Trắc nghiệm hình giải tích Oxy chính thức và dự bị qua các kỳ thi của BGD (2002 – 2016)

FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

TRẮC NGHIỆM HÌNH GIẢI TÍCH OXY ĐỀ
CHÍNH THỨC VÀ DỰ BN QUA CÁC KỲ THI HỌC
CỦA BGD TỪ 2002 ĐẾN 2016

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

1


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Email:
Cõu 1.

Trong mt phng vi h ta vuụng gúc Oxy cho hỡnh thoi ABCD cú BAD = 600 , D ( a; b )
vi b > a > 0 . Trờn cỏc cnh AB, BC ly cỏc im M , N sao cho MB + NB = AB . Bit

P ( 3;1) thuc ng thng DN v ng phõn giỏc ca gúc MDN cú phng trỡnh l
d : x - y 3 + 6 = 0. Tớnh giỏ tr ca biu thc T = 3a - b ?
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
Li gii
Tỏc gi: Phm Chớ Tuõn Facebook. Tuõn Chớ Phm

D. 9 .

Chn C
D

P
Q
C

A
N
M
B

Cỏch 1: T bi ta cú cỏc tam giỏc ABD, CBD l cỏc tam giỏc u, AM = BN v
BM = CN .
Xột DADM v DBDN cú: DAM = DBN , AD = BD v AM = BN nờn DADM = DBDN

ị ADM = BDN (1) .
Xột DBMD v DCND cú: DBM = DCN , CD = BD v CN = BM nờn DBMD = DCND

ị NDC = MDB ( 2)
T (1) v ( 2) ta cú MDN = 600 .

Cỏch 2: Xột Q D ,600 ta cú: A đ B; B đ C nờn M đ N . Do ú tam giỏc DMN u.

(

)

Gi Q l im i xng ca P qua ng phõn giỏc ca gúc MDN .
Khi ú ta cú: DP = PQ = 2d ( P, d ) = 2.

3- 3+6

1+

( 3)

2

=6
2

ột = 3 + 3
2
ổt +6- 3 ử
ổ t +6ử
2
Gi D ỗ t ;
.
Ta
cú:
ẻ
d
DP
=
t
3
+
=
36
ị
.
ờ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
3 ứ
3 ữứ
ố
ờởt = -6 + 3
ố

(

)

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

2


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

(

)

(

)

Vy D 3 + 3;1 + 3 3 hoc D -6 + 3;1 . Theo gi thuyt ta nhn

ỡùa = 3 + 3
D 3 + 3;1 + 3 3 ị ớ
ùợb = 1 + 3 3
Ta cú giỏ tr ca biu thc T = 3a - b = 8 .
Email:

(

Cõu 2.

)

Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cõn ti B vi A (1; - 1) , C ( 3;5) . nh
B nm trờn ng thng d : 2 x - y = 0 . Phng trỡnh cỏc ng thng AB, BC ln lt l

d1 : ax + by - 24 = 0 , d 2 : cx + dy + 8 = 0 . Tớnh giỏ tr biu thc P = a.b.c.d .
A. P = 975 .

B. P = 5681 .

C. P = 3059 .

D. P = 5083 .

Li gii
H v tờn tỏc gi: Nguyn Vn Thnh Tờn FB: Thnh Nguyn Vn
Chn B

Cỏch 1:

Gi I l trung im AC ị I ( 2;2 ) .
ng thng D i qua I v vuụng gúc vi AC cú phng trỡnh: x + 3 y - 8 = 0 ( D ) .

ổ 8 16 ử
Tam giỏc ABC cõn ti B nờn ta cú B ẻ D ị B = D ầ d ị B ỗ ; ữ .
ố7 7 ứ
Phng trỡnh ng thng AB :

Phng trỡnh ng thng BC :

x -1 y + 1
=
23x - y - 24 = 0 .
8
16
-1
+1
7
7
x -3
y -5
=
19 x - 13 y + 8 = 0 .
8
16
-3
-5
7
7

Vy a = 23, b = -1, c = 19, d = -13 ị P = a.b.c.d = 5681.
Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

3


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Cỏch 2:
Gi B ( a;2a ) ẻ d .
Tam giỏc ABC cõn ti B nờn ta cú AB = CB ị ( a -1) + ( 2a + 1) = ( a - 3) + ( 2a - 5)
2

a=

2

2

2

8
ổ 8 16 ử
. Suy ra B ỗ ; ữ .
7
ố7 7 ứ

Phng trỡnh ng thng AB :

Phng trỡnh ng thng BC :

x -1 y + 1
=
23x - y - 24 = 0 .
8
16
-1
+1
7
7
x -3
y -5
=
19 x - 13 y + 8 = 0 .
8
16
-3
-5
7
7

Vy a = 23, b = -1, c = 19, d = -13 ị P = a.b.c.d = 5681.
Email:
Cõu 3.

Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cõn ti B vi A (1; - 1) , C ( 3;5) . nh
B nm trờn ng thng d : 2 x - y = 0 . Phng trỡnh cỏc ng thng AB, BC ln lt l

d1 : ax + by - 24 = 0 , d 2 : cx + dy + 8 = 0 . Tớnh giỏ tr biu thc P = a.b.c.d .
A. P = 975 .

