Phương trình lượng giác cơ bản toán 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (713.73 KB, 24 trang )
CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
Phƣơng pháp:
Nếu | m | 1 phương trình vô nghiệm
Nếu | m | 1 . Các em có thể lựa chọn 1 trong hai cách trình bày sau:
x k 2
; k, l
Cách 1: Đặt m sin sin x sin
x
l
2
x arcsin m k 2
; k, l
Cách 2 : sin x m
x arcsin m l 2
Cách 1: thường dùng khi m có thể viết dưới dạng giá trị lượng giác của 1 góc đặc biệt
x
k 2
3
3
Ví dụ: sin x
sin x sin
; k, m
2
3
x 2 m2
3
Cách 2: thường dùng khi | m | 1 nhưng m không viết được về giá trị lượng giác của góc đặc biệt
1
x arcsin 9 k 2
1
Ví dụ: sin x
; k, m
9
x arcsin 1 m2
9
Tất nhiên các em cũng có thể giải bài này theo cách 1 như sau:
Đặt
x k 2
1
sin sin x sin
; k, m
9
x m2
f ( x) g ( x) k 2
; k, m
Tổng quát: sin f ( x) sin g ( x)
f ( x) g ( x) m2
Chú ý:
Nếu m 1;0;1 các em cần sử dụng các công thức đặc biệt để giải.
sin u sin v sin u sin(v)
sin u cos v sin u sin v
2
sin u cos v sin u sin v
2
sin x 0 x k (k Z )
HDedu - Page 1
Trang 2
sin x 1 x
2
k 2 (k Z )
sin x 1 x
sin x 1 sin 2 x 1 cos2 x 0 cos x 0 x
2
2
k 2 (k Z )
k (k Z )
sin a 1
sin a sin b 2
sin b 1
sin a 1
sin a sin b 2
sin b 1
sin a sin b 1
sin a.sin b 1
sin a sin b 1
sin a 1
sin b 1
sin a.sin b 1
sin a 1
sin b 1
BÀI MẪU:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin x 2
3) sin x
2) sin x 3
1
2
4) sin x
1
4
HD:
1) Vì 2 1 Phương trình vô nghiệm.
2) Vì
3 1 Phương trình vô nghiệm.
x k 2
x k 2
1
6
6
3) sin x sin x sin
; m, k
5
2
6
x m2
x
m2
6
6
x k 2
1
4) Đặt sin sin x sin
4
x m2
1
x ar sin 4 k 2
1
Hoặc: sin x
4
1
x ar sin m2
4
; m, k
; m, k
Bài 2. Giải phương trình:
1) 2sin( x 300 ) 2 0
2) 2sin(2 x 300 ) 2 0
HD:
1) Ta có:
2sin( x 300 ) 2 0 sin( x 300 )
2
sin( x 300 ) sin 450
2
HDedu - Page 2
x 300 450 3600.k
x 150 3600.k
; k, m
0
0
0
0
0
0
x
30
180
45
360
.
m
x
105
360
.
m
2) Ta có:
2sin(2 x 300 ) 2 0 sin(2 x 300 )
2
sin(2 x 300 ) sin( 450 )
2
2 x 300 450 3600.k
2 x 750 3600.k
x 37030' 1800.k
; k, m
0
0
0
0
0
0
0
'
0
2 x 30 180 45 360 .m 2 x 195 360 .m x 97 30 180 .m
Bài 3. Giải phương trình
1) sin x 1 0
3
2) sin x 3 . 2sin x 1 0
6
HD:
1) Ta có:
5
sin x 1 0 sin x 1 x k 2 x
k 2 . k
3
3
3
2
6
2) Ta có:
sin x 3 0(VN )
1
sin x sin
sin x 3 . 2sin x 1 0
2sin x 1 0
6
6 2
6
6
x 6 6 k 2
x k 2
; k, m
3
x m2
x m2
6
6
Bài 4. Giải phương trình
1) sin x sin 2 x
3
2) sin x 1 sin(3 2 x)
3) sin x cos 2 x
6
4) sin 2 x 300 sin 450 3 x
HD:
x 2 x k 2
x k 2
3
3
1) sin x sin 2 x
; k, m
3
x 2 x m2
x 4 m2
3
9
3
HDedu - Page 3
2 k 2
x
x 1 3 2 x k 2
2) sin x 1 sin(3 2 x)
; k, m
3
3
x 1 3 2 x m2
x 4 m2
3) sin x cos 2 x sin x sin 2 x
6
6
2
k 2
x
x 6 2 2 x k 2
9
3
; k, m
x 2 x m2
x m2
6
9
2
2
2 x 300 450 3x 3600.k
4) sin 2 x 30 sin 45 3x
0
0
0
0
2 x 30 180 45 3x 360 .m
0
0
x 150 3600.k
; k, n
0
0
x
21
360
.
