4 PT mặt cầu TRONG KHÔNG GIAN

Hình Học Tọa Độ Oxyz

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu
tâm O và bán kính R. Kí hiệu S ( O; R ) .
Trong không gian với hệ trục Oxyz :
- Mặt cầu ( S ) tâm I ( a, b, c ) bán kính R có phương trình là: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

2

2

- Phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 là phương trình mặt cầu
tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S )
 d ( I , ( P ) ) > R khi và chỉ khi ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) .
 d ( I , ( P ) ) = R khi và chỉ khi

( P)

I

tiếp xúc mặt cầu ( S ) .

R

 d ( I , ( P ) ) < R khi và chỉ khi ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo

H

giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng ( P ) có tâm
P

H và có bán kính r = R 2 − d 2 .

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
a) Cho mặt cầu S ( O; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của O lên ∆ và d = OH là khoảng
cách từ O đến ∆

A

H

O

O

O

H
B

H

 Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)
 Nếu d = R thì ∆ cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)
 Nếu d > R thì ∆ không cắt mặt cầu (H.3.3)
119

Hình Học Tọa Độ Oxyz

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1.

Biết trước tâm I ( a; b; c ) và bán kính R : Phương trình

S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2
2

Dạng 2.

2

Tâm I và đi qua điểm A :

•

Bán kính R = IA

•

Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

Dạng 3.

2

2

Mặt cầu đường kính AB
x A + xB

; yI =

y A + yB

; zI =

•

Tâm I là trung điểm AB : x I =

•

Bán kính R = IA =

•

Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .

2

2

2

2

2

Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) tiếp xúc mặt phẳng (α ) :
Aa + Bb + Cc + D

•

Bán kính R = d ( I ; α ) =

•

Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .

A2 + B 2 + C 2
2

Dạng 5.

z A + zB

AB
2
2

Dạng 4.

2

2

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua 4 điểm A, B, C , D )

•

Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 )

•

Thế tọa độ của điểm A, B, C , D vào phương trình (2) ta được 4 phương trình

•

Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

•

Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 6.

Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm I ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 :

•

Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 )

•

Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2) ta được 3 phương trình

•

I ( a; b; c ) ∈ (α ) ⇒ Aa + Bb + Cc + D = 0

•

Giải hệ 4 phương trình tìm a, b, c, d

•

Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 7.

Mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Cách 1:
120

2


Hình Học Tọa Độ Oxyz
•

Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t )

•

Ta có A, B ∈ ( S ) ⇔ IA = IB = R ⇔ IA2 = IB 2 . Giải pt tìm ra t ⇒ tọa độ I , tính được R .

Cách 2:
•

Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P ) của đoạn thẳng AB .

•

Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I
)

•

Bán kính R = IA . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.
(Chú ý: Nếu d ⊂ ( P ) hoặc d / / ( P ) thì không sử dụng được cách 2 này)

Dạng 8.

Mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước:

•

Xác định tâm J và bán kính R ' của mặt cầu ( T )

•

Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Dạng 9.

Mặt cầu ( S ' ) đối xứng Mặt cầu ( S ) qua mặt phẳng ( P )

•

Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp ( P )

•

Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R .

Dạng 10. Mặt cầu ( S ') đối xứng mặt cầu ( S ) qua đường thẳng d
•

Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm ở phần đường thẳng)

•

Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

121


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1)
. Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là
gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là

B. R = 3

A. R = 1
Câu 2:

C. R = 4

D. R = 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 2; −1; 2 ) , C ( −1;1; −3) . Viết phương
trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , đi qua A và cắt mặt phẳng ( ABC ) theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất.
2

1
5

B. x 2 +  y +  + z 2 = .
2
4


2

2

3
5

D. x 2 +  y −  + z 2 =
2
4


1
5

A. x 2 +  y −  + z 2 = .
2
4


2

1
9

C. x 2 +  y −  + z 2 = .
2
4


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) và tiếp
xúc với đường thẳng

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

233
.
9

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

243
.
9

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)2 =

2223
.
9

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

333
9

2

2

Câu 4:

x y+2 z
=
= .
1
−2
2

2

2

2

2

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình

x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 12 = 0 và đường thẳng d : x = 5 + 2t ; y = 4; z = 7 + t. Viết
phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) tại điểm M ( 5; 0;1) biết đường thẳng ∆
1
tạo với đường thẳng d một góc ϕ thỏa mãn cosϕ =
.
7

Câu 5:

 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


A. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
.
z = 1− t
 z = 1 − 11t



 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


B. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
.
z = 1− t
 z = 1 + 11t



 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


C. ∆ :  y = 5t ∨ ∆ :  y = 5t
.
z = 1− t
 z = 1 − 11t




 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


D. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
z = 1− t
 z = 1 − 21t



x −1 y + 2 z
=
= . Tìm tọa độ
1
2
−2
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu ( S ) tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán
kính bằng 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

6 8 2
A. M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  .
5 5 5

122

6 8 2
B. M ( 2;0; 2 ) ∨ M  ; ;  .
5 5 5


Hình Học Tọa Độ Oxyz
7 8 4
C. M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  .
5 5 5

Câu 6:

6 8 2
D. M ( 4;0; −2 ) ∨ M  ; − ; 
5 5 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình:
x − 2 y −1 z −1
x + 2 y − 3 z +1
∆1 :
=
=
; ∆2 :
=
=
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính
1
4
2
1

1
−1
nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 ?

A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 6 .

B. x 2 + ( y − 2 ) − z 2 = 6 .

C. x 2 − ( y − 2 ) + z 2 = 6 .

D. x 2 + ( y + 2 ) + z 2 = 6

2

2

2

Câu 7:

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có
bán kính bằng 3.

