Hướng dẫn học sinh trường THPT nông cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm chương i giải tích 12

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong
chương trình Toán THPT. Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được
trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo
hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày
trong học kỳ I lớp 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm
và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT,
ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Chúng ta có thể kể đến một số ứng
dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của hàm số; cực trị hàm số…
Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên là một phần không
quá khó với học sinh nếu không muốn nói là phần “lấy điểm” của học sinh. Tuy
nhiên, việc giải quyết các bài toán hàm số nhanh và hiệu quả là điều mà ít học
sinh làm được nhất là trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia đổi từ hình thức thi
tự luận sang trắc nghiệm. Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách
quan là điều không thể phủ nhận. Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ
nhận biết, thông hiểu đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sai
lầm trong việc giải dẫn đến kết quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa nắm
vững lý thyết hoặc vội vàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ. Do đó, hướng dẫn các
em học sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránh
những sai lầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết. Từ kinh nghiệm bản thân
trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài
liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh trường
THPT Nông Cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm
chương I Giải tích 12” với mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức
cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắt
được cách nhận dạng cũng như cách giải giải bài toán trắc nghiệm nhanh hơn
bằng kiến thức cơ bản đã học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học,
tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho học
sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi
THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các câu hỏi trắc nghiệm trong chương I Giải
tích 12 và được thử nghiệm đối với học sinh lớp 12B1, 12B2 năm học 2018 -


2019. Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số
dạng toán mà học sinh thường hay mắc sai lầm để phân tích, chỉ ra các sai lầm.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Khái niệm đạo hàm
2.1.1.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và xo (a;b).
 Đạo hàm của hàm số tại điểm xo, ký hiệu f’(xo) hoặc y’(xo). Ta có:
f’(xo) =
 Đặt x = x – xo (gọi là số gia của biến số tại điểm xo) và
y = f(x) – f(xo) = f(xo + x) – f(xo) (gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại
điểm xo).
Ta có:

f’(xo) =
 Chú ý: chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu dương,
không được hiểu
2.1.1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Cách 1: Tính trực tiếp f’(xo) =
Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, ta thực hiện 2 bước:
Bước 1: Tính , (là số gia của biến tại xo).
Bước 2: Tìm và kết luận.
Nhận xét: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì f(x) liên tục tại xo.
2.1.1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
 Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số
góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm Mo (xo; f(xo)).
 Phương trình tiếp tuyến của đường cong.
Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm xo)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm Mo(xo;f(xo)) (C) có phương trình:
2.1.1.3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng.
Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D, D là một khoảng hay
hợp của nhiều khoảng.
* Định nghĩa:


+ Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập D nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc D.
+ Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’.
Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta
hiểu tính trên toàn TXĐ.
* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f.
Ta thực hiện:
Bước 1: Tính
Bước 2: Tìm và kết luận: y’ = …

2.1.1.4. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho


 

 

u  u x ; v  v x ;C :

là hằng số .

�
u �v  u�
�v.�

Tổng, hiệu:

 Tích:

�
.v  v�
.u �  C .u  C .u�
.
 u.v � u�

�
�u � u�
�
.v  v�

.u
C � C .u�
, v �0 � � �  2
� �
2
v�
v
u
�
�u �
 Thương:



 Đạo hàm hàm hợp: Nếu



 

 

y  f u , u  u x � yx� yu�
.ux�

.

2.1.1.5. Bảng công thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ cấp

 C  � 0

(C là hằng số).

Đạo hàm của hàm hợp

 x  �  .x


 1

 x  �  .x

 u  �  .u

�
�1 �
1
� �  2 (x �0)
x
�x �

�
�1 �
u�
� �  2 u �0
u
�u �

 x  � 21x  x  0

 u  � 2u�u  u  0

 sin x � cosx

.cosu
 sinu � u�

 cosx �  sin x

.sin u
 cosu � u�

 tanx � cos1 x

 tanu � cosu u



 1

2



 1

.u�





�

2


�

 cot x �  sin1 x

 cot u �  sinu u

 e  � e

 e  � u�.e

2

x

2

x

u

u

 a  � a .lna

 a  � u�.a .lna

 ln x  � x1

 ln u  � uu�

 log x  � xln1 a

u�
 log u  � u.ln
a

x

x

u

a

u

a

2.1.2. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
2.1.2.1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
định trên K ta có:

 Hàm số

  được gọi là đồng biến (tăng) trên K

yf x

 

 

yf x

xác

nếu:

 

x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2

 Hàm số

 

yf x

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

 

 

x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K
* Nhận xét:

 

 

f x

 

f x2  f x1
�ι
x2  x1

 

f x2  f x1
�ι
x2  x1

 Hàm số
đồng biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

 

f x

 

 Hàm số
nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.




