Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết

TỈ SỐ THỂ TÍCH
A. BÀI TẬP
Câu 1. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân

= 120° . SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SC
tại C và BCD

Câu 2.

cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S . AMNP .
a3 3
a3 3
2a 3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
42
12
21
14
Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD Mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc SC cắt SC , SB, SD lần
lượt tại B′, C ′, D′ . Biết rằng 3SB′ = 2 SB . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S . A′B′C ′D′
và S . ABCD . Tỉ số

V1

là
V2

V1 1
V 2
V 2
C. 1 = .
D. 1 = .
= .
V2 9
V2 3
V2 3
= 60° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V
ASB = 
ASC= BSC
Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có 
A.

V1 4
= .
V2 9

B.

của khối chóp.

7 2
7 2
.
C. V =

.
D. V = 7 2 .
2
3
Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P ) chứa
V
AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S . AB ' MD ' là
VS . ABCD
3
2
1
1
B. .
C. .
D. .
A. .
4
6
3
3
Câu 5.Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối
chóp N . ABCD là
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .

3
6
4
2
′
′
′
Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A B C có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A′. AB′C ′
.
1
1
1
A. V = 3 .
B. V = .
C. V = .
D. V = .
2
3
4
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn
thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng
3
. Biết rằng mặt phẳng ( ABC ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó
2
bằng
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
3

Câu 8.Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có thể tích bằng 12 3a . Thể tích khối chóp A′. ABC là.
A. V = 4 2 .

B. V =

3a 3
.
4
Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng
A. V = 4 3a 2 .

B. V = 2 3a 3 .

C. V = 4 3a 3 .

D. V =

vuông góc với đáy, biết SC = a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD
, CD , BC . Tính thể tích khối chóp.
/>

a3
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
4
8
12
3
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp
S . ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S . A′B′C .
A. V = 3
B. V = 12
C. V = 8
D. V = 6
Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
V′
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
.
V
V′ 5
V′ 1
V′ 2
V′ 1
A.
B.
C.
D.
= .
= .
= .
= .

V 4
V 8
V 2
V 3
Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với
đáy một góc 45° . H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC
tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S . AHIK là:
A. V =

a3
.
6

a3
.
12

B. V =

C. V =

a3
.
18

D. V =

a3
.
36

Câu 13. Cho khối chóp S . ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S .MAB là 2a 3 . Thể
tích khối chóp S . ABC bằng.
3
1
C. a .
B. 4a 3 .
D. a 3 .
A. 2a 3 .
2
4
Câu 14. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB ,
cho SM 3=
MB, SN NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD
SC lần lượt lấy các điểm M , N sao =
P

P

P

P

tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S .MNP theo V .
9V
7V
V
V
A. .
B. .

C.
.
D.
.
40
80
8
4
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp A.MCD .
A. V  4 .
B. V  6 .
C. V  3 .
D. V  5 .
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích
của khối chóp N . ABCD là
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
6
4
2
3
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba

DM 1 DN 1 DP 3
,
=
,
cạnh DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà= =
. Thể tích V của tứ diện
DA 2 DB 3 DC 4
MNPD bằng
2
3
3
2
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
12
96
96
12
1
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ =   SA . Mặt
3
phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD  lần lượt tại B '
, C ′ , D′ . Tính thể tích khối chóp S . A′B′C ′D′ .
V

V
V
V
A.
.
B.
.
C. .
D. .
3
9
81
27

/>

1; DA ⊥ ( ABC ) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên cạnh
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có DA =

DM
DA

DA, DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho=

MNPD bằng
2
.
A. V =
96

1 DN 1 DP 3
=
;
=
;
. Thể tích của tứ diện
2 DB 3 DC 4

3
2
3
.
C. V =
.
D. V =
.
12
12
96
Câu 20. Cho khối chóp S . ABCD có thể tích là a 3 . Gọi M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm của
SA, SB, SC , SD. Thể tích khối chóp S .MNPQ là:

B. V =

a2
a3
a3
a3
.
.

B.
C.
D.
8
16
4
6
Câu 21. Cho khối chóp S . ABC . Gọi A′ , B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích
của hai khối chóp S . A′B′C và S . ABC bằng:
A.

A.

1
.
4

B.

1
.
6

C.

1
.
2

D.

1
.
3

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của
SA, SB, SC , SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S .MNPQ và khối chóp S . ABCD là.
1
1
1
1
B. .
C.
.
D. .
16
4
2
A. 8 .

SA AD
= 2a . Góc giữa
Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình chữ nhật. =

( SBC )

và mặt đáy ( ABCD ) là 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp

S . AGD là
32a 3 3

4a 3 3
8a 3 3
16a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
27
9
27
9 3
Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm M , N , P, Q lần lượt
thuộc SA, SB, SC , SD thỏa:
=
SA 2=
SM , SB 3=
SN , SC 4 SP , SD = 5SQ . Thể tích khối chóp
S .MNPQ là.
6
4
2
8
A. .
B. .
C. .
D. .

5
5
5
5
ACB= 60°
Câu 25. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc 
, BC = a , SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC .
a3
a3
a3
a3
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = .
6
4
2
3
Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C ′ lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB′C ′D và khối ABCD bằng:
A.

1
.
2

B.

Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ

/>
1
.
4

C.

1
.
6

D.