A. ( P ) : y − 2 z = 0 .
Câu 8:

B. ( P ) : x − 2 z = 0 .

C. ( P ) : y + 2 z = 0 .

D. ( P ) : x + 2 z = 0

x −1 y −1 z
=
=
và cắt mặt
2
1
−1
phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 6 = 0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A, biết diện tích tam giác IAM
bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.

A. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6 .

B. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 36 .

C. ( S ) : ( x + 1) − y 2 − ( z − 1) = 6 .

D. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6

2

2

2

Câu 9:

2

2

2

2

2

Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm

A (1; −1; 2 ) , B ( 2;1; −1)

C ( −1; 2; −3) biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz.
2

2

12 
4  1327


B. ( S ) :  x +  − y 2 −  z +  =
.
11 

11 
121



2

2

12 
4  1329


D. ( S ) :  x −  − y 2 −  z −  =
11 
121

 11 

12 
4  1326


A. ( S ) :  x +  + y 2 +  z −  =
.
11 
121

 11 
12 

4  1328


C. ( S ) :  x −  + y 2 +  z −  =
.
11 
121

 11 

2

2

2

2

Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A ( −13; −1;0 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1; 2; 2 ) và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua qua A,
song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . ( S ) có tâm I (1; 2;3) và có bán kính R = 9.
A. ( P ) : −2 x + 2 y − z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 100 = 0 .
B. ( P ) : −2 x + 2 y + z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .
C. ( P ) : −2 x + 2 y − z − 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .
123


Hình Học Tọa Độ Oxyz
D. ( P ) : −2 x + 2 y − 2 z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 1000 = 0

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 2 z − 3 = 0, mặt phẳng
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A ( −1;1;0 ) , B ( 2; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (α )
( P ) và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn
song song với AB, vuông góc với mặt phẳng
( C ) có bán kính bằng

3.

A. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .
B. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .
C. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp

(α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0 .

D. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) . Điểm C thuộc trục Ox sao
cho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm O tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC.

A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = −2 .

C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = − 2

x − 2 y −1 z −1

=
=
và mặt cầu
−1
−2
1
2
2
2
( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

M ( −1; −1; −2 ) , cắt đường thẳng d và mặt cầu ( S ) tại hai điểm A, B sao cho AB = 8.
 x = −1 + 6t

A. ∆ :  y = −1 + 2t .
 z = −2 + 9t


 x = −1 − 6t

B. ∆ :  y = −1 − 2t .
 z = −2 + 9t


 x = −1 + 6t

C. ∆ :  y = 1 + 2t .
 z = 2 − 9t



 x = −2 + 6t

D. ∆ :  y = −3 + 2t
 z = −2 + 9t


Câu 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng

( Q ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 tại

124

M (1; −1; −1) và tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 8 = 0

( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
A. 
.
( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9


( c ) : ( x + 3)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = 9
B. 
.
( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9


( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
C. 

.
( c ) : ( x − 1)2 + ( y − 2 )2 + ( z − 3) 2 = 9

( c ) : ( x − 3) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 81
D. 
( c ) : ( x + 1)2 + ( y + 2 )2 + ( z + 3) 2 = 81


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
x = t
x − 2 y + 1 z −1

∆1 :
=
=
, ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0
1
2
−3
 z = 1 + 2t


Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S)
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

2 365π
.
5

A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0
B. x − 5 y − 3z + 10 = 0
C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0
D. x − 5 y − 3z − 4 = 0
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu S
có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác
OIA bằng 6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là:

A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.
2

2

2

2

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9
2

2

2

2

2

2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9
2

2

2

2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9
2

2

2

2

2

2

x −1 y − 6 z
=
= . Phương trình mặt cầu có tâm I và
2
−1
3
cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015
là:

Câu 17: Cho điểm I (1;7;5 ) và đường thẳng d :

A. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2018.

B. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2017.

C. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2016.

D. ( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2019.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 x = −1 + t

Câu 18: Cho điểm I (0;0;3) và đường thẳng d :  y = 2t . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt
z = 2 + t

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

125

3
2
A. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
2

8
2
B. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .

3

2
2
C. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
3

4
2
D. x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
3


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 19: Cho điểm A ( 2;5;1) và mặt phẳng ( P ) : 6 x + 3 y − 2 z + 24 = 0 , H là hình chiếu vuông góc của
A trên mặt phẳng ( P ) . Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt

phẳng ( P ) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z + 1) = 196.

B. ( x + 8 ) + ( y + 8 ) + ( z − 1) = 196.

C. ( x + 16 ) + ( y + 4 ) + ( z − 7 ) = 196.

D. ( x − 16 ) + ( y − 4 ) + ( z + 7 ) = 196.

2

2

2

Câu 20: Cho mặt phẳng

2

2

2

( P ) : x − 2 y − 2 z + 10 = 0

2

2

2

2

2

2

và hai đường thẳng ∆1 :

x − 2 y z −1
,
= =

1
1
−1

x−2 y z +3
. Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ 2 và mặt phẳng ( P ) ,
= =
1
1
4
có phương trình:
∆2 :

2

2

2

2

2

2

11  
7 
5  81

A. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 9 hoặc  x −  +  y −  +  z +  = .

2 
2 
2
4

11  
7 
5  81

B. ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 2) 2 = 9 hoặc  x +  +  y +  +  z −  = .
2 
2 
2
4


C. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 9.
D. ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 3.

x =1

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1 :  y = 1, t ∈ ℝ;
z = t

 x=2
x −1 y z −1

d 2 :  y = u , u ∈ ℝ; ∆ :
= =
. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d1 , d 2

1
1
1
z = 1+ u

và có tâm thuộc đường thẳng ∆ ?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 
1 
1
5

B.  x −  +  y +  +  z −  = .

2 
2 
2
2


A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 1 .
2

2

3 
1 
3
1

C.  x −  +  y −  +  z −  = .
2 
2 
2
2


5 
1 
5
9

D.  x −  +  y −  +  z −  = .
4 

4 
4  16


x = 2−t

Câu 22: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = t . Tìm m để d
z = m + t

2

2

2

cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và tại B
vuông góc với nhau.

