1 TÍNH đơn điệu của hàm số

Hàm Số Nâng Cao

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT CHUNG
Cho hàm số y = f ( x, m ) , m là tham số, có taaph xác định D.
 Hàm số f đồng biến trên D ⇔ f ′ ≥ 0, ∀x ∈ D .
 Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ f ′ ≤ 0, ∀x ∈ D .
Từ đó suy ra điều kiện của m.
1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để
hàm số đơn điệu.
Lí thuyết nhắc lại:
Cho bất phương trình:

f ( x, m) ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ f ( x ) ≥ g ( m ) , ∀x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≥ g ( m )
x∈D

Cho bất phương trình:

f ( x, m) ≤ 0, ∀x ∈ D ⇔ f ( x ) ≤ g ( m ) , ∀x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≤ g ( m )
x∈D

Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng
khoảng xác định) của hàm số y = f ( x, m) , ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính y ′ . Để hàm số đồng biến y ′ ≥ 0, ∀x ∈ D , (để hàm số nghịch biến y ′ ≤ 0, ∀x ∈ D ) thì ta
sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên.
- Bước 3: Kết luận giá trị của tham số.
Chú ý:
+ Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành f ( x ) và g ( m) riêng biệt.
+ Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2.
2. Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số:

Lý thuyết nhắc lại:
1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ' = ax2 + bx + c thì:

 a = b = 0

c ≥ 0

• y′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔
 a > 0

 ∆ ≤ 0

0

 a = b = 0

c ≤ 0

• y′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔
 a < 0

 ∆ ≤ 0


Hàm Số Nâng Cao
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g ( x ) = ax2 + bx + c
 Nếu ∆ < 0 thì g ( x ) luôn cùng dấu với a .
 Nếu ∆ = 0 thì g ( x ) luôn cùng dấu với a, trừ x = −

b
2a

 Nếu ∆ > 0 thì g ( x ) có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g ( x ) khác dấu với a,
ngoài khoảng hai nghiệm thì g ( x ) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g ( x ) = ax2 + bx + c với số 0.

∆ > 0

• x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
S < 0


∆ > 0

• 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
S > 0


• x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) ( x1; x2 ) bằng d thì ta
thực hiện các bước sau:
 Tính y ′ .

a ≠ 0
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và ngịch biến: 
∆ > 0
 Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = d 2
2

(1)

( 2)

 Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y =

mx + 1
luôn đồng biến trên
x+m

từng khoảng xác định của nó.

Câu 2:

A. m ≤ 1 hoặc m ≥ −1 .

B. m < −1 hoặc m > 1 .

C. m ≤ 2 hoặc m ≥ −1 .

D. m ≤ 2 hoặc m ≥ 1 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = sin x + cos x + mx đồng biến

trên ℝ.

A. − 2 ≤ m ≤ 2.
Câu 3:

C. − 2 < m < 2.

D. m ≥ 2.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = ( m − 3) x − (2m + 1) cos x luôn
nghịch biến trên ℝ ?

A. −4 ≤ m ≤

1

B. m ≤ − 2.

2
.
3

B. m ≥ 2 .

m > 3
C. 
.
m ≠ 1

D. m ≤ 2 .

Hàm Số Nâng Cao
Câu 4:

Câu 5:

Cho hàm số y =

x
+ sin 2 x, x ∈ [ 0; π ] . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2

 7π
A.  0;
 12

  11π 
;π  .
 và 
  12


 7π 11π 
;
B. 
.
 12 12 

 7π

C.  0;
 12

  7π 11π
;
 và 
  12 12

 7π 11π
;
D. 
 12 12


.


  11π 
;π  .
 và 
  12


Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln (16 x 2 + 1) − ( m + 1) x + m + 2 nghịch
biến trên khoảng ( −∞; ∞ ) .

A. m∈ ( −∞; −3].
Câu 6:

Hàm số y =

B. m ∈ [3; +∞ ) .

D. m∈ [ −3;3] .

x2 − 4 x
đồng biến trên [1; +∞ ) thì giá trị của m là:
x+m

 1 
A. m ∈  − ; 2  \ {−1} . B. m∈ ( −1;2] \ {−1} .
 2 

Câu 7:

C. m∈ ( −∞; −3) .

1

C. m ∈  −1;  .
2


1

D. m ∈  −1;  .
2


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

1
1
y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên [ 2;+∞ )
3
3

A. m ≥
Câu 8:

2
3

B. m ≤ 1

C. m ≥ −1

D. m ≤ −1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

y = − x3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) ?
A. m ≤ 1
Câu 9:

B. m ≤ −1

C. m ≥ −1

D. m ≤ 0

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 6 x2 + mx + 1 đồng biến
trên khoảng ( 0;+∞ ) ?