1
.
8


S

D
B

C

A





ASB
= BSC
= CSD
= DSA
= BSD
= 60° . Thể tích khối
Biết SA = 6 , SB = 3 , SC = 4 , SD = 2 và 
đa diện S . ABCD là
A. 10 2 .
B. 6 2 .
C. 5 2 .
D. 30 2 .
Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN , MP, MQ . Tính tỉ số thể tích
VMIJK
VMNPQ

.

1
1
1
1
.
B. .
C. .
D. .
6
3
4

8
Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
Gọi B′ , D′ là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( AB′D′ ) cắt SC tại C ′ . Thể

A.

tích khối chóp S AB′C ′D′ là:

2a 3 3
2a 3 3
2a 3 2
a3 2
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
3
3
9
9
Câu 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng
A. V =

vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) bằng 45° . Gọi V1 ;V2 lần
lượt là thể tích khối chóp S . AHK và S . ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD .
V
Tính độ dài đường cao của khối chóp S . ABCD và tỉ số k = 1 .

V2
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.=
.
D.=
.
=
h 2=
a; k
=
h 2=
a; k
h a=
;k
h a=
;k
8
3
4
6
Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC , BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính
theo a bằng:

2a 3
a3
3a 3
A.
B. a 3
C.
D.
3
4
4

/>

Câu 32. Cho khối chóp S . ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C ′ sao cho

1
1
1
SA′ = SA ; SB′ = SB ; SC ′ = SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp
2
3
4
S . ABC và S . A′B′C ′ . Khi đó tỉ số V là
V'
1
1
A.
.
B. 24 .
C.

.
D. 12 .
24
12
Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B′ , D′ , C ′ . Thể tích
khối chóp S AB′C ′D′ là:

2a 3 3
2a 3 3
2a 3 2
a3 2
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
3
9
3
9
Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ .
8068
4034
2017
2017
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
81
27
9
27
Câu 35. Cho khối chóp S . ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp S .MBC và thể
tích khối chóp S . ABC bằng.
1
1
1
A. 1.
B. .
C. .
D. .
2
4
6
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA = 2a . Gọi B′; D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD . Mặt phẳng
( AB′D′) cắt cạnh SC tại C ′ . Tính thể tích của khối chóp S . AB′C ′D′
A. V =

2a 3
16a 3

a3
a3
.
B.
.
C.
D.
.
4
45
2
3

ASB
= CSB
= 600 , 
ASC = 900 , SA
Câu 37. Cho hình chóp S . ABC có 
= SB
= a; SC
= 3a .Thể tích V của
khối chóp S . ABC là:
a3 6
a3 2
a3 2
a3 6
A. V =
.
B. V =
.

C. V =
.
D. V =
.
18
12
4
6
Câu 38. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba cạnh
A.

DM 1 DN 1 DP 3
. Thể tích V của tứ diện
,
,
=
DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = =
DA 2 DB 3 DC 4
MNPD bằng:
2
2
3
3
V=
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.

96
12
96 .
12
D.
Câu 39. Cho hình chóp S . ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp
S .MNC biết thể tích khối chóp S . ABC bằng 8a 3 .
A. VSMNC = a 3 .
B. VSMNC = 2a 3 .
C. VSMNC = 6a 3 .
D. VSMNC = 4a 3 .
Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy
một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy
còn lại là
3 2
3 2
3 2
3 2
a b cos α .
a b cos α .
a b sin α .
a b sin α .
A.
B.
C.
D.
4
12
12
4

/>

Câu 41. Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số

VS . ABC
.
VS .MNC

1
1
B. ⋅
C. 2 .
D. 4 .
⋅
4
2
Câu 42.Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD
SB′ SD′ 3
SA′ SC ′ 1
lần lượt lấy các điểm A′ , B′ , C ′ và D′ sao cho = =
và = =
. Tính thể tích
SB SD 4
SA SC 3
V của khối đa diện lồi SA′B′C ′D′ .
3
A. V = .
B. V = 9 .
C. V = 4 .

D. V = 6 .
2
Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp

A.

S . ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

6
7
1
7
.
B. .
C. .
D. .
5
5
7
3
Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối
chóp S .ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
1
1
7
7
A. .
B. .

C. .
D. .
7
5
5
3
S
.
ABC
V
Câu 45. Cho khối chóp tam giác
có thể tích bằng . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ,
N là điểm nằm giữa AC sao cho AN = 2 NC . Gọi V1 là thể tích khối chóp S . AMN . Tính tỉ số
V1
.
V
V 2
V 1
V 1
V 1
A. 1 = .
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
V 3
V 2
V 6
V 3
Câu 46. Cho khối chóp S . ABCD có thể tích V . Các điểm A′ , B′ , C ′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA
, SB , SC . Thể tích khối chóp S . A′B′C ′ bằng

V
V
V
V
A.
.
B. .
C. .
D. .
16
8
4
2
Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp A.MCD .
A. V  5 .
B. V  4 .
C. V  6 .
D. V  3 .
Câu 48. Cho khối chóp S . ABC có=
SA 9,=
SB 4,=
SC 8 và đôi một vuông góc. Các điểm A′, B′, C ′ thỏa

 
 

mãn SA = 2.SA′, SB = 3.SB′, SC = 4.SC ′. Thể tích khối chóp S . A′B′C ′ là
A. 2 .
B. 24 .

