160 bài tập GIỚI hạn dãy số + đáp án CHI TIẾT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 52 trang )
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
LÝ THUYẾT
GIỚI HẠN HỮU HẠN
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
1
0;
n n
1. Giới hạn đặc biệt:
lim
lim
1
0 (k
n n k
lim qn 0 ( q 1) ;
n
lim C C
a) Nếu lim un thì lim
lim (un + vn) = a + b
lim (un.vn) = a.b
vn
un
vn
=0
c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
a
(nếu b 0)
b
thì
b) Nếu un 0, n và lim un= a
lim
un
vn
=
neáu a.vn 0
neáu a.vn 0
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
un a
thì a 0 và lim
1
0
un
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim
lim (un – vn) = a – b
)
2. Định lí:
n
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
un
lim qn (q 1)
2. Định lí :
lim
lim nk (k
lim n
)
thì
c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
lim(un.vn) =
neáu a 0
neáu a 0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
d) Nếu lim un = a thì lim un a
định:
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S u1 u1q u1q 1
1 q
2
0
, , – , 0. thì phải tìm cách khử
0
dạng vô định.
q 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1.
Kết quả đúng của lim
5
A. .
2
Bài 2.
Kết quả đúng của lim
2 5n2
là
3n 2.5n
B.
1
.
50
n 2 2n 1
3n 4 2
C.
5
.
2
D.
25
.
2
là:
HDedu - Page 1
Bài 3.
2
B. .
3
3
.
3
A.
B. .
Giá trị đúng của lim
Bài 8.
Giá trị của C lim
1
n 2 n 7
2
C. 0 .
D. 1 .
B. Nếu lim un , thì lim un .
C. Nếu lim un 0 , thì lim un 0 .
D. Nếu lim un a , thì lim un a .
lim
3n 2
bằng.
n3
2
3
Kết quả của lim
B. 1
Kết quả của lim
A.
1
.
3
C. 3
D. 2
C. 0 .
D. 1 .
3n 4.2n1 3
bằng:
3.2n 4n
B. .
Tính giới hạn I lim
2
A. I .
3
Bài 12.
D. 2 .
bằng:
B. .
A. .
Bài 11.
C. 2 .
A. Nếu lim un , thì lim un .
A.
Bài 10.
D. 1 .
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Bài 9.
C. 0 .
B. .
A. .
Bài 7.
D. 1 .
Giá trị đúng của lim 3n 5n là:
A. .
Bài 6.
C. 0 .
1
.
2
n2 1 3n2 2 là:
B. .
A. .
Bài 5.
D.
3n 4.2n1 3
Kết quả của lim
bằng:
3.2n 4n
A. .
Bài 4.
1
C. .
2
2n 2017
.
3n 2018
3
B. I .
2
C. I
2017
.
2018
D. I 1 .
n2
bằng:
3n 1
1
B. .
3
C. 2 .
D. 1 .
Phát biểu nào sau đây là sai ?
A. lim un c ( un c là hằng số ).
B. lim q n 0 q 1 .
1
C. lim 0 .
n
D. lim
1
0 k 1 .
nk
HDedu - Page 2
Bài 13.
Tìm lim
8n5 2n3 1
.
4n5 2n2 1
A. 2 .
Bài 14.
A.
B. 8 .
Tính giới hạn lim
1
.
2
Bài 15.
A.
Bài 16.
Tính lim
Bài 19.
7
.
3
B.
1
2
C.
1
3
D.
C.
1
.
2
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
4n 2 5 n
4n n 2 1
Tính giới hạn T lim
1
5
Biết lim
1
2
. Khi đó giá trị của I là:
5
B. I .
3
C. I 1 .
16n1 4n 16n1 3n
B. T
1
4
C. T
Cho dãy số un có lim un 2 . Tính giới hạn lim
A.
Bài 22.
D. 0 .
2
B. .
3
Cho I lim
A. T 0
Bài 21.
C. .
7 n 2 2n 3 1
.
3n3 2n2 1
A. I 1 .
Bài 20.
1
.
2
B. 0 .
Tìm I lim
A.
B.
2n 1
được kết quả là
1 n
A. 2 .
Bài 18.
D. $2018$.
1 n2
bằng
2n 2 1
A. 0
Bài 17.
C. 2 .
2n 4 2 n 2
bằng
4n 4 2 n 5
2
.
11
lim
D. 4 .
4n 2018
.
2n 1
B. 4 .
lim
C. 1 .
B.
3
2
C.
