Đề thi và đáp án thi HSG Toán 6

Phòng Giáo dục- Đào tạo
*****
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 1 trang
Bài 1: (6 điểm)
Câu 1: Tính:
a)
[ ] [ ]
2008.57 1004.( 86) : 32.74 16.( 48) + +
b) 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 + 2006 2007 2008 + 2009
Câu 2: Cho: A =
309
1
308
1
.................
5
1
4
1
3
1
2
1
++++++
B =
308
1

307
2
306
3
...................
3
306
2
307
1
308
++++++
Tính
B
A
?
Bài 2: (5 điểm)
Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì
đợc các số d lần lợt là 5 ; 8 ; 15.
Câu 2: Tìm x biết:
0
16
1
3
21
2
=

x
Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chính phơng lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng: (a 1).( b 1)

192
Bài 4: (4 điểm)
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số
abcd
biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện sau:
1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
101
2)
abcd
25
3)
2
ab a b= +
B i 5: (2 điểm)
Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9? Giải thích?
Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố
mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12.
đề chính thức

Phòng Giáo dục- Đào tạo
*****
đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 6
Bài 1: (6 điểm)
Câu 1:
a) Kết quả :
251
2

= - 1 25,5 (2 điểm)
b) Kết quả: 1 (2 điểm)
Câu 2: (2 điểm)
B =
308
1
307
2
306
3
...................
3
306
2
307
1
308
++++++
B =

1
308
1
1
307
2
1
306
3
1.........
4
305
1
3
306
1
2
307
1
+






++

++






+++






++






++

+
(0,75đ)
B =
309
309
308
309
307
309
..........
4
309
3
309
2
309
++++++
(0,5đ)
B = 309.






++++++
309
1
308

1
.................
5
1
4
1
3
1
2
1

B = 309.A (0,5đ)

309
1
.309
==
A
A
B
A
(0,25đ)
Bài 2: (5đ)
a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra
(x 20) 25+
và
(x 20) 28+
và
(x 20) 35+

x+ 20 là bội chung
của 25; 28 và 35. (1 đ)
- Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700
( )
k N
. (1 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra
x 999 x 20 1019 +
suy ra k = 1 suy ra
x + 20 = 700 suy ra x = 680. (0,75 đ).
b) (2,25 đ)
- Từ giả thiết ta có:
2
1 2 1
x 3 16

=
ữ

(1) (0,25 đ).
- Vì
2
1 1
16 4

=
ữ

nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
1 2 1

x 3 4
=
hoặc
1 2 1
x 3 4
=
(1 đ)
- Từ đó tìm ra kết quả x =
11
12
hoặc x =
5
12
(1 đ)
Bài 3: (3đ)
- Chỉ ra dạng của a,b là: a =
( )
2
12

k
và b =
( )
2
2 1k
+
(Với k
*
N

) (0,5đ)
- Suy ra a 1 = (2k 1)(2k 1) 1 = ....... = 4k
2
4k + 1 1 = 4k.(k 1)
(0,5đ)
b 1 = (2k + 1)(2k + 1) 1 = ....... = 4k
2
+ 4k + 1 1 = 4k(k + 1)
(0,5đ)
(a 1)(b 1) = 16k(k 1)k(k + 1)
(0,5đ)
Từ đó lập luận k(k 1)k(k + 1)

4 và k(k 1)(k + 1)

3
(0,75đ)
mà (4; 3 ) = 1

k (k 1)k(k + 1)
4.3
suy ra (a 1)(b 1)

16.4.3

(a 1)(b 1)

192 (đpcm)
(0,25đ)
Bài 4: (4đ)

- Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d

N; 1

a

9; 0
b;c;d 9
(0,5 đ)
- Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5

c = 5 (0,75 đ)
- Từ điều kiện:
abcd


25, lý luận dẫn đến (10c + d)

25, từ đó tìm đợc d = 0 ( 0,75 đ)
- Từ điều kiện:
ab
= a + b
2


10a + b = a + b
2


9 a = b

2
b
9a = b(b 1) (0,5 đ)
Lý luận dấn đến b(b 1)

0 và b(b 1)

9 (0,5 đ)
Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b 1< 9

b(b 1)

9 chỉ khi b

9


a=8 (0,75
đ)
Kết luận: Số cần tìm 8950 (0,25 đ)
Bài 5: (2 điểm):.
Câu 1:
- Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9. Vì: nếu có số tự nhiên a mà
khi chia cho 12 d 9 thì a = 12.k + 9 ;
( )
k N
a 3
và
a 3>
a là hợp số, không thể là

số nguyên tố. (0,75 đ).
Câu 2: (1,25 đ).
- Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số d là một trong 12 số sau: 0; 1; 2; ...; 11
- Chứng minh tơng tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12
không thể có số d là 2; 3; 4; 6; 8; 10. (0,25 đ)
- Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì đợc số d là một trong 4 giá
trị : 1; 5; 7; 11. (0,25 đ)
- Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm :
+ Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 1 hoặc 11 .
+ Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 5 hoặc 7. (0,25 đ)
- Giả sử p
1
; p
2
; p
3
là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số nguyên tố, chỉ nằm ở hai
nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong ba số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên
tố cùng thuộc một nhóm , chẳng hạn p
1
và p
2
cùng thuộc một nhóm:
+ Nếu p
1
và p
2
khi chia cho 12 có số d khác nhau (tức là d 1 và 11; hoặc 5 và 7) thì
p
1

+ p
2
= 12 k
1
+ 1 + 12 k
2
+ 11 = 12(k
1
+ k
2
) + 12 ;
( )
1 2
;k k N
suy ra p
1
+ p
2

12
.
hoặc p
1
+ p
2
= 12 n
1
+ 5 + 12 n
2
+ 7 = 12(n

1
+ n
2
) + 12 ;
( )
1 2
;n n N
suy ra p
1
+ p
2

12
.
+ Nếu p
1
và p
2
khi chia cho 12 có số d bằng nhau thì hiệu p
1
p
2
12
. (0,5 đ)