Tong hop cong thuc va dinh li Toan 9

Cơng thức Tốn 9 - THD 1
1) Phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (
≠a¹ 0
) 
- Phương trình  có 2 nghiệm phân biệt
0⇔ ∆ >
- Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu
0
0P
∆ >

⇔

<

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥

⇔

>

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng dương
0
0
0
P

S
∆ ≥


⇔
>


>

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔
>


<

- Phương trình  có 2 nghiệm đối nhau
0
0
0
P

S
∆ ≥


⇔
<


=

Ví dụ: Cho phương trình: 2x
2
– 5x – m + 3 = 0 
a. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm trái dấu:
2 2
4 ( 5) 4.2( 3) 25 8 24 1 8b ac m m m
∆ = − = − − + = + − = +
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
- Theo đònh lí Viet, ta có:
1 2
1 2
5
2,5
2
3
2
b

S x x
a
c m
P x x
a
= + = − = =
− +
= = =






- Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu
{ {
1
1 8 0
0 8 1
3
3
8
0 3 0
0
3
2
m
m
m
m

m
P m
m
+ >
∆ > > −
> −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
− +
< − + <
<
>


 
 
 


- Vậy m>3 thì phương trình  có 2 nghiệm trái dấu.
b. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm cùng âm:
- Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm
1 8 0
0
3 00
2,5 0( )
0
m
mP
sai
S

+ ≥
∆ ≥
⇔ ⇔
+ >>
<
<

 
 
 
 
- Vậy không có giá trò m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm.
2) Hệ phương trình:





ax + by = c
a'x + b'x = c'
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
' '
a b
a b
⇔ ≠
- Hệ phương trình vô nghiệm
' ' '
a b c
a b c
⇔ = ≠

- Hệ phương trình có vôâ số nghiệm
' ' '
a b c
a b c
⇔ = =
Cơng thức Tốn 9 - THD 2
3) Hằng đẳng thức

2 2 2
( ) 2a b a ab b+ = + +

2 2 2
( ) 2a b a ab b− = − +

3 3 3 2 2
( ) 3 3a b a b a b ab+ = + + +

3 3 3 2 2
( ) 3 3a b a b a b ab− = − − +

2 2
( )( )a b a b a b− = + −

2 2 2 2
( ) 2 ( ) 2a b a b ab a b ab+ = + − = − +

3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b− = − + +

3 3 2 2

( )( )a b a b a ab b+ = + − +

2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ − = + + + − −
4) Tỉ số lượng giác:
sin =
đối
huyền
cos =
kề
huyền
đối
tag =
kề
kề
cotag =
đối
Cung 0
o
15
o
30
o
45
o
60
o

75
o
90
o
105
o
120
o
135
o
150
o
Sin
0
6 2
4
−
1
2
2
2
3
2
6 2
4
+
1
6 2
4
+ 3

2
2
2
1
2
Cos
1
6 2
4
+ 3
2
2
2
1
2
6 2
4
−
0
6 2
4
− +
1
2
−
2
2
−
3
2

−
Tag
0
2 3−
3
3
1
3 2 3+
∞+ P
2 3− −
3−
-1
3
3
−
Cotag
∞ +P
1 2 3
2
−
3
1
3
3
2 3−
0
2 3− +
3
3
−

-1
3−
5) Giải phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (
≠a 0
)
a. Dùng công thức nghiệm: [Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 với a và c trái dấu thì
luôn có 2 nghiệm phân biệt]
;
2 2
2
b b
a a
b
a
∆
− + ∆ − − ∆
∆ ⇒ = =
−
∆ ⇒ = =
∆ ⇒
2
1 2
1 2
= b -4ac
* > 0 Phương trình co ù2 nghiệm phân biệt : x x
* = 0 Phương trình co ùnghiệm kép : x x

* < 0 Phương trình vo ânghiệm
b. Dùng công thức nghiệm thu gọn
2 ' ' ; '
2
' '
' ;
'
'
b
b b b
b b
a a
b
a
= ⇒ = ∆
− + ∆ − − ∆
∆ ⇒ = =
−
∆ ⇒ = =
∆ ⇒
2
1 2
1 2
= b' -ac
* > 0 Phương trình co ù2 nghiệm phân biệt : x x
* = 0 Phương trình co ùnghiệm kép : x x
* < 0 Phương trình vo ânghiệm
c. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2
1 2
1 2

1 2
1 2
1 2
*
0
0
b
S x x
a
x x
c
P x x
a
c
a b c x x
a
c
a b c x x
a

= + = −


⇒


= =


+ + = ⇒ =

− + = ⇒ = −
Biết được : và
* Biết được : =1 và
* Biết được : = -1và
Cơng thức Tốn 9 - THD 3
 Các tam giác đặc biệt 
6) Tam giác vuông cân
-
ABC∆ vuông cân tại A
; AB = AC = a
-
∆ ∆ ∆ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH
-
·
·
·
90
o
BAC AHC AHB= = =
-
·
·
·
·
45
o
BAH ABH ACH CAH= = = =
-
2 2BC AB AC= =
;

2 2 2a HB HC AH= = =
- AH là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác của
ABC∆
-
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
2 2 2
2 2 2 2
BC BH CH BH AH CH AH
a BH CH AH
+ + +
= = = = = = =
-
2 2
.
2 2
ABC
AH BC AH AH
S
+
= =
Chứng minh một tam giác vuông cân:
· ·
·
·
2
2
2
2
2
2

