164 bài toán hệ bất phương trình trong các đề thi thử quốc gia 2016 trần văn tài
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.1 MB, 92 trang )
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
HỆ - BẤT - PHƢƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
Bài 1: Giải hệ phƣơng trình:
.
3
3
2
2
x y 12 x 3 y 3 y 6 x 7
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
Lời giải tham khảo
x 3
Điều Kiện :
y 1
Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được:
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 3 x x 2 3 x3 2 x 2 5 x 6
2( (3 x)( x 2) 2)
x3 2 x 2 5 x 6
3 x x 2 3
2( x 2 x 2)
( x 1)( x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2( x 2 x 2)
( x 2 x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 2 x 2)(
( x 3)) 0
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 3) 0
Do điều kiện 2 x 3 nên
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
Suy ra x2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 TMĐK
Khi x 2 y 3 TMĐK
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3)
Bài 2: Giải phƣơng trình x3 x 2 x 2 1 x 6 .
Lần 1 – THPT BẮC YÊN THÀNH
Lời giải tham khảo
ĐK: x 0 . Nhận thấy (0; y) không l| nghiệm của hệ phương trình. Xét x 0 .
1 1 1
1 (1) Xét hàm số f t t t t 2 1
Từ phương trình thứ 2 ta có 2 y 2 y 4 y 2 1
2
x x x
2
1
t
1
có f ' t 1 t 2 1
0 nên h|m số đồng biến. Vậy 1 f 2 y f 2 y .
x
x
t 2 1
Xét h|m số f t t t t 2 1 có f ' t 1 t 2 1
1 f 2 y
t2
t 2 1
0 nên h|m số đồng biến. Vậy
1
1
f 2y .
x
x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 1
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Thay v|o phương trình (1): x x 2 x 1 x 6
3
2
Vế tr{i của phương trình l| h|m đồng biến trên 0; nên có nghiệm duy nhất
1
x 1 v| hệ phương trình có nghiệm 1; .
2
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
9
3 2 x y 3 4 5x 2 x y 9
x, y .
Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3
Lời giải tham khảo
2 x y 0
ĐK :
4
x 5
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có :
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 1 2x y 3 0 y x 1
Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau :
2
2
9
3 x 1 3 4 5x x 10
2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x
x 1 4 5x 3 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0
4
( Do x 1; nên 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0 )
5
x 1 4 5x 3 0
x 1 4 5x 3 2 x 1. 4 5x 4 4x
x 1 0
x 1
x 1. 4 5x 2 x 1 0
x 0
4 5x 2 x 1
Với x 0 y 1; x 1 y 2
Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm :
( x; y) (0; 1);( x; y) (1; 2)
Bài 4: Giải phƣơng trình:
x
1
x2
x
3
2x
2 3 2x
1
3
1
.
Lần 1 – THPT BÌNH MINH
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x
1, x
13
x x6
( x 2)( x 1 2)
1
( x=3 không l| nghiệm)
3
3
2x 1 3
2x 1 3
(2 x 1) 3 2 x 1 ( x 1) x 1 x 1
Pt x 1 2
2
H|m số f (t ) t 3 t đồng biến trên
do đó phương trình 3 2 x 1 x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 2
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1/ 2
x 1/ 2
3 2
2
3
(2 x 1) ( x 1)
x x x 0
x 1/ 2
1 5
1 5 x 0, x 2
x 0, x
2
Vậy phương trình có nghiệm S
{0,
1
5
2
}
32 x5 5 y 2 y ( y 4) y 2 2 x
Bài 5: Giải hệ phƣơng trình:
x, y .
3
(
y
2
1)
2
x
1
8
x
13(
y
2)
82
x
29
Lần 2 – THPT Bố Hạ
Lời giải tham khảo
1
Đặt đk x , y 2
2
+) (1) (2 x)5 2 x ( y 2 4 y) y 2 5 y 2 (2 x)5 2 x
5
y 2 y 2(3)
Xét h|m số f (t ) t 5 t , f '(t ) 5t 4 1 0, x R , suy ra h|m số f(t) liên tục trên R. Từ (3) ta có
f (2 x) f ( y 2) 2 x y 2 Thay 2 x
y 2( x 0) v|o (2) được
Thay 2 x y 2( x 0) v|o (2) được
(2 x 1) 2 x 1 8 x 3 52 x 2 82 x 29
(2 x 1) 2 x 1 (2 x 1)(4 x 2 24 x 29) (2 x 1)
2 x 1 4 x 2 24 x 29 0
1
x
2
2
2 x 1 4 x 24 x 29 0(4)
1
Với x . Ta có y=3
2
(4) ( 2 x 1 2) (4 x 2 24 x 27) 0
2x 3
(2 x 3)(2 x 9) 0
2x 1 2
x 3 / 2
1
(2 x 9) 0(5)
2 x 1 2
3
Với x . Ta có y=11 Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao (5) được
2
1 29
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
.
2
Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao (5) được
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
Từ đó tìm được x
1 29
.
2
13 29
103 13 29
,y
4
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 3
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x3 y 3 3x 2 3 y 2 24 x 24 y 52 0
Bài 6: Giải hệ phƣơng trình: x 2
.
