Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 1
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

MỤC LỤC
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ............................................................. 3
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ................................. 3
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN .......................................................................................... 17
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ............................................................................ 17
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:............................................................................. 23
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 .............................................................................. 25
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 .............................................................................. 33
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :............................................................................ 35
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 .............................................................................. 39
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ..................................................................................... 40
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ..................................................... 51

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 2
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

1) Quy tắc: Nếu u  u  x  và v  v  x  thì  uv   uv  uv .
- Nếu  f  x  .g  x    h  x  thì f  x  .g  x    h  x  dx.
Câu 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện f 1  3 và
x  4  f   x    f  x   1, x  0. Giá trị của f  2  bằng

A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Lời giải
Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có x  4  f   x    f  x   1  xf   x   f  x   4 x  1

  xf  x    4 x  1  xf  x     4 x  1 dx  xf  x   2 x 2  x  C.
+) Lại có f 1  3  C  0  f  x   2 x  1  f  2   5.
Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  1;   và thỏa mãn đẳng thức

2 f  x    x 2  1 f   x  
A. f  0   2  3.

x3  2 x2  x
x2  3

với mọi x  1;   . Giá trị của f  0 bằng

B. f  0   e  3.
C. f  0   3.
Lời giải

D. f  0   1  3.

Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
2

x  x  1
x3  2 x2  x
 2 f  x    x  1 x  1 f   x  
2
x 3
x2  3
2 f  x  x 1
x
x 1
x
 x  1 




f
x


f  x 
f  x 




2
x 1
x2  3  x 1 
x2  3
 x  1 x  1
2 f  x    x  1 f   x  
2


x 1
x
x 1
x
x 1
. f  x    2

. f  x   2
dx 
. f  x  x2  3  C
x 1

x 1
 x 1

x 3
x 3
có * thỏa mãn với mọi x  1;   nên thay x  1 vào * ta có C  2.
x 1
Suy ra
. f  x   x 2  3  2. Do đó f  0   2  3.
x 1
 

 *

+) Lại

2

Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  . f ''  x   4 x 3  2 x với
mọi x   và f  0   0 . Giá trị của f 2 1 bằng
A.

5
.
2

B.

9
.

2

C.

16
.
15

D.

8
.
15

Lời giải
Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 3
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

2

Ta có:  f '  x    f  x  . f ''  x    f  x  . f '  x  ' . Từ giả thiết ta có:  f  x  . f '  x   '  4 x 3  2 x
Suy ra: f  x  . f '  x     4 x 3  2 x  dx  x 4  x 2  C . Với f  0   0  C  0
Nên ta có: f  x  . f '  x   x 4  x 2

1

Suy ra:

1

 f  x  . f '  x  dx    x
0

4

2



 x dx 

f 2  x

0

2

1


0

8
16

 f 2 1  .
15
15

Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x  thỏa mãn
2

 xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng
A. f 2  2   2 ln 2  2 .

B. f 2  2   2ln 2  2 .

C. f 2  2   ln 2  1 .

D.

f 2  2   ln 2  1 .
Lời giải
Chọn B
2

Ta có:  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f "  x  ; x  0
2
2
1
 x 2 .  f '  x    1  x 2 1  f  x  . f "  x     f '  x    2  1  f  x  . f "  x 
x
2
'
1

1
  f '  x    f  x  . f "  x   1  2   f  x  . f '  x   1  2
x
x
'
1 
1

Do đó:   f  x  . f '  x   .dx    1  2 .dx  f  x  . f '  x   x   c1.
x
 x 
Vì f 1  f ' 1  1  1  2  c1  c1  1.

1 
1 


Nên  f  x  . f '  x  .dx    x   1.dx   f  x  .d  f  x      x   1 .dx
x 
x 


2
f  x  x2
1 1


 ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1.
2
2

2 2
2
2
f  x x
Vậy

 ln x  x  1  f 2  2   2 ln 2  2 .
2
2

Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
1

 0;1 thỏa mãn 3 f  x   x. f ( x)  x 2018 x  0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  f  x  dx .
0

A.

1
.
2018.2020

B.

1
.
2019.2020

C.

1
.
2020.2021

D.

1
.
2019.2021

Lời giải
Chọn D

x 2021
Xét hàm số: g  x   x . f  x  
trên  0;1 .
2021
Ta có: g   x   3 x 2 f  x   x 3 f   x   x 2020  x 2 . 3 f  x   x. f ( x)  x 2018   0 x  0;1 .
3

Do đó g  x  là hàm số không giảm trên  0;1 , suy ra g  x   g  0  x   0;1

x2021
x 2018
 0, x   0;1  f  x  
 0, x   0;1 .
Hay x . f  x  
2021
2021
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 4
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy:

1

1



f  x  dx  

0

0

Tích Phân Hàm Ẩn

1
x 2018
dx 
.
2021
2019.2021

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x  

x 2018
.
2021

 u  uv  uv
2) Quy tắc: Nếu u  u  x  và v  v  x  thì   
với v  0.
v2
v
 f  x  
f  x
 h  x  dx.
- Nếu 
  h  x  thì
g  x 
 g  x 
 1  u 
Hệ quả: Nếu u  u  x  thì    2 với u  0 .
u
u
 1 
1
 g  x  thì
- Nếu 
  g  x  dx

 f  x 
f

x




Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

2
9

2

và f   x   2 x  f  x   , x  . Giá trị của f 1 bằng
35
2
19
2
A.  .
B.  .
C.  .
D.  .
36
3
36
15
Lời giải
Chọn B
 1 
f  x
2

1
+)Ta có f   x   2 x  f  x   
 2x  
   2 xdx
  2 x 
2
f  x
 f  x  
 f  x  
1

 x2  C .
f  x
2
1
1
1
2
+) Lại có f  2     C   
  x 2   f 1   .
9
2
f  x
2
3
Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
khoảng  0;   thỏa mãn x 2 f   x   f  x   0 và f  x   0 , x   0;    . Tính f  2  biết f 1  e .
A. f  2   e2 .