B. P = 5681 .
C. P = 3059 .
D. P = 5083 .
Li gii
H v tờn tỏc gi: Nguyn Vn Thnh Tờn FB: Thnh Nguyn Vn
Chn B

Cỏch 1:
Gi I l trung im AC ị I ( 2;2 ) .
ng thng D i qua I v vuụng gúc vi AC cú phng trỡnh: x + 3 y - 8 = 0 ( D ) .
Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

4


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

ổ 8 16 ử
Tam giỏc ABC cõn ti B nờn ta cú B ẻ D ị B = D ầ d ị B ỗ ; ữ .
ố7 7 ứ
Phng trỡnh ng thng AB :

Phng trỡnh ng thng BC :

x -1 y + 1
=
23x - y - 24 = 0 .
8
16
-1

+1
7
7
x -3
y -5
=
19 x - 13 y + 8 = 0 .
8
16
-3
-5
7
7

Vy a = 23, b = -1, c = 19, d = -13 ị P = a.b.c.d = 5681.
Cỏch 2:
Gi B ( a;2a ) ẻ d .
Tam giỏc ABC cõn ti B nờn ta cú AB = CB ị ( a -1) + ( 2a + 1) = ( a - 3) + ( 2a - 5)
2

a=

2

2

2

8
ổ 8 16 ử

. Suy ra B ỗ ; ữ .
7
ố7 7 ứ

Phng trỡnh ng thng AB :

Phng trỡnh ng thng BC :

x -1 y + 1
=
23x - y - 24 = 0 .
8
16
-1
+1
7
7
x -3
y -5
=
19 x - 13 y + 8 = 0 .
8
16
-3
-5
7
7

Vy a = 23, b = -1, c = 19, d = -13 ị P = a.b.c.d = 5681.
Cõu 4.

( H Khi A nm 2010, Tõn c Trong mt phng to Oxy , cho tam giỏc ABC cõn ti
A bit nh A ( 6;6 ) . ng thng d i qua trung im cỏc cnh AB, AC cú phng trỡnh

x + y - 4 = 0 . Bit im E (1; - 3) thuc ng cao i qua nh C ca tam giỏc ABC . Gi s

C ( xC ; yC ) v xC > 0 . Khng nh no sau õy ỳng?
A. xC3 + yC = 2 .

B. yC2 - 2 xC = 2 .

C. OC = 10 .

D. 3 xC2 + 2 yC > 0 .

Li gii
Chn A

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

5


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

AH ^ d Þ phương trình đường thẳng AH : x - y = 0 .
Gọi H , D lần lượt là trung điểm của BC , AH . Toạ độ D là nghiệm của hệ:

ìx + y - 4 = 0
Û x = y = 2 . Vậy D ( 2;2) Þ H ( -2; -2) .

í
îx - y = 0

BC / / d Þ BC có phương trình: x + y + 4 = 0 .
C Î BC Þ C ( t; - t - 4) với t > 0 . Do H là trung điểm BC nên suy ra B ( -t - 4; t ) .

!!!" !!!"

Ta có AB.CE = 0 Û t 2 + 2t - 8 = 0 Þ t = 2 (do t > 0 ).
Vậy C ( 2; - 6 ) . Ta chọn
Câu 5.

A.

(ĐỀ KHỐI A -2004) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0; 2) và B(- 3; -1). Tìm tọa độ
trực tâm H và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác OAB. Phương trình đường thẳng
HI là:
A. x - 3 y = 0

B.

3x - y = 0

C. x + 3 y = 0
Lời giải

D.

3x + y = 0

GV: Nguyễn Thị Mai; facebook: mainguyen

!!"

+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA( 3;3) có phương trình

3x + 3 y = 0 .

!!"

Đường thẳng qua B, vuông góc với OA(0;2) có phương trình y = -1.
Giải hệ phương trình trên ta được trực tâm H

(

)

3; -1

+ Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1.
Đường trung trực cạnh OB có phương trình

(-

3x + y + 2 = 0 .

Giải hệ phương trình trên ta được tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác OAB là I

)

3;1

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

6


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

!!"

+ HI (-2 3;2)

!

VTPT đường thẳng HI là n = (1; 3)
Phương trình đường thẳng HI là x + 3 y = 0 .
Câu 6.

Cho hình chữ nhật ABCD , với I ( 6;2 ) là giao điểm của hai đường chéo. M thuộc đoạn thẳng
AB với M (1;5) . Trung điểm E của đường thẳng CD nằm trên đường thẳng x + y - 5 = 0 .

Phương trình dường thẳng AB là:
A. y - 5 = 0 và x + 4y - 21 = 0
C. x + y - 6 = 0 và x - 4y + 19 = 0

B. x + 4y - 21 = 0
D. x - 4y + 19 = 0 và y - 5 = 0
Lời giải
fb: Trang Nguyen

Lấy M’ đối xứng qua I Þ M ' Î CD
I là trung điểm MM’ nên M’ (11; -1)
Theo giả thiết E là trung điểm CD Þ IE ^ CD . Tam giác IEM’ vuông
Gọi E Î D : x + y - 5 = 0 : E (a;5 - a)

!!" !!!!"