2
y 1
4
Lần 1 – THPT CAM RANH
Lời giải tham khảo
2 x 2
Đk
.
1 y 1
Đặt t y 2 . Biến đổi phương trình đầu về dạng. x3 3x2 24x t 3 3t 2 24t
Xét h|m số f x x3 3x 2 24 x liên tục trên 2; 2
Chứng minh được x=t=y+2
x 2
x y 2
x y 2
2
y 0
Hệ pt được viết lại: x
y
0
2
x 6 / 5
y 1
4
y 4 / 5
y 4 / 5
KẾT LUẬN:
x 3 - 6x 2 + 13x = y 3 + y + 10
Bài 7: Giải hệ phƣơng trình:
.
3
2
2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6
Lần 2 – THPT CAM RANH
Lời giải tham khảo
XÉT PT(1):
x 3 6x 2 13x y3 y 10 x 2 ( x 2) y 3 y (*)
3
Xét h|m số f t t 3 t . Ta có f ' t 3t 2 1 0t
f t đồng biến trên
Do đó (*) y x 2 . Thay y x 2 v|o (2) ta được:
3x 3 5 2 x x 3 3x 2 10 x 26
5
(ĐK : x 1 )
2
3x 3 3 1 5 2 x x3 3 x 2 10 x 24
3 x 2
2 x 2
3x 3 3 1 5 2 x
x 2 x 2 x 12
x 2
3
2
x 2 x 12 (3)
3x 3 3 1 5 2 x
5
x 1 thì x2 x 12 0 .
2
x
2
Hệ có nghiệm duy nhất
y 0
PT (3) vô nghiệm vì với
Bài 8: Giải bất phƣơng trình:
x3
3 x1 x 3
2 9x
.
x
Lần 1– THPT CAO LÃNH 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 4
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Lời giải tham khảo
Điều kiện: 1 x 9; x 0
(1)
x 2 3x 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
0
( x 3)2 9( x 1) 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
x 3 3
x1 x 33 x1 2 9 x
x x 3 3 x1
0
0
x 1 x 1 3 2 1 9 x
x 33 x1 2 9 x
0
0
x
x
x8
x1
2
x8
00x8
0
x x 1 3 1 9 x
x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8
Bài 9: Giải bất phƣơng trình: x2 + x – 1 (x + 2) x 2 2 x 2
Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH
Lời giải tham khảo
TA CÓ : x2 2x – 7 + (x + 2)(3 x 2 x 2 ) 0 (x2 2x – 7)
2
( x 1) 1 x 1 x 1 nên :
2
Vì:
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
0.
> 0 , x.
x2 – 2x – 7 0 x 1 2 2 1 + 2 2 x
Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1 2 2 ] [1 + 2 2 ;+)
Bài 10: Giải bất phƣơng trình: x3 x 2 2 3 3x 2 ..
Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ
Lời giải tham khảo
x3 x 2 2 3 3 x 2
x3 3 x 2 2 3 3 x 2 2 x
3 x 2 x3
x 3x 2 2
3
3
2
3x 2 x 3 3x 2 x 2
2
x3 3 x 2 1
0
2
2
3
3
3x 2 x 3x 2 x
2
x3 3 x 2 0 1
0, x
2
2
3
3
3
x
2
x
3
x
2
x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 5
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1
x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình l| 1 .
x 3 y3 3x 2 3x 6y 4 0
Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:
.
3
y
2
x
3
7
y
13
3
x
1
Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
Lời giải tham khảo
Từ phương trình (1) ta có: x3 3 x y 1 3 y 1
3
Xét h|m số f t t 3 3t , f t 3t 2 3
f t 0 với mọi t suy ra h|m số f t đồng biến trên
.
f x f y 1 x y 1 Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
x 1
2 x 3 3 7 x 6 3 x 1
3
Ta có x 1 không l| nghiệm phương trình. Từ đó:
3 x
2x 3 3 7 x 6
x 1
3 x
Xét h|m số g x 2 x 3 3 7 x 6
x 1
3
TXĐ: D \ 1
2
1
7
6
g x
2 x 3 33 7 x 6 2 x 12
3
3
g x 0 ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1; .
2
Ta có g 1 0; g 3 0 . Từ đó phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm x 1 và
x 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1; 2 và 3; 2 .
xy ( x 1) x 3 y 2 x y
Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
Lần 1 – THPT CHUYÊN SƠN LA
Lời giải tham khảo
y x
Biến đổi PT (1) x y x y 1 0
2
2
y x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 6
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3x 2 9 x 2 3 4 x 2
x = y thế v|o PT (2) ta được: 2 x 1
Xét f (t ) t
2 x 1
1 x x2 1 0
3 2 (3 x) 2 (3 x) 2 3
f 2 x 1 f 3 x
t 2 3 2 có f '(t ) 0, t.
f l| h|m số đồng biến nên: 2 x 1 3x x
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
y x2 1
Thế vào (2) 3( x 2 1) 2 9 x 2 3 4 x 2 1 2
1
1
y
y x2 1
5
5
1 x x2 1 0
Vế tr{i luôn dương, PT vô nghiệm.