1
8
3
D. I .
4
D. T
1
16
3un 1
.
2un 5
5
9
D.
2n 3 n 2 4 1
với a là tham số. Khi đó a a 2 bằng
3
an 2
2
HDedu - Page 3
B. 2 .
A. 12 .
Bài 23.
5
.
2
B. L .
Tính I lim n
C. I 1, 499
D. I 0
B. I
3n 1
3n 1
Tính lim n
B. lim
3
2
2n 1
2n 1
C. lim
D. lim
n 1
n 1
C. .
B. 1 .
Giới hạn lim
4n 1
3n 1
4n2 3 3 8n3 n .
A. .
Bài 27.
3
D. L .
2
Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại?
A. lim
Bài 26.
C. L 2 .
n2 2 n2 1 .
A. I
Bài 25.
D. 6 .
1
1
1
Tìm L lim
...
1 2 ... n
1 1 2
A. L
Bài 24.
C. 0 .
D.
2
.
3
5 3n2 n a 3
a
(với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản).
2 3n 2
b
b
Tính T a b .
A. T 21 .
Bài 28.
Giới hạn dãy số un với un
A. .
Bài 29.
Bài 31.
lim
D. 0 .
2
.
5
D. .
B. 0 .
C. 1 .
D. .
B. 1 .
C. 0 .
D. .
B. 10 .
C. 0 .
D. .
n 1 n 1 là:
5n 1
bằng:
3n 1
A. .
Bài 32.
3
.
4
C. .
B.
Giá trị đúng của lim n
lim
C.
n3 2n 5
:
3 5n
Chọn kết quả đúng của lim
A. 1 .
D. T 9 .
3n n 4
là:
4n 5
B. .
A. 5 .
Bài 30.
C. T 7 .
B. T 11 .
10
n n2 1
4
A. .
bằng:
HDedu - Page 4
Bài 33.
lim 5 200 3n5 2n 2 bằng:
A. 0 .
Bài 34.
1 1 1
Tìm giá trị đúng của S 2 1
2 4 8
A.
Bài 35.
2 1.
B. 2 .
B. 0 .
Chọn kết quả đúng của lim 3
A. 4 .
Bài 37.
4n 1
Giá trị của D lim
n2 3n 2
Giá trị của B lim
B. .
n2 2n
n 3n2 1
2n
Giá trị của C lim
C. 1
D.
1
.
2
C. 2 .
D.
1
.
2
C. 0 .
D. 4.
2
.
3
D. 1
A. .
2
n 2
1
4
4
n17 1
D.
C. 16 .
D. 1 .
1 3
bằng:
2n4 n 2 n
bằng:
B. .
1
C. 0 .
9
n2 1 3 3n3 2
Giá trị của D lim
Giá trị của A lim
bằng:
B. .
A. .
Bài 42.
1
.
2
C.
B. .
A. .
Bài 41.
D.
2n2 3n 1
Giá trị của A lim 2
bằng:
3n n 2
A. .
Bài 40.
C. 2 2 .
bằng:
B. .
A. .
Bài 39.
.
1
2n
n2 1 1
.
3 n 2 2n
B. 3 .
A. .
Bài 38.
D. .
n 1 4
.
n 1 n
Tính giới hạn: lim
A. 1 .
Bài 36.
C. .
B. 1 .
C.
1 3 3
4
2 1
.
D. 1 .
n2 6n n bằng:
B. .
C. 3 .
D. 1 .
HDedu - Page 5
Bài 43.
Giá trị của B lim
n3 9n2 n bằng:
3
A. .
Bài 44.
B. .
B. .
Giá trị của D lim
n2 2n 3 n3 2n2
A. .
Bài 46.
Giá trị của A lim
Giá trị của B lim
B. .
B. .
4
Giá trị của C lim
3n3 1 n
2n4 3n 1 n
C. 0 .
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
C. 8 .
D. 1 .
bằng:
B. .
B. .
Giá trị của H lim
n2 n 1 n bằng:
B. .
Giá trị của M lim
1
.
12
Giá trị của A lim
A. .
Bài 53.
D. 1 .
(n 2)7 (2n 1)3
Giá trị của. F lim
bằng:
(n2 2)5
A.
Bài 52.
C. 2 .
2n2 1 n bằng:
A. .
Bài 51.
D. 1 .
A. .
Bài 50.
1
.
3
C.
n2 2n 2 n bằng:
A. .
Bài 49.
D. 1 .
A. .
Bài 48.
