Mẫu LaTex Slide bảo vệ luận văn Thạc sĩ Toán Đại học Đà Nẵng

%\documentclass[handout]{beamer}
\documentclass{beamer}
\usetheme{Madrid}
\usepackage[accumulated]{beamerseminar}
\usepackage{beamertexpower}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{amsmath,amsxtra,amssymb,latexsym,amscd,amsthm,enumerate}
\usepackage{graphicx,color}
\usepackage{longtable}
\usepackage{eso-pic}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{tkz-tab}
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{dn}[theorem]{Định nghĩa}
%\newtheorem{definition}[theorem]{Định nghĩa}
%\newtheorem{dl}{}[section]
% CHANGED: Moved \title and \author outside of slide
%%\title{BÀI TOÁN DỰ BÁO NỒNG ĐỘ KIM LOẠI NẶNG XUNG QUANH BỜ SÔNG MASS TẠI KHU VỰC
PHÍA TÂY THỊ TRẤN STEIN Ở HÀ LAN}
%%\author[Nguyen Cong Nhut]{Nguyễn Công Nhựt\\}
%----------

\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{enumitem}


\usetikzlibrary{calc}
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}

\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\definecolor{azzul}{RGB}{6,96,167}
%---------\newcommand{\syBrisse}[6][\textwidth-\pgfkeysvalueof{/pgf/inner xsep}-4mm]{%
\begin{center}
\par\bigskip%
\begin{tikzpicture}
\node[rounded corners, text width=#1, align=justify, inner sep=8pt, outer sep=0] (one)
{\medskip\parbox[t]{\textwidth}{\vspace*{3pt}\par#6}};%chinh nho bang
\node[text=black,anchor=north east,align=center, minimum height=20pt, inner xsep=5pt] (two) at
(one.north east) {#5 \hspace*{.5mm}};
\path[fill=#2,draw=#2]
($(one.north west)+(0ex,-4.5pt)$) [rounded corners=3pt] -($(two.north west)+(-22pt,-4.5pt)$) -($(two.south west)+(-4pt,0pt)$) [sharp corners] -(two.south east) [rounded corners] -(one.north east) -(one.north west) [sharp corners] -- cycle;
\node[text=black,anchor=north west,align=center, minimum height=20pt, text height=2ex,inner
sep=8pt, inner ysep=3pt] (three) at ($(one.north west)+(0,-3pt)$) {#4};
\node[text=white,anchor=north east,align=center, minimum height=20pt, inner sep=8pt,inner
ysep=6.5pt] (for) at ($(one.north east)+(0,1.5pt)$) {#5\hspace*{0.8mm}};
\path[draw=#2,line width=0.8pt]
(one.south west) [rounded corners] --


(one.south east) [rounded corners] -(one.north east) -(one.north west) [rounded corners] -- cycle;
\foreach \x in {10,20,...,100}
\path[opacity=\x*0.01]
($(one.north west)+(0.4pt,-6.5pt+\x/100)$) [rounded corners=3pt,draw=gray!\x] -($(two.north west)+(-23.3pt+\x/100,-6.5pt+\x/100)$) [rounded corners=3.5pt,draw=gray!\x] -($(two.south west)+(-5.3pt+\x/100,-1.9pt+\x/100)$) -($(two.south east)+(-0.4pt,-1.9pt+\x/100)$);
\path[draw=white,line width=1.1pt]
($(one.north west)+(0.4pt,-5.2pt)$) [rounded corners=3pt] -($(two.north west)+(-22.3pt,-5.2pt)$) [rounded corners=3.5pt] -($(two.south west)+(-4.3pt,-0.6pt)$) -($(two.south east)+(-0.4pt,-0.6pt)$);
\begin{pgfonlayer}{background}
\path[fill=#3!5]
(one.south west) [rounded corners] -(one.south east) [rounded corners] -(one.north east) -(one.north west) [rounded corners] -- cycle;
\path[opacity=0.5, top color=#3!5,bottom color=#3,middle color=#3!30]