1
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ;
1
.
5
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Bài 13: Giải hệ phƣơng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y .
Lần 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
x 1
Điều kiện:
y 1
x3 x 2 x
y 2
1
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y
1
y 1 .
x 1
x 1
Xét h|m số f t t 3 t trên
có f t 3t 2 1 0t
x
f
f
x 1
y 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
suy ra f(t) đồng biến trên
. Nên
x
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
43 3
5 2 13
41 7 13
y
. Với x
.
2
9
72
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .
5 2 13 41 7 13
43 3
;
Hệ phương trình có hai nghiệm x; y 3 2 3;
& x; y
.
2
9
72
Với x 3 2 3 y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 7
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
2
2
x y 8 x 8 y 3x 3 y
Bài 14: Giải hệ phƣơng trình: 2
.
3
2
5 x 5 y 10 y 7 2 y 6 x 2 x 13 y 6 x 32
Lần 2 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
x 2 0
x 2
Điều kiện :
y 7 0
y 7
3
3
Từ phương trình 1 ta có x 1 5 x 1 y 1 5 y 1
3
Thay 4 vào 2 ta được pt: 5 x 2 5 x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 5
x 2
5x2 5x 10
x 7 3 2x 6
Xét hàm số f t t 3 5t , trên tập
.
5x
4
2
5x 10
Đ/K
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
, f t 3t 2 5 0, t
hàm số f t đồng biến trên
3 : f x 1 f y 1 x y
x 7 3 2 x 6 x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
Từ
5 x 2 5 x 10
2x 6
2
x 2
x 2 x 5
x2 2
x7 3
4
x 2
y 2 x; y 2;2 ( thỏa mãn đ/k)
5 x 2 5 x 10 2 x 6
5 x 2 5 x 10
2x 6
0
5
2
x7 3
x2 2
5 x 2 5 x 10
2x 6
4
y 2 x; y 2;2 ( thỏa mãn
x 2 5 0 x 2
x 2
x2 2
x7 3
đ/k)
1
1
1
1
5 x 2 5 x 10
2x 6
0 (pt n|y vô nghiệm)
x 7 3 5 0,x2 x 2 2 2
0,x2
0,x 2
0,x 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất : x; y 2; 2
Bài 15: Giải bất phƣơng trình:
x2 2
6 x 2x 4 2 x 2
2
1
.
2
Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
Điều kiện : x 2
Do đó bất phương trình 2
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
2 x 2 2 x 12 x 2 6 x 2
Ta có
2
6 x 2x 4 2 x 2
2
2 x2 2 x 4
6 x2 2 x 4 2 x 2
1
0, x 2 Do đó bất phương trình
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 8
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Nhận xét x 2 không là nghiệm của bất phương trình
t 1
2 2t 0
t2
2 2t 12 6t 2
2
2
2
2 t 2 0
4 8t 4t 12 6t
Khi
2 2
x 2
chia
hai
vế
x
x
12 6
x2
x2
bất
2
phương
2 . Đặt t
trinh
1
cho
x2 0
ta
được
x
thì bất phương trình 2 được
x2
x
x x
x x0
thì bất phương trình 2 được
2t22
12
6
2
. xĐặt
2
2t2 3 .
2
x 2x 2
x2
x x42x 8 0
2
Bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3 .
x 1 97 y 2 y 1 97 x 2 97( x 2 y 2 )
Bài 16: Giải hệ phƣơng trình:
( x, y ). .
27 x 8 y 97
Lần 2 – THPT CHUYÊN HẠ LONG
Lời giải tham khảo
Điều kiện: 0 x , y
1
97
1
1 1
1
Thay ( x; y) bằng một trong c{c cặp số (0; 0), 0;
'0 ,
;
,
vào (1), (2) ta
97
97
97
97
1
thấy c{c cặp n|y đều không l| nghiệm. Do đó 0 x , y
97
1
nên 0 a, b 1 . Khi đó (1) trở th|nh
Đặt 97 x a, 97 y b . Do 0 x , y
97
a 1 b b 1 a a2 b2 a a 1 b2 b b 1 a2 0
a
b
( a 2 b 2 1)
2
b 1 a2
a 1 b
1
2
2
2
2
.
0 a b 1 . Suy ra x y
97
Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 . Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ
khi a1b2 a2b1 . Thật vậy,
a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b2 a2 b1 0
2
Do đó 27 x 8 y 97 9 x 4 y 97
Đẳng thức xảy ra khi 4x = 9y v| x 2 y 2
97 x 2 y 2 97 (do x 2 y 2
2
1
)
97
1
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ
97
9 4
pt đã cho l| x; y ;
97 97
9 4
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l| x; y ;
97 97
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 9
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2x x 2 3y 2 7
Bài 17: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
x 6xy y 5x 3y
Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
Lời giải tham khảo
uv
x
u3 v3 7(1)
x y u
2
Đặt
. Ta có hệ phương trình: 2
2
2u 4u v v(2)
x y v y u v
2
Lấy (2) nh}n với −3 rồi cộng với (1) ta được:
u3 6u2 12u 8 v3 3v2 3v 1 0 u 2 v 1 0
3
3
u 1 v . Thay vào phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
Thay v|o phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
v 1
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
v 2
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
1 3
+ v 2 suy ra u = −1. Suy ra x, y ,
2 2
x 3 y 3 3 y 2 3x 6 y 4 0
Bài 18: Giải hệ phƣơng trình:
.