Ta có IE.M 'E = 0
!!"
IE = ( a - 6;3 - a )
Với !!!!!"
M ' E = ( a - 11;6 - a )

!!" !!!!"
éa = 6
IE.M 'E = 0 Û ê
ëa = 7
A

M

B

I

D

E

M'

C

!!"
Phương trình AB qua A nhận IE làm vtpt
!!"
Th1 a=6 Þ IE = (0;1) : phương trình AB: y-1=0
!!"
Th1 a=7 Þ IE = (1; -4) : phương trình AB: x-4y+19=0
Đáp án D
Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

7


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Chỳ ý: n on tỡm vec t phỏp tuyn ca AB l cú th chn ỏp ỏn.
Cõu 7.

ổ1 ử
(B 2002) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm I ỗ ;0 ữ ,
ố2 ứ
phng trỡnh ng thng AB l x - 2 y + 2 = 0 v AB = 2 AD . Tỡm ta cỏc nh A, B, C, D
bit im A cú honh õm.
Li gii

A

H

B

I
D

C

Khong cỏch t I n ng thng AB l IH = d ( I ; AB ) =

5
2

5
2

ị AD = 5 v IA = IB = .
ổ 5ử
Suy ra A, B l cỏc giao im ca ng thng AB vi ng trũn ỗ I ; ữ . Do ú, ta cỏc
ố 2ứ
ộ ỡ x = -2
ỡx - 2y + 2 = 0
ờớ
ù
ờợ y = 0
2
im A, B l nghim ca h phng trỡnh: ớổ

1ử

25
2
ờỡ x = 2
ùỗ x - ữ + y =
ờ
2
4
ớ
ố
ứ
ợ
ờở ợ y = 2
Ycbt ị A ( -2;0 ) , B ( 2;2 )
Vỡ I l trung im ca AC ị C ( 3;0 )

!!!" !!!"

V AB = DC ị D ( -1; -2 ) .
Email:
Cõu 8.

(B - 2003) Trong mt phng vi h ta Oxy cho DABC cú AB = AC , BAC = 90o . Bit
ổ2 ử
M (1, -1) l trung im cnh BC v G ỗ , 0 ữ l trng tõm DABC . Khi ú, A ( xA , yA ) ,
ố3 ứ

B ( xB , yB ) ,( xB < 0) . Tớnh T = 2019 x A2 + y A + 2 xB - 3 yB

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Li gii
Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

8


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

H v tờn tỏc gi: Minh ng Tờn FB: Johnson Do
Chn B

!!!" ổ 2
ử !!!!"
Ta cú: AG = ỗ - xA , - y A ữ ; AM = (1 - x A , -1 - y A )
ố3
ứ
2
ỡ2
- xA = (1 - xA )
!!!" 2 !!!!"
ù
3
3
+G l trng tõm DABC v AM l trung tuyn suy ra: AG = AM ù

ớ
3
ù- y = 2 ( -1 - y )
A
A
ù
3
ợ
!!!!"
ỡ xA = 0
ớ
ị A ( 0, 2 ) ị AM = (1, -3) ị AM = 10 .
ợ yA = 2

+ DABC vuụng ti A nờn DABC ni tip ng trũn (C) tõm M, bỏn kớnh AM.

ị ( C ) : ( x - 1) + ( y + 1) = 10
2

2

+ BC qua M v vuụng gúc AM ị ( BC ) : x - 1 - 3 ( y + 1) = 0 x = 3 y + 4

ỡù( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 10
+ Ta cú: ( C ) ầ ( BC ) = {B, C} . Suy ra ta B, C l nghim h: ớ
ùợ x = 3 y + 4

ộỡ x = 4
ờớ
ùỡ( 3 y + 3) + ( y + 1) = 10

ùỡ( y + 1) = 1 ờ ợ y = 0
ớ
ớ

ị B ( -2, -2 ) ( vỡ xB < 0 )
ờ
2
x
=
ỡ
3
4
3
4
x
y
x
y
=
+
=
+
ợù
ợù
ờớ
ờở ợ y = -2
2

2

2

Vy T = 2019 x A2 + y A + 2 xB - 3 yB = 4

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

9


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Cõu 9.

(B-2013-1) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai ng chộo
vuụng gúc vi nhau v AD = 3BC. ng thng BD cú phng trỡnh x + 2 y 6 = 0 v tam
giỏc ABD cú trc tõm l H ( -3;2). Tỡm ta cỏc nh C v D.
A. C ( -1;6 ) , D ( 4;1) v C ( -1;6) , D ( -8;7 ) .

B. C (1;6) , D ( -4;1) v C (1;6) , D ( -8;7 ) .

C. C (1;6) , D ( -4;1) v C (1;6 ) ,D (8;7 ).

D. C ( -1;6) , D ( 4; -1) v C ( -1;6) ,D (8; -7 ).
Li gii
Tỏc gi: Nguyn c Tun - Facebook: i Hc

Gi I l giao im ca AC v BD ị IB = IC.
M IB ^ IC nờn DIBC vuụng cõn ti I ị ICB = 450.

BH ^ AD ị BH ^ BC ị DHBC vuụng cõn ti B ị I l trung im ca on thng HC.