126

A. m = −1 hoặc m = −4

B. m = 0 hoặc m = −4

C. m = −1 hoặc m = 0

D. Cả A, B, C đều sai


Hình Học Tọa Độ Oxyz

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng

(d ) :

x y −1 z +1
. Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8.
=
=
2
1
2

A. m = −24

B. m = 8

C. m = 16

D. m = −12

Câu 24: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − 4 = 0
2
2
2
(α) : 2x − 2y − z + 1 = 0, và mặt cầu S có phương trình x + y + z + 4x − 6y + m = 0 .

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8.

A. −9

B. −12

C. 5

D. 2

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), B (3;1; 4), C (3; −2;1) . Tìm tọa độ
điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng
3 11
và S có cao độ âm.
2
A. S ( −4; −6; 4) .

B. S (3; 4; 0) .

C. S (2; 2;1) .

D. S (4; 6; −4) .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;0; 4 ) , điểm M nằm trên mặt phẳng

( Oxy )

và M ≠ O . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của

OM . Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu
đó.

A. R = 2 .

B. R = 1 .

C. R = 4 .

D. R = 2 .

A ( 0;0;1) B ( m;0;0 ) C ( 0; n;0 )
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm
,
,
,
D (1;1;1)
với m > 0; n > 0 và m + n = 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố
định tiếp xúc với mặt phẳng

A. R = 1 .

( ABC ) và đi qua

B. R =

2
.
2

d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?

C. R =

3

.
2

D. R =

3
.
2

Câu 28: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1) , B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có
phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện
ABCD có thể tích lớn nhất.
 7 4 1
A. D  ; − ; − 
 3 3 3

 −1 4 −5 
B. D  ; ; 
 3 3 3 

7 4 1
C. D  ; ; 
 3 3 3

7 4 1
D. D  ; − ; 
 3 3 3

x −1 y z + 3
= =

và mặt cầu
−1 2
−1
2
2
2
( S ) tâm I có phương trình ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 18 . Đường thẳng d cắt ( S )
tại hai điểm A, B . Tính diện tích tam giác IAB .

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

A.

127

8 11
.
3

B.

16 11
.
3

C.

11
.
6

D.

8 11
.
9


Hình Học Tọa Độ Oxyz
1 3 
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;
;0  và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8. Đường
2 2 
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích
lớn nhất S của tam giác OAB.

A. S = 7 .

B. S = 4 .

C. S = 2 7 .

D. S = 2 2 .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;11; −5) và mặt phẳng

( P ) : 2mx + ( m2 + 1) y + ( m2 − 1) z − 10 = 0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố
định tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) và cùng đi qua A . Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó.
A. 2 2 .

B. 5 2 .

C. 7 2 .

D. 12 2 .

Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và SA = SB = SC = 4 3 ( cm )
C. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.Gọi D là điểm đối xứng của B qua
SABD bằng?
A. 5cm

B. 3 2cm

C.

26cm

37cm

D.

x−2 y z
=
= và mặt cầu
2
−1 4
2
2
2

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 2 . Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S )
. Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN .

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

A. 2 2.

B.

4
.
3

C.

6.

D. 4.

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , trong đó
a > 0 , b > 0 , c > 0 và 1 + 2 + 3 = 7. Biết mặt phẳng ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu
a b c
72
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = . Thể tích của khối tứ diện OABC là
7

A.

2
.
9

B.

1
.
6

C.

3
.
8

D.

5
.
6

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm A ( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) và

D (1;1;1) , với m > 0, n > 0 và m + n = 1 . Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố
định tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó.
A. R = 1 .

B. R =

2
.
2

C. R =

3
.
2

D. R =

3
.
2

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0 . Giả sử M ∈ ( P ) và N ∈ ( S ) sao cho
phương với véc tơ u = (1; 0;1) và khoảng cách MN nhỏ nhất. Tính MN .
128

MN cùng


Hình Học Tọa Độ Oxyz
A. MN =

1

.
2

B. MN = 1 .

C. MN = 3 2 .

D. MN = 2 .

x+2 y −2 z +3
và mặt cầu
=
=
2
3
2
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 z + 3 = 0 . Giả sử M ∈ d và N ∈ ( S ) sao cho MN cùng phương với véc

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
tơ u = (1;0;1) và khoảng cách MN nhỏ nhất. Tính MN .

A. MN = 2 .

B. MN =

17 2 − 34
17 2 + 34
17 − 17
.C. MN =
. D. MN =

.
6
6
6

x+2 y −2 z +3
và mặt cầu
=
=
2
3
2
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 z + 3 = 0 . Giả sử M ∈ d và N ∈ ( S ) sao cho MN cùng phương với véc

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

tơ u = (1;0;1) và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN .

A. MN = 4 .

B. MN =

17 2 − 34
17 2 + 34
17 + 17
. C. MN =
.D. MN =
.
6
6

6

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Điểm

M ∈ ( P ) , N ∈ ( S ) sao cho khoảng cách MN

nhỏ nhất. Tính MN .

A. MN = 1 .

B. MN = 3 .

C. MN = 2 .

D. MN = 4 .

 a 2 + b 2 + c 2 − 2a + 4b + 2c − 6 = 0
Câu 40: Các số thực a, b, c, d , e, f thỏa mãn 
. Hỏi giá trị nhỏ nhất
 2d − e + 2 f − 14 = 0
2
2
2
của biểu P = ( a − d ) + ( b − e ) + ( c − f ) là bao nhiêu?

