Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x),
b

kí hiệu là

∫ f ( x)dx.
a

Ta

dùng

kí

F (=
x) a F (b) − F (a )
b

hiệu

để

chỉ

hiệu

F (b) − F (a ) .

số

Vậy

b

)dx
∫ f ( x=

F (=
x) a F (b) − F (a ) .
b

a

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

∫ f ( x)dx

b

hay

a

∫ f (t )dt. Tích phân

a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x) , trục Ox và hai đường

a

b

thẳng=
x a=
, x b. Vậy S = ∫ f ( x)dx.
a

2.Tính chất của tích phân
b

a

1.

∫

f ( x)dx = 0 2.

3.

∫
a

a

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

b

c

c

b

a
b

b

a

a

∫ k. f ( x)dx

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx ( a < b < c )4.=

5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =
a

b

b

a

a

b

k .∫ f ( x)dx (k ∈ )
a

∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .

B. BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai?
A.
B.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
b

b

a

a

∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx .
a

C. ∫ kf ( x ) dx = 0 .
a

b

D. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx =
a

Câu 2:

b

∫
a

Khẳng định nào sau đây sai?

/>
b

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) d x .
a


A.
C.
Câu 3:

b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx .

b

f ( x ) dx
B. ∫=
a

D.

b

c

c

a

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .

Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
b

A. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx =
a

C.

b

b

b

a

a

a

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx .

∫
a

b

b

b

a

a

a

∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .

b

∫  f ( x ) − g ( x ) dx =
a

Câu 4:

b

b

∫
a

D.

b

f ( x ) dx − ∫ g ( x ) d x .
a

Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
b

A.

) dx
∫ f ( x=

f (b) − f ( a ) .

b

B.

a

b

C.

) dx
∫ f ( x=

F (b) − F ( a ) .

a

F ( a ) − F (b) .

b

D.

) dx
∫ f ( x=

F (b) + F ( a ) .

a

a

Câu 5:

) dx
∫ f ( x=

Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và c ∈ [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.

A.
C.

c

b

a

a

c

b

b

c

c

a

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .
∫
a

Câu 6:

D.

c

b

a

a

c

b

a

b

c

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .
∫
a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =

∫ f ( x ) dx .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai?
b

A.

∫
a

b

C.

∫
a

Câu 7:

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .

B.

b

b

c

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .
c

b

B.

a

a

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

∫

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

a

D.

b

∫ f ( x ) dx = 0 .

a

Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b ∈ K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
b

A. F ( a ) − F ( b ) =
∫ f ( t ) dt .

b

B.

a

b

C.

∫
a

/>
b
a

.

a

b



f ( t ) dt =  ∫ f ( t ) dt  .

a

∫ f ( t ) dt = F ( t )
b

D.

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a


Câu 8:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
b

A.

∫

a

b

B.

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
b

b

dx k ( a − b ) , ∀k ∈  .
C. ∫ k=
a

b

f ( x ) dx
D. ∫=
a

Câu 9:

c

b

a

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∀c ∈ ( a; b ) .

Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai?
a

A.

∫ f ( x ) dx = 1 .

B.

a

C.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

c

b

b

b

b

a

c

a

a

a

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) . D. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

b

c

b

a

a

c

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ,
∫=

B.

∀c ∈  .

b

C.

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .D.
a

a

∫ f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 11: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng
1

A.

∫ f ( x ) dx .
0

1

B. ∫ − F ( x ) dx .
0

1

C. ∫ − F ( x ) dx .
0

1

D. ∫ − f ( x ) dx .
0

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.

∫

f ′ ( x ) dx là diện tích hình thang ABMN . B.

a

/>
b

∫ f ′ ( x ) dx
a

là dộ dài đoạn BP .

b

b

C.

∫ f ′ ( x ) dx

là dộ dài đoạn MN .

D.

a

Câu 13: Cho hai tích phân

f ( x ) dx = m và

∫

−a

là:
A. m − n .
định.

a

là dộ dài đoạn cong AB .

∫

−a

∫  f ( x ) − g ( x )dx

−a

C. m + n .

b

=
f ( x ) dx m
và I 2
∫=
a

là:
A. m + n .
định.

a

g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân

B. n − m .

Câu 14: Cho tích=
phân I1

∫ f ′ ( x ) dx
a

a

B. m − n .

D. Không thể xác

a

b

c

c

f ( x ) dx n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị
∫=

C. −m − n .

D. Không thể xác

b

Câu 15: Tích phân

∫ f ( x )dx được phân tích thành:
a

A.
C.

b

a

c

c

b

a

c

c

∫ f ( x ) + ∫ − f ( x )dx .
∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx .
1

B.

a

∫ f ( x ) − ∫ − f ( x )dx .
c

c

b

a

c

c

D. − ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx .

f ( x ) dx = 3 . Tính tích=
phân I

∫

Câu 16: Cho

b

1

∫ 2 f ( x ) − 1 dx .

−2

−2

A. −9 .

B. −3 .

C. 3 .

D. 5 .

Câu 17: Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính

3

∫ f ′ ( x ) dx
2

bằng
A. −3 .

∫

Câu 18: Cho

b

a

B. 7 .

C. 10

D. 3 .

f ′ ( x ) dx = 7 và f ( b ) = 5 . Khi đó f ( a ) bằng

A. 12 .

B. 0 .

C. 2 .

D. −2 .

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 . Tính
T
7
4

T
7
4

b

T = ∫ f ′ ( x ) dx .
a

A. T = −6 .

B. T = 2 .

C. T = 6 .

D. T = −2 .

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và f (1) − f ( 0 ) =
2 . Tính tích phân

1

∫ f ′ ( x ) dx .
0

A. I = −1 .

/>
B. I = 1 .

C. I = 2 .

D. I = 0 .


Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x) liên tục trên  và

∫

4

1

f ′ ( x)dx = 17

. Khi đó f (4) bằng
A. 5 .

C. 19 .

B. 29 .

D. 9 .

Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) =
4 ; f ( 3) = 7 .
3

Giá trị của I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx bằng
−1

B. I = 3 .

A. I = 20 .

C. I = 10 .

D. I = 15 .

a b

Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = 2 + + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x
x
. Tính T= a + b .
A. T = −1 .

