PP suy luận nhanh gv lê văn vinh CHUONG 1 DAO ĐỘNG cơ chuyên đề 3 con lắcdạng 2 bài toán liên quan đến năng lượng

CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
NĂNG LƯỢNG, LỰC CĂNG VÀ GIA TỐC
Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng:
Cơ năng: W = Wđ + Wt
Thế năng: Wt = mgh với h = l.( 1− cos α )
1
mv 2
2
W
= mgh
• Ở biên độ B: WBđ=max
0

Động năng: Wđ =

với
h0 = H 0O = IO − IH 0 = l − l cos α0

= l.( 1− cosα0 )

⇒ WB = Wtmax = mgl ( 1− cosα 0 )
• Ở vị trí cân bằng O:
W0đ=max
W

=

I

mv02
(với v0 là vận tốc cực đại)
2

• Ở vị trí bất kì A: WA = mgh +

H0

mv2
2

với h = HO = IO − IH = l − l cos α = l ( 1− cosα )
⇒ WA = mgl ( 1− cosα ) +

mv2
2

H
O

Tổng quát: cơ năng của con lắc
W = mgl ( 1− cosα0 ) +

l

B
A

mv02

2
mv2
= mgl(1− cosα0) +
2

Ứng dụng của định luật bảo toàn
cơ năng tìm lực căng dây:
• Lực căng dây T:
ur ur
r
Theo định luật II Newton: P + T = ma (*)
Chiếu (*) lên phương sợi dây,
chiều dương hướng vào tâm, ta được:
2

P cosα + T = maht ⇒ T = m v + mgcosα
l
Chứng

minh

để

có:

O

α

A

α

v2 = 2gl ( cosα − cosα0 )

194


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

⇒ T = 3mgcosα − 2mgcosα 0
Ở vị trí cân bằng: α = 0 ⇒ Tmax = 3mg − 2mgcosα 0
Ở vị trí biên: α = α 0 ⇒ Tmin = mgcosα 0
Gia tốc của con lắc đơn
Gia tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: a = a2n + a2t
với
+ an =

v2 v2
= đây là thành phần pháp tuyến( gia tốc hướng tâm
R
l

của vật).
+ at = −ω s đây là thành phần tiếp tuyến của vật.
2

- Tại VTCB chỉ có gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến bằng 0 (s
= 0).
- Tại vị trí biên chỉ có gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến bằng

0 (vì vận tốc của vật tại vị trí biên bằng 0)
 VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1:(CĐ 2009) Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc
đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Biết khối lượng vật
nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là l , mốc thế năng ở vị
trí cân bằng. Cơ năng của con lắc là
A.

1
mgl α02 .
2

B. mgl α0

2

C.

1
mgl α02 .
4

D. 2mgl α0 .
2

Phân tích và hướng dẫn giải
1
2
Cơ năng con lắc đơn dao động điều hòa: W = mgl α0 . Chọn A
2

Ví dụ 2: Tại nơi có gia tốc trọng trường là 9,8 m/s 2, một con lắc
đơn dao động điều hòa với biên độ góc 6 0. Biết khối lượng vật
nhỏ của con lắc là 90 g và chiều dài dây treo là 1m. Chọn mốc
thế năng tại vị trí cân bằng, cơ năng của con lắc xấp xỉ:
A. 6,8.10-3 J
B. 3,8.10-3 J
C. 5,8.10-3 J
D. 4,8.10-3 J
Phân tích và hướng dẫn giải
Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa:
W=

1
1
6π 2
−3
mglα 02 = .0,09.9,8.1.
÷ = 4,8.10 J .
2
2
 180 

Chọn đáp án D
Ví dụ 3: (ĐH 2010) Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc
đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 nhỏ. Lấy mốc thế năng
ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều
195


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc α của
con lắc bằng
α0
α0
α0
α0
A. −
B. −
C.
D.
3
2
2
3
Phân tích và hướng dẫn giải
Wd = Wt ⇒ s = ±

S0

⇒α=±

α0

2
2
Con lắc chuyển động nhanh dần
theo chiều dương khi con lắc
chuyển động từ biên âm về
VTCB theo chiều dương (vùng 3)

vì thế α = +

α0

Wd = Wt

−S0

−

Wd = Wt

S0

S0

2

2

O

Wd = Wt

S0

s

Wd = Wt

.
v
2
Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Một con lắc đơn có chiều dài l và gắn vào vật có khối
lượng m dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu
kỳ 2 s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của vật
trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có
1
động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng
3
thế năng là
A. 14,64 cm/s.
B. 26,12 cm/s.
C. 21,96 cm/s. D. 7,32 cm/s.
Phân tích và hướng dẫn giải
A
Vị trí Wđ = 3Wt là: x1 = ±
2
1
A 3
Vị trí Wđ = Wt là: x2 = ±
3
2
Thời gian ngắn nhất chất điểm đi từ x1 đến x2 là:
T T T 1
t A A 3  = − = = s
 →
÷ 6 12 12 6