C. 16 .
D. 12 .
1
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA
3
. Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại
B′, C ′, D′ . Khi đó thể tích chóp S . A′B′C ′D′ bằng:
V
V
V
V
A. .
B.
.
C. .
D.
.
3
9
81
27
Câu 50. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . Tính thể tích khối
A.

chóp S . ABC .
a3 6
.
A.
12

/>
B.

a3 5
.
8

C.

a3 3
.
24

D.

a3 5
.
24


1
Câu 51. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Lấy A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA. Mặt
3
phẳng qua A′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại B′, C ′, D′.
Khi đó thể tích khối chóp S . A′B′C ′D′ là:
V
V
V
V
A.

.
B. .
C. .
D.
.
81
3
9
27
Câu 52. Cho hình chóp S . ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao
cho SM = 2 MD . Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S . ABNM .
A. 9 .
B. 6 .
C. 10 .
D. 12 .
Câu 53. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M
là trung điểm BC . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E ,
1
F . Biết VS . AEF = VS . ABC . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
4
3
a
a3
2a 3
a3
=
V
V
=
V

=
A. V = .
B.
.
C.
.
D.
.
2
12
8
5
Câu 54. Cho khối chóp tứ giác S . ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia
V
khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 (V1 < V2 ) . Tính tỉ lệ 1 .
V2
16
8
16
8
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
81
19

27
75
Câu 55. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB ,

SC , SD . Tỉ số
A.

1
6

VS .MNPQ
VS . ABCD

là
B.

1
.
16

C.

3
.
8

D.

1
.

8

Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018
V
thể tích MIJK bằng:
VMNPQ
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
3
6
Câu 57. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1 . Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .
A. V =

1
.
3

B. V =

1
.

6

C. V =

1
.
12

D. V =

2
.
3

Câu 58. Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC = a , CD = a 3 . Hai mặt
( ABD ) và ( ABC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) . Biết AB = a , M , N lần lượt thuộc
cạnh AC , AD sao cho AM = 2 MC , AN = ND . Thể tích khối chóp A.BMN là
2a 3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9

9
3
18
Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B′ và C ′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB′C ′D và khối tứ diện ABCD .

/>

1
1
1
1
.
B. .
C. .
D. .
8
2
4
6
Câu 60. Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) . mp ( ABC ) qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt SB, SC lần lượt tại H , K . Gọi V1 , V2
tương ứng là thể tích của các khối chóp S . AHK và S . ABC . Cho biết tam giác SAB vuông cân, tính
A.

tỉ số

V1
.
V2

V
V1 1
V
V
1
2
1
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
= .
V2 2
V2 3
V2 3
V2 4
Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP; MQ. Tỉ số thể tích
VMIJK
là
VMNPQ

A.

1
1
1
1
.
B. .
C. .

D. .
6
8
4
3
Câu 62. Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm
các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S .MNPQ là V , khi đó thể tích của
khối chóp S . ABCD là:
A.

2

9V
9
C.   V .
D.
.
4
2
Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( P ) qua AM và song

A.

81V
.
8

B.

27V

.
4

song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối S . ANMK và khối chóp S . ABCD
.
2
1
1
3
A.
B.
C.
D.
9
3
2
5
Câu 64. Cho khối chóp S . ABC . Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C ′ sao cho
1
1
1
=
SA′ =
SA; SB′ =
SB; SC ′
SC . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S . A′B′C ′ và S . ABC
2
3
4
bằng

1
1
1
1
A.
.
B. .
C.
.
D. .
2
12
6
24
Câu 65. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a , SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của
cạnh SC . Thể tích của khối chóp S . ABM bằng:
A.

a3 3
.
18

/>
B.

a3 3
.
24

C.

a3 3
.
36

D.

a3 3
.
12


Câu 66. Cho hình chóp S . ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN = 2 NC . Tỉ

VS . AMN
.
VS . ABC
1
A. .
3

số

B.

1
.
6

C.

1
.
5

D.

1
.
4

Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau,=
AB a=
; AC 2a và
AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD, CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN
.
3a 3
2a 3
a3
3
A. V = .
B. V = a .
C. V =
.
D. V =
.
4
4
3

= CSA
= 60°, SA = a, SB = 2a, SC = 4a . Tính thể tích khối
Câu 68. Cho khối chóp S . ABC có 
ASB= BSC
chóp S . ABC theo a .
2a 3 2
4a 3 2
a3 2
8a 3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 69. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ
số thể tích của hai khối chóp S . A′B′C ′D′ và S . ABCD .
1
1
1
1
A. .
B.
.

C. .
D.
.
16
2
12
8
Câu 70. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một
mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích khối chóp S . AMPN
V
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ?
V
3
1
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
8
8
3
3
Câu 71. Cho tứ diện đều S . ABC . Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆SAB, ∆SBC ,
VS .G1G2G3
∆SCA . Tính
.
VS . ABC
2

1
1
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
48
36
81
27
Câu 72. Cho khối chóp S . ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′ , B′ , C ′ sao cho
1
1
1
SA′ = SA , SB′ = SB , SC ′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S . ABC
3
3
3
′
V
và S . A′B′C ′ . Khi đó tỉ số
là
V
1
1

1
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
3
27
9
6
Câu 73. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của SB.
P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2 DP. Mặt phẳng ( AMP ) cắt cạnh SC tại N . Tính thể
tích của khối đa diện ABCDMNP theo V . .
23
7
19
2
A. VABCDMNP = V .
B. VABCDMNP = V .
C. VABCDMNP = V .
D. VABCDMNP = V .
5
30
30
30
Câu 74. Cho khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích
của khối chóp A′.BCO bằng
A. 1 .
B. 4 .