Do CH ^ BD v trung im I ca CH thuc BD nờn ta im C tha món h

ỡ 2 ( x + 3) - ( y - 2 ) = 0
ỡ x = -1
ù
ớ
ị C ( -1;6 ) .
ớx -3 ổ y + 2ử
ù 2 + 2ỗ 2 ữ - 6 = 0 ợ y = 6
ố
ứ
ợ
Ta cú:

CH 10
IC IB BC 1
= 5 2.
=
=
= ị ID = 3IC ị CD = IC 2 + ID 2 = IC 10 =
2
ID ID AD 3

ột = 1
2
2
Ta cú: D ( 6 - 2t; t ) v CD = 5 2 suy ra ( 7 - 2t ) + ( t - 6 ) = 50 ờ
ởt = 7.
Do ú: D ( 4;1) hoc D ( -8;7 ).
Cõu 10. [A-2006] Trong mt phng vi h ta Oxy, cho cỏc ng thng ln lt cú phng trỡnh:

d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x - y - 4 = 0, d3 : x - 2y = 0 . Tỡm to im M nm trờn ng
thng d3 sao cho khong cỏch t M n ng thng d1 bng hai ln khong cỏch t M n
ng thng d2.
Li gii
Do M ẻ d 3 nờn M ( 2 y; y )

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

10


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Ta cú d ( M , d1 ) =

d ( M , d2 ) =

2y + y + 3
12 + 12

2y - y - 4
12 + ( -1)

2

=

d ( M , d1 ) = 2d ( M , d 2 )

=

3y + 3
2

y-4
2

3y + 3
2

=2

ộ3 y + 3 = 2 ( y - 4 ) ộ y = -11
ờ
ờ
2
ờở3 y + 3 = 2 ( 4 - y ) ở y = 1

y-4

Vi y = -11 ị M1 ( -22; -11)
Vi y = 1 ị M 2 ( 2;1)
Cõu 11. Trong mt phng ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A , cú nh C ( -4;1) , phõn giỏc
trong gúc A cú phng trỡnh x + y - 5 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng BC , bit din tớch
tam giỏc ABC bng 24 v nh A cú honh dng.
Trc nghim hoỏ:
Trong mt phng ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A , cú nh C ( -4;1) , phõn giỏc
trong gúc A cú phng trỡnh x + y - 5 = 0 . Bit din tớch tam giỏc ABC bng 24 v nh A cú
honh dng. Gi s B ( x0 ; y0 ) , tớnh giỏ tr biu thc T = x0 + y0 .
A. T = -1

B. T = 11

C. T = 5

D. T = -3

Li gii
H v tờn tỏc gi: Nguyn Hng Hnh Tờn FB: Nguyn Hng Hnh
Chn B

Gi D l im i xng ca C ( -4;1) qua d : x + y - 5 = 0 , suy ra to D ( x; y ) tho món:

ỡ( x + 4 ) - ( y - 1) = 0
ù
ị D ( 4;9 )
ớ x - 4 y +1
+
-5 = 0
ù
2
ợ 2
im A thuc ng trũn ng kớnh CD , nờn to A ( x; y ) tho món:
Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

11


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

ìï x + y - 5 = 0
2SABC
Þ A ( 4;1) (do x > 0 ) Þ AC = 8 Þ AB =
=6
í 2
2
AC
ïî x + ( y - 5 ) = 32
B thuộc đường thẳng AD : x = 4 , suy ra toạ độ B ( 4; y0 ) thoả mãn ( y0 -1) = 36 . Þ B ( 4;7 ) ;
2

B ( 4; - 5) .
!!!" !!!"
Do d là phân giác trong góc A nên AB , AD cùng hướng, suy ra B ( 4;7 ) . Vậy T = 11 .
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 0;2 ) và D là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên D . Viết phương trình đường thẳng D , biết khoảng cách từ H đến
trục hoành bằng AH .
Lời giải
Họ và tên: Vũ Ngọc Tân Tên FB: Vũ Ngọc Tân

Gọi H (a; b) , ta có: AH 2 = a 2 + (b - 2)2 và d ( H , Ox) = b .
Theo giả thiết thì d ( H , Ox) = AH Û d 2 ( H , Ox) = AH 2 Û a 2 + (b - 2)2 = b2

Û a 2 - 4b + 4 = 0 (1)
Phương trình đường tròn ( C ) có đường kính OA là: x 2 + ( y - 1)2 = 1 mà AHO = 900
nên H Î ( C )
Khi đó ta có: a2 + ( b -1) = 1 Û a2 + b2 - 2b = 0 (2)
2

2

ïìa - 4b + 4 = 0
Từ (1) & ( 2) ta được hệ phương trình: í
.
2
2
ïîa + b - 2b = 0

Giải hệ phương trình ta được: H (2

5 - 2; 5 -1) hoặc H (-2

5 - 2; 5 -1)

Vậy có hai đường thẳng D thỏa mãn là

D1 :

(

)

5 -1 x - 2

5 - 2 y = 0 hoặc D1 :

(

)

5 -1 x + 2

5 - 2y = 0

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

12


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

Email:
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A ( 0;2 ) và D là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên D . Tọa độ điểm H (a; b) và khoảng cách từ H đến trục hoành
bằng AH và a > 0. Tính T = a.
A. T = 5 - 2.

5 + 2 + b.