A. m ≤ 0 .

B. m ≤ 12 .

C. m ≥ 0 .

D. m ≥ 12 .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1) x2 + m − 2 đồng
biến trên khoảng (1;3) ?
A. m∈ [ −5;2 ) .

B. m∈ ( −∞;2] .

C. m∈ ( 2, +∞ ) .

D. m∈ ( −∞; −5) .

Câu 11: Tìm tham số m để hàm số y = x3 + 3mx2 + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ
dài lớn hơn 4 .

A. m <

2

1 − 21
2

B. m <

1 − 21
1 + 21
hoặc m >
2
2


Hàm Số Nâng Cao
C. m >

1 + 21
2

D.

1 − 21
1 + 21
2
2

1
1
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − mx 2 + 2mx − 3m + 4
3
2
nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

B. m = −1 .

A. m = −1; m = 9 .
Câu 13: Tìm

tất

cả

các

giá

trị

C. m = 9 .
thực

của

tham

D. m = 1; m = −9 .
số

sao

m

cho

hàm

số

3

y = f ( x) =

mx
+ 7mx 2 + 14 x − m + 2 giảm trên nửa khoảng [1; +∞ ) ?
3

14 

A.  −∞; −  .
15 


14 

B.  −∞; −  .
15 


14 

C.  −2; −  .
15 



 14

D.  − ; +∞  .
15



Câu 14: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

sao cho hàm số

2

y=

2 x + (1 − m) x + 1 + m
đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) ?
x−m

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = − x4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến


p
p
trên khoảng (1;2 ) là  −∞;  , trong đó phân số
tối giản và q > 0 . Hỏi tổng p + q là?
q
q

A. 5.
Câu 16:

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2 x3 + 3 ( m − 1) x2 + 6 ( m − 2 ) x + 2017
nghịch biến trên khoảng ( a; b ) sao cho b − a > 3 là

A. m > 6 .

B. m = 9 .

m < 0
D. 
.

m > 6

C. m < 0 .

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

m cos x − 4
nghịch biến trên
cos x − m

π π 
khoảng  ; 
3 2

A. 1 ≤ m < 2 .

 −2 < m ≤ 0
B.  1
.
 ≤m<2
2

C. m ≥ 2 .

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y =
 π
khoảng  0; 
 4

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .

3

B. m ≤ 0 .

D. −2 < m ≤ 0 .
tan x − 2
đồng biến trên
tan x − m


Hàm Số Nâng Cao
C. 1 ≤ m < 2 .
Câu 19:

D. m ≥ 2 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

cot x − 1
đồng biến trên khoảng
m cot x − 1

π π 
 ; .
4 2

A. m∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) .

B. m∈ ( −∞;0 ) .

C. m∈ (1; +∞ ) .

D. m∈ ( −∞;1) .

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:
y = x 3 − mx 2 − ( 2m 2 − 7 m + 7 ) x + 2 ( m − 1)( 2m − 3) đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) ?

A. −1 ≤ m ≤

5
2

Câu 21: Cho hàm số f

B. −1 < m ≤

( x)

5
2

C. −1 < m <

5
2

D. −

1
5

2
2

xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong

hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) . Hỏi đồ thị hàm số

y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. ( 2;+∞ )

B. (1;2 )

C. ( 0;1)

D. ( 0;1) và ( 2;+∞ )

4
3
2
Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e ( a ≠ 0) . Biết rằng

hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
y

4

x
-2

Khi đó nhận xét nào sau đây sai?
4

-1

O

1


Hàm Số Nâng Cao
A. Trên ( −2;1) thì hàm số f ( x ) luôn tăng.
B. Hàm f ( x ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 .
C. Hàm f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .
D. Hàm f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )

( )

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) .Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f x 2 đồng
biến trên khoảng:

A. (1;2 ) .

B. ( 2;+∞ ) .

C. ( −2; −1) .

D. ( −1;1) .

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đường cong
trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ( y = f ' ( x ) liên tục
trên R ). Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g ( x ) nghich ̣ biến trên ( −∞; −2 )
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 2;+∞ )
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −1;0 )
D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0;2 )
Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm y = f ' ( x ) như hình
vẽ.

