
= lim
=

= 1.
2
3n − 2
3
3−
n
Chọn đáp án A
Ä√
ä
Câu 70. Giá trị của giới hạn lim 3 n3 + 1 − n là
A. 2.
B. 0.
C. −∞.
D. +∞.
Lời giải.
ä
Ä√
1
lim 3 n3 + 1 − n = lim »
= 0.
√
3
2
(n3 + 1) + n 3 n3 + 1 + n2
Chọn đáp án B
Th.s Nguyễn Chín Em

21

/>

/>
Câu 71. Kết quả của giới hạn lim
25
.
2
Lời giải.
A. −

B.

5
.
2

Chương 4 - Giải tích 11

2 − 5n+2
bằng
3n + 2 · 5n

5
D. − .
2

C. 1.

Å ãn
1
− 25

2 − 5n+2
25
5
lim n
=− .
= lim Å ãn
n
3
3 +2·5
2
+2
5
Chọn đáp án A
2

3n − 2 · 5n+1
bằng
2n+1 + 5n
B. −10.
C. 10.

Câu 72. Kết quả của giới hạn lim
A. −15.
Lời giải.
lim

3n − 2 · 5n+1
2n+1 + 5n

D. 15.

Å ãn
3
− 10
5
= lim Å ãn
= −10.
2
+1
2·
5

Chọn đáp án B
Câu 73. Kết quả của giới hạn lim
A. 0.
Lời giải.

3n − 4 · 2n+1 − 3
là
3 · 2n + 4 n

B. 1.

C. −∞.

D. +∞.

Å ãn
Å ãn
Å ãn

3
1
1
−8·
−3·
0
3n − 4 · 2n+1 − 3
4
2
4
Å ãn
= lim
= = 0.
lim
n
n
1
3·2 +4
1
3·
+1
2
Chọn đáp án A
3n − 1
bằng
2n − 2 · 3n + 1
1
1
3
A. −1.

B. − .
C. .
D. .
2
2
2
Lời giải.
Å ãn
1
1−
n
3 −1
1
3
Å ãn = − .
lim n
= lim Å ãn
2
1
2 − 2 · 3n + 1
2
−2+
3
3
Chọn đáp án B
Ñ Ä√ än
é
√
2
5 − 2n+1 + 1

2n + 3
a 5
=
Câu 75. Biết rằng lim
+ 2
+ c với a, b, c ∈ Z. Tính giá trị của biểu
Ä√ än+1
n −1
b
5 · 2n +
5
−3
Câu 74. Kết quả của giới hạn lim

thức S = a2 + b2 + c2 .
A. S = 26.
B. S = 30.
C. S = 21.
D. S = 31.
Lời giải.
Å
ã
Å
ã
Ü
ê
Ñ Ä√ än
é
2 n
1 n

3
√
√
1
−
2
·
+
2+ 2
5 − 2n+1 + 1
2n2 + 3
n
Å
ãn 5
Å5 ãn +
lim
+ 2
= lim
Ä√ än+1
√
1
2
1
n
−
1
n
5·2 +
5
−3

1− 2
5· √
+ 5−3· √
n
5
5
√
5
1
= √ +2=
+ 2.
5
5
Vậy S = 12 + 52 + 22 = 30.
Chọn đáp án B
Câu 76. Kết quả của giới hạn lim
A. 1.
Th.s Nguyễn Chín Em

B.

1
.
3

π n + 3n + 22n
là
3π n − 3n + 22n+2
C. +∞.
22

D.

1
.
4

/>