(one.south west) [rounded corners] -(one.south east) [sharp corners] -($(one.south east)+(0ex,0.8cm)$) -($(one.south west)+(0ex,0.8cm)$) [rounded corners] -- cycle;


\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% DEFFINING AND REDEFINING COMMANDS
%%%------------------------------------------------------%%
% colored hyperlinks
\newcommand{\chref}[2]{
\href{#1}{{\usebeamercolor[bg]{Madrid}#2}}
}
% INFORMATION IN THE TITLE PAGE
%------------------------------------------------------\title[Luận văn Thạc sĩ khoa học] % [] is optional - is placed on the bottom of the sidebar on every slide
{ % is placed on the title page
\textbf{}
}

\subtitle[]
{
\textbf{PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN}
}

\author[Đinh Thị H]


{Luận văn thạc sĩ khoa học\\
Chuyên ngành: Toán giải tích\\

Mã số: 60 46 01 02\\
Học viên: Đinh Thị H \\
{Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan A}
%{\ttfamily }
}

%\institute[]
%{
%

Trường Đại học Nguyễn Tất Thành\\

%

Khoa Công nghệ Thông tin\\

%
% %there must be an empty line above this line - otherwise some unwanted space is added between
the university and the country (I do not know why;( )
%}

\date{Đà Nẵng, ngày 17 tháng 6 năm 2018}
\begin{document}
%\section{Fit model variogram}
\begin{slide}
\maketitle
\newslide
\center{\bf\blue{Nội dung}}
\tableofcontents
\end{slide}

\section{Một số khái niệm}
\subsection{1.1 Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{1.1 Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2->
\begin{block}{Bài toán CP}{}
{Bài toán tối ưu có điều kiện (CP)
\begin{equation*}
min \; f(x)
\end{equation*}
với điều kiện $x \in X$, trong đó $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ là một hàm số cho trước và $X$ là
một tập con của $\mathbb{R}^n$.}
\end{block}
\item<3->
\begin{block}{Cực tiểu địa phương}{}
{Vector $x^* \in X$ được gọi là cực tiểu địa phương của (CP) nếu tồn tại một số $\epsilon > 0$ sao cho
\begin{equation*}
f(x^*) \le f(x), \; \forall x \in S(x^*;\epsilon), \; x \in X.
\end{equation*}}
\end{block}
\end{itemize}
\end{frame}


\subsection{1.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{1.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình}{}

%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2->
\begin{block}{Bài toán ECP}
{Xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (bài toán (ECP)):
\begin{equation*}
\left \{ \begin{array}{ll}
min \; f(x)\\
h(x) = 0.
\end{array} \right.
\end{equation*}
\noindent trong đó $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ và $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, với
$m \le n$. Các thành phần của $h$ được kí hiệu là $h_1,...,h_m$.}
\end{block}
\item<3->
\begin{block}{Điểm chính quy}{}
{Giả sử $x^*$ là một vector sao cho $h(x^*) = 0$ và $h \in C^1$ trên $S(x^*;\epsilon)$ với một số thực
$\epsilon >0$ nào đó. Khi đó, $x^*$ được gọi là một điểm chính quy nếu các gradient $\nabla
h_1(x^*),...,\nabla h_m(x^*)$ độc lập tuyến tính.}
\end{block}
trong đó $\nabla h_1(x^*) = [\frac{\partial h_1(x^*)}{\partial x^*_1},...,\frac{\partial h_1(x^*)}{\partial
x^*_n}]'$
\end{itemize}
\end{frame}


\subsection{1.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{1.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2->

\begin{block}{Bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP)}{}
{$\left \{ \begin{array}{ll}
min \; f(x)\\
h(x) = 0\\
g(x) \le 0,
\end{array} \right.$}
\end{block}
\item<3-> trong đó các hàm số $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, g:
\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^r$ là các hàm số đã cho với $m \le n$.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Phương pháp hàm phạt}
\subsection{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Bài toán ECP}