5


Hàm Số Nâng Cao

Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 − x 2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x = 2
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞;2)
C. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 2;+∞ )
D. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −1;0 )
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số y = f ( x 2 − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2;0 )

6

B. ( 2; +∞ )

C. ( 0; 2 )

D. ( −∞; −2 )


Hàm Số Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y =

mx + 1
luôn đồng biến trên
x+m

từng khoảng xác định của nó.

A. m ≤ 1 hoặc m ≥ −1 .

B. m < −1 hoặc m > 1 .

C. m ≤ 2 hoặc m ≥ −1 .

D. m ≤ 2 hoặc m ≥ 1 .

Hướng dẫn giải:
TXĐ: D = ℝ \ {−m} .
Ta có: y′ =

m2 − 1

( x + m)

2

.

 m < −1
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y ' > 0, ∀x ≠ −m ⇔ m2 − 1 > 0 ⇔ 
m > 1
Chọn B.
Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = sin x + cos x + mx đồng biến
trên ℝ.

A. − 2 ≤ m ≤ 2.

B. m ≤ − 2.

C. − 2 < m < 2.

D. m ≥ 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y = sin x + cos x + mx
y ' = cos x − sin x + m

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ. ⇔ m ≥ sin x − cos x, ∀x ∈ ℝ.

⇔ m ≥ max ϕ ( x ) , với ϕ ( x ) = sin x − cos x.
ℝ

π

Ta có: ϕ ( x ) = sin x − cos x = 2 sin  x −  ≤ 2.
4

Do đó: max ϕ ( x ) = 2. Từ đó suy ra m ≥ 2.
ℝ

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = ( m − 3) x − (2m + 1) cos x luôn
nghịch biến trên ℝ ?

A. −4 ≤ m ≤

2
.
3

B. m ≥ 2 .

m > 3
C. 
.
m ≠ 1

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D = ℝ . Ta có: y ' = m − 3 + (2m + 1) sin x
7

D. m ≤ 2 .


Hàm Số Nâng Cao
Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (2m + 1) sin x ≤ 3 − m, ∀x ∈ ℝ
Trường hợp 1: m = −

1
7
ta có 0 ≤ , ∀x ∈ ℝ . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
2
2

Trường hợp 2: m < −

1
3− m
3−m

ta có sin x ≥
, ∀x ∈ ℝ ⇔
≤ −1
2
2m + 1
2m + 1

⇔ 3 − m ≥ −2m − 1 ⇔ m ≥ −4
Trường hợp 3: m > −
sin x ≤

Câu 4:

1
ta có:
2

2

3−m
3− m
2
, ∀x ∈ ℝ ⇔
≥ 1 ⇔ 3 − m ≥ 2 m + 1 ⇔ m ≤ . Vậy m ∈  −4; 
3
2m + 1
2m + 1
3


Cho hàm số y =

x
+ sin 2 x, x ∈ [ 0; π ] . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2

 7π
A.  0;
 12

  11π 
;π  .
 và 
  12


 7π 11π
;
B. 
 12 12


.


 7π
C.  0;
 12

  7π 11π

;
 và 
  12 12

 7π 11π
;
D. 
 12 12

  11π 
;π  .
 và 
  12



.


Hướng dẫn giải:
Chọn A.

π

 x = − 12 + kπ
1
1
TXĐ: D = ℝ . y ' = + sin 2 x . Giải y ' = 0 ⇔ sin 2 x = − ⇔ 
, ( k ∈ℤ)
2

2
 x = 7π + kπ

12
Vì x ∈ [ 0; π ] nên có 2 giá trị x =

7π
11π
và x =
thỏa mãn điều kiện.
12
12

Bảng biến thiên:

||

 7π
Hàm số đồng biến  0;
 12

8

0

  11π 
;π 
 và 
  12


0

||


Hàm Số Nâng Cao
Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln (16 x 2 + 1) − ( m + 1) x + m + 2 nghịch
biến trên khoảng ( −∞; ∞ ) .