B. T = 2 .
3

0

5
B. I = log .
2

4581
.
5000
22018

∫

Câu 25: Tính tích phân I =

1

1



2 − 3ln 2

1
2

D. T = 0 .

C. T = −2 .

1

∫  2 x + 1 + 3
0

C. I = ln

5
.
2

D. I = −

21
.
100

dx
.
x

=
A. I 2018.ln 2 − 1 .
Câu 26: =
Tính I

∫ f ( x ) dx=

dx
.
x+2

Câu 24: Tính tích phân I = ∫
A. I =

1

B. I = 22018 .

C. I = 2018.ln 2 .

C. I = 2018 .

C. 2 + ln 3 .

D. 1 + ln 3 .


x  dx .


B. 4 + ln 3 .

A. 2 + ln 3 .
1

I
=
Tính tích phân

Câu 27:

∫ x (1 + x ) dx
2018

0

=
I
A.

1
1
+
.
2018 2019

=
I
B.

1
1
+
.
2020 2021

=
I
C.

1
1
1
1
=
+
+
I
. D.
2019 2020
2017 2018

.

3 x 2
khi 0 ≤ x ≤ 1
=
y f=
Câu 28: Cho hàm số
. Tính tích phân

( x) 
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2
A.

7
.
2

B. 1 .

C.

2

∫ f ( x ) dx .
0

5
.
2

 2
khi 0 ≤ x ≤ 1
=
y f=
Câu 29: Cho hàm số
. Tính tích phân
( x )  x + 1
2 x − 1 khi 1 ≤ x ≤ 3
A. 6 + ln 4 .

B. 4 + ln 4 .
C. 6 + ln 2 .

/>
D.

3
.
2

3

∫ f ( x ) dx .
0

D. 2 + 2 ln 2 .


3 x 2
khi 0 ≤ x ≤ 1
=
y f=
Câu 30: Cho hàm số
. Tính
( x) 
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2
A.

7
.

2

B. 1 .

C.

2

∫ f ( x )dx .
0

5
.
2

D.

3
.
2

4
6 x 2
khi x ≤ 0
=
=
y
f
x
Câu 31: Cho hàm số

và I = ∫ f ( x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
( ) 
2
a − a x khi x ≥ 0
−1
nguyên a để I + 22 ≥ 0 ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
b

Câu 32: Biết

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
∫ ( 2 x − 1) dx =
a

1.
A. b − a =
I
=
Câu 33: Đặt

1.
B. a 2 − b 2 = a − b − 1 . C. b 2 − a 2 = b − a + 1 . D. a − b =

2

∫ ( 2mx + 1) dx

( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 .

1

A. m = −1 .
Câu 34: Cho

B. m = −2 .

C. m = 1 .

3

3

2

0

2

0

D. m = 2 .

∫ f ( x)dx = a , ∫ f ( x)dx = b . Khi đó ∫ f ( x)dx bằng:

A. −a − b .

B. b − a .

Câu 35: Giá trị nào của b để

C. a + b .

D. a − b .

C. b = 5 hoặc b = 0 .

D. b = 1 hoặc b = 5 .

b

0?
∫ ( 2 x − 6 ) dx =
1

A. b = 0 hoặc b = 3 .

B. b = 0 hoặc b = 1
a

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có

a−4
∫ ( 2 x + 5) dx =
0

B. 0 .

A. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

m

Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân

∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất.
2

0

A. m = 1 .

C. m = 3 .

B. m = 2 .

D. m = 4

2

Câu 38: Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và

4 . Giá trị biểu thức 1 + a
∫ ( 2 x + 1) dx =

3

bằng.

a

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

C. I = 3.

D. I = 4.

C. I = 3.

D. I = 4.

2

Câu 39: Tích phân I = ∫ 2 x.dx có giá trị là:
1

A. I = 1.

B. I =2.
1

Câu 40: Tích phân I=

∫ (x

3

+ 3 x + 2 ) dx có giá trị là:

−1

A. I = 1.
/>
B. I = 2.


−1

1

Câu 41: Cho gá trị của tích phân I1 =∫ ( x + 2 x )dx =a , I 2 = ∫ ( x 2 + 3 x )dx =b . Giá trị của
4

3

−1

A. P = −

4
.
65

B. P =
0

Câu 42: Tích phân I=

∫ (x

−2

12
.
65

C. P = −

12
.
65

D. P =

4
.
65

a
là:
b

+ ax + 2 )dx có giá trị là:

3

−1

A. I=

7 a
− .
4 2

B. I=
1

=
I
Câu 43: Tích phân

∫ ( ax

2

9 a
− .
4 2

C. I=

7 a
+ .
4 2

D. I=

9 a
+ .
4 2

C. I=

a b
+ .
2 2

D. I=

a b
+ .
3 2

+ bx )dx có giá trị là:

0

A. I=

a b
+ .
2 3

B. I=

a b
+ .
3 3


+ 2 x dx có giá trị là:

2
3 1
1 1
A. I =− − + a 2 .
B. I =− − + a 2 .
2 a
2 a
a

I
=
Câu 44: Tích phân

 1

∫  x

2

5 1
C. I =− − + a 2 .
2 a

7 1
D. I =− − + a 2 .
2 a

2

=
I
Câu 45: Tích phân

∫x

− x dx có giá trị là:

2

−1

A. I =

3
.
2

B. I =

1
.
6

C. I = −

3
.
2

1
D. I = − .
6

C. I = −

4
.
3

D. I = −

1
.
2

D. I = −

17
.
6

1

I
Câu 46: Tích phân =

∫x

3

+ x 2 − x − 1dx có giá trị là:

−1

A. I =

4
.
3

B. I =
−1

Câu 47: Tích phân I =

∫

x3 − 3x + 2
x −1

−2

7
A. I = − .
6

∫

−2

−1

B. I = −2 ln 3 .


∫  2ax

−2

15a
−
+ ln 2 .
A. I =
16

/>

17
.
6

C. I =

7
.
6

x2 − x − 2
dx có giá trị là:
x −1

A. I = 3 − 2 ln 3 .
Câu 49: Tích phân
=
I

dx có giá trị là:

B. I =
2

Câu 48: Tích phân I =

1
.
2

3

1
+ dx có giá trị là:
x
15a
I
− ln 2 .
B.=
16

C. I = 3 + 2 ln 3 .

I
C.=

15a
+ ln 2 .
16

D. I = 3 − 3ln 2 .

15a
−
− ln 2 .
D. I =
16


2

1

=
I1
Câu 50: Biết tích phân

2 xdx
∫=

I2
a . Giá trị của=

17
.
3

B. I 2 =
b

=
I
Câu 51: Cho tích phân

∫(x

2

2

+ 2 x )dx là:

a

0

A. I 2 =

∫(x

19
.
3

C. I 2 =

16
.
3

D. I 2 =

13
.
3

+ 1) dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng?

a

b

A. I =

b

I
B.=

1 3
1
b + b − a3 − a .
3
3

D. Chỉ có A và C đúng.

a

C. I=

b

2
2
∫ ( x + 1) dx = ∫ x dx + ∫ dx .
a

(x

3

+ x) .
b

a

a

0 với a =
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 − ax + 2 =

3e

1

∫ x dx

là:

1

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.
1

0 , với a = ∫ 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ
Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: x 3 + ax + 2 =
0

là:
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

k

Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có

4 lim
∫ ( 2 x − 1) dx =
x →0

1

k = 1
A. 
.
k = 2

k = 1

B. 
.
 k = −2

 k = −1
C. 
.
 k = −2

x +1 −1
.\
x

 k = −1
D. 
.
k = 2

Câu 55: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + x − 1 − x trên tập  và thỏa mãn
F (1) = 3 . Tính tổng F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) .

A. 8 .

B. 12 .

C. 14 .
2

Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn

∫ (1 − n

2

D. 10 .
+ 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + nx n −1 ) dx =
−2

0

?
A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

/>

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn

[ −2;1]

và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f (1) = 3 . Giá trị biểu thức f ( −2 ) + f ( 4 ) bằng
B. 9 .

A. 21

C. 3 .

2

2
J
∫ ( 2 x − x − m ) dx và=

I
Câu 58: Cho=

0

1

∫(x

2

− 2mx ) dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J .

0

B. m ≥ 2 .

A. m ≥ 3 .

C. m ≥ 1 .

f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn

Câu 59: Biết rằng hàm số

D. 2 .

1

∫
0

3

∫ f ( x ) dx =
0

3
4
.
B. P = − .
4
3
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
1

2

∫ f ( x ) dx =

−2 và

0

13
(với a , b , c ∈  ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c .
2

A. P = −

Câu 60: Biết

7
f ( x ) dx = − ,
2

D. m ≥ 0 .

x −5

∫ 2 x + 2 dx=

C. P =

4
.
3

D. P =

3
.
4

a + ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1
3

A. ab =

8
.
81

7
B. a + b = .
24
1

Câu 61: Tích=
phân I

2ax

dx
∫=
x +1

C. ab =

9
.
8

3
D. a + b = .
10

ln 2 . Giá trị của a là:

0

A. a =

ln 2
.
1 − ln 2

B. a =

ln 2
.
2 − 2 ln 2

C. a =

ln 2
.
1 + ln 2

D. a =

ln 2
.
2 + 2 ln 2

1

1
Câu 62: Cho I =
( a b ) ln 2 + b ln 3 . Giá trị a + b là:
∫0 3 + 2 x − x 2 dx =−

A.

1
.
4

B.

1
.
2

C.

1
.

6

D.

1
.
3

2

Câu 63: Biết

x2
S 2a + b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây?
a + ln b ( a, b ∈  ) . Gọi =
∫0 x + 1 dx =

B. ( 6;8 ) .

A. ( 8;10 ) .
2

=
I
Câu 64: Tích phân



∫  x
1

2

+

D. ( 2; 4 ) .

x 
 dx có giá trị là:
x +1 

10
A. I = + ln 2 − ln 3 .
3
10
I = + ln 2 + ln 3 .
3

/>
C. ( 4; 6 ) .

10
10
B. I = − ln 2 + ln 3 . C. I = − ln 2 − ln 3 . D.
3
3


Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm
2

 1

=
I
+ 2 x  dx có giá trị là:

2
∫
tra mà Tích phân
x

1
A. I =

5
.
2

B. I =
1

=
I
Câu 66: Tích phân

 ax

7
.
2



∫  x + 1 − 2ax  dx

C. I =

9
.
2

D. I =

11
.
2

có giá trị là:

0

A. I = −a ln 2 .

B. I = −2 ln 2 .
a

a

Câu 67: Tích phân=
I

C. I = 2 ln 2 .

D. I = a ln 2 .

x

∫  x + a  dx ,với a ≠ 0 có giá trị là:
1

=
A. I a ln a +

a2 + 1
.
2a

=
I a ln a +
B.

a2 + 1
.
2a

=
C. I a ln a +

a2 −1
.

2a

=
I a ln a +
D.

a2 −1
.
2a

a2 x2 + 2x
dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
ax
2
3

Câu 68: Tích phân I = ∫
A. 2 5 .

B.
2

=
I
Câu 69: Tích phân



∫  ax

2

1

I
A.=

=
I
Câu 70: Tích phân



∫  ax

I 3a − b ln 2 .
B. =
3

+

−1

A. I = −b ln 3 .
Câu 71: Tích phân I =

∫
e

1

.
5

D.

5.

I
C.=

7
a + b ln 2 .
3

I 3a + b ln 2 .
D. =

C. I=

a
+ b ln 3 .
2

D. I = b ln 3 .

b 
dx có giá trị là:
x+2
B. I=

e2

C.

b
+  dx có giá trị là:
x

7
a − b ln 2 .
3
1

2
.
5

a
− b ln 3 .
2

x +1
dx có giá trị là:
x2

1 1
A. I =1 − + 2 .
e e

1 1

B. I =1 − − 2 .
e e
1

Câu 72: Giá trị của tích =
phân I

x

dx
∫=
x +1

1 1
C. I =1 + + 2 .
e e

1 1
D. I =1 + − 2 .
e e

P 2a − 1 có giá trị là:
a . Biểu thức =

0

A. P = 1 − ln 2 .

B. P= 2 − 2 ln 2 .
e2

=
Câu 73: Giá trị của
tích phân I

1
1
e + e2 + e4 .
A. P =
2
2
/>
C. P = 1 − 2 ln 2 .