2

2 

Quãng đường chất điểm đi từ x1 đến x2 là: S =

A 3 A
− = 5 3− 5
2
2

S 5 3− 5
=
= 21,96cm / s
1
t
6
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: (ĐH 2011) Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với
biên độ góc α0 tại nơi có gia tốc trọng trường là g. Biết lực căng
Tốc độ trung bình của vật cần tìm là:

vTB =

196


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của α0

là
A. 3,30
B. 6,60
C. 5,60
0
D. 9,6
Phân tích và hướng dẫn giải
Lực căng dây cực đại: Tmax = mg ( 3 − 2cosα0 ) khi α = 0
Lực căng dây cực tiểu: Tmin = mgcosα0 khi α = α0
Theo bài ra: Tmax = 1,02Tmin
⇒ mg ( 3 − 2cosα 0 ) = 1,02mgcosα 0⇔ 3 − 2cosα 0 = 1,02cosα 0 ⇒ α 0 = 6,6°
Chọn đáp án B
Ví dụ 6: (Trích đề thi thử Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm
2013)
Một con lắc đơn khối lượng m dao động điều hoà với biên độ góc

α 0 . Biểu thức tính lực căng của dây treo ở li độ α là
A. TC = mg(1 + α 02 - α 2 )

B. TC = mg(1 + α 02 -

C. TC = mg(3cosα 0 - 2cosα)

3 2
α )
2

D. TC = mg(2cosα - 3cosα 0 )

Phân tích và hướng dẫn giải

Vì con lắc đơn dao động điều hòa nên biên độ góc nhỏ, vì thế ta sử
dụng công thức gần đúng sau để giải bài toán:
α
α 2
α2
cosα = 1− 2sin2  ÷ ≅ 1− 2. ÷ = 1−
2
 2
 2

Theo bài ra ta có:
2
 


α02  
α2 
2 3α 
τ = mg(3cosα − 2cosα0) = mg  3 1−
−
2.
1
−
=
mg
1
+
α
−
÷


÷
÷

÷
0



÷
2÷
2÷
2 ÷





 

Chọn đáp án B
Ví dụ 7: (Trích đề thi thử chuyên Thái Nguyên lần 1 năm
2013)
Một con lắc đơn dao động điều hòa trong trường trọng lực. Biết
trong quá trình dao động, độ lớn lực căng dây lớn nhất gấp 1,1
lần độ lớn lực căng dây nhỏ nhất. Con lắc dao động với biên độ
góc là
A.

197

3
rad
31

2
4
rad
C.
rad
31
33
Phân tích và hướng dẫn giải
B.

D.

3
rad
35


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
2
Con lắc đơn dao động điều hòa ⇒ τ == mg  1+ α 2 − 3α 

÷
0

2 ÷




τmax ( α = 0)

τmin ( α = α0 )

=

1+ α02
1−

= 1,1 ⇔ 3,1α 02 = 0,2 ⇒ α 0 =

α02

2
rad
31

2

Chọn đáp án B
Ví dụ 8: (Trích đề thi thử chuyên Hải Dương lần 1 năm 2013)
Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α 0 tại nơi có
gia tốc trọng trường là g. Biết gia tốc của vật ở vị trí biên gấp 8
lần gia tốc của vật ở vị trí cân bằng. Giá trị của α 0 là
A. 0,062rad.

B. 0,375rad.

C. 0,25rad.

D. 0,125rad.

Phân tích và hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có:
aVTB
aVTCB

=

a2t
a2n

=

at
an

=

ω2S0
2

v
l

=

ω2S0

( ωS0 )

2

=

l
l
1
1
=
=
= 8 ⇒ α 0 = = 0,125rad
S0 l α0 α0
8

l

Chọn đáp án D
Ví dụ 9: (Trích đề thi thử chuyên Hạ Long Quảng Trị lần 1
năm 2013)
Con lắc đơn có chiều dài dây treo là 90cm, khối lượng vật nặng
bằng 60 g, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s 2.
Biết độ lớn lực căng cực đại của dây treo lớn gấp 4 lần độ lớn lực
căng cực tiểu của nó. Bỏ qua mọi ma sát, chọn gốc thế năng ở vị
trí cân bằng. Cơ năng dao động của con lắc bằng
A. 2,7 J.
B. 0,27 J.

