TONG HOP CHUYEN DE NGUYEN HAM TICH PHAN UNG DUNG DE HOAN CHINH

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chuyên đề

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

3

Vấn đề 1. NGUYÊN HÀM
Câu 1.

Giả sử hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K . Khẳng định nào sau

đây đúng.
A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y = F( x) + C là một nguyên hàm của hàm f
trên K.
B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G( x) = F ( x) + C với
x thuộc K .

C. Chỉ có duy nhất hàm số y = F( x) là nguyên hàm của f trên K.
D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G( x) = F ( x) + C với mọi x thuộc K và C bất kỳ.
Câu 2.

Cho hàm số F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh

đề nào sai.

A.

∫ f ( x)dx =F( x) + C.

Câu 3.

B.

( ∫ f (x)dx )′ = f (x).

( ∫ f ( x)dx )′ = f ′( x).

D.

( ∫ f ( x)dx )′ = F′(x).

Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx,( k ∈ R) .
C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
A.

Câu 4.

C.

∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx. ∫ g ( x ) dx .
D. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
B.

Cho hai hàm số f ( x), g( x) là hàm số liên tục, có F( x), G( x) lần lượt là nguyên hàm của

f ( x), g( x) . Xét các mệnh đề sau:
(I). F( x) + G( x) là một nguyên hàm của f ( x) + g( x).

(II). k.F( x) là một nguyên hàm của kf ( x) với k ∈ R
.
(III). F ( x).G( x) là một nguyên hàm của f ( x).g( x).
Các mệnh đúng là

A. (I).
Câu 5.
A.

B. (I) và (II).

C. Cả 3 mệnh đề.

D. (II).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

∫ ( f ( x) + g( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx .

B. Nếu F( x) và G( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F( x) − G( x) = C là hằng số.
C. F( x) = x là một nguyên hàm của f ( x) = 2 x .
D. F( x) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x) = 2x.
Câu 6.

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
2

2

 


1
1 
A. ∫  2 x − 1 +  dx =  ∫  2 x − 1 +  dx  .
x
x 

 

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

|1


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2


1

1
B. ∫  2 x − 1 +  dx = 2 ∫  2 x − 1 +  dx .
x
x


2


1


1

1
C. ∫  2 x − 1 +  dx = ∫  2 x − 1 +  dx.∫  2 x − 1 + dx .
x
x
x



2


1
1
2
D. ∫  2 x − 1 +  dx = 4 ∫ x 2 dx + ∫ dx + ∫ 2 dx − 4 ∫ xdx − ∫ dx + 4 ∫ dx
x
x
x


Câu 7.

Cho

∫ f ( x)dx = F( x) + C . Khi đó với a ≠ 0 , ta có ∫ f ( ax + b)dx bằng:

1

1
B. F( ax + b) + C.
C. F( ax + b) + C .
F( ax + b) + C .
2a
a
Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.

A.

D. a.F ( ax + b) + C.

A. F( x) = 2017 + cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = − sin 2x .
B. Nếu F( x) và G( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì

∫  F( x) − g( x)dx

có dạng

h( x) = Cx + D với C , D là các hằng số, C ≠ 0.

C.

u '( x)

∫2

u( x)

D. Nếu

Câu 9.

dx = u( x) + C.

∫ f (t )dt = F(t) + C thì ∫ f [u( x)]dx = F[u( x)] + C .

(Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định nào sau đây là đúng.

x
x
B. ∫ sin dx = 2 cos + C .
2
2
x
x
C. ∫ cot xdx = − ln sin x + C.
D. ∫ cos dx = −2 sin + C .
2
2
1
Câu 10. (Chuyên Hưng Yên lần 3) Nếu ∫ f ( x )dx = + ln 2 x + C thì hàm số f ( x ) là
x
1
1 1
A. f ( x ) = x +
B. f ( x ) = − 2 + .
.
2x
x
x

1
1
1
C. f ( x ) = 2 + ln ( 2 x ) .
D. f ( x ) = − 2 + .
2x
x
x
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

A.

∫ tan xdx = − ln cos x + C.

x e +1
A. ∫ x dx =
+C .
e+1

B. ∫ cos 2 xdx =

e

C. ∫ e x dx =

Câu 12.

e x +1
+C .
x+1

1
sin 2 x + C .
2

1
D. ∫ dx = ln x + C .
x

(TPHCM cụm 1) Biết một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) là F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 . Khi

đó, giá trị của hàm số y = f ( x ) tại x = 3 là

A. f ( 3 ) = 6 .
Câu 13.

C. f ( 3 ) = 22 .

D. f ( 3 ) = 30 .

(Quảng Xương- Thanh Hóa lần 1)Tìm một nguyên hàm

f ( x ) = ax +

2|

B. f ( 3 ) = 10 .

F ( x ) của hàm số

b
( x ≠ 0 ) , biết rằng F ( −1) = 1, F (1) = 4, f (1) = 0
x2

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
3x 2 3 7
+
+ .
4
2x 4

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

3x2 3 7
−
− .
4
2x 4

3x2 3 7
3x2 3 1
+
− .
D. F ( x ) =
−

− .
2
4x 4
2
2x 2
Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

C. F ( x ) =
Câu 14.

(I) ∫ tan x dx = − ln ( cos x ) + C .
1
(II) ∫ e 3cos x sin x dx = − e 3cos x + C .
3
cos x + sin x
dx = 2 sin x − cos x + C .
(III) ∫
sin x − cos x

Số mệnh đề đúng là:

A. 0 .
Câu 15.

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
.
cos 2 x 2

A. f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = cos 2 x .

B. f ( x ) = tan 2 x và g ( x ) =

C. f ( x ) = e x và g ( x ) = e − x .

D. f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = sin 2 x .

Câu 16.

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3 ) ?
4

A. F ( x )

( x − 3)
=

C. F ( x )

( x − 3)
=

Câu 17.

5

B. F ( x )

+ x.

5

( x − 3)
=

5

( x − 3)
=

5

.

5

5

+ 2017 .
D. F ( x )
−1
5
5
(THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = ( x − 1)2
A. F( x) = x 3 + 3 x 2 + 3 x + C.
C. F( x) =
Câu 18.

x3
+ x 2 + x + C.
3

x3
− x 2 + x + C.
3

D. F( x) = x 3 + x 2 + x + C.

(Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm nguyên hàm của hàm số y = 2 x ?

A. ∫ 2 x dx =
Câu 19.

B. F( x) =

2x
+ C.
ln 2

B. ∫ 2 x dx = 2 x + C .

C. ∫ 2 x dx = ln 2.2 x + C.

D. ∫ 2 x dx =

2x
+ C.
x+1

(Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm hàm số F ( x ) , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x và F ( 1) = 1.

A. F ( x ) =
Câu 20.

2
1
x x+ .
3
3

B. F ( x ) =

1

1
+ .
2 x 2

(Chuyên Hưng yên lần 3) Nếu

A. f ( x ) = x +

1
.
2x

B. f ( x ) = −

C. F ( x ) = x x .

D. F ( x ) =

3
1
x x− .
2
2

1

∫ f ( x ) dx = x + ln 2 x + C thì hàm số f(x) là:

1 1
+ .
x2 x

C. f ( x ) =

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1
+ ln ( 2 x ) .
x2

D. f ( x ) = −

1
1
+
.
2
2x
x

|3


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 21.

(THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số f ( x) =

4m

π

+ sin 2 x . Giá trị

π  π
của tham số để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) = 1 và F   = là

4 8
4
A. m = − .
3

Câu 22.

3
B. m = .
4

3
C. m = − .
4

(Sở Bình Thuận) Cho hàm số f ( x) = cos x. Tìm nguyên hàm của hàm số y = ( f ′( x) ) .
2

x 1
− sin 2 x + C.
2 4
1
C. ∫ ydx = x + sin 2 x + C.
2

A. ∫ ydx =

Câu 23.

4

D. m = .
3

(KHTN lần 5) Nguyên hàm

x

1

B.

