CHUYÊN ĐỀ 7: RÚT GỌN – CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Phương pháp:
Sử dụng các công thức lượng giác, kết hợp với 7 hằng đẳng thức để biến đối.
Bài 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:)
1) sin 3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x.cos x
2) sin 3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x.cos x
HD:
1) Ta có:
sin3x cos3x
sin x cos x sin 2 x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 1 sin x.cos x
H»ng ®¼ng thøc a 3 b3
sin x- cos x sin 2 x cos2 x+ sin x.cos x sin x- cos x 1 sin x.cos x
2) sin3x-cos3x
H»ng ®¼ng thøc a3 b3
Bài 2.
Rút gọn các biểu thức sau:
π
π
π
π
a) A cos a sin a cos a sin a
2
2
2
2
7π
7π
3π
3π
a sin a cos a
sin a
2
2
2
2
b) B cos
7π
3π
x .cot x
2
2
c) C 2 cos x 3cos π x sin
π
3π
π
d) D 2sin x sin 5π x sin x cos x
2
2
2
e) E cos 2 x sin 300 x .sin 300 x
HD:
Sử dụng cung liên kết
π
2
π
2
π
2
π
2
a) A cos a sin a cos a sin a sin a cos a sin a cos a 2sin a
b)
HDedu - Page 1
7π
7π
3π
3π
B cos a sin a cos a
sin a
2
2
2
2
π
π
π
π
cos π a sin π a cos a+ 4π sin a+ 4π
2
2
2
2
π
π
π
π
cos a sin +a cos a+ sin a+ 0
2
2
2
2
c)
7
3
C 2 cos x 3cos x sin
x .cot
x
2
2
2 cos x 3cos x sin 4 x .cot 2 x
2
2
cos x sin x .cot x cos x cos x sin x cos x
2
2
2
e) Ta có:
E cos 2 x sin 300 x .sin 300 x cos 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x cos 600
2
1
1 3
2 cos 2 x 1
2
2 4
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) cos2 sin 2 1 2sin 2
5) 2cos2 1 1 2sin 2
2) 3 4sin 2 4cos 2 1
6) sin cot cos tan sin cos
3) sin 4 cos4 1 2sin 2 cos2
7) cos4 sin 4 cos2 sin 2
4) sin 3 cos sin cos3 sin cos
8) sin 4 cos4 1 2cos 2 2sin 2 1
HD:
1) cos 2 sin 2 (1 sin 2 ) sin 2 1 2sin 2
2) 3 4sin 2 3 4(1 cos 2 ) 3 4 4cos 2 4cos 2 1
3) sin 4 cos 4 (sin 2 cos 2 )2 2sin 2 cos 2 1 2sin 2 cos 2
4) sin 3 cos sin cos3 sin cos (sin 2 cos 2 ) sin cos
5) 2cos 2 1 2(1 sin 2 ) 1 2 2sin 2 1 1 2sin 2
6) sin cot cos tan sin .
cos
sin
cos .
cos sin
sin
cos
7) cos 4 sin 4 cos 2 sin 2 . cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
8) sin 4 cos 4 (sin 2 cos 2 )(sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2
(1 cos 2 ) cos 2 1 2cos 2 2sin 2 1
HDedu - Page 2
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) tan x cot x
1
sin x cos x
2)
1
1
1
1 tan x 1 cot x
3)
1 sin 2 x
1 2 tan 2 x
2
1 sin x
4) 1 cot 4 x
5)
6)
1 cos x
sin x
sin x
1 cos x
1
1
2
1
7) 1
tan x 0
cosx
cosx
8) tan x tan y
2
1
4
2
sin x sin x
9) tan x
tan x tan y
cot x cot y
cos x
1
1 sin x cos x
sin x
1 cos x
2
1 cos x
sin x
sin x
HD:
1) tan x cot x
sin x cos x sin 2 x cos2 x
1
cos x sin x
sin x.cos x
sin x cos x
1
1
cos x
sin x
cos x sin x
1
sin x
cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x
1
1
cos x
sin x
2)
1
1
1 tan x 1 cot x
3)
1 sin 2 x (sin 2 x cos2 x) sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x
1 2 tan 2 x
1 sin 2 x
cos2 x
cos2 x
4)
cos 4 x sin 4 x cos 4 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x
sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x 1
2
1
4
4
4
2
sin x
sin x
sin x sin x
1 cot 4 x 1
5)
sin x
1 cos x sin 2 x 1 cos x
sin 2 x 1 2cos x cos 2 x
2(1 cos x)
2
1 cos x
sin x
(1 cos x).sin x
(1 cos x).sin x
(1 cos x).sin x sin x
2
6)
1 cos x
sin x
(1 cos x)(1 cos x) sin 2 x 1 cos 2 x sin 2 x ( luôn đúng)
sin x
1 cos x
1
1
1
1
1
1
1
tan 2 x 1
tan 2 x (1 tan 2 x)
0
7) 1
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos x cos x cos 2 x
sin x sin y sin x.cos y cos x.sin y
tan x tan y cos x cos y
sin x.sin y
cos x.cos y
tan x tan y
8)
cot x cot y cos x cos y cos x.sin y sin x.cos y cos x.cos y
sin x sin y
sin x.sin y
Cách khác:
Ta có:
HDedu - Page 3
tan x tan y (cot x cot y ) tan x tan y.cot x tan x tan y.cot y
tan y tan x
tan x .cot x 1
tan x tan y
9) tan x
tan y tan x
cot y cot x
cos x
sin x
cos x
sin x(1 sin x) cos2 x
1 sin x cos x 1 sin x
cos x(1 sin x)
sin x sin 2 x cos2 x
sin x 1
1
cos x(1 sin x)
cos x(1 sin x) cos x
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi góc làm cho biểu thức
sin tan
có nghĩa, biểu thức
cos cot
đó không thể là một số âm.
