CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRINH HAI ẨN (FULL)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.16 KB, 32 trang )
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
MỤC LỤC
1
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn số
• Phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y là hệ thức dạng ax + by = c . Trong đó a, b, c là
các số đã biết ( a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)
• Nếu tại x = x0 , y = y0 mà 2 vế của phương trình nhận giá trị bằng nhau thì cặp số (x 0; y0)
được gọi là 1 nghiệm của phương trình.
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn số
• PT bậc nhất 2 ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn
bởi đường thẳng ax + by = c (d)
−
a≠0
a
c
x+
b
b
và b ≠ 0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số y
c
a
• Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = , và đường thẳng (d) song
song hoặc trùng với trục tung.
c
b
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = , và đường thẳng (d) song
song hoặc trùng với trục hoành
3. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax + by = c (1)
(I)
a ' x + b ' y = c ' (2)
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng :
• Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) được gọi là một nghiệm của hệ
• Nếu
(I).
4. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu gọi (d1) là đường thẳng ax + by = c và (d2) là đường
thẳng
ax + by = c thì điểm chung nếu có của hai đường thẳng ấy có tọa độ là nghiệm chung của
hai
phương trình của hệ
• Đối với hệ (I) ta có:
ax + by = c (1)
(I)
a ' x + b ' y = c ' (2)
2
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a
b
≠
a ' b'
+ Nếu
thì (d1) cắt (d2) và khi đó hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
ab' = a'b
a b c
= ≠ ⇔
a' b' c' ac' ≠ a'c (hoaë
cbc' ≠ b'c)
+ Nếu
thì (d1) // (d2) và khi đó hệ (I) vô
nghiệm.
ab' = a'b
a b c
= = ⇔
a' b' c' ac' = a'c (hoaë
cbc' = b'c)
≡
+ Nếu
thì (d1) (d2) và khi đó hệ (I) có VSN
5. Hệ phương trình tương đương
• Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
1. Phương pháp chung:
• Từ một phương trình rút ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại ta được phương
trình một ẩn.
+ Chú ý: Có những trường hợp, từ một phương trình ta biểu diễn cả một biểu thức theo ẩn kia
rồi thế vào phương trình còn lại.
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
x − 2 y = 1.(1)
3x + 2 y = 3.( 2)
Lời giải
Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y (gọi là rút x) ta có:
Thay
x = 1 + 2 y.(*)
Thế phương trình
Giải hệ:
vào phương trình (2) ta được:
(**)
x = 1 + 2 y.(*)
3(1 + 2 y ) + 2 y = 3.(**)
vào phương trình hai của hệ ta có:
x = 1 + 2 y
3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x =1
⇔
⇔
⇔
3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
3 + 6 y + 2 y = 3
y = 0
y =0
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
3
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
4x − 2y = 3 (1)
6x − 3y = 5 (2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
4x − 3
y=
(*)
2
Từ phương trình (1) ta biểu diễn y theo x ta có:
4x − 3
4x − 3
6x − 3 ×
y=
(*)
÷ = 5 (**)
2
2
Thay
vào phương trình (2) ta được:
4x − 3
y = 2
6x − 3× 4x − 3 ÷ = 5
2
Thế phương trình
vào phương trình hai của hệ ta có:
(**)
4x − 3
4x − 3
4x − 3
y = 2
y =
y =
⇔
⇔
2
2
4x
−
3
6x − 3×
=
5
12x
−
3(4x
−
3)
=
10
0x
=
1(Voâ
nghieä
m)
÷
2
Giải hệ:
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
Dạng 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
1. Phương pháp chung
• Phương pháp cộng đại số giúp tạo ra một phương trình mới chỉ chứa một ẩn hoặc phương
trình mới đơn giản hơn để thấy được sự liên hệ đơn giản giữa các ẩn.
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và
giữ nguyên phương trình kia)
Lưu ý:
• Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
• Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
• Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số
thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải hệ pt:
3x + y = 3
2 x − y = 7
4
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Lời giải
Nhận thấy: các hệ số của ẩn y là đối nhau Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ
được phương trình mới chỉ chứa ẩn x
3 x + y = 3 3 x + y = 3 y = −3
⇔
⇔
3 x + y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2
2
x
−
y
=
7
Ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x = 2 ; y = -3)
Ví dụ 2: Giải hệ pt:
2 x + 5 y = 8
2 x − 3 y = 0
Lời giải
Nhận thấy: các hệ số của ẩn x là bằng nhau Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ được
phương trình mới chỉ chứa ẩn y
2 x + 5 y = 8
2 x − 3 y = 0
3
2 x + 5 y = 8 2 x + 5 y = 8 x =
⇔
⇔
2
2 x − 3 y = 0 8 y = 8
y = 1
3
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x = ; y =1)
(1)
−5 x + 2 y = 4
(2)
6 x − 3 y = −7
Ví dụ 3: Giải hệ pt:
Lời giải
Nhận thấy: các hệ số của ẩn x cũng như các hệ số của ẩn y là không bằng nhau
Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn x) Nhân 2 vế phương trình (1) với 6, nhân hai vế phương
trình (2) với 5 Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.