∫ ydx = 2 + 4 sin 2 x + C.

D.

∫ ydx = x − 2 sin 2 x + C.

sin 4 x

∫ sin x + cos x dx

1

bằng

A. −

2
3π 



π
cos  3x +
 − 2 cos  x +  + C .
3
4 
4



B. −

2
3π 


π
sin  3x +
 − 2 sin  x +  + C .
3
4 
4



C. −

2
3π 



π
sin  3x +
 + 2 sin  x +  + C .
3
4 
4



D. −

2
3π 


π
sin  3x +
 + 2 cos  x +  + C .
3
4 
4



Câu 24.

Nguyên hàm

dx

∫ 2 tan x + 1

bằng?

x 2
A. + ln 2 sin + cos x + C.
5 5
x 1
C. − ln 2 sin x + cos x + C.
5 5

Câu 25.

2x 1
− ln 2 sin x + cos x + C .
5 5
x 1
D. + ln 2 sin x + cos x + C .
5 5
1
(Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm ∫
dx .
1 − 2x

1

1

B.

1

A.

∫ 1 − 2xdx = 2 ln 1 − 2 x + C.

C.

∫ 1 − 2 xdx = ln 1 − 2 x + C.

1

Câu 26.

1

1

B.

∫ 1 − 2 xdx = 2 ln 1 − 2 x + C.

D.

∫ 1 − 2xdx = ln 1 − 2x + C.

1

1

(Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017) Tính



∫  x

2

+

3

− 2 x  dx ta
x


được kết quả là

A.

x3
4 3
− 3 ln x +
x + C.
3
3

B.

x3
4 3
+ 3 ln x −
x + C.
3
3

C.

x3
4 3
− 3 ln x −
x + C.
3
3

D.

x3
4 3
+ 3 ln x +
x + C.
3
3

Câu 27.
f ( x) =

(Đề thử nghiệm

1
và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3 ) .
x −1

A. F ( 3 ) = ln 2 − 1 .
4|

BGD và ĐT cho 50 trường) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của

B. F ( 3 ) = ln 2 + 1.

C. F ( 3 ) =

1
.
2

D. F ( 3 ) =

7
.
4

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 28.
f ( x) =

(THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN HẠ LONG) Tìm nguyên hàm của hàm số
3

x
.
x +1
4

3x 4
+ C.
2x4 + 6

A.

∫

C.

∫ f ( x)dx = x

Câu 29.
A.

( 2 − 3x )

ln( x 4 + 1) + C.

2

B. −

+ C.

B.

B.

+C .

2

∫ f ( x)dx = ln( x

D.

∫ f ( x)dx = 4 ln( x

1

C.

1
ln 2 − 3 x + C .
3

4

+ 1) + C.
4

+ 1) + C.
dx

∫ 2 − 3x

bằng:

1
D. − ln 3 x − 2 + C .
3

x3 + x + 1
là:
x

x3 x2
+ + ln x + C .
3
2

C. x3 + x + ln x + C.

D.

x3
+ x + ln x + C.
3

D.

x2
− 3x+6 ln x + 1 .
2

x 2 − 2x + 3
là :
x+1

x2
+ 3x+6 ln x + 1 .
2

Một nguyên hàm của f ( x) =

A. F( x) =
Câu 33.

( 2 − 3x )

Một nguyên hàm của f ( x ) =

x2
+ 3x − 6 ln x + 1 .
2

Câu 32.

3

Nguyên hàm của hàm số y =

x3
+ x + ln x + C.
3

Câu 31.
A.

3

B.

(PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH) Kết quả của
1

Câu 30.
A.

f ( x)dx =

C.

x2
− 3x-6 ln x + 1 .
2

e 3x + 1
là:
ex + 1

1 2x x
1
e − e + x. B. F( x) = e 2 x + e x .
2
2

C. F( x) =

1 2x x
e −e .
2

D. F( x) =

1 2x x
e − e + 1.
2

(Sở GD và ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) =

x3 − 1
,
x2

biết F(1) = 0 .
x2 1 1
x2 1 3
− − .
D. F(x) =
+ − .

2 x 2
2 x 2
1
là:
( Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3) Nguyên hàm của f ( x ) =
2
( 3 x + 1)

A. F( x) =
Câu 34.

x2 1 1
− + .
2 x 2

B. F( x) =

hàm số f ( x ) =

B.

x (x + 2)

( x + 1)

2

−1
+C .
3x + 1

C. F( x) =

−1
+C .
9x + 3
x+3
Câu 35. (Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm ∫ 2
dx .
x + 3x + 2
x+3
x+3
A. ∫ 2
B. ∫ 2
dx = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C .
dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C .
x + 3x + 2
x + 3x + 2
x+3
x+3
C. ∫ 2
D. ∫ 2
dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C .
dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C .
x + 3x + 2
x + 3x + 2
Câu 36. (Chuyên Biên Hòa- Hà Nam lần 2) Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của

A.

−3
+C.
1 + 3x

x2 1 3
+ + .
2 x 2

C.

1
+C .
9x + 3

D.

.

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

|5


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
A.

x2 + x + 1
.
x+1

Câu 37.

B.

x2 + x − 1
.
x +1

C.

x2
.
x+1

D.

(Sở GD và ĐT Bình Thuận – HK2)Cho hàm số f ( x ) =

x2 − x − 1
.
x+1

x+2
. Khẳng định nào sau
x + 4x + 5
2

đây là sai?
2

+ 4 x + 5 + C.

B.

∫ f ( x ) dx = ln  2 x

1

2

+ 4 x + 5 − C.

D.

∫ f ( x ) dx = 2 ln ( x

∫ f ( x ) dx = 2 ln x

C.

∫ f ( x ) dx = 2 ln x

Câu 38.

1

1

A.

(THPT Thanh Oai B- lần 1) Tìm F ( x ) = ∫

1

2


+ 4 x + 5  + C.


)

+ 4 x + 5 + C.

dx
?
x −x−2
2

A. F ( x ) =

1 x−2
ln
+ C.
3 x+1

B. F ( x ) =

C. F ( x ) =

1 x+1
ln
+ C.
3 x−2

D. F ( x ) = ln

Câu 39.

2

(THPT Phả Lại – Hải Dương –lần 2)Kết quả

∫x

2

1
x −1
ln
+ C.
3 x+2
x−2
+ C.
x+1

5x + 7
dx bằng:
+ 3x + 2

A. 2 ln x + 2 + 3 ln x + 1 + C .

B. 3 ln x + 2 + 2 ln x + 1 + C .

C. 2 ln x + 1 − 3 ln x + 2 + C .

D. 3 ln x + 2 − 2 ln x + 1 + C .

Câu 40.

(Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Biết ∫

x+1
dx = a ln x − 1 + b ln x − 2 + C .
( x − 1)( 2 − x )

Tính giá trị biểu thức a − b

A. a − b = 5.

6|

B. a − b = 1.

C. a − b = −5.

D. a − b = 1.

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Vấn đề 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 41.

Khi tìm nguyên hàm

∫x

x 2 + 1dx bằng cách đổi biến u = x 2 + 1 , bạn An đưa ra các

khẳng định sau:
+ Khẳng định 1: du = dx
+ Khẳng định 2:

∫x

x 2 + 1dx = ∫ u 2 du

∫x

x + 1dx =

(x

2

)

+1

3

+C
6
Hỏi có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?
+ Khẳng định 3:

2

A.0.

B. 1.

Câu 42.

Thầy giáo cho bài toán “ Tìm

C. 2.

D. 3

cos x
dx ”. Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến như
2
x

∫ sin

sau:
+ Bước 1: Đặt u = sin x , ta có du = cos xdx
cos x
du
1
+ Bước 2: ∫ 2 dx = ∫ 2 = − + C
sin x
u
u
cos x
1
+ Bước 3: Kết luận ∫ 2 dx = − + C
sin x
x
Hỏi bạn An sai ở bước nào?

A. Bước 1
Câu 43.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x ) dx = ln ( x

A.
C.

B. Bước 2

∫

2

x
x +1
2

B.

