Ứng dụng tích descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học (KLTN k41)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG

ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG
TOÁN TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI, 2019

1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG

ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES
TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG
TOÁN TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2019
2


LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục Tiểu
học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo môi trường học tập tốt nhất để
em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại.
Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình chỉ
bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng
tích Descartes trong dạy học một số dạng toán Tiểu học” .
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp
của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiện tại.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Bích Phượng

2
1


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản
thân em dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào. Các tài liệu tham khảo,
trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Bích Phượng

2
1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 1
4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................... 2
5. Phạm vi nghiên cứu............................................................................................ 2
6. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................... 2
7. Bố cục khóa luận................................................................................................ 2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3
1.1. Một số vấn đề về lịch sử. ............................................................................... 3
1.2. Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp.;....................................................... 3
1.3. Cách xác định một tập hợp.............................................................................. 4
1.3.1. Liệt kê các phần tử. ...................................................................................... 4
1.3.2. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp...................... 4
1.4. Khái niệm Tích Descartes............................................................................. 5
1.5. Lũy thừa Descartes.......................................................................................... 6
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC .................................................................... 7
2.1. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học .............. 7

2

1


2.2. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán hình học.........34
KẾT LUẬN ..........................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO

2
1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Chúng ta biết rằng, cấp độ của học sinh tiểu học là sự khởi
đầu cho sự phát triển trí tuệ cho trẻ. Ở cấp học này, các em học sinh đã được làm
quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ở dạng đơn
giản, dễ hiểu.
Tuy nhiên, sịnh viên được đào tạo trong ngành Giáo dục Tiểu học thường nghĩ
rằng các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy và
học toán Tiểu học. Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy từ lý
thuyết, quy tắc ở chính các bậc học cao hơn.
Để minh chứng cho những suy nghĩ mang tính không chuẩn xác đó, được sự
định hướng của người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về tích Descartes và ứng
dụng của lý thuyết này trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học, để hoàn thành
khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng tích
Descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học” với hai mục đích
(i) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một số
dạng toán Tiểu học.
(ii) Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp
hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này.
2. Mục đích nghiên cứu. Đưa ra được những cách giải toán hữu hiệu nhất khi

ứng dụng tích Descartes trong việc giải một số bài toán bậc Tiểu học.
Bên cạnh đó nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng phát hiện và giải quyết
vấn đề của học sinh tiểu học trong khi giải các bài toán thuộc dạng này.
3. Đối tượng nghiên cứu. Tích Descartes và một số bài toán bậc Tiểu học được
ứng dụng tích Descartes.

1


4. Giả thuyết khoa học. Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa ra được những
cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng tích Descartes, nhằm
nâng cao hiệu quả dạy và học.
Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán tiểu
học.
5. Phạm vi nghiên cứu. Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng
toán bậc tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Phương pháp phân tích, tổng hợp.
7. Bố cục khóa luận. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài
gồm 2 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán
Tiểu học.


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số vấn đề về lịch sử. René Descartes (1596–1650) là triết gia, nhà
khoa học, nhà toán học người Pháp. Ông có nhiều đóng góp quan trọng ở nhiều

lĩnh vực khác nhau, trong đó lĩnh vực chính là toán học. Đóng góp quan trọng
nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các
trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân
loại được các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình đã tạo nên
chúng. Ông còn có những đóng góp quan trọng vào lý thuyết về các đẳng thức.
Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái
x,y,z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ
a,b,c
cái
để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy
thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x 2 ). Hơn nữa, chính ông đã thiết
lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm
âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào.
1.2. Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp. Tập hợp được hiểu là một lớp
như: một số các vật thể; các đối tượng toán học nào đó;... với những tính chất
chung để xác định được những đối tượng hay những vật thể trong đó.
Người ta ký hiệu các tập hợp bằng các chữ cái in hoa A,B,X,Y,... . Các vật thể
hay các đối tượng của một tập hợp được ký hiệu bởi các chữ thường a,b,x,y,.
..
và được gọi là “ph n t ” của tập hợp đó. Hai phần tử x và y của tập hợp X
giống nhau ta viết là x

y và nói là “ x trùng y ”. Tập hợp X gồm các phần tử

x,y,z,... được viết là
X

Ký hiệu x

X

t p h p X ” hoặc “ x à

ủ t p h p X ”. Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X ta ký

một ph n t
hiệu Xlà x

đọc là “ x

{x;y;...}.
z;
à một ph n t thuộ

.


Ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A

B nếu hai tập hợp này có

những phần tử như nhau. Trong trường hợp, có những phần tử thuộc tập hợp A
nhưng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộc tập hợp B nhưng lại
không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp này khác nhau và viết là A

B.

1.3. Cách ác định một tập hợp. Có hai cách thông thường để xác định một tập
hợp như sau
1.3.1. Liệt kê các phần tử. Một tập hợp coi như được xác định khi ta liệt kê

được các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ 1. Các tập hợp sau được xác định với sự liệt kê các phần tử của nó như sau
A

{1,
}
3,5,7
B {0,2, , 8}
4, 6
Ví dụ . Tập hợp X các chữ cái in hoa để viết tên bạn Lan là
X

{L,A, }.
N
1.3.2. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp. Một bộ
phận A của tập hợp X mà mọi phần tử của nó đều thỏa mãn tính chất nào đó
(gọi đó à thuộ tính đặ trưng của t p h p A ) được ký hiệu bởi

x

A

X : xcó tính chất

Ví dụ 3. Tập hợp các tự nhiên ch n

C

.

và tập hợp các số tự nhiên lẻ được viết

tương ứng là
x

C

: x chia hết cho 2

và
l

x

: x chia cho 2 dư 1 . 1.4.


1.4. Khái niệm Tích Descartes. Tích Descartes của hai tập hợp A và B , ký
hiệuA B , là một tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng
với a là một phần tử
(a,b)
của A và b là một phần tử của B . Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập
hợp
A B

{(a,b) | a

A,b

B}

Ví dụ 1. Cho hai tập hợp gồm các phần tử như sau
A

{1,5};B
{x,y,z}

Thế thì, ta xác định được hai tích Descartes dưới đây
A

B
1,y);(1,z);(5,x);(5,y);(5,z)}
{(1,x);(

B

A
(

và
{(x,1);
x,5);(y,1);(y, 5);(z,1);(z,5)}

Một số tính chất
Theo ví dụ 1, tích Descartes là phép toán không có tính giao hoán. Phép toán này
có tính chất kết hợp.
Trong toán học,lực lượng của một tập hợp về cơ bản để hiểu một cách đơn giản
ta hình dung qua các tập hợp hữu hạn dùng đề chỉ “số phần tử” có trong tập hợp
đó.
Nếu A ,A ,..., là n tập hợp hữu hạn (n

1
2
An

1), khi đó số phần tử của tích

Descartes các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần.


Việc chọn một phần tử của tích đề các A1 A2 ... An được tiến hành bằng
cách chọn lần lượt một phần tử của A , một phần tử
1

An . Khi đó, ta nhận được đẳng thứ

A2,... , một phần tử của

của

| A1 ... An | | A1 | ... | An
Trong ví dụ 1, ta thấy | A | 2,| B | 3và ta thấy| A B | 2 3

6
.

Tích Descartes giữa hai tập (hoặc một số hữu hạn tập) đếm được là đếm
được.1.5.
1.5. Lũy thừa Descartes. Ta có lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình phương
Descartes) của tập hợp A được định nghĩa là tích Descartes của A với A
A

2

A A

Tương tự, tích Descartes bậc n được xác định như sau
A

n

A A ... A (có n tập hợp A ở vế phải)


CHƯƠNG
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ
DẠNG TOÁN TIỂU HỌC
Đối với bậc Tiểu học, đặc biệt là về cuối cấp, ta nhận thấy rằng có rất nhiều bài
toán được giảng dạy, áp dụng triệt để liên quan đến tích Descartes. Em xin minh
họa một số bài toán để làm rõ luận điểm trên
.1. Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học
Bài toán 1. Tìm và liệt kê các số có hai chữ số chia hết cho 2
.
Hướng dẫn. Để hướng dẫn cho học sinh giải bài toán này, giáo viên đã biết
trong hệ thập phân các số được cấu tạo từ mười chữ số là 0,1,2, 3,
4,5,6,7, 8,9.
Số có hai chữ số có dạng ab với chữ số hàng chục phải khác 0 . Như thế,
các chữ số hàng chục a là các phần tử của tập hợp
A {1,2, ,5,6,7,
8,9};
3, 4

với A

9

Căn cứ vào dấu hiệu của số tự nhiên chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng là
0,2, 4,6, 8 hay các số có chữ số tận cùng là số ch n, giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh tìm ra được chữ số hàng đơn vị. Như vậy, chữ số hàng đơn vị b
thuộc
tập hợp
B

{0,2, , 8}; với B
4, 6

5


Qua việc phân tích đó, ta có thể thấy rằng các số có hai chữ số chia hết cho 2
chính là số phần tử của tích Descartes của tập hợp A và tập hợp B ở trên. Từ
đó, giáo viên có thể dễ dàng biết được số các số có hai chữ số chia hết cho 2 là