HD:
Điều kiện: sin .cos 0
sin tan
cos cot
sin
sin
sin 2 (1 cos )
cos sin .cos sin .
cos
cos
cos .sin cos cos2 .(1 sin )
cos
sin
sin
Vì cos 0;sin 0
sin2 (1 cos )
1 sin ,cos 1
0
cos2 .(1 sin )
Nhiều bạn sẽ thắc mắc tại sao cos 0;sin 0 thì 1 sin ,cos 1
1 sin ,cos 1
Ở đây các em cần chú ý: 2
mà cos 0;sin 0 nên 1 sin ,cos 1
2
sin cos 1
1
8
Bài 6. a) Chứng minh: sin x.cos x.cos2 x.cos 4 x sin 8 x .
3
5
b) Áp dụng tính: A sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 , B cos .cos .cos
.
7
7
7
HD:
a) Áp dụng công thức nhân đôi:
1
1
sin x.cos x sin 2 x sin x.cos x.cos 2 x.cos 4 x sin 2 x.cos 2 x.cos 4 x
2
2
1
1
sin 4 x.cos 4 x .sin 8 x
4
8
b) Tính A sin 60.sin 420.sin 660.sin 780
HDedu - Page 4
sin 780 cos120 ;sin 660 cos240 ;sin 42 0 cos 480
A sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 sin 60.cos120.cos240.cos 480
1
cos60. A sin 60.cos60 cos120.cos240.cos 480 sin 960
16
0
1 sin 96
1
A .
0
16 cos6
16
+
3
4
cos
2
4
7
7
B cos .cos
.cos
5
2
7
7
7
cos
cos
7
7
cos
Nhân hai vế với sin
7
8
sin
7
2
4 1
8
1
1
7 1.
sin .B sin .cos .cos .cos
sin
B .
8
7
7
7
7
7 8
7
8
8
sin
sin
7
7
sin
3
8
1
2
1
8
Bài 7. a) Chứng minh: sin4 x cos2 x cos 4 x .
b) Áp dụng tính: S sin4
16
sin4
3
5
7
.
sin4
sin4
16
16
16
a) Ta có:
3 1
1
3 1
1
cos 2 x cos 4 x (1 2sin 2 x ) (2 cos2 2 x 1)
8 2
8
8 2
8
2
3 1
1
1
1
sin2 x 2 1 2sin2 x 1 sin 2 x 2(1 4sin 2 x 4sin 4 x ) 1
8 2
8
8
8
1
1
sin2 x sin2 x sin 4 x sin 4 x
8
8
b) Áp dụng câu a ta có:
sin 4
16
3
sin 4
16
5
sin 4
16
7
sin 4
16
3 1
1
cos cos
8 2
8 8
4
3 1
3 1
3
cos
cos
8 2
8 8
4
3 1
5 1
5
cos
cos
8 2
8 8
4
3 1
7 1
7
cos
cos
8 2
8 8
4
3
5
7
sin 4
sin 4
16
16
16
3 1
3
5
7 1
3
5
7
cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
2 2
8
8
8
8 8
4
4
4
4
3
2
S sin 4
16
sin 4
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Bài 8. a) Chứng minh: tan x
1 cos2 x
.
sin 2 x
b) Áp dụng tính: S tan2
12
tan2
3
5
.
tan2
12
12
HD:
a) Ta có:
2
1 cos 2 x 1 1 2sin x
2sin 2 x
sin x
tan x
sin 2 x
2sin x.cos x
2sin x.cos x cos x
b) Áp dụng câu a ta có:
2
1 cos
6
tan2
12
sin
6
2
3
1
2 74 3
1
2
1 cos
3
2
tan2
12
sin
2
1 0 2
1
1
5
1 cos
5
6
tan2
5
12
sin
6
2
2
2
3
1
2 74 3
1
2
Từ đó suy ra S 15
Bài 9. Chứng minh các công thức sau
a)
sin
1 cos
2
1 cos
sin
sin
b)
c)
1
sin .cos
tan cot
d) sin 2 tan 2 4sin 2 tan 2 3cos 2 3
e)
1 tan 2a
cos4a sin 4a
2
1 tan a
f) tan 2 a sin 2 a tan 2 a.sin 2 a
tan 2 sin 2
tan 6
2
2
cot cos
HD:
a) Ta có:
sin
1 cos sin 2 (1 cos ) 2 sin 2 cos 2 1 2cos
1 cos
sin
(1 cos ).sin
(1 cos ).sin
2(1 cos )
2
(1 cos ).sin sin
HDedu - Page 6
b) Ta có:
1
sin 2
1
2
2
2
tan sin
cos sin .tan tan 6
cot 2 cos 2
1
cos 2 .cot 2
cos 2 2 1
sin
2
2
tan
Chó ý:
tan 2
cot
c) Ta có:
tan cot
sin cos sin 2 cos 2
1
cos sin
sin .cos
sin .cos
1
sin .cos
tan cot
d) Ta có:
sin 2 tan 2 4sin 2 tan 2 3cos 2 (sin 2 tan 2 tan 2 ) (4sin 2 3cos 2 )
tan 2 sin 2 1 sin 2 3(sin 2 cos 2 ) tan 2 .( cos 2 ) sin 2 3
sin 2
.( cos 2 ) sin 2 3 sin 2 sin 2 3 3
2
cos
e) Ta có:
cos 2 a sin 2 a
2
1 tan a
cos a
cos 2 a sin 2 a
1 tan 2 a
2
1
cos 4 a sin 4 a
1 tan a
2
1 tan a
cos 2 a
cos 4 a sin 4 a (cos 2 a sin 2 a)(cos 2 a sin 2 a) cos 2 a sin 2 a
2
f) Ta có:
tan 2 a sin 2 a
sin 2 a
1
sin 2 a sin 2 a
1 sin 2 a. tan 2 a
2
2
cos a
cos a
Bài 10. Cho A
1 cos x (1 cos x) 2
1
sin x
sin 2 x
a) Rút gọn A
1
b) Tính giá trị A khi cos x ; x
2
2
HD:
a) Ta có:
A
1 cos x (1 cos x) 2
1 cos x sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x
1
A
sin x
sin 2 x
sin x
sin 2 x
2
1 cos x 2 2 cos x 2 1 cos x 1 cos x 2 1 cos x
2
.