$
\left \{ \begin{array}{ll}
min \; f(x)\\
h(x) = 0,
\end{array} \right.
$
\end{block}
\item<2-> trong đó ta giả sử $f, h \in C^2$ trong $\mathbb{R}^n$.
\item<3-> Xét hàm Lagrnage:
\begin{equation}\label{eq51}

L(x, \lambda) = f(x) + \lambda'h(x),
\end{equation}
\item<4-> ta có điều kiện cần thiết cho sự tối ưu là
\begin{equation}\label{eq52}
\left \{ \begin{array}{ll}
\nabla_xL(x, \lambda) = 0\\
\nabla_\lambda L(x, \lambda) = h(x) = 0,
\end{array} \right.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}{}
%-------------------------------------------------------


\begin{itemize}
\item<2-> và xét bài toán tối ưu tự do:
\begin{equation}\label{eq53}
min \; \frac{1}{2}|h(x)|^2 + \frac{1}{2}|\nabla_xL(x,\lambda)|^2,
\end{equation}
với điều kiện $\; (x,\lambda) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$.
\item<3-> Ta thấy $(x^*,\lambda^*)$ là một cặp điều kiện K-T của (ECP) nếu và chỉ nếu $
(x^*,\lambda^*)$ là một cực tiểu toàn cục của phương trình (\ref{eq53}).
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}{}

%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> Mệnh đề sau nêu lên mối liện hệ giữa cực tiểu của bài toán tối ưu tự do và bài toán (ECP).

\item<3-> \begin{block}{Mệnh đề 3.1.1}
{Cho $X \times \Lambda$ là một tập con compact của $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$. Giả sử
$\nabla h(x)$ hạng bằng $m$ với mọi $x \in X$. Khi đó, tồn tại một số thực $\bar{\alpha} > 0$ và với mọi
$\alpha \in (0,\bar{\alpha}]$, có một số thực $\bar{c}(\alpha) > 0$ sao cho với mọi $c$ và $\alpha$ thỏa
mãn
$$\alpha \in (0,\bar{\alpha}], \; c \ge \bar{c}(\alpha),$$


mọi điểm tới hạn của $P(\cdot,\cdot;c,\alpha)$ thuộc vào $X \times \Lambda$ là một cặp K-T của (ECP).
Nếu $\nabla^2_{xx}L(x,\lambda)$ là nửa xác định dương với mọi $(x,\lambda) \in X \times \Lambda$, thì
$\bar{\alpha}$ có thể lấy số dương bất kỳ.}
\end{block}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Ví dụ}
{Xét bài toán trên trường số thực
\begin{equation*}
\left \{ \begin{array}{ll}
f(x) = \frac{1}{6}x^3\\

h(x) = x\\
P(x,\lambda; c,\alpha) = \frac{1}{6}x^3 + \lambda x + \frac{1}{2}cx^2 + \frac{1}{2}\alpha|\frac{1}{2}x^2
+ \lambda|^2.
\end{array} \right.
\end{equation*}}
\end{block}
\item<3-> Trong đó $\{x^* = 0, \lambda^* = 0\}$ là cặp K-T duy nhất. Các điểm tới hạn của hàm số $P$
có được bằng cách giải hệ phương trình:
\begin{equation}\label{eq56}


\nabla_xP = \frac{1}{2}x^2 + \lambda + cx + \alpha x(\frac{1}{2}x^2 + \lambda) = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq57}
\nabla_xP = x + \alpha(\frac{1}{2}x^2 + \lambda) = 0.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> Từ phương trình \ref{eq57}, ta có
$\lambda = -x/\alpha - \frac{1}{2}x^2,$
\item<3-> và thay vào vào phương trình \ref{eq56}, ta được
$x[x - c + (1/ \alpha)] = 0.$
\item<4-> Các điểm tới hạn của $P$ là $\{x^* = 0,\lambda^* = 0\}$ và $\{x(c,\alpha) = c 1/\alpha,\lambda(c,\alpha) = (1 - c^2\alpha^2)/2\alpha^2\}$.