∫ f ( x ) dx = 2 ln ( x

x2
+C
2

D.

f ( x ) dx = ln x +

)

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

A.

∫ f ( x ) dx =

C.

1

∫ f ( x ) dx = 3 ( ln x + 3)

Câu 45.

D. Không sai.

+1 + C

f ( x ) dx = ln x +

Câu 44.

C. Bước 3

ln x + 3 + C .
3

+C .

1

∫

2

)

+1 + C

x2

+C
2

ln x + 3
x

B.

∫ f ( x ) dx = ( ln x + 3)

D.

2
∫ f ( x ) dx = 3 ( ln x + 3)

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

3

+C.
3

+C .

sin 2 x
π 
thỏa mãn F   = 0 . Tính
1 + cos x
2

F ( 0) .
A. F ( 0 ) = 2 ln 2 − 2 .

B. F ( 0 ) = 2ln 2

C. F ( 0 ) = ln 2 .

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

D. F ( 0 ) = 2 ln 2 + 2 .

|7


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 46.

1
π
thỏa mãn F ( 0 ) = . Tính
1 + tan x
4

π 
F .
2
π  π
A. F   = .

2 2

Câu 47.

Cho

π
π 
B. F   = −
2
2
dx
= a 2 x − 1 + b ln
2x −1 + 4

∫

A. M = 3
Câu 48.

π  π
C. F   = .
2 4

(

)

2 x − 1 + 4 + C với a, b ∈ℤ . Tính M = a + b .

B. M = −3

Cho

D. M = 2 .

C. M = 0

( sin x + cos x + 1) + C
n
( sin x + cos x + 2 )
m

cos 2 x

∫ ( sin x + cos x + 2)

A. A = 5 .

π
π 
D. F   = − .
4
2

3

dx = −

với m, n ∈ ℕ . Tính A = m + n .

C. A = 3 .

B. A = 2

D. A = 4 .

Để tính ∫ sin x.cos xdx thì nên:

Câu 49.

4

A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t = cos x .
4
u = sin x
.
B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt 
dv = cos xdx

C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t = sin x .
u = cos x
D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt 
.
4
dv = sin xdx
Tính I = ∫ 2 x x 2 + 1dx bằng cách đặt u = x2 + 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 50.

A. I = 2 ∫ udu .

(

Kết quả của I = ∫ x x 2 + 7

Câu 51.
A.

(

1 2
x +7
32

Câu 52.

)

16

+C .

sin x

( 2 + cos x )

C. f ( x ) = −

(

15

2

D. I =

1 2
x +7
32

)

16

.

+C .

(

1 2
x +7
16
cos x

C.

( 2 + sin x )

)

16

D.

(

1 2
x +7
2

B. f ( x ) =

sin x
+C.
2 + sin x

D. f ( x ) =

1
+C .
2 + cos x

(

D. F ( x ) = e x + ln x + C .
2
x2 + 1

+ C . Khi đó:

+C .

)

C. F ( x ) = e x − ln x + C .

∫ f ( x ) dx =

16

e2 x
?
ex +1

B. F ( x ) = e x + 1 − ln e x + 1 + C .

Cho

)

2

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y =

)

.

A. F ( x ) = e x + ln e x + 1 + C .

Câu 54.

1
udu .
2∫

dx là

1
+C.
2 + sin x

(

8|

B.

)

C. I = ∫ udu .

Tìm các hàm số f ( x ) biết rằng f ' ( x ) =

A. f ( x ) =

Câu 53.

B. I = ∫ udu .

∫ f ( 2x ) dx bằng:

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1

A.

x +1
2

1

B.

+C .

4x +1

8

C.

+C .

2

+C .

4x +1
2

D.

2
x2 + 1

+C .

ln x
và F e 2 = 4 . Tính F ( e ) ?
x
1
5
3
1
A. F (e) = .
B. F (e) =
C. F (e) = −
D. + e
2
2
2
2
1
Câu 56. (Quốc Học Huế) Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x

thỏa mãn
e +1
Câu 55.

( )

F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y =

(

)

F ( 0 ) = − ln 2 . Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln e x + 1 = 3

A. S = {±3} .
Câu 57.
A.

B. S = {3} .

Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì

1
F ( ax + b ) + C
a

Câu 58.

B.

D. S = {−3}

C. S = ∅

1
F ( ax + b )
a

(Sở Phú Yên- Lần 2- 16-17): Biết

∫ f ( ax + b )dx

bằng

1
D. − F ( ax + b ) + C .
a

C. F ( ax + b ) + C

∫ f ( u ) du = F (u ) + C. Khẳng định nào sau đây là đúng.
1

∫ f ( 2 x − 3) dx = 2 F ( 2 x − 3) + C.

A.

∫ f ( 2 x − 3) dx = F ( 2 x − 3) + C.

B.

C.

∫ f ( 2 x − 3) dx = 2 F ( x ) − 3 + C.

D. ∫ f ( 2 x − 3) dx = 2 F ( 2 x − 3) − 3 + C.

Câu 59.

Tính tích phân I =

∫ 2x

x 2 − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1 , mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. I = 2∫ udu
Câu 60.

B. I =

∫

Nguyên hàm của hàm số y = −e

A. y = e

cos x

B. y = −e

.

( x − 2)
∫ ( x + 1)12

C. I =

udu

sin x

cos x

∫

D. I =

udu

1
udu
2∫

sin x là:
C. y = e

.

sin x

D. y = −e

.

cos x

.

10

Câu 61.

Nguyên hàm
11

11

1  x−2
A. 
 + C.
11  x + 1 

Câu 62.

dx bằng

1  x−2
B. − 

 + C.
11  x + 1 

11

1  x−2
C.

 + C.
33  x + 1 

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y =

(

)

11

1 x−2
D. 
 + C.
3  x +1 

e2 x
?
ex +1

(

)

A. F ( x ) = e x + ln e x + 1 + C .

B. F ( x ) = e x + 1 − ln e x + 1 + C .

C. F ( x ) = e x − ln x + C .

D. F ( x ) = e x + ln x + C .

( x − 2)
∫ ( x + 1)12

10

Câu 63.

Nguyên hàm
11

A.

1  x−2

 + C.
11  x + 1 

dx bằng
11

B. −

1  x−2

 + C.
11  x + 1 

11

C.

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1  x−2

 + C.
33  x + 1 

11

D.

1 x−2

 + C.
3  x +1 

|9

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 64.
A. I =

Câu 65.

Cho Nguyên hàm I =
∫
− dt

∫ 2t 2 + 1 .

cos 4 x + sin 4 x

B. I =

. Nếu đặt t = cos2 x thì mệnh đề nào sau đây đúng ?

dt

∫ 2t 2 + 1 .

C. I = 1

2

dt

∫ t2 +1 .

D. I =

B. 2e 2x + C .

C.

e 2x
+C.
2

D.

1
B. ∫ f ( x ) dx = − sin 2x + C .
2

C. ∫ f ( x ) dx = 2 sin 2x + C .

D. ∫ f ( x ) dx = −2 sin 2x + C .

A.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (3 − 2x)5

6
1
3 − 2x ) + C
(
12

Câu 68.

1
+C.
e 2x

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2x .

1
A. ∫ f ( x ) dx = sin 2x + C .
2
Câu 67.

2dt

∫ t2 +1 .

Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2x là

A. e 2x + C .
Câu 66.

sin 2 xdx

B. −

6
1
3 − 2x ) + C
(

12

C. −

4
1
3 − 2x ) + C
(
12

D

4
1
3 − 2x ) + C
(
12

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x − 1 .