2
x
=
−5 x + 6 y = 4
−30 x + 12 y = 24
−30 x + 12 y = 24
3
⇔
⇔
⇔
11
30
x
−
15
y
=
−
35
−
3
y
=
−
11
11
y=
y =
3
3
Hệ
Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn y) Nhân hai vế phương trình (1) với 3, nhân hai vế phương
trình (2) với 2 Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.
5
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
11
y=
−5 x + 2 y = 4
−15 x + 6 y = 12
−15 x + 6 y = 12
3
⇔
⇔
⇔
2
12 x − 6 y = −14
−3 x = −2
x = 3
x = 2
3
Hệ
11
2
3
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x =
;y= )
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
− x + 3 y = −10
3 x + 2 y = 8
5 x + 3 y = −7
1)
2)
3)
x − 5 y = 16
2 x − 3 y = −12
3 x − y = −8
2 x + y = 7
2 x + y = 4
3 x + 2 y − 2 = 0
4)
5)
6)
− x + 4 y = 10
2 x + 0 y − 6 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
x − 1 + y − 2 = 1
x − 1 + 3y = 3
(1)
(2)
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: Từ (2) rút ra |x – 1| = 3 – 3y.
Rồi thay vào (1) được phương trình ẩn y chứa giá trị tuyệt đối.
x − 2 + 2 y − 1 = 9
x + y − 1 = −1
(1)
(2)
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: Từ (2) rút ra |y – 1| = –1 – x.
Rồi thay vào (1) được phương trình ẩn x chứa giá trị tuyệt đối.
x − 1 + y − 5 = 1
y = 5 + x − 1
(1)
(2)
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:
x − 1 + 5 + x − 1 − 5 = 1 ⇔ 2. x − 1 = 1
.
Từ đó ta tìm được x. Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khăn nữa.
x 3 + y3 = 1
5
5
2
2
x + y = x + y
(1)
(2)
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: x5 + y5 = (x3 + y3)(x2 + y2) – x2y2(x + y)
Thay (1) vào (2) ta được x2y2(x + y) = 0. Từ đó tìm được x, y
6
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
(1)
x + y = 1
3
3
2
2
x + y = x + y (2)
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2) – xy(x + y)
Thế (1) vào (2) ta được xy(x + y) = 0. Từ đó tìm được x, y
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
1)
− x + 3 y = −10
x − 5 y = 16
2)
3x + 2 y = 8
2 x − 3 y = −12
3)
2 x + y = 4
2 x + 0 y − 6 = 0
4)
2 x + y = 7
− x + 4 y = 10
5)
2 x + y = 5
x + 7 y = 9
6)
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 1
7)
3x − 5 y = −18
x + 2 y = 5
8)
5 x + 3 y = −7
3 x − y = −8
9)
3 x + 2 y − 2 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
10)
4 x + 3 y = −6
2 x − 5 y = 16
11)
− 2 x + y = − 3
3 x + 4 y = 10
12)
2 x − y = 2
4 x − 2 y − 4 = 0
13)
2 x − y = x + 3 y + 3
3x − 3 y = 9
14)
x + y = 2
x + 3 y = 6
15)
x + 2 y = 4
2 x + 9 y = 18
16)
2 x − 4 y = 3
− x + 2 y = 1
17)
x − 2 y = −5
3 x + 4 y = −5
18)
− 2 x + y = −3
x + y = 3
19)
x + y = −2( x − 1)
7 x + 3 y = x + y + 5
20)
3x − 2 y = 12
4 x + y = 5
21)
x − y = 0
2 x + y = −5
22)
2 x + 5 y = − ( x + y )
6 x + 3 y = y − 10
23)
2 x − y = 10
5 x + 2 y = 6
24)
2 x + y = 0
x − 4 y = 0
25)
3 x + y = −2
− 9 x − 3 y = 6
26)
5 x − 2 y = 10
5 x − 2 y = 6
27)
− x + y = 3
x + 2 y = 3
28)
2 x + 5 y = 7
2 x − 3 y = −1
29)
3x + 2 y = 8
4 x − 3 y = −12
30)
x − y = 2
3x − 2 y = 9
31)
− x + 3 y = −10
2 x + y = −1
32)
2 x + y = −3 x − 20
4 x + y = x − 2 y − 12
33)
3x + y = 2
6 x + 2 y = 3
34)
2 x + 3 y = −2
3 x − 2 y = −3
35)
5 x − y = 1
10 x − 2 y = 0
36)
2 x − 3 y = 6