1
C. .
3
bằng:
B. .
A. .
Bài 47.
D. 3 .
3.2n 3n
Giá trị của C lim n1 n1 bằng:
2 3
A. .
Bài 45.
C. 0 .
Giá trị của B lim
3
C.
1
.
2
D. 1
1 n2 8n3 2n bằng:
B. .
C. 0 .
D. 1 .
2
C. .
3
D. 1 .
2n 1
bằng:
1 3n
B. .
4 n 2 3n 1
bằng:
(3n 1)2
HDedu - Page 6
A. .
Bài 54.
Giá trị của C lim
B. .
B. .
B. .
Giá trị của F lim
B. .
4
n4 2 n 1 2 n
3
A. .
Bài 58.
Giá trị của M lim
Giá trị của. N lim
3
C. 0 .
D. 1 .
3
3
3 1
.
D. 1
C. 3 .
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
n3 3n2 1 n bằng:
3
8n3 n 4n2 3 bằng:
B. .
2
C. .
3
D. 1 .
C. 2 .
D. 1 .
C. 2 .
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
3.2n 3n
bằng:
2 n 1 3n 1
B. .
2n3 sin 2n 1
Giá trị của A lim
bằng:
n3 1
A. .
Bài 63.
D. 1 .
C.
B. .
1
A. .
3
Bài 62.
C. 0 .
n2 6n n bằng:
Giá trị của H lim n
Giá trị của K lim
D. 1 .
bằng:
B. .
A. .
Bài 61.
1
.
4
A. .
Bài 60.
3n3 n n
B. .
A. .
Bài 59.
C.
n3 2n 1
bằng:
n2
Giá trị của E lim
A. .
Bài 57.
D. 1 .
n3 3n2 2
bằng:
n4 4 n3 1
Giá trị của D lim
A. .
Bài 56.
4
.
9
n3 1
bằng:
n(2n 1)2
A. .
Bài 55.
C.
Giá trị của C lim
A. .
B. .
3.3n 4n
bằng:
3n 1 4 n 1
B.
1
.
2
HDedu - Page 7
Bài 64.
Giá trị của D lim
n1
n2 ( 3n2 2 3n2 1)
A. .
Bài 65.
B. .
B. .
Giá trị của F lim
A. .
Bài 67.
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
C. Đáp án khác.
D. 1 .
Giá trị của K lim n
B. .
n2 1 n bằng:
B. .
Tính giới hạn của dãy số C lim
Tìm lim un biết un
A. .
Bài 71.
.
p
A. .
Bài 70.
3
Giá trị của H lim( k n2 1 n2 1) bằng:
A. .
Bài 69.
2
n 1 n bằng:
B. .
A. .
Bài 68.
C.
Giá trị của E lim( n2 n 1 2n) bằng:
A. .
Bài 66.
bằng:
C.
1
.
2
D. 1 .
4n2 n 1 2n .:
B. .
C. 3 .
D.
1
.
4
n. 1 3 5 ... (2n 1)
.
2n 2 1
B. .
C.
1
.
2
D. 1 .
Tìm lim un biết un 2 2... 2 .
n dau can
A. .
Bài 72.
B. .
Cho dãy số un với un
C. 2.
D. 1.
n
u
1
và n 1 . Chọn giá trị đúng của lim un
n
un
2
4
trong các số
sau:
A.
Bài 73.
1
.
4
Kết quả đúng của lim
5
A. .
2
Bài 74.
B.
1
.
2
C. 0 .
D. 1 .
5
.
2
D.
2 5n2
là:
3n 2.5n
B.
1
.
50
Giới hạn dãy số un với un
C.
25
.
2
3n n 4
là:
4n 5
HDedu - Page 8
A. .
Bài 75.
lim
Giá trị đúng của lim
C. 0 .
D. 1 .
C. 2 .
D. .
2
.
5
n2 1 3n2 2 là:
Cho dãy số un với un n 1
lim
2n 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n n2 1
4
B. 0 .
C. 1 .
D. .
B. 1 .
C. 0
D. .
C. .
D. .
5n 1
bằng :
3n 1
lim 5 200 3n5 2n 2 bằng :
A. 0 .
Bài 82.
D. .
n 3 2n 5
.
3 5n
B. 0 .
A. .
Bài 81.
C. .
D. 0 .
n
lim n 2 sin
2n3 bằng:
5
A. .
Bài 80.
D. 1 .
B. .
A. .
Bài 79.
C. 0 .
B.