A. 1.

B. 4 − 2 3 .

C. 28 − 16 3 .

D. 7 − 4 3 .

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , với m là tham số thực thay đổi biết mặt cầu ( S ) có

(

phương trình ( x − sin 2 m ) + ( y − cos 2 m ) + z − 2 sin m cos m
2

2

)

2

= 1 luôn tiếp xúc với một

mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

A. R = 1 .

C. R = 3 .

B. R = 2 .

D. R = 5 .

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi α ; β ; γ là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3
tia Ox;Oy;Oz và mặt cầu ( S ) : ( x − cos α ) + ( y − cos β ) + ( z − cos γ ) = 4 . Biết ( S )
2

2

2

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định có bán kính R1; R2 . Tính T = R1 + R2 .

A. T = 8 .

B. T = 4 .

C. T = 11 .

D. T = 9 .

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2; 0 ) , B ( 2; −3; 2 ) . Gọi ( S ) là mặt
cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của ( S ) tại A; By là tiếp tuyến của ( S ) tại B và

129


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Ax ⊥ By. Hai điểm M , N lần lượt di động trên Ax, By sao cho MN là tiếp tuyến của ( S ) .

Tính AM .BN .

A. AN .BM =

19
.
2

B. AN .BM = 48.

C. AN .BM = 19.

D. AN .BM = 24.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;0 ) , B ( 2; −3; 2 ) . Gọi ( S ) là mặt
cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của ( S ) tại A ; By là tiếp tuyến của ( S ) tại B và

Ax ⊥ By . Hai điểm M , N lần lượt di động trên Ax, By sao cho MN là tiếp tuyến của ( S ) .
Hỏi tứ diện AMBN có diện tích toàn phần nhỏ nhất là?
A. 19 3 .

B. 19

(

)

2+ 3 .

C.

(

)

19 2 + 3 .

(

)

D. 19 2 + 6 .

Câu 45: Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 11 . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức
AB 2 + BC 2 + CA2 + DA2 + BD 2 + CD 2 là?
A. 99 .

B. 176 .

C. 132 .

D. 66 .

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b; c ) , C ( 0; 0; c ) với
3 10
ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi
2
tổng OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới
a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và mặt cầu ( S ) có bán kính bằng

đây?
A. 2 x + 2 y − 2 z + 6 + 3 2 = 0

C.

2x + 2 y − 2z + 3 + 2 2 = 0

B. 2 x + 2 y + 2 z + 7 − 2 2 = 0
D.

2x + 2 y + 2z + 3 − 2 2 = 0

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho S ( 0;0;1) , M ( m;0;0 ) , N ( 0; n;0 ) với
m, n > 0 và m + n = 1 . ( SMN ) luôn tiếp xúc với 1 mặt cầu cố định có bán kính là bao nhiêu

biết mặt cầu đó đi qua M (1;1;1) .
A.

2

B. 2

C. 1

D.

3

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với
A ( m;0;0 ) , B ( 0; m − 1; 0 ) , C ( 0;0; m + 4 ) thỏa mãn BC = AD, CA = BD, AB = CD điểm

I ( a; b; c ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD .

7
.
2
C. 7 .

A.

130

14
.
2
D. 14 .

B.


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; −2;1) , B ( 2; 4;6 ) . Điểm M di động
trên AB và N là điểm thuộc tia OM sao cho OM .ON = 4 . Biết rằng N thuộc một đường
tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.
A. R =

42
.
31

31
.
42

B. R =

C. R = 2

42
.
31

D. R = 2

31
.
42

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8 và điểm
1 3 
M  ;
;0  . Xét đường thẳng ∆ thay đổi qua M , cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B .
2 2 
Hỏi diện tích lớn nhất của tam giác OAB là?
A. 4 .

B.

7.

C. 2 7 .

D. 8 .

A ( m;0;0 ) B ( 0; n;0 ) C ( 0;0; −2 )
Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
,
,
và
D ( m; n; −2 )
, với m, n là các số thực thay đổi thỏa mãn 2m + n = 1 . Hỏi bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ nhất là?
A.

105
.
10

B.

17
.
4

C.

21
.
5

D.

17

.
2

Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0;0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0;0; n ) với
m, n là các số thực thỏa mãn m.n = 2 . Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có
bán kính nhỏ nhất là?
A.

2.

B.

5
.
2

C.

3
.
2

D.

2
.
2

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( m;0; 0 ) , B ( 0; n;0 ) , C ( 0;0;1) và

D ( m; n;1) với m, n là các số thực thỏa mãn m.n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
có bán kính nhỏ nhất là?
A.

2.

B.

6
.
2

C.

3
.
2

D.

5
.
2

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0;0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0;0; n ) với
m, n là các só thực thỏa mãn m + 2n = 2 . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính
nhỏ nhất là?
A.

2.

B.

5
.
2

C.

3 5
.
10

D.

3 5
.
2

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; 4 ) và mặt cầu

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)
2

2

2

= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu ( S ) . Hỏi giá trị nhỏ

nhất của biểu thức MA + 3MB là?
131


Hình Học Tọa Độ Oxyz
A. 3 14 .

C. 3 11 .

B. 9 .

D. 6 3 .

Câu 56: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 và tọa độ hai
điểm A (1;1;1) , B ( −3; −3; −3) . Mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với ( P ) tại
điểm C . Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó?
A. R = 4

B. R =

2 33
3

C. R =

2 11
3

D. R = 6

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 . Có tất cả bao
nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng ( P ) và tiếp xúc với ba trục tọa độ
x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz ?
A. 8 mặt cầu

B. 4 mặt cầu

C. 3 mặt cầu

D. 1 mặt cầu

Câu 58: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m 2 + 1) y + ( m 2 − 1) z − 10 = 0 và
điểm A ( 2;11; −5 ) . Biết khi m thay đổi tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

( P)

và đi qua A . Tìm tổng bán kính hai mặt cầu đó.