3 7 y 13 3( x 1)
y
2
x
3
Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
Lời giải tham khảo
3
Điều kiện: x
2
3
Từ pt(1) ta có x 3x ( y 1)3 3( y 1)
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng
Xét h|m số f (t ) t 3 3t ; f (t ) 3t 2 3 0, t
biến trên
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên
Mà f ( x) f ( y 1) nên x y 1
Thế x y 1 v|o pt(2) ta được: ( x 1)
Ta có x 1 không l| nghiệm của pt(3). Từ đó
Xét h|m số g( x) 2 x 3 3 7 x 6
2x 3 3 7 x 6 3( x 1) (3)
3( x 1)
x 1
2x 3 3 7 x 6
3( x 1)
x 1
3
Tập x{c định D ; \1
2
1
7
6
g( x)
2
2 x 3 3 3 (7 x 6)2 ( x 1)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 10
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
g( x) 0, x ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1; . Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt
2
g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2)
1
Bài 19: Giải bất phƣơng trình:
x 1
2
1
3x 5
2
2
x 2 1
2
.
Lần 1 – THPT ĐA PHÚC
+) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh:
Lời giải tham khảo
1
1
2
ĐK: t 0 với đk trên, bpt tương đương
t 3
3t 1
t 1
1
1
) 2 . Theo Cô-si ta có:
t 3
3t 1
t
1 2t
11
2t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
t
t t 1 1 t
t 1
.
t 1 t 3 2 t 1 t 3
1
1 t 1 1 1
t 1
t 3
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
1
1 2
11
2
.
VT 2t 0.
2 t 3 2 2 t 3
t 3
( t 1)(
t
1 2t
11
2t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
1
1 t 1 1 1
t 1
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
VT 2t 0.
+) Thay ẩn x được x2 2 x (; 2] [ 2; ) T (; 2] [ 2; ).
Bài 20: Giải phƣơng trình: 32 x 16 x 9 x 9 2 x 1 2 0 .
4
2
Lần 2 – THPT ĐA PHÚC
Lời giải tham khảo
1
, phương trình đã cho tương đương
2
32 x 4 32 x 2 16 x 2 16 x 7 x 7 9 9 2 x 1 0
Điều kiện x
32 x 2 x 2 1 16 x x 1 7( x 1) 9 1 2 x 1 0
32 x 2 x 1 ( x 1) 16 x x 1 7( x 1)
9 2 2x
1 2x 1
18
x 1 32 x 2 ( x 1) 16 x 7
0
1 2x 1
18
x 1 32 x3 32 x 2 16 x 7
0 (*)
1 2x 1
0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 11
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Ta có
32
3
32 x 8 4
1
32
x 32 x 2
8 32 x 3 32 x 2 16 x 7 27
2
4
16
16 x 2 8
18
1 2x 1 1
18
1 2x 1
18
32 x 3 32 x 2 16 x 7
9 0.
1 2x 1
Vậy (*) x 1 .
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1.
2
x 3 xy x y y 5 y 4
Bài 21: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
4
y
x
2
y
1
x
1
Lần 1 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
xy x y 2 y 0
Đk: 4 y 2 x 2 0
. Ta có (1) x y 3
y 1 0
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
u v
Khi đó (1) trở th|nh : u 2 3uv 4v2 0
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào (2)
u 4v(vn)
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o (2) ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1 0
2
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
( vì
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y2
0
y 1 1
1
0 y2
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
Bài 22: Giải bất phƣơng trình:
x 1
x2 x 2 3 2 x 1
.
3
2x 1 3
Lần 2 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 12
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
- ĐK: x 1, x 13
x 1
- Khi đó:
x2 x 2 3 2 x 1
x2 x 6
x
1
2
3
3
2x 1 3
2x 1 3
1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
, *
- Nếu 2 x 1 3 0 x 13 (1)
thì (*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
3
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng biến trên
f
3
2x 1 f
, mà (*):
x 1 3 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 0
1 5 1 5 DK(1)
Suy ra: x ;
VN
0;
2
2
- Nếu 3 2 x 1 3 0 1 x 13 (2)
thì (2*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng biến trên
f
3
2x 1 f
, mà (2*):
1
1 x 2
x 1 3 2 x 1 x 1 1 x 13
2
2
3
2 x 1 x 1
1 5
DK(2)
1 5
;
;13
Suy ra: x 1;0
x 1;0
2
2
1 5
;13
-KL: x 1;0
2
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
Bài 23: Giải hệ phƣơng trình:
.
6
x
1
y
7
4x
y
1
Lần 3 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
ĐK: x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1
Thay v|o (2) ta được 6 x 1 x 8 4x 2
x 1 3 2x 2x x 1 3
2
2
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
Vậy nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3) .