C. f  2   2e2 .

B. f  2   3 e .

D. f  2   e .

Lời giải
Chọn D
Ta có f  x   0 , x   0;     f  x   0 không có nghiệm trên khoảng  0;  
 f  x   0 không có nghiệm trên khoảng 1; 2   f 1 . f  2   0 , x  1; 2 .
Mà f 1  e  0 nên f  2   0 .
Do đó x 2 f   x   f  x   0 

f  x
1


.
x2
f  x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 5
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

2

2
2
f  x
1
1
d
x
d
x



  ln f  x 

1 x 2
1 f  x 
1
x1
2

Suy ra

1
1 
    1   ln f  2   ln f 1    ln f  2   ln e 
2
2 
1
1
1

   ln f  2   1  ln f  2    f  2   e 2  e .
2
2





2
1
Câu 8. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  và f   x    xf  x  với mọi x   . Giá trị f  2  bằng
3
2
3
16
3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
2
3
16
Lời giải
Chọn B
 1 
f  x

1
x3
2
2
2
x 


x



x
dx


C .
+) Từ giả thiết, ta có 2


f  x
f  x
3
 f  x  
1
10
1
 x3  10
1
2

3
+) Lại có f 1   C  


  f 2  .
3
3
3
2
f  x
f 2 3

Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn các điều kiện f 1  2 ,
2

2

f  x   0, x  0 và  x 2  1 f '  x    f  x    x 2  1 với mọi x  0 . Giá trị của f  2 bằng
2
2
5
5
A. .
B.  .
C.  .
D.
.
5
5
2

2
Lời giải
Chọn D
2
f ' x
2
x2  1
2
2
Ta có  x  1 f '  x    f  x    x  1 

x  1; 2 (*)
2
2
 f  x  
 x 2  1
Lấy tích phân 2 vế (*) trên 1; 2 ta được
1
2 1
1 2
x2
1  f  x  2 dx  1 x 2  1 2 dx   f  x  1  1  1 2 dx


x 
x

1

2 d x 

2
1
1
1
1
1
x 









2
1 1
f  2  f 1 1 
f 2 2

1
x

x x




x


2

f ' x

2

x2 1







1
1
2 1
5
     f 2  .
5 2
2
f  2 2

Câu 10. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f 1  

1
và
2

2



3

f  x   xf   x   2 x  x

2

 f  x  , x  1; 2. Giá trị của tích phân  xf  x dx bằng
2

1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 6
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

4
A. ln .
3

3
B. ln .
4

Tích Phân Hàm Ẩn

C. ln 3.

D. 0.

Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có f  x   xf   x    2 x 3  x 2  f 2  x  

f  x   xf   x 
 xf  x  

2

 2x 1

 1 
1
1

   2 x  1 dx 
  x 2  x  C.
  2 x  1 
xf  x 
xf  x 
 xf  x  
2
2
1

1
1
+) Lại có f 1    C  0  xf  x   
  xf  x dx  
dx
2
x  x  1
x
x

1


1
1
2

1
x 1 2
3
 1
 
 dx  ln
 ln .
x 1 x 
x 1
4
1
Câu 11. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và
2

9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  .
A. T  2  9ln 2 .

B. T  9 .

C. T 

1
 9 ln 2 .
2

D. T  2  9ln 2 .

Lời giải
Chọn C
2

2

Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x   

f   x   1

1
 .
9
 f   x   x 
2

f   x   1

1
1
x
dx   dx 
 C .
9
f  x   x 9
 f '  x   x 
1
9
9
Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x 
 f  x 
x
9
x 1
x 1

Lấy nguyên hàm hai vế  

1

2

1


1

x2 
 9

 x  dx   9ln x  1    9 ln 2  .
Vậy T  f 1  f  0    
x 1 
2 0
2

0

1
Câu 12. Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3 f 2  x  và f  0    . Biết rằng
2
a
a
tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018   với  a   , b     và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A.  1 .
B.
 1.
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
b
b

Lời giải
Chọn D
f  x
Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2
 2x  3
f  x


f  x
f

2

 x

dx    2 x  3 dx  

1
1
 x 2  3 x  C . Vì f  0     C  2 .
2
f  x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 7
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy f  x   

1

 x  1 x  2 



Tích Phân Hàm Ẩn

1
1
.

x  2 x 1

Do đó f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  

1
1
1009
 
.
2020 2
2020

Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .
Câu 13. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1  2 và
2

f  x    x  1 f   x   2 xf 2  x  , x  1;2. Giá trị của

 f  x  dx bằng
1

A. 1  ln 2.

B. 1  ln 2.

1
 ln 2.
2

C.

D.