A. 7 2

B. 15 2

C. 5 2

D. 12 2

Câu 59: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình các mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0
và ( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng

( P)

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và cắt mặt phẳng ( Q ) theo giao
tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ tồn tại duy nhất một
mặt cầu thỏa mãn điều kiện đã cho.
A. r =

10
2

B. r =

3 2
2

C. r = 3

D. r =

14
2

Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 và
điểm A ( 2; 2;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu ( S )
, có hoành độ dương và tam giác OAB đều.
A. x − y − 2 z = 0

B. x − y − z = 0

C. x − y + z = 0

D. x − y + 2 z = 0

Câu 61: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1, 0,1) , B ( −3, 4, −1) , C ( 2, 2,3) .
Đường thẳng d đi qua A , cắt các mặt cầu đường kính AB và AC lần lượt tại các điểm M , N
không trùng với A sao cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn nhất có vector chỉ phương là?

132

A. u = (1, 0, 2 )

B. u = (1, 0,1)

C. u = (1, 0, −1)

D. u = ( 2, 0, −1)


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 2n (1 − m 2 ) x + 4mny + (1 + m 2 )(1 − n 2 ) z + 4 ( m 2 n2 + m 2 + n2 + 1) = 0 với m, n là các số
thực tùy ý. Biết rằng mặt phẳng ( P ) luôn tiếp xúc với một mặt phẳng cố định. Tìm bán kính
của mặt cầu đó.

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D.

2.

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0; ( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0. Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox ,
( S ) cắt ( P ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2; ( S ) cắt ( Q )
đồng thời
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một
( S ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
mặt cầu
A. r =

10
.
2

B. r =

3 2
.
2

C. r = 3.

D. r =

5
.
2

Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A, B, C lần lượt là giao điểm
x
y
z
của mặt phẳng ( P ) : +
+
= 1 với các trục tọa độ Ox, Oy , Oz; trong đó
m m −1 m + 4
m ∉ {0;1; −4} là tham số thực thay đổi. Điểm O , D nằm khác phía với mặt phẳng ( P ) và
BC = AD, CA = BD, AB = CD. Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhất
là?

A.

7
.
2

B.

14
.
2

C.

D. 14.

7.

Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0 . Giả sử M ∈ ( P ) và N ∈ ( S ) sao cho
phương với véc tơ u = (1; 0;1) và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN .
A. MN = 3 .

B. MN = 1 + 2 2 .

C. MN = 3 2 .

MN cùng

D. MN = 14 .

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với
3 10
ngoại tiếp tứ diện OABC . Khi
2
tổng OA + OB + OC nhỏ nhất thì mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng nào dưới đây?
a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và mặt cầu ( S ) có bán kính bằng

A. 2 x + 2 y − 2 z + 6 + 3 2 = 0 .

B.

2x + 2 y − 2z + 3 + 2 2 = 0 .

C. 2 x + 2 y − 2 z + 7 − 2 2 = 0 .

D.

2x + 2 y + 2z + 3 − 2 2 = 0 .

Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4 và
2

2

2

mặt phẳng ( P ) : 2 + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Gọi ( Q ) là mặt phẳng thay đổi qua A ( −2;1;1) và tiếp
xúc với mặt cầu ( S ) . Hỏi góc nhỏ nhất giữa hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) là?

133


Hình Học Tọa Độ Oxyz
A. arccos

2 10 − 2
.
9

B. arccos

10 − 1
.
9

C. arccos

2 10 + 2
.
9

D. arccos

10 + 1
.
9

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; 4 ) và mặt cầu

( S ) :( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)
2

2

2

= 9 . Điểm M di động trên mặt cầu ( S ) . Hỏi giá trị nhỏ

nhất của biểu thức MA + 3MB là?

A. 3 14 .

134

B. 9 .

C. 3 11 .

D. 6 3 .


Hình Học Tọa Độ Oxyz

D - HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1)
. Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là
gốc tọa độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là

B. R = 3

A. R = 1

C. R = 4

D. R = 5

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
Vì 4 điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:
 A ∈ ( S )  4b + d + 4 = 0


 B ∈ ( S ) ⇒  −2a + 2b + 8c + d + 18 = 0

C ∈ ( S ) 6a − 4b + 2c + d + 14 = 0


OI = 5 ⇔ OI 2 = 5 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 5
Suy ra a = −1; b = 0; c = −2; d = −4 ⇒ R = 3

Chọn B.
Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 2; −1; 2 ) , C ( −1;1; −3) . Viết phương
trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , đi qua A và cắt mặt phẳng ( ABC ) theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất.
2

1
5

B. x 2 +  y +  + z 2 = .
2
4


2

2

3
5

D. x 2 +  y −  + z 2 =

2
4


1
5

A. x 2 +  y −  + z 2 = .
2
4


2

1
9

C. x 2 +  y −  + z 2 = .
2
4


Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình: x − y − z − 1 = 0
Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm I ∈ Oy và cắt ( ABC ) theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất.
Vì I ∈ Oy nên I ( 0; t ;0 ) , gọi H là hình chiếu của I lên ( ABC ) khi đó là có bán kính
đường tròn giao của ( ABC ) và ( S ) là r = AH = IA2 − IH 2 .
Ta có IA2 = t 2 + 1, IH = d ( I , ( ABC ) ) =

t +1

3

⇒ r = t2 +1−

t 2 + 2t + 1
=
3

1
5
 1 
Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t = . Khi đó I  0; ;0  , IA2 =
2
4
 2 

135

2t 2 − 2t + 2
.
3


Hình Học Tọa Độ Oxyz
2

1
5

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 2 +  y −  + z 2 =

2
4


Chọn A.
Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) và tiếp
xúc với đường thẳng

x y+2 z
=
= .
1
−2
2

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

233
.
9

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

243
.
9

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)2 =

2223
.
9

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 =

333
9

2

2

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua M ( 0; −2;0 ) có vec tơ chỉ phương u = (1; −2; 2 ) . Tính được

MI = (1; 4;3 ) .