2
3
3
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
b) Ta có:
Vì
2
3
cos2 x sin 2 x 1 sin 2 x ;
4
x nên sin x
3
4 3
A
2
3
HDedu - Page 7
Bài 11. Chứng minh:
a) sin 3x.sin 3 x cos3x.cos3 x cos3 2 x
1 cos x
1 cos x
2 cot x 0 x
1 cos x
1 cos x
2
b)
HD:
a) Ta có:
sin 3x.sin 3 x cos3x.cos3 x 3sin x 4sin 3 x sin 3 x 4cos3 x 3cos x cos 3 x
3sin 4 x 3cos 4 x 4cos6 x 4sin 6 x
4
4
2
2
2
2
2
2
Mà: 3sin x 3cos x 3 sin x cos x . sin x cos x 3 sin x cos x
4 cos 6 x 4sin 6 x 4 cos 2 x sin 2 x sin 4 x sin 2 x.cos 2 x cos 4 x
4 cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x.cos 2 x 4 cos 2 x sin 2 x 1 sin 2 x.cos 2 x
Suy ra :
sin 3 x.sin 3 x cos 3 x.cos3 x 3 sin 2 x cos 2 x 4 cos 2 x sin 2 x 1 sin 2 x.cos 2 x
cos 2 x sin 2 x 3 4 4sin 2 x.cos 2 x cos 2 x sin 2 x . 1 4sin 2 x.cos 2 x
cos 2 x. 1 sin 2 2 x cos 2 x.cos 2 2 x cos3 2 x
b) Ta có:
1 cos x
1 cos x
1 cos x
1 cos x
1 cos x 2
1 cos2 x
1 cos x . 1 cos x 1 cos x . 1 cos x
1 cos x . 1 cos x 1 cos x . 1 cos x
1 cos x 2
1 cos 2 x
1 cos x 1 cos x
cos x
2
2 cot x
sin x
sin x
sin x
Các em có thể giải bằng cách bình phương hai vế.
Bài 12. Chứng minh các công thức sau
a)
sin 2
sin cos
sin cos
sin cos
tan 2 1
b)
1 cos
1 cos
2
1 cos
1 cos sin
HD:
a) Ta có:
sin cos
sin cos
(sin cos ).cos 2
cos 2
sin 2 cos 2 (sin cos )(sin cos ) sin cos
tan 2 1
cos 2
sin 2
sin cos
sin 2
cos 2
sin 2 cos 2
2
sin cos
tan 1
sin cos sin cos
sin cos
(sin cos )(sin cos )
sin cos
sin cos
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b) Ta có:
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
2
1 cos
2
1 cos
2
1 cos
2
1 cos 1 cos
2
| sin |
| sin |
sin
Chó ý: 1 cos 0
Bài 13. Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
sin2 x cos2 x cos4 x
2
2
cos x sin x sin x
2) tan2 x cot 2 x
3) 1
6) (tan 2 x tan x )(sin 2 x tan x) tan2 x
tan 4 x
4
6 2 cos 4 x
1 cos 4 x
7)
sin2 x
cos2 x
sin x.cos x
1 cot x 1 tan x
8) cos x cos(1200 x) cos(1200 x) 0
2 cos x 2 cos x
4
tan x
4)
2sin x 2 sin x
4
1
4
1 cos x 1 cos x 4 cot x
1 cos x 1 cos x
sin x
x
3x
cot 2
2
2
9)
8
x
2
2 3x
cos .cos x. 1 cot
2
2
cot 2
5) cos6 x sin6 x cos 2 x 1 sin 2 2 x
10) cos4 x sin 4 x sin 2 x 2 cos 2 x
4
HD:
1) Ta có:
sin2 x cos2 x cos4 x
sin2 x cos2 x (1 cos2 x )
sin2 x cos2 x.sin2 x
cos2 x sin2 x sin 4 x cos2 x sin2 x (1 sin2 x ) cos2 x sin2 x cos2 x
sin2 x(1 cos2 x ) sin 4 x
tan 4 x
2
2
4
cos x(1 sin x ) cos x
2) Ta có:
2
2
tan x cot x
sin2 x
cos2 x
sin 4 x cos4 x
sin
2
cos2 x sin2 x
sin2 x.cos2 x
6 2 cos 4 x
8
8
8
2
2
2
1 cos 4 x
1 cos 4 x
2sin 2 x
2 2sin x.cos x
tan2 x cot 2 x
6 2 cos 4 x
1 cos 4x
x cos2 x 2sin 2 x.cos2 x
2
sin 2 x.cos2 x
1
2
2
2
sin x.cos2 x
1
sin 2 x.cos2 x
3) Ta có:
HDedu - Page 9
2
sin2 x
cos2 x
sin2 x
cos2 x
sin3 x
cos3 x
1
1
1
cos x
sin x
1 cot x 1 tan x
sin x cos x sin x cos x
1
1
sin x
cos x
sin x cos x sin2 x cos2 x sin x.cos x
sin3 x cos3 x
1
sin x.cos x
1
sin x cos x
sin x cos x
4) Ta có:
2 cos x 2 cos x
2 cos x 2 cos .cos x sin .s inx
4
4
4
2sin x 2 sin x
2 sin .cos x cos .s inx 2 sin x
4
4
4
2 cos x 2 cos x 2 sin x
2 sin x
tan x
2 cos x
2 cos x 2 sin x 2 sin x
5) Ta có:
cos x sin x cos x sin
1
x cos x sin x cos 2 x 1 sin 2 x
4
cos6 x sin6 x cos2 x
cos 2 x cos2 x sin2
3
sin2 x
2
3
2
2
2
4
2
4
x cos2 x sin2 x
2
6) Ta có:
2 tan x
sin x
(tan 2 x tan x )(sin 2 x tan x )
- tan x 2sin x.cos x
2
cos x
1 tan x
1 tan2 x
2 cos2 x -1
1
tan x.