A. .
Bài 78.
B. .
Chọn kết quả đúng của lim
A. 5 .
Bài 77.
C.
3n 4.2n1 3
bằng:
3.2n 4n
A. .
Bài 76.
3
.
4
B. .
B. 1 .
1
u1 2
Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
. Tìm kết quả đúng của lim un
1
un 1
, n 1
2 un
.
A. 0 .
Bài 83.
C. 1 .
D.
1
2
4n 2n 1
lim n
bằng :
3 4n 2
4
A. 0 .
Bài 84.
B. 1 .
Tính giới hạn lim
B.
1
.
2
C.
1
.
4
D. .
n 1 4
.
n 1 n
HDedu - Page 9
B. 0 .
A. 1 .
Bài 85.
Tính giới hạn lim
A. 0 .
Bài 86.
C. 1 .
D.
1
.
2
1 3 5 .... 2n 1
.
3n2 4
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D. 1 .
C.
3
.
2
D.
C.
2
.
3
D. 2 .
1
1
1
....
Tính giới hạn lim
.
1.2
2.3
n
n
1
A. 0 .
B. 1 .
Không có giới
hạn.
Bài 87.
1
1
1
....
Tính giới hạn lim
.
n 2n 1
1.3 3.5
B. 0 .
A. 1 .
Bài 88.
1
1
1
....
Tính giới hạn lim
.
1.3
2.4
n
n
2
A.
Bài 89.
11
.
18
C. 0 .
D.
2
.
3
B. 2 .
C. 1 .
D.
3
.
2
C.
D. 0
C. .
D. .
sin x 1
bằng
x
x
Giới hạn lim
A.
Bài 91.
B. 1 .
1
1
1
...
Tính giới hạn: lim
.
n(n 3)
1.4 2.5
A.
Bài 90.
3
.
4
B. 1
Chọn kết quả đúng của lim
A. 5 .
B.
n3 2n 5
.
3 5n
2
.
5
HDedu - Page 10
Bài 92.
A.
Bài 93.
lim
4n 2 1 n 2
bằng
2n 3
3
.
2
B. 2.
Tính I lim
A.
B. I 0 .
Giới hạn lim
2
.
3
B.
Giá trị của lim
n
x
D.
C. e.
D. 0.
C. –4.
D.
C. 2 .
D. .
dx bằng
n
B. 1.
B. 5.
B. 0 .
Cho dãy số un với un n 1
A. .
Bài 99.
1
1 e
1
.
3
C. 0 .
1
.
4
n
Kết quả của lim n 2 sin
2n3 bằng:
5
A. .
Bài 98.
1
.
6
n cos 2n
Kết quả đúng của lim 5 2
là:
n 1
A. 4.
Bài 97.
D. I 1 .
12 22 32 42 ... n2
có giá trị bằng?
n 3 2n 7
A. 1.
Bài 96.
C. I .
2n 3
.
2n 3n 1
n 1
Bài 95.
D. .
2
A. I .
Bài 94.
C. 1.
2n 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n n2 1
4
B. 0 .
C. 1 .
D. .
1
1
1
Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 ... 1 2 .
2 3 n
A. 1 .
Bài 100. Giá trị của lim
A. .
B.
1
.
2
C.
1
.
4
D.
3
.
2
an
0 bằng:
n!
B. .
C. 0 .
D. 1 .
C. 0 .
D. 1 .
Bài 101. Giá trị của lim n a với a 0 bằng:
A. .
B. .
HDedu - Page 11
ak nk ... a1n a0
Bài 102. Giá trị của D lim
bp np ... b1n b0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp 0 )
bằng:
A. .
B. .
Bài 103. Giá trị của. N lim
A. .
4n2 1 3 8n3 n bằng:
3
n
n!
n3 2 n
C.
D. 1 .
C. 0 .
1
2 1 2
B. .
D. 1 .
1
3 2 2 3
...
C. 0 .
1
(n 1) n n n 1
:
D. 1 .
(n 1) 13 2 3 ... n3
:
3n3 n 2
B. .
C.
Bài 108. Tính giới hạn của dãy số un (1
A. .
5
.
12
bằng:
B. .
Bài 107. Tính giới hạn của dãy số un
A. .
D. 1 .
n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng:
Bài 106. Tính giới hạn của dãy số un
A. .
C. 0 .
B. .
Bài 105. Giá trị của. B lim
A. .
D. 1 .
B. .
Bài 104. Giá trị của. K lim
A. .
C. Đáp án khác.
1
.