n
Bài 5. Tìm nghiệm trong khoảng đã cho của các phương trình sau:
1) sin 3x 0
3
với x 2
3) sin 2 x 1 với x ;3
6
x
2) sin 1
2 4
với x ;
2 2
1
2
với x ;0
2
4) sin 3x 1
3
x
5) sin
với 0 x 2
2
2 3
HD:
k
;k
1) sin 3x 0 3x k x
3
3
9 3
Vì x 2
k
8 k 19
8
19
2
k
9 3
9
3
9
3
3
Vì k k 2; 1;0;1; 2;3; 4;5;6
Với k 2 suy ra x
Với k 1 suy ra x
Với k 0 suy ra x
9
9
9
2
7
3
9
4
3
9
0.
3
9
Tương tự các giá trị còn lại.
HDedu - Page 4
Trang 5
7 4 2 5 8 11 14 17
Vậy nghiệm của phương trình là: x 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9
x
3
x
k 4 ; k
2) sin 1 k 2 x
2 4 2
2
2 4
3
1
1
Vì x ; nên
k 4 2 k 4 k
2 2
2
2
4
2 2
Vì k k . Vậy phương trình không có nghiệm thuộc ;
2 2
3) sin 2 x 1 2 x k 2 x k ; k
6
2
3
6
Vì x ;3 nên
3
k 3
4
10
4
10
5 8
k
k k 2;3 x ;
3
3
3
3
3 3
1 k 2
3x 1 k 2
x
1
6
3 18
3
; k, m
4) sin 3 x 1 sin
2
6
3x 1 m2
x 1 5 m2
6
3 18
3
Vì x ;0 nên:
2
TH1:
TH2:
1 k 2
1 k 2 1
1
0
k 0 x
2
3 18
3
2 3 18
3
3 18
3 18
1 5 m2
1 7
0 m 1 x
2
3 18
3
3 18
1 7
1
Vậy nghiệm của phương trình trong ;0 là: x ;
3 18
2
3 18
3
x
x
5) sin
sin sin
2
2 3
2 3
3
x
x k 4
2 3 3 k 2
; k, m
x 10 m4
x
m2
3
2 3
3
Vì 0 x 2 nên :
TH1: 0 k 4 2 k
HDedu - Page 5
Trang 6
TH2: 0
10
m4 2 m
3
Vậy không tồn tại nghiệm của phương trình trong 0; 2
Bài 6. Giải phương trình
1) sin 3x 1 sin x 2
3) sin 2 x
x
2) sin 3x sin 0
4 2
4) sin x 2 2 x 0
1
2
HD:
3
x 2 k
3x 1 x 2 k 2
1) sin 3 x 1 sin x 2
; k, m
3x 1 x 2 m2
x 1 m
2
2
x
x
2) sin 3x sin 0 sin sin 3 x
4 2
4 2
k 4
x
x 10 5
4 2 3 x k 2
; k, m
x 3 m4
x 3x m2
4 2
14
7
3) sin 2 x
1
1
sin x
2
2
x k 2
1
6
; k, m
Với sin x sin x sin
2
6
x 5 m2
6
x k 2
1
6
; k, m
Với sin x sin x sin
2
6
x 7 m2
6
4) sin x 2 2 x 0 x 2 2 x k x 2 2 x k 0 x 1 k 1
2
x k 1 1
;
x k 1 1
k ,k
1
HDedu - Page 6
Trang 7
Bài 7. Giải phương trình
1) sin( x 2)
1
3
2) sin 3x 1
2x
3) sin 0
3 3
4) sin(2 x 200 )
3
2
HD:
1
1
x 2 arcsin k 2
x arcsin 2 k 2
1
3
3
1) sin( x 2)
(k , m )
3