2
( 2x − 1) 2x − 1 + C
3
1
C. ∫ f ( x )dx = −
2x − 1 + C
3

1
( 2x − 1) 2x − 1 + C

3
1
D. ∫ f ( x )dx =
2x − 1 + C
2
2
3
Câu 69. Biết nguyên hàm F(x) của hàm số ∫ x.e x +1dx và F(0) = e. Tính F(1)
2
1
1
A. F(1) = e 2 + e.
B. F(1) = − e 2 + e.
C. F(1) = e 2 + e.
D. F(1) = e 2 + 3e.
2
2
dx
Câu 70. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) =
và F ( 1) = 0 . Tính F ( e ) .
x 1 − ln x
1
1
A. F ( e ) = 2 .
B. F ( e ) = −2 .
C. F ( e ) = − .
D. F ( e ) = − .
2
2
Câu 71. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10m / s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô

A. ∫ f ( x )dx =

B. ∫ f ( x )dx =

chuyển động chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao
nhiêu mét ?
A. 0, 2m

Câu 72.

B. 2m

C. 10m

D. 20m

Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v ( t ) = 2 t ( 0 ≤ t ≤ 30 )( m / s ) . Giả sử tại

thời điểm t=0 thì s=0. Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là

A. s =
Câu 73.

10 |

4 3
t (m)
3

B. s = 2 t ( m )

C. s =

4 3
t (m)
3

D. 2t ( m )

π

( TIÊN LÃNG LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos  3 x +  .
6


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
π



1

A.

∫ f ( x)dx = 3 sin  3x + 6  + C .

C.

∫ f ( x)dx = − 3 sin  3x + 6  + C .

1

Câu 74.

3

∫ f ( x ) dx = 4 ( x − 2 )

C.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x − 2)

A. −

2

1
6

∫ f ( x).dx = sin  3x + 6  + C .

D.

∫ f ( x)dx = 6 sin  3x + 6  + C .

π



1

( HƯNG YÊN LẦN 1) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x − 2 .

A.

Câu 75.

π



π



B.

3

3

x−2 +C .

B.

∫ f ( x ) dx = − 4 ( x − 2 )

x−2 .

D.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x − 2 )

1

−

2
3

x−2 +C .

3

+C .

( HẢI HẬU LẦN 2)Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng

(5 − 4x )

2 3

+C .

B. −

3
8

(5 − 4x ) + C
2

C.

1
6

(5 − 4 x )

2 3

+C.

D. −

1
12

(5 − 4x )

2 3

+C.

cos x
có một nguyên hàm F ( x ) bằng

sin 5 x
1
1
4
−4
A. −
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4 sin x
4sin x
sin x
sin 4 x
1
Câu 77. ( SỞ BÌNH PHƯỚC).Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
và F ( 2 ) = 1
x −1

Câu 76.

( LỤC NGẠN LẦN 2)Hàm số f ( x) =

thì F ( 3) bằng

A. ln 2 + 1 .
Câu 78.

B. ln

3
.
2

D.

1
.
2

( SỞ NINH BÌNH )Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln 2 x + 1.

1
mãn F (1) = . Giá trị của F 2 ( e ) là
3
8
1
A. .
B. .
9
9
Câu 79.

C. ln 2 .

C.

8
.
3

D.

ln x
thoả
x

1
.
3

( QUỐC HỌC HUẾ LẦN 2)Hàm số f ( x ) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu

F ( 0 ) = 2 thì F ( 3) bằng
146
116
886
105
.
B.
.
C.
.
D.

.
15
15
105
886
Câu 80. ( CHUYÊN HÀ NAM LẦN 3).Biết hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

A.

f ( x) =
A.

ln x
x ln 2 x + 3
3 + 2014 .

có đồ thị đi qua điểm ( e; 2016 ) . Khi đó F (1) là

B.

3 + 2016 .

C. 2 3 + 2014 .

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

D. 2 3 + 2016 .

| 11

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Vấn đề 3. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Cho I = ∫ ( 2 x + 3 ) e x dx . Khẳng định nào sau đây đúng.

Câu 81.

A. I = ( 2 x + 3 ) e x + C .

B. I = ( 2 x + 1) e x + C .

Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số y =

Câu 82.

A. F ( x ) = −

1
1
ln 2 x − 1) B. F ( x ) = ( ln 2 x + 1)
(
x
x

D. I = ( 2 x + 1) e x .

ln 2x
?

x2

C. F ( x ) = −

1
( ln 2x + 1)
x

D. F ( x ) = −

1
( 1 − ln 2 x )
x

Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số y = x sin 2 x ?

Câu 83.

x
1
cos 2 x − sin 2 x
2
4
x
1
C. F ( x ) = − cos 2 x + sin 2 x
2
2

x

1
B. F ( x ) = − cos 2 x − sin 2 x
2
2
x
1
D. F ( x ) = − cos 2 x + sin 2 x
2
4

A. F ( x ) =

Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = x sin 2 x và thỏa F ( 0 ) + F ( π ) =

Câu 84.
A.

C. I = ( 2 x − 1) e x + C .

π
4

B. −

Câu 85.

(Chu

Văn

AN

π
4
–

C.
HN)

Cho

1
4

hàm

D. −
số

y = f ( x)

−π
π
. Tính F  
2
4

1
4

thỏa

mãn

hệ

thức

∫ f ( x ) sin x dx = - f ( x ) cos x + ∫ π cosx dx . Hỏi y = f ( x ) là hàm số nào trong các hàm số sau?
x

A. f ( x ) = −

πx
.
ln π

B. f ( x ) =

πx
ln π

C. f ( x ) = π x .ln π

D. f ( x ) = −π x .ln π

Biết rằng I = ∫ e 2 x cos3 xdx=e 2 x ( a cos 3 x + b sin 2 x ) + c , trong đó a, b , c là các hằng số. Khi

Câu 86.

đó, tổng a + b có giá trị là:

A. −

1
.
13
Cho F ( x ) = ∫

Câu 87.
A.

B. −

x

(1 + x )

Câu 88.

2

+ xe x + 2

xe x

(1 + x )
B.

2

5
.
13

C.

5
13

D.

1
13

D.

2e x
1+ x

dx , biết F ( 0 ) = 2 . Tìm F ( x ) .

xe x
+ ( x + 1) e x + 1
1+ x

C.

ex
+1

1+ x

Một nguyên hàm của hàm số: f ( x) = x sin 1 + x 2 là:

A. F( x) = − 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 .

B. F( x) = − 1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2 .

C. F( x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 + sin 1 + x 2 .

D. F( x) = 1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2 .

Câu 89.

Cho là hai hàm số u , v có đạo hàm liên tục trên K . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x)dx
12 |

B. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x)u '( x)dx

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
C. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x)u( x)dx
Câu 90.

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos x.

∫ f ( x)dx = x sin x − cos x + C
C. ∫ f ( x)dx = − x sin x + cos x + C

B. ∫ f ( x)dx = − x sin x − cos x + C

A.

Câu 91.

D. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ u( x)dx

D. ∫ f ( x)dx = x sin x + cos x + C

Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = xe x là:
x2 x
B. F ( x) = ( x + 1) e x
C. F( x) = xe x − e x + 2
e +1
2
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. F( x) =
Câu 92.

D. F ( x) = x + e x − 1

A. ∫ x 2 ln xdx =

x3
x3

ln x − + C
3
9

B. ∫ x 2 ln xdx =

x3
x3
ln x + + C
3
9

C. ∫ x 2 ln xdx =

x2
+C
3

D. ∫ x 2 ln xdx =

x3
x4
ln x + ln x + C
3
12

Câu 93.

Tìm một nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) = ( 4 x + 1) e x thỏa mãn điều kiện F(1) = e.

A. F( x) = ( 4 x − 3 ) e x
Câu 94.

B. F( x) = ( 4 x + 5 ) e x − 9 e C. F( x) = ( 4 x − 3 ) e x − e

Cho F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos 3 x thỏa mãn điều kiện F(0) = 1.

π
Tính F( ).
3
π
A. F( ) = 1.
3
Câu 95.

π
B. F( ) = −1.
3

(

Cho F( x) =

A. S = 0.
Câu 97.

π 7
C. F( ) = .
3
9

π
7
D. F( ) = − .
3
9

)

Cho F( x) = ax2 + bx + c e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − 3 ) e x .

S = a + b + c.
A. S = 12.
Câu 96.

