SKKN phân tích đa thức...

Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán
Phần I Đặt vấn đề
1. Lý do về tính cấp thiết:
Toán học là một môn học vô cùng quan trọng, nó có vai trò rất to lớn đợc vận dụng
nhiều trong thực tiễn đời sống phải nói rằng không một nghành khoa học nào không cần đến
toán học nó là cơ sở cho các môn học khác. Đối với bộ môn toán thì hằng đẳng thức đáng nhớ
là một nội dung kiến thức rất quan trọng, trong đại số thì gần nh giải dạng toán nào cũng cần
phải sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Nhng thực tiễn cho thấy rất nhiều học sinh không nắm
vững hằng đẳng thức đáng nhớ.
Mặt khác trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp dạy học luôn đợc quan tâm và là
vấn đề luôn đợc đa ra bàn luận sôi nổi.
Chính vì những lí do đó nên trong trong bài viết này tôi xin đề cập một số kinh nghiệm dạy
học hằng đẳng thức đáng nhớ
2 . Mục đích nghiên cứu:
Là một giáo viên đã nhiều năm trong nghề, đặc biệt khi dạy toán 8 tôi rất trăn trở ở việc
học sinh thờng rất chóng quên và hay mắc sai lầm khi học hằng đẳng thức đáng nhớ và vận
dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán. Chính vì điều đó tôi thiết nghĩ giáo viên giảng
dạy cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp có trình độ chuyên môn nghiệp vụ vững
chắc ,có tâm huyết với nghề dạy học, luôn luôn tìm tòi trau dồi kinh nghiệm giảng dạy.
3 . Kết quả cần đạt đợc:
Đề tài này sẽ giúp cho giáo viên có một phơng pháp chung để dạy học hằng đẳng thức đáng
nhớ
Giúp các em học sinh không những nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ mà còn biết cách ghi
nhớ và biết vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán. Rèn cho các em t duy khái quát;
Khả năng suy luận, phán đoán qua đó giúp các em say mê học tập hơn, yêu thích bộ môn
hơn.
4. Đối tợng, phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Bằng lòng yêu nghề sự mến trẻ bản thân đã tham khảo các nhà giáo đã nhiều năm trong
nghề, trò truyện cùng các em học sinh biết đợc những tâm t nguyện vọng, những thắc mắc của
các em.Do đó thông qua một mảng kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ ở môn toán lớp 8 tôi

đã tìm hiểu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy trên lớp và viết lên những suy
nghĩ của mình trong một khoảng thời gian cho phép
Rất mong đợc đồng nghiệp đón nhận, thông cảm và có những ý kiến đóng góp quý báu
xin chân thành cảm ơn !
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010
1
Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán
Phần II: Nội dung

1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:
- Dựa trên cơ sở lý luận khoa học của tài liệu mà tôi đã nghiên cứu
- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán 8 nhiều năm của bản thân và kinh nghiệm của các
nhà giáo đi trớc
- Dựa vào các cuộc hội thảo chuyên đề về việc đổi mới phơng pháp dạy học do trờng và do
phòng giáo dục tổ chức
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm:
Một trong những lỗ hổng kiến thức của học sinh là sau khi học song hằng đẳng thức
đáng nhớ là nhiều em vẫn không nhớ, không nhận dạng và không vận dụng đợc hằng đẳng
thức đã học vào giải toán. Điều này làm cho các giáo viên giảng dạy bộ môn rất băn khoăn lo
lắng vì vậy cần có phơng pháp dạy học thích hợp cộng với kinh nghiệm lòng nhiệt huyết của
ngời thầy, sự say mê học tập của các em học sinh mới mong xoá bỏ đợc lỗ hổng kiến thức trên
3. Phơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp làm việc với sách: Nghiên cứu cơ cấu nội dung các phơng pháp trình bày trong
các tài liệu để tìm ra phơng pháp thực hành hiệu quả nhất
- Phơng pháp thực nghiệm:
+Thông qua các giờ giảng dạy trên lớp
+ Thông qua các cuộc hội thảo chuyên đề về đổi mới phơng pháp giảng dạy
- Phơng pháp điều tra qua tài liệu xem vở của học sinh
- Phơng pháp đàm thoại: Gặp gỡ trao đổi trò chuyện với giáo viên đã có kinh nghiệm, trò