x 2 arcsin 1 m2
x 2 arcsin 1 m2
3
3
2) sin 3x 1 3x
2
k 2 x
6
k 2
(k )
3
2x
k 3
2x
k x
; (k )
3) sin 0
3 3
2
2
3 3
4)
2 x 200 600 k.3600
3
0
0
sin(2 x 20 )
sin(2 x 20 ) sin 60
0
0
0
0
2
2 x 20 180 60 m.360
0
x 400 1800.k
(k , m )
0
0
x 110 180 .m
Bài 8. Với giá trị nào của x thì các hàm số sau đây bằng nhau:
1) y sin 3x và y sin x
2) y sin 2 x và y cos x
3) y sin( x 600 ) và y cos(2 x 300 )
HD:
x k
3x x k 2
; (k , m )
1) sin 3x sin x
x m
3
x
x
m
2
4
2
k 2
2 x x k 2
x
2
6
3
2) sin 2 x cos x sin 2 x sin x
; (k , m )
2
2 x
x m2
x m 2
2
2
3)
sin( x 600 ) cos(2 x 300 ) sin( x 600 ) sin 900 2 x 300 sin( x 600 ) sin(2 x 1200 )
HDedu - Page 7
x 600 2 x 1200 3600.k
x 200 1200.k
; k, m
0
0
0
0
0
x
360
.
m
x 60 180 2 x 120 360 .m
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải phương trình
1) sin 4 x sin 2 x 0
3
6
2) sin 6 x
3) sin x cos 2 x
4
4) sin 2 x 300 cos 3x 600 0
5) sin 2 x sin 3x
4
6) sin 400 x cos 3x 200
7) sin 2 x 1
8) sin 2 x
9) sin 4 x cos4 x
1
2
1
2
1
2
10) sin x cos x 1
11) sin 2 x 3 sin x 1
12) sin 3x cos 4 x
13) sin 5x cos 4 x 0
14)
15) sin 2018x sin 2019x
16) sin 2 x sin 0
3
3
3 2sin 2 x 0
Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã chỉ ra.
2
1) sin 2 x
sin x 0 với x 0; 2
3
6
2) sin 2 x
1
với x ;
2
2 2
3) sin 2 x cos x
4
4
với
4) sin x 600 cos 2 x 600 0 với
5) sin x
6
sin 2 x
4
x 0;
x 0;1800
với x 0;1800
6) sin 300 2 x cos x 600 với x 0;900
Bài 3. Giải phương trình
1) sin 3x 3.cos x 2sin 2 x
x
2) cot x sin x. 1 tan x.tan 4
2
HDedu - Page 8
3
sin x
3) tan
x
2
2
1 cos x
5) sin 6 x cos6 x cos 2 2 x
4) sin 3 x.cos3x cos3 x.sin 3x sin 3 4 x
1
16
Bài 4. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã chỉ ra.
1) 4sin 2 x 1 trong khoảng 0;
2) sin x.cot 2 x cos3x trong khoảng 0;
3) tan x cot x 4 trong khoảng 0; 2
CHUYÊN ĐỀ 8: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
Phƣơng pháp:
Nếu | m | 1 phƣơng trình vô nghiệm.