D. P= 2 − ln 2 .

 1 + x + x2 
=
∫e  x dx a . Biểu thức P= a − 1 có giá trị là:
1
1
B. P =−e + e 2 + e 4 .
2
2


1
1
1
1

e + e2 − e4 .
C. P =−e − e 2 + e 4 . D. P =
2
2
2
2
3x 2 + 5 x − 1
2
I ∫
dx a ln + b , với a, b∈  . Tính giá trị a + 2b .
=
=
Câu 74: Biết
3
x−2
−1
0

A. 30 .

B. 40 .
2

Câu 75: Tính tích phân: I = ∫
1

B. I = 2 ln 2 .
1

0

4

∫x
3

∫x
1

2

0

C. S = −2 .

2

D. S = 0.

3
dx =
a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈ Z ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ 3x

0.
A. a + 2b =

∫x

D. I = ln 6 2 .

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c.
+x

B. S = 2 .

2

1
C. I = ln 2 .
6

7
.
4

2

5

Câu 79: Giả sử

D. I =

2

1 1
B. I = − ln .
6 2

A. S = 6 .
Câu 78: Biết rằng

C. I = 1 + ln 2 .

dx
.
x −9

1 1
A. I = ln .
6 2
Câu 77: Biết I =

D. 60 .

x +1
dx .
x

A. I = 1 − ln 2 .
Câu 76: Tính tích phân I = ∫

C. 50 .

0.
C. a − b =

0.

B. 2a − b =

0.
D. a + b =

x −1
dx =
a ln 5 + b ln 3; a, b ∈  . Tính P = ab .
+ 4x + 3

B. P = −6 .

A. P = 8 .

x2 + 2x
2, b = −3 I1 ∫=
Câu 80: Cho giá trị của tích phân a = =
, I2
dx a=
x +1
1
2

thức P= a − b là:
7
A. P = + ln 2 − ln 3 .
2
5
C. P = + ln 2 − ln 3 .
2

D. P = −5 .

C. P = −4 .
e2

1

dx
∫=
x

b . Giá trị của biểu

e

3
B. P = + ln 2 − ln 3 .
2
1
D. P = + ln 2 − ln 3 .
2

x3 − 3x 2 + 2
Câu 81: Giá trị của tích phân I = ∫ 2
dx gần nhất với gái trị nào sau đây?
x + x−2
−1
0

A. −

ln 2
.
2

B. ln 2 − 1 .
2

Câu 82: Tích phân
=
I

∫x
1

A. a =

1
.
5

/>
2

C.

3
− ln 4 .
2

D. −

ln 3
.
3

ax + 1
3 4 3 2
=
dx
ln + ln . Giá trị của a là:
+ 3x + 2
5 3 5 3
B. a =

2
.
5

C. a =

3
.
5

D. a =

4
.

5


1 7
x2 + 1
=
∫1 x3 + 3xdx 3 ln 2 . Giá trị của a là:
a

Câu 83: Tích
phân I
=

B. a = 2 .

A. a = 1 .
Câu 84: Biết

x +1

dx
∫ ( x − 1)( 2 − x )=

.
1.
A. a + b =

∫x

D. a = 4 .

a.ln x − 1 + b.ln x − 2 + C , a, b ∈  . Tính giá trị của biểu thức a + b

5.
B. a + b =

C. a + b =−1 .

D. a + b =−5 .

a 5
3x − 1
a
=
dx 3ln − , trong đó a, b là hai số nguyên dương và
là phân số tối
+ 6x + 9
b 6
b

1

Câu 85: Biết

C. a = 3 .

2

0

giản. Tính ab ta được kết quả.
A. ab = −5.
B. ab = 27.

C. ab = 6.

D. ab = 12.

x 2 − 3x + 2
a 2b 2 + 3c3 .
∫2 x 2 − x + 1 dx = a ln 7 + b ln 3 + c với a , b , c ∈  . Tính T =+
3

Câu 86: Biết

B. T = 6 .

A. T = 4 .

C. T = 3 .

D. T = 5 .

3x 2 + 5 x − 1
2
dx a.ln + b . Khi đó giá trị a + 2b là:
∫−1 x − 2 =
3
0

Câu 87: Giả =
sử I
A. 30.

B. 40.
5

∫x

Câu 88: Biết rằng

1

2

2

2

B. P = 7 .

A. P = 1 .
3

Câu 90: Cho

∫x

0.
B. 2a − b =

0.
D. a + b =

x+2
P 2a − b là
dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 ( a, b ∈  ) thì giá trị của =
− 3x + 1

3

∫ 2x

D. 60.

3
=
dx a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈  ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ 3x

0.
A. a + 2b =
0.
C. a − b =
Câu 89: Nếu

C. 50.

2

1

C. P = −

15
.
2

x+3
dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với m , n ,
+ 3x + 2

p

D. P =

15
.
2

là các số hữu tỉ. Tính

S = m + n + p2 .
2

A. S = 6 .

B. S = 4 .

C. S = 3 .

D. S = 5 .

2

x2
dx= a + ln b với a , b ∈  , b > 0 . Hỏi giá trị 2a + b thuộc khoảng nào sau
Câu 91: Biết rằng ∫
x +1
0

đây?
A. ( 8;10 ) .
4

Câu 92: Biết I =

∫x
3

B. ( 6;8 ) .

C. ( 4; 6 ) .

D. ( 2; 4 ) .

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c
+x

2

A. S = 6 .
/>
B. S = 2 .

C. S = −2 .

D. S = 0 .


2

∫ 4x

Câu 93: Biết

1

2

dx
1 1
=
+ , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng ( −7;3) thì a và b là
− 4x +1 a b

nghiệm của phương trình nào sau đây?

0.
B. x 2 + 4 x − 12 =

A. 2 x 2 − x − 1 =0 .

0.
C. x 2 − 5 x + 6 =

0.
D. x 2 − 9 =

x2 + x + 1
b
dx= a + ln với a , b là các số nguyên. Tính S= a − 2b .
Câu 94: Biết ∫
x +1
2
3
5

B. S = 5 .

A. S = −2 .
3

Câu 95: Biết
47T

T
7
4

T
7
4

C. S = 2 .

D. S = 10 .

dx

∫ ( x + 2 )( x + 4 ) = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , ( a, b, c ∈  ) . Giá trị của biểu thức

2a + 3b − c

0

bằng
A. 5 .