4 x − 6 y = 12
7
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
37)
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2 x − y = 3
3x + 2 y = − x
3x + 2 y = 6
38)
39)
3x + y = 7
5( x + y ) = −3 x + y − 5
2 x − 3 y = 4
40)
2 x + y = 7
− x + 2 y = −5
41)
2 x − 5 y = 1
4 x − 10 y = 2
42)
x + 2 y = −2
2 x − y = 1
43)
x − 2 y = −5
3x + 2 y = 1
44)
2 x + y = 5
x − y = 1
45)
2 x + y = 5
3 x − y = 15
46)
3 x − 2 y = 12
4 x + 3 y = −1
47)
− x + 2 y = −4( x − 1)
5 x + 3 y = −( x + y ) + 8
48)
3x + 2 y = 8
5 x + 2 y = 12
49)
− 5 x + 3 y = 22
3x + 2 y = 22
50)
x + y = −1
3 x − 2 y = −8
51)
2 x + 3 y = 5
2 x + 3 y = 1
52)
3 x + y = 0
x + 2 y = 5
53)
0 x + y = 3
x − 2 y = −4
54)
2 x − 3 y = 5
4 x − 6 y = 10
Bài 8. Giải hệ phương trình sau:
x 2 − xy = 28 (1)
2
y − xy = 28 (2)
a)
b)
2 x 2 + xy = 3 x
2
2 y + xy = 3 y
(1)
(2)
Gợi ý: Trừ đại số triệt tiêu xy có được phưng trình tích.
Bài 9. Giải hệ phương trình sau:
y
x − 3 y = 4 x
y − 3x = 4 x
y
(1)
(2)
Gợi ý: Nhân x, y lên vế trái rồi Trừ đại số triệt tiêu 3xy có được phưng trình tích.
Bài 10. Giải hệ phương trình sau:
x 2 − 2 y 2 = 2 x + y
2
2
y − 2 x = 2 y + x
(1)
(2)
Gợi ý: Trừ đại số được phương trình tích.
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:
x 3 + y 3 = 2
(1)
2
2
x y + xy = 2 (2)
Gợi ý: Trừ đại số, khai triển hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.
8
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2y
(1)
x = 1 − y 2
y = 2x
(2)
1 − x2
Bài 12. Giải hệ phương trình sau:
Gợi ý: Nhân mẫu sang vế trái ở mỗi phương trình. Sau đó Trừ đại số, đặt nhân tử chung
đưa về phương trình tích.
Dạng 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
1. Phương pháp chung
• Việc đặt ẩn phụ giúp tạo ra hệ phương trình mới đơn giản hơn phương trình đã cho, hoặc
đưa hệ đã cho về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Sau khi giải hệ mới tìm được ẩn phụ, ta thay ẩn phụ vào bước đặt ẩn để giải tìm ra ẩn đã
cho.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
1 1
x + y = 3
3 − 2 = −1
x y
Hướng dẫn
1
1
u = ;v =
x
y
Đặt
. Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
v = 3 − u
u + v = 3
5u = 5
u = 1
⇔
⇔
⇔
3u − 2v = −1 3u − 2 ( 3 − u ) = −1 v = 3 − u
v = 2
x=
Từ đó suy ra:
1
1 1
= 1; y = =
u
v 2
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x = 1 ; y =
y
x
−
x +1 y −1 = 3
x + 3 y = −1
x + 1 y − 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn
9
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
1
2
)
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
x
y
u=
;v =
x +1
y −1
Đặt
. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
u − v = 3
u = 3 + v
u = 3 + v
u = 2
⇔
⇔
⇔
u + 3v = −1 3 + v + 3v = −1 4v = −4
v = −1
.
x
x = −2
x + 1 = 2
x = 2x + 2
⇔
⇔
y
1
y
=
1
−
y
y = 2
= −1
y − 1
Từ đó suy ra:
.
−2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x =
;y=
1
2x −1 + x − y = 2
2 2 x − 1 − 1 = 1
x− y
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn
a = 2 x − 1
1
1
b = x − y
x ≥ ,x− y >0
2
Điều kiện
. Đặt
Ta có hệ phương trình mới
2x −1 = 1
a + b = 2
a = 1
x = 1
⇒
⇔ 1
⇔
=1
2 a − b = 1 b = 1
y = 0
x− y
.
x = 1; y = 0
1
2
)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ.