D. F( x) = ( 4 x + 5 ) e x

B. S = 0.

2

C. S = 10.

D. S = 14.

a
1 + ln x
(ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
Tính S = a + b.
x

x2
B. S = 2.
C. S = −2.
D. S = 1.

Nếu u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

A. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x)v( x) − ∫ u '( x)v( x)dx

B. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x)v( x) − ∫ u( x)v '( x)dx

C. ∫ u( x)v '( x)dx = u( x)v '( x) − ∫ u( x)v( x)dx

D. ∫ u( x)v '( x)dx = u '( x)v( x) − ∫ u '( x)v( x)dx

Câu 98.

Tìm tất cả các hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện f '( x) = xe x
x2 x
e +C
2

A. f ( x) = xe x + C

B. f ( x) =

C. f ( x) = e x ( x − 1) + C

D. f ( x) = e x ( x + 1) + C

Câu 99.

π
Cho hàm số f ( x) biết f '( x ) = x sin x và f (π) = 0 . Tính f ( )
6

π
3 7π
A. f ( ) =
−
3
2
6

Câu 100.

Tính

π
3 7π
B. f ( ) = −
+
3
2
6

π
3 7π
C. f ( ) = −
−

3
2
6

π
3 7π
D. f ( ) =
+
3
2
6

Biết ∫ ln 2 xdx = x( a ln 2 x + b ln x + c ) + d . Tính P = abc

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 13


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
A. P = 2
Câu 101.

B. P = −2

C. P = 4

D. P = −4

Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x.ln(cosx)

A. ∫ sin x.ln(cos x)dx = cos x.ln(cos x) + cos x + C B. ∫ sin x.ln(cos x)dx = cos x.ln(cos x) − cos x + C
C. ∫ sin x.ln(cos x)dx = cos x.ln(cos x) + s inx + C
Câu 102.

Phát biểu nào sau đây đúng?

A. ∫ x(sin

x
x
x2
+ cos )2 dx =
− x cos x − s inx + C
2
2
2

B.

x
x
x2
+ cos )2 dx =
− x cos x + s inx + C
2
2
2

D. ∫ x(sin

∫ x(sin

x
x
x2
+ cos )2 dx =
+ x cos x − s inx + C
2
2
2

x
x
x2
+ cos )2 dx =
+ x cos x + s inx + C
2
2
2
1+ x
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = x ln
1− x

C. ∫ x(sin
Câu 103.

D. ∫ sin x.ln(cos x)dx = − cos x.ln(cos x) − cos x + C

A. ∫ x ln

1+ x
1 − x2 1 + x
dx = x −
+C
ln
1− x
2
1− x

B. ∫ x ln

1+ x
1 − x2 1 + x
dx = x +
+C
ln
1− x
2
1− x

C. ∫ x ln

1+ x
1 − x2 1 + x
dx = − x −
+C
ln
1− x
2

1− x

D. ∫ x ln

1+ x
1 − x2 1 + x
dx = − x +
+C
ln
1− x
2
1− x

Câu 104.

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x.e 3 x

A. ∫ cos 2 x.e 3 x dx =

e3x
(3 cos 2 x + 2 sin 2 x ) + C
13

B. ∫ cos 2 x.e 3 x dx =

C. ∫ cos 2 x.e 3 x dx =

e3x
(3 cos 2 x − 2 sin 2 x) + C
13

D. ∫ cos 2 x.e 3 x dx = −

Câu 105.

Để tính

∫ x ln ( 2 + x ) dx

Câu 106.

Để tính

∫x

2

u = x 2
B. 
.
dv = cos xdx

u = ln ( 2 + x )
D. 
.
dv = dx

u = cos x
C. 
.

2
dv = x dx

u = x 2 cos x
D. 
.
dv = dx

C. I = xe x − e x + C .

D. I =

Kết quả của I = ∫ xe x dx là

A. I = e x + xe x + C .
Câu 108.

u = x ln ( 2 + x )
C. 
.
 dv = dx

cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

u = x
A. 
.
dv = x cos xdx

Câu 107.

e3x
(3 cos 2 x + 2 sin 2 x) + C
13

theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

u = ln ( 2 + x )
B. 
.
dv = xdx

u = x
A. 
.
dv = ln ( 2 + x ) dx

e3x
( −3 cos 2 x + 2 sin 2 x) + C
13

B. I =

x2 x
e +C .
2

Kết quả của F( x) = ∫ x sin xdx là

A. F( x) = sin x − x cos x + C .

B. F( x) = x sin x − cos x + C .

C. F( x) = sin x + x cos x + C .

D. F( x) = x sin x + cos x + C .

Câu 109.

Tính F ( x ) = ∫ (2 x − 1)e1− x dx = e1− x ( Ax + B) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:

A. −3 .
Câu 110.

x2 x x
e +e +C .
2

B. 3 .

C. 0 .

D. 5 .

Một nguyên hàm của f ( x ) = x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt

tiêu khi x = 1 ?

A. F ( x ) =
14 |

1 2
1
x ln x − x 2 − 1 .
2
4

(

)

B. F ( x ) =

1 2
1
x ln x + x + 1 .
2
4

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
C. F ( x ) =

1
1
x ln x + x 2 + 1 .
2
2

(

)

D. F ( x ) =

1
1
x ln x − x 2 + 1 .
2
2

(

)

x

Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe 2 và f ( 0 ) = −1. Tính F ( 4 ) .

Câu 111.

A. F ( 4 ) = 3.

B. F ( 4 ) =

7 2 3
e − .
4

4

C. F ( 4 ) = 4 e 2 + 3.

Tính F( x) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:

Câu 112.

1
x
sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4
1
x
C. F( x) = sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8

1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2
−1
x
D. F( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8

A. F( x) =

Câu 113.

Tính

∫ x ln

2

B. F( x) =

xdx . Chọn kết quả đúng:

1
A. x 2 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
4
1
C. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
4
Câu 114.

D. F ( 4 ) = 4 e 2 − 3.

(

)

(

)

1
B. x 2 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
2
1
D. x 2 2 ln 2 x + 2 ln x + 1 + C .
2

(

)

(

)

Tính F( x) = ∫ x 2 cos xdx

A. F( x) = ( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .

B. F( x) = 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .

C. F( x) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + C .

D. F( x) = (2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .

Câu 115.

Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x là:

A. F ( x ) =

1 2
1
x ln x − x 2 + C.
2
4

1 2
1
x ln x + x 2 + C.
2
4
1
1
D. F ( x ) = x ln x − x 2 + C.
2
4
B. F ( x ) =

C. F ( x ) = x ( ln x − 1) + C.
Câu 116.

Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2 x. Biết rằng F ( 0 ) =

1
, giá trị
4

F ( π ) là:

1
B. F ( π ) = .
4

A. F ( π ) = 1.
Câu 117.

1
1
1
1
2 x − 1) e 2 x . B. F ( x ) = ( 2 x − 1) e 2 x . C. F ( x ) = ( 2 x − 1) e 2 x − 1. D. F ( x ) = ( 2 x + 1) e 2 x .
(
4
2
2
2

Biết

A. f ( 0 ) = 1.
Câu 119.

D. F ( π ) = 0.

1
Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe 2 x thỏa F   = 0. Khi đó F ( x ) là
2

A. F ( x ) =
Câu 118.

1
C. F ( π ) = .
2

∫ f ( x ) dx = ( x + 1) ln ( x + 1) − 1 + C. Giá trị f ( 0 ) là
B. f ( 0 ) = 0.
C. f ( 0 ) = e.

Biết rằng

A. F ( x ) =

∫

1
2

x +3

(

D. f ( 0 ) = ln 2.

)

(

dx = ln x + x 2 + 3 + C. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x2 + 3 là

)

x 2
3
x + 3 + ln x + x 2 + 3 + C.
2
2

(

)

B. F ( x ) = x x 2 + 3 + 3 ln x + x 2 + 3 + C .

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 15


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
C. F ( x ) =
Câu 120.