.sin x.
tan x.
. 2 cos2 x -1 .tan x tan 2 x
2
2
2
cos x
1 tan x
cos x sin x
1
.cos2 x
cos2 x
7) Ta có:
2
2
1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
4 cos x
4 cos x
4 cos x 4 cot x
.
1 cos x 1 cos x
1 cos x . 1 cos x 1 cos2 x sin2 x sin x sin x sin x
8) Ta có:
cos x cos(1200 x ) cos(1200 x )
cos x cos1200.cos x sin x.sin1200 cos1200.cos x sin x.sin1200
cos x 2 cos1200.cos x cos x cos x 0
9) Sử dụng công thức hạ bậc: cot 2 x
1 cos 2 x
Ta có:
1 cos 2 x
HDedu - Page 10
x
3 x 1 cos x 1 cos3 x (1 cos x )(1 cos3 x ) -(1- cos x )(1 cos3 x )
cot 2
2
2 1 cos x 1 cos3 x
(1 cos x )(1 cos3 x )
3
2(cos x cos3 x )
2(4 cos x 4 cos x )
8cos x(1 cos2 x)
8cos x(1 cos x )
(1 cos x )(1 cos3 x ) (1 cos x )(1 cos3 x ) (1 cos x)(1 cos3 x)
1 cos3 x
1 cos3 x 1 cos x
x
3 x 1 cos x
2
cos x(1 cos x )
cos2 .cos x. 1 cot 2
.cos x 1
.cos x.
2
2
2
2
1 cos3 x
1 cos3 x
1 cos3 x
x
3x
cot 2 cot 2
8cos x(1 cos x ) cos x(1 cos x )
2
2
:
8
1 cos3 x
1 cos3 x
2 x
2 3x
cos .cos x. 1 cot
2
2
cot 2
10) Ta có:
cos4 x sin 4 x sin 2 x cos2 x sin2 x . cos2 x sin2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x sin 2 x
cos2 x sin 2 x 2 cos 2 x
4
Chú ý công thức: cos x sin x 2.cos x
4
Bài 14. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) 3(sin4 x cos4 x ) 2(sin6 x cos6 x )
b) cos6 x 2sin4 x cos2 x 3sin2 x cos4 x sin4 x
c) cos x
3
.cos x cos x .cos x
3
4
6
4
2
2
x cos2
x
3
3
d) cos2 x cos2
HD:
a) Ta có:
2(sin6 x cos6 x ) 2 (sin2 x cos2 x )(sin 4 x cos4 x sin2 x.cos2 x )
2(sin 4 x cos4 x sin2 x.cos2 x )
3(sin 4 x cos4 x ) 2(sin6 x cos6 x ) sin 4 x cos4 x 2sin2 x.cos2 x sin2 x cos2 x
2
1
b) Ta có:
cos6 x 2sin 4 x cos2 x 3sin 2 x cos4 x sin 4 x
cos6 x sin2 x cos4 x 2sin 4 x cos2 x 2sin 2 x cos4 x sin 4 x
cos4 x cos2 x sin 2
x 2 cos
2
x.sin 2 x cos2 x sin 2 x sin 4 x
cos4 x 2 cos2 x.sin 2 x sin 4 x cos2 x sin 2 x
2
1
c) Ta có:
HDedu - Page 11
1
7
cos x .cos x cos 2 x cos
3
4 2
12
12
3 1
11
7
cos x .cos x
cos 2 x
cos
6
4 2
12
12
3 1
11
7
cos x .cos x cos x .cos x
cos 2 x cos 2 x
cos
3
4
6
4 2
12
12
12
1
11
11
7
7
cos 2 x
cos
cos 2 x
cos
2
12
12
12
12
d) Ta có:
4
4
1 cos
2 x 1 cos
2x
2
2
3
3
cos2 x cos2
x cos2
x cos2 x
2
2
3
3
1
4
4
4
1
cos2 x 1 cos
2 x cos
2 x cos2 x 1 cos
.cos 2 x cos2 x 1 .cos 2 x
2
3
2
3
3
1
3
cos2 x 1 . 2 cos2 x 1
2
2
Bài 15. a) Chứng minh: cot cot 2
b) Chứng minh:
1
.
sin 2
1
1
1
1
cot x cot16 x .
sin 2 x sin 4 x sin8x sin16 x
1
c) cos x.cos x .cos x .cos3 x
3
3
4
d) sin 5x 2sin x(cos 4 x cos2 x) sin x
HD:
a) Ta có:
cot cot 2
cos cos2 sin2 .cos cos2 .sin sin(2 )
sin
1
sin sin 2
sin .sin 2
sin .sin 2 sin .sin 2 sin 2
b) Áp dụng câu a ta có:
1
cot x cot 2 x
sin 2 x
1
cot 2 x cot 4 x
1
1
1
1
sin 4 x
cot x cot16 x
1
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x
cot 4 x cot 8 x
sin 8 x
1
cot 8 x cot16 x
sin16 x
c) Ta có:
HDedu - Page 12
1
2
cos x.cos x .cos x .cos x. cos2 x cos
3
3
3
2
1
1
1
1
1
.cos x.cos2 x cos x (cos x cos3 x ) .cos x .cos3 x
2
4
4
4
4
d)
sin 5 x 2sin x(cos 4 x cos 2 x ) sin 5 x 2sin x.cos 4 x 2sin x.cos 2 x
sin 5 x (sin 5 x sin 3 x ) (sin 3 x sin x ) sin x
Bài 16. a) Chứng minh: tan cot 2 cot 2 .
b) Chứng minh:
1
x 1
x
1
x
1
x
tan tan ... tan cot cot x .