B. 4 .

T
7
4

4

Câu 96: Tìm giá trị của a để

D. 3 .

C. 2 .

1

∫ ( x − 1)( x − 2 ) dx = ln a .
3

A. 12 .
1

Câu 97: Cho

B.

 1

4
.
3

1 

a ln 2 + b ln 3
∫  x + 1 − x + 2  dx =

C.

1
.

3

D.

3
.
4

với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây

0

đúng ?
2.
A. a + b =
3

Câu 98: Biết

∫x
2

5 x + 12
dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 . Tính S = 3a + 2b + c .
+ 5x + 6
B. −14 .

2

∫x

0.
D. a + 2b =

2

A. 3 .
Câu 99: Cho

C. a + b =−2 .

0.
B. a − 2b =

2

1

C. −2 .

D. −11 .

1
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới
+ 5x + 6

đây đúng?
4.
A. a + b + c =

B. a + b + c =−3 .

2.
C. a + b + c =

6.
D. a + b + c =

x2 + 1
m
n
p
dx = ln ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + C . Tính 4 ( m + n + p ) .
Câu 100: Biết ∫ 3
2
x − 6 x + 11x − 6
A. 5 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 4 .
3

Câu 101: Cho

∫x

2

2

x +8
=
dx a ln 2 + b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ x−2

3.
A. a + b =

11 .
B. a − 2b =

x3 + 2 x 2 + 3
1
3
∫0 x + 2 dx= a + b ln 2
1

Câu 102: Biết
ab

∫
8

(k
dx < lim
x →+∞

/>
2

+ 1) x + 2017
x + 2018

.

5.
C. a − b =

( a, b > 0 )

tìm

các

11 .
D. a + 2b =
giá

trị

của

k

để


A. k < 0 .
B. k ≠ 0 .
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

C. k > 0 .

D. k ∈  .

C. 4 .

D.

2

=
I
Câu 103: Tính tích phân

∫

4 x + 1 dx .

0

A. 13 .

B.

(

1

13

.
3

4
.
3

)

a
3
Câu 104: Biết rằng I1 =∫ x + x + 1 dx = + b 2 . Giá trị của a − b là:
6
4
0

A. – 1.

B. – 2.
2

Câu 105: Tích phân I = ∫
0

A. I = 1 −
1

Câu 106: Cho

C. – 3.

D. – 4.

1
dx bằng
2 x+2

1
.
2

B. I = 2 2 .

1
.
2

C. I= 2 −

D. I= 2 − 2 .

dx
8
2
=a b −
a + , ( a, b ∈ * ) . Tính a + 2b .
3
3
x + 2 + x +1

∫
0

7.
A. a + 2b =

8.
B. a + 2b =

5.
D. a + 2b =

x
a+b 3
dx =
với a , b là các số thực. Tính tổng T= a + b
9
3x + 1 + 2 x + 1

1

∫

Câu 107: Biết tích phân

−1 .
C. a + 2b =

0

.
A. T = −10 .

B. T = −4 .

D. T = 8 .

C. T = 15 .

a

∫x

=
I
Câu 108: Tích phân

x + 1dx có giá trị là:

0

A. I =
C. I =

2

( a + 1)

+

5
2

( a + 1)
5
1

Câu 109: Tích phân I =

∫

−1

=
I
A.

5

4 2
+ 2.
3

5

+

2

( a + 1)

3

3
2

( a + 1)

3

3

4
+ .
15
4
− .
15

B. I =

2

( a + 1)

5

5

( a + 1)

D. I =

2

=
I
C.

4 2
−1 .
3

5

−

2

−

2

5

( a + 1)

3

3

( a + 1)

A. 39 .

/>
4
.
15

−

4
.
15

3

3

x
dx có giá trị là:
x +1 −1
=
I
B.

4 2
−2.
3

I
=
D.

4 2
+1 .
3

x2 − x + 2
a−4 b
=
. Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a + b + c .
∫3 x + x − 2 dx
c
4

=
Câu 110:
Biết rằng I

+

B. 27 .

C. 33 .

D. 41 .

dx
= a + b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính
1
x x + 2 + ( x + 2) x
P = a+b+c
.
A. P = 2 .
B. P = 8 .
C. P = 46 .
D. P = 22 .

∫

Câu 111: Biết

2

2

∫ ( x + 1)

Câu 112: Biết I =

1

dx
=
x + x x +1

a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính

P = a+b+c .
A. P = 24 .
B. P = 12 .
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

C. P = 18 .

D. P = 46 .

2
C. − .
3

D.

C. I = 0 .

D. I = 1 .

π

Câu 113: Tính tích phân ∫ sin 3 xdx .
T
9
1

19T

0

1
A. − .
3

B.

1
.
3

2
.
3

π

Câu 114: Tính tích =
phân I

2

π



∫ sin  4 − x  dx .
0

A. I =

π
4

B. I = −1 .

.
π
3

Câu 115: Tích phân I = ∫
π

dx
bằng?
sin 2 x

4

A. cot

π
π
− cot .
3
4

B. cot

π

3

+ cot

π
4

.

C. − cot

π
π
+ cot .
3
4

D. − cot

π
π
− cot .
3
4

π
2

= 2a + 6b .
Câu 116: Biết ∫ cos xdx= a + b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T

π

3

A. T = 3 .

B. T = −1

C. T = −4 .

D. T = 2 .

m
π
π
− cot + cot các số nguyên thỏa mãn ∫ cos 2 x dx = 0 là
Câu 117: Số =
3
4
0

A. 643 .

B. 1284 .

C. 1285 .

D. 642 .

C. I = −1 .

D. Cả A, B, C đều

π
2

Câu 118: Tích phân I = ∫ sin xdx có giá trị là:
0

A. I = 1 .
sai.

B. I = 0 .

b

Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π ;3π ) sao cho ∫ 4 cos 2 xdx = 1 ?
π

A. 8 .
/>
B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .


π
2

∫π ( sin x − cos x ) dx có giá trị là:

Câu 120: Tích phân
I
=

−

2

B. I = 2 .

A. I = 1 .

D. I = −1 .

C. I = −2 .

π
6

Câu 121: Tích=
phân I

∫π ( sin 2 x − cos 3x ) dx có giá trị là:

−

A. I =

2

2
.
3

B. I =

3
.
4

C. I = −

π
2

Câu 122: Kết quả của tích phân

∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx

3
.
4

D. I = −

2
.