1)
1 1
x − y =1
2 + 4 = 5
x y
2)
1
1
x + y + x − y = 3
2 − 3 =1
x + y x − y
10
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
3)
2
1
x − y − 2 = 2
3 + 1 =1
x y − 2
4)
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
3
6
3
2
2
x
x +1 + y =1
x − y + x + y = 1,1
x + y + x + y = 5
5)
6)
2 + 5 =1
4 − 9 = 0,1
2x − 1 = 3
x + 1 y
x − y x + y
x + y x + y
7)
1
1
x − 2 + y −1 = 2
2 − 3 =1
x − 2 y − 1
10)
2
2
x − 2 + y −1 = 2
2 − 3 =1
x − 2 y − 1
13)
1
2
x + 2y + y + 2x = 3
4 − 3 =1
x + 2y y + 2x
16)
x 2 + y 2 − 3x + 4y = 1
2
2
3x − 2y − 9x − 8y = 3
19)
1
x +
1 −
x
22)
2
17
3
x − 2 + y + 1 = 5
2x − 2 + y + 2 = 26
x − 2 y − 1 5
25)
x + 3 − 2 y + 1 = 2
2 x + 3 + y + 1 = 4
28)
3 x − 2 y = −1
2 x + y = 4
1 4
=
y 5
1 1
=
y 5
9)
2
−3
x − y + 2 x + y = −2
4 − 10 = 2
x − y 2 x + y
12)
x
x
y − y + 12 = 1
x − x =2
x − 12 y
14)
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
2x − 5 = 9
x + 1 y + 4
15)
3y
1
x −1 + y + 2 = 7
2 − 5 =4
x − 1 y + 2
17)
3 x − 2 − 4 y − 2 = 3
2 x − 2 + y − 2 = 1
18)
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
20)
1
x − 2 +
2 −
x − 2
21)
4
2
x + y −1 = 3
4 − 2 = 5
x 1 − y
23)
6
2
x − y + y + x = 1,1
4 − 9 = 01
x − y y + x
24)
3
1
2
2x − y + x − 2y = 2
2 − 1 = 1
2x − y x − 2y 18
26)
x + 3 − 2 y + 1 = 2
2 x + 3 + y + 1 = 4
27)
2 ( x + y ) + x + 1 = 4
( x + y ) − 3 x + 1 = −5
29)
3 x − 2 y = −1
2 x + y = 4
30)
( x − 2 ) 2 − 2y3 = 6
2
3
3 ( x − 2 ) + 5y = 7
8)
y
2x
x +1 + y +1 = 3
x + 3 y = −1
x + 1 y + 1
11)
1 1 3
x + y = 4
1 + 1 = 2
6 x 5 y 15
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
11
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
1
=2
y −1
3
=1
y −1
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2.1 + x − 1 − x = 5
a = 1 + x ≥ 0
1 + x + 4.1 − x = 7
b = 1 − x ≥ 0
Gợi ý: Đặt :
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: (Đưa hệ về tổng x + y và tích x.y)
x 2 + y2 = 10
x 2 + y 2 = 65
x 2 y + y2 x = 6
x + y = 4
(x − 1)(y − 1) = 18
xy + x + y = 5
a)
b)
c)
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4)
4
4
x + y = 97
2
2
xy(x + y ) = 78
2)
x
x − y + y = 3
x (x − y) = 2
y
5)
x 2 + y2 = 65
(x − 1)(y − 1) = 18
1 1
x + y = 5
1 + 1 = 13
x 2 y 2
3)
6)
x 2 y + y2 x = 6
xy + x + y = 5
2 y
x + 3 = 3
x 3 3
+ =
2 y 2
Dạng 4. Xác định giá trị của tham số để hệ có 1 nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm.
1. Phương pháp chung
ax + by = c
(I)
a ' x + b ' y = c '
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn dạng:
• Đối với hệ (I) ta xét các trường hợp:
+ Nếu
+ Nếu
a
b
≠
a ' b'
thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất
ab' = a'b
a b c
= ≠ ⇔
a' b' c' ac' ≠ a'c (hoaë
cbc' ≠ b'c)
ab' = a'b
a b c
= = ⇔
a' b' c' ac' = a'c (hoaë
cbc' = b'c)
+ Nếu
• Sau đó lập luận để tìm m theo yêu cầu bài toán.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
nhất
Lời giải
ïìï mx + 2my =- 24
í
ïïî (1- m) x + y =- 9
12
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
thì hệ (I) vô nghiệm.
thì hệ (I) có VSN
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a
b
≠
a ' b'
Để hệ có nghiệm duy nhất thì:
m ≠ 0
m
2m
2
≠
⇔ m ≠ 2m(1 − m) ⇔ 2m − m ≠ 0 ⇔ m ( 2m − 1) ≠ 0 ⇔
m ≠ 1
1− m
1
2
Tức
1
m≠
m≠0
2
Vậy với
và
thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
2 x + ay = 5
ax + 2 y = 2a + 1
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ?