1
 ln 2.
2

Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có f  x    x  1 f   x   2 xf 2  x  

f  x    x  1 f   x 
f 2  x

 2x

 x  1 

x 1
x 1

  2 xdx 
 x 2  C.
  2x 
f  x
f  x
 f  x  
2
2
1 1
1 1 
+) Lại có f 1  2  C  0  f  x    2   f  x  dx     2  dx
x x
x x 
1
1
2 12 1
 ln x 
  ln 2.
1 x1 2
Câu 14. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0  

1
và
3

2

f  x   f   x    f  x   với mọi x  0;1 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  0; x  1.
4
B. ln .
3

A. ln 2.

3
D. ln .
4

C. ln12.
Lời giải

Chọn B
2

+) Ta có f  x   f   x    f  x   

e  f  x   e f   x 


e
x

x

 f  x  

+) Lại có f  0  
ln 2

+) Do đó S 


0

x

2

f  x  f  x
 f  x  

2

1

ex f  x   ex f  x 
 f  x  

2

 ex

 e x 
ex
x


  e x dx  e x  C .
 e 
f
x
f
x







1
ex
ex
C 2
 ex  2  f  x 
.
3
f  x
2  ex

ln 2
ex
4
dx  ln 2  e x
 ln 4  ln 3  ln .
x
0

2e
3





File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 8
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Câu 15. Cho hàm số f  x  xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;  thỏa mãn f 1  2
và x  f   x   x   f  x   1, x  0. Giá trị của f  e  bằng
A. e 2  e.

B. e 2  1.

C. e 2  e.

D. e 2  1.

Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có x  f   x   x   f  x   1  xf   x   f  x   x 2  1

xf   x   f  x  x 2  1 xf   x    x  f  x  x 2  1  f  x  
1
 2 
 2 
  1 2
2
2
x
x
x
x
x
 x 
f  x
1

 x   C.
x
x


+) Lại có f 1  2  C  0 

f x
x

 x

1
 f  x   x2  1  f  e   e 2  1.

x

Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  \ 0 ,
2

biết x. f  x   1, x  0; f 1  2 và  x. f  x   1  x. f   x   f  x   0 với x   \ 0. Tính
e

 f  x  dx.
1

A.

1
2.
e

1
B. 2  .
e

1
C.  .
e

D.

1
1.
e

Lời giải
Chọn A
2

2

Ta có  x. f  x   1  x. f   x   f  x   0   x. f  x   1  x. f   x   f  x 
x. f   x   f  x 

 1 (do x. f  x   1, x  0 ).
2
 x. f  x   1


1
1

1
 xC
 x. f  x   1 
x. f  x   1


1
Do f 1  2 nên
 C 1  1  C 1  C  0 .
f 1  1
1
1  x

1 1
Do đó
 x  x 2 . f  x   x  1  f  x  
 2 
2
x. f  x   1
x
x
x
e

Suy ra


1

e

e
1
 1 1
1

f  x  dx     2   dx    ln x    2.
x
x
x
1 e
1

Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng
3
(1;  ) và thỏa mãn  xf ( x)  2 f ( x)  ln x  x  f ( x) , x  (1;  ) ; biết f

thuộc khoảng nào dưới đây?
25 

 27 
A.  12;  .
B.  13;  .
2 
2 



 23

C.  ;12  .
 2


 e   3e . Giá trị
3

f (2)

29 

D.  14;  .
2 



Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 9
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Chọn C
Vì x  (1; ) nên ta có

 x 2 f ( x )  2 xf ( x ) 
f ( x)
4

x f ( x)  2 xf ( x) ln x  x  xf ( x)  
 ln x  1  3
4
x
x


f ( x)
f ( x) 
 f ( x) 
 f ( x) 


  2  ln x  1  3    2  ln xdx   1  3 dx
x
x 
 x 
 x 

f ( x ) ln x
f ( x)
f ( x)

  3 dx  x   3 dx  C
2
x
x
x
x2  x  C 
f ( x) ln x
f ( x) ln x

 xC 
.
 x  C  f ( x) 
x2
x2
ln x
x3
.
Theo bài ra f 3 e  3e  C  0  f ( x) =
ln x

8
 23

Do đó f (2) =
  ;12  .
ln 2  2






2

 

Câu 18. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;1 và f  x   0 , x   0;1 . Biết rằng
 3
1
f  a, f 
và x  xf   x   2 f  x   4 , x   0;1 . Tính tích phân
 2   b
2



3

I 


6

sin 2 x.cos x  2sin 2 x
dx theo a và b .
f 2  sin x 

3a  b
.
4ab

A. I 

3b  a
B. I  4ab .

3b  a
C. I  4ab .

3a  b
D. I 
.
4ab

Lời giải
Chọn D
x   0;1 ta có:

x  xf   x   2 f  x   4  x  4  2 f  x   xf   x   x 2  4 x  2 xf  x   x2 f   x 

2

x 2  4 x  x2 
x 2  4 x 2 xf  x   x f   x 
 2

 2

.
f  x
f 2  x
f  x   f  x  

3

Tính I  

6


3

2

sin x.cos x  2sin 2 x
sin 2 x.cos x  4sin x.cos x
d
x

dx

f 2  sin x 

f 2  sin x 

6

Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x 


1

3
t  , x  t 
.
6
2
3
2
2

3
2

Ta có I 


1
2

t 2  4t
t2
d

t

f 2 t 
f t 

3
2
1
2

 3


2 



 3
f

 2 

2

1
 
 2   3  1  3a  b .
4ab
 1  4b 4a
f 

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 10
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số f  x   0 có đạo hàm liên tục trên
2

 f  x 
2
 
 0, 3  , đồng thời thỏa mãn f   0   0 ; f  0   1 và f   x  . f  x    cos x    f   x   .Tính




 
T f 
3

A. T 

3
.