\item<5 -> Với mọi $c > 0$ và $\alpha > 0$ với $c\alpha \ne 1$, điểm tới hạn $
[x(c,\alpha),\lambda(c,\alpha)]$ không là cặp K-T của (ECP).
\item<6 -> Mặt khác, cố định $\alpha > 0$, ta có $\lim\limits_{c \to \infty}x(c,\alpha) = \infty$ và
$\lim\limits_{c \to \infty}\lambda(c,\alpha) = -\infty$.
\end{itemize}
\end{frame}


%------------------------------------------------------\subsection{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2->
\begin{block}{Bài toán ICP}
{Xét bài toán (ICP)
\begin{equation*}
\left \{ \begin{array}{ll}
min \; f(x)\\
g(x) \le 0.
\end{array} \right.
\end{equation*}}
\end{block}
\item<3-> Xét bài toán không khả vi (NDP)$_c$, với một số thực $c > 0$ nào đó:
\begin{equation*}
min \; f(x) + cP(x),
\end{equation*}
\noindent với \; $x \in \mathbb{R}^n$.

\item<4-> Trong đó, hàm số $P(x)$ được xác định như sau:
\begin{equation}


\label{eq31}
P(x) = \max\{0,g_1(x),...,g_r(x)\}.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> Cho $x \in \mathbb{R}^n, d \in \mathbb{R}^n$, ta kí hiệu
\begin{equation}
\label{eq36}
J(x) = \{j|g_j(x) = P(x), \forall j = 0,1,...,r\}.
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq37}
\theta_c(x;d) = \max\{[\nabla f(x) + c\nabla g_j(x)]'| \forall j \in J(x)\}.
\end{equation}
\item<3-> \begin{block}{Định nghĩa: Điểm tới hạn}
$x^* \in \mathbb{R}^n$ được gọi là một \textit{điểm tới hạn} của $f + cP$ nếu mọi $d \in
\mathbb{R}^n$ ta có
$$\theta_c(x^*;d) \ge 0.$$
\end{block}
\end{itemize}

\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Mệnh đề}
{(a) \hspace{.2cm} Nếu $x^*$ là một điểm tới hạn của $f + cP$, thì lập trình bậc hai (QP)$_c(x^*,H,J)$ có
$\{d = 0, \xi = P(x^*)\}$ là nghiệm tối ưu với mọi $J$ và $H$ với
\begin{equation}
\label{eq319}
0 < H, \; J(x^*) \subset J \subset\{0,1,...,r\}.
\end{equation}}
{(b) \hspace{.2cm} Nếu $\{d = 0, \xi = P(x^*)\}$ là nghiệm tối ưu của lập trình bậc hai $(QP)_c(x^*,H,J)$
trong đó $H$ và $J$ thỏa mãn phương trình (\ref{eq319}), thì $x^*$ là một điểm tới hạn của $f + cP$.}
\end{block}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%-------------------------------------------------------

\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Ví dụ}

{Cho $n = 2, r = 1$, và với mọi $x = (x_1,x_2)$,

$f(x) = (x_1-1)^2 + x^2_2, \; g_1(x) = x^2_1$.

Trong đó, $f$ và $g_1$ là các hàm lồi và (ICP) có nghiệm tối ưu duy nhất là $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = 0 \}$.
Xét hàm số:
\begin{align}
\begin{split}
f(x) + cP(x)&=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 + c\max\{0,x^2_1 \} \\
&=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 +cx^2_1.
\end{split}
\end{align}

Với mọi số thực $c > 0$, hàm số có một điểm tới hạn duy nhất $\{x_1(c),x_2(c) \}$ là
\begin{equation*}
x_1(c) = 1/(1 + c), \; x_2(c) = 0.
\end{equation*}}
\end{block}
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%MD 3.2.8-3.2.11
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%-------------------------------------------------------