2
2 22
22
2n
2n 2n
2n
HD:
a) Ta có:
cos 2.cos 2 cos
2.cos 2
cos2 (cos2 sin 2 )
sin
sin 2
sin 2.sin .cos
sin .cos
2
sin
sin
tan
sin .cos cos
cot 2 cot 2
b) Áp dụng câu a ta có:
x
x
x
1
x
2 cot x
tan cot 2 cot x tan
2
2
2
2
2
x
x
1
cot
x 1
x
1
x
1
x
cot
2
1
x
2
2
tan 2 tan 2 ... n tan n n cot n cot x
tan
2 2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
22
...............................................
1
x
1
x
1
x
tan cot
.cot
n
n
n
n
n 1
n 1
2
2
2
2 2
2
cot
Bài 17. a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
1
2
4 cos x
1
x
4 cos
2
2
1
2
sin 2 x
1
2
2
4 cos
x
1
4sin2 x
...
.
1
n
4 cos
22
x
2
2n
1
2
sin x
1
n
4 sin
2
x
.
2n
HD:
a) Ta có:
1
2
sin 2 x
1
2
4sin x
1
2
2
4.sin x.cos x
1
2
4sin x
1 cos2 x
2
2
4.sin x.cos x
sin2 x
2
2
4.sin x.cos x
1
4 cos2 x
HDedu - Page 13
b) Áp dụng câu a ta có:
1
1
1
x sin2 x
x
4 cos2
4sin 2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
...
42 cos2
4sin2
42 sin 2
2
2
2
x sin x
x
2
2
2
4 cos2 x 42 cos2 x
4 n cos2
4 n sin 2
2
n
.............................................
2
2
2
2n
1
1
1
x
x
x
4n cos2
4n1 sin 2
4 n sin 2
2n
2n1
2n
1
4
Bài 18. a) Chứng minh: sin3 x (3sin x sin 3x ) .
b) Chứng minh: sin3
x
x
x 1 n
x
3sin3 ... 3n1 sin3
3 sin sin x .
2
n
n
3
4
3
3
3
HD:
a) Ta có:
sin 3 x sin(2 x x ) sin 2 x.cos x cos2 x.sin x 2.sin x.cos2 x (1- 2sin2 x ).sin x
2sin x.(1 sin 2 x ) sin x 2sin3 x 3sin x 4sin 3 x
1
sin3 x (3sin x sin 3 x )
4
b) Áp dụng câu a ta có:
x 1
x
3sin sin x
3 4
3
1 2
x
x
3 x
1 n
x
3sin
3 sin 3sin
3 x
3 x
n1
3 x
2
2
sin 3sin 2 ... 3 sin n 3 sin n sin x
4
3
3
3
3
4
3
3
3
.........................................
x 1 n
x
x
3n1 sin3
3 sin 3n1 sin
3
3n 4
3n
sin3
Bài 19. a) Chứng minh: 1
1
tan 2
.
cos2
tan
1
1
1 tan 2 n x
1
1
...
1
b) Chứng minh:
.
tan x
cos 2 x cos 22 x cos 2 n x
HD:
a) Ta có:
HDedu - Page 14
tan 2 sin 2 cos 2sin .cos .cos 2 cos2 1 cos2
1
.
1
tan
cos2 sin
cos2 .sin
cos2
cos2
cos2
b) Áp dụng câu a:
1 tan 2
1
cos2 x tan
1 tan 22
1
1
1 tan 2n x
1
2
1
1
...
1
tan
2
cos2 x
tan x
cos2 x cos22 x cos2n x
.......................................
1 tan 2n x
... 1
cos2n x tan 2n1 x
Bài 20. a) Chứng minh: cos
sin 2
.
2sin
x
x
x
b) Chứng minh: cos .cos ...cos
2
22
2n
sin x
n
2 sin
x
.
2n
HD:
a) Ta có:
sin 2 2.sin .cos
cos
2sin
2.sin
b) Áp dụng câu a ta có:
x
s inx
x
2
2.sin
2
x
sin
x
2
cos
x
x
x
sin x
22 2.sin x
cos .cos 2 ...cos n
2
x
2
2
2
2
2n sin
................................