chuyện với các em học sinh
4 . Các giải pháp:
I.Dạy học Hằng đẳng thức đáng nhớ
Việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể có nhều quan điểm khác nhau xong qua việc
tìm hiểu đúc rút kinh nghiệm tôi nghĩ việc dạy học hằng đẳng thức đáng nhớ có thể tiến hành
theo trình tự các hoạt động sau:
- Hoạt động Phát hiện hằng đẳng thức đáng nhớ
Tức là thông qua một tình huống có vấn đề giáo viên phải làm xuất hiện đợc hằng đẳng thức
đáng nhớ
- Hoạt động Củng cố
Có thể gồm:
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010
2
Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán
+ Phát biểu hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời : Thông qua hoạt động ngôn ngữ giáo viên có
thể khuyến khích học sinh phát biểu theo các cách khác nhau qua đó giúp các em khắc sâu
kiến thức đã học cũng là để các em diễn đạt độc lập ý tởng của mình.
+ Nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ: Thông qua một tình huống cụ thể có thể là một đẳng
thức hoặc một biểu thức xét xem chúng có phải là hằng đẳng thức đã học hay không?
+ So sánh với hằng đẳng thức đáng nhớ đã học khác để tìm ra những dấu hiệu dặc trng
- Hoạt động vận dụng hằng đẳng thức
Có thể vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải các bài tập đơn giản hoặc tổng hợp
Cụ thể:
1. Hằng đẳng thức thứ nhất: "Bình phơng của một tổng".
Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra tình huống học tập:
- Bình phơng của một tổng hai số a, b viết nh thế nào?
- Tính (a+b)
2

bằng cách nào?
GV hớng dẫn học sinh dựa vào phép nhân đa thức tính (a+b)
2
= (a+b)(a+b) =...
Khái quát thành hằng đẳng thức (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
với A, B là các biểu thức tuỳ ý
Hoạt động 2 củng cố
GVcó thể đa ra các tình huống:
1) Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời
Đây là hoạt động rất quan trọng giúp học sinh học thuộc hằng đẳng thức nhng nhiều GV th-
ờng xem nhẹ. Để giúp học sinh ghi nhớ hằng đẳng thức GV có thể cho học sinh phát biểu
hằng đẳng thức theo nhiều cách khác nhau rồi chốt lại cách phát biểu ngắn gọn dễ nhớ
Chẳng hạn: " Bình phơng của một tổng hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ
nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu
thức thứ hai."
GV cần chỉ rõ cho học sinh thấy.
Biểu thức thứ nhất là A
Biểu thức thứ hai là B
Bình phơng của biểu thức thứ nhất là A
2
Hai lần tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai là 2AB
Bình phơng của biểu thức thứ hai là B
2
Bậc của các hạng tử ở vế phải đều bằng 2

2) Nhận dạng hằng đẳng thức (1)
Nhận dạng hằng đẳng thức là xét xem một biểu thức hoặc đẳng thức cho trớc có phải hằng
đẳng thức đã học hay không? Bài tập dạng này thờng là bài tập trắc nghiệm.
Chẳng hạn:
Bài 1. (x+2)
2
đợc tính là:
A. x
2
+ 2x + 4 B. x
2
+ 4
C. x
2
+ 4x + 4 D. x
2
- 4x + 4
Qua bài này GV chốt cho học sinh:
(A + B)
2


A
2
+ B
2
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010
3
Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán

Bài 2. Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một tổng?
A. 2x
2
+ 2x + 1 B. 2x
2
+ 4x + 1
C. 4x
2
+ 4x + 1 D. 4x
2
+ 2x + 1
GV yêu cầu HS giải thích rõ vì sao? Và chỉ rõ A,B
Hoạt động 3. Vận dụng
Bài 1. Tính
a)
2
2
1






+
x
; b) (x + 3y)
2
; c) (3x + 2)
2

Một sai lầm thờng thấy ở học sinh là các em thờng viết:
2
2
1






+
x
= x
2
+ 2.x.
2
1
+
2
1
2
hoặc (x + 3y)
2
= x
2
+ 2.x.3y + 3y
2

Do đó qua bài này GV cần cho học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A
2