2 x3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
Bài 24: Giải hệ phƣơng trình:
3
x 2 14 x 3 2 y 1
1
2
.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 13
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Lần 4 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
Ta thấy x 0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được
4 3 1
1 2 2 3 2 2 y 3 2 y
x x
x
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y *
x x
Xét hàm f t t 3 t luôn đồng biến trên
1
3 2y
3
x
Thế (3) v|o (2) ta được x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
x 7
0
2
x 2 3 4 2 3 x 15 3 x 15
0
111
Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 7;
.
98
* 1
2 x y 6 1 y
Bài 25: Giải hệ phƣơng trình:
9 1 x xy 9 y 0
2
.
Lần 5 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
x y 6 0
x 1
Đk:
+) Nếu y 0 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 .
VT (1) 2 x y 6 2 5
VT (1) VP(1) hệ vô nghiệm.
VP(1) 1 y 1
+) Nếu y<0, từ (2) suy ra x>0
2
3
3
2
9 1 x xy 9 y 0
9
y 9 y (3)
x
x
9 2t 2
2
Xét h|m số f (t ) t 9 t , t 0; f '(t )
0t 0
9 t2
3
9
3
(3) f
y x 2
f ( y )
y
x
x
2
9
9
y 6 1 y (4). H|m số g ( y ) 2 2 y 6
2
y
y
đồng biến trên ;0 ; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên ;0 v| phương trình có ngiệm
Thế v|o pt(1) ta có phương trình 2
y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3).
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 14
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
Bài 26: Giải hệ phƣơng trình:
x2
x
2
x
y
x
y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x3
4
x2
2x 2
3
y
x
y
3
1
.
Lần 1 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC
Lời giải tham khảo
x y 4 0
Điều kiện
x y 4 0
2 y x 1 thế (1) ta được: x 2 2x 3 x3 x2 x 2
x 1
2
2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0
x 1
x 2
Hệ có nghiệm x; y 1; 2 ,
2; 2 1
Bài 27: Giải bất phƣơng trình: x 2 x 6
x
2
x 6
x
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 3x 2 9x 2 .
Lần 2 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC
Lời giải tham khảo
x 1 3x 2 9x 2
x 1 1 x 2 x 1 2 2x 10x 12
x 6 x 2 x 2 x 3
2x 10x 12
x2 x 6
2
2
2
x 1 1
x 5x 6 x 2
2
x 1 2
x 2 5x 6
2 x
x 1 2
2
5x 6
x 1 1
x 2
1
x 2 5x 6
2 0
x 1 2
x 1 1
2
x 1 1
1
2
x 5x 6
0
x 1 2
x 1 1
x 1;2 3;
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
Bài 28: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
x
y
3
y
3
x
7
Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
2
Đk: y 1, x 0, y 3 x
1
2 y 1 x 0
Từ pt (2) ta có : y x 1
y 1 x
Suy ra, y = x + 1
Thay vào pt (1) ta được
x2 x 1 x2 x 1 7 3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 15
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Xét h|m số: f ( x) x2 x 1 x2 x 1
Chứng minh h|m số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2
Vậy nghiệm của hệ l| (2;3)
Bài 29: Giải hệ phƣơng trình:
x2
y2
x
y
2xy
x y
x2 y
1
.
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x y 0 .
1
2
2
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
xy
(1) ( x y)2 1 2 xy 1
x y 1 0 (vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0 )
Thay x 1 y vào (2) ta được: 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0 x 1 y 0
x 2 y 3
Vậy hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3)
x
Bài 30: Giải hệ phƣơng trình:
x
2y
3
1
2xy y
2x 2
x
5
5x
1
10y
8x
2y
2
4y (y
6
0
1)
.
Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
+ Điều kiện:
x
2y
5
x
x
x
2y
x2
Dễ thấy x 2
y
2x
x
2y 2
x
2x 2
8x
5
2y 2
2y
2y 2
2
1
x
x
1
2y
2y
8x
2y
5
0
6
6
0
0
0
y
Do đó hệ
2x 2
x
5
2xy
2xy
2
1
2y x 2
1
2xy
x
2y
x
2y
0
0
x
+Ta có hệ
1
5
0
2y
5
4
2y
0
x2
y2
2xy
y2
0 : vô nghiệm với x, y
R.
2x 2
6
x
1
5
2x 2
7x
8x
2y
2y
1
4
0
0
2y
5
x
6
0 (*)
x
2x 2
2y
Giải phương trình:
+) Điều kiện:
2x
1
1
2
x
5
7x
7
0 (*)
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 16
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
+) Phương trình 2x
2x 8
x 4
2x
1
3
1
1
(x
x
5
x
4
3
Vậy hệ có nghiệm x ; y
4)(2x
1
x
1)
2x 2
7x
4
(2x
1)
0
4
y
0
0
1
1
1
1
5
2
2
2x
1
0
2x
Dễ thấy
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
5
x
3
1
(2x
5
1)
x
0 nên x
2
4;2 .
x x2 y 2 x2 2 x y 2 3
Bài 31: Giải hệ phƣơng trình:
x, y
3 x3 2 x y 2 x 2 y 2 2
2
y
1
x
x
2x 1
.
Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
Lời giải tham khảo
ĐK: x y 2 0
Từ PT(1) tìm được x x y 2 x 2 x y 2
Thế v|o (2) đưa về pt chỉ có ẩn x
3
1
1
2
2
Đưa được về h|m 1 1 1 3 1
x
x
x
x
Xét hàm f t t 3 t đồng biến trên »từ đó được pt 1
1 3
2
1 giải được
x
x
5 1
5 1
L , x
N
2
2
æ 5 -1
ö
Nghiệm ç
; ± 5 - 2÷
è 2
ø
x
x y x y 2
Bài 32: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
2
2
x y 1 3 x y
Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
Đặt:
ta có hệ: u 2 v 2 2
v x y
uv
3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
. Thế (1) v|o (2) ta có:
uv 3 (2)
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 17
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
Kết hợp (1) ta có:
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2)..
( x y )( x 2 xy y 2 3) 3( x 2 y 2 ) 2
Bài 33: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
4 x 2 16 3 y x 8
Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
16
ĐK: x 2, y
3
3
(1) ( x 1) ( y 1)3 y x 2 Thay y=x-2 vao (2) được
4( x 2)
3( x 2)
4 x 2 22 3x x 2 8
( x 2)( x 2)
x22
22 3x 4
x 2
4
3
( x 2)
0(*)
x 2 2
22 3 x 4
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên h|m số đồng biến. suy ra x=-1 l| nghiệm duy nhất
của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)
x x 2 x 4
Bài 34: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
x y x y 44
y 1 y 3 y 5
.
Lần 3– THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
Xéth|m số f t t t 2 t 4 trên 0; , có
f t
1
2 t
1
1
0, t 0;
2 t 2 2 t 4
Nên (1) x x 2 x 4
Thay (*) vào (2):
y 5 4 y 5 2
y 3 y 2 1
Nh}n (3) với lượng liên hợp: 5
y 5 x y 5 (*)
(3)
y 3 y 2 (4)
(3), (4) y 3 3 y 6
ĐS: 1; 6
x x2 y y x 4 x3 x
Bài 35: Giải hệ phƣơng trình:
9.
x y x 1 y( y 1)
2
Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP
Đk: x 1; y 0
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 18
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
pt(1) x x 2 y y x x 2 x x x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x2 y x2 x x y
x
y x
1 0
x2 y x2 x
x
L}̣p lu}̣n
x2 y x2 x
1 0 với x 1; y 0
Với x y thay vào pt(2): x x x 1
x ( x 1)
2
9
2
x x 1 8 0 (2’) Giải pt(2’) được: x
x x 1 2
25
25
y
6
6
25
25
y
6
6
25 25
V}̣y hpt có nghiệm ;
6 6
Giải pt(2’) được: x
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Bài 36: Giải hệ phƣơng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y R .
Lần 2 – THPT HÀ HUY TẬP
Lời giải tham khảo
x 1
Điều kiện:
y 1
3
x x2 x
y 2
1
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y
1
y 1 .
x 1
x 1
Xét hàm số f t t 3 t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đồng biến trên R. Nên
y 1
x
x
f
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
f y 1
x 1
x 1
3
Xét h|m số f t t t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đồng biến trên R. Nên
x
f
f
x 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
x
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
x2
1
x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 19
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
43 3
5 2 13
41 7 13
. Với x
.
y
2
9
72
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .
43 3
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm x; y 3 2 3;
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
Với x 3 2 3 y
Bài 37: Giải bất phƣơng trình: 1 x x2 1 x2 x 1(1 x2 x 2) .
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
Lời giải tham khảo
Bất phương trình đã cho tương đương
( x x2 1 x2 x 1 x2 x 2) (1 x2 x 1) 0
( x 1)(2 x 2 x 2)
x(1 x)
0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
( x 1)(
)0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
( x 1).A 0 (1) với A
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2
2
x x 1 x 1
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1
Nếu x 0 thì
2
x x 2 x
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 0 A 0
Nếu x>0 , {p dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
x2 x 1 x2 x 2
3
2
x2 x
x x 1 x x 2
2
2
2
2
x x2 1 x x 1 x2 1
2
2
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 2 x2 x 2
x
x
A 1
0 vì
1
1 x2 x 1
1 x2 x 1
Tóm lại , với mọi x ta có A>0. Do đó (1) tương đương x 1 0 x 1 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1; ) .
Chú ý : Cách 2. Phƣơng pháp hàm số
Đặt u x 2 x 1 u 2 x 2 x 1 thế v|o bpt đã cho ta có
u 2 x 2 x x x 2 1 u (1 u 2 1)
u2 u u u2 1 x2 x x x2 1
Xét f (t ) t 2 t t t 2 1 )
f ' (t ) (t t 2 1) 2 t 2 1 0t nên h|m nghịch biến trên R
Do đó bpt u x x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 20
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2 x 2 y 2 2 x 1 x 2 2 x 3 4 x 2 y 1
Bài 38: Giải hệ phƣơng trình:
x, y .