Nếu | m | 1 .
x k 2
; k, l
Cách 1: Đặt m cos cos x cos
x l 2
x arccos m k 2
; k, l
Cách 2: cos x m
x
arccos
m
l
2
Cách 1 thường dùng khi m có thể viết dưới dạng giá trị lượng giác của 1 góc đặc biệt
Ví dụ: cos x
3
cos x cos x k 2 ; k
2
6
6
Cách 2 thường dùng khi | m | 1 nhưng m không viết được về giá trị lượng giác của góc đặc biệt
1
x arccos k 2
1
5
Ví dụ: cos x
; k, m
5
x arccos 1 m2
5
Hoặc có thể giải nhƣ sau:
Đặt
x k 2
1
cos cos x cos
; k, m
5
x m2
Tổng quát: cos f ( x) cos g ( x) f ( x) g ( x) k 2 ; k
HDedu - Page 9
Chú ý:
Nếu m 1;0;1 các em cần sử dụng các công thức đặc biệt để giải.
cos u cos v cos u cos( v)
cos u sin v cos u cos v
2
cos u sin v cos u cos v
2
cos x 0 x
cos x 1 x k 2 (k Z )
cos x 1 x k 2 (k Z )
2
k (k Z )
cos x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 0 sin x 0 x k (k Z )
cos a 1
cos a cos b 2
cos b 1
cos a 1
cos a cos b 2
cos b 1
cos a cos b 1
cos a.cos b 1
cos a cos b 1
cos a 1
cos b 1
cos a.cos b 1
cos a 1
cos b 1
BÀI MẪU
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) cos x 2
2) cos x
3
2
3) cos x 5
4) cos x
1
3
HD:
1) Vì 2 1 cos x 2 vô nghiệm.
2) cos x
3
cos x k 2 ; k
2
6
6
3) Vì | 5 | 1 phương trình vô nghiệm
1
1
4) cos x x arccos x k 2 ; k
3
3
Hoặc giải như sau:
Đặt
1
cos cos x cos x k 2 ; k
3
Bài 2. Giải phương trình lượng giác sau:
1) cos( x 2) cos(3x 1)
2) cos 2 x 300 cos(600 x)
HDedu - Page 10
3) cos x sin(2 x 1)
6
4) cos(2 x) cos 2 x 0
3
HD:
3
x
k
x 2 3x 1 k 2
2
; k, m
1) cos( x - 2) cos(3 x 1)
x 2 3x 1 m2
x 1 m
4 2
2 x 300 600 x 3600 k
x 300 1200 k
2) cos 2 x 300 cos(600 x)
; k, m
0
0
0
0
0
2
x
30
60
x
360
m
x
30
360
m
x 6 2 2 x 1 k 2
3) cos x sin(2 x 1) cos x cos 2 x 1
6
6
2
x 2 x 1 m2
6
2
1 k 2
x 9 3 3
; k, m
x 2 1 m2
3
4) cos 2 x cos(2 x) cos 2 x cos( 2 x)
3
3
4
2 x 3 2 x k 2
x 3 2 k 2
; k, m
2 x 2 x m2
x 2 2 m2
3
9 3
3
Bài 3. Giải phương trình:
1) cos( x 1)
2
3
1
3x
3) cos
2
2 4
2) cos3x cos120
4) cos2 2 x
1
4
HD:
2
2
x
1
arc
cos
k
2
x
1
arc
cos
k 2
2
3
3
1) cos( x 1)
(k , m )
3
x 1 arc cos 2 m2
x 1 arc cos 2 m2
3
3
Hoặc giải nhƣ sau:
HDedu - Page 11
Đặt
x 1 k 2
x 1 k 2
2
cos cos( x 1) cos
(k , m )
3
x 1 m2
x 1 m2
3x 120 3600.k
x 40 1200.k
2) cos3x cos120
k, m
0
0
0
0
3
x
12
360
.m
x
4
120
.m
3)
11 k 4
3x 2
k 2
x
1
2
3x
3x
2 4
3
18
3
cos cos cos
(k , m )
2
3
2 4
2 4
3x 2 m2
x 5 m4
3
18
3
2 4
4) cos2 2 x
1
1
cos 2 x
4
2
2 x k 2
x k
1
3
6
TH1: cos 2 x cos 2 x cos
; (k , m )
2
3
2 x m2
x m
3
6
2
2x
k 2
x k
1
2
3
3
TH1: cos 2 x cos 2 x cos