C. 3 .
D. 2 .

/>

Câu 75. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp S .MNPQ và S . ABCD bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D.
.
8
2
4
16
Câu 76. Cho tứ diện S . ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC .
Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ABC )
bằng
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .

D. .
4
8
3
2
Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một
góc 60° . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại
E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S . AEMF .
a3 6
a3 6
a3 6
a3 6
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
36
9
18
6
Câu 78. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc
bằng 60° . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình
V
chóp đã cho. Tính tỉ số 1 .
V2
V 32

V 1
V 9
V 32
A. 1 = .
B. 1 =
.
C. 1 = .
D. 1 = .
V2 9
V2 2
V2 8
V2 27
Câu 79. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng
MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là
3
1
3
5
A. .
B. .
C. .
D. .
8
4
8
5
V
Câu 80. Cho hình chóp S . ABC có A′, B′ lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Khi đó tỉ số S . ABC bằng
VS . A′B′C
1

1
A. 2 .
B. .
C. .
D. 4 .
2
4
Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = a 3 , AC = 2a
và AD = 2a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC . Tính thể tích V của tứ diện
AHKD .
4 3 3
4 3 3
2 3 3
2 3 3
B. V 
C. V 
D. V 
a .
a .
a .
a .
21
7
7
21
Câu 82. Cho hình chóp S . ABC có A , B  lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích

A. V 
VSABC
.

VSA ' B ' C

A. 4 .

B.

1
.
2

C. 2 .

D.

1
.
4

Câu 83.Cho tứ diện ABCD. Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ
diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD bằng:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
2

6
8
Câu 84.Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ABCD ) , góc
giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC
. Tính thể tích khối chóp S . ADMN .
/>

a3 6
3a 3 6
a3 6
a3 6
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
24
16
8
16
Câu 85. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi
đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S . A′B′C ′D′ và S . ABCD là
1
1
1
1
A. .
B. .

C. .
D.
.
16
2
4
8
Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S . ABC sao
SM 1 SN
cho
= ,
= 2. Mặt phẳng (α ) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2
MA 2 NB
phần. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa A , V2 là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ
V
số 1 ?
V2
V 5
V 5
V 6
V 4
A. 1 = .
B. 1 = .
C. 1 = .
D. 1 = .
V2 6
V2 5
V2 4
V2 5
Câu 87.Cho hình chóp S , ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích V

của khối chóp S .OCD .
A. V = 4 .
B. V = 5 .
C. V = 2 .
D. V = 3 .
Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của
khối chóp A.GBC .
A. V = 6 .
B. V = 5 .
C. V = 3 .
D. V = 4 .
3
Câu 89. Cho hình chóp S . ABC có VS . ABC = 6a . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB
A. V =

, SC sao cho SM = MA , SN = NB , SQ = 2QC . Tính VS .MNQ :

a3
.
B. a 3 .
C. 2 a 3 .
D. 3a 3 .
2
Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện
A.

ABCD . Thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 là:
V
V
V

V
.
B.
.
C. .
D.
.
27
18
4
12
Câu 91. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S . A′B′C ′D′ và S . ABCD .
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
16
4
2
8
Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ số
V
thể tích MIJK .
VMNPQ

A.

A.

1
.
3

B.

1
.
6

1
.
8

D.

C. a 3 3 .

D.

C.

1
.
4

  = 60°
Câu 93. Cho hình chóp S . ABC có SA = a ; SB = 3a 2 ; SC = 2a 3 , ASB= BSC= CSA
. Trên
S
các cạnh SB ; SC lấy các điểm B′ , C ′ sao cho =
SA SB
=' SC
=' a . Thể tích khối chóp . ABC
là:
A. 2a 3 3 .

/>
B. 3a 3 3 .

a3 3
.
3


Câu 94. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD )
SM
và SA = a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k , 0 < k < 1 . Khi đó giá trị của k để mặt phẳng
SA
( BMC ) chia khối chóp S . ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là

−1 + 5
−1 + 5
−1 + 2
1+ 5

.
B. k =
.
C. k =
.
D. k =
.
2
4
2
4
Câu 95. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a ; SA vuông góc mặt phẳng
( ABC ) , Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 30° . Gọi M là trung điểm của
SC , thể tích khối chóp S . ABM là.
A. k =

a3 2
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
18
6
18

36
Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối
tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
2
4
8
Câu 97. Cho hình chóp tam giác S . ABC có thể tích bằng 8 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CA . Thể tích của khối chóp S .MNP bằng:
A. 6 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
V
Câu 98. Cho khối chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tỉ số thể tích S . ABC bằng:
VS . AGC
3
1
2
A.
B. 3
C.