9
D. 1 .
1
1
1
n(n 1)
)(1 )...(1 ) trong đó Tn
.:
T1
T2
Tn
2
B. .
C.
1
.
3
D. 1 .
23 1 33 1 n3 1
Bài 109. Tính giới hạn của dãy số un 3
.:
.
....
2 1 33 1 n3 1
A. .
B. .
2
.
3
D. 1 .
C. 3 .
D. 1 .
C.
2k 1
.:
2k
k 1
n
Bài 110. Tính giới hạn của dãy số un
A. .
B. .
Bài 111. Tính giới hạn của dãy số un q 2q 2 ... nq n với q 1 .:
A. .
B. .
C.
q
1 q
2
.
D.
q
1 q
2
HDedu - Page 12
n
n
.:
k 1 n k
Bài 112. Tính giới hạn của dãy số un
A. .
B. .
3
n6 n 1 4 n4 2n 1
.:
(2n 3)2
B. .
C. 3 .
Bài 114. Tính giới hạn của dãy số D lim
A. .
D.
3
.
4
n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n .:
1
C. .
6
B. .
Bài 115. Cho các số thực a, b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn I lim
A. .
D. 1
C. 3.
Bài 113. Tính giới hạn của dãy số B lim
A. .
2
B. .
C.
1 b
.
1 a
D. 1 .
1 a a 2 ... a n
.
1 b b2 ... bn
D. 1 .
1
Bài 116. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 , xn1 xn2 xn ,n 1 .
2
Đặt Sn
A. .
1
1
x1 1 x2 1
1
. Tính lim Sn .
xn 1
B. .
n
Bài 117. Tìm lim un biết un
k 1
A. .
1
n k
2
D. 1 .
C. 3.
D. 1.
.
B. .
Bài 118. Cho dãy số un với un
C. 2.
n
u
1
và n 1 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số
n
un
2
4
sau:
A.
1
.
4
B.
1
.
2
C. 0 .
D. 1 .
C. 2 .
D. .
n
Bài 119. Kết quả của lim n 2 sin
2n3 bằng:
5
A. .
B. 0 .
HDedu - Page 13
Bài 120. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 0; 2018 để có
9n 3n 1
1
lim n
?
na
5 9
2187
A. 2011
B. 2016
Bài 121. Cho dãy số un như sau: un
C. 2019
D. 2009
n
, n 1 , 2 , ... Tính giới hạn
1 n2 n4
lim u1 u2 ... un .
x
A.
1
4
B. 1
C.
1
2
D.
1
3
Bài 122. Cho dãy số xn xác định bởi x1 2 , xn1 2 xn , n . Mệnh đề nào là mệnh đề
đúng ?
A. xn là dãy số giảm.
B. xn là cấp số nhân.
C. lim xn .
D. lim xn 2 .
Bài 123. Trong các dãy số un cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ?
A. un
n n 2018
n 2017
2
2
C. un
1.3 3.5
2017
2018
B. un n
.
2
2n 1 2n 3
.
n2 2020 4n2 2017 .
u1 2018
D.
.
1
u
u
1
,
n
1
n 1 2 n
Bài 124. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk
1 2
k
.
...
2! 3!
(k 1)!
n
Tìm lim un với un n x1n x2n ... x2011
.
B. .
A. .
C. 1
1
.
2012!
D. 1
1
2012!
u0 2011
u3
Bài 125. Cho dãy số (un ) được xác định bởi:
1 . Tìm lim n .
n
un1 un u 2
n
B. .
A. .
Bài 126. Cho a, b
C. 3.
D. 1 .
, (a, b) 1; n ab 1, ab 2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)
sao
rn 1
.
n n
ab
cho n au bv . Tìm lim
A. .
B. .
C.
1
.
ab
D. ab 1 .
HDedu - Page 14
Bài 127. Cho dãy số un xác định bởi u1 0 và un1 un 4n 3 , n 1 . Biết
un u4 n u42 n ... u42018 n
lim
un u2 n u22 n ... u22018 n
a 2019 b
c
với a , b , c là các số nguyên dương và b 2019 . Tính giá trị S a b c .
A. S 1 .
B. S 0 .
C. S 2017 .
D. S 2018 .
Bài 128. Đặt f n n2 n 1 1.
2
Xét dãy số un sao cho un
A. lim n un 2.
B. lim n un
Bài 129. Giá trị của. H lim n
A.
Bài 130. Giá trị của A lim
1
.