B. T = 5 + 1.

C. T = 5 - 1.

D. T = 5.

Lời giải
Họ và tên: Vũ Ngọc Tân Tên FB: Vũ Ngọc Tân
Chọn B

Gọi H (a; b) , ta có: AH 2 = a 2 + (b - 2)2 và d ( H , Ox) = b .
Theo giả thiết thì d ( H , Ox) = AH Û d 2 ( H , Ox) = AH 2 Û a 2 + (b - 2)2 = b2

Û a 2 - 4b + 4 = 0 (1)
Phương trình đường tròn ( C ) có đường kính OA là: x 2 + ( y - 1)2 = 1 mà AHO = 900
nên H Î ( C )
Khi đó ta có: a2 + ( b -1) = 1 Û a2 + b2 - 2b = 0 (2)
2

2
ïìa - 4b + 4 = 0
Từ (1) & ( 2) ta được hệ phương trình: í
.
2
2
ïîa + b - 2b = 0

Giải hệ phương trình ta được: H (2

5 - 2; 5 -1) hoặc H (-2

Vì a > 0 nên H (2

5 - 2; 5 -1) . Khi đó a = 2

Vậy T = 2

5 + 2 + 5 -1 = 5 + 1.

5 - 2.

5 - 2; 5 -1)

5 - 2; b = 5 -1

Họ tên: Trương Văn Quắng, Email:

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

13


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

ổ1 ử
Cõu 14. Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh B ỗ ;1ữ . ng trũn ni tip tam giỏc ABC
ố2 ứ

tip xỳc vi cỏc cnh BC , CA, AB tng ng ti cỏc im D, E , F . Cho D ( 3;1) v ng

thng EF cú phng trỡnh y - 3 = 0 . Tỡm ta nh A , bit A cú honh dng.
Li gii

!!!" ổ 5 ử
Ta cú BD = ỗ ;0 ữ ị BD / EF , suy ra tam giỏc ABC cõn ti A;
ố2 ứ
ị ng thng AD vuụng gúc vi EF, cú phng trỡnh l x - 3 = 0 .

ộ t = -1
25
ổ 1ử
F cú ta dng F ( t;3) , ta cú: BF = BD ỗ t - ữ + 22 =

.
ờ
4
ố 2ứ
ởt = 2
2

+ Vi t = -1 ị F ( -1;3) ; suy ra ng thng BF cú phng trỡnh : 4 x + 3 y - 5 = 0 .

ổ -7 ử
A l giao im ca AD v BF ị A ỗ 3; ữ (khụng tha món yờu cu (A cú tung dng).
ố 3 ứ
+ vi t = 2 ị F ( 2;3) ; Suy ra phng trỡnh BF : 4 x - 3 y + 1 = 0 .

ổ 13 ử
ị A ỗ 3; ữ , tha món yờu cu.
ố 3ứ
ổ 13 ử
Vy A ỗ 3; ữ .
ố 3ứ
Cõu 15. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cú chõn ng cao h t nh A l

ổ 17 1 ử
H ỗ ; - ữ , chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A l D ( 5;3) v trung im ca cnh AB l
ố 5 5ứ
M ( 0;1) . Tung ca im C l
A. 9 .

B. -9 .

C. 11 .
Li gii

D. -11 .

GV: Bựi Th Li, Email: , Facebook: LoiBui
Chn C

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

14


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

!!!" ổ 8 16 ử
Ta cú HD ỗ ; ữ l vộc t ch phng ca ng thng BC .
ố5 5 ứ

!
Do ú, ng thng BC i qua D v cú vộc t phỏp tuyn n ( 2; -1) nờn cú phng trỡnh l

2 ( x - 5 ) - ( y - 3) = 0 2 x - y - 7 = 0 .
B thuc ng thng BC nờn B ( b;2b - 7 ) ; M l trung im ca AB nờn A ( -b;9 - 2b ) .

Tam giỏc ABH vuụng ti H v cú M l trung im ca AB nờn MA = MB = MH
2

ổ 17 ử ổ 1 ử
MH = MB b + ( 2b - 8 ) = ỗ ữ + ỗ - - 1ữ

ố 5ứ ố 5 ứ
2

2

2

2

2

ộb = 3
5b - 32b + 51 = 0 ờ 17 .
ờb =
5
ở
2

b=

17
ổ 17 1 ử
ị B ỗ ; - ữ (loi vỡ B trựng vi H ).
5
ố 5 5ứ

b = 3 ị B ( 3; -1) ; A ( -3;3) .
!!!"
AD ( 8;0 ) nờn phng trỡnh ca AD l y - 3 = 0 .
Gi N l im i xng ca M qua AD thỡ N thuc ng thng AC .

Phng trỡnh MN : x = 0 ; MN ầ AD = I ị I ( 0;3) ; I l trung im ca MN ị N ( 0;5) .

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

15


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

Phương trình AC :

x -0 y -5
=
Û 2 x - 3 y + 15 = 0 .
-3 - 0 3 - 5

C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ C là nghiệm của hệ

ì2 x - y = 7
ìx = 9
Ûí
Þ C ( 9;11) .
í
î y = 11
î2 x - 3 y = -15
Vậy tung độ của điểm C là 11 .
Email:
Câu 16. (KA _ 2014)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là
trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3 NC . Viết phương trình
đường thẳng CD, biết M (1;2 ) , N ( 2; -1) . .