2n
x
sin
n
1
x
2
cos
2n 2.sin x
n
2
cos
Bài 21. Chứng minh rằng:
HDedu - Page 15
a) Q cos
b) R cos
2n 1
.cos
2
n
1
... cos
2n 1
2n 1 2 n
2
4
2n
1
.cos
... cos
2n 1
2n 1
2n 1
2n
HD:
Cách 1: Các em sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh
Cách 2: Biến đổi dựa vào các công thức lượng giác đã học
a) Ta có:
2
n
.cos
... cos
2n 1
2n 1
2n 1
2
n
sin
.Q sin
.cos
.cos
... cos
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
1
2
2
n
sin
.Q .sin
.cos
... cos
2n 1
2
2n 1
2n 1
2n 1
1
4
n
sin
.Q .sin
.....cos
2
2n 1
2n 1
2n 1
2
1
2n
sin
.Q sin
n
2n 1
2n 1
2
Q cos
Vì góc
2n
2n
1
sin
sin
Q
2n 1 2n 1
2n 1
2n 1
2n
b) Tương tự câu a, nhân cả hai vế với sin
2
2n 1
2
2
2
4
2n
.R sin
.cos
.cos
... cos
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
2
1
4n
sin
.R .sin
n
2n 1
2n 1
2
sin
Vì góc
4n
2
4n
2
1
2 sin
sin
R
2n 1 2n 1
2n 1
2n 1
2n
Bài 22. Chứng minh các hệ thức sau:
1) sin4 x cos4 x
3 1
cos 4 x
4 4
3) sin x.cos3 x cos x.sin3 x
2
x
5) 1 sin x 2sin
4 2
1
sin 4 x
4
2) sin6 x cos6 x
4) sin6
5 3
cos 4 x
8 8
x
x 1
cos6 cos x(sin2 x 4)
2
2 4
1 2sin2 x
1
6)
2
2 cot x .cos x
4
4
HDedu - Page 16
1 cos x
x
2
1
7) tan .
4 2
sin x
2
9)
1 sin 2 x
x
4
cos 2 x
8) tan
x
cos x
cot
1 sin x
4 2
10) tan x.tan 3x
11) tan x cot x 2 cot 2 x
13)
12) cot x tan x
tan2 2 x tan2 x
1 tan2 x.tan2 2 x
2
sin 2 x
1 1 1 1 1 1
x
cos x cos , vôùi 0 x .
2 2 2 2 2 2
8
2
HD:
1) Ta có:
2sin2 x.cos2 x 1 2sin2 x.cos2 x
3 1
4
4
sin x cos x cos 4 x
2
3 1
3 1
sin 2 x
4 4
cos 4 x 1 2sin2 2 x 1
1 2sin 2 x.cos2 x
4 4
4 4
2
sin 4 x cos4 x sin2 x cos2 x
2
2) Ta có:
x 1 3sin x.cos x
6
2 x 1 .4 sin x.cos
8
sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin 4 x cos4 x sin2 x.cos2 x
4
4
2
2
sin x cos x sin x.cos
2
5 3
5 3
cos 4 x 1 2sin2
8 8
8 8
5 3
sin6 x cos6 x cos 4 x
8 8
2
2
2
x 1 3sin 2 x.cos2 x
3) Ta có:
1
1
sin x.cos3 x cos x.sin3 x sin x.cos x (cos2 x sin 2 x ) sin 2 x.cos 2 x sin 4 x
2
4
1
2
sin 2 x
cos2 x
4) Ta có:
sin6
x
x
x
x
x
x
x
x
cos6 sin2 cos2 sin 4 cos4 sin2 .cos2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos x
2
1
1
2 x
2 x
2 x
2 x
cos x sin
cos sin .cos
cos x 1 sin2 x cos x(sin2 x 4)
2
2
2
2
4
4
5) Ta có:
x
2sin2
4 2
Haï baäc
1 cos x 1 sin x
2
HDedu - Page 17
6) Ta có:
1 cos 2 x
2
cot x . 1 sin 2 x
2 cot x .cos2 x 2 cot x .
4
4
4
2
4
Mà 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin x.cos x sin x cos x 2
2
2.sin x sin x cos x 2sin 2 x
4
4
cot
x . 1 sin 2 x cot
x .2sin 2 x
4
4
4
sin x cos x
cos x
4
.2sin x 2.cos x .sin x sin 2 x cos 2 x
4
4
4
2
sin x
4
2
Mà cos 2 x 1 2sin 2 x đpcm
7) Ta có:
x
1 cos x 2 cos2 ;
2
4 2
x
x
1 cos x sin 2 cos2
x
2
4 2.
4 2
tan .
4 2
x
sin x
cos sin x
2
4 2
2
x
x
2sin .cos sin x
4 2
4 2
2
1
sin x
sin x
2
2
8) Ta có:
2
sin x cos x
1 sin 2 x cos2 x sin2 x 2sin x.cos x
sin x cos x
2
2
cos 2 x
(sin x cos x )(sin x cos x ) sin x cos x
cos x sin x
2.sin x
4
tan x
4
2.cos x
4
9) Ta có:
HDedu - Page 18
x
x
x
x
x
x
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
sin 2
cos x
2
2
2
x
x
x
x
1 sin x
x
x
cos2 sin 2 2 cos .sin
cos 2 sin 2
2
2
2
2
x
x
x
2.cos
cos sin
4 2 cot x
2
2
x
x
4 2
x
cos sin
2.sin
2
2
4 2
cos2
10) Ta có:
tan2 2 x tan2 x
(tan 2 x tan x )(tan 2 x tan x )
1 tan2 x.tan2 2 x (1 tan x.tan 2 x)(1 tan x.tan 2 x )
tan 2 x tan x tan 2 x tan x
.
tan 3x.tan x
1 tan x.tan 2 x 1 tan x.tan 2 x
11) Ta có:
cos x
cos2 x 2 cos2 x 2 cos2 x
2.