D.
3
3
2



Câu 99. Cho hình chóp tam giác S . ABC có ASB= CSB= 60° , ASC= 90° , SA
= SB
= 1 , SC = 3 . Gọi M là
1
điểm trên cạnh SC sao cho SM = SC . Tính thể tích V của khối chóp S . ABM .
3
3
2
2
6
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
36
4
12
36
1

Câu 100. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A′ trên cạnh SA sao cho SA′ = SA
3
. Mặt phẳng qua A′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại
B′, C ′, D′ . Khi đó thể tích khối chóp S . A′B′C ′D′ bằng:
V
V
V
V
A.
.
B. .
C. .
D.
.
9
27
3
81
Câu 101. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm SC. Mặt phẳng ( P )

A.

qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và Q. Khi đó

VSAPMQ
VSABCD

bằng

2

2
1
4
B. .
C. .
D. .
.
9
3
2
9
Câu 102. Cho khối chóp S . ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C ′ sao cho

A.

1
1
1
SA′ = SA , SB′ = SB , SC ′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S . ABC
3
3
3
V′
và S . A′B′C ′ . Khi đó tỉ số
là
V

/>

1

1
1
1
.
B. .
C. .
D.
.
6
3
9
27
Câu 103. Cho hình chóp S . ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho
SN = 3 NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC .
2
1
3
3
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k = .
3
4
5
8
Câu 104.Cho khối chóp S . ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC ,
CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp S .MNP .
A.

3
9
.
C. V = .
D. V = 4 .
2
2
Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng
qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) tại

A. V = 3 .

B. V =

N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là:
V
V
V
V
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
54
27
16

Câu 106. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm
V
của SA và SB . Tỉ số thể tích S .CDMN là
VS .CDAB

A.

3
5
1
1
.
B. .
C. .
D. .
2
4
8
8
Câu 107. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
A.

các cạnh SA , SD . Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt

SQ
=x
SB
1
, V1 là thể tích của khối chóp S .MNQP , V là thể tích của khối chóp S . ABCD . Tìm x để V1 = V
2

.

A. x =

1
.
2

B. x =

−1 + 41
.
4

C. x =

−1 + 33
.
4

Câu 108. Cho hình chóp SABC . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm SB  ; SC . Khi đó

D. x = 2 .

VSABC
là bao nhiêu?
VSAMN

1
1

1
.
B. .
C.
.
D. 4 .
4
16
8

 

Câu 109. Cho khối chóp S . ABC có M ∈ SA , N ∈ SB sao cho MA = −2 MS , NS = −2 NB . Mặt phẳng (α )
qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể
tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ).
A.

4
4
3
3
.
B. .
C. .
D. .
5
4
5
9
Câu 110. Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA

= SB
= SC
= a . Gọi B′ , C ′ lần
lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp S . AB′C ′ .
a3
a3
a3
a3
A. V =
.
B. V = .
C. V = .
D. V = .
12
48
6
24
Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp
M . ABC bằng bao nhiêu?

A.

3a 3
A. V =
.
24

/>
B. V =

a3
.
2

2a 3
C. V =
.
12

2a 3
D. V =
.
24


Câu 112. Cho khối chóp tam giác S . ABC có thể tích bằng 6. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , CA, AB. Thể tích V của khối chóp S .MNP là
3
9
A. V = 3 .
B. V = .
C. V = 4 .
D. V = .
2
2
Câu 113. Cho khối chóp S . ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C ′ sao cho
1
1
1
SA′ = SA , SB′ = SB , SC ′ = SC . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S . ABC

3
3
3
V′
và S . A′B′C ′ . Khi đó tỉ số
là
V
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D.
.
6
9
3
27
Câu 114. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE = 2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .
2
1
1
1
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = .

3
12
3
6
Câu 115. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của
SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích của
V
khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ?
V
3
1
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
8
8
3
3
Câu 116. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng ( MNI ) chia khối chóp S . ABCD
7
IA
lần phần còn lại. Tính tỉ số k = ?
13
IS
2
1

1
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
3
Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD
, ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng
4V
4V
V
V
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
27
9
9
27
Câu 118. Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 2a và AD = 4a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện




= CAD
= DAB
= 60°.
ABCD biết BAC

thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng

B. V = 6 2 a 3 .
C. V = 6 3 a 3 .
D. V = 2 2 a 3 .
A. V = 2 3 a 3 .
Câu 119. Cho khối chóp S . ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy
điểm E sao cho SE = 2 EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .
1
1
1
2
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = .
6
12
3
3
Câu 120. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A′ là điểm trên cạnh SA sao cho

SA′ 3
= . Mặt phẳng ( P ) đi qua A′ và song song với ( ABCD ) cắt SB , SC , SD lần lượt tại

SA 4
B′ , C ′ , D′ . Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là:

A.

37
.
98

/>
B.

27
.
37

C.

4
.
19

D.

27
.
87


Câu 121. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là

trọng tâm tam giác SBD . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB, SC , SD
lần lượt tại B′, C ′, D′ . Khi đó thể tích khối chóp S . AB′C ′D′ bằng:

V
V
V
.
C. .
D.
.
27
18
3
Câu 122. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh
A′B′ và BC . Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích của phần
V1
.
chứa đỉnh A, V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số
V2
55
37
1
2
A.
.
B.
.
C. .
D. .
89

3
48
2
A.

V
.
9

B.

ABCD có M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC , CD sao cho
, NB 2 NC
, PC 2 PD . Mặt phẳng ( MNP ) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số
=
MA MB
=
=
thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng?

Câu 123. Cho tứ diện

19
26
13
25
B.
C.
D.
45

25
43
26
′
S
.
ABCD
C
SA
SB
Câu 124. Cho hình chóp
. Gọi A′ , B′ ,
, D′ lần lượt là trung điểm của
,
, SC , SD . Khi
đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S . A′B′C ′D′ và S . ABCD là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C.
.
D. .
4
16
8
2
Câu 125. Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a . Gọi M

, N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA . Tính thể tích khối tứ diện
MNPQ theo a .