3
C. lim n un 3.
D. lim n un
1
.
2
8n3 n 4n2 3 bằng:
3
B.
A.
Bài 131.
f 1 . f 3 . f 5 ... f 2n 1
. Tính lim n un .
f 2 . f 4 . f 6 ... f 2n
C.
2
3
D. 1
n2 2n 2 n bằng:
B.
C. 2
D. 1
C. .
D. .
C. 2
D. 1
C. 0
D. 1
lim 5 200 3n5 2n 2 bằng :
A. 0 .
Bài 132. Giá trị của A lim
A.
Bài 133. Giá trị của B lim
A.
Bài 134. Giá trị của D lim
A.
B. 1 .
2n3 sin 2n 1
bằng:
n3 1
B.
n
n!
n 3 2n
bằng:
B.
n 1
n 2 ( 3n 2 2 3n 2 1)
B.
bằng:
C.
2
3
D. 1
Bài 135. Giá trị của E lim( n2 n 1 2n) bằng:
A.
B.
C. 0
D. 1
HDedu - Page 15
Bài 136. Giá trị của F lim
A.
n 1 n bằng:
B.
C. 0
D. 1
Bài 137. Giá trị của H lim( k n2 1 n2 1) bằng:
p
A.
B.
Bài 138. Tính giới hạn của dãy số un
A.
C. 0
B.
C.
A.
1
9
D. 1
1
1
1
n(n 1)
)(1 )...(1 ) trong đó Tn
.:
T1
T2
Tn
2
B.
Bài 141. Tính giới hạn của dãy số un
D. 1
(n 1) 13 23 ... n3
:
3n3 n 2
Bài 140. Tính giới hạn của dãy số un (1
A.
D. 1
1
1
1
...
:
2 1 2 3 2 2 3
(n 1) n n n 1
B.
Bài 139. Tính giới hạn của dãy số un
A.
C. Đáp án khác
C.
1
3
D. 1
23 1 33 1 n3 1
.:
.
....
23 1 33 1 n3 1
B.
2
3
D. 1
C. 3
D. 1
C.
2k 1
.:
2k
k 1
n
Bài 142. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Bài 143. Tính giới hạn của dãy số un q 2q 2 ... nq n với q 1
A.
B.
C.
.:
q
1 q
D.
2
q
1 q
2
n
n
k 1 n k
Bài 144. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Bài 145. Tính giới hạn của dãy số B lim
A.
B.
.:
C. 3
3
B.
Bài 146. Tính giới hạn của dãy số C lim
A.
2
D. 1
n 6 n 1 4 n 4 2n 1
(2n 3)2
C. 3
4n2 n 1 2n
C. 3
.:
D.
3
4
D.
1
4
.:
HDedu - Page 16
Bài 147. Tính giới hạn của dãy số D lim
A.
n 2 n 1 2 3 n3 n 2 1 n . :
B.
C.
1
6
D. 1
1
Bài 148. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 , xn1 xn2 xn ,n 1
2
Đặt Sn
1
1
x1 1 x2 1
A.
1
. Tính lim Sn .
xn 1
B.
C. 2
Bài 149. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk
D. 1
1 2
k
...
2! 3!
(k 1)!
n
Tìm lim un với un n x1n x2n ... x2011
.
A.
B.
C. 1
1
2012!
D. 1
1
2012!
u0 2011
un3
(
u
)
1 . Tìm lim .
Bài 150. Cho dãy số n được xác định bởi:
n
un1 un u 2
n
A.
B.
Bài 151. Cho dãy x 0 xác định như sau: f ( x)
A.
B.
Bài 152. Tìm lim un biết un
A.
C. 3
D. 1
x 1 1
. Tìm 0; .
x
C. 2010
D. 1
n. 1 3 5 ... (2n 1)
2n 2 1
B.
C.
1
2
D. 1
3 x 2 2x 1
khi x 1
Bài 153. Tìm lim un biết f ( x)
x 1
3m 2
khi x 1
A.
B.
3
C. 2
D.
6
2
x 1 1
khi x 0
Bài 154. Tìm lim un biết f ( x)
x
2 x 2 3m 1 khi x 0
A.
B.
C. 2
D. 1
HDedu - Page 17
2x 4 3
khi x 2
Bài 155. Tìm lim un biết f ( x)
trong đó x 1 .
x 1
khi x 2
2
x 2mx 3m 2
A.
B.
n
D. 1
C. 3
D. 1
C. 2
D. 1
1
Bài 156. Tìm lim un biết un
n k
2
k 1
A.