45
45
o
o
ABC A
BC AB
BC AC
BC
AB
ABC A
BC
AC
AB AC
ABC ABC
ABC
ACB
∆



=



=







=




⇒∆


=




=




=




=




=



vuôngtại
vuông cân tại

7) Tam giác đều
-
ABC∆ đều
; AB = AC = BC = a
- AH là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực và tia phân giác
-
2
a
CH HB= =
;
3
2
a
AH =
;
2
3
4
ABC
a
S =
Chứng minh một tam giác đều:
·
·
·

60
60
60
o
o
o
ABC
ABC
∆



=



⇒ ∆


=



=




cân
ABC

đều
ACB
CAB
8) Nửa tam giác đều
-
ACH ABH∆ ∆và là nửa tam giác đều
-
3 3
3 3
2 2
AB AC
AH BH CH= = = =
-
3
2 2 3
AB AC AH
CH BH= = = =
-
2 3
2 2
3
AH
AB AC CH BH= = = =
A
B
C
H
a
A
BC

H
a
Cơng thức Tốn 9 - THD 4
Chứng minh nửa tam giác đều:
·
·
·
( , ) 60
2
3
2
o
AHC
ACH CAH
AHC
AH HC
AC
HC
∆





=


⇒ ∆

=







=



vuông
AHC
la ønửa tam giác đều
9) Góc và đường tròn
-
·
AOB
: góc ở tâm chắn
»
AB
-
·
ACB
: góc nội tiếp chắn
»
AB
-
·
EAB
: góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn

»
AB
-
·
·
·
1
2
ACB EAB AOB= =
-
·
»
º
( )
1
sđHDG = sđHG -sđJI
2
-
·
»
»
( )
1
sđADG = sđAG -sđJA
2
-
·
¼
¼
( )

1
sđEDF = sđAmF -sđAnF
2
-
·
·
»
»
( )
1
2
JKC BKG JC BG= = sđ + sđ
10) Một vài công thức cần nhớ (Hình học ):
- Độ dài đường tròn:
π
C = 2 R
- Độ dài cung tròn:
π
o
o
Rn
l =
180
- Diện tích hình tròn:
π
2
S = R
- Diện tích hình quạt tròn:
π
2 o

o
R n
S =
360
Ghi chú: +
π
: số pi
+ C: độ dài đường tròn + R: bán kính
+ l: độ dài cung + n
o
: số đo độ của cung
- Diện tích xung quanh hình trụ:
π
xq
S = 2 R.h
- Diện tích toàn phần hình trụ:
π π
2
tp
S = 2 R.h + 2 R
- Thể tích hình trụ:
π
2
V = Sh + R h
- Diện tích xung quanh hình nón :
π
xq
S = Rl
- Diện tích toàn phần hình nón:
π π

2
tp
S = Rl+ R
- Thể tích hình nón:
π
2
1
V = R h
3
Ghi chú: + h: chiều cao + l: đường sinh
11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số):
1. Với
0; 0a b≥ ≥
thì
a + b a + b≤
(dấu “=” xảy ra
⇔
a = 0 hoặc b = 0)
2. Với
0a b≥ ≥
thì
a- b a - b≥
(dấu “=” xảy ra
⇔
a = 0 hoặc b = 0)
3. Công thức căn phức tạp:
2 2
A + A - B A- A - B
A ± B = ±
2 2

trong đó A > 0 ; B >
0 ; A
2
> B
4. Bất đẳng thức Cô-si: với
a 0,b 0≥ ≥
thì:
a + b
ab
2
≥
(dấu “=” xảy ra
⇔
a = b)
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:
A
B
C
O
D
E
F
G
H
I
J
m
n
K
Cơng thức Tốn 9 - THD 5

- Dạng có chứa dấu căn: 
a + b ab≥
với
0; 0a b≥ ≥

1 2

a + b a + b
≥
với a > 0 ; b > 0
- Dạng không có dấu căn

2
(a+ b)
ab
2
≥

2
(a+ b) 4ab≥


2 2
a + b 2ab≥

5.
A 0(hayB 0)
A B
A = B
≥ ≥


= ⇔


6.
2
B 0
A B
A = B
≥

= ⇔


7.
B 0
| A | = B
A = B hay A = -B
≥

⇔


8.
2 2 2 2
X A X A hay X A ; X A A X A≥ ⇔ ≥ ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
9.
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
- Đặt điều kiện:
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f x g x h x≥ ≥ ≥

- Chuyển vế (2 vế phải không âm)
- Bình phương 2 vế
10.
2 2
;Min X m m Max m X m= ± ≥ ± = ± − ≤ ±
11. Điều kiện để biểu thức có nghóa: - Biểu thức có dạng
A
có nghóa
khi
-
0A
≥
- Biểu thức có dạng
A
B
có nghóa khi
0B
≠
- Biểu thức có dạng
A
B
có
nghóa khi
0B >
12) Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Hệ số
góc của đường thẳng
1. Cho 2 đường thẳng: (d
1
) : y = ax + b (a
≠

0) và (d
2
) : y = a’x + b’ (a’
≠
0)
 (d
1
) // (d
2
)
' ; 'a a b b⇔ = ≠
 (d
1
)
≡
(d
2
)
' ; 'a a b b⇔ = =
 (d
1
) cắt (d
2
)
'a a⇔ ≠
 (d
1
)
⊥
(d

2
)
. ' 1a a⇔ = −
2. Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.
Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù.
3. Nếu (d
1
) cắt (d
2
) thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax + b =
a’x + b’
4. Gọi
α
là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox. Nếu a > 0 thì
= aαtg
13) Các dạng phương trình đặc biệt:
1. Phương trình bậc 3: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) []
Nếu biết 1 nghiệm x = x
0
thì [] được đưa về phương trình tích: (x – x
0
)(ax
2
+
mx + n) = 0
2. Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax

4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 (a ≠ 0) []
a) Phương pháp giải:
- Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của [].