A.

2a 3
2a 3
a3
a3
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
27
27
9
Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1 . Xét điểm M trên cạnh DC mà 4 DM = DC. Thể tích tứ diện
ABMD bằng.
2
2
3
3
A. V =
.
B. V =
.

C. V =
.
D. V =
.
12
8
48
12
Câu 127. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2 BC . Kết luận nào
sau đây đúng?
A. VS . ABCD = 2VS . ABC .
B. VS . ABCD = 4VS . ABC .
C. VS . ABCD = 6VS . ABC .
D.
A.

VS . ABCD = 3VS . ABC .
Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi
M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp
S . ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
7
7
1
1
.
B. .
C. .
D. .
7
3

5
5
Câu 129. Cho khối chóp S . ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SB; thể tích khối chóp
S .MNC bằng a 3 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng.
A. a 3 .
B. 12a 3 .
C. 8a 3 .
D. 4a 3 .
Câu 130. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của
V
SA và SB . Tính tỉ số thể tích S .CDMN là:
VS .CDAB

A.

/>

A.

1
.
2

/>
B.

1
.
4

C.

5
.
8

D.

3
.
8


TỈ SỐ THỂ TÍCH
B. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD

= 120° . SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc
cân tại C và BCD
với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S . AMNP .
2a 3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.

.
A.
21
42
12
14
Hướng dẫn giải
Chọn B
S

N

M
K
P
B
O

A

C

I
D

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì AI =
=
OI

a 3

;
2

a 3
1
.
=
AI
3
6

1
a
a 3
= 60° =
Tam giác ICD vuông I có ICD
, ID =
và IC ID.cot
.
BD
=
=
60°
2
2
6
2a 3
⇒ O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD ⇒ AC = AI + IC =
.
3

 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC
Khi đó 
 BD ⊥ SA
Mà SC ⊥ ( P ) nên BD // ( P )
MP
( P ) ∩ ( SBD ) =
Do đó 
⇒ MP // BD
BD
( SBD ) ∩ ( ABCD ) =
 BD ⊥ ( SAC )
Lại có 
⇒ BD ⊥ AN ⇒ AN ⊥ MP
⊂
AN
SAC
(
)

SN SA2
SN
SA2
3
=
=
=2 ⇒
2
2
SC SC

SC SA + AC
7
a 3
2
Tam giác ABC có SD = a 2 ; BC = IC 2 + IB 2 =
và AC
=
AB 2 + BC 2
3
⇒ tam giác ABC vuông tại B ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ; AM ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM

Tam giác SAC vuông tại A có SN .SC = SA2 ⇒

/>

Lại có tam giác SAB vuông nên AM ⊥ SB ⇒ M là trung điểm SB ⇒

SM 1
=
SB 2

SP SM 1
Mà MP // BD nên = =
SD SB 2
Mặt khác
a2 3 1
a2 3
a3 3
0
S=

S
+
S
.
Suy
ra
.
=
+
CB
CD
=
.
.sin120
=
V
V
=
ABCD
∆ABC
∆BCD
S . ABCD
4
2
3
9
3
3
V
SM SN 3 1 3

Khi đó S . AMN =
⇒ VS . ANP =
V . Do đó VS . ANM = V .
.
.= =
28
28
VS . ABC
SB SC 7 2 14
Vậy
Câu 2.

VS . AMNP
a3 3
3
.
⇒ VS . AMNP =
=
42
VS . ABCD 14

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD Mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc SC cắt SC , SB, SD
lần lượt tại B′, C ′, D′ . Biết rằng 3SB′ = 2 SB . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp

V1
là
V2
V 1
B. 1 = .
V2 3

S . A′B′C ′D′ và S . ABCD . Tỉ số
A.

V1 4
= .
V2 9

Chọn B

Ta có

C.

V1 2
= .
V2 3

Hướng dẫn giải

SB ' 2
SD ' 2
SC '
=⇒
=, bây giờ cần tìm
SB 3
SD 3
SC

Tọa độ hóa với Ox ≡ OC , Oy ≡ OB, OS ≡ Oz và đặc biệt hóa cho OA = 1

 A ( −1;0;0 )
⇒

C (1;0;0 ) , S ( 0;0; a ) ⇒ SC = (1;0; −a )
⇒ ( P ) : ( x + 1) − az = 0 ⇔ x − az + 1 = 0 .

x = 0


Ta có B ( 0;1;0 ) ⇒ SB =( 0;1; − a ) ⇒ SB :  y =1 + t ( t ∈  ) .
 z = − at

1 1

Cho giao với ( P ) ⇒ a 2t + 1 = 0 ⇒ B '  0;1 − 2 ;  .
a a


/>
D.

V1 2
= .
V2 9


3

3− 2 =

2

1 1
 a


Ta có 3  0;1 − 2 ; − a  = 2 ( 0;1; − a ) ⇒ 
⇒ a=
3
a a


 − 3a =
−2a
 a

(

)


 S 0;0; 3
3⇒
( P ) : x − z 3 + 1 =
0

Cho SC giao với

VS . AB ' C '
V =

1
SC ' 1
3
 S . ABC
=⇒ 
( P ) ⇒ C '  ;0;  ⇒
SC 2 VS . AC ' D '
2 
2
=
 VS . ACD

2 1 1
=
.
3 2 3

1
⇒ VS . AB ' C ' D ' =VS . ABCD .
1 2 1
3
=
.
2 3 3

= 60° và SA = 2 ; SB = 3 ; SC = 7 . Tính thể tích V
ASB = 
ASC= BSC
Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có 
của khối chóp.