+ Khẳng định và tính được d ( I , d ) =

 MI , u 
233


=
3
u

+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng d ( I , d ) và viết phương trình:

( x − 1) + ( y − 2 )
2

2

+ ( z − 3) 2 =

233
9

Chọn A.
Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình

x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 6 z − 12 = 0 và đường thẳng d : x = 5 + 2t ; y = 4; z = 7 + t. Viết
phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) tại điểm M ( 5; 0;1) biết đường thẳng ∆
1

.
tạo với đường thẳng d một góc ϕ thỏa mãn cosϕ =
7
 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


A. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
.
z = 1− t
 z = 1 − 11t



 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


B. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
.
z = 1− t
 z = 1 + 11t



 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


C. ∆ :  y = 5t ∨ ∆ :  y = 5t

.
z = 1− t
 z = 1 − 11t



 x = 5 + 3t
 x = 5 + 13t


D. ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t
z = 1− t
 z = 1 − 21t



Hướng dẫn giải:

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 3)
2

2

2

= 26 ⇒ ( S ) có tâm I ( 2; −1; −3) và bán kính R = 26.

IM = ( 3;1; 4 ) , u1 = ( 2; 0;1) là 1 VTVP của ( d )

136

Hình Học Tọa Độ Oxyz
Giả sử u2 = ( a; b; c ) là 1 VTCP của đường thẳng ∆ ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 )
Do tiếp xúc mặt cầu ( S ) tại M ⇒ IM ⊥ u2 ⇔ 3a + b + 4c = 0 ⇔ b = −3a − 4c (1)
Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng ϕ .

(

)

⇒ cos u1 , u2 = cosϕ ⇔

u1.u2
u1 . u2

=

1
⇔
7

2a + c
2

2

2

a +b +c . 5

=

1
7

( 2)

Thay (1) vào ( 2 ) ta được:
7 2a + c = 5. a 2 + ( 3a + 4c ) + c 2 ⇔ 7 ( 4a 2 + 4ac + c 2 ) = 5 ( a 2 + 9a 2 + 24ac + 16c 2 + c 2 )
2

 a = −3c
⇔ 22a + 92ac + 78c = 0 ⇔ 
 a = − 13 c
11

2

2

Với a = −3c do a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 nên chọn c = −1 ⇒ a = 3; b = −5

 x = 5 + 3t

⇒ phương trình đường thẳng là: ∆ :  y = −5t
z = 1− t

Với a = −

13
c do a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 nên chọn c = −11 ⇒ a = 13; b = 5
11

 x = 5 + 13t

⇒ phương trình đường thẳng là: ∆ :  y = 5t
 z = 1 − 11t

Chọn A.
Câu 5:

x −1 y + 2 z
=
= . Tìm tọa độ
1
2
−2
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu ( S ) tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán
kính bằng 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

6 8 2
A. M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  .
5 5 5

6 8 2
B. M ( 2;0; 2 ) ∨ M  ; ;  .
5 5 5

7 8 4
C. M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  .
5 5 5

6 8 2
D. M ( 4;0; −2 ) ∨ M  ; − ; 
5 5 5

Hướng dẫn giải:
Vì M ∈ d ⇒ M (1 + t ; −2 + 2t; −2t ) . Trục Oz đi qua điểm O ( 0;0;0 ) và có vtcp k = ( 0;0;1) ;

OM = (1 + t ; −2 + 2t ; −2t ) ⇒ OM ; k  = ( −2 + 2t ; −1 − t ; 0 )
⇒ OM ; k  = 5t 2 − 6t + 5
137


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi R là bán kính mặt cầu ( S ) , ta có: R = d ( M ; Oz ) = 5t 2 − 6t + 5

 M ( 2; −2; 0 )
t = 1


⇒
R = 2 ⇒ 5t − 6t + 5 = 2 ⇒ 5t − 6t + 5 = 0 ⇔
t = 1  M  6 ; − 8 ; 2 
 5   5 5 5 
2

2

Chọn A.
Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình:
x − 2 y −1 z −1
x + 2 y − 3 z +1
∆1 :
=
=
; ∆2 :
=
=
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính
1
4
2
1
1
−1
nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 ?

A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 6 .

B. x 2 + ( y − 2 ) − z 2 = 6 .

C. x 2 − ( y − 2 ) + z 2 = 6 .

D. x 2 + ( y + 2 ) + z 2 = 6

2

2

2

2

Hướng dẫn giải:
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 là mặt cầu nhận đoạn
vuông góc chung của ∆1 , ∆ 2 làm đường kính. Giả sử mặt cầu cần lập là ( S ) và A, B lần
lượt là tiếp điểm của ( S ) với ∆1 , ∆ 2 . Viết phương trình ∆1 , ∆ 2 dưới dang tham số thì ta có:

A ( 2 + m;1 + 4m;1 + 2m ) , B ( −2 + n;3 + n; −1 − n )
Do AB là đoạn vuông góc chung của ∆1 , ∆ 2 nên:

3n − 21m = 0
 AB.U ∆1 = 0
⇔
⇔ m = n = 0 ⇒ A ( 2;1;1) , B ( −2;3; −1)

3n − m = 0
 AB.U ∆2 = 0
Trung điểm I của AB có tọa độ là I ( 0; 2;0 ) nên phương trình mặt cầu cần lập là:
x2 + ( y − 2) + z 2 = 6
2

Chọn A.
Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có
bán kính bằng 3.