= ? ; B
2
= ?
Rèn cho học sinh thói quen đặt biểu thức hoặc phân số (Nếu A, B là một biểu thức hoặc phân
số) vào trong ngoặc và cha nên làm tắt khi khai triển hằng đẳng thức
Chẳng hạn phải viết
2
2
1






+
x
= x
2
+ 2.x.
2
1
+(
2
1
)
2
Hoặc (x + 3y)
2
= x

2
+ 2.x.3y + (3y)
2

Bài 2. Tính nhanh 51
2
; 101
2
; 37
2
+ 2.37.13 + 13
2
- Qua bài này giáo viên yêu cầu học sinh chỉ rõ trong mỗi trờng hợp đã vận dụng hằng đẳng
thức theo chiều xuôi hay chiều ngợc
Chẳng hạn:
Tính 51
2
= (50+1)
2
=... là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều xuôi
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

Còn 37
2
+ 2.37.13 + 13

2
= (37+13)
2
= ... là ta vận dụng hằng đẳng thức theo chiều ngợc
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2

GV lu ý: Đôi khi ngời ta còn viết dấu hằng đẳng thức đi chẳng hạn thay cho việc viết tính
37
2
+ 2.37.13 + 13
2
ngời ta có thể viết là tính 37
2
+ 37.26 + 13
2
cần cho học sinh so sánh:
nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào? từ đó rút ra ích lợi của hằng đẳng
thức đáng nhớ
2.Hằng đẳng thức thứ hai: "Bình phơng của một hiệu"
Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra các tình huống học tập:
- Bình phơng của một hiệu hai số a,b viết nh thế nào?
- Tính (a- b)
2
bằng cách nào?

HS có thể tính (a- b)
2
= (a-b)(a-b)=...
GV gợi ý HS tính bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (1)
Tính (a- b)
2
= [ a + (-b)]
2
=...
GV khái quát thành hằng đẳng thức (A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
Hoạt động 2. Củng cố
a) So sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2)
GV yêu cầu HS chỉ rõ sự giống nhau và khác nhau giữa hai hằng đẳng thức thức
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010
4
Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán

(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

(1)
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
(2)
GV có thể đa ra tình huống: Vì sao hạng tử 2AB ở hằng đẳng thức thứ hai lại mang dấu trừ?
GV giải thích cho HS vì B mang dấu trừ lên chỗ nào B có mũ lẻ thì hạng tử đó sẽ mang dấu
trừ
b) Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời
Từ việc so sánh hai hằng đẳng thức (1) và (2) GV yêu cầu HS rút ra cách phát biểu bằng lời
hằng đẳng thức (2)
" Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức thứ nhất trừ hai lần
tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, cộng bình phơng biểu thức thứ hai."
Hoặc " Bình phơng của một hiệu hai biểu thức bằng bình phơng của biểu thức bị trừ, trừ hai
lần tích của biểu thức bị trừ và biểu thức trừ, cộng bình phơng biểu thức trừ."
c) Nhận dạng hằng đẳng thức (2)
GV có thể cho học sinh nhận dạng hằng đẳng thức kết hợp nhận dạng các biểu thức A, B, A
2
,
B
2
Bài 1 .Trong các đa thức sau đa thức nào viết đợc dới dạng bình phơng của một hiệu?
A. x
2
+ 4x + 1 B. x
2
+ 2xy + y

2
C. x
2
+ 1 - 2x D. x
2
- y
2
Qua bài này GV lu ý HS đôi khi ngời ta có thể hoán đổi các vị trí nhằm khó nhận dạng hằng
đẳng thức nh trong bài tập trên x
2
+ 1 - 2x = (x-1)
2
Bài 2. Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
A. (... + 9)
2
= y
2
+ 18y + ... B. x
2
- ... +
4
1
= (x - ...)
2
C.(25-... )
2
= ... - 20y + 4y
2
D. (.... - ... )
2