4

B. T 

3
.
4

C. T 

3
.
2

D. T 

1
.
2

Lời giải
Chọn D
2

2

f   x  . f  x    f   x  
 f  x 
2
1

Ta có f   x  . f  x   

   f   x   
2
f  x
cos2 x
 cos x 
 f   0   0
 f   x  
f  x
1



tan
x

C
nên C  0 .
.
Vì

 

cos2 x
f  x
 f  0   1
 f  x  
Do đó

f  x
f  x


3

  tan x . Suy ra



d  f  x 

0

f  x


3


3



d (cos x )
   tan x.dx  
 ln f  x  03  ln cos x 03
cos x
0
0

1
 
  1
 ln f    ln f  0   ln  ln1  f    .
2
3
3 2
u

3) Quy tắc: Nếu u  u  x  thì u 
với u  0.
2 u

- Nếu  f  x    h  x  thì f  x    h  x  dx.



 

Câu 20. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn
1

f   x   2 f  x  , x  0;1 và f  0   1. Giá trị của tích phân

 f  x  dx bằng
0

A.

8
.
3

B. 7.

C.

1
.
3

D.

7
.
3

Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
f  x  2 f  x 

f  x
2 f  x

 1




f  x  1



1

f  x    dx 

f  x  x  C

1

2

2

+) Lại có f  0   1  C  1  f  x    x  1   f  x  dx    x  1 dx 
0

0

1
7
3 1
 x  1  .
0 3
3

Câu 21. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0  1 và

2

1

 f   x    16 x 2 . f  x   0 với mọi x   0;1 . Giá trị của tích phân I   f  x  dx bằng
0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 11
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

28
.
15

B.

8
.
15

Tích Phân Hàm Ẩn

2
C.  .
3

4
.
3

D.

Lời giải
Chọn A
2

+)

Từ

giả

thiết,


  f  x   2x 


ta

 f   x  
 f   x    16 x . f  x   
 4 x2 
4 f  x
2

có

f  x    2 xdx 





f   x

2

2 f  x

 2x

f  x   x 2  C.



2

1

1

0

0





2

+) Lại có f  0   1  C  1  f  x   x 2  1  I   f  x  dx   x 2  1 dx 

28
.
15

Câu 22. Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn:
x

1

g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính
0

A.

1011
.
2

B.

g  x dx .


0

1009
.
2

2019
.
2

C.

D. 505 .

Lời giải
Chọn A
x

Ta có g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x 
0

g x



g  x

2



t

 2018  
0

g x
g  x

t

dx  2018 dx  2



g  x

0



t
0

t

 2018 x 0
1

1

1011
 1009 2 
.
g  t   1  2018t (do g  0  1 )  g  t   1009t  1   g  t dt  
t t 
2
2


0
0



Câu 23. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1  1 và
2

 f  x   xf   x    4 f  x  , x  1; 4 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  4.
A. 4  2ln 2.

B. 4  2ln 2.

C. 4  ln 2.

D. 4  ln 2.

Lời giải
Chọn B
2

+) Ta có  f  x   xf   x    4 f  x 



f  x   xf   x 
2 xf  x 

 xf  x   

 f  x   xf   x  

4 f  x

2

 f  x   xf   x  
 1
4 xf  x 

xf  x  
x  f  x   xf   x  1


1
1







x
x
x
2 xf  x 
2 xf  x 



2



1
x

 1
xf  x  
x



1
dx  xf  x   2 x  C.
x

+) Lại có f 1  1  C  1  xf  x   2

2
x 1  f  x  



2

x 1
x

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 12
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4

+) Do đó S  

2



x 1

x

1

Tích Phân Hàm Ẩn

2
4

4
4
4
4 1

dx    4 
  dx 4 x  8 x  ln x  4  2ln 2.
1
1
1
x x
1

Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính
f

 3 .
A. 0 .

B. 3 .

C. 7 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn B
Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1 
f x

3





f  x 1

0



f

3

dx 

 3  1 



0

2x
x2  1

dx 

f 0   1  1 

f

f  x
f  x 1

f  x  1

3



2x
x2  1
3

 x2 1

0


0

f  x 1

3

1
0

 3 1  2  f  3  3 .

Câu 25. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng biến trên đoạn 1; 4 và thỏa
4
2
3

x

2
x
.
f
x



x

1;
4
mãn đẳng thức

    f  x  ,
  . Biết rằng f 1  , tính I   f  x  dx ?
2
1

A. I 

1186
.
45

B. I 

1174
.
45

C. I 

1222
.
45

D. I 

1201
.
45

Lời giải

Chọn A
2

Ta có x  2 x. f  x    f   x   x . 1  2 f  x   f   x  
Suy ra



f  x
1 2 f  x

dx   x dx  C  

df  x 
1 2 f  x

f  x
1 2 f  x

 x , x  1; 4 .

dx   x dx  C
2

 2 32 4 
 x   1
3
3
2 32
3

4
 1  2 f  x   x  C . Mà f 1   C  . Vậy f  x   
.
3
2
3
2
4
1186
Vậy I   f  x  dx 
.
45
1
 
Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên  0;  , thỏa mãn
 2
 
 
f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x  với mọi x   0;  và f  0   3 . Giá trị của f   bằng
 2
2

A. 2 .

B. 1 .

C. 2 2 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn C
2 f  x. f   x
 
Với x   0;  ta có f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x  
 cos x * .
 2
2 1 f 2  x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 13
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Suy ra 1  f 2  x   sin x  C .
Ta có f  0   3  C  2 , dẫn đến f  x  

 sin x  2 

2

 
 1 . Vậy f    2 2 .
2

4) Quy tắc: Nếu u  u  x  thì eu   u.eu ;

 



- Nếu e f  x 

  g  x  thì e     g  x  dx.
f x

Câu 27. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0  1 và
1
f  x   x 2 1

f   x  .e

 2 x, x  0;1 . Giá trị của  f  x  dx bằng
0

A.