Nếu

 

K ,�
�
x1

x2.

0�
�x1, x2

K ,�
�
x1

x2.

  đồng biến trên khoảng  a;b .
f  x
f �x  0, x � a; b �
 a;b .
Nếu  
hàm số
nghịch biến trên khoảng
f�
 x  0, x � a;b � hàm số f  x không đổi trên khoảng  a;b .

 Nếu

 

0�
�x1, x2

f �x  0, x � a;b �

hàm số

f x


 
f  x
Nếu

 a;b �f � x 0, x  a;b .

 a;b �f � x 0, x  a;b .
nghịch biến trên khoảng
 a;b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ
Nếu thay đổi khoảng
f  x
sung thêm giả thiết “hàm số
liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng

 Nếu



f x

đồng biến trên khoảng

đó”.
2.1.2.2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 

f' x 0

 

f' x 0

f ' x �0

 

chỉ tại một số hữu hạn điểm

 

chỉ tại một số hữu hạn điểm

với mọi x �K và
x �K thì hàm số f đồng biến trên K .

 Nếu

f ' x �0

với mọi x �K và
x �K thì hàm số f nghịch biến trên K .

 Nếu
Chú ý:

y

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
đạo hàm y�không xảy ra.
2.1.3. Cực trị hàm số
2.1.3.1. Định nghĩa

ax  b �
d�

x � �
�
cx  d �
c�
thì dấu "  " khi xét dấu

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 �K . Ta nói:
a; b
 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   chứa x0

 

 

0
sao cho  
và
là giá trị cực tiểu của hàm số f .

a; b �K

    . Khi đó f  x 

f x  f x , x � a;b \ x0

0

được gọi

 a;b chứa x0

 x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
a; b �K






 

 

   

 

0
0
0
sao cho  
và
. Khi đó
được gọi
là giá trị cực đại của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm
số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay
cực trị) của hàm số.

f x  f x , x � a;b \ x

f x


 Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm
cực trị của đồ thị hàm số f .
* Nhận xét:

 x ;f  x  
0

0

được gọi là điểm

  nói chung không phải là giá trị lớn nhất
f x 
(nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D;
chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ
 a;b nào đó chứa x hay nói cách
nhất) của hàm số f trên một khoảng

 Giá trị cực đại (cực tiểu)

f x0

0

0

khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao

 

 a;b .

f x

0
cho
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng
 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K .
Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2.1.3.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:

  đạt cực trị tại điểm
f�
 x   0.
thì

Giả sử hàm số
hàm tại điểm x0

yf x

x0

. Khi đó, nếu

 

yf x

có đạo

0

Chú ý:
 Đạo hàm

f�
 x

có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt

cực trị tại điểm x0 .
 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo
hàm.
 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.1.3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại

f' x 0
điểm x0 thì  0 
.

 Nếu

 

f �x  0

trên khoảng

x

0

 h;x0



và

 

f �x  0

f  x .
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số

trên khoảng

 x ;x
0

0

h




 Nếu

 

f �x  0

trên khoảng

x

0

 h;x0



và

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số
2.1.3.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:

 

f �x  0

 

trên khoảng

 x ;x
0

0

 h

f x .

 
 i  1;2;... mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

f �x .

 Bước 2: Tìm các điểm xi
0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu

  . Nếu f � x

f �x

đổi dấu

khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Định lí 3:
Giả sử
đó:

 

yf x

 Nếu
 Nếu

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

 

  thì hàm số
�
f�
 x   0 thì hàm số
 x   0, f �

�x0  0
f �x0  0, f �
0

0

x

0

 h;x0  h



f

đạt cực đại tại x0.

f

đạt cực tiểu tại x0.

với h  0. Khi

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

 

f �x .

 i  1;2;... của phương trình f � x  0.
 Bước 2: Tìm các nghiệm xi

 Bước 3: Tính

 

�x
f�

và tính

  thì hàm số f
�
f�
 x   0 thì hàm số f
Nếu

 Nếu

�xi  0
f�

 

�xi .
f�

đạt cực đại tại điểm xi .

i

đạt cực tiểu tại điểm xi .

2.1.4. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
2.1.4.1. Định nghĩa.

Cho hàm số

 

yf x

xác định trên tập D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
�
�f (x) �M , x �D
�
M  max f ( x)
x0 �D, f (x0)  M
�
x�D
. Kí hiệu:
.

 

yf x

trên D nếu:


y  f  x

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên D nếu:
�
�f (x) �m, x �D
�
m  minf (x)
x0 �D, f (x0)  m
�
x�D
. Kí hiệu:
.