2
xy 2 y 1 x 2 x
Lần 1 – THPT THỰC HÀNH CAO NGUYÊN
Lời giải tham khảo
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: y 1 x2 2 x
Thay v|o phương trình thứ nhất ta được: x 1 1
x 1
2
2 x 1
x
2
2
2
t
f t t 1 t 2 2 f ' t 1 t 2 2
0, t
t2 2
1
1
Cho ta x 1 x x y 0 . Nghiệm của hệ : x; y ;0
2
2
Bài 39: Giải bất phƣơng trình:
5x
2
5x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 .
Lần 1 – THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM
Lời giải tham khảo
Điều kiện x 2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5 x 2 5 x 10)
x 7 3 (2 x 6)
x3 13x 2 6 x 32
(5x2 5x 10)
x 2 2 3(5 x 2 5 x 10) 2(2 x 6)
x 7 3 (2 x 6)
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 0
5 x 2 5 x 10
2x 6
x 2
x2 5 0
x22
x7 3
1
1
2x 6
2x 6
Do x 2 x 2 2 2
và vì 2 x 6 0
x 3 (1)
2
x2 2 2
x2 2
1
1
Do x 2 x 7 3 5 3 5
và vì 5x2 5x 10 0 x
x7 3 5
2
2
5 x 5 x 10 5 x 5 x 10
5 x 2 5 x 10
x2 x 2
x 2 5 x 3 (2)
5
x7 3
x7 3
2
5 x 5 x 10
2x 6
x 2 5 0 . Do đó (*) x 2 0 x 2
Từ (1) và (2)
x7 3
x2 2
Kết hợp điều kiện x 2 2 x 2 .
x y 1 x 1 x 3 y 2 x 3 y 2
Bài 40: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
x 2 y 4 x 2 x 4 y 2
Lần 1 – THPT ĐOÀN THƢỢNG
Lời giải tham khảo
2
2
ĐKXĐ x 2, y 4 . (1) y ( x x 3) y x3 x2 2 x 2 0
Giải pt bậc 2 ta được y x 1 hoặc y x 2 2 Với y x 1 thay v|o PT (2) ta được
x 2 x 5 x2 2x 4 x 1
Với y x 1 thay v|o PT (2) ta được
x 2 x 5 x2 2x 4 x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 21
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x2
f '(t ) 1
x2
t
t 3
2
2
3 x 1 ( x 1) 2 3 Xét
0, t
f (t ) đồng biến trên
Xét h|m số f (t ) t t 2 3 có f '(t ) 1
Vậy f
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
t
t2 3
hàm
số
f (t ) t t 2 3
có
.
0, t
f (t ) đồng biến trên
.
x 1
x 1 0
x 2 f x 1 x 2 x 1
3 13
2
x 2 ( x 1)
x
2
3 13
5 13
Với y x 2 2 thay v|o PT (2) ta được
y
2
2
2
Với y x 2 thay v|o PT (2) ta được
x
x 2 x2 6 x2 2x 4 x2
x 2 1
x2 6 x2 2x 4 x2 1
x 1
2x 2
( x 1)( x 1)
x 2 1
x2 6 x2 2x 4
x 1 0
x 1 y 3
1
2
x 1 x 7 y 81
x 2 1
4
16
x2 6 x2 2x 4
3 13 5 13
7 81
;
Vậy hệ có 3 nghiệm l|
, 1;3 , ;
2
4 16
2
4 y x 2 7 2 y 85 50 x 7 y 13 y 2 x3
Bài 41: Giải hệ phƣơng trình:
.
2 x 2 3xy 4 y 2 4 x 2 3xy 2 y 2 3( x y )
Lần 2 – THPT ĐOÀN THƢỢNG
Lời giải tham khảo
7
6
11 2 23
7 11
y) (x y) 2 ( x y) 2 .
6
36
6
6
7 11
7 11
7 11
2 x 2 3xy 4 y 2 ( x y)2 x y x y .
6
6
6
6
6
6
-
Ta có 2 x 2 3xy 4 y 2 ( x
-
Nên
-
Tương tự
-
Cộng lại ta được :
11 7
11 7
11 7
4 x 2 3xy 2 y 2 ( x y)2 x y x y
6
6
6
6
6
6
2 x 2 3 xy 4 y 2 4 x 2 3 xy 2 y 2 3( x y ) dấu bằng xảy ra khi
x y 0.
7 11 23
; ;
trên như sau :
6 6 36
2
2
2
2
2 x 3xy 4 y (ax by) c.(x y)
Do tính đối xứng nên giả sử : 2
2
2
2
4 x 3xy 2 y (b x ay) c.(x y)
Chú ý : Cách tìm các hệ số
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 22
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
a 2 c 2
Khai triển và đồng nhất hệ số ta có hệ số của x là b 2 c 4
a b 3 do VP 3(x y)
Trừ
từng
vế
(1)
cho
(2)
và
kết
hợp
với
(3),
ta
được
7
11
23
a ; b ; c . PT (1) 4 x x 2 7 2 x 85 57 x 13x 2 x3
6
6
36
-
PT (1) 4 x x 2 7 2 x 85 57 x 13x 2 x3
5 x x 4 2 1
4 x x 2 7 2x
-
copki ta có :
Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có :
VT 2 (4 x)2 12 .(x 2) (7 2 x) (4 x) 2 12 .(5 x)
5 x x 4 2 1
4 x x 2 7 2x
-
Áp dụng bất đẳng thức bunhia
4 x
x2
1
7 2x
Dấu
bằng
xảy
ra
khi
x 3 , nghiệm (x; y) (3;3)
Dấu bằng xảy ra khi
4 x
x2
1
7 2x
x 3 , nghiệm (x; y) (3;3)
Bài 42: Giải phƣơng trình: 3(2 x 2) 2 x x 6 .