; (k , m )
2
3
2 x 2 m2
x m
3
3
Hoặc giải nhƣ sau: cos2 2 x
1
1 cos 4 x 1
1
2
k
cos 4 x cos
x
;k
4
2
4
2
3
6 2
Bài 4. Giải phương trình sau:
1) 2 cos 2 x 3 0
3
2) cos 2 x 0
6
3) cos 4 x 1
3
4) cos x 1
5
HD:
3
5
cos
1) 2 cos 2 x 3 0 cos 2 x
3
3
2
6
5
7
2 x 3 6 k 2
x 12 k
; k, m
2 x 5 m2
x m
3
6
4
HDedu - Page 12
k
2) cos 2 x 0 2 x k x
; k
6
6 2
6 2
k
3) cos 4 x 1 4 x k 2 x
;k
3
3
12 2
4
4) cos x 1 x k 2 x
k 2 ; k
5
5
5
Bài 5. Giải phương trình sau:
1) cos x 150
1
2) cos 2 x
2
6
2
2
3) cos(2 x 250 )
2
2
HD:
1) cos x 150
2
cos x 150 cos 450
2
x 150 450 3600.k
x 600 3600.k
; k, m
0
0
0
0
0
x
15
45
360
.
m
x
30
360
.
m
1
2
2) cos 2 x cos 2 x cos
2
3
6
6
2
6 2 x 3 k 2
x 4 k
; k, m
2 x 2 m2
x 5 m
6
3
12
3) cos(2 x 250 )
2
cos(2 x 250 ) cos1350
2
2 x 250 1350 3600 k
x 550 1800 k
; k, m
0
0
0
0
0
2 x 25 135 360 m x 80 180 m
Bài 6. Giải phương trình sau:
1) cos x cos 2 x
3
6
3) cos x
1
2
2) cos x 2 x 0
4) cos3x sin 2 x
HD:
HDedu - Page 13
x 2 x k 2
x k 2
3
6
2
1) cos x cos 2 x
; k, m
3
6
x 2 x m2
x m2
18
3
3
6
2) cos x2 x 0 x2 x
2
k 2
1
cos x
1
2
3) cos x
2
cos x 1
2
TH1:cos x
1
x k 2 ; k
2
3
1
2
TH 2 :cos x x
k 2 ; k
2
3
Hoặc giải nhƣ sau: cos x
1
1
1 cos 2 x 1
1
cos2 x
cos 2 x
2
4
2
4
2
k 2
3x 2 x k 2
x
2
10
5
; k, m
4) cos 3x sin 2 x cos 3 x cos 2 x
2
3x 2 x m2
x m2
2
2
Bài 7. Giải phương trình sau:
1) sin x 1200 cos 2 x 0
2) cos 2 x cos x 0
3
3
3) sin 2 x cos 2 x
4
4)
2cos 2 x
0
1 sin 2 x
HD:
1) sin x 1200 cos 2 x 0 sin x 1200 cos 2 x sin x 1200 sin(2 x 900 )
x 1200 2 x 900 3600.k
x
x
0
0
0
0
x 120 180 2 x 90 360 .m
Các em có thể chuyển về:
sin x 1200 cos 2 x 0 cos 2 x sin x 1200 cos 2 x cos x 300
2) cos 2 x cos x 0 cos 2 x cos x cos 2 x cos x
3
3
3
3
3
3
HDedu - Page 14
k 2
2 x 3 x 3 k 2
x 3 3
; k, m
2 x x m2
x 5 m2
3
3
3
1 cos 2 x
2 1 cos 2 x
3) sin 2 x cos 2 x
4
2
2
cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x ( HS tự giải)
2
4) Điều kiện: sin 2 x 1 x
4
k ; k
2cos 2 x
0 cos 2 x 0 sin 2 x 1 ( vì sin 2 2 x cos 2 2 x 1 )
1 sin 2 x
Vì sin 2 x 1 sin 2 x 1 x
4
k ; k
1
Bài 8. Tìm nghiệm của phương trình cos x với x ;
3
2
HD:
Ta có:
x k 2
x k 2
1
3 6
2
cos x cos
; k, m
3 2
6
x m2
x m2
6
3
6
Vì x ; nên:
TH1:
TH2:
2
6
k 2 k 0 x
2
m2 m 0 x
6
Vậy nghiệm của phương trình trong khoảng ; là x ;
2 6
Bài 9. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho
5
1) cos 2 x cos
x 0 với x 0; 2
4
HDedu - Page 15
2) cos x sin x sin 3 x với x 0; 4
3) Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình sin x cos x 2 2 3.cos 2 x 4 cos 2 3x 3 1