4
.
3

4
C.  .
3

B. 2.

D. 2.

Lời giải
Chọn A
+) Ta có f   x  .e f  x  x
e

f  x

2

1

 2 x  f   x  .e f  x   2 xe x

2

  2 xe x 1dx  e

f x

 ex

2

1

1

1



 e f  x

  2 xe

x 2 1

 C.

+) Lại có f  0   1  C  0  e f  x   e x

2

1

 f  x   x 2  1.

1
1
1 4
f  x  dx   x 2  1 dx   x3  x   .
3
0 3
0





+) Do vậy

2

0



Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f  x  có đạo hàm trên 
và thỏa mãn 3 f   x  .e f

3

 x   x 2 1



2x
 0 với mọi x   . Biết f  0   1 , tính tích phân
f  x
2

7

 x. f  x  dx .

I

0

9
.
2

A. I 

45
.
8

B. I 

C. I 

11
.
2

D. I 

15
.
4

Lời giải
Chọn B
f3 x

Ta

3 f   x  .e

có



 ef

3

 x

f 3  x   x 2 1

   e   e
x 2 1

f 3  x

3
2
e 
2x
2x

f
x


3
.
 2
0
  x2 1  2  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1
f  x
f  x
e

 ex

2

1

 C  * .

Thế x  0 vào * ta được e  e  C  C  0 .
Do đó e f

3

 x

7

Vậy I 


0

 ex

2

1

 f 3  x   x2 1  f  x   3 x2 1 .

1
x x  1dx 
2
3

2

7


0



2



1 x 1
x 1 d x 1  .
4

2
3
2

1
3

 

2



7

4
3

3
 x2 1
8





7
3

2

x 1
0

0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 14
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

3
45
 . 16  1 
.
8
8
Câu 29. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  0   0 và





f   x  1  e f  x   1  e x , x  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục
hoành và hai đường thẳng x  1, x  3.
A. 4.

B. 2.

C. 8.

D. 5.

Lời giải
Chọn A

+) Ta có f   x  1  e f  x   1  e x  f   x   f   x  e f  x   1  e x   f  x   e f  x    1  e x
f x
 f  x   e    x  e x  C.





+) Lại có f  0   0  C  0  f  x   e

f x

 x  ex .

Xét hàm số g  t   t  et với t  . g   t   1  et  0, t   nên g  t  đồng biến trên .
3

3

1
2

f x
Suy ra f  x   e    x  e x  f  x   x. Do đó S   xdx  x 2  4.
1

1

Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa
mãn 3 f 2 ( x). f '( x)  4 xe f

3

1 4089
4

2

( x )  2 x  x 1

 1  f (0). Biết rằng I 



(4 x  1) f ( x )dx 

0

giản. Tính T  a  3b
A. T  6123.

B. T  12279.

C. T  6125.

a
là phân số tối
b

D. T  12273.

Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
3
2
2
3
2
3 f 2 ( x). f '( x)  4 xe f ( x ) 2 x  x 1  1  f (0)  ( f 3 ( x)) ' e f ( x )  e f ( x )  (4 x  1).e2 x  x 1  e2 x  x 1
3
3
2
2
  f 3  x   x  e f  x  x  2 x 2  1  .e2 x 1  e f  x  x  e2 x 1  C





Mà f  0   1  C  0  f 3  x   x  2 x 2  1

 f 3 ( x)  2 x 2  x  1  f ( x)  3 2 x 2  x  1
1 4089
4

I



(4 x  1) f ( x )dx 

0

12285
.
4

u
5) Quy tắc: Nếu u  u  x  nhận giá trị dương trên K thì  ln u  
trên K .
u
- Nếu  ln  f  x     g  x  thì ln  f  x     g  x  dx.
Câu 31. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1;1 , thỏa mãn f  x   0, x  
và f '  x   2 f  x   0 . Biết f 1  1 , tính f  1 .
A. f  1  e2 .

B. f  1  e3 .

C. f  1  e4 .

D. f  1  3 .

Lời giải
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 15
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Chọn C
Biến đổi:

f ' x  2 f  x  0 
ln

f 1
f  1

 4 

f ' x
f  x

f 1
f  1

1

 2 

f ' x

 f  x

1

1

1

dx   2dx 
1

df  x 

 f  x

 4  ln f  x  11  4

1

 e 4  f  1  f 1 .e 4  e 4 .

Câu 32. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn điều kiện

f 1  1 và f  x   f   x  3x  1, x  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 1  f  5   2.