2.1.4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
2.1.4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 

 Bước 1: Tính   và tìm các điểm x1, x2,..., xn �D mà tại đó
hoặc hàm số không có đạo hàm.
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
2.1.4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
 Bước 1:

f �x  0

f �x

 Hàm số đã cho

 

yf x

�
a;b�
.
xác định và liên tục trên đoạn � �

 Tìm các điểm x1, x2,..., xn trên khoảng
không xác định.

     

 a;b , tại đó f � x  0 hoặc f � x

   

f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .

 Bước 2: Tính
 Bước 3: Khi đó:




 

    

     

 

    

     

max f x  max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
�
a,b�
�
�

min f x  min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
�
a,b�
�
�

2.1.4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
(x) .
 Bước 1: Tính đạo hàm f �
(x)  0 và tất
 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi �(a;b) của phương trình f �
(x) không xác định.
cả các điểm i �(a;b) làm cho f �

 Bước 3. Tính

A  lim f (x) B  lim f (x) f (x ) f( )
i
i
x�a
x�b

,

,

,

.

 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
m  minf (x)

M  maxf (x)
(a;b)

,

.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
(a;b)


 

 

 
 

�
min f x  f a
��
a;b�
�� �
max f x  f b
�
yf x
�
a;b�
� �
�
�
�
 Nếu
đồng biến trên
thì �a;b�
.
�
min f (x)  f b
�
��
a;b�
.
� �

max
f
(
x
)

f
a
�� �
yf x
�
a;b�
 Nếu
nghịch biến trên � �thì ��a;b�

 

 
 

 

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó.
2.1.5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2.1.5.1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

 a; � ,  �;b

 ). Đường thẳng y  y0 là đường tiệm cận ngang
hoặc 
(hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều
�; �

lim f (x)  y0, lim f (x)  y0

kiện sau được thỏa mãn: x��
2.1.5.2. Đường tiệm cận đứng

x��

Đường thẳng x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)
của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa
mãn:
lim f (x)  �, lim f (x)  �, lim f (x)  �, lim f (x)  �

x�x0

Lưu ý:

x�x0

x�x0

Với đồ thị hàm phân thức dạng
y

x�x0

y

ax  b
c �0; ad  bc �0
cx  d
luôn có

a
d
x .
c và tiệm cận đứng
c





tiệm cận ngang là
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia
chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán đạo hàm và ứng dụng
luôn xuất hiện. Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ nhận biết, thông hiểu
đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sai lầm trong việc giải dẫn
đến kết quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết hoặc vội
vàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các
phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm. Do đó, hướng dẫn các em học
sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránh những sai
lầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay

nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên


- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán đạo
hàm và ứng dụng.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất
cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể:
2.3.1 Bài toán : Tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f '( x )  0 , với  x �(a; b) � f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) .
B. f '( x )  0 , với  x �[a; b] � f ( x) đồng biến trên đoạn [a; b] .
C. f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) � f '( x) �0 , với  x �( a; b)
D. f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) � f '( x ) �0 , với  x �(a; b)
Sai lầm thường gặp:
Ở câu này, học sinh sẽ băn khoăn giữa hai lựa chọn đáp án A hay C. Nếu
không nắm chắc kiến thức học sinh khó có thể lựa chọn được đáp án đúng. Học
sinh quen đã làm quen với hàm bậc ba, hàm trùng phương hay bậc hai trên bậc
nhất thì học sinh sẽ chọn ngay đáp án C. Bởi vì với lý luận mà học sinh hay làm
bài tập là: “Hàm số đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f '( x) �0 , với  x �(a; b)
”. Sai lầm của học sinh khi chọn đáp án C là ngộ nhận những kiến thức của bài
tập mà học sinh hay làm.
- Đáp án D sai vì nếu f '( x )  0 , với  x �(a; b) thì f (x) nghịch biến trên
khoảng (a; b) .
- Đáp án B sai bởi vì hàm số f '( x) có thể không xác định tại a, b nhưng
a; b

0; 1
vẫn đồng biến trên   . Ví dụ hàm số y  x đồng biến trên   nhưng
f '( x) không xác định tại x = 0.
'
- Đáp án C sai vì thiếu f ( x)  0 tồn tai hữu hạn điểm. Mặt khác nếu xét

y

ax  b
'
cx  d có y  0 � ad  bc  0 và suy ra hàm phân thức đó là hàm hằng.

hàm số
Dẫn đến không thỏa mãn với yêu cầu.
- Đáp án A đúng vì theo định lý SGK cơ bản trang 6.


