Khảo sát hàm số (1 số dạng liên quan)

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
________________________________________________________________________________________
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
A. DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Có 3 dạng phương trình tiếp tuyến như sau:
Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
- Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
- Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
Chú ý: tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là

k
- Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
- Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
Chú ý: cho đường thẳng
: Ax+By+C=0∆
, khi đó:
- Nếu
( )
// : Ax+By+m=0 :
A
d d hsg k
B
∆ ⇒ ⇒ = −
- Nếu
( )
: x-Ay+n=0 :
B
d d B hsg k
A
⊥ ∆ ⇒ ⇒ =
Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )

0 0
;A x y C∉
- Gọi d là đương thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
0 0
:d y k x x y= − +
- Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à Cd v
là hệ pt sau có nghiệm:
( ) ( )
( )
0 0
'
f x k x x y
f x k

= − +


=


Chú ý: Cho đường cong
( ) ( )
xfyC
=
:
và đường thẳng
( )

bkxyd
+=
:
. Điều kiện để d tiếp xúc với (C)
là hệ sau có nghiệm.
( )
( )
'
f x kx b
f x k

= +


=


1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
,hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C):
____________________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 1
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
________________________________________________________________________________________
a. Tại điểm có hoành độ
2x =
b. Tại điểm có tung độ y = 3.
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

( )
1
24 2008d y x= +
d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
( )
2
1
2008
24
d y x= − +
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
− − +
=
+
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c. Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1).
e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k = -13.
3. Cho hàm số
( )
2
1

ó do thi là C
1
x x
y c
x
− −
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
4. Cho hàm số
( )
m
Cmxmxxy 33
23
+−−=
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
5. Cho hàm số
( ) ( )
m
Cmxxmxxy
−−−++=
234

1
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
6. Cho hàm số
( )
1
4
:
2
+
−
=
x
x
yC
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 1 tiếp tuyến
đến (C).
7. Cho đồ thị hàm số
( )
43:
23
+−=
xxyC
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tt với (C).
8. Cho đt hàm số
( )

12:
24
+−=
xxyC
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tt đến (C).
9. đồ thị hàm số
( )
23:
3
+−=
xxyC
. Tìm các điểm trên đt y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với
(C).
B. DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
- Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị
- Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0

f x
f x

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x=
- Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0

x x=
.
____________________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 2
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
________________________________________________________________________________________
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0
a
f x c
≠

⇔ = ⇔

∆ >

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
. 0
CD CT
y y⇔ <

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CD CT
x x⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm trên trục hoành
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ >

⇔

>

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm dưới trục hoành
0
. 0
CD CT

CD CT
y y
y y
+ <

⇔

<

- Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CD CT
y y⇔ =
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
- Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
+ +
=
+

- Đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng
( )
( )
2
ax '
2
'
bx c
a b
y x
dx e d d
+ +
= = +
+
1. Chứng minh rằng hàm số y =
( )
2 2 4
1 1x m m x m
x m
+ − − +
−
luôn có có cực trị với mọi m.
2. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:

a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c. Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2
3 1 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4 .
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
____________________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 3
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
________________________________________________________________________________________
5. Cho hàm số
5393
23
−++−=

mxmxxy
.Định m để đt hàm số có cực đại cực tiểu, viết pt đt đi qua
hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số
( )
mx
mxmx
y
−
+−++
=
11
2
, chứng minh rằng đt hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số
( ) ( )
2221
23
++−+−+=
mxmxmxy
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
mx
mmxx
y
−
−++
=

22
312
. Định m để đt hs có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
9. Cho hàm số
( ) ( )
m
Cmxmmxxy 212
3
1
23
+−−+−=
. Định m để hs có hai điểm cực trị cùng dương.
C. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô
( )
xfy
=
có TXĐ là miền D
- f(x) đồng biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≥⇔
,0'
- f(x) nghịch biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≤⇔
,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền

D)
Thường dung các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
( )
cbxaxxf
++=
2
1. Nếu
0
<∆
thì f(x) luôn cùng dấu với a
2. Nếu
0
=∆
thì f(x) có nghiệm
a
b
x
2
−=
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
a
b
x
2
−≠
2. Nếu
0
>∆
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm
f(x) cùng dấu với a.

So sánh nghiệm của tam thức với số thực α
1.
( )



<
>∆
⇔<<
0.
0
21
α
α
fa
xx
2.
( )







<
>
>∆
⇔<<
α

αα
2
0.
0
21
S
faxx
____________________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 4
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
________________________________________________________________________________________
2.
( )







>
>
>∆
⇔<<
α
αα
2
0.
0
21

S
faxx
4.
( ) ( )







<<
>
>∆
⇔<<
αβ
βααβ
2
0
0
S
ffx
3.
( ) ( )








−<>
>−
≥∆
⇔



−<
>
αα
αα
α
α
22
0.
0
S
hoac
S
ff
x
x
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng

( )
+∞
;2
2. Xác định m để hàm số
12
23
23
+−−=
x
mxx
y
• Đồng biến trên R
• Đồng biến trên
( )
+∞
;1
3. Cho hàm số
( ) ( )
2512123
23
++++−=
xmxmxy
• Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
+∞
;2
.
• Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;

−∞−
.
4. Cho hàm số
2
26
2
+
−+
=
x
xmx
y
. Đình m để hs nghịch biến trên
[
)
+∞
;1
D. DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
1. Tìm số giao điểm của 2 đường cong .
Để tìm giao điểm của 2 đường cong
( )
y f x=
có đồ thị là
( )
1
C
và
( )
y g x=
có đồ thị là

( )
2
C
thường
có 2 cách như sau:
Cách 1: - Lập phương trình hoành độ giao điểm
( ) ( )
f x g x=
.
- Số nghiệm của pt trên chính là số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
Cách 2: Dựa vào đồ thị để biện luận số giao điểm với 2 đường.
2. Biện luận nghiệm dựa vào đồ thị
____________________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 5