A. m∈ ( −∞; −3].

B. m ∈ [3; +∞ ) .

C. m∈ ( −∞; −3) .

D. m∈ [ −3;3] .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y = ln (16 x 2 + 1) − ( m + 1) x + m + 2
y′ =

32 x
− ( m + 1)
16 x 2 + 1

Hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

⇔

32 x
− ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
16 x 2 + 1

Cách 1:

32 x
− ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 32 x − ( m + 1) (16 x 2 + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
2
16 x + 1

⇔ −16 ( m + 1) x2 + 32x − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
m > −1
−16 ( m + 1) < 0
m > −1

⇔
⇔
⇔   m ≤ −5 ⇔ m ≥ 3.
2
2
2
m ≥ 3
∆′ = 16 − 16 ( m + 1) ≤ 0 −16m − 32m + 240 ≤ 0

32 x
− ( m + 1) ≤ 0
∀x ∈ ℝ

16 x 2 + 1
32 x
32 x
⇔
≤ m + 1, ∀x ∈ ℝ ⇔ m + 1 ≥ max g ( x ), với g ( x) =
2
ℝ
16 x + 1
16 x 2 + 1

Cách 2:

Ta có: g ′( x) =

−512 x 2 + 32

(16 x

g ′( x ) = 0 ⇔ x = ±

2

+ 1)

2

1
4

1

 1
lim g ( x) = 0; g   = 4; g  −  = −4
x →±∞
4
 4
Bảng biến thiên:
x

−

−∞

g′ ( x)

−

1
4

0

1
4
+

0

+∞

−

4

g ( x)

0

0

−4

9


Hàm Số Nâng Cao
Dựa vào bảng biến thiên ta có max g ( x ) = 4
ℝ

Do đó: m + 1 ≥ 4 ⇔ m ≥ 3.

Câu 6:

Hàm số y =

x2 − 4 x
đồng biến trên [1; +∞ ) thì giá trị của m là:
x+m

 1 
A. m ∈  − ; 2  \ {−1} . B. m∈ ( −1;2] \ {−1} .

 2 

1

C. m ∈  −1;  .
2


1

D. m ∈  −1;  .
2


Hướng dẫn giải:
Chọn D.

x2 − 4 x
x 2 + 2mx − 4m
y=
có tập xác định là D = ℝ \ {−m} và y ' =
.
2
x+m
( x + m)
−m < 1
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞ ) ⇔  2
 x + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )

x2 + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ 2m ( x − 2) ≥ − x2 , ∀x ∈ [1; +∞ ) (1)

2
Do x = 2 thỏa bất phương trình 2m ( x − 2 ) ≥ − x với mọi m nên ta chỉ cần xét x ≠ 2 .


 2m ≤
Khi đó (1) ⇔ 
 2m ≥


Xét hàm số f ( x ) =

− x2
, ∀x ∈ [1; 2 )
x−2
(2)
− x2
, ∀x ∈ ( 2; +∞ )
x−2

− x2
− x2 + 4 x
trên [1; +∞ ) \ {2} có f ′ ( x ) =
2
x−2
( x − 2)

x = 0
f ′( x) = 0 ⇔ 
x = 4
Bảng biến thiên

m > −1
1

YCBT ⇔ 2m ≤ 1 ⇔ −1 < m ≤ .
2
2m ≥ −8

Cách khác

y=

10

x2 − 4 x
x 2 + 2mx − 4m
có tập xác định là D = ℝ \ {−m} và y ' =
.
2
x+m
( x + m)


Hàm Số Nâng Cao

−m < 1
Hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞ ) ⇔  2
 x + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )

Câu 7:

 −4 ≤ m ≤ 0

m > 0
2


m + 4m ≤ 0
∆ ≤ 0

  m < −4


x 2 + 2mx − 4m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔   ∆ > 0
⇔   m 2 + 4m > 0
⇔  
 m ≥ −1
  x1 < x2 ≤ 1   − m + m 2 + 4m ≤ 1 
 
1
 m ≤
2


1
Kết hợp với đk m > −1 ta được −1 < m ≤ .
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:
1
1

y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên [ 2;+∞ )
3
3

A. m ≥

2
3

B. m ≤ 1

C. m ≥ −1

D. m ≤ −1

Giải:
2
Ta có: y′ = mx − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 )

Hàm số đồng biến trên [ 2;+∞ ) thì
y ' ≥ 0 ⇔ mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) ≥ 0, ∀ ∈ [ 2; +∞ )
⇔ m ( x 2 − 2 x + 3) + 2 x − 6 ≥ 0 ⇔ m ≥

Đặt f ( x ) =

6 − 2x
, ∀ ∈ [ 2; +∞ )
x − 2x + 3
2

6 − 2x
, ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ta tìm GTLN của hàm: f ( x ) , ∀x ∈ [ 2; +∞ )
x − 2x + 3
2