sin x
sin 2 x
2sin x.cos x
2
2
2 cos x 2 2 cos x 1
2 2 cos2 x
2.sin 2 x
cot x
2sin x.cos x
2sin x.cos x 2sin x.cos x
cot x 2 cot 2 x
12) Ta có:
cot x tan x
cos x sin x cos2 x sin 2 x
1
2
sin x cos x
sin x.cos x
sin x.cos x sin 2 x
13) Ta có:
1 1 1 1 1 1
cos x
2 2 2 2 2 2
1 cos2 x
cos2 x
2
1 1 1 1
x
1 1 1 1
x
cos2
cos
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
1 1
x
1 1
x
x
x
cos2
cos cos2 cos
2 2
4
2 2
4
8
8
Bài 23. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A 2cos4 x sin 4 x sin 2 x.cos2 x 3sin 2 x
B (tan x cot x) 2 (cot x tan x) 2
C sin 2 x.tan 2 x 2sin 2 x tan 2 x cos 2 x
HD:
A cos 4 x sin 4 x sin 2 x.cos 2 x cos 4 x 3sin 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x 3sin 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x 2
HDedu - Page 19
B (tan x cot x) 2 (cot x tan x) 2 tan 2 x cot 2 x 2 tan x.cot x tan 2 x cot 2 x 2 tan x.cot x
4 tan x.cot x 4
C sin 2 x.tan 2 x tan 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x tan 2 x.(sin 2 x 1) 1 sin 2 x
tan 2 x. cos 2 x 1 sin 2 x sin 2 x 1 sin 2 x 1
sin 2 x
.( cos 2 x ) sin 2 x
cos 2 x
Bài 24. Rút gọn các biểu thức
a) A 1 cot sin3 1 tan cos3
b) B
sin2 2 cos2 1
cot 2
sin cos
d) D
sin 2 tan 2
c) C
cos2 cot 2
2
1
cot sin cos
HD:
a) Ta có:
sin cos 3
sin cos
3
A 1 cot sin3 1 tan cos3
sin
cos
sin
cos
sin cos sin2 sin cos cos2 sin cos sin 2 cos2 sin cos
b) Ta có:
sin cos cos 1 cos sin
B
2
2
2
cot
2
2
cot
2
2
c) Ta có :
1
sin2 1
2
2
sin tan
cos2 sin tan
C
tan6
2
2
2
2
cos cot
1 cos cot
cos2 1 2
sin
2
2
d) Ta có:
sin cos
D
2
1
cos
sin cos
sin
sin2 cos2 2sin .cos 1 2sin .cos
2sin 2 .cos
2 tan2
2
3
1
1 sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
Bài 25. Biến đổi thành tổng:
a) 2sin(a b).cos(a b)
b) 2 cos(a b).cos(a b)
HDedu - Page 20
13x
x
.cos x.cos
2
2
c) 4sin3x.sin 2 x.cos x
d) 4sin
e) sin( x 30o ).cos( x 30o )
2
f) sin .sin
g) 2sin x.sin 2 x.sin3x.
h) 8cos x.sin 2 x.sin3x
i) sin x
.sin x .cos 2 x
6
6
5
5
k) 4 cos(a b).cos(b c).cos(c a)
HD:
1
a) Sử dụng công thức sin a.cos b sin a b sin a b
2
2sin(a b).cos(a b) sin a b a b sin a b a b sin 2a sin 2b
b) Sử dụng công thức 2 cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2 cos(a b).cos(a b) cos(a b a b) cos(a b a b) cos2a cos2b
c) Ta có:
2.sin 2 x.cos x sin 2 x x sin 2 x x sin 3 x sin x
4sin 3 x.sin 2 x.cos x 2sin 3 x sin 3 x sin x
2sin 2 3 x 2sin 3 x.sin x
1 cos 6 x cos 2 x cos 4 x
d) Ta có:
13 x
x
.cos sin 7 x sin 6 x
2
2
13 x
x
4 sin
.cos x.cos 2 sin 7 x.cos x 2 sin 6 x.cos x
2
2
sin 8 x sin 6 x sin 7 x sin 5 x
2 sin
e) Ta có:
1
sin( x 30o ).cos( x 300 ) sin 2 x sin 600
2
f) Ta có:
sin
5
.sin
2 1 3
sin
sin
5 2
5
5
g) Ta có:
2sin x.sin 2 x.sin3 x.
2sin x.sin 2 x.sin3 x.
Bài 26. Chứng minh:
HDedu - Page 21
x cos x cos3 x
3
3
a) 4 cos x.cos
x sin x sin 3 x
3
3
b) 4sin x.sin
Áp dụng tính:
A sin10o.sin 50o.sin 70o
B cos10o.cos50o.cos70o
C sin 200.sin 400.sin800
D cos200.cos 400.cos800
HD:
a) Ta có:
1
2 1
1 1
1 1
3
cos x cos x cos2 x cos cos2 x 2 cos2 x 1 2 cos2 x
3 2
2 2
2 2
2
3
3
2
1
3
4 cos x.cos x cos x 4 cos x. 2 cos2 x 4 cos3 x 3cos x cos3x
2
2
3
3
b) Ta có:
1
2 1
1 1
1 1 3
sin x sin x cos2 x - cos cos2 x 1- 2sin2 x - 2sin 2 x
3 2
2 2
2 2 2
3
3
2
1 3
4sin x.sin x sin x 4sin x. - 2sin2 x 3sin x 4sin3 x sin 3 x
2 2
3
3
Áp dụng:
A sin100.sin 500.sin 70 0 sin 30 0
1
2
B cos100.cos 50 0.cos 70 0 cos30 0
3
2
3
2
1
D cos 200.cos 40 0.cos80 0 cos 60 0
2
C sin 200.sin 400.sin 80 0 sin 60 0
Bài 27. Biến đổi thành tích:
a) 2sin 4 x 2
b) 3 4 cos2 x
c) 1 3tan2 x
d) sin 2 x sin 4 x sin 6 x
e) 3 4 cos4 x cos8x
f) sin 5x sin 6 x sin 7x sin8x
g) 1 sin 2 x –cos2 x –tan 2 x
h) sin 2 ( x 900 ) 3cos 2 ( x 900 )
i) cos5x cos8x cos9x cos12 x
k) cos x sin x 1
HD:
1
2
a) Ta có: 2sin 4 x 2 sin 4 x
2 1
sin 4 x sin sin 2 x .cos 2 x
2 2
4
8
8
b) Ta có:
HDedu - Page 22
3
3
3
3 4 cos 2 x 4 cos 2 x 4
cos x .
cos x 4 cos cos x . cos cos x
6
6
4
2
2
x
x
x
x
16sin .sin .cos cos 8sin x .sin x
6
6
2 12
2 12
2 12
2 12
c) Ta có:
1
1
1 3 tan 2 x 3.
tan x .
tan x 3 tan 300 tan x . tan 300 tan x
3
3
0
0
sin x sin 30
sin x
sin 30
3.