)

(

x
3
+ x 2 + 3 + ln x + x 2 + 3 + C.
2
2

D. F ( x ) =

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos x ?

( x sin
x − 6 ( x cos
x + 6 ( x sin
x + 6 ( x cos

)
x ) + 1.
x ).
x ).

A. F ( x ) = x x sin x + 3 x cos x − 6

x + cos x + 1.

B. F ( x ) = x x cos x + 3 x sin

x + sin

C. F ( x ) = x x sin x − 3 x cos
D. F ( x ) = x x cos x + 3 x sin

Câu 121.

C. f ( x ) =

x2 e x

( x + 2)

2

Biết rằng

∫ x ( ln x )
2

x
 e
D. f ( x ) = 
0
2

(

B. ∫ udv = uv − ∫ udv

D. P = 1.

C. ∫ udv = uv + ∫ vdu

C.

∫ f ( x)dx = 2 (sin 2 x − cos 2 x − x) + C

1

B. ∫ f ( x)dx = sin 2 x − cos 2 x + x + C

1
D. ∫ f ( x)dx = − ( x 2 + x) cos 2 x + C
2

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x.e x .

A. ∫ f ( x)dx =x 2 .e x + C

B. ∫ f ( x)dx =e x ( x − 1) + C C. e x ( x + 1) + C

Cho F( x) là một hàm số f ( x) = x.ln x , biết F(1) =

D. ∫ f ( x)dx =e x + C

2
. Tìm F( x)
3

A. F( x) = x 2 .ln x +

x3
+1
3

B. F( x) = x 2 .ln x +

x3 2
+
3 3

C. F( x) = x 2 .ln x −

x3 2
+
3 3

D. F( x) = x 2 .ln x −

x3
+1
3

Biết F( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos 2

A. F(π) =
Câu 128.

D. ∫ udv = uv − ∫ vdv

Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1).sin 2 x
1

Câu 127.

.

)

2
4
.
C. P =
.
27
27
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

∫ f ( x)dx = 2 (sin 2 x + cos 2 x − x) + C

Câu 126.

khi x ∈ ℝ \ ℚ

dx =x 3 a ln 2 x + b ln x + c . Giá trị biểu thức P = ab + c là:

A.

Câu 125.

khi x ∈ ℚ

B. P =

A. ∫ udv = uv − ∫ vdu
Câu 124.

x + sin

 x cos x khi x ≥ 0
B. f ( x ) = 
.
 2 x sin x khi x < 0

+ sin 5 x.

A. P = 0.
Câu 123.

x + cos

Hàm số nào dưới đây không tồn tại nguyên hàm?

A. f ( x ) = x ( sin 2 x + 1) .

Câu 122.

)

(

x
3
+ x 2 + 3 − ln x + x 2 + 3 + C.

2
2

1
⋅
2

1
B. F(π) = − ⋅
2

1
C. F(π) = − ⋅
2

Cho hàm số f ( x) = ( ax + b).cosx thỏa mãn

x
1
thỏa F(0) = ⋅ Tính F(π).
2
2
D. F(π) = 1.

∫ f ( x)dx = x.sin x + 2 sin x + cosx + C

Tính

S = a2 + b2 ?

A. S = 3
16 |

B. S = 4

C. S = 5

D. S = 6

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 129.

f ( x) = x.e − x thỏa mãn điều kiện F(0) = −1.

Cho F( x) là một nguyên hàm của hàm số

Tính tổng S các nghiệm của phương trình F( x) + x + 1 = 0.

A. S = −3.
Câu 130.

B. S = 0.
2

Gọi f ( x) = ( ax + bx + c).e

A = a + 2b + 3c.

A. A = 6.

C. S = 2.
−x

D. S = −1.

là một nguyên hàm của hàm số g( x) = x(1 − x).e − x . Tính

B. A = 3.

C. A = 9.

D. A = 4.

∫ x ln ( 2 + x )dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:
u = x ln ( x + 2 )
u = ln ( x + 2 )
u = x ln ( x + 2 )
u = ln ( x + 2 )
A. 
B. 
C. 
D. 
dv = xdx
dv = dx
dv = dx
dv = ln ( x + 2 ) dx
Câu 132. Tính ∫ ( 1 − x ) cos xdx .
A. ( 1 − x ) sin x − cos x + C.

B. ( 1 − x ) sin x + cos x + C.
C. ( 1 + x ) sin x − cos x + C.
D. ( 1 − x ) sin x − sin x + C.
Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe là:
Câu 131.

Để tính

x

A. xe x + e x + C .
Câu 134.

Tính

B. xe x − e x + C .

C.

Cho

∫ x.e

2x

x
1
B. − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
2

x
1
D. − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
4

dx = a.x.e 2 x + b.e 2 x + C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. 2b + a = 0.
Câu 136.

D. e x + C .

∫ x sin ( 2 x + 1) dx .

x
1
A. − cos ( 2 x + 1) − sin ( 2 x + 1) + C.
2
4
x
C. − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
Câu 135.

x2 x
e + C.
2

B. b + 2a = 0.

Tính nguyên hàm I = ∫

ln ( ln x )
x

C. b = a.

D. b > a.

dx được kết quả nào sau đây:

A. I = ln x.ln ( ln x ) + C.

B. I = ln x.ln ( ln x ) + ln x + C.

C. I = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C.

D. I = ln ( ln x ) + ln x + C.

Câu 137.

Tính I = ∫ sin 2 x.e sin x dx :

A. e sin x ( cos 2 x − 1) + C
Câu 138.

Cho

A. – 4.

B. e sin x ( sin 2 x − 1) + C

1 − 2x

1



x

C. e sin x ( sin x + 1) + C

D. e sin x ( sin x − 1) + C

x

∫ 1 + cos x dx = m  2 − x  tan 2 + n.ln cos 2 + C ( m, n∈ ℤ ) . Tính 2m+ 3n?
B. 0.

C. – 8.

D. 16.-----------------------

----------------

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 17

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Vấn đề 4. TÍCH PHÂN
Câu 139.

(Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017 lần 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo
2

hàm trên đoạn [1; 2] , f ( 1) = 1 và f ( 2 ) = 2 . Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx
1

A. I = 1 .
Câu 140.

C. I = 3 .

B. I = −1 .

D. I =

7
.
2

(Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2016 – 2017) Cho hàm f ( x ) là hàm liên tục trên

đoạn [ a; b] với a < b và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) trên [ a; b] . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng ?
b

A. ∫ kf ( x ) dx = k ( F ( b ) − F ( a ) )
a

a

B. ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
b

C. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng x = a; x = b ; đồ thị của hàm số y = f ( x )
và trục hoành được tính theo công thức S = F ( b ) − F ( a )
b

∫ f ( 2 x + 3) dx = F ( 2 x + 3)

D.

b
a

a

Câu 141.

(THPT Chuyên Đại học Vinh lần 1) Giả sử f ( x ) là hàm liên tục trên ℝ và các số

thực a < b < c . Mệnh đề nào sau đây sai ?
c

A.

∫
a

b

c

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
a

B.

b

b

a

c

a

b

a

a

C. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
Câu 142.

∫

c

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.
a

b

b

b

a

a

D. ∫ cf ( x ) dx = −c ∫ f ( x ) dx .

(THPT Ngô Sỹ Liên năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;10  thỏa mãn

10

6

2

10

0

2

0

6

∫ f ( x ) dx = 7, ∫ f ( x ) dx = 3 . Giá trị P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx là.

A. 10

B. −4

Câu 143.
Biết

C. 4

D. 7

(THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An )

1

2

2

2

0

0

0

1

∫ f ( x ) dx = 3; ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 3; ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 7 . Tính I = ∫ f ( x ) dx ?
B. I = 2

A. I = −2

C. I = 0

D. I = 3
3

Câu 144.

(Sở GD và ĐT Bình Phước 2) Nếu f (0) = 1 , f ′( x ) liên tục và

∫ f ′( x) dx = 9

thì giá trị

0

của f (3) là

A. 3

18 |

B. 9

C. 10

D. 6

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2

Câu 145.