C. 0,135 J.
D. 1,35 J.
Phân tích và hướng dẫn giải
Lực căng dây được tính theo công thức: τ = mg (3cosα − 2cosα 0 )
Vì thế lực căng dây lớn nhất khi vật ở VTCB và nhỏ nhất tại vị trí
biên:
Vậy ta có:
mg(3cos0 − 2cosα0) mg(3 − 2cosα0) 3 − 2cosα0
τmax
=
=
=
=4
τmin mg(3cosα0 − 2cosα0)
mgcosα0
cosα0
⇒ cosα0 =

1
π
⇒ α0 =
2
3

198


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Cơ năng dao động của vật:

W = mgl(1− cosα 0 ) = 0,06.10.0,9.(1− 0,5) = 0,27(J)
Chọn đáp án B
Ví dụ 10: (Trích đề thi thử chuyên Hồng Lĩnh Hà tĩnh lần 1
năm 2013)
Con lắc đơn gồm vật nhỏ m = 200gam, treo vào sợi dây có
chiều dài l. Kéo con lắc lệch khỏi VTCB góc α0 rồi buông nhẹ. Bỏ
qua ma sát thì thấy lực căng có độ lớn nhỏ nhất khi dao động
bằng 1N. Biết g = 10m/s 2. Lấy gốc tính thế năng ở VTCB. Khi
dây làm với phương thẳng đứng góc 30 0 thì tỉ số giữa động năng
và thế năng bằng
A. 0,5.
B. 0,58.
C.
2,73.
D. 0,73.
Phân tích và hướng dẫn giải
Lực căng dây có độ lớn nhỏ nhất khi vật đang ở biên α = α0 :
τmin = mg(3cosα − 2cosα0 )
= mg(3cosα0 − 2cosα 0) = 0,2.10.cosα 0 = 1⇒ cosα 0 =

1
2

Khi α = 300 thì tỉ số giữa động năng và thế năng là:
Wd W − Wt mgl(1− cosα0 ) − mgl(1− cosα)
=
=
Wt
Wt
mgl(1− cosα0 )

3 1
−
cosα − cosα0
=
= 2 2 = 3 − 1 = 0,73
1
1− cosα 0
1−
2
Chọn đáp án D
Ví dụ 11: (Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị lần 1 năm 2013)
Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo vào đầu dưới của
một sợi dây không giãn, đầu trên của sợi dây được buộc cố định.
Bỏ qua ma sát và lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi
phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Tỉ số giữa độ
lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại vị trí biên và độ lớn gia tốc tiếp
tuyến của vật tại vị trí động năng bằng 2 thế năng là :
A.

B. 1/3
C. 3
D. 2
Phân tích và hướng dẫn giải
1
1
1
S0 = ±
S0 = ±
S0
Theo bài ra: Wd = 2Wt ⇒ s = ±

n+1
2+ 1
3
3

Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại biên: aB = ω2S0
199


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại vị trí động năng bằng 2 thế
năng:
S
a = ω2s = ω2. 0
3
ω2S0
aB
=
= 3
Vậy tỉ số cần tìm là: a
.
2 S0
ω .
3
Chọn đáp án A
Ví dụ 12: Sợi dây chiều dài l, được cắt ra làm hai đoạn l1,l2, dùng
làm hai con lắc đơn. Biết li độ con lắc đơn có chiều dài l1 khi
động năng bằng thế năng bằng li độ của con lắc có chiều dài l2
khi động năng bằng hai lần thế năng. Vận tốc cực đại của con

lắc l1 bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc l2. Tìm chiều dài l
ban đầu.
A. l = 7l2
B. l = 7l1
C. l = 5l2
D. l = 5l1
Phân tích và hướng dẫn giải
Giả sử phương trình dao động của con lắc đơn có dạng α = α0cosωt
Thế năng và cơ năng của con lắc: Wt = mgl
Khi Wđ = Wt ⇒ α12 =

2
α 01
;
2

Khi Wđ = 2Wt ⇒ α22 =
α1 = α2 ⇒

α2
α2
; W = mgl 0
2
2

2
α 02
3

α 01

α
= 02
2
3

(1)

Vận tốc cực đại của con lắc đơn vmax = ωlα0 = α0 gl
2
2
2
α
v1max = 2v2max ⇒ gl1 α01 = 4gl2 α02 ⇒ l1 01 = 4l2 α02
Từ (1) và (2) ⇒ l1 = 6l2 ⇒ l = l1 + l2 =7l2
2

(2)
⇒ Chọn đáp án A

Ví dụ 13: (Chuyên Bắc Ninh 2015) Một con lắc đơn dao động với
biên độ góc α 0 tại nơi có gia tốc trọng trường là g , biết rằng gia tốc
của vật ở vị trí biên gấp 8 lần gia tốc của vật ở VTCB. Tính biên độ
góc α 0 .
A. 0,375rad
B. 0,062rad
C. 0,25rad
D. 0,125rad
Phân tích và hướng dẫn giải
Tại vị trí biên thì thành phần hướng tâm bằng 0.