\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Mệnh đề 3.2.8}
{Cho $X \subset \mathbb{R}^n$ là một tập compact sao cho, với mọi $x \in X$, tập các gradient

\begin{equation*}
\{\nabla g_j(x) | \forall j \in J(x), j \ne 0 \},
\end{equation*}
\noindent là độc lập tuyến tính.}
\end{block}
\item<3-> Khi đó tồn tại số thực $c^* \ge 0$ sao cho với mọi $c > c^*$:
\item<4->
\begin{itemize}
\item[a)] Nếu $x^*$ là một điểm tới hạn của $f + cP$ và $x^*\in X$, thì tồn tại một $\mu^* \in
\mathbb{R}^r$ sao cho $(x^*,\mu^*)$ là một cặp K-T của (ICP).
\item[b)] Nếu $(x^*,\mu^*)$ là một cặp K-T của (ICP) và $x^* \in X$, thì $x^*$ là một điểm tớn hạn của
$f + cP$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Mệnh đề 3.2.10}
{Giả sử $g_1,...,g_r$ là lồi trên $\mathbb{R}^n$ và tồn tại một vector $\bar{x}$ sao cho:
\begin{equation*}


g_j(\bar{x}) < 0, \forall j = 1,...,r.
\end{equation*}}
\end{block}
\item<3-> Khi đó với mỗi tập compact $X$, tồn tại số thực $c^* > 0$ sao cho với mọi $c > c^*$:
\item<4->
\begin{itemize}

\item[(a)] Nếu $x^*$ là một điểm tới hạn của $f + cP$ và $x^* \in X$, thì tồn tại một $\mu^* \in
\mathbb{R}^r$ sao cho $(x^*, \mu^*)$ là một cặp K-T cho (ICP).
\item[(b)] Nếu $(x^*, \mu^*)$ là một cặp K-T cho (ICP) và $x^* \in X$, thì $x^*$ là một điểm tới hạn của
$f + cP$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2-> \begin{block}{Mệnh đề 3.2.11}
{Giả sử rằng $f, g_1,...,g_r$ là các hàm lồi trên $\mathbb{R}^n$ và (ICP) có ít nhất một vector nhân tử
Lagrange $\mu^* = (\mu^*_1,...,\mu^*_r)$, theo nghĩa $\mu^*_j \ge 0, \; \forall j = 1,...,r$, và
\begin{equation*}
\inf\limits_{x\in \mathbb{R}^n} \{f(x) + \mu^{*'}g(x) \} = \inf\limits_{g(x) \le 0}f(x).
\end{equation*}}
\end{block}
\item<3-> Khi đó, với mọi $c > \sum_{j=1}^{r}\mu^*_j$, một vector $x^*$ là cực tiểu toàn cục của $f +
cP$ nếu và chỉ nếu $x^*$ là cực tiểu toàn cục của (ICP).


\end{itemize}
\end{frame}

%%%%VI DU 3.2.12
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{block}{Ví dụ}
{Cho $n = 2, r = 1$, và với mọi $x = (x_1,x_2)$,

$f(x) = (x_1-1)^2 + x^2_2, \; g_1(x) = x^2_1$.

Trong đó, $f$ và $g_1$ là các hàm lồi và (ICP) có nghiệm tối ưu duy nhất là $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = 0 \}$.
Xét hàm số:
\begin{align}
\begin{split}
f(x) + cP(x)&=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 + c\max\{0,x^2_1 \} \\
&=(x_1 - 1)^2 + x^2_2 +cx^2_1.
\end{split}
\end{align}

Với mọi số thực $c > 0$, hàm số có một điểm tới hạn duy nhất $\{x_1(c),x_2(c) \}$ là
\begin{equation*}
x_1(c) = 1/(1 + c), \; x_2(c) = 0.
\end{equation*}}
\end{block}


\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2-> Nghiệm tối ưu $\{x^*_1 = 0,x^*_2 = 0 \}$ của (ICP) không là điểm tới hạn của $f + cP$ với một
số thực $c > 0$ dương nào đó.
\item<3-> Ngược lại, không một điểm nào trong số các điểm tới hạn $\{x_1(c), x_2(c) \}, \; c > 0$ là một
nghiệm tối ưu của (ICP).
\item<4-> Do đó, $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = 0 \}$ không là điểm chính quy $[\nabla g_1(x^*) = 0]$, và nó có
thể được xác định là không có nhân tử Lagrange tương ứng $\mu^*_1$.