Ví dụ 2: Cho hàm số
A. �
B.
Sai lầm thường gặp:
TXĐ:
y' 

y

2x 1
x  1 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

�\  1

�; 1 � 1; �
C. 

�; 1 ,  1; �
D. 

D  �\  1
3

 x  1

2

 0, x �D

. Chọn đáp án C
Như vậy học sinh đã đồng nhất cách viết khoảng đồng biến (nghịch biến) trên

 
 với khoảng 
 
 là sai . Qua đó cần chỉ rõ
khoảng 
cho học sinh khoảng đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng, đoạn, nửa
đoạn, không có trên hai khoảng hợp nhau. Đáp án đúng là D.
�; 1 � 1; �

�; 1 , 1; �

Ví dụ 3: Giá trị của tham số m để hàm số
khoảng xác định là
A. m ��
Sai lầm thường gặp:

TXĐ:
y' 

y

mx  2
x  1 đồng biến trên từng

C. m  2

B. m �2

D. m  2

D  �\  1

m2

 x  1 . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
2

�m�۳2 0

y ' �0

m 2 . Chọn đáp án B

Sai của học sinh ở đây là chưa nắm rõ định lý về điều kiện để hàm đồng biến
(nghịch biến) .
Lời giải đúng:
TXĐ:
y' 

D  �\  1

m2

 x  1 . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
2

y'  0

� m  2  0 � m  2 . Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số

1; �
khoảng 
là

A. m ��

y

mx  1

x  m . Giá trị m để hàm số nghịch biến trên

B. m ��

C. m � �;1

D. m � �;1


Sai lầm thường gặp:
TXĐ:
y' 

D  �\  m

m 2  1

2
 x  m  . Hàm nghịch biến  1; � khi và chỉ khi

y '  0 �  m 2  1  0 � m �R .

Chọn đáp án A.
Sai lầm của học sinh ở đây là quên mất điều kiện của TXĐ là x �m .
Lời giải đúng:
TXĐ: D  �\  m
y 
'

m 2  1

 x  m

2

'
2
�
�
�y  0
� m  1  0
��
� �
x �m � 1; �
1; �

�
�m � �;1
. Hàm nghịch biến

m 1

.

Chọn đáp án D.
2.3.2 Bài toán: Cực trị của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) xác định, lên tục trên �và có bảng biến
thiên như sau:
�
�

x
-1
1
y'

+

||

-

0

+

�

0
y
�

-2

Chọn mệnh đề đúng
A. Điểm cực tiểu của hàm số là - 2
B. Hàm số có giá trị cực đại là -1
C. Hàm số có hai cực trị
D. Hàm số có một cực trị
Sai lầm thường gặp:
Trong trường hợp này do nắm định nghĩa về cực trị chưa vững nên học

sinh cho rằng hàm số trên đạo hàm không xác định tại x  1 nên x  1 không
phải điểm cực trị. Do đó, chọn đáp án đúng là D. Nhưng thực ra qua x  1 đạo
hàm vẫn đổi dấu và có giá trị tại đó là 0. Nên x  1 là điểm cực trị của hàm số.
Vậy đáp án đúng là C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục trên � và có

f ' ( x)   x  2  ( x  1) 2 ( x  3)

A. 1
Sai lầm thường gặp:

. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị
B. 2
C. 3
D. 0


f ' ( x)  0 � ( x  2)( x  1)2 ( x  3)  0
x2
�
��
x  1
�
�
x  3
�

. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn đáp án C.

Sai lầm của học sinh ở đây là chỉ giải phương trình f ( x)  0 suy ra 3

nghiệm và kết luận. Đến đây các em phải xét xem qua các nghiệm đó dấu của
đạo hàm có đổi hay không .
Lời giải đúng:
'

f ' ( x)  0 � ( x  2)( x  1) 2 ( x  3)  0
x2
�
�
��
x  1
�
x  3
�

. Ta nhận thấy x  1 là nghiệm đơn bội chẵn (nghiệm kép) nên qua giá
trị này dấu của đạo hàm không đổi do đó x  1 không phải là điểm cực trị của
hàm số.Vậy hàm số có điểm cực trị . Chọn đáp án B.
1 3
x  mx 2  (m2  4) x  2018
3
Ví dụ 3: Cho hàm số
. Tập tất cả các giá tri
m để hàm số đạt cực tiểu tai x  1 là
y

A. 1
B. -3
Sai lầm thường gặp:
TXĐ: D  �

C. 1 hoặc -3

3;1
D. 

y '  x 2  2mx  m 2  4 .
'
2
2
Vì x  1 là điểm cực tiểu của hàm số nên y (1)  0 � (1)  2(1)m  m  4  0

m  3
�
��
m 1
� m 2  2m  3  0
�

Chọn đáp án C.
m  3
�
�
m  1 , nhưng
Sai lầm của học sinh ở chỗ x  1 là điểm cực trị thì �
m  3
�
�
m  1 chưa chắc x  1 là điểm cực tiểu.
�

Lời giải đúng:
TXĐ: D  �
y '  x 2  2mx  m 2  4 .