Lời giải
a b c
= ≠
a' b' c'
Để hệ đã cho vô nghiệm thì:
a2 = 4
a = ±2
2 a
5
= ≠
⇔
⇔
⇒ a = −2
a 2 2a + 1 2(2a + 1) ≠ 5a a ≠ 2
Tức
Vậy khi a = – 2 thì hệ đã cho vô nghiệm
a b c
= =
a' b' c'
Hệ đã cho vô số nghiệm khi
2
a = ± 2
2 a
5
a = 4
= =
⇔
⇔
⇒ a= 2
a 2 2a + 1 2(2a + 1) = 5a a = 2
Vậy khi a = 2 thì hệ đã cho vô số nghiệm
x + 2y = 6
0 x + 5 y = 10
Ví dụ 3: Số nghiệm của hệ phương trình
là :
A. Một nghiệm duy nhất
B. Vô nghiệm
C. Vô số nghiệm
D. Hai nghiệm
Đáp án: A. Một nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Cho phương trình x – 2y = 2 (1), phương trình nào trong các phương trình sau kết hợp
với (1)
được một hệ có nghiệm duy nhất ?
1
1
x − y = −1
− x + y = −1
2x − 3y = 3
2
2
A.
B.
C.
D. 2x – 4y = 4
13
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Đáp án: C. 2x – 3y
=3
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:
nghiệm duy nhất.
A.
mx + 4 y = 9
x + my = 8
m≠2
B.
. Giá trị nào sau đây của m để hệ phương trình có
m ≠ −2
C.
m≠
m ≠ ±2
D.
m ≠ ±2
BÀI TẬP
(a − 1) x + 2 y = 1
+ ay = 1
Bài 1. Cho phương trình 3x
Giải hệ (I) với a = 3 + 1
(I)
Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.
2 x − ay = b
ax + by = 1
Bài 2. Xác định a, b để hệ phương trình:
Có nghiệm là x =1, y = – 2
b) Có vô số nghiệm.
x + y − 2 = 2
2x − y = m
Bài 3. Cho hệ phương trình
( m là tham số )
Giải hệ phương trình với m = −1 .
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Lời giải.
a) Khi m =
−
−
1 hệ có 2 nghiệm ( 1 ; 3 ) và ( 1 ;
−
1).
m+ 4
x
=
x + y = 4
3
⇔
2 x − y = m y = 8 − m
3
b) + Với y ≥ 2 hệ trở thành
8−m
<2
3
Hệ này vô nghiệm khi y < 2 ⇔
⇔ m > 2 (*)
x − y = 0
x = m
⇔
y = m
+ Với y < 2 hệ trở thành 2x − y = m
hệ này vô nghiệm khi y = m ≥ 2
(**)
Từ (*) và (**) , hệ đã cho vô nghiệm thì phải có m > 2 .
14
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
9
8
Đáp án: C.
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
x = 7 − y
mx = 2 y + p
Bài 4. Tìm giá trị của m và p để hệ phương trình
Có một nghiệm duy nhất
Có vô số nghiệm
Vô nghiệm
Lời giải.
a) Hệ phương trình đã cho
mx − 2 y = p
x + y = 7
m −2
≠
⇔ m ≠ −2
1
1
Hệ có nghiệm duy nhất
m −2 p
=
=
1
1
7
b) Hệ vô số nghiệm
m = – 2 , p = – 14
m −2 p
=
≠
1
1
7
≠
c) Hệ vô nghiệm
m = – 2 ,p 14
2
mx − y = m
2
2 x + my = m + 2m + 2
Bài 5. Cho hệ phương trình
Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Lời giải.
a) Xét hai trường hợp
• Trường hợp 1: m = 0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; 0)
≠
• Trường hợp 2: m 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a b
≠
ab ' ≠ a ' b m.m ≠ (−1).2
a' b'
≠
hay
m2 + 2 0
≥
Do m2 0 với mọi m m2 + 2 > 0 với mọi m.
≠
Hay m2 + 2 0 với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Dạng 5. Tìm diều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo
m
Bước 2: Giải điều kiện bài toán:
• Hệ có nghiệm nguyên:
15
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
k
f (m)
Viết x, y của hệ về dạng: n +
với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
• Hệ có nghiệm x, y dương (âm):
Giải bất phương trình ẩn m Tập giá trị của m
• Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho:
Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m
Giá trị của m
Bước 3: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất
Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện.
2. Các ví dụ
2 x + y = 5m − 1
x − 2 y = 2
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.