1
3
C.
B.
Bài 157. Tìm lim un biết un 2 2... 2
n dau can
A.
B.
Bài 158. Gọi g ( x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f ( x) lim
x 2
A.
Bài 159. Cho a, b
B.
C.
4
3
x 2
2x 4 3 3 .
D. 1
, (a, b) 1; n ab 1, ab 2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)
rn 1
.
n n
ab
sao cho n au bv . Tìm lim
A.
B.
C.
1
ab
D. ab 1
1
u1
2
Bài 160. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
. Tìm kết quả đúng của
un 1 1 , n 1
2 un
lim un .
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D.
1
2
160 BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
Chọn B
HDedu - Page 18
2 1
1
0
n
25
25 1 .
lim n
lim 5 n 25
n
3 2.5
02
50
3
2
5
n2
Bài 2.
Chọn A
2 1
1 2
n 2n 1
3
n n 1 0 0
.
lim
lim
4
3
2
3 0
3n 2
3 2
n
2
Bài 3.
Chọn C
n
n
n
3
1
1
2. 3.
3n 4.2n 1 3
3n 2.2n 3
2
4 0
lim
lim
lim 4
n
3.2n 4n
3.2n 4n
1
3. 1
2
Bài 4.
Chọn B
lim
1
2
n2 1 3n2 2 lim n 1 2 3 2 .
n
n
Vì lim n ; lim 1
1
2
3
1 3 0 .
n2
n2
Bài 5.
Chọn A
3 n
lim 3 5 lim5 1 .
5
n
n
n
3 n
Vì lim5 ; lim 1 1 .
5
n
Bài 6.
Chọn C
C 0.
Bài 7.
Chọn C
Theo nội dung định lý.
Bài 8.
Chọn C
HDedu - Page 19
2
n
lim
3n 2
3
1
lim
n 3.
n3
Ta có:
3
Bài 9.
Chọn C
n
n
n
3
1
1
2. 3.
3n 4.2n 1 3
3n 2.2n 3
2
4 0
lim
lim
lim 4
n
3.2n 4n
3.2n 4n
1
3. 1
2
Bài 10.
Chọn A
2017
2n 2017
n 2.
Ta có I lim
lim
2018
3n 2018
3
3
n
2
Bài 11.
Chọn A
2
2
n 1
1
n2
n
lim
n 1.
lim
Ta có lim
1 3
1
3n 1
3
n3
n
n
Bài 12.
Chọn B
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì lim q n 0 q 1 .
Bài 13.
Chọn A
2 1
2 1
n5 8 2 5
8 2 5
8n 2n 1
n n
n n 8 2.
lim
Ta có lim 5
= lim
2
2 1
2 1
4n 2n 1
4 3 5 4
n5 4 3 5
n n
n n
5
3
Bài 14.
Chọn C
2018
4n 2018
n 2.
lim
Ta có lim
1
2n 1
2
n
4
HDedu - Page 20
Bài 15.
Chọn B
2 2
2 3 4
2n 4 2n 2
n n 1.
lim
Ta có lim 4
2 5
4n 2n 5
4 3 4 2
n n
Bài 16.
Chọn D
1
1
2
1 n2
1
n
Ta có lim 2
lim
.
1
2n 1
2
2 2
n
Bài 17.
Chọn A
1
1
n2
2
2n 1
n
n 20 2.
lim
lim
Ta có lim
1
1 n
1
1 0 1
n 1
n
n
Bài 18.
Chọn B
7
1
2 3
7 n 2n 1
n 2.
lim n
Ta có I lim 3
2
2
1
3n 2 n 1
3
3 3
n n
2
3
Bài 19.
Chọn A
5
1
2
4n 5 n
n
lim
1
Ta có I lim
1
4n n 2 1
4 1 2
n
4
2
Bài 20.
Chọn C
Ta có T lim
lim
16
n 1
4 16
n
n 1
4n 3n
16.16 4 16.16 3
n
n
n
n
3 lim
lim
4n 3n
16n 1 4n 16n 1 3n
3
1
4
n
n
1
3
16 16
4
4
n
1
1
.
44 8
HDedu - Page 21
Bài 21.
Chọn C
Từ lim un 2 ta có lim
3un 1 3.2 1 5
.
2un 5 2.2 5 9
Bài 22.
Chọn A
3
2
Ta có lim 2n 3 n 4 lim
an 2
1 4
n3 2 3
n n 21.