'
2
2
Vì x  1 là điểm cực tiểu của hàm số nên y (1)  0 � (1)  2(1)m  m  4  0

m  3
�
��
m 1
� m 2  2m  3  0
�

+ y ''  2 x  2m .
+ m  3, x  1 � y ''  4  0 ( nhận)
+ m  1, x  1 � y ''  4  0 (loại)
Vậy m  3 . Chọn đáp án B.
2.3.3. Bài toán: Tiệm cận của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số

y

x 3  2
x 2  16 . Số đường tiệm cận đứng của hàm

số là
A. 1
Sai lầm thường gặp:

B. 2

C. 3

D. 0

x4
�
x 2  16  0 � �
x  4 . Vậy hàm số có 2 tiệm cận đứng. Chọn đáp án B.
�
Ta có :

Trong bài này học sinh đã tiến hành làm nhanh bài toán theo hướng trắc
nghiệm để giải nhanh bài toán song các em đã quên một ý rất quan trọng là phải
thay các nghiệm này vào tử số, xem tử số có xác định, bằng 0, hay khác không
rồi mới kết luận bài toán. (tử là số khác 0 thì số đó mới là đường tiệm cận đứng)
Lời giải đúng:
x  4(n)
�
x 2  16  0 � �
x  4(l ) . (vì thay lên tử, tử không xác định)
�
Ta có :

Vậy hàm số có 1 tiệm cận đứng. Chọn đáp án A.

y

x2
x  4 x  m . Với giá trị nào của m thì hàm số
2

Ví dụ 2: Cho hàm số
chỉ có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
A. m  4
Sai lầm thường gặp:

B. m  12

m4
�
�
m  12
C. �

D. m �4

- Hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang y  0, m . (Bậc của tử nhỏ
hơn bậc mẫu)
- Để hàm số có một tiệm cận đứng � x  4 x  m  0 có một nghiệm khi
và chỉ khi  '  0 � 4  m  0 � m  4 . Chon đáp án A.
Học sinh mắc phải sai lầm ở đây là để có một đường tiệm cận đứng ngoài
2


trường hợp phương trình x  4 x  m  0 có một nghiệm còn trường hợp

phương trình có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là -2.
Lời giải đúng:
2

+ Hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang y  0, m . (Bậc của tử nhỏ hơn
bậc mẫu)
2
+ Để hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi x  4 x  m  0 có một
nghiệm hoặc có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là - 2

'  4m  0
�
m4
�
�
 '  4  m �0
��
�
�
m  12
� 2
�
�
(

2)

4(

2)


m

0
�
ĐK: �
. Chọn đáp án C.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn
thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy
nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học
lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động,
các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao được chất
lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như
chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà trường.
Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho
lớp 12B1, 12B2 không áp dụng cho lớp 12B3. Sau khi kết thúc kỳ thi THPT
Quốc gia năm 2019 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12B1 có 91% học sinh giải
được các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng, lớp 12B2 có 87% học
sinh giải được các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng trong khi lớp
12B3 chỉ có 31,33%.
3. Kết luận – Kiến nghị.
3.1 Kết luận
Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu
tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống lại được một số
sai lầm thường mắc phải của học sinh trong quá trình làm toán trắc nghiệm
chương I Giải tích 12. Từ đó phân tích và khắc sâu cho học sinh trong quá trình

giảng dạy, giúp các em nhanh chóng tìm ra các đáp án đúng.
Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng
đã bước đầu có hiệu quả. Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn góp
phần nâng cao hơn nữa kết quả thi THPT hàng năm.
Trong năm học này chúng tôi tiếp tục áp dụng cho một số lớp khối 12,


đồng thời tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, những dạng toán khác và bổ sung
để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một
phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai
thác tốt các bài toán đạo hàm và ứng dụng. Đồng thời hình thành khả năng tư
duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thú cho các
em khi học toán. Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ bản
thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa
học các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2.

Kiến nghị

- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học;
Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các
buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinh
nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến
rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Xuân Thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO


[1]. Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học
2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam
[2]. Lê Hoành Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội
[3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.
[4]. Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 1, Nxb ĐH
Quốc Gia Hà Nội.
[5]. Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội
[6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán và
câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.