B. 2  f  5  3.

C. 4  f  5  5.

D. 3  f  5  4.

Lời giải
Chọn D
+) Từ giải thiết, ta có f  x   f   x  3 x  1 

f  x
f  x



1
1
 ln f  x   
3x  1
3x  1

1
2
dx  ln f  x  
3x  1  C .
3
3x  1
4

4
2 3x  1  4
+) Lại có f 1  1  C    ln f  x  
 f  5   e 3  3, 79.
3
3
 ln f  x   

Câu 33. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   0 và
1

f   x   2 x 1  f  x   , x  . Giá trị của

 2xf  x  dx bằng
0

A. e  2.

B. e  1.

C. e  2.

D. e.

Lời giải
Chọn A

1  f  x  

2

x

 2 x  ln 1  f  x     2 x
+) Từ giải thiết, ta có
1 f  x
1 f  x
f  x

 ln 1  f  x     2 xdx  ln 1  f  x    x 2  C .
2

2

+) Lại có f  0   0  C  0  ln 1  f  x    x 2  1  f  x   e x  f  x   e x  1.
1
1
1
2
2 1
+) Vậy  2 xf  x  dx   2 x e x  1 dx  e x  x 2  e  2.
0
0
0
0





Câu 34. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn điều kiện

1
f  x  , x  1;2 . Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi
x
đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 quay quanh trục hoành.

f 1  1 và f   x  

A. 7 .

B.

7
.
3

C.

5
.
3

D. 3 .

Lời giải
Chọn B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 16
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
+) Từ giả thiết, ta có f   x  

Tích Phân Hàm Ẩn

f  x 1
1
1
f  x 
  ln f  x   
x
f  x x
x

1
 ln f  x    dx  ln f  x   ln x  C.
x
2

2

+) Lại có f 1  1  C  0  f  x   x  V    f 2  x  dx    x 2 dx 
1

1

 x 3 2 7


.
3 1
3

Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn

f   x   2 x. f  x   e x f  x  với f  x   0,x và f  0   1 . Khi đó f 1 bằng
B. e e  2 .

A. e  1.

D. ee 1 .

C. e  1 .
Lời giải

Chọn B
Từ giả thiết: f   x   2 x. f  x   e x f  x  , ta có





f  x   f  x  ex  2x 



f  x
f  x



f  x
f  x

 e x  2 x (vì f  x   0, x )



dx   e x  2 x dx  ln f  x   e x  x 2  C .

Mà f  0   1 nên C  1 . Khi đó, ta được: ln f  x   e x  x 2  1 .
Thế x  1 , ta có: ln f 1  e  2  f 1  ee 2 .
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:
b

b

Cho  u '( x ). f  u ( x) .dx , tính
a



b

f ( x ).dx . Hoặc cho

a


a

b

f ( x ).dx , tính  u '( x ). f  u ( x) .dx .
a

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u ( x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì
không phụ thuộc vào biến số.
4

2

Câu 36. Cho  f  x  dx  16 . Tính
0

A. 16 .

 f  2 x  dx
0

C. 32 .

B. 4 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn D

2

1

 f  2 x  dx . Đặt 2x  t  dx  2 dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi

Xét tích phân

x  2 thì t  4 .

0

2

Do đó



4

f  2 x  dx 

0

2

4

1
1

1
f  t  dt   f  x  dx  .16  8 .

20
20
2
4

Câu 37. Cho  f  x  dx  2 . Tính I  
1

1

f

 x  dx bằng
x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 17
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. I  1 .

B. I  2 .

Tích Phân Hàm Ẩn

C. I  4 .

D. I 

1
.
2

Lời giải
Chọn C
Đặt t  x  dt 
f

4

I 

 x  dx 
x

1

1
2 x

dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2

2



1

2

f  t  2dt  2  f  t  dt  2.2  4 .
1

16

Câu 38. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn

f

  dx  6 và
x


2

x

 f  sin x  cos xdx  3 . Tính

C. I  9 .

D. I  2 .


1

0

4

tích phân I   f  x  dx .
0

B. I  6 .

A. I  2 .

Lời giải
Chọn B
16

Xét I  
1

f

 x  dx  6 , đặt
x

x t

dx
 dt
2 x
4

4

Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 nên I  2  f  t  dt  6   f  t  dt 
1

1

6
3.
2


2

 J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du
0

1

Đổi cận: x  0  u  0 ; x   u  1  J   f  u  du  3
2
0
4

1

4

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 .
0

0

1

1

Câu 39. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa

2

 f  2 x  dx  2 và  f  6 x  dx  14 . Tính
0

0

2

 f  5 x  2  dx .
2

A. 30 .

B. 32 .

C. 34 .

D. 36 .

Lời giải

Chọn B
1

+ Xét

 f  2 x  dx  2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ;

x 1 u  2 .

0

1

2

2

1
Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 .
20
0
0
2

+ Xét

 f  6 x  dx  14 . Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ;

x  2  v  12 .

0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 18
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2

12

Nên 14   f  6 x  dx 
0

Tích Phân Hàm Ẩn

12

1
f  v  dv   f  v  dv  84 .
6 0
0
0

2

2

 f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx .

+ Xét

2

2

0

0

* Tính I1 

 f  5 x  2  dx .
2

Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .
2
12
2
 1
1
1
I1 
f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .

5 12
5 0
0
 5

2

* Tính I1   f  5 x  2  dx .
0

Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .

I2 

12
12
2
 1
1
1
f
t
d
t

f
t
d
t

f  t  dt    84  4   16 .

  



52
5 0
0
 5
2

 f  5 x  2  dx  32 .

Vậy

2
2

Hoặc: Do hàm f  5 x  2  là hàm số chẵn nên



0

f  5 x  2  dx  2  f  5 x  2  dx  2.16  32 .

2

2
2

Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của
1


2

sin x. f

J 



3cos x  1

3cos x  1

0

 dx bằng
4
B.  .
3

A. 2.

C.