a1 = aht2 + att2 = att = g sin α 0

(1)
200


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Tại vị trí cân bằng thì góc α = 0 nên
2

 v2 
2
a2 = a + a =  max ÷ + ( g sin 0 ) = 2 g ( 1 − cos α 0 ) (2)
 l 
Theo bài ra: a1 = 8a2 ⇒ g sin α 0 = 8.2 g ( 1 − cos α 0 ) ⇒ sin α 0 = 16 − 16cos α 0
sin α 0
16
2
+ 16 =
⇒ tan α 0 + 16 = 16 tan 2 α 0 + 1 ⇒ ( t + 16 ) = 162 ( t 2 + 1)
cos α 0
cos α 0
2
ht

⇒t =

2
tt

32
= tan α 0 ⇒ α 0 = 0,125rad
162 + 1
Chọn đáp án D

Ví dụ 14: (Chuyên – ĐHSPHN lần 6/2015) Kéo dây treo con lắc
đơn lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α 0 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mội
lực cản. Biết rằng dây treo sẽ đứt khi chịu một lực căng bằng hai lần
trọng lượng của vật nặng. Giá trị của góc α0 để dây đứt khi vật đi qua
vị trí cân bằng là
A. 600.
B. 450.
C. 300.
D. 750.
Phân tích và hướng dẫn giải
Khi lực căng dây: T = mg ( 3cos α − 2cos α 0 )
Để dây không bị đứt thì lực căng lớn nhất phải nhỏ hơn 2P.
1
Tmax = mg ( 3 − 2 cos α 0 ) = 2mg ⇒ cos α 0 = ⇒ α 0 = 600
2
0
Vậy khi biên độ góc α 0 = 60 thì dây sẽ đứt khi qua VTCB
Chọn đáp án A
Ví dụ 15: (Chuyên Thái Bình 2015) Một con lắc đơn dao động, ta
thấy lực căng cực đại bằng 4 lần lực căng cực tiểu. Biết chiều dài l
=0,8m, g = 10m/s2. Tốc độ của vật khi động năng bằng thế năng là :
A. 2 π /3(m/s)
B. 1(m/s)
C. 2 2 (m/s)

D. π (m/s)
Phân tích và hướng dẫn giải
mg ( 3 − 2cos α 0 )
T
1
= 4 ⇒ cos α 0 = ⇒ α 0 = 600
Theo đề cho thì: max = 4 ⇒
Tmin
mg cos α 0
2
Khi động năng bằng thế năng:
Wd = Wt ⇒ mgl ( cosα − cos α 0 ) = mgl ( 1 − cos α 0 ) ⇒ cos α = 1 ⇒ α = 0
Vậy lúc đó vật đi qua VTCB nên tốc độ là:

vmax = 2 gl ( 1 − cosα 0 ) = 2 gl = 2 2m/s
Chọn đáp án C
Ví dụ 16: (THPT Phan Bội Châu – Nghệ An – Lần 1/2015)Một con
lắc đơn khi dao động với biên độ góc

α1 = 300 thì lực căng dây lúc gia

tôc cực tiểu là T1, khi dao động với biên độ góc
201

α 2 = 600 thì lực căng


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

dây lúc gia tốc cực tiểu là T2. Tỉ số T1/T2 là

A. 0,79.
B. 1,27.
D. 9,7.

C. 7,9.

Phân tích và hướng dẫn giải

v4
a = a + a = g sin α + 2
l
2
2
= g sin α + 4g 2 (cosα − cosα o ) 2
2

2
t

2
ht

2

2

= g 2 (sin 2 α + 4 cos 2 α − 8cos α.cosα o + 4 cos 2 α o )
= g 2 (3cos 2 α − 8cos α.cosα o + 4 cos 2 α o + 1)
4cosα o
(dùng đạo hàm)

3
2 3
* Lúc đầu: α o1 = 300 → cosα =
> 1 . Nên vị trí gia tốc cực tiểu
3
a min ⇔ cosα =

chính là VTCB ứng với cosα =1
Khi đó: T1 = m.g(3cosα −2cosα01) = mg(3- 2cosα01 )

Chú ý: Qua đây rút ra được kết luận, chỉ có những dđ của con lắc
đơn ứng với biên độ góc lớn hơn 41,40 mới tồn tại vị trí khác VTCB mà
gia tốc cực tiểu.
* Lúc sau: α o 2 = 60 → cosα =
0

2
. Nên vị trí gia tốc cực tiểu chính là
3

không phải vị trí cân bằng.
Khi đó: T2 = m.g( 3cosα −2cosα02) = mg( 2- 2cosα02 )
Vậy:

T1 3 − 2 cos α o1
=
= 3 − 3 ≈ 1, 27
T2 2 − 2 cos α o 2

Chọn đáp án B

202