A. ( P ) : y − 2 z = 0 .

B. ( P ) : x − 2 z = 0 .

C. ( P ) : y + 2 z = 0 .

D. ( P ) : x + 2 z = 0

Hướng dẫn giải:

( S ) có tâm I (1; −2; −1)
( P)

và bán kính R = 3.

chứa trục Ox và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên ( P )

chứa Ox và đi qua tâm I của mặt cầu.
Ta có: OI (1; −2; −1) , ( P ) có vec tơ pháp tuyến n = i, OI  = ( 0; −1; −2 ) và ( P ) qua O.
138


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Vậy ( P ) : y − 2 z = 0.

Chọn A.

Câu 8:

x −1 y −1 z
=
=
và cắt mặt
2
1
−1
phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 6 = 0 tại điểm M . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A, biết diện tích tam giác IAM
bằng 3 3 và tâm I có hoành độ âm.

A. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6 .

B. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 36 .

C. ( S ) : ( x + 1) − y 2 − ( z − 1) = 6 .

D. ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6

2

2

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn giải:
Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là u ( 2;1; −1) . Một vec tơ pháp tuyến của đường
thẳng và mặt phẳng ( P ) là n = (1; 2;1) . Gọi δ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

( P).

( )

Ta có sin δ = cos u , n =

2 + 2 −1
6. 6

=

1
⇒ δ = IMA = 300
2

Gọi R bán kính mặt cầu ( S ) ⇒ IA = R. Tam giác IAM vuông tại A có
∧

IMA = 300 ⇒ AM = R 3.S IMA = 3 3 ⇔
Giả sử: I (1 + 2t ;1 + t; −t ) , t <

1
IA. AM = 3 3 ⇒ R = 6
2

1
2

Từ giả thuyết ta có khoảng cách: d ( I , ( P ) ) = R ⇔

3t − 3
6

⇔ t = −1 ∪ t = 3 (loại)

⇒ I ( −1;0;1)
Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6.
2

2

Chọn A.
Câu 9:

Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
A (1; −1; 2 ) , B ( 2;1; −1)

C ( −1; 2; −3) biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz.
2

2

12 
4  1327


B. ( S ) :  x +  − y 2 −  z +  =
.
11 
121

 11 

2

2

12 
4  1329


D. ( S ) :  x −  − y 2 −  z −  =
11 
121

 11 

12 
4  1326


A. ( S ) :  x +  + y 2 +  z −  =
.
11 
121

 11 
12 
4  1328


.
C. ( S ) :  x −  + y 2 +  z −  =
11 
121

 11 

Hướng dẫn giải:
139

2

2

2

2


Hình Học Tọa Độ Oxyz

( x − 1)2 + 1 + ( z − 2 ) 2 = ( x − 2 ) 2 + 1 + ( z + 1)2
I ∈ ( Oxz ) nên I ( x;0; z ) , IA = IB = IC nên: 
2
2
2
2
( x − 1) + 1 + ( z − 2 ) = ( x + 1) + 4 + ( z + 3)
Giải hệ ta được x = −
Bán kính R =

12
4
4
 12
; z = − ⇒ I  − ;0; − 
11
11
11 
 11

1326
121
2

2

12 
4  1326


Phương trình mặt cầu ( S ) :  x +  + y 2 +  z −  =
11 
121

 11 

Chọn A.
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A ( −13; −1;0 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1;2;2 ) và mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua qua A,
song song với BC và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . ( S ) có tâm I (1; 2;3) và có bán kính R = 9.
A. ( P ) : −2 x + 2 y − z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 100 = 0 .
B. ( P ) : −2 x + 2 y + z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .
C. ( P ) : −2 x + 2 y − z − 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z + 100 = 0 .
D. ( P ) : −2 x + 2 y − 2 z + 28 = 0 hoặc ( P ) : 8 x + 4 y + z − 1000 = 0
Hướng dẫn giải:
Giả sử ( P ) có vtpt n = ( A; B; C ) , ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ) , ( P ) / / BC nên:

n ⊥ BC , BC = ( −1;1; 4 ) ⇒ n.BC = 0 ⇔ A = B + 4C ⇒ n = ( B + 4C; B; C )

( P)

đi qua A (13; −1;0 ) ⇒ phương trình: ( P ) : ( B + 4C ) x + By + Cz − 12 B − 52C = 0

( P)

tiếp xúc với ( S ) ⇔ d  I , ( P )  = R ⇔

B + 4C + 2 B + 3C − 12 B − 52C

( B + 4C ) + B 2 + C 2
2

=9

 B + 2C = 0
⇔ B 2 − 2 BC − 8C 2 = 0 ⇔ ( B + 2C )( B − 4C ) = 0 ⇔ 
 B − 4C = 0
B = 2
Với B + 2C = 0 chọn 
, ta được phương trình: ( P ) : −2 x + 2 y − z + 28 = 0
C = −1
B = 4
, ta được phương trình: ( P ) : 8 x + 4 y + z − 100 = 0
Với B − 4C = 0 chọn 
C = 1

Chọn A.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y + 2 z − 3 = 0, mặt phẳng
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A ( −1;1;0 ) , B ( 2; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (α )
140

Hình Học Tọa Độ Oxyz
song song với AB, vuông góc với mặt phẳng

( C ) có bán kính bằng

( P)

và cắt mặt cầu

(S )

theo một đường tròn

3.

A. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .
B. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .
C. (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp

(α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0 .

D. (α ) : x − 5 y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − 5 y − 2 z − 11 = 0
Hướng dẫn giải:
Pt ( S ) viết dưới dạng ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 9
2

2

2

Suy ra ( S ) có tâm I ( 2; −1; −1) , bán kính R = 3.
Ta có AB = ( 3;1;1) một VTPT của mặt phẳng ( P ) là n = (1; −1;1)
Do đó  AB.n  = ( 2; −2; 4 ) ≠ 0
Gọi vec tơ là một VTPT của mặt phẳng (α ) . Ta có:
u ⊥ AB
(α ) / / AB
⇒
⇒ u cùng phương với  AB.n  .