Ta có:

f '( x) =

2 x 2 − 12 x + 6

(x

2

− 2 x + 3)

f '( x) = 0 ⇔

2

, ∀x ∈ [ 2; +∞ )

2 x 2 − 12 x + 6

(x

2

− 2 x + 3)

2

x = 3 + 6
=0⇔ 
 x = 3 − 6 ( loai )

2
2− 6
2
Ta có: f ( 2 ) = , f 3 + 6 =
, lim f ( x ) ≤ m ⇔ ≤ m.
x
→+∞
3
2
3

(

)

Chọn A.
Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

y = − x3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) ?
A. m ≤ 1
11

B. m ≤ −1

C. m ≥ −1

D. m ≤ 0


Hàm Số Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
Ta có: y′ = −3x2 + 6 x + 3m . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) thì:

y ' ≤ 0 ⇔ −3x 2 + 6 x + 3m ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
⇔ x 2 − 2 x ≥ m, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
2
Đặt f ( x ) = x − 2 x, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Ta đi tìm GTNN của hàm f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; +∞ )

Ta có:

f '( x) = 2x − 2
f ' ( x ) = 0 ⇔ 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1.
Ta có: f ( 0 ) = 0; f (1) = −1, lim f ( x) = +∞
x →+∞

Vậy để hàm số nghịch biến trong khoảng ( 0;+∞ ) thì: min f ( x ) ≥ m ⇔ m ≤ −1 .
( 0;+∞ )

Chọn B.
Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 6 x2 + mx + 1 đồng biến
trên khoảng ( 0;+∞ ) ?

A. m ≤ 0 .

B. m ≤ 12 .

C. m ≥ 0 .

D. m ≥ 12 .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1:Tập xác định: D = ℝ . Ta có y′ = 3x2 − 12 x + m
 Trường hợp 1:

3 > 0 (hn)
⇔ m ≥ 12
Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 
36 − 3m ≤ 0
 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ ) ⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa

x1 < x2 ≤ 0 (*)
 Trường hợp 2.1: y′ = 0 có nghiệm x = 0 suy ra m = 0 . Nghiệm còn lại của y ′ = 0 là

x = 4 (không thỏa (*))
 Trường hợp 2.2: y ′ = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa


36 − 3m > 0

 ∆′ > 0


x1 < x2 < 0 ⇔  S < 0 ⇔ 4 < 0(vl ) ⇒ không có m .Vậy m ≥ 12
m
P > 0

 >0
3

12


Hàm Số Nâng Cao
Cách 2:Hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ ) ⇔ m ≥ 12 x − 3x2 = g ( x), ∀x ∈ (0; +∞) .
Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên ( 0;+∞ ) .
x

0

+∞

2
+

g′

0

–

12
g

0

–∞

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1) x2 + m − 2 đồng
biến trên khoảng (1;3) ?
A. m∈ [ −5;2 ) .

B. m∈ ( −∞;2] .

C. m∈ ( 2, +∞ ) .

D. m∈ ( −∞; −5) .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định D = ℝ . Ta có y ' = 4 x3 − 4(m − 1) x .
Hàm số đồng biến trên (1;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ g ( x) = x 2 + 1 ≥ m, ∀x ∈ (1;3) .
Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên (1;3) .

3

x 1
+

g′

0
10

g

2

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ min g ( x ) ⇔ m ≤ 2 .
3
2
Câu 11: Tìm tham số m để hàm số y = x + 3mx + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ

dài lớn hơn 4 .

A. m <

1 − 21
2

B. m <

C. m >

1 + 21
2

D.

1 − 21

1 + 21
hoặc m >
2
2

1 − 21
1 + 21
2
2

Hướng dẫn giải:
Ta có D = ℝ, y ′ = 3 x 2 + 6mx + 3 ( m + 1) = 3 ( x 2 + 2mx + m + 1)
13


Hàm Số Nâng Cao

y′ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + m + 1 = 0 (1) . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn
có độ dài lớn hơn 4 ⇔ y ′ ≤ 0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ (1) có hai nghiệm

x1; x2 ( x1 ≠ x2 ) thoả mãn x1 − x2 > 4
∆′ > 0
∆′ > 0
⇔
⇔
⇔ ∆′ > 4 ⇔ m 2 − m − 1 > 4
′
x
−

x
>
4
2
∆
>
4
 1 2

⇔ m2 − m − 5 > 0 ⇔ m <

1 − 21
1 + 21
.
∨m>
2
2

Vậy hàm số (1) nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4
⇔m<

1 − 21
1 + 21
∨m>
2
2

Chọn B.
1
1

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − mx 2 + 2mx − 3m + 4
3
2
nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