\item<5-> Như vậy Mệnh đề 3.2.8 không thể áp dụng cho một tập compact chứa $\{x^*_1 = 0, x^*_2 = 0
\}$, và giả thuyết của Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm. Bởi vì tại đó không tồn tại $\bar{x}$ sao cho
$g_1(\bar{x}) < 0$, giả thuyết của Mệnh đề 3.2.10 cũng bị vi phạm.
\end{itemize}
\end{frame}

%%VI DU 3.2.13
\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{block}{Ví dụ}
{Cho $n = 1, r = 2$, và với mọi $x$
\begin{equation*}
f(x) = 0, \; g_1(x) = -x, \; g_2(x) = 1 - x^2.
\end{equation*}


Hàm số $P(x)$ có dạng:
\begin{equation*}
P(x) = \max\{0, -x, 1 - x^2 \},
\end{equation*}}
\end{block}
\end{frame}

\setbeamercovered{transparent}
\begin{frame}{2.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP)}{}
%------------------------------------------------------\begin{itemize}
\item<2-> Vì $f(x) \triangleq 0$ là các điểm tới hạn của $f + cP$ không phụ thuộc vào $c$. Chúng là
\begin{equation*}
x = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5}), \; x = 0, \; 1 \le x.
\end{equation*}

\item<3-> Trong số này, chỉ có $x \ge 1$ tương ứng là các cặp K-T của (ICP).
\item<4-> Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho những điểm này với $c^* = 0$.
\item<5-> Các điểm tới hạn $\frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$ và $0$ là không bao hàm Mệnh đề 3.2.8 vì các tập
tương ứng của gradient $\{\nabla g_j(x) | g_j(x) = P(x), \; j = 1,2 \}$ là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề
3.2.10 và 3.2.11 không áp dụng vì $g_2$ là hàm không lồi.
\end{itemize}
\end{frame}

%%-------------------------------------------------------


\section{Tài liệu tham khảo}
\begin{frame}[t]
\frametitle{Tài liệu tham khảo}
%%{\textcolor{yellow}{Tài liệu tham khảo}}
\textcolor{black}{[1]} David G. Luenberger (1973), \emph{Introduction to Linear and Nonlinear
Programming}, Addison Wesley Publishing Company.
\vspace{0.2cm}

\textcolor{black}{[2]} Dimitri P.~Bertsekas (1996), \textit{Constrained Optimization and Lagrange
multiplier methods}, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts.
\vspace{0.2cm}

\textcolor{black}{[3]} Oswaldo González-Gaxiola (2009), ``A note on the Derivation of Fréchet and
Gâteaux'', \textit{Applied Mathematical Science}, Vol. 3, no. 19, 941-947.
\end{frame}

\section*{Lời cảm ơn}
%\begin{frame}[t]{\textcolor{yellow}{\begin{center}
%Lời cảm ơn \end{center}}}

\begin{frame}[t]
\setbeamercovered{transparent}
\frametitle{\hspace{5cm} Lời cảm ơn}
\begin{itemize}
\item<1 -> \large Xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Quý Mười, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng, Việt Nam đã giúp tôi trong nghiên cứu.\\


\item<2 -> \large Cảm ơn sự góp ý chân thành của người đọc giúp tôi hoàn thiện hơn trong bản cuối
cùng.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
{\Huge Cảm ơn quý Thầy cô đã lắng nghe}
\end{center}
\end{frame}
\end{document}