A. 3x + 4 y - 15 = 0; y + 2 = 0 .
C. 3x - 4 y + 15 = 0; y + 2 = 0 .

B. 3x - 4 y - 15 = 0; y + 2 = 0
D. 3x + 4 y - 15 = 0; y - 2 = 0
Hướng dẫn giải

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo
Chọn B

D

I

C
N

A

M

B

+) Ta có MN = 10 .
Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, vậy a > 0.
Ta có AM =

Do đó:

3 AC 3a 2

a
5a 2
và AN =
nên MN 2 = AM 2 + AN 2 - 2 AM . AN .cos MAN =
.
=
4
2
2
8

5a 2
= 10 Þ a = 4.
8

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

16


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

+) Gi I l trung im ca CD. Ta cú IM = AD = 4 v IN =

BD
= 2 nờn ta cú h phng
4

ộ x = 1, y = -2
ỡù( x - 1)2 + ( y - 2 )2 = 16

trỡnh: ớ
ờ
.
2
2
ờ x = 17 ; y = - 6
ùợ( x - 2 ) + ( y + 1) = 2
5
5
ở

!!!"
+) Vi x = 1, y = -2 cú I (1; -2 ) v IM = ( 0; 4 ) .
!!!"
ng thng CD i qua I v cú vộc t phỏp tuyn IM nờn cú phng trỡnh l y + 2 = 0 .

!!!" ổ 12 16 ử
17
6
ổ 17 6 ử
; y = - cú I ỗ ; - ữ v IM = ỗ - ; ữ .
5ứ
5
5
ố 5
ố 5 5ứ
!!!"
ng thng CD i qua I v cú vộc t phỏp tuyn IM nờn cú phng trỡnh l 3x - 4 y - 15 = 0 .

+) Vi x =

Email:
Cõu 17. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc OAB cú cỏc nh A(a, b) v B (c, d) thuc
ng thng D : 4 x + 3 y - 12 = 0 v im K ( 6;6 ) l tõm ng trũn bng tip gúc O . Gi C
l im nm trờn D sao cho AC = AO v cỏc im C , B nm khỏc phớa nhau so vi im A

24
. T = 2018d - 2019a .
5
B. T = 2014
C. T = 2015

Bit im C cú honh bng
A. T = 2016

D. T = 2017

Li gii
H v tờn tỏc gi: Nguyn Th Thanh Mai Tờn Fb: Thanh Mai Nguyen
Chn C

ổ 24 -12 ử
* C ẻ ( D ) : 4 x + 3 y - 12 = 0 ị C ỗ ;
ữ
ố 5 5 ứ
* Gi s A ( a; b )
2

24 ử ổ 12 ử
ổ

+ Vỡ OA = AC nờn ta cú a 2 + b 2 = ỗ a - ữ + ỗ b + ữ
5 ứ ố
5ứ
ố

2

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

17


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

Û -2a + b + 6 = 0
+ AÎ ( D ) nên: 4a + 3b - 12 = 0

ì -2a + b + 6 = 0 ìa = 3
+ Vậy có hệ: í
Þí
Þ A ( 3;0 )
+
=
=
4
3
12
0
0
a

b
b
î
î
* Bán kính đường tròn bàng tiếp góc O bằng:

R = d ( K; D) =

4.6 + 3.6 - 12
=6
5

*Giả sử B ( c; d ) ( d ¹ 0 ) thì phương trình đường thẳng ( OB ) là: dx - cy = 0 ( D ')

ì4c + 3d - 12 = 0
ìï B Î ( D )
ï
+ Ta có í
Û í 6d - 6c
=6
d
K
,
D
'
=
6
ïî ( ( ) )
ï
2

2
î d +c

ì4c + 3d = 12 ì c = 0
(do d ¹ 0 ) Þ B ( 0;4 )
Ûí
Ûí
î cd = 0
îd = 4
Vậy T = 2018.4 - 2019.3 = 2015 nên chọn

C.

Email:
Câu 18. (Bài 62- A2012-DB2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M (1; -1) và hai đường thẳng
có phương trình ( d1 ) : x - y - 1 = 0, ( d2 ) : 2 x + y - 5 = 0 . Gọi A là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Biết rằng có hai đường thẳng ( d ) đi qua M cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại
hai điểm B, C sao cho ABC là tam giác có BC = 3 AB có dạng: ax + y + b = 0 và
cx + y + d = 0 , giá trị của T = a + b + c + d
A. T = 5 .

B. T = 6 .

C. T = 2 .
Lời giải

D. T = 0 .

Họ và tên tác giả: Trần Đông Phong, FB: Phong Do
Chọn C

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

18


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Ta A ( 2;1)
Gi a l gúc gia hai ng thng ( d1 ) v ( d2 ) , cos a =
Xột tam giỏc ABC ta cú:

1
3
ị sin a =
10
10

AB
BC
1
=
ị sin C =
sin C sin A
10

Gi b l gúc gia hai ng thng ( d ) v ( d1 ) , suy ra: sin b =

1
3

ị cos b =
(1)
10
10

!
Gi s ( d ) cú vec t phỏp tuyn l n ( a; b )
2a + b
ộa = b
3
3

=
a 2 - 8ab + b2 = 0 ờ
10
10
a 2 + b2 5
ở a = 7b
!
Vi a = b mt vec t phỏp tuyn n = (1;1) ị d : x + y = 0
T (1) ta cú: cos b =

!
Vi a = 7b mt vec t phỏp tuyn n ( 7;1) ị d : 7 x + y - 6 = 0
Vy: T = 1 + 0 + 7 - 6 = 2