(Chuyên Thái Bình lần 3) Cho

∫

4

f ( x)dx = 1 ,

−2

A. I = −5.
Câu 146.

B. I = −3.

∫

−2

4

f (t )dt = −4 . Tính I = ∫ f ( y )dy.
2

C. I = 3.

D. I = 5.

(Chuyên Thái Bình lần 3 năm 2016 – 2017) Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục

trên ℝ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
b

A.

∫

a

b

b

f ( x )dx = ∫ f ( y )dy

B.

a

a

a

C.

∫ f ( x)dx = 0.

D.

a

Câu 147.

b

b

∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx.
a

a

b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x) g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx.

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  a; b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

đúng?
b

A.

∫

a

a

C.

b

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx

B.

b

a

b

b

a

a

∫ f (x) dx = 2∫ f (x) d (2x)

Câu 148.

∫

a

f ( x) dx = −∫ f ( x) dx

D.

b

b

a

a

b

∫ f (x) dx = −2∫ f (x) dx

Cho hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên  a; b . Trong các khẳng định sau, khẳng

định nào đúng?
b

A.

∫
a

b

b

 f ( x) + g ( x) dx = f ( x)dx + g ( x) dx .


∫
∫
a

b

B.

a

b

b

a

a

∫ f ( x ) . g ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x. ∫ g ( x ) d x .
a

b

b

C.

b

b

∫ kf ( x) dx = ∫ f ( kx) dx .
a

D.

a

f ( x)

∫ g ( x ) dx =
a

∫ f ( x) dx
a
b

.

∫ g ( x ) dx
a

Câu 149.

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và a ∈ ℝ . Trong các khẳng định sau, khẳng định

nào đúng?

a

A.

∫ f (x) dx = 1.

a

B.

a

D.

∫ f (x) dx = 2 f (a).

a

1

xdx = −1.

0

Câu 151.

∫ f (x) dx = −1.

a

a

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1

∫

C.

a

Câu 150.
A.

∫ f (x) dx = 0.

a

B.

1
∫ x dx = − ln 2.
−2

1

C.

∫

xdx =

0

x2
.
2

Cho hàm số f ( x) , g ( x) liên tục trên 1; 6 sao cho

1

D.

1

∫ xdx = 2.
0

3

6

1

3

∫ f (x) dx = 3, ∫ f (x) dx = −4 .

Tính

6

I = ∫ f ( x) dx .
1

A. I = 7.
Câu 152.

B. I = −1.

C. I = 1.

D. I = −7.

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và a, b, c ∈ ℝ thỏa mãn a < b < c . Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 19


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
c

A.
C.

∫

b

a

a

c

b

∫

c

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx ∫ f ( x) dx

B.

b
c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx

a

a

D.

b

c

a

a

b

c

b

b

a

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

∫

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

∫

b

a

Cho hàm số f ( x) , g ( x) liên tục trên ℝ sao cho

Câu 153.

4

4

2

2

∫ f (x) dx = −2, ∫ g (x) dx = 2 .

Tính

4

I = ∫  f ( x) − g ( x) dx .


2

A. I = 0.

B. I = −2.

C. I = −4.

Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ sao cho

Câu 154.
A. I = 3.

B. I = −3.

D. I = 4.

3

3

1

1

∫ f (x) dx = 3 . Tính I = ∫ 2 f (x) dx .

C. I = 6.

D. I = −6.

1

Cho f ( x) + 4 xf ( x2 ) = 3 x. Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx.

Câu 155.

0

1
A. I = .
2

1
B. I = − .
2

C. I = 2.
3

Cho hàm số f ( x) liên tục trên [−1; +∞) và ∫ f

Câu 156.

(

D. I = −2.
2

)

x + 1 dx = 8 . Tính I = ∫ xf ( x) dx .

0

A. I = −4 .

B. I = 4 .

C. I =
π
12

2

Câu 157.

Cho

∫

f ( x)dx = 4 . Tính tích phân I = ∫

0

0

1
A. I = .
3

2
B. I = .

3
Cho

∫

f (2 tan 3 x)
dx.
cos2 3 x

f ( x)dx = 7 .Tính tích phân I = ∫ 8 xf ( x2 )dx.

B. I =18.

C. I = 28.
π
8

1

A. I =

∫

f ( x)dx = 2017. Tính tích phân I = ∫

0

0

2017

.
3

Câu 160.
A. I =

Cho

B. I =

2018
.
3
1

∫

f ( x)dx = 10. Tính I = ∫

1

0

20
.
3
Cho

f ( 3x + 1)

3x + 1

8
B. I = .
3

∫
0

20 |

C. I =

2

f ( x)dx = 2. Tính I =

∫
0

D. I = 38.

f (tan 2 x)
dx.
1 + 4 cos 4 x

2018
.
4

D. I =

2017
.
4

D. I =

40
.
3

dx.

C. I =
e2017 −1

2017

Câu 161.

8
D. I = .
3

1

A. I = 8.
Cho

1
D. I = − .
4

2

1

Câu 159.

1
.
4

4
C. I = .
3

2

Câu 158.

1

33
.
4

x
f (ln( x2 + 1))dx.

x +1
2

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
A. I =1.

B. I =2.
1
2

Câu 162.

Cho

∫

C. I =4.

1
2

π
2

1
4

0

D. I = 5.

f ( x)dx = 3 và ∫ f (2 x)dx = 10. Tính I = ∫ cos xf (sin x)dx.

0

A. I = 7.

B . I = 8.

C. I =13.

D. I = 23.
2

π
  −1
3

Câu 163.

(Sở GD Yên Bái năm 2016 – 2017 lần 1) Biết I =

∫

sin x + 1dx =

−1

aπ + b
, ( a , b,c ∈ ℤ ) .
c

Tính P = abc ?

A. P = 81.
Câu 164.

B. P = −81.

C. P = 9.

D. P = −9.

(Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị năm 2016 – 2017 lần 1) Biết

π
4

∫ x cos 2xdx = a + bπ ,
0

trong đó a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b ?

A. S = 0.

B. S = 1.

1
C. S = .
2

3
D. S = .
8
e

Câu 165.

(Sở GD & ĐT Thừa Thiên Huế năm 2016 – 2017) Tính tích phân I = ∫ x 2 ln xdx .
1

1
A. I = ( 2e3 + 1) .
9
Câu 166.

1
1
C. I = ( 2e3 + 1) .
D. I = ( 2e3 − 1) .
2
9
2
ln ( x + 1)
(Chuyên Hùng Vương–Phú Thọ) Cho ∫
dx = a ln 2 + b ln 3 , với a,b là các số
x2

1
2
B. I = e3 + 1 .
9

hữu tỉ. Tính P = a + 4b

A. P = 1 .

B. P = 0.

C. P = 3.

D. P = − 3.
x

Câu 167.

(Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 3) Cho hàm số f ( x ) =

∫ t sin tdt. Tính

−x

A. −π .

B. 0.

C. 2π .

D. π .
2

Câu 168.

(THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần 3 năm 2016 – 2017) Biết

∫
1

(với a là số thực , b ,c là các số nguyên dương và

π 
f ' .
2

ln x
b
dx = + a ln 2
2
c
x

b
là phân số tối giản). Tính giá trị của
c

2a + 3b + c.
A. 4.

B. -6.

C. 6.

D. 5.
1

Câu 169.

(THPT Thanh Chương – Nghệ An lần 1) Biết I = ∫ ln ( 3 x + 1) dx = a ln 2 + b , (với a ,
0

b ∈ ℚ ). Tính S = 3a − b .

A. S = 7 .

B. S = 11 .

C. S = 8 .

D. S = 9
2

Câu 170.

(Sở GD Lâm Đồng năm 2016 – 2017) Cho biết

∫ ln ( 9 − x ) dx = a ln 5 + b ln2 + c , với a, b,
2

1

c là các số nguyên. Tính S = a + b + c

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 21


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
A. S = 34 .

B. S = 13 .

C. S = 26 .

D. S = 18 .
4

Câu 171.

(Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017 lần 2) Cho

∫

f ( x)dx = 16. Tính

0
2

tích phân I = ∫ f (2 x)dx.
0

A. I = 32.

B. I = 8.

C. I =16.

(Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017 lần 3) Cho hàm số f ( x) thỏa

Câu 172.
1

mãn

∫ (x + 1) f ′ (x)dx = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2 . Tính
0

∫

∫ f (x) dx .

B. I = 8 .

C. I = 12 .

f ( x)
x

1

π
2

dx = 4 và

Câu 174.

∫

3

f (sin x).cos x.dx = 2. Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx.
0

0

A. I = 2.

B. I = 6.

các tích phân

∫

1

f (tan x)dx = 4 và

∫
0

0

A. I = 6.
Câu 175.

C. I = 4.

1

x2 f ( x )
dx = 2. Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx.
x2 + 1
0

B. I = 2.

C. I = 3.

f (2) = 16 ,

∫

1

f ( x)dx = 4. Tính tích phân I = ∫ x. f ′(2 x)dx.

0

0

A. I = 13.

B. I = 12.

C. I = 20.
2

∫

2

f ( x)dx = 1. Tính I = ∫ x. f ′( x)dx.

1

A. I = 2.

C. I = 3.

D. I = 8.

(THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên năm 2016 – 2017) Cho f là hàm số liên tục trên
b

∫
a

b

f ( x)dx = 7. Tính I = ∫ f ( a + b − x)dx.
a

A. I =7.

B. I = a + b −7.

C. I = 7 − a − b.

D. I = a + b +7.

(Sở GD & ĐT Hà Nội lần 1 năm 2016 – 2017) Cho f ( x) là hàm số chẵn, có đạo hàm
2

trên đoạn −6; 6 . Biết rằng

A. I = 11.

1

B. I = 1.

đoạn  a; b thỏa mãn

Câu 178.

D. I = 7.

(THPT Nam Yên Thành – Nghệ An lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x) có đạo

hàm trên 1; 2 thỏa f (1) = 0, f (2) = 2 và

Câu 177.

D. I =1.

(THPT Chuyên Lào Cai lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và
2

Câu 176.

D. I =10.

(THPT Chuyên Lào Cai lần 1 năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và
π
4

Câu 179.

D. I = −8 .

(Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ thỏa

Câu 173.
mãn

1

0

A. I = −12 .

9

D. I = 4.

∫

3

f ( x)dx = 8 và

−1

B. I = 5.

∫

6

f (−2x)dx = 3. Tính I = ∫ f ( x)dx.
−1

1

C. I = 2.

D. I =14.

(Đề minh họa Bộ GD lần 3) Gọi S là diện tích hình

phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục hoành và hai
22 |

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
0

2

−1

0

đường thẳng x = −1, x = 2 (như hình vẽ). Đặt a = ∫ f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx. Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A. S = b − a.
Câu 180.

B. S = b + a.

C. S = −b + a.

D. S = −b − a.

(Đề minh họa Bộ GD lần 3) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt

phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x ( 1 ≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và
3x 2 − 2 .

A. V = 32 + 2 15
Câu 181.

B. V =

124π
3

124
3

C. V =

D. V = (32 + 2 15)π

(Chuyên Quang Trung – Bình Phước lần 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi

quay hình ( H ) quanh Ox với ( H ) được giởi hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 x − x 2 và trục hoành.

A.

35π
3

31π
3
(Chuyên Tuyên Quang) Kí hiệu

B.

Câu 182.

C.

(H)

34π
3
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
32π
3

D.

y = ( x − 4 ) e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay

hình ( H ) xung quanh trục Ox .
e 8 − 39
.
4

A. V =

Câu 183.

e 8 − 41
.
4

B. V =

(e

C. V =

8

)

− 39 π
4

.

(e

D. V =

8

)

− 41 π
4

.

(Hoài Ân – Bình Định) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 –

x2 và y = x.

A. 5

B. 7

Câu 184.

C.

9
2

D.

11
2

( Sở Hưng Yên) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 , y = 2 − x

và y = 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1

2

1

0

1

0

A. S = ∫ x 3 dx + ∫ ( x − 2 ) dx. B. S = ∫ x 3 − ( 2 − x ) dx.
Câu 185.

1
2

1

C. S = + ∫ x 3dx .

D. S =

( Chuyên Quốc học Huế)Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm

x∈[ −2;6]

C. max f ( x) = f (6)
x∈[ −2;6]

Câu 186.

B. max f ( x) = f (2)

x∈[ −2;6]

3
2
1
-2 -1 O

D. max f ( x) = f ( −1)

)

+ x − 2 dx .

y

f '( x) liên tục trên R và đồ thị của hàm số f '( x) trên đoạn −
 2; 6 

A. max f ( x) = f ( −2)

3

0

0

như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

2

∫(x

1

2

4

6 x

-1

x∈[ −2;6]

( Đề minh họa Bộ GD lần 1)Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp

phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −5t + 10 (m/s), trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh
đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

A. 0.2m .
Câu 187.

B. 20m .

C. 10m .

D. 2m .

(Đề thi thử tỉnh Hà Tĩnh ) Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường

kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| 23


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
đường kính AB có diện tích là 32π và BAC = 300 . Tính thể tích vật thể
tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung
quanh đường thẳng AB.

620
784
π
π
B.
C. 279π
3
3
Câu 188. (Đề thi thử lần 2 – Quốc học Huế lần 3) Người ta dựng
A.

D.

325
π
3

một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như
hình vẽ bên. Đáy của hình (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m.
Chiều cao SO = 6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh
bên của (H) là các sợi dây C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6

nằm trên các

đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao
tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm của SO
thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích phần không gian nằm
bên trong cái lều (H) đó.

A.

135 3 3
(m ) .
5

B.

96 3 3
(m ) .
5

135 3 3
135 3 3
(m ) .
D.
(m ) .
4

8
Câu 189. (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc năm 2016 – 2017) Một thùng đựng nước có dạng hình trụ
C.

có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng

R 3
(mặt nước thấp
2
hơn trục của hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình
cách từ trục hình trụ tới mặt nước bằng

2 thì chiều cao của mực nước trong thùng là h1 . Tính tỉ số

h1
.
h

2π − 3 3
π− 3
2π − 3
B.
C.
12
6
12
Câu 190. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết
A.

D.

3
4

diện qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy là tam
giác đều. Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua
đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của
khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ). Kí
hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là?

A. V =
Câu 191.

r3
2 3

.

B. V =

r3
3

C. V =

.

πr 3
2 3

.

D. V =

πr 3
3

.

Cho một khối chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h. Tính

thể tích V của khối chỏm cầu (S).

h
2
A. V = πh ( R + ).
3

24 |

h
B. V = πh2 ( R − ) .
3

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng


Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
h
h

C. V = πh2 ( R + ) .
D. V = πh2 ( R − ) .
2
2
Câu 192. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ.
Tính thể tích của hình đó theo R và r.

A. V = 2π2r 2 R.

B. V = 2π2 rR2

C. V = π2 r 2 R

D. V = π2rR2

Câu 193.

Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Tại bốn đỉnh A, B, C, D

người ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng

1cm. Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung
quanh trục XY.

20
π.
3
44
52
C. V = 8π2 + π .

D. V = 6π2 + π .
3
3
Câu 194. Câu lạc bộ bóng đá Á Roma dự định xâu dựng SVĐ mới có tên là
A. V = 6π2 + 16π.

B. V = 10π2 +

Stadio della Roma để làm sân nhà của đội bóng thay thế cho đội bóng
Olimpico. Hệ thống mái của SVĐ dự định được xây dựng có dạng hai hình
elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là 146 mét,
độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là 110
mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí vật liệu là 100 mỗi mét vuông. Tính chi phí cần
thiết để xây dựng hệ thống mái sân.

A. 98100 .

B. 98100 €.

C. 196200 .

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

D. 196200 €.

| 25