4
.
3

D. 2 .

Lời giải
Chọn C

3sin x
dx .
2 3cos x  1

Đổi cận: x  0  t  2 ; x   t  1 .
2
1
2
2
2
2
2
2
4
Khi đó: J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .2  .
3
3
31
3
3
2
1
Đặt t  3cos x  1  dt 

Câu 41. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x  



  ln x . Tính tích

f 2 x 1
x

x

4

phân I   f  x  dx .
3

A. I  3  2 ln 2 2 .

B. I  2ln 2 2 .

C. I  ln 2 2 .

D. I  2ln 2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 19
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Lời giải
Chọn B
4



Ta có

1










4  f 2 x 1
4 f 2 x 1
4
ln x 
ln x
f  x  dx   

dx  
dx  
dx .



x
x
x
x
1
1
1





 dx .

f 2 x 1

4

Xét K  

x

1

Đặt 2 x  1  t  x 
4

3
3

dx
t 1

 dt .  K   f  t  dt   f  x  dx .
2
x
1
1
4

4

ln x
ln 2 x
2
dx   ln xd  ln x  
Xét M  
 2ln 2 .
x
2 1
1
1
4

Do đó



4

3

f  x  dx   f  x  dx  2ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 .

1

3

1


2

1

Câu 42. Cho



f  2 x  1 dx  12 và

0

3

 



f sin 2 x sin 2 xdx  3 . Tính

0

0

A. 26 .

 f  x  dx .

C. 27 .

B. 22 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn C
3

3

3

3

1
 t 1  1
Đặt 2 x  1  t  12   f  t  d 
   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  24 .
21

 2  21
1
1

2

Ta có


2

 f  sin x  sin 2 xdx   f  sin x  .2sin x cos xdx   2 sin x. f  sin x  d  sin x 
2

2

0


2


2

2

0

1



 

0

1



  f sin 2 x d sin 2 x   f  u  du   f  x  dx  3
0

0

3

1

0

3

  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  24  27 .
0

0

1

3

Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết

 xf  x  dx  5 .
1

3

Tính I   f  x  dx .
1

A. I 

5
.
2

B. I 

7
.
2

C. I 

9
.
2

D. I 

11
.
2

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 20
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn điều kiện f  a  b  x   f  x  , x  a; b  . Khi đó
b

b

 xf  x  dx 
a

ab
f  x  dx
2 a

Chứng minh:
Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b  . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b
b

Ta có

b

a

 xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f  t  dt
a

a

b

b

b

b

b

b

   a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx
a

a

b

a

b

b

 2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx 
a

a

b

 xf  x  dx 

a

a

a

ab
f  x  dx .
2 a

Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 .
f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  .
3

3

3

1 3
5
Khi đó  xf  x  dx 
f  x  dx   f  x  dx  .

4 1
2
1
1
Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt t  4  x , với x  1;3 .
3

Ta có

3

3

3

3

 xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f  t  dt  4 f  t  dt   t. f t  dt
1

1
3

1
3

 5  4  f  t  dt  5   f  t  dt 
1

1

1

1

5
.
2

Câu 44. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1;3 và
3

3

 xf  x  dx  2 . Giá trị

 f  x  dx

1

1

bằng

B. 1 .

A. 2 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
3

Xét I   xf ( x)dx (1).
1

Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 .
3

3

3

Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x )dx (2).
1

1

1
3

3

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x )dx 
1

1

I
 1 .
2

Câu 45. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn

4

e2

 tan x. f  cos x  dx  2
2

0

và


e



f ln 2 x
x ln x

 dx  2 . Tính

2


1
4

f  2x
x

dx .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 21
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 0 .

B. 1 .

C. 4 .

Tích Phân Hàm Ẩn
D. 8 .

Lời giải
Chọn D

4


4





2
1 f cos x
* I1   tan x. f cos x dx  
.sin2xdx .
2
2
cos
x
0
0



2



Đặt cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt .
Đổi cận
x

0

t

1


4
1
2

1
2

1 f t 
dt
2 1 t

Khi đó I1  

.
e2

* I2  
e



f ln 2 x
x ln x

Đặt ln 2 x  t 

 dx  1

e2

2 e





f ln 2 x 2 ln x
.
dx .
ln 2 x
x

2 ln x

dx  dt .
x

Đổi cận
x
t

e2
4

e
1

4
1 f t 
Khi đó I 2  
dt
21 t
.
2
f  2x 
1
* Tính I  
dx . Đặt 2x  t  dx  dt .
2
x
1
4

Đổi cận

1
4
1
2

x

t
4

Khi đó I  

f t 
t

1
2

1

dt  
1
2

f t 
t

4

dt  
1

f t 
t

2
4

dt  4  4  8 .

.
Câu 46. (CHUYÊN KHTN) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn

3

8
2

 tan x. f (cos x)dx  
0

1

A. 4

f (3 x)
dx  6 . Tính tích phân
x

2


1
2

B. 6

f ( x2 )
dx
x

C. 7

D. 10

Lời giải
Chọn C
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 22
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

+) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx
Đổi cận:
8

2
2
2
f ( 3 x)
f (t)
f (t)
f (t)
Khi đó 
dx   3 3t 2 dt  3
dt  6  
dt  2
t
x
t
t
1
1
1
1
+) Đặt t  cos 2 x  dt  2cos x sin xdx  dt  2cos 2 x tan xdx  tan xdx  

1
dt
2t

Đổi cận:

3

1

4

1

1 f (t)
f (t)
Khi đó  tan x. f (cos x )dx   
dt  6  
dt  12
21 t
t
1
0
2

4

dx
dx 1 dt
+) Đặt t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2


x
x 2 t
Đổi cận:
2

Khi đó



1
2

2

1

4

4

2

1 f (t)
1 f (t)
1 f (t)
2  12
f (x2 )
dx  
dt  
dt  
dt 
7
x
21 t
21 t
21 t
2

4

Câu 47. Cho hàm số f  x  liên tục trên R và

1

f  tan x  dx  4;





0

A. I  6 .

0

x2 f  x 
x2 1

1

dx  2 . Tính I   f  x  dx .