4) 4sin 2
x
3
với x 0;
3.cos 2 x 1 2cos 2 x
2
4
5) sin 2 x cos 2 2 x sin 2 3x
3
với x 0;
2
HD:
x k 2
7 3
4
1) Giải được
từ đó tìm được x
; ;
4 12 4
k
2
x
12
3
cos x 0
2) Chuyển phương trình về : cos x sin x 1 sin 2 x cos x sin x.cos 2 x
sin 2 x 2
x
3 5 7
; ;
2 2 2 2
;
3) Đưa phương trình về dạng :
5
3.cos 2 x sin 2 x 2cos 6 x cos 2 x cos 6 x cos 2 x
cos 6 x
6
6
x 5 k
24 2
Giải tìm được
;k
52
k
x
46
4
.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x
7
.
48
4) Hạ bậc, biến đổi về dạng:
3cos x
3.cos 2 x sin 2 x cos x cos 2 x cos x cos 2 x
6
6
Từ đó tìm được x
5 17 5
;
;
18 18 6
.
5) Hạ bậc, đưa về : cos 2 x cos6 x cos 4 x 2cos 4 x.cos 2 x cos 4 x
Đáp số x
5 3 5 7
; ; ; ;
6 6 8 8 8 8
;
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải các phương trình sau:
HDedu - Page 16
1) cos 4 x 400
3
2
1
2) cos x
6
2
3) cos x sin x 0
4) cos 3x cos 2 x 0
3
3
5) sin x cos 2 x 0
3
3
2
2
6) cos 3x
3
2
7) cos x.sin 3x sin x .cos 3x
2
8) sin x 5 cos 2 x 1
9) cos 2 x
3
4
10) cos2 x sin 2 x
11) cos 2 x
6
cos x
1
2
12) cos2 x cos x 0
14) cos 2 x sin x
4
6
13) cos10 x cos x
Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho
1) cos x 300
2
với x 0;3600
2
2) cos 2 x sin 2 x với x 2
6
3
3) cos x 0 với x
4
2
2
4) cos 2 x
6
cos x với x
4
5) cos2 x cos x 0 với 0 x 2
Bài 3. Giải các phương trình sau: (Lấy từ đề thi ĐH)
5x
x
3x
1) sin cos 2.cos
2
2 4
2 4
2) 2 cos 2 x 2 3.sin x.cos x 1 3 sin x 3.cos x
3) 2sin x. 1 cos 2 x sin 2 x 1 2cos x
4) 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
5) 1 sin 2 x .cos x 1 cos 2 x sin x 1 sin 2 x
x
x
6) sin 2 .tan 2 x cos 2 0
2
2 4
HDedu - Page 17
7) sin 2 3x cos2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x
8) Tìm nghiệm thuộc 0;14 của phương trình : cos3x 4cos 2 x 3cos x 4 0
9) cos2 3x.cos 2 x cos 2 x 0
10) 2cos x 1 2sin x cos x sin 2 x sin x
11) 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
12) 1 tan 2 x
1 sin 2 x
cos 2 2 x
13) 2sin x 1 2cos 2 x 2sin x 1 3 4cos2 x
14) sin x.cot 2 x cos3x
7
15) sin 4 x cos 4 x cot x .cot x
8
3
6
1 sin x
1 cos x 2 1 cos x 2
tan 2 x.sin x
tan 2 x
16)
4 1 sin x
2
17)
3 sin x tan x
2cos x 2
tan x sin x
18) cos 3x.cos3 x sin 3x.sin 3 x
23 2
8
CHUYÊN ĐỀ 9: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
I. Phƣơng trình tan x m
Phƣơng pháp:
Cách 1: Đặt m tan tan x tan x k ; k
Cách 2: tan x m x arctan m k ; k
Chú ý:
Nếu m 1;0;1 các em cần sử dụng các công thức đặc biệt để giải.