Lời giải
2x + y = 5m − 1
2x + y = 4
x = 2
⇔
x − 2y = 2
x − 2y = 2
y = 0
a) Thay m = 1 vào hệ phương trình: (I)
ta được
x
=
2
m
y = m −1
b) Ta giải (I) theo m được
Nghiệm này thỏa mãn hệ thức x2 – 2y2 = 1 nghĩa là
2
4m 2 – 2 ( m − 1) = 1 ⇔ 4m 2 − 2m 2 + 4m − 2 = 1 ⇔ 2m 2 + 4m − 3 = 0
m1 =
−2 + 10
−2 − 10
, m2 =
2
2
Giải phương trình ẩn m được
−2 + 10
−2 − 10
m1 =
, m2 =
2
2
KL: Vậy với
thì nghiệm của hệ (I) thỏa mãn hệ thức trên.
( a+ 1) x − y = a+ 1
(1)
(2)
x + ( a− 1) y = 2
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình sau với thám số a:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm nguyên.
c) Tìm các giá tri nguyên của a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x + y nhỏ nhất.
Lời giải
16
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a) Rút y từ (1) ta được: y = (a + 1)x (a + 1). Thay vào (2) được
x + ( a 2 − 1) x − ( a 2 − 1) = 2 ⇔ a 2 x = a 2 + 1
(3)
a2 +1
x= 2 .
a
y=
a2 + 1 a + 1
2 ; 2 ÷
a
a
a +1
a2
≠
Nếu a 0 thì
Khi đó
. Hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu a = 0 thì (3) vô nghiệm. Hệ đã cho vô nghiệm
a 2 + 1 Ma 2 ⇒ 1 Ma 2 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ±1
b) Điều kiện cần: Để hệ có nghiệm nguyên thì ta phải có
Điều kiện đủ: Với a = 1 thì x = 2, y = 2
Với a = 1 thì x = 2, y = 0
Vậy các giá trị nguyên của a là 1 và 1
x+y=
c) Ta có
Đặt
1
=z
a
a2 + a + 2
1 2
=1+ + 2
2
a
a a
≠
0)
2
z 1 7
1 7 7
x + y = 1 + z + 2z = 2 z 2 + + ÷+ = 2 z + ÷ + ≥
2 16 8
4 8 8
2
, ta có
min ( x + y ) =
Vậy
(với a
7
8
z=
khi và chỉ khi
−1
4
, tức là a = 4
Ví dụ 3: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
mx + 2 y = m + 1
2 x + my = 2m − 1
Lời giải
Hệ
mx + 2 y = m + 1
2 x + my = 2m − 1 ⇔
2mx + 4 y = 2m + 2
2
2
2mx + m y = 2m − m ⇔
(m 2 − 4)y = (m − 2)(2m + 1)
⇔
2x + my = 2m − 1
(m 2 − 4)y = 2m 2 − 3m − 2
2x + my = 2m − 1
(1)
(2)
Hệ có nghiệm duy nhất Phương trình (1) có nghiệm y duy nhất
⇔ m 2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ±2
m2 – 4 ≠ 0
m ≠ ±2
Vậy với
thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) là:
(m − 2)( 2m + 1) 2m + 1
3
=
= 2−
2
y =
m+2
m+2
m −4
x = m − 1 = 1 − 3
m+2
m+2
17
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
{ 1; − 1; 3 ; − 3}
∈
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) =
± ±
Vậy: m + 2 = 1, 3 m = –1; –3; 1; –5
x + y = 3m
x − 2 y = −3
Ví dụ 4: Số nguyên m để hệ phương trình
có nghiệm
( x; y )
thỏa mãn điều kiện
x + xy = 30
2
?
A. m = – 2
B. m =
C. m = – 2 và m =
D. Đáp án khác
Đáp
án: C
mx + 4 y = 10 − m
x + my = 4
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình
(m là tham số)
Giá trị nào sau đây của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương?
A. m = – 1
B. m = 3
C. m = 1
D. m = – 1 và m = 3
Đáp D
Dạng 6. Chứng tỏ nghiệm (x ; y) của hệ luôn nằm trên đường thẳng cố định.
1. Phương pháp chung
• Từ hệ, bằng phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo ra một phương trình mới f(x,y) = 0 không
phụ thuộc vào m
Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) là đường thẳng cố định cần tìm.
2. Các ví dụ
mx − y = 2m
x − my = m + 1
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
Chứng tỏ rằng điểm M(x ; y) (với (x ; y) là nghiệm của hệ đã cho) luôn nằm trên một
đường thẳng cố định.