⊥
P
α
(
)
(
)
⊥
u
n



Chọn u =

1
 AB.n  ⇒ u = (1; −1; −2 )

2

Mặt phẳng (α ) có một VTPT u nên phương trình có dạng x − y − 2 z + D = 0

Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (α ) cắt ( S ) theo một đường tròn ( C ) có bán
kính r = 3. Nên d = R 2 − r 2 = 9 − 3 = 6
Ta có: d = 6 ⇔

2 − ( −1) − 2 ( −1) + D
6

D = 1
= 6 ⇔ 5+ D = 6 ⇔ 
 D = −11

Với D = 1 thì (α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 không qua A ( −1;1;0 ) (vì −1 − 1 − 2.0 + 1 ≠ 0 )
Nên (α ) / / AB. Tương tự, mặt phẳng cũng song song với AB.
Vậy có hai mặt phẳng (α ) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình:

(α ) : x − y − 2 z + 1 = 0 và mp (α ) : x − y − 2 z − 11 = 0 .
Chọn A.
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) . Điểm C thuộc trục Ox sao
cho tam giác ABC là tam giác đều, viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm O tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC.
141


Hình Học Tọa Độ Oxyz
A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = −2 .

C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = − 2

Hướng dẫn giải:
Vì C ∈ Oz ⇒ C ( 0;0; c ) và tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
AB = AC = BC ⇒ AB 2 = AC 2 = BC 2 ⇔ 2 2 + 2 2 = 2 2 + c ⇒ c = ±2

Vậy C ( 0;0; 2 ) hoặc C ( 0;0; −2 )
Lập luận được tứ diện OABC đều vì OA = OB = OC = 2 và tam giác ABC đều.
Gọi I là trung điểm của AB thì IO ⊥ AB tại
1
1 2
I ⇒ OI = AB = OA2 + OB 2 =
2 + 22 = 2
2
2
(Tam giác OAB vuông tại O )
Lập luận được mặt cầu ( S ) có tâm O tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC có bán kính

R = d ( O, AB ) = IO = 2.
Do đó phương trình có mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 2.

Chọn A.

x − 2 y −1 z −1
=
=
và mặt cầu
−1
−2
1

2
2
2
( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

M ( −1; −1; −2 ) , cắt đường thẳng d và mặt cầu ( S ) tại hai điểm A, B sao cho AB = 8.
 x = −1 + 6t

A. ∆ :  y = −1 + 2t .
 z = −2 + 9t


 x = −1 − 6t

B. ∆ :  y = −1 − 2t .
 z = −2 + 9t


 x = −1 + 6t

C. ∆ :  y = 1 + 2t .
 z = 2 − 9t


 x = −2 + 6t

D. ∆ :  y = −3 + 2t
 z = −2 + 9t



Hướng dẫn giải:
Gọi: M 1 = d ∩ ∆ ⇒ M 1 ( 2 − t ;1 − 2t ;1 + t ) ⇒ MM 1 = ( 3 − t ; 2 − 2t ;3 + t )
Mặt cầu có tâm I ( −1; 2;1)
 qua I ( −1; 2;1)
 qua I ( −1; 2;1)
Mặt phẳng ( P ) : 
⇒ (P) : 
( P ) ⊥ ∆
VTPT nP = MM 1

⇒ ( P ) : ( 3 − t )( x + 1) + ( 2 − 2t )( y − 2 ) + ( 3 + t )( z − 1) = 0
Gọi H là trung điểm AB thì IH ⊥ AB, IH = 3
142


Hình Học Tọa Độ Oxyz
 t = −1
Do IM = 3 2 ⇒ MH = 3 = d ( M , ( P ) ) =
⇔ 3
2
t =
6t − 8t + 22
 5
3t − 15

 x = −1 + 2t
 x = −1 + 6t
3



Với t = −1 ⇒ ∆ :  y = −1 + 2t . Với t = ⇒ ∆ :  y = −1 + 2t .
5
 z = −2 + t
 z = −2 + 9t


Chọn A.
Câu 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng

( Q ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 tại

M (1; −1; −1) và tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 8 = 0

( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
A. 
.
( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9


( c ) : ( x + 3)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = 9
B. 
.
( c ) : ( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3)2 = 9


( c ) : ( x − 3)2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
C. 
.

( c ) : ( x − 1)2 + ( y − 2 )2 + ( z − 3) 2 = 9


( c ) : ( x − 3) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 81
D. 
( c ) : ( x + 1)2 + ( y + 2 )2 + ( z + 3) 2 = 81


Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( Q ) có vec tơ pháp tuyến n = ( 2;1; 2 ) . Đường thẳng d đi qua M và vuông góc
với ( Q )

 x = 1 + 2t

có phương trình là  y = −1 + t .
 z = −1 + 2t

Lấy I (1 + 2t; −1 + t ; −1 + 2t ) ∈ d

MI = d ( I , ( P ) ) ⇔ 4t 2 + t 2 + 4t 2 =

1 + 2t − 2 + 2t + 2 − 4t + 8
⇔t=±
1+ 4 + 4

t = 1 ⇒ I ( 3; 0;1) , R = 3 ⇒ ( S ) : ( x − 3) + y 2 + ( z − 1) = 9
2

2

t = −1 ⇒ I ( −1; −2; −3) , R = 3 ⇒ ( S ) : ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

2

Chọn A.
Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
x = t
x − 2 y + 1 z −1

∆1 :
=
=
, ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0
1
2
−3
 z = 1 + 2t


Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S)
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0
143

2 365π
.

5