tan u tan v tan u tan(v)
tan u cot v tan u tan v
2
tan u cot v tan u tan v
2
tan x 0 x k (k Z )
HDedu - Page 18
tan x 1 x
4
k (k Z )
BÀI MẪU
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) tan( x 1) 3
2) tan x 3
3
4) tan x 450 3
5) tan x 600
3) tan 2 x 1
6
1
0
3
HD:
Trƣớc khi giải các em cần tìm điều kiện xác định vào bài làm.
1) Điều kiện: cos( x 1) 0 x 1
2
k x
2
1 k ; k
tan( x 1) 3 x arctan(3) k ; k
Hoặc giải nhƣ sau: 3 tan tan( x 1) tan x 1 k x 1 k ; k
2
2) tan x 3 tan x tan x k x
k ; k
3
3
3
3 3
3
5 k
; k
3) tan 2 x 1 2 x k x
6
6
4
24 2
4) tan x 450 3 tan x 450 tan(600 ) x 450 600 1800.k x 150 1800.k ; k
5) Ta có:
tan x 600
1
tan x 600 tan(300 ) x 600 300 1800.k x 900 1800.k; k
3
Bài 2. Giải phương trình sau:
1) tan( x 2) tan(3x 1) 0
2
3) tan 2 x cot x
3
3
2) tan x tan 2 x
3
6
4) tan x 200 tan 3 x 200 0
HD:
1) Ta có:
tan( x 2) tan(3x 1) 0 tan( x 2) tan(3 x 1)
tan( x 2) tan(1 3x) x 2 1 3x k x
1 k
;k
4
4
HDedu - Page 19
2) tan x tan 2 x
3
6
x
3
2 x
6
k x
6
k
;k
3
2
3) tan 2 x cot x
3
3
tan 2 x tan
3
2
2x
3
2
7
x
x
tan 2 x tan
3
3
6
7
5 k
x k x
;k
6
18 3
4) tan x 200 tan 3 x 200 0
tan x 200 tan 3 x 200 x 200 3 x 200 k .1800 x ; k
Bài 3. Tìm nghiệm trong khoảng ; 2 đã cho của phương trình tan 2 x 1 3
3
HD:
Điều kiện: cos 2 x 1 0 2 x 1
Ta có: tan 2 x 1 3 tan
3
2
k x
2 x 1
3
2
k x
1 k , k
1 k
,k
6 2 2
Vì x ; 2 nên
3
3
1 k
1 1 2 1 7 1 5 1
2 k 1;0;1; 2;3 x ;
;
;
;
6 2 2
3 2
6 2
3 2
3 2 6 2
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) tan( x 150 )
3
3
2) cos 2 x.tan x 0
3) tan 3x.tan 2 x 0
Bài 2. Với giá trị nào của x thì các hàm số y tan x và y tan 2 x có giá trị bằng nhau?