Lời giải
m ≠ ±1
Điều kiện:
2m + 1
x = m + 1
mx − y = 2m
mx − y = 2m
⇔
⇔
2
2
x − my = m + 1 mx − m y = m + m
y = −m
m +1
Hệ
2m + 1 − m 2m + 1 − m
x+ y =
+
=
= 1 ⇔ y = −x +1
m +1 m +1
m +1
Ta có:
Vậy M(x ; y) luôn nằm trên đường thẳng cố định y = – x + 1.
18
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
mx + y = 2m
x + my = m + 1
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:
a) Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m.
b) Chứng tỏ (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm của hệ
phương trình)
Lời giải
mx + y = 2m
mx − 2m = − y
m( x − 2) = − y (1)
⇔
⇔
x + my = m + 1 x + my = m + 1 x + my = m + 1 (2)
a)
Rút m từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai ta được hệ thức
y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m
2m + 1
x=
2
2
2
2
m x + my = 2m
(m − 1) x = 2m − m − 1
mx + y = 2m
m +1
⇔
⇔
⇔
x + my = m + 1 x + my = m + 1
x + my = m + 1
y = m
m +1
b) Hệ
2m + 1
m
−
=1
⇔
m +1 m +1
Ta có: x – y =
y=x–1
Vậy (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1
mx + 2my = m + 1
x + (m + 1) y = 2
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
m −1 1
; ÷
m
m
Hệ trên có nghiệm (x ; y) =
. Vậy (x ; y) luôn nằm trên đường thẳng cố định
nào sau đây?
A. y = x + 1
B. y = – x + 1
C. x = y – 1
D. x = y + 1
Đáp
án: B
mx + y = 2
x + my = m+ 1
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình với hai ẩn x và y sau:
Điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định nào?
A. y = x + 2
B. y = x – 2
C. y = x + 1
D. y = x – 1
Đáp
án: C
BÀI TẬP
19
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
(m − 3) x + y = 2
mx + 2 y = 8
Bài 1. Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
Lời giải.
Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 – mx + 6x = 4
≠
x.(6- m) = 4 (m 6)
4
24 − 6m
x=
y=
6−m
6−m
. Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có:
4
∈¢
{ 1; − 1; 2; − 2; 4; − 4}
x∈¢ 6− m
∈
Để
6–m
Ư(4) =
• 6–m=1 m=5
• 6 – m = – 1 m = 7
• 6–m =2 m=4
• 6–m =–2m=8
• 6–m =4m=2
• 6 – m = – 4 m = 10
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 5 vào
ta được y = – 6 (thỏa mãn)
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 7 vào
ta được y = 18 (thỏa mãn)
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 4 vào
ta được y = 0 (thỏa mãn)
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 8 vào
ta được y = 17 (thỏa mãn)
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 2 vào
ta được y = 3 (thỏa mãn)
24 − 6m
y=
6−m
Thay m = 10 vào
ta được y = 9 (thỏa mãn)
∈ { 2; 4; 5; 7; 8; 10 }
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m
20
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
mx + y = 5 (1)
2mx + 3 y = 6 (2)
Bài 2. Cho hệ phương trình:
(I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m
(3)
Lời giải.
m 1
≠ ⇔ 3m ≠ 2m ⇔ m ≠ 0
2m 3
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:
Từ (1) y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có:
9
x=
m
≠
2mx + 3(5 – mx) = 6
(m 0)
9
9m
x=
y = 5−
=4
m
m
Thay
vào y = 5 – mx ta có:
9
x=
m
≠
Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm
;y=–4
9
x=
m
Thay
; y = – 4 vào phương trình (2m – 1)x + (m + 1)y = m ta được
9
( 2m – 1) + ( m + 1) ( – 4) = m
m
5m2 – 14m + 9 = 0
9
m=
5
≠
(m – 1).(5m – 9) = 0 m = 1 hoặc
(thoả mãn m 0)
9
m=
5
Vậy với m = 1 hoặc
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m
(m − 1) x + y = m
x + (m − 1) y = 2
Bài 3. Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Lời giải
(m − 1) x + y = m
x + (m − 1) y = 2
a) Thay m = 3 vào hệ phương trình
ta có hệ phương trình trở thành
21
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
4
x = 3
2 x + y = 3
⇔
x + 2 y = 2
y = 1
3
( x ; y ) =
Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
(m − 1) x + y = m (1)
x + (m − 1) y = 2 (2)
Xét hệ phương trình
Từ phương trình 2 x + my – y = 2 my = 2 – x + y
2− x+ y
m=
y
2− x+ y
m=
y
Thay
vào phương trình (1) ta có phương trình:
2− x+ y
2− x+ y
− 1 ÷+ y =
⇔ x 2 − y 2 − 3x + y + 2 = 0
y
y
4 1
; ÷
3 3
x 2 − y 2 − 3x + y + 2 = 0
Vậy
là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
mx + y = 1
x + my = 2
Bài 4. Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Lời giải.