3

được viết ở dạng a , b ∈  . Khẳng định nào sau

0

đây là sai?
8.
A. a + 2b =

5.
B. a + b =

2.
C. 2a − 3b =

2.
D. a − b =

π
2

Câu 123: Cho tích phân

cos 2 x

∫ 1 + sin x dx=

a + bπ với a, b ∈  . Tính P =1 + a 3 + b 2

0

B. P = 29 .

A. P = 9 .

D. P = −25 .

C. P = 11 .

π
2

Câu 124: Cho tích phân

dx
∫ ( 4 x − 1 + cos x ) =
0

A. −3

π 1
−  + c , ( a, b, c ∈  ) . Tính a − b + c
 a b

π

C. −2 .

B. 1 .

D.

1
.
3

π
6

Câu 125: Biết

aπ

−
∫ ( 3 + 4sin x ) dx =
6
b
2

c 3

, trong đó a , b nguyên dương và

0

.
A. 8 .

B. 16 .

C. 12 .

D. 14 .

π
3

Câu 126: Cho giá trị của tích phân I1 =

∫π

−

a
tối giản. Tính a + b + c
b

π
3

( sin 2 x + cos x ) dx = a , I 2 =

∫π ( cos 2 x + sin x ) dx =

−

2

b . Giá trị

3

của a + b là:
A. P=

3
+ 3.
4

3
3
+
.
4 2

B. P=

C. P=

2π
3

3
− 3.
4

Câu 127: Cho giá trị của tích phân I1 = ∫ ( sin 3 x + cos 3 x ) dx =a , I 2 =
−

π

1

1

∫  x + x
e

2

−

C. 10 .

3
3
−
.
4 2

1 
 dx= b . Giá
x +1 

3

trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 8 .
B. 16 .

/>
2e

D. P=

D. 1 .


π
2

∫π ( sin ax + cos ax ) dx , với a ≠ 0 có giá trị là:

Câu 128: Tích=
phân I

−

2

A. I
=

2  π π
 π π 
sin  a −  − sin  a +   .

a   2 4
 2 4 

B. I
=

2  π π
 π π 
sin  a −  + sin  a +   .

a   2 4
 2 4 

C. I
=

2  π π
 π π 
sin  a −  + sin  −a +   .

a   2 4
2 4 


D. I =

2
 π π
 π π 
− sin  a −  + sin  a +   .

a 

 2 4
 2 4 

Câu 129: Biết =
I

π
2

x + x cos x − sin 3 x
π2 b
∫0 1 + cos x d=x a − c . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số

b
tối giản. Tính T = a 2 + b 2 + c 2 .
c
A. T = 16 .
B. T = 59 .

f ( x ) a sin 2 x − b cos 2 x thỏa mãn f '  π  = −2 và
Câu 130: Cho hàm số=
2
bằng:
A. 3.

B. 4.
0

Câu 131: Cho tích phân

∫π cos 2 x cos 4 xdx=

−

D. T = 50 .

C. T = 69 .
b

∫ adx = 3 . Tính tổng a + b
a

C. 5.

D. 8.

a + b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính

3

e + log 2 b .
a

B. −3 .

A. −2 .

Câu 132: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y =

C.

B. P = 0 .

D. 0 .

1
 −π

+ kπ , k ∈   , biết
với ∀x ∈  \ 
1 + sin 2 x
 4


 π 
 11π
F ( 0 ) = 1 ; F (π ) = 0 . Tính P =F  −  − F 
 12 
 12
A. P= 2 − 3 .

1
.
8


.


C. Không tồn tại P .

D. P = 1 .

=
f ( x ) M .sin πx + N .cos πx thỏa mãn f (1) = 3 và
Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số
1
2

∫ f ( x ) dx =

−

0

A.

5π 2
.
2

/>
1
1
. Giá trị của f ′   bằng
π
4

B. −

5π 2
.
2

C. −

π 2
.
2

D.

π 2
.
2


π
2

∫ ( cos x − 1) cos

Câu 134: Tích phân
I
=

2

xdx có giá trị là:

0

π

1
− .
4 3

A. I=

B. I =
−

π
4

−

2
.
3

π

1
+ .
4 3

C. I=

D. I =
−

π
4

+

2
.
3

π

Câu 135: Biết tích =
phân I1

2

sin xdx a . Giá trị của=
I2
∫=

π

x2 + 1
dx b ln 2 − c ln 5 . Thương số giữa b
∫a x3 + =
x
1

3

và c là:
A. – 2.

B. – 4.

C. 2.

D. 4.

π

Câu 136: Cho I=

∫ ( sin 3x + cos x ) dx= ( a cos 3x + bx sin + c sin 2 x )
3

2

π
6
0

. Giá trị của 3a + 2b + 4c là:

0

A. – 1.

B. 1.

C. – 2.

D. 2.

Câu 137: Cho I n = ∫ tan n xdx với n ∈  . Khi đó I 0 + I1 + 2 ( I 2 + I 3 + ... + I 8 ) + I 9 + I10 bằng
9

A.

∑

( tan x )

r =1

r

9

+C .

r

B.

∑

( tan x )

r =1

r +1

r +1

+C .

10

C.

∑

( tan x )

r =1

r

r

+C .

10

D.

∑

( tan x )

r =1

r +1

r +1

.
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT
1

Câu 138: Tích phân

∫e

−x

dx bằng

0

A. e − 1 .

B.

1
−1.

e

C.

e −1
.
e

D.

C.

22018
.
ln 2

D. 22018 .

1
.
e

2018

Câu 139: Tích phân I =

∫

2 x dx bằng

0

A. 22018 − 1 .

B.

4

1
Câu 140: Biết ∫ f ( x)dx = và.
2
−1

22018 − 1
.
ln 2

−1
=
I
∫−1 f ( x)dx = 2 . Tính tích phân
0

B.=
I 4e8 − 2 .

A. I = 2e8 .

4

∫ 4e

2x

+ 2 f ( x)  dx .