3
. Gi a, b, c ln lt l di cỏc cnh BC , CA, AB v
2
ha ; hb ; hc tng ng l ng cao k t cỏc nh A, B, C ca tam giỏc. Khi ú giỏ tr nh nht

Cõu 19. Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng

ổ 1 1 1 ửổ 1 1 1 ử
ca biu thc P = ỗ + + ữ ỗ + + ữ l:
ố a b c ứ ố ha hb hc ứ
3
A.
B. 3
C. 6
2
Li gii

D. 9

H v tờn tỏc gi: Nguyn Th Thanh Thng, Tờn FB:Nguyn Thng
Chn

B

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

19


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

Vỡ tam giỏc cú din tớch l
T ú suy ra: ha =

3
nờn a.ha = b.hb = c.hc = 3.
2

3
3
3
; hb = ; hc = thay vo biu thc
a
b
c

ổ 1 1 1 ửổ 1 1 1 ử 1 ổ 1 1 1 ử
P = ỗ + + ữ ỗ + + ữ = ỗ + + ữ .( a + b + c )
ố a b c ứ ố ha hb hc ứ 3 ố a b c ứ
Do a, b, c l cỏc s dng nờn ỏp dng bt ng thc Cauchy ta c:

1 1 1
1
v a + b + c 3 3 abc
+ + 33
a b c
abc

1ổ 1 1 1ử
1
1
Vy nờn: P = ỗ + + ữ . ( a + b + c ) .3. 3
.3. 3 abc = 3 ị P 3
3ố a b c ứ

3
abc
Vy MinP = 3 a = b = c hay tam giỏc ABC u.
Cõu 20. (D2003 DB1) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng d : x - 7y + 10 = 0 . Vit
phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng D : 2x + y = 0 v tip xỳc vi ng thng
d ti A(4; 2) .
Li gii
Gi I l tõm ca ng trũn.
Vỡ ng trũn tip xỳc vi d ti A nờn IA ^ d ti A ị IA : 7x + y - 30 = 0
Ta cú: I l giao im ca ng thng D v ng thng IA ị I ( 6; - 12 )
Bỏn kớnh R = IA = 10 2
Vy phng trỡnh ng trũn l: ( x - 6) + ( y + 12) = 200 .
2

2

Gmail:
Cõu 21. (D2004 DB 1) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng A . Bit

ổ7 ử
A(-1; 4) , B(1; -4) , ng thng BC i qua im K ỗ ; 2 ữ . Bit im C (a; b) . Phỏt biu no
ố3 ứ
sau õy ỳng ?
A. b > a .

B. a2 + b2 = 16 .

C. b ẻ (1;3) .
Li gii

D. b 2 - a = 6 .

H v tờn tỏc gi: Phan Th Hin Tờn FB: Phan Hin
Chn A

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

20


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC
B (1; -4)

A (-1; 4)

C

K (7/3; 2)

!"
!!!"
+) Có AB = (2; -8) . Đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 4) , nhận n1 = (1; -4) làm một vectơ
pháp tuyến nên AC :1( x + 1) - 4( y - 4) = 0

Û x - 4 y + 17 = 0

!!"
!!!" æ 4 ö
+) BK = ç ;6 ÷ . Đường thẳng BC đi qua B(1; -4) , nhận n2 = ( 9; -2 ) làm một vectơ pháp tuyến
è3 ø

nên BC : 9( x - 1) - 2( y + 4) = 0
Û 9 x - 2 y - 17 = 0
+) {C} = AC ! BC nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình :

ì x - 4 y + 17 = 0
ì x - 4 y = -17 ì x = 3
Ûí
Ûí
í
î9 x - 2 y - 17 = 0 î9 x - 2 y = 17
îy = 5
Vậy C (3;5) .
Email:
Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) cho điểm A(2;3) và hai đường thẳng d1 ;d 2 có phương
trình lần lượt là d1 : x + y + 5 = 0; d 2 : x + 2y - 7 = 0 . Gọi B ( x1; y1 ) Î d1;C(x 2 ; y2 ) Î d 2 sao cho
tam giác ABC nhận điểm G(2;0) là trọng tâm. Tính giá trị của biểu thức T = x1x 2 + y1y2 .
A. T = -21 .

B. T = -9 .

C. T = 9 .

D. T = 12 .

Lời giải
Họ và tên tác giả: Trần Hạnh Tên FB: Trần Hạnh
Chọn B

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

21


FilelàmchuyênđềHÌNHGIẢITÍCHOXYQUACÁCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTOÁNVD–VDC

Vì B ( x1; y1 ) Î d1 Þ B(-5 - y1; y1 );C(x 2 ; y2 ) Î d 2 Þ C(7 - 2y 2 ; y 2 )
Vì tam giác ABC nhận điểm G(2;0) là trọng tâm nên

ì2 + (-5 - y1 ) + (7 - 2y 2 ) = 6 ì y1 + 2y 2 = -2 ì y1 = -4 ìx1 = -1
Ûí
Ûí
Þí
Þ T = -9
í
î3 + y1 + y 2 = 0
î y1 + y 2 = -3
îy2 = 1
îx 2 = 5
Gmail:
Câu 23. Trong hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x - 4 y - 2 = 0 , cạnh
BC song song với d . Phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là

M (1;1) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

2
A. G ( ; -1)
3

2
B. G (- ; -1)

3

2
2
C. G ( ;1)
D. G (- ;1)
3
3
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Văn Phú Tên fb: Nguyễn Văn Phú

Hãythamgiagroupđểcùnghọcvàcùnglàm-NhómchỉdànhchocácGv,Svtoán!