mx + y = 1
x + my = 2
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình
ta có hệ phương trình trở thành
2 x + y = 1
y = 1 − 2x
y = 1− 2x
y =1
⇔
⇔
⇔
x + 2 y = 2 x + 2.(1 − 2 x ) = 2 −3 x = 0
x = 0
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là ( x ; y) = ( 0 ; 1)
b) Giải hệ phương trình theo tham số m
22
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
y = 1 − mx
y = 1 − mx
mx + y = 1
⇔
⇔
2
2
x + my = 2
x + m − m x = 2
(1 − m ) x = 2 − m (*)
Ta có hệ phương trình
±1
- Trường hợp 1: m2 = 1 m =
x + y = 1
x + y = 2
• Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có:
hệ phương trình này vô nghiệm
1 1 1
= ≠
1 1 2
vì
− x + y = 1 x − y = −1
⇔
x − y = 2
x − y = 2
• Nếu m = – 1, thay vào hệ phương trình ta có:
hệ này cũng
1 −1 −1
=
≠
1 −1 2
vô nghiệm vì
≠
≠ ±1
• Trường hợp 2: m2
1 m
2−m
x=
y = 1 − mx
1 − m2
⇔
2
(1 − m ) x = 2 − m
y = 1 − m 2 − m ÷
2
1− m
Hệ phương trình
2−m
2−m
x
=
x = 1 − m 2
1 − m2
⇔
⇔
2
y = 1 − 2m − m
y = 1 − 2m
1 − m2
1 − m2
Vậy với m
Tóm lại:
≠ ±1
Nếu m =
±1
2 − m 1 − 2m
;
2
2 ÷
1− m 1− m
( x, y ) =
thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
thì hệ phương trình vô nghiệm
≠ ±1
Nếu m
thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
c) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y = 1
23
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
2 − m 1 − 2m
;
2
2 ÷
1− m 1− m
( x, y ) =
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2 − m 1 − 2m
⇔
−
= 1 ⇔ 2 − m − (1 − 2m) = 1 − m 2 ⇔ m + m 2 = 0
2
2
1− m
1− m
m = 0
⇔ m(m + 1) = 0 ⇔
m = −1
Với m = – 1 (loại) và m = 0 (nhận)
Vậy với m = 0 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x – y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
mx + y = 1 (1)
x + my = 2 (2)
Xét hệ phương trình
1− y
m=
x
Từ phương trình (1)
1− y
m=
x
Thay
vào phương trình (2) ta có phương trình
( 1 − y ) y = 2 ⇔ x + y − y 2 = 2 ⇔ x2 + y − y 2 = 2 x
x+
x
x
⇔ x2 + y − y2 − 2x = 0
đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
3mx − y = 6m 2 − m − 2 (1)
2
(2)
5 x + my = m + 12m
Bài 5. Cho hệ phương trình:
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Lời giải
Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vào (2) ta được:
5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m
≠
x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m
(5 + 3m2 0 với mọi m)
6m3 + 10m
x=
= 2m
3m 2 + 5
Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta được:
A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = – 2(m2 – 4m – 4)
A = – 2(m2 – 4m + 4 – 8)
= – 2(m2 – 4m + 4) +16
−2(m − 2) 2 + 16 ≤ 16
−2(m − 2)2 ≤ 0 ∀m
=
. Do
24
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Vậy MaxA = 16 khi m = 2
Dạng 7. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
1. Phương pháp chung
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích
hợp với vài toán và kết luận
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Từ hai địa điểm A và B cách nhau 126 km một người đi xe máy và một người đi xe đạp
3
cùng khởi hành một lúc. Nếu đi ngược chiều nhau thì họ sẽ gặp nhau sau giờ. Nếu đi cùng chiều
8
5
11
thì xe máy sẽ đuổi kịp xe đạp trong
giờ. Tính vận tốc của người đi xe máy và của người đi xe
đạp.
Phân tích đề bài.
Thời gian (h)
Quãng đường (km)
km / h
Vận tốc
x
Ngược chiều
Xe máy
3
3x
Cùng chiều
Xe đạp
y
Xe đạp
x
Xe máy
y
5
3
3y
8 63
=
11 11
63
x
11
63
11
63
y
11
Lời giải.
Gọi vận tốc của xe máy và xe đạp lần lượt là
x
( x > y > 0)
y
km/h và
km/h
Nếu đi ngược chiều thì quãng đường xe máy và xe đạp đi lần lượt là
phương trình:
3 x + 3 y = 126 ⇔ x + y = 42
(1)
25
Biên Soạn: Trần Đình Hoàng
.
3x
3y
km và
km, ta có