Lần 1 – THPT ĐÔNG DU
Lời giải tham khảo
ĐK: x 2
3(2 x 2) 2 x x 6 2( x 3) x 6 3 x 2 0
8( x 3)
2( x 3)
0
x 6 3 x 2
x 3
x 3
8
0
2
x 6 3 x 2 4
x 6 3 x 2
x 3
x 11 3 5
2
Vậy pt có tập nghiệm S 3
Bài 43: Giải bất phƣơng trình:
2 x 7 5 x 3x 2 .
Lần 2 – THPT ĐÔNG DU
Lời giải tham khảo
2
x 5 . Biến đổi PT về dạng
3
2 x 7 3x 2 5 x
+ Bình phương hai vế, đưa về được 3x2 17 x 14 0
+ ĐK:
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 23
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
+ Giải ra được x 1 hoặc x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
14
3
+ Kết hợp với điều kiện, nhận được
2
14
x 1 hoặc
x5
3
3
x3 y 3 3 y 2 x 4 y 2 0
Bài 44: Giải hệ phƣơng trình: 3
x x 3 2 x 2 y
( x, y ) .
Lần 3 – THPT ĐÔNG DU
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x 2 .
(1) x3 x 2 y 3 3 y 2 4 y x3 x 2 y 1 y 1 2 . Xét hàm số f t t 3 t 2 trên
3
2; .
Xét h|m số f t t 3 t 2 trên 2; .
Ta có: f ' t 3t 2 1 0, t 2; .
Mà f t liên tục trên 2; , suy ra h|m số f t đồng biến trên 2; .
Do đó: x y 1. Thay y x 1 và phương trình (2) ta được: x3 3 2 x 2 1
Thay y x 1 v| phương trình (2) ta được: x3 3 2 x 2 1
x3 8 2
x 2 2 x 2 x2 2x 4
x 2 x 2x 4
2
2
x2 2
x 2 x2 2x 4
x22
2 x 2
x2 2
x2 2
0
x2 2
2
x2 0 x 2 y 3
x2 2 x 4
2
x22
0 x2 2 x 4
Ta có VT x 2 2 x 4 x 1 3 3;VP
2
2
x2 2
(*)
2
1, x 2;
x2 2
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;3 .
Bài 45: Giải bất phƣơng trình:
x ( x 1) x3 5x 2 8x 6 ( x R )..
Lần 1 – THPT ĐỒNG GIA
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x 0.
(1) x x x ( x3 6 x2 12 x 8) ( x 2 4 x 4) 2
( x )3 x x ( x 2)3 ( x 2)2 ( x 2) (2) Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t +
1 > 0, t.
Xét h|m số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, t.
Do đó h|m số y = f(t) đồng biến trên R, mặt kh{c (2) có dạng
f
x f x 2
x x2
(3).
+) Với 0 x 2 l| nghiệm của (3).
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 24
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
+) Với 0 x 2 l| nghiệm của (3).
+) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta được x2 5x 4 0 1 x 4
Kết hợp nghiệm ta được 2 < x 4 l| nghiệm của (3).
Vậy nghiệm của (3) l| 0 x 4 , cũng l| nghiệm của bất phương trình (1).
2
2
x xy 2 y 2 y 2 x (1)
Bài 46: Giải hệ phƣơng trình:
.
y
x
y
1
x
2.
(2)
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
ĐK: x y 1 0.
(3)
x y
(1) x 2 y 2 xy y 2 2 y 2 x 0 ( x y )( x 2 y 2) 0
x 2 2 y (4)
Từ (3) & (2) ta có x=y=1.
y 0; x 2
x 2 2 y
Từ (4) & (2) ta có
y 1; x 8.
y
3
3
y
2
y
3
3
8
3
1
3
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm x; y 1;1 ; x; y 2;0 ; x; y ; .
x 2 xy 2 y 2 3 y 1 y 1 x
Bài 47: Giải hệ phƣơng trình:
.
3
6
y
2
x
3
y
7
2
x
7
Lần 1 – THPT ĐỒNG ĐẬU
Lời giải tham khảo
x 0
Điều kiện 1 y 6
.
2 x 3 y 7 0
Với điều kiện trên ta có :
y 1 x
(1)
( y 1 x)( y 1 x) y ( y 1 x) 0
y 1 x
1
( y 1 x)
y 1 x y 0
y 1 x
y x 1
1
y 1 x y 0 (*)
y 1 x
x 0
+ Với
, suy ra phương trình (*) vô nghiệm
1 y 6
+ Với y x 1 thay v|o (2) ta được 3 5 x 3 5x 4 2 x 7 (3)
4
Điều kiện
x 5 ta có :
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 25