A B

9 5

45(số)

Ngoài việc nắm rõ về khái niệm tích Descartes, để giúp người giáo viên có thể

định hình và hướng dẫn học sinh có thể biết được số các số có hai chữ số chia
hết cho 2 mà còn có thể hướng dẫn các em liệt kê được đầy đủ các số mà không
thừa cũng không thiếu qua việc biểu diễn sắp thứ tự của tích Descartes. Theo đó,
ta nhận được các số sau
10

12

14

16

24

26

34

36

44

46

54

56

64

66

74

76

84

86

94

96

18
20

22
28

30

32
38

40

42
48

50

52
58

60

62
68

70

72
78

80

82
88

90

92
98.

Bài toán 2. Tìm số các số có hai chữ số chia hết cho cả 2 và 5
.


Hướng dẫn. Tương tự như bài toán 1, số có hai chữ số có dạng cấu trúc ab với

chữ số hàng chục phải khác 0. Như thế, các chữ số hàng chục a thuộc tập hợp
A {1,2, ,5,6,7,
8, 9};
3, 4

với A

9.


Để số đó có thể chia hết cho 2 thì số tận cùng phải là số ch n, tức là một trong
các chữ số {0,2, 4,6, 8} , để số đó chia hết cho 5 thì tận cùng chỉ có thể là
một
trong hai chữ số {0, 5} . Từ đó ta thấy để số có 2 chữ số chia hết đồng thời cả
2
và 5 thì chữ số tận cùng phải bằng 0 hay thuộc tập hợp
B

1

{0};
với B

Vậy số có hai chữ số chia hết đồng thời cả 2 và 5 là lực lượng của tích
Descartes A B và bằng
A B

9 1

9(số)

Bài toán 3. Từ các số 1,2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ
số ?
Hướng dẫn. Để giải bài toán này, học sinh có thể tiến hành giải bằng nhiều cách
khác nhau.
Giải bằng phương pháp liệt kê: Một cách trực quan, học sinh sẽ chọn và ghép hai
số giống nhau hoặc khác nhau lại với nhau để được một số có hai chữ số. Theo
cách làm đó, học sinh sẽ nhận được các số như sau
11

12

13

14

21

22

23

24

31

32

33

34

41

42

43

44

Bằng cách liệt kê, học sinh sẽ nhận được kết quả là 16 số có hai chữ số có thể lập
được từ các số1,2, 3, 4 .


Ta thấy rằng, bằng phương pháp này, với các bài toán cho trước 2 đến 4 số thì
việc thực hiện có thể dễ dàng và không có sai sót. Nhưng đối với các bài toán


cho trước nhiều số, thì việc giải bài toán bằng phương pháp liệt kê như trên sẽ
mất nhiều thời gian và học sinh có thể liệt kê thiếu hoặc trùng.
Để hướng dẫn học sinh giải bài toán này, tránh trường hợp học sinh liệt kê trùng
hoặc thiếu các số, giáo viên nên hướng dẫn học sinh sử dụng tích Descartes. Số
tự nhiên có 2 chữ số có dạng ab .
Chữ số hàng chục a thuộc tập hợp
A

{1,2, }; với A
3, 4

4.

Chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp
B

{1,2, }; với B
3, 4

4.

Theo trên, ta có thể biết được các số tự nhiên có hai chữ số có thể lập được từ
các số 1,2, 3, 4 là
A B

4 4

16(số).

Bài toán 4. Từ các số 1,2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số
mà các chữ số đôi một khác nhau ?
Hướng dẫn. Số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab;a
này sẽ trải qua hai bước
Chữ số hàng chục a thuộc tập hợp
A

{1,2, }; với A
3, 4

Chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp

4.

b . Việc tạo thành số


B

{1,2, } \ {a}; với B
3, 4

3 (do không chọn lại a )

Theo trên, ta có thể biết được các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số đôi
một khác nhau có thể lập được từ các số 1,2, 3, 4 là
A B

4 3

12(số)

Bài toán 5. Cho các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
bốn chữ số khác nhau.
Hướng dẫn. Để giải bài toán này, học sinh có thể thực hiện bằng phương pháp
liệt kê: Học sinh tiến hành chọn và ghép bốn chữ số lại với nhau sao cho các chữ
số không lặp lại (các chữ số khác nhau). Bằng phương pháp đó, học sinh sẽ nhận
được các số
1576

5167
7165

6157

1567

5176
7156

6175

1657

5716
7615

6715

1756

5617
7516

6517

1765

5761
7651

6571

1675

5671
7561

6751

Bằng phương pháp liệt kê, học sinh sẽ nhận được kết quả là 24 số có bốn chữ số
khác nhau có thể lập được từ các chữ số 1,5,6,7. Tuy nhiên, qua việc thực


hiện ta thấy rằng phương pháp này mất nhiều thời gian và việc chọn và ghép các
chữ số với nhau sẽ gây nhầm lẫn, cần sử dụng một phương pháp ngắn gọn và có
tính chính xác cao hơn.


Để hướng dẫn cho học sinh giải bài toán này, tránh liệt kê trùng hoặc thiếu, giáo
viên nên hướng dẫn học sinh sử dụng tích Descartes.
Số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd . Chữ số hàng nghìn a thuộc tập hợp
{1, 5, 6
}; với A
,7

A

4.

Chữ số hàng trăm b thuộc tập hợp
B

{1, 5, 6} \ {a}; với B
,7

3 .

Chữ số hàng chục c thuộc tập hợp
C

{1,5,6} \ {a,b}; với C 2 .
,7

Chữ số hàng đơn vị d thuộc tập hợp
D

{1,5,6} \ {a,b,c}; với D 1
,7

Qua việc phân tích trên, ta thấy rằng số các số tự nhiên có thể lập được từ các số
1,5,6,7 chính là phần tử của tích Descartes của tập hợp A , tập hợp B , tập hợp

C và tập hợp D . Từ đó, có thể biết được số các số tự nhiên có bốn chữ số có thể
lập được từ các chữ số 1,5,6,7 là
A B C

D

4 3 2 1

24
(số)

Bài toán 6. Cho các chữ số 2, 3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm ba
chữ số khác nhau?


Hướng dẫn. Để tránh trường hợp học sinh liệt kê một cách trực quan dẫn đến
việc liệt kê trùng hoặc thiếu, giáo viên nên sử dụng tích Descartes. Ta thấy, số có
ba chữ số có dạng cấu trúc abc . Trong đó, chữ số hàng trăm a thuộc tập hợp
A

{2, 3, }; với A
4, 5

4.

Chữ số hàng chục b thuộc tập hợp
{2, 3, }; với B
4, 5

B

4.

chữ số hàng đơn vị c là số lẻ nên thuộc tập hợp
C

{3,5
với C
};

2.

Mỗi một số lẻ có ba chữ số thành lập từ bốn chữ số cho trước tương ứng với một
phần tử của tích Descartes A B C và số các số đó bằng
A B C

4 4 2

(số)
32

Bài toán 7. Cho tập E {1;2; 3
;5;6;7; 8;9} . Từ các phần tử của E có thể
lập ; 4
được bao nhiêu số tự nhiên ch n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau ?
Hướng dẫn. Nếu học sinh tiến hành giải bài toán này bằng phương pháp liệt kê
với tập E gồm 9 chữ số thì việc liệt kê ra tất cả các số tự nhiên ch n gồm bốn
chữ số đôi một khác nhau sẽ mất nhiều thời gian hoặc xẩy ra trùng, thiếu.
Đối với bài toán cho trước nhiều chữ số và yêu cầu từ những chữ số đó lập thành
một số tự nhiên khác, ta nên áp dụng sử dụng tích Descartes vào trong giải toán
để việc giải toán không mất nhiều thời gian và độ chính xác cao.


Viết số tự nhiên có bốn chữ số dạng abcd . Vì số này là số ch n nên chữ số
hàng
đơn vị d thuộc tập hợp
D

4.

{2,
}; với D
4,6, 8

Chữ số hàng nghìn a thuộc tập hợp
A {1,2, ,5,6,7, 8,9} \
{d};3, 4

với A

8.

Chữ số hàng trăm b thuộc tập hợp
B

{1,2,3,5,6,7,8,9} \ {d,a}; với B7
,4

.

Chữ số hàng chục c thuộc tập hợp
C

{1,2,3,5,6,7,8,9} \ {d,a,b}; với C6
,4

.

Theo trên, ta biết được các số tự nhiên ch n có bốn chữ số đôi một khác nhau có
thể lập được từ các phần tử của E là:

A B C D
1311

4 8 7 6

(số)

Bài toán 8. Với ba chữ số 2, 0, 5 :
a) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 2
. b) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho

5.
Hướng dẫn
a) Cách 1. Bằng cách trực quan, học sinh có thể tìm được các số có ba chữ số

khác nhau và chia hết cho 2 là


250,502,
520