B. m = −1 .

A. m = −1; m = 9 .

C. m = 9 .

D. m = 1; m = −9 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định: D = ℝ . Ta có y′ = x 2 − mx + 2m
Ta không xét trường hợp y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ vì a = 1 > 0
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 ⇔ y ′ = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
2
m > 8 hay m < 0
 m = −1
∆ > 0 ⇔ m − 8m > 0
x1 − x2 = 3 ⇔ 
⇔
⇔

2
2
2
m = 9

 m − 8m = 9
( x1 − x2 ) = 9 ⇔ S − 4 P = 9

Câu 13: Tìm

tất

y = f ( x) =

cả

các

giá

trị

thực

của

tham

số

m

sao

hàm

mx3
+ 7mx 2 + 14 x − m + 2 giảm trên nửa khoảng [1; +∞ ) ?
3

14 

A.  −∞; −  .
15 


14 

B.  −∞; −  .
15 


14 

C.  −2; −  .
15 


 14

D.  − ; +∞  .
15



Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định D = R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

mx2 + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ 1, tương đương với g ( x) =
14

cho

−14
≥ m (1)
x 2 + 14 x

số


Hàm Số Nâng Cao
Dễ dàng có được g ( x ) là hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞ ) , suy ra min g ( x) = g (1) = −
x ≥1

Kết luận: (1) ⇔ min g ( x) ≥ m ⇔ −
x ≥1

14
15

14
≥m
15

Câu 14: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

sao cho hàm số

m

2

y=

2 x + (1 − m) x + 1 + m
đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) ?
x−m

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Tập xác định D = ℝ \ {m} . Ta có y′ =

2 x 2 − 4mx + m2 − 2m − 1
g ( x)
=
2

( x − m)
( x − m) 2

Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) khi và chỉ khi g ( x ) ≥ 0, ∀x > 1 và m ≤ 1 (1)
Vì ∆ g′ = 2(m + 1)2 ≥ 0, ∀m nên (1) ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm thỏa x1 ≤ x2 ≤ 1
 2 g (1) = 2( m 2 − 6m + 1) ≥ 0

Điều kiện tương đương là  S
⇔ m ≤ 3 − 2 2 ≈ 0, 2 .
1
m
=
≤

2

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = − x4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến


p
p
trên khoảng (1;2 ) là  −∞;  , trong đó phân số
tối giản và q > 0 . Hỏi tổng p + q là?
q
q

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x .
Hàm số nghịch biến trên (1; 2) ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ m ≤ x 2 +

3
= g ( x ), ∀x ∈ (1; 2) .
2

Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên (1; 2) . g ′( x ) = 2 x = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên
x 1
g′
g
15

2
+

0
11
2

Hàm Số Nâng Cao
5
2

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ min g ( x) ⇔ m ≤

Câu 16:

5
. Vậy p + q = 5 + 2 = 7 .
2

3
2
Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x + 2017

nghịch biến trên khoảng ( a; b ) sao cho b − a > 3 là

A. m > 6 .

B. m = 9 .

m < 0
D. 
.
m > 6

C. m < 0 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Ta có y′ = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2)
2
Hàm số nghịch biến trên ( a; b ) ⇔ x + ( m − 1) x + ( m − 2 ) ≤ 0 ∀x ∈ ( a; b )

∆ = m 2 − 6m + 9

TH1: ∆ ≤ 0 ⇒ x 2 + ( m − 1) x + ( m − 2 ) ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇒ Vô lí
TH2: ∆ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y ′ có hai nghiệm x1 , x2 ( x2 > x1 )

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên ( x1; x2 ) .
Yêu cầu đề bài:
⇔ x2 − x1 > 3 ⇔ ( x2 − x1 ) > 9 ⇔ S 2 − 4 P > 9
2

m > 6
2
⇔ ( m − 1) − 4 ( m − 2 ) > 9 ⇔ m2 − 6m > 0 ⇔ 
m < 0
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

m cos x − 4
nghịch biến trên
cos x − m

π π 
khoảng  ; 
3 2

A. 1 ≤ m < 2 .

 −2 < m ≤ 0
B.  1
.
 ≤m<2
2

C. m ≥ 2 .

D. −2 < m ≤ 0 .

Hướng dẫn giải:

m 2 − 4 < 0
 −2 < m ≤ 0
m 2 − 4 ) sin x
(
m cos x − 4
π
π




y=
⇒ y' =
; y ' < 0, ∀x ∈  ,  ⇔ 
.
 1  ⇔ 1
2

cos x − m
3
2
≤m<2
m
∉
0;


( cos x − m )



2
 2

16


Hàm Số Nâng Cao
Chọn B.
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y =

tan x − 2
đồng biến trên
tan x − m

 π
khoảng  0; 
 4

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .

B. m ≤ 0 .

C. 1 ≤ m < 2 .

D. m ≥ 2 .

Hướng dẫn giải:
 π
Đặt t = tan x, với x ∈  0;  ⇒ t ∈ ( 0;1)
 4

Hàm số đã cho trở thành tìm tham số m để hàm số y =
Ta có: y′ ( t ) =

t −2
đồng biến trên khoảng (0;1)
t −m

−m + 2

(t − m)

2

Để hàm số đồng biến trong khoảng (0;1) thì:

1 ≤ m < 2

 y ' ( t ) > 0 − m + 2 > 0 m < 2
⇔
⇔
⇔

t ≠ m
m ∉ ( 0;1)
m ∉ ( 0;1)
m ≤ 0
Chọn A.
Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

cot x − 1
đồng biến trên khoảng
m cot x − 1

π π 
 ; .
4 2

A. m∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) .

B. m∈ ( −∞;0 ) .

C. m∈ (1; +∞ ) .

D. m∈ ( −∞;1) .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y′ =

− (1 + cot 2 x ) ( m cot x − 1) + m (1 + cot 2 x ) ( cot x − 1)

( m cot x − 1)

2

π π 
Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  khi và chỉ khi:
4 2

17

(1 + cot x ) (1 − m ) .
=
2

( m cot x − 1)

2


Hàm Số Nâng Cao


π π 
m cot x − 1 ≠ 0, ∀x ∈  4 ; 2 



m ≤ 0 ∨ m ≥ 1

⇔
⇔ m ≤ 0.

2
+
−
1
cot
1
x
m
(
)
−
>
1
0
m
(
)
π
π



 y′ =

> 0, ∀x ∈  ; 
2

4 2
( m cot x − 1)

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:
y = x 3 − mx 2 − ( 2m 2 − 7 m + 7 ) x + 2 ( m − 1)( 2m − 3) đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) ?

A. −1 ≤ m ≤

5
2

B. −1 < m ≤

5
2

C. −1 < m <

5
2

D. −

1
5
2

2

Hướng dẫn giải:
Ta có: y ′ = 3 x 2 − 2mx − ( 2m 2 − 7 m + 7 )
Hàm số đồng biến trong khoảng ( 2;+∞) thì ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R:
∆ ' ≤ 0 ⇔ m 2 + 3 ( 2m 2 − 7 m + 7 ) ≤ 0 ⇔ m 2 − 3m + 3 ≤ 0, (VL )

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn đồng biến trên R,
TH2: Hàm số đồng biến trong khoảng ( 2;+∞ )

∆ ' > 0 ⇔ m2 − 3m + 3 > 0, ( ∀x ∈ ℝ ) .
Giả sử x1 , x2 , ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 , để Hàm số đồng biến trong
khoảng ( 2;+∞ ) thì:
S
 ≤2
x1 < x2 ≤ 2 ⇔  2
( x1 − 2 )( x2 − 2 ) ≥ 0 ⇔ x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 ≥ 0, (1)


Theo định lí vi-et ta có:
2m

 x1 + x2 = 3
(2)

2
 x x = −2 m + 7 m − 7
 1 2
3

Thay (2) vào (1) ta được:

18


Hàm Số Nâng Cao
m ≤ 6

 −2 m 2 + 7 m − 7
 2m 
2
− 2
 + 4 ≥ 0 ⇔ −2m + 3m + 5 ≥ 0

3
 3 

m ≤ 6
5

⇔
5 ⇔ −1 ≤ m ≤
2
−1 ≤ m ≤ 2
Vậy với −1 ≤ m ≤

5
thì hàm số đồng biến trong khoảng ( 2;+∞) .
2

Chọn A.
Câu 21: Cho hàm số f

( x)

xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong

hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
• Từ đồ thị ta thấy:
+ Hàm số f ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) và ( 0;2) .
+ Hàm số f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 2; +∞ ) .

Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) . Hỏi đồ thị hàm số

y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. ( 2;+∞ )

B. (1;2 )

C. ( 0;1)

D. ( 0;1) và ( 2;+∞ )

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Dựa vào đồ thị f ' ( x ) ta có f ' ( x ) > 0 khi x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ hàm số f ( x ) đồng biến trên

( 2;+∞)
Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = ax4 + bx3 + cx 2 + dx + e ( a ≠ 0 ) . Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm là

f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
19


Hàm Số Nâng Cao
y
4

x
-2

-1

O

1

Khi đó nhận xét nào sau đây sai?

A. Trên ( −2;1) thì hàm số f ( x ) luôn tăng.
B. Hàm f ( x ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 .
C. Hàm f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .

D. Hàm f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )
Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta thấy:

 −1 < x < 1

→ f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2;1) , (1;+∞ ) .
● f ' ( x ) > 0 khi 
x > 1
Suy ra A và C đều đúng.
● f ' ( x ) < 0 khi x < −2 
→ f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 ) .
Suy ra D đúng, B sai.

Chọn B.

( )

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) .Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f x 2 đồng
biến trên khoảng:

A. (1;2 ) .

C. ( −2; −1) .

B. ( 2;+∞ ) .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

( ( ) )′ = ( x )′ . f ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x )

Ta có: f x 2
20

2

2

2

D. ( −1;1) .


Hàm Số Nâng Cao

( ( ) )′ > 0 ⇔ 2 xf ′ ( x ) > 0 .

Ta có: f x 2

2

x > 0
 x > 0
TH1: 
⇔
⇔ 0 < x <1∨ x > 2 .
2
2
2

 −1 < x < 1 ∨ x > 4
 f ′ x > 0

( )

 x < 0
x < 0
TH2: 
⇔
⇔ −2 < x < −1 .

2
2
2
 f ′ x < 0  x < −1 ∨ 1 < x < 4

( )

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đường cong
trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ( y = f ' ( x ) liên tục
trên R ). Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g ( x ) nghich ̣ biến trên ( −∞; −2 )
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 2;+∞ )
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −1;0 )
D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0;2 )
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Xét hàm số
g ( x ) = f ( x 2 − 2)

g '( x ) = 2 x. f '(x 2 − 2)
x = 0
x = 0
x
0
=

 2

2
<=>  x − 2 = −1 <=>  x = ±1
g '( x ) = 0 <=> 2 x. f ( x − 2) = 0 <=> 
2
 f '( x − 2) = 0
 x2 − 2 = 2
 x = ±2


Ta lập bảng xét dấu => đáp án D

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm y = f ' ( x ) như hình
vẽ.

21


Hàm Số Nâng Cao

Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 − x 2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x = 2
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞;2)
C. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 2;+∞ )
D. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −1;0 )
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dễ thấy f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 )
2

Do f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 2 nên f ( x ) đạt cực trị tại x = 2
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞;2) do f ' ( x ) < 0 ( ∀x < 2 )
Đặt t = 2 − x 2 ⇒ g ( x ) = f ( t ) =⇒ g ' ( x ) = f ' ( t ) .t ' ( x ) = f ' ( 2 − x 2 ) ( −2 x )
= ( 2 − x 2 + 1) ( 2 − x 2 − 2 ) ( −2 x ) = ( 3 − x 2 ) .3 x 2 ⇒ g ( x ) đồng biến trên ( 0;+∞ )
2

2

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số y = f ( x 2 − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2;0 )
22

B. ( 2; +∞ )

C. ( 0; 2 )

D. ( −∞; −2 )

Hàm Số Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
  x > 0

 x 2 − 2 < −2

x
>
0;
 2

2
f ′ ( x2 − 2) > 0

x
0
2
2
<
−
<





.
Ta có: y′ = 2 xf ′ ( x 2 − 2 ) > 0 ⇔ 

⇔
⇔  x < −4
2

x
2
2
−
>
  x < 0

 x < 0;

− 2 < x < 0
 ′ 2
2

2
0
f
x
−
<
2
2
0
x
−
<
−

<
)


  (

(

)(

Do vậy hàm số y = f ( x 2 − 2 ) đồng biến trên các khoảng ( −∞; −4 ) , − 2;0 ,

(

)(

)

nghịch biến trên các khoảng −4; − 2 , 0; 2 , ( 2; +∞ ) .

Chọn B.

23

)

2; 2 và