= ... - 4xy + ....
Hoạt động 3. Vận dụng
1) Tính
a) (x-
2
1
)
2
; b) (2x-3y)
2
GV phải luôn luôn rèn cho học sinh thói quen viết cẩn thận tỉ mỉ chính xác, cha lên làm tắt.
Luôn luôn yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A
2
= ? ; B
2
= ?
2) Tính nhanh 99
2
; 1,47
2
- 2.1,47.2,53 + 2,53
2

Khi vận dụng hằng đẳng thức để tính nhanh giáo viên phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận
dụng hằng đẳng thức theo chiều nào?
Nếu không vận dụng hằng đẳng thức thì tính nh thế nào?
3. Hằng đẳng thức thứ ba. "Hiệu của hai bình phơng"
Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức
GV đa ra tình huống : Hiệu các bình phơng của hai số viết nh thế nào?
Tính (a+b)(a-b) để rút ra a

2
- b
2

= (a+b)(a-b) từ đó giáo viên khái quát thành hằng đẳng thức
A
2
- B
2
= (A+B)(A-B) (3) Với A, B là các biểu thức tuỳ ý
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010
5
Làm thế nào giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hằng đẳng thức Đáng nhớ
vào giải toán
Giáo viên cũng nên để học sinh tự do phát biểu theo quan điểm riêng của mình giáo viên chốt
lại một cách phát biểu ngắn gọn yêu cầu học sinh học thuộc
Chẳng hạn: "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tích giữa tổng và hiệu của hai
biểu thức đó"
Hoặc "Hiệu các bình phơng của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức nhân với hiệu
của hai biểu thức đó"
2) Nhận dạng hằng đẳng thức
Bài 1. Kết quả của phép tính (3x+1)(3x-1) là:
A. 3x
2
- 1 ; B. 3x
2
+ 1 ; C. 9x
2

- 1 ; D. 9x
2
+ 1
Bài 2. Viết biểu thức y
2
- 9x
2
dới dạng tích ta đợc:
A. (y-9x)(y+9x) ; B. (y-9x)(y-9x)
C. (y-3x)(y+3x) ; D. (y-3x)(y-3x)
Giáo viên cũng yêu cầu học sinh chỉ rõ A = ? ; B = ? => A
2
= ? ; B
2
= ? trong mỗi trờng hợp
Và qua bài này giáo viên lu ý học sinh (A-B)
2


A
2
- B
2
và lấy ví dụ (3-1)
2


3
2
- 1

2
Hoạt động 3. Vận dụng
Giáo viên đơa ra tình huống: Có thể vận dụng hằng đẳng thức (3) vào giải dạng toán nào?
Giáo viên lu ý
-Vận dụng theo chiều xuôi A
2
- B
2
= (A+B)(A-B) ta có thể viết một biểu thức dới dạng tích
-Vận dụng theo chiều ngợc (A+B)(A-B) = A
2
- B
2
dùng để thực hiện nhân nhanh hai đa thức
Bài 1. Tính
a) (x+1)(x-1) ; b) (x-2y)(x+2y) ; c) (x+y+4)(x-y+4)
Bài 2. Tính nhanh
56.64
Bài này giáo viên cần yêu cầu học sinh nhận xét mối quan hệ đặc biệt giữa hai số 56 và 64 để
phát hiện ra cách tính nhanh
Trong mỗi bài tập giáo viên vẫn phải yêu cầu học sinh chỉ rõ đã vận dụng hằng đẳng thức theo
chiều nào? đâu là A, đâu là A
2
, đâu là B, đâu là B
2
?
4. Hằng đẳng thức thứ t: "Lập phơng của một tổng"
Hoạt động 1. Phát hiện hằng đẳng thức
Giáo viên đa ra các tình huống học tập:
- Lập phơng của tổng hai số viết nh thế nào?

(a+b)
3
tính nh thế nào?
Hoặc chứng minh rằng (a+b)
3
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
Từ đó khái quát thành hằng đẳng thức (A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+ B
3
(4)(với A, B là các
biểu thức tuỳ ý)
Hoạt động 2 củng cố
1) Phát biểu bằng lời
Đây là hằng đẳng thức mà học sinh rất hay quên cho nên hoạt động học thuộc bằng lời là rất
quan trọng. Có thể phát biểu:
Phạm Trung Thịnh - GV: Trờng THCS Vĩnh Long; Năm học: 2009-2010

6