22


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

d: x - 4y - 2 = 0
A

H

M(1;1)

B

C

BH: x + y + 3 = 0

ỡ M ẻ AC
+) ớ
ị AC : y = x.
ợ BH ^ AC
2
ỡ
x=ù
x
y
4
2
=
0
ỡ
2 2
ù
3
+) A( x; y ) = AC ầ d nờn ( x; y ) l nghim h: ớ
ớ
ị A(- ; - ).
3 3
ợy = x
ùy = - 2
ù
3
ợ
8 8
+) Vỡ M (1;1) l trung im ca cnh AC nờn C ( ; ).
3 3

8ử ổ
8ử
ổ
+) Cnh BC song song vi d v i qua B nờn phng trỡnh BC : ỗ x - ữ - 4 ỗ y - ữ = 0
3ứ ố
3ứ
ố
hay d : x - 4 y - 8 = 0.

ỡ x - 4 y - 8 = 0 ỡ x = -4
+) B( x; y ) = BC ầ BH nờn ( x; y ) l nghim h: ớ
ớ
ị B(-4;1).
ợx + y + 3 = 0
ợy =1
2
+) Vy trng tõm G (- ;1) .
3
Facebook: m Anh Email:
Cõu 24. (B2006 DB2) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC vi nh A ( 2;1) , gi
m l ng cao qua nh B cú phng trỡnh l x - 3 y - 7 - 0 v n l ng trung tuyn qua

nh C

cú

phng

P = x1 + y1 + x2 + y2 ?
A. P = -6 .

trỡnh

l

B. P = -4 .

x + y +1 = 0 .

Gi

C. P = -3 .
Li gii

s

B ( x1 ; y1 ) , C ( x 2 ; y2 ) , tớnh
D. P = -5 .

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

23


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC
A

m

n

D

B
C

+ Lp phng trỡnh ng thng AC .
Do ng thng AC vuụng gúc vi m nờn phng trỡnh ng thng AC cú dng:
3x + y + c = 0 .
Ta cú A ( 2;1) ẻ AC ị 3.2 + 1 + c = 0 c = -7 ị AC : 3x + y - 7 = 0
Li cú C = AC ầ n nờn ta im C tha món h phng trỡnh:

ỡ3x + y - 7 = 0
ỡx = 4
ớ
ị C ( 4; -5 )
ớ
ợx + y + 1 = 0
ợ y = -5
+ Cú B ẻ m nờn ta im B cú dng B ( 3b + 7; b ) . Gi D l trung im ca on AB , suy

ổ 3b + 9 b + 1 ử
ra D ỗ
;
ữ.
2 ứ
ố 2
3b + 9 b + 1
ổ 3b + 9 b + 1 ử
M D ỗ
;

+
+ 1 = 0 b = -3 ị B ( -2; -3)
ữẻn ị
2 ứ
2
2
ố 2
Vy P = 4 - 5 - 2 - 3 = -6 . Chn ỏp ỏn A.
Email:
Cõu 25. Trong mt phng ta Oxy, cho im A (0; -2). im B thuc ng thng d: x y + 2 = 0
sao cho ng cao AH v ng trung tuyn OM ca tam giỏc OAB cú di bng nhau. Tớnh
tng honh ca tt c cỏc im B tha món bi.
A. 2
B. - 2.
C. 0.
D. 4.
Li gii
H v tờn tỏc gi: H Khỏnh Huyn Tờn FB: H Khỏnh Huyn
Chn B

Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

24


FilelmchuyờnHèNHGIITCHOXYQUACCTHI3CHUNGBGDGroupFB:StrongTeamTONVDVDC

B ẻ d : x - y + 2 = 0 ị B (a; a + 2).
a a
2 2

M l trung im ca AB ị M ( ; ).

!!!"
OB = (a; a + 2) nờn phng trỡnh ng thng BO: (a+2) x ay = 0.

AH = d ( A, BO) =

AH = OM

2a

2

2

a
; OM = ổỗ a ửữ + ổỗ a ửữ =
.
2
ố2ứ ố2ứ
2a 2 + 4a + 4

2a
2a + 4a + 4
2

=

a

2

8a 2 = 2a 4 + 4a3 + 4a 2

ộa = 0
ờ
ở a = -1 3
+ a = 0 ị B(0; 2)
+ a = -1 +

3 ị B(-1 + 3;1 + 3)

+ a = -1 - 3 ị B ( -1 - 3;1 - 3)
Vy tng honh ca tt c im B tha món yờu cu bi toỏn l 2.
Cõu 26. ( D2010 DB2-1) Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A ( 0;3) , trc tõm H ( 0;1)
v trung im M (1;0 ) ca BC. Tỡm ta im B ca tam giỏc ABC bit B cú honh õm.
A. B ( 0; -1)

B. B ( -1;0 )

C. B ( 0;3)

D. B ( 3;0 )

Li gii
Hóythamgiagroupcựnghcvcựnglm-NhúmchdnhchocỏcGv,Svtoỏn!

25