2
a 2
n3 a 3
n
Suy ra a 4 . Khi đó a a 2 4 42 12 .
Bài 23.
Chọn C
Ta có 1 2 3 ... k là tổng của cấp số cộng có u1 1 , d 1 nên 1 2 3 ... k
1
2
2
2
, k
1 2 ... k k k 1 k k 1
*
1 k k
2
.
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
L lim ...
lim
2.
n n 1
1 2 2 3 3 4
1 n 1
Bài 24.
Chọn B
Ta có: I lim n
3n
n2 2 n2 1 lim
lim
n2 2 n2 1
3
1
2
1
1 2
2
n
n
3
2
Bài 25.
Chọn C
Ta có
1
3n 1
n 3 1 vì lim 1 0 ;
lim
lim
1 3
3n 1
n
3
n
3
1
2n 1
n 2 1 vì lim 1 0
lim
lim
1
2n 1
2
n
2
n
2
HDedu - Page 22
1
1
4
1
4n 1
4
n
1
1
n vì lim 1 0 ; lim
lim
lim
lim n 1 vì lim 0 .
1
1
3n 1
3
n 1
n
n
3
1
n
n
Bài 26.
Chọn D
Ta có: lim n
lim n
4n 2 3 2 n n 2n 3
Ta có: lim n
4n2 3 2n lim
Ta có: lim n 2n 3 8n3 n lim
lim
4n 3 2 n 2 n
8n n .
4n2 3 3 8n3 n lim n
4n2 3 3 8n3 n
8n3 n
3n
4n 2 3 2n
lim
3
3
4 2 2
n
3
.
4
n 2
2
2
3
3
3
3
4n 2n 8n n 8n n
2
4 2 3 8 12 3 8 12
n
n
3
3
1
Vậy lim n
2
1
.
12
3 1 2
.
4 12 3
Bài 27.
Chọn B
1
n
5
3
n
5 3n 2 n
a 5
5 3
lim
lim
lim
4
2 3n 2
6
b 6
n6
n
Khi đó T a b 11 .
Bài 28.
Chọn A
3
1
3
3n n 4
lim un lim
lim n3 n
.
5
4n 5
4
n
3
1
3
1
.
Vì lim n3 ; lim n
5
4
4
n
HDedu - Page 23
Bài 29.
Chọn D
2 5
1
3
2
n3 2n 5
n n
lim
lim n
.
3
3 5n
5
n
2 5
1 2 3
n n 1
Vì lim n ; lim
.
3
5
5
n
Bài 30.
Chọn C
lim n
n n 1 n 1
n 1 n 1 lim
lim
n
n 1 n 1
2 n
1 1/ n 1 1/ n
1.
Bài 31.
Chọn A
n
1
1
n
5 1
5
Ta có: lim n
.
lim
n
n
3 1
3 1
5 5
n
n
n
n
1 n
3 1
3 1
Nhưng lim 1 1 0 , lim 0 và 0, n
5
5 5
5 5
*
.
5n 1
Nên lim n
.
3 1
Bài 32.
Chọn C
10
Ta có: lim
n n 1
4
Nhưng lim 1
Nên lim
2
n2
10
.
1 1
1 2 4
n n
1 1
10
4 1 và lim 2 0 .
2
n n
n
10
n n2 1
4
lim
0.
Bài 33.
Chọn D
Ta có: lim 5 200 3n5 2n2 lim n 5
200
2
3 3 .
5
n
n
HDedu - Page 24
Nhưng lim 5
200
2
3 3 5 3 0 và lim n .
5
n
n
Nên lim 5 200 3n5 2n 2 .
Bài 34.
Chọn C
1 1 1
1
1
Ta có: S 2 1 ... n ....... 2.
2 2.
1
2
2 4 8
1
2
Bài 35.
Chọn B
1 1 4
2
n 1 4
n 0 0.
Ta có: lim
lim n n
1
n 1 n
1 1
2 1
n n
Bài 36.
Chọn C
1
1 2
n2 1 1
n 1 310 2.
lim 3
n lim 3
2
3
3 n 2
1
2n
1
n2
Bài 37.
Chọn D
D4.
Bài 38.
Chọn C
3 1
2
n
n 2.
A
lim
Ta có:
1 2 3
3 2
n n
2
Bài 39.
Chọn D
1
n2 n
1
n 1 .
n
Ta có: B lim
lim
2
1 1 3
n 3n 1
1 3 2
n
n
Bài 40.
Chọn C
HDedu - Page 25