7 2
7 2
A. V = 4 2 .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = 7 2 .
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
S

C'
3

7

2

C

A
B'

B

Lấy hai điểm B′ , A′ lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho SB′ = 2 , SC ′ = 2 .
Ta có hình chóp S . AB′C ′ là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 .

23 2 2 2
.
⇒ VS . AB′C ′ ==
12
3
4
V
SA SB′ SC ′ 2 2
Ta lại có: S . AB′C ′ =
= . = .
.
.
VS . ABC SA SB SC 3 7 21

21VS . AB′C ′ 21.2 2 7 2
.
⇒ VS . ABC =
=
=
4
2
3.4
Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( P )
V
chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B′ và D′ . Tỷ số S . AB ' MD ' là
VS . ABCD
3
2
1
1

A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
6
3
Hướng dẫn giải
Chọn D
/>

Gọi O là tâm hình bình hành đáy.
I AO ∩ SO .
=
Đường thẳng qua I và song song BD cắt SB, SD tại B′, D′ .
=
VSAB′M + VSAMD′ .
Ta có VSAB
′MD ′
1
VSAB′M SB′ SM 2 1 1
nên VSAB′M = VSABCD .
.= =
.
=
VSABC
SB SC 3 2 3
6
1

1
V
1
Tương tự SAMD′ = nên VSAMD′ = VSABCD do đó VSAB′MD′ = VSABCD .
VSACD 3
6
3
S

D'

M
B'

I
A

B

D
O
C

.

Câu 5.Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối
chóp N . ABCD là
A.

V

.
3

Chọn C

B.

V
.
6

V
.
4
Hướng dẫn giải
C.

D.

V
.
2

1
Đặt B = S ABCD , d ( S ; ( ABCD ) ) = h . Suy ra V = Bh .
3
1
Vì M là trung điểm của SA nên d ( M ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) ,
2
1

Lại vì N là trung điểm của MC nên d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( M ; ( ABCD ) ) . Suy ra
2
1
1
=
d ( N ; ( ABCD ) ) =
d ( S ; ( ABCD ) )
h . Từ đó ta có
4
4
1
1 1
V
.
V=
d ( N ; ( ABCD
=
. Bh
) ) .B =
N . ABCD
3
4 3
4
Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có thể tích bằng 1 . Tính thể tích V của khối chóp
A′. AB′C ′ .

/>

B. V =

A. V = 3 .

1
.
2

C. V =
Hướng dẫn giải

ChọnD

1
.
4

D. V =

1
.
3

1
1
1
⋅VABC . A′B′C′ =
VA. A′B′C′ =
d ( A; ( A′B′C ′ ) ) ⋅ S ∆A′B′C′ =
Ta có: VA′. AB′C′ =
.
3

3
3
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và
luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC
3
bằng . Biết rằng mặt phẳng ( ABC ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt
2
cầu đó bằng
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D
z
C

O

B

y

A

x
S ABC
S ABC
3
Ta có

=
=
VOABC 1 S .d O, ABC
( ( ) ) d ( O, ( ABC ) )
ABC
3
S
3
Mà ABC = nên d ( O, ( ABC ) ) = 2 .
VOABC 2

Vậy mặt phẳng ( ABC ) luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = 2 .

Câu 8.Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có thể tích bằng 12 3a 3 . Thể tích khối chóp A′. ABC là.
A. V = 4 3a .
2

B. V = 2 3a .
3

C. V = 4 3a .

Hướng dẫn giải

3

3a 3
D. V =
.
4

Chọn C
′ 12 3a 3 .
Ta có V=
S=
ABC . A′B′C ′
ABC . AA
1
1
.12 3a 3 4 3a 3 .
=
VA '. ABC
=
S ABC . AA′ =
3
3
Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD )
cùng vuông góc với đáy, biết SC = a 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh
SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp.
a3
a3
a3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
4
8
12
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
/>

Gọi =
F PQ ∩ AC . Dễ thấy AF ⊥ PQ .

EF ( EF // SC ; F ∈ SA ) .
Mặt khác do ( MNPQ ) // SC nên ( SAC ) ∩ ( MNPQ ) =
Dựng AH ⊥ EF . Do PQ ⊥ ( SAC ) nên PQ ⊥ AH .

d ( A; ( MNPQ ) ) .
Suy ra AH ⊥ ( MNPQ ) ⇒ AH =
Ta có:=
AE

3
3
3a
3
3a 2
; AF = AS=
SC 2 − AC 2=
=
AC

4
4
4
4
4

AF 2 . AE 2
a 6
=
Suy ra: AH =
.
2
2
AE + AF
4
Mặt khác do BD ⊥ SC nên PQ ⊥ QM suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
1
a2 6
=
BD.SC
4
4
3
1
a
Vậy VA.MNPQ = AH .S MNPQ = .
3
8
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp
S . ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S . A′B′C .