C. I  3 .

B. I  2 .

0

D. I  1 .

Lời giải
Chọn A

4

Từ



1

f  t anx  dx  4 ; Ta đặt t  tan x ta được

1

Từ



t
0

0

x2 f  x 
2

x 1

0

1

dx  2  

1

x

0

1

  f  x  dx  2  

2



 1 1 f  x 
2

x 1

f t 
2

1

dt  4

1

f  x

1

d x  2   f  x  dx  
0

0

x2 1

dx  2

f  x

dx  2  4  6 .
x2  1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:
0

0

b

Tính

 f  x  dx

, biết hàm số f  x  thỏa mãn : A. f  x   B. u . f  u   C. f  a  b  x   g  x  .

a

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C .
b

+ Nếu f  x  liên tục trên  a; b thì

b

 f  a  b  x  dx   f  x  dx
a

u  a   a
+ Với 
thì
u  b   b
u  a   b
+ Với 
thì
u  b   a

b

 f  x  dx 

a
b


a

a

b

1
g  x  dx .
A  B  C a
b

f  x  dx 

1
g  x  dx .
A  B  C a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 23
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.

6
Câu 48. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  x   6 x f x 
. Tính
3x  1
2

A. 2 .

 
3

C. 1 .

B. 4 .

1

 f  x  dx
0

D. 6 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)

 

Biến đổi f  x   6 x 2 f x 3 

6
6
 f  x   2.3x 2 . f x 3  
với A  1 , B  2 .
3x  1
3x  1

 

1

1

6
1
dx  4 .
0

1   2  0 3 x  1
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
1
1
1
6
1
Từ f  x   6 x 2 f x 3 
  f  x  dx  2  3x 2 f x3 dx  6
dx

3x  1
3
x

1
0
0
0
f  x  dx 

Áp dụng công thức ta có:

 

 

Đặt u  x 3  du  3 x 2 dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1.
1

1

1

 

Khi đó  3 x f x dx   f  u  du   f  x  dx thay vào * , ta được:
2

3

0

1


0

0

0

1

1

1

f  x  dx  2  f  x  dx  6
0

0

1

1
1
dx   f  x  dx  6
dx  4 .
3x  1
3

x

1
0
0

Câu 49. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   f  2  x   2 x . Tính giá
2

trị của tích phân I   f  x  dx .
0

1
B. I  .
2

A. I  4 .

4
C. I  .
3

D. I  2 .

Lời giải
Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức)
2

2

2

1
x2
Với f  x   f  2  x   2 x ta có A  1 ; B  1 , suy ra: I   f  x  dx 
2
x
dx
 2.

1  1 0
2 0
0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2

2

2

Từ f  x   f  2  x   2 x   f  x  dx   f  2  x  dx   2 xdx  4 (*)
0

0

0

Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 .
2

Suy ra


0

2

f  2  x  dx 


0

2

2

f  u  du   f  x  dx .
0

2

Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 .
0

0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 24
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

Câu 50. Xét hàm số f  x  liên tục trên  1;2 và thỏa mãn f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 . Tính
2

giá trị của tích phân I 

 f  x  dx .
1

A. I  5 .

5
.
2

B. I 

C. I  3 .

D. I  15 .

Lời giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f  x    2 x  f  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 . Ta có:

u  1  1
. Khi đó áp dụng công thức có:
A  1; B  1; C  3 và u  x 2  2 thỏa mãn 
u  2   2
2

2

2

1
x4
3
I   f  x 
x
4
dx

 3.
1  1  3 1
5 1
1
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 .
2





2

2



2



f  x  dx   2 x. f x 2  2 dx  3  f 1  x  dx   4 x 3dx

1

1

1

 *

1

+) Đặt u  x 2  2  du  2 xdx ; với x  1  u  1 và x  2  u  2 .
2

Khi đó

 2 x. f  x

2

2



 2 dx 

1

2

 f  u  du   f  x  dx 1
1

1

+) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  1  t  2 và x  2  t  1 .
2

Khi đó

2

2

 f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2 
1

1

1

2

2

Thay 1 ,  2  vào * ta được: 5  f  x  dx  15   f  x  dx  3 .
1

1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3
Phương pháp:
Lần lượt đặt t  u  x  và t  v  x  để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f  x  ) để suy ra hàm
số f  x  (nếu u  x   x thì chỉ cần đặt một lần t  v  x  ).
Các kết quả đặc biệt:
 x b 
 xc 
A.g 
 B.g 


 a 
 a  (*)
Cho A. f  ax  b   B. f  ax  c   g  x  với A2  B2 ) khi đó f  x  
A2  B 2
A.g  x   B.g   x 
+ Hệ quả 1 của (*): A. f  x   B. f   x   g  x   f  x  
A2  B 2
g  x
+ Hệ quả 2 của (*): A. f  x   B. f   x   g  x   f  x  
với g  x  là hàm số chẵn.

A B

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Trang 25
Facebook: - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông