Đề và đáp án thi HSG Toán 9 vòng 1

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
NĂM HỌC: 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1.
a. Phân tích
Q
thành nhân tử:
5 2 2 2 10Q x x x= + − −
b. Tính
Q
khi biết
13 4 10x = −
Câu 2. Cho hàm số:
2 1y x m= − −
; với
m
tham số.
a. Xác định
m
để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.
b. Tính theo
m
tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox;
Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của
m
để
2
2
OH =
b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Câu 3.
a. Giải phương trình:
1 2 2 1 5 2x x x x− + − + + = −
b. Cho
;a b
là hai số dương thỏa mãn:
2 2
6a b+ =
.
Chứng minh:
2
3( 6) ( ) 2a a b
+ ≥ +
c. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
2008 2009 2010 0x xy x y+ − − − =
Câu 4.
Cho đường tròn (O;
R
). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông
góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình
chiếu của M trên CD và AB.
a. Tính
·
·
·
·
2 2 2 2
sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC+ + +
b. Chứng minh:

2
(2 )OK AH R AH= −
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Hết./.
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm
1
a
( ) ( )
( ) ( )
5 2 2 2 10 5 2 2 5
5 2 2
Q x x x x x x
x x
= + − − = + − + =
+ −
0,5
0,5
2,0
b
13 4 10x = −

2
8 2.2 2. 5 5 (2 2 5) 2 2 5x⇒ = − + = − = −
Vậy:

( ) ( )
2 2 5 5 2 2 5 2 2 2 2.( 5) 2 10Q = − + − − = − = −
0,5
0,5
2
a
2 1y x m= − −
; với
m
tham số
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì
1
2 1 0
2
m m− − = ⇔ = −
0,25
2,0
b
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
( )
2 1;0m +
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
( )
0; 2 1m− −
Ta có:
∆
AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:
2 2 2
1 1 1
OH OA OB

= +
Hay
2 2 2
0
1 1 2
2 2
1
(2 1)
A B
m
m
x y m
=

= + ⇔ = ⇔

= −
+

0,5
0,5
c
Hoành độ trung điểm I của AB:
2 1
2 2
A B
I
x x m
x
+ +

= =
Tung độ trung điểm I của AB:
(2 1)
2 2
A B
I
y y m
y
+ − +
= =
Ta có:
I I
y x= −
⇒
Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng
y x= −

0,5
0,25
3
a
Điều kiện:
2x ≥
( )
2
2
1 2 2 1 5 2 2 2 2 1 1 5 2
2 1 1 5 2 0 2 1 1 5 2 0
2 4 2 4 0 ( 2 2) 0 6 2
x x x x x x x x

x x x x x x
x x x x
− + − + + = − ⇔ − + − + + + = −
⇔ − + + + − − = ⇔ − + + + − − =
⇔ − − − + = ⇔ − − = ⇔ = >
Vậy nghiệm của pt là:
6x =
0,2
0,2
0,3
0,3
2,5
b
Với
;a b
là hai số dương ta có:
( )
( )
2
2
2 2
1 1
2. . .1 2 1
2
2
a b a b a b
 
 
+ = + ≤ + +
 ÷

 ÷
 
 
(Theo Bunhiacopski)
( )
( )
2
2
3
6
2
a b a⇔ + ≤ +
(Vì
2 2
6a b+ =
) Hay
2
3( 6) ( ) 2a a b+ ≥ +
0,25
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
c
2
2
2008 2009 2010 0
2009 2009 2009 1
x xy x y
x xy x x y
+ − − − =
⇔ + + − − − =

( 1) 2009( 1) 1 ( 2009)( 1) 1x x y x y x x y⇔ + + − + + = ⇔ − + + =
2009 1 2010
1 1 2010
2009 1 2008
1 1 2010
x x
x y y
x x
x y y
 − =  =
 
 
 
+ + = = −
 
 
⇔
 
− = − =
 
 
 
+ + = − = −
 
 
 
0,25
0,5
0,25
H

K
D
C
AO
B
M
0,25
3,5
4
a
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
·
·
·
·
2 2 2 2
sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC+ + +
=
· ·
· ·
2 2 2 2
(sin os ) (sin os )MBA c MBA MCD c MCD+ + +
= 1 + 1 = 2
0,75
b
Chứng minh:
2
(2 )OK AH R AH= −
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH

2
= HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH
đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK
2
= MH
2
= AH(2R- AH)
0,5
0,5
c
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R
2
.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH
2 2 2 2
2 2 2
OH MH OM R+
≤ = =
(Pitago)
Vậy
2
2 4
4 . 2
2
R
P R R≤ =
. đẳng thức xẩy ra
⇔
MH = OH

⇔
OH =
2
2
R
0,25
0,25
0,25
0,25