0

C. I = 4e8 .

D.=
I 2e8 − 4 .

C. F ′ ( 2 ) = 4e16 .

D. F ′ ( 2 ) = e 4 .

x2

Câu 141: Cho F ( x ) = ∫ et dt . Tính F ′ ( 2 ) .
2

0

A. F ′ ( 2 ) = 4e 4 .
Câu 142: Cho hàm số g ( x ) =

B. F ′ ( 2 ) = 8e16 .
x2

1

∫ ln t dt

với x > 0 . Đạo hàm của g ( x ) là

x

A. g ′ ( x ) =

x −1
.
ln x

/>
B. g ′ ( x ) =

1− x
.
ln x

C. g ′ ( x ) =

1
.
ln x

D. g ′ ( x ) = ln x .

+C

Câu 143: ⇔

3π
2

6 .Gọi S là
∫π f ( x ) dx =

tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn

3
−
2

2

kx
∫ e dx <
1

2018.e k − 2018
. Số phần tử của tập hợp S bằng.
k

A. 7 .

B. 8 .

C. Vô số.

D. 6 .

e − nx
dx với n ∈  .
−x
+
1
e
0

1

Câu 144: Cho I n = ∫

Đặt un = 1. ( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I 3 ) + 3 ( I 3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n .
Biết lim un = L . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. L ∈ ( −1;0 ) .

/>
B. L ∈ ( −2; −1) .

C. L ∈ ( 0;1) .

D. L ∈ (1; 2 ) .


C . HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai?
A.
B.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
b

b

a

a

∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx .
a

C. ∫ kf ( x ) dx = 0 .
a

D.

Câu 2.

b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai.
Khẳng định nào sau đây sai?
b

A.

∫  f ( x ) + g ( x ) dx =
a

b

C.

b

∫
a

b

b

a

a

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫=
f ( x ) dx

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx .
a

D.

b

b

∫
c

b

b

a

a

c

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .

Hướng dẫn giải
Câu 3.

Chọn C
Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?
b

A.

∫  f ( x ) + g ( x ) dx =
a

b

C.

b

∫
a

b

b

b

a

a

a

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . B. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx .

b

b

∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
a

a

D.

a

b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
Câu 4.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên tập  . Mệnh
đề nào dưới đây là đúng?
b

A.

∫

f ( x=
) dx f ( b ) − f ( a ) .

b

B.

a

b

C.

) dx
∫ f ( x=
a

) dx
∫ f ( x=

F ( a ) − F (b) .

b

D.

) dx
∫ f ( x=
a

Hướng dẫn giải
Chọn B

/>
F (b) − F ( a ) .

a

F (b) + F ( a ) .


b

Theo định nghĩa, ta có

) dx
∫ f ( x=

F (b) − F ( a ) .

a

Câu 5.

Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và c ∈ [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau.
c

A.

b

a

c

b

b

c

c

a

a

c

∫
a

C.

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .

B.

∫
a

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .

D.

c

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .
a

c

b

a

b

a

c

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .

Hướng dẫn giải
Chọn D
b

∫
a

Câu 6.

a

b

c

c

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) + F ( a ) − F=
( c ) F ( b ) − F ( c ) = ∫ f ( x ) dx .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai?
b

A.

∫
a

C.

b

c

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .
c

B.

a

b

a

a

b

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

a

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

D.

∫ f ( x ) dx = 0 .
a

Hướng dẫn giải
Chọn A
b

Mệnh đề đúng là:

∫
a

Câu 7.

c

c

b

a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx .

Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b ∈ K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên K .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
b

b

A. F ( a ) − F ( b ) =
∫ f ( t ) dt .

B.

a

b

b

Theo định nghĩa ta có:

b

D.

∫

a

(t )
∫ f ( t ) dt = F =
b

a

a

.

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

F ( b ) − F ( a ) . Suy ra phương án A sai.

a

Câu 8.

b

a



C. ∫ f ( t ) dt =  ∫ f ( t ) dt  .

a

a
Bài giải
Chọn A
b

∫ f ( t ) dt = F ( t )

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
b

A.

∫
a

B.

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
b

dx k ( a − b ) , ∀k ∈  .
C. ∫ k=
a

b

f ( x ) dx
D. ∫=
a

/>
c

b

a

c

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∀c ∈ ( a; b ) .


Hướng dẫn giải
Chọn C
b

Ta có:

∫ kdx = kx =
b

a

kb − =
ka k ( b − a ) .

a

Câu 9.

Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai?
a

A.

∫ f ( x ) dx = 1 .

B.

a
c

C.

∫
a

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx=
c

b

∫

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .
f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) . D.

a

b

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .
a

Hướng dẫn giải
Chọn A
a

Ta có:

∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) = 0 .
a

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

b

c

b

a

a

c

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ,
∫=

B.

∀c ∈  .
b

C.

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .D.
a

a

∫ f ( x ) dx = 0 .

a

Câu 11. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng
1

A.

∫

f ( x ) dx .

0

1

B. ∫ − F ( x ) dx .
0

1

C. ∫ − F ( x ) dx .
0

1

D. ∫ − f ( x ) dx .
0

Hướng dẫn giải
Chọn D

1

Ta có:

1
=
−  F (1) − F (=
0 )  F ( 0 ) − F (1) .
−
f
x
x
=
−
F
x
d
)
(
(
)
∫0
0

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.

∫

f ′ ( x ) dx là diện tích hình thang ABMN . B.

a

∫ f ′ ( x ) dx
a

∫ f ′ ( x ) dx
b

là dộ dài đoạn MN .

D.

∫ f ′ ( x ) dx
a

Hướng dẫn giải
/>
là dộ dài đoạn BP .

a

b

C.

b

là dộ dài đoạn cong AB .


Chọn B
b

x)
∫ f ′ ( x ) dx = f (=

f ( b ) − f (=
a ) BM − PM = BP .

b

a

a

a

Câu 13. Cho hai tích phân

∫ f ( x ) dx = m

và

−a

là:
A. m − n .
định.

a

a

−a

−a

∫ g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân ∫  f ( x ) − g ( x )dx
C. m + n .