A. V = 3
B. V = 12
C. V = 8
D. V = 6
Hướng dẫn giải
Chọn D
S MNPQ = MQ
.QP
=

S

B'

A'

B

A
C

VS . A′B′C SA′ SB′ SC 1 1 1
= . =
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC 2 2 4
1
1

Vậy VS . A′B′C = .VS . ABC = .24 = 6 .
4
4

Ta có

/>

Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh
V′
.
của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
V′ 5
V′ 1
V′ 1
V′ 2
A.
B.
C.
D.
= .
= .
= .
= .
V 2
V 8
V 4
V 3
Hướng dẫn giải

Chọn C
A

E

F
G
J

B

D
H

I
C

Gọi khối tứ diện đã cho là ABCD .
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của AD , AB , AC , BC , CD , BD .
Khi đó ta có: V= V ′ + 4.VA.FEG .
1
Mặt khác VA. FEG = V .
8
1
V′ 1
Suy ra V =V ′ + V ⇒ = .
2
V 2
Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp
với đáy một góc 45° . H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt

SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S . AHIK là:
A. V =

a3
.
6

Chọn C

/>
B. V =

a3
.
12

C. V =
Hướng dẫn giải

a3
.
18

D. V =

a3
.
36

= 45° ⇒ SA= AB= a .
Ta có SBA

 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH .
 BC ⊥ AB

Lại có 

Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ AH .
Tương tự SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI .

SA2 SI
a2
1
SI 1
= = 2 =⇒
=.
Ta có
2
AC
IC 2a
2
SC 3
V
SA SH SI
1 1
1
Tỉ số S . AHI =

= 1. . ⇒ VS . AHI = VS . ABCD .
.
.
VS . ABC SA SB SC
2 3
12
V
SA SI SK
1 1
1
Tỉ số S . AIK =
.
.
= 1. . ⇒ VS . AIK = VS . ABCD .
VS . ACD SA SC SD
3 2
12
⇒ VS . AHIK = VS . AHI + VS . AIK

a3
1
1 1
2
= VS . ABCD = . .a.a = .
6
6 3
18

Câu 13. Cho khối chóp S . ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S .MAB là 2a 3 .
Thể tích khối chóp S . ABC bằng.

1
a3 .
3
3
C.
A. 2a .
B. 4a .
D. a 3 .
2
4
Hướng dẫn giải
Chọn B
V
=
2=
VSMAB 4a 3 .
S . ABC
Câu 14. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh
MB, SN NC . Mặt phẳng ( AMN ) cắt
cho SM 3=
SB , SC lần lượt lấy các điểm M , N sao =
P

P

P

P

cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp S .MNP theo V .

7V
V
9V
V
A. .
B. .
C.
.
D.
.
8
4
80
40
Hướng dẫn giải
Chọn C
E MN ∩ BC . Trong mp ( ABCD ) gọi =
Trong mp ( SBC ) gọi=
F AE ∩ BD .

P FM ∩ SD . Khi
=
Trong mp ( SBD ) gọi=
đó P

( AMN ) ∩ SD .

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC ta có:
Lại có: EB  AD ⇒

EB 1
EB NC MS
.
.
.
=1 ⇒
=
EC NS MB
EC 3

FB EB EB 1
=
=
= .
FD AD BC 2

PD 2
SP 3
PD MS FB
.
=
⇒
=
.
.
=1 ⇒
PS 3
SD 5
PS MB FD
V

V
9V
SM SN SP 3 1 3 9
Khi đó: SMNP = SMNP =
.
⇒ VSMNP =
= ⋅ ⋅ =
⋅
⋅
1
VSBCD
80
SB SC SD 4 2 5 40
⋅V
2
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể
tích V của khối chóp A.MCD .
A. V  4 .
B. V  6 .
C. V  3 .
D. V  5 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBD ta có:

/>

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích
của khối chóp N . ABCD là
V

V
V
V
B. .
C. .
D. .
A. .
6
4
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
S

M

A

N

D

O

B

C

1

Đặt B = S ABCD , d ( S ; ( ABCD ) ) = h . Suy ra V = Bh .
3
1
Vì M là trung điểm của SA nên d ( M ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) ,
2
1
Lại vì N là trung điểm của MC nên d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( M ; ( ABCD ) ) . Suy ra
2
1
1
=
d ( N ; ( ABCD ) ) =
d ( S ; ( ABCD ) )
h . Từ đó ta có
4
4
1
1 1
V
.
V=
d ( N ; ( ABCD
=
. Bh
) ) .B =
N . ABCD
3
4 3
4
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có DA = 1 , DA ⊥ ( ABC ) . ∆ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba

DM 1 DN 1 DP 3
,
=
,
cạnh DA , DB , DC lấy điểm M , N , P mà = =
. Thể tích V của tứ
DA 2 DB 3 DC 4
diện MNPD bằng
3
3
2
2
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
96
12
96
12
Hướng dẫn giải
Chọn C
1 3
3
.

=
VABCD =
.
.1
3 4
12
VDMNP DM DN DP 1 1 3 1
.
=
. =
.
=
. .
VDABC
DA DB DC 2 3 4 8
1 3
3
.
⇒ VDMNP = .
=
8 12 96

1
Câu 18. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A′ sao cho SA′ =   SA .
3
Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD  lần lượt
tại B ' , C ′ , D′ . Tính thể tích khối chóp S . A′B′C ′D′ .

/>