4
Bài 3. Giải phương trình sau:
1) tan 2 x 1 cot x 0
2) tan 3x tan x
4
6
HDedu - Page 20
3) tan x 2 2 x 3 tan 2
4) tan(2 x 3) 1
5) tan 2 x cot 5x 0
6) tan 2 x .cot 3x 2 0
3
Bài 4. Tìm nghiệm trong khoảng đã cho của phương trình
1) tan 3x 1 với 0 x 2
6
x
2) tan 3 0 với x 2 ;0
2 4
3) 3 tan x 3 0 với x ;
3
4) tan 2 x 1 cot x 0
với x 0; 2
5) tan 3x tan x
4
6
II. Phƣơng trình cot x m
Phƣơng pháp:
Đặt m cot cot x cot x k ; k
Hoặc viết: cot x m x arccot m k ; k
Chú ý:
cot u cot v cot u cot(v)
cot u tan v cot u cot v
2
cot u cot v cot u cot v
2
cot x 0 x
2
k (k )
cot x 1 x
4
k (k )
BÀI MẪU
Bài 1. Giải phương trình sau:
1)
x 2
3 cot
1 0
2 5
3) cot 3x 100
3
3
2) cot 2 x 1
3
4)
3.cot x 3 0
3
HD:
HDedu - Page 21
x 2
1) Điều kiện: sin
2 5
x 2
4
k x
k 2 ; k
0
2 5
5
1
x 2
x 2
3 cot
cot
1 0 cot
3
2 5
2 5
3
x 2
22
k x
k 2 ; k
2 5
3
15
2
2) Điều kiện: sin 2 x 0 2 x k x
k 2 ; k
3
3
3
7 k
cot 2 x 1 cot 2 x k x
; k
3
4
3 4
24 2
3) Điều kiện: sin 3x 100 0 3x 100 1800 k x
100
600 k ; k
3
3
500
0
0
0
0
cot 3x 10
cot 60 3 x 10 60 180 k x
600 k ; k
3
3
0
4) Điều kiện: sin x 0 x k ; k
3
3
3.cot x 3 0 cot x 3 cot x k x k ; k
3
3
3
6
2
6
Bài 2. Giải phương trình sau:
cos 2 x 1
1) tan x 3tan 2 x
cos 2 x
2
2) cot cos x sin x 1
4
3) cot 3 cos x sin x 1
4
HD:
tan x cot x
1) Điều kiện, rồi viết 2
đưa phương trình về dạng:
cos 2 x 1 2sin 2 x
1
tan 2 x 0 tan x 1
tan x
2)
4
cos x sin x
4
k cos x sin x 1 4k
1 4k
1 4k cos x
2.cos x
4
4
2
Phương trình có nghiệm khi:
HDedu - Page 22
1 4k
1
1 k 0 cos x
4
2
x k 2
1
;k
2
x k 2
2
3) Phương trình tương đương:
4
3 cos x sin x
4
k 3 cos x sin x 1 4k
x k 2
2
;k
Dùng điều kiện có nghiệm suy ra k 0 3 cos x sin x 1
x k 2
6
.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) cos x 3sin x
2) cot 2 x cot x
4
3
3) cot 2 x 1
4) cot( x 1) cot 3x 0
2
5) cot x 3 .cot x
3
7) sin 2 x
0
2
0
6) cot 2 x cot 2 x
3
3
8) cot 2 2 x 3 0
3
1
.cos 2 x 0
3
1
4 ( chuyển về cot x )
sin 2 x
9) cot 2 x 1000 1
10)
3
11) 3cot x 3 0
4
1
1
0
12) cot x 450 1 .
3
tan x
6
Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng bài cho.
x
1) 3 cot 1 0
2 6
với x ;
2 2
1
2) cot x
với x ;0
3
3
3) cot 2 x 1000
4)
3
với x 0;1800
3
3.cot x 3 0
3
với x 0;
HDedu - Page 23
3
5) 3cot 2 x 3 0
4
3
với x ;
4 4
HDedu - Page 24