B. n − m .

D. Không thể xác

Hướng dẫn giải
a

Cho hai tích phân

∫ f ( x ) dx = m

và

−a

a

a

−a

−a

∫ g ( x ) dx = n . Giá trị của tích phân ∫  f ( x ) − g ( x )dx

là:
a

a

a

−a

−a

−a

m−n.
∫  f ( x ) − g ( x )dx =
∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx =

Ta có ngay kết quả:
Chọn A
b

=
f ( x ) dx m
và I 2
∫=

Câu 14. Cho tích=
phân I1

b

c

c

f ( x ) dx n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị
∫=

a

là:
A. m + n .
định.

a

B. m − n .

C. −m − n .

D. Không thể xác

Hướng dẫn giải
a

b

f ( x ) dx
∫=

Cho tích=
phân I1

b

f ( x ) dx
∫=

=
m
và I 2

n . Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị

c

a

c

là:
b

b

a

c

a

c

m+n.
Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I =
∫ f ( x )dx =
∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx =

Chọn A
b

Câu 15. Tích phân

∫ f ( x )dx được phân tích thành:
a

A.
C.

b

a

c

c

b

a

∫ f ( x ) + ∫ − f ( x )dx .
∫
c

f ( x ) + ∫ f ( x )dx .
c

b

B.

a

∫ f ( x ) − ∫ − f ( x )dx .
c

c

b

a

c

c

D. − ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx .
Hướng dẫn giải

b

Tích phân

∫ f ( x )dx được phân tích thành:
a

b

Ta có:

∫
a

b

c

b

a

c

a

c

c

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx .

Chọn A
1

Câu 16. Cho

∫

f ( x ) dx = 3 . Tính tích=
phân I

−2

A. −9 .

/>
B. −3 .

1

∫ 2 f ( x ) − 1 dx .

−2

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. 5 .


Chọn C
1

1

1

−2

−2

−2

Ta có I
=

6 x −2 =
3.
x ) − 1 dx 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ dx =−

∫ 2 f (=
1

Câu 17. Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính

3

∫ f ′ ( x ) dx
2

bằng
A. −3 .

B. 7 .

C. 10
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn D
3

x) 2
∫ f ′ ( x ) dx = f (=

Ta có

f ( 3) − f ( 2 ) = 3 .

3

2

∫

Câu 18. Cho

f ′ ( x ) dx = 7 và f ( b ) = 5 . Khi đó f ( a ) bằng

b

a

B. 0 .

A. 12 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. −2 .

Chọn D

∫

b

a

f ′ ( x ) dx = 7 ⇔ f ( b ) − f ( a ) =
7 ⇔ f ( a ) =f ( b ) − 7 =−2 .

Câu 19. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 . Tính
T
7
4

T
7
4

b

T = ∫ f ′ ( x ) dx .
a

A. T = −6 .

B. T = 2 .

C. T = 6 .
Hướng dẫn giải

D. T = −2 .

Chọn D
b

Ta có: T = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )

=
f (b) − f ( a ) =
−2 .

b
a

a

Câu 20. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và f (1) − f ( 0 ) =
2 . Tính tích phân

1

∫ f ′ ( x ) dx .
0

A. I = −1 .

B. I = 1 .

C. I = 2 .
Hướng dẫn giải

D. I = 0 .

Chọn C
1

Ta có:

1

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) 0 = f (1) − f ( 0 ) = 2 .
0

Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x ) liên tục trên  và
4

∫ f ′ ( x ) dx = 17 . Khi đó f ( 4 )

bằng

1

A. 5 .

B. 29 .

C. 19 .
Hướng dẫn giải

D. 9 .

Chọn B
4

Ta có

∫ f ′ ( x ) dx = 17 ⇔ f ( x )

4
1

=
17 ⇔ f ( 4 ) − f (1) =
29 .
17 ⇔ f ( 4 ) =

1

Câu 22. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) =
4 ; f ( 3) = 7 .
19T

3

Giá trị của I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx bằng
−1

/>

B. I = 3 .

A. I = 20 .
T
9
1

C. I = 10 .
Hướng dẫn giải

D. I = 15 .

Chọn D
3

I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx = 5 f ( x ) −1= 5 f ( 3) − 5 f ( −1=
) 5.7 − 5.4 = 15 .
3

T
9
1

−1

a b
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x2 x

Câu 23. Cho hàm số f ( x ) =
. Tính T= a + b .
A. T = −1 .

B. T = 2 .

C. T = −2 .

Hướng dẫn giải

1

∫ f ( x ) dx=

2 − 3ln 2

1
2

D. T = 0 .

Chọn C
1

Ta có

∫
1
2

1

 a

 a b

f ( x ) dx = ∫  2 + + 2  dx = − + b ln x + 2 x  = a + 1 + b ln 2 .
x

 x
1

1 x
1

2

2

Theo giả thiết, ta có 2 − 3ln 2 = a + 1 + b ln 2 . Từ đó suy ra a = 1 , b = −3 .
Vậy T =a + b =−2 .
3
dx
Câu 24. Tính tích phân I = ∫
.
x+2
0
A. I =

5
5
B. I = log .
C. I = ln .
2
2
Hướng dẫn giải

4581
.

5000

D. I = −

21
.
100

Chọn C
3

Ta có: I = ∫
0

dx
= ln x + 2
x+2
2

2018

Câu 25. Tính tích phân I =

∫
1

3

= ln

0

5
.
2

dx
.
x

=
A. I 2018.ln 2 − 1 .

B. I = 22018 .

C. I = 2018.ln 2 .
Hướng dẫn giải

C. I = 2018 .

Chọn C

=
ln ( 22018 ) − ln1 = 2018.ln 2 .
Ta có: I = ln
x1
22018

1

Câu 26. =
Tính I



1

∫  2 x + 1 + 3
0


x  dx .


B. 4 + ln 3 .

A. 2 + ln 3 .
T
9
1

T
9
1

C. 2 + ln 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
 1


=
+=
3 x  dx
T
a có I ∫ 
2x +1

0
1

T
9
1

1

1

1

1
∫0 2 x + 1 dx + 3∫0 xdx

1

1
2
1
=

ln 2 x + 1 + 3. x =
x
ln 3=
+ 2 ln 3 + 2 .
2
3
2
0
0
1

=
I
Tính tích phân

Câu 27.

/>
∫ x (1 + x ) dx
2018

0

D. 1 + ln 3 .