.
0
0
cos x cos 30
cos x
cos 30
sin 300 x .sin 300 x
sin 300.cos x cos 300.sin x sin 300.cos x cos 30 0.sin x
3.
.
3.
cos 300.cos x
cos 300.cos x
cos 2 300.cos 2 x
d) Ta có:
sin 2 x sin 6 x 2sin 4 x.cos 2 x
sin 2 x sin 4 x sin 6 x 2sin 4 x.cos 2 x sin 4 x
1
2sin 4 x. cos 2 x 2sin 4 x. cos 2 x cos 600
2
4sin 4 x.cos x 300 .cos x 300
e) Ta có:
3 4cos 4 x cos8 x 3 4cos 4 x 2cos 2 4 x 1
2. cos 4 x 1 2. 2cos 2 2 x 1 1 8.c os 4 2 x
2
2
f) Ta có:
sin 5 x sin 6 x sin 7 x sin 8 x sin 5 x sin 8 x sin 6 x sin 7 x
13 x
3x
13 x
x
13x
3x
x
.cos 2sin
.cos 2sin
. cos cos
2
2
2
2
2
2
2
13 x
x
4sin
.cos x.cos
2
2
2sin
g) Ta có:
sin 2 x
1 sin 2 x cos 2 x tan 2 x sin 2 x cos 2 x 1
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x . 1 1
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 1
2sin2 x
cos 4 x.
cos 4 x.
cos 2 x
cos 2 x
h) Ta có:
sin( x 900 ) cos x
0
0
cos( x 90 ) cos(90 x) sin x
Suy ra
HDedu - Page 23
1
sin 2 ( x 900 ) 3cos 2 ( x 900 ) cos 2 x 3sin 2 x 3cos 2 x. tan 2 x
3
1
1
3cos 2 x.
tan x .
tan x 3cos 2 x. tan 300 tan x . tan 300 tan x
3
3
0
0
sin 30 x .sin 30 x
3cos 2 x.
cos 2 300.cos 2 x
( các em xem lại cách trình bày câu c)
i) Ta có:
cos 5 x cos8 x cos 9 x cos12 x cos 5 x cos12 x cos8 x cos 9 x
17 x
7x
17 x
x
17 x
7x
x
2 cos
.cos
2 cos
.cos 2 cos
. cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
17 x
3x
4 cos
.cos 2 x.cos
2
2
k) Ta có:
x
x
x
2sin .cos
2
2
2
x
x
x
x
x
2 cos . cos sin 2 2.cos .sin
2
2
2
2
2 4
cos x sin x 1 cos x 1 sin x 2 cos2
Cách em chú ý công thức: cos x sin x 2.sin x 4
Bài 28. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
c) C
cos7 x cos8x cos9 x cos10 x
sin 7 x sin8x sin 9 x sin10 x
1 cos x cos2 x cos3x
2
cos x 2 cos x 1
b) B
sin 2 x 2sin 3x sin 4 x
sin 3x 2sin 4 x sin 5x
d) D
sin 4 x sin 5x sin 6 x
cos 4 x cos5x cos6 x
HD:
a) Ta có:
cos 7 x cos8x cos9 x cos10 x cos 7 x cos10 x cos8x cos9 x
17 x
3x
17 x
x
17 x
3x
x
2 cos
.cos 2 cos
.cos 2 cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
2
Và
sin 7 x sin8x sin 9 x sin10 x sin 7 x sin10 x sin8x sin 9 x
17 x
3x
17 x
3x
17 x
3x
x
2sin
.cos 2sin
.cos 2sin
. cos cos
2
2
2
2
2
2
2
Suy ra A cot
17 x
2
b) Ta có:
HDedu - Page 24
sin 2 x 2sin 3x sin 4 x sin 2 x sin 4 x 2sin 3x
2sin 3x.cos x 2sin 3x 2sin 3x cos x 1
Mà :
sin3x 2sin 4 x sin 5x sin3 x sin 5 x 2sin 4 x
2sin 4 x.cos x 2sin 4 x 2sin 4 x cos x 1
Suy ra B
sin 3x
sin 4 x
c) Ta có:
1 cos x cos2 x cos3x 1 cos2 x cos x cos3x
2 cos2 x 2 cos2 x.cos x 2 cos x cos x cos2 x
cos x 2 cos2 x 1 cos x cos2 x
C 2 cos x
d) Ta có:
sin 4 x sin 5x sin 6 x sin 4 x sin 6 x sin 5x
2sin 5x.cos x sin 5x sin 5x. cos x 1
cos 4 x cos5x cos6 x cos 4 x cos6 x cos5x
2 cos5x.cos x cos5x cos5x. cos x 1
D tan 5x
Bài 29. Rút gọn các biểu thức
a )A cos sin cos sin
2
2
2
2
3
3
7
7
b)B cos sin cos sin
2
2
2
2
HD:
a) A sin cos sin cos 2sin
b) Ta có:
3
cos
cos 2
2
2
cos sin
2
7
cos
cos 4 cos sin
2
2
2
Tương tự:
3
sin
cos
2
B 2sin
7
sin
cos
2
HDedu - Page 25