SKKN rèn luyện kỹ năng giải 1 số dạng bài tập trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số

1. MỞ ĐẦU
Giải phương trình lượng giác là một nội dung trọng tâm trong Đại số và
Giải tích 11 cũng như chương trình toán học phổ thông nói chung. Trong một
vài năm lại đây, đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán chuyển sang
hình thức thi trắc nghiệm, dạng toán giải phương trình lượng giác ít xuất hiện,
thay vào đó là các phương trình lượng giác chứa tham số.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, phương trình lượng giác chứa
tham số chưa được đề cập nhiều, bài tập còn hạn chế. Khi học sinh gặp bài tập
dạng này thường tỏ ra lúng túng, chưa linh hoạt. Việc hệ thống các dạng bài tập
nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chứa tham số là cần thiết.
Vì vậy, tôi viết sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập trắc
nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Giải phương trình lượng giác chứa tham số giúp học sinh hiểu rõ bản chất,
có cái nhìn sâu sắc, tổng hợp, linh hoạt về phương pháp giải phương trình
lượng giác thường gặp. Qua đó cũng hạn chế tư duy máy móc, sự phụ thuộc
vào máy tính cá nhân hiện nay của học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài có đối tượng nghiên cứu là:
- Phương pháp dạy học môn Toán.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu.
1.5 Những điểm mới của SKKN
-Hướng dẫn học sinh thành thạo giải bài toán về phương trình lượng giác cơ
bản chứa tham số; một số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham
số,thông qua hệ thống bài tập đa dạng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến

Khi giảng dạy người giáo viên phải phát hiện ra những khó khăn mà học sinh
thường gặp trong giải phương trình lượng giác chứa tham số. Từ đó đưa ra giải
pháp giúp học sinh giải quyết những khó khăn đó.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
1


Phương trình lượng giác chứa tham số nhìn chung là một nội dung khó và phức
tạp. Nội dung phương trình lượng giác chứa tham số ít được đề cập đến trong
sách giáo khoa cũng như sách bài tập. Tài liệu, sách tham khảo về phương trình
lượng giác chứa tham số còn hạn chế. Các bài tập được đưa ra còn rời rạc và
chưa có tính hệ thống. Đồng thời, các dạng bài tập phần này khá đa dạng khiến
cho học sinh khó nắm bắt, lúng túng và khó khăn trong việc tìm hướng đi giải
quyết bài toán.
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết về hàm số lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản, một số phương trình lượng giác thường
gặp.
A. Các hàm số lượng giác: y = sinx; y = cosx;y = tanx; y = cotx
B. Các phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a
C. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác c. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
2.3.2 Giải pháp 2: . Rèn luyện kỹ năng giải một số phương trình lượng giác
thường gặp chứa tham số thông qua hệ thống ví dụ và các dạng bài tập. Dạng
1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác chứa tham số

 Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình lượng giác cơ
bản: f(x) = m với f(x) là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 1: Tìm tham số m để phương trình: m2

3m 2 cos2 x m m 1 1

có nghiệm.
Giải: m2

3m 2 cos2 x

mm

1

m 1 m 2 cos2 x

mm

1;

+) Khi m = 1, phương trình có dạng: 0 = 0 luôn đúng x ¡ , hay phương trình có
nghiệm x ¡ .
+) Khi m = 2: phương trình có dạng: 0 = 2 (vô lý), suy ra phương trình vô
nghiệm.
2


+) Khi m ≠ 1, m ≠ 2: 1m 2 cos2 x m cos2 x
Khi đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0

m 2.

m 2
1 m 0 . Vậy phương trình

m
m 2

(1) có nghiệm khi m 0,m 1.
2sin x 1
Ví dụ 2:

Tìm m sao cho phương trình sin x 3
mãn 0 x .
Giải:
pt

Điều

kiện

sinx 3 0 luôn

2sin x 1 msin x 3

m có đúng hai nghiệm thỏa

đúng,

2 m sinx

do

đó

ta

có:

4 (1).

+) Với m = 2, phương trình có dạng: 0 = 4 (vô lý), vậy m = 2 không thỏa
mãn. +) Với m 2 , khi đó
4
1sin x

2 m .
Số nghiệm của phương

trình (1) chính là

số giao điểm của đồ thị

hàm số y sinx

và đường thẳng y

4

trên 0; . Dựa vào đồ thị, phương trình (1) có 2

2 m

nghiệm trên 0; khi và chỉ khi: 0

4

1 m 2 . Vậy với m 2 thì

2 m
phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 x
Ví dụ 3: Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình sin

;
nghiệm thuộc khoảng

6

3

.
2x

3

m 5 có

. Tìm tổng số các phần tử nguyên của S.

4

3

Giải: Xét phương trình:

sin 2x

m 5

3

1 ; Số nghiệm của phương trình

3
(1) trên khoảng

6

;

là số giao điểm của đồ thị hàm số y sin 2x

4
đường thẳng y m 5 trên khoảng

;
6

và

3
3 . y = m + 5 là đường thẳng song

4

song hoặc trùng với trục Ox.

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm khi 1 m 5 1 6 m 4 , các giá
trị nguyên của m thỏa mãn là – 6; – 5; –
4. Ta có tổng các phần tử nguyên của m thỏa mãn là – 15.
 Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx – m = 1
có nghiệm?
A. 2 m 0

B. m 0

C. m 1

Bài 2: Với giá trị nào của m để phương trình:

nghiệm?
A. m 1 3

D. 0 m 1.
3 cos3x

4

m 1 0

có

B. m 1 3
D

C. m

3; 3

.1 3 m 1 3.

4


Bài 3: Phương trình sin 2x
A. 1 m 0

7

m2 3m 3 vô nghiệm khi:

B. 3 m 1

Bài 4: Tìm m để phương trình 2cos x

3
thuộc

2

m 1

C.

m 2 .

D.

m 2
m 0
m 3 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt

3
;

2

?

A.3 m 5

B. 0 m 1

C. m 1

D.
2

Bài 5: Để phương trình

4sin

x

3

cos x

a

m 1

.

3 m 5
3sin 2x cos2x có

6

nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
A. 1 a 1
1
C. 1 a
2

B. 2 a 2
D. 3 a 3 .

2

 Bài toán 2: Giải phương trình tích đưa về phương trình bậc nhất với
một hàm số lượng giác chứa tham số

Ví dụ 1: Cho phương trình cos2x 2m 1 cosx m 1 0 1 . Tìm tham số

3
m để phương trình có nghiệm trên khoảng

Giải:

cos2x

2m

;

1 cosx m 1 0

2 2
2cos2 x

.

2m

1 cos x m 0

1

2cosx 1

cos x m

0 cos x

2.

cos x m

5


y cos x trên

;
2

3 , ta thấy trên

Dựa vào đồ thị hàm số
3 phương trình cosx 1 vô

;

2

2

2

2

nghiệm. Do đó để phương trình (1) có nghiệm trên

;
2

cos x m

;
có nghiệm trên

3

1 m

3 thì phương trình
2
0.

. Từ đồ thị ta có:

2
2
Ví dụ 2: Cho phương trình: 1 m tan2 x

2

1 3m 0

1
.

cos x
a) Giải phương trình khi m

1

2.

b) Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên 0; 2 .
Giải: Điều kiện cos x 0

x

2 k . Ta có:

11 m sin2 x 2cos x 1 3m cos2 x 0 1 m 1 cos2 x
2cos x 1 3m cos2 x 0
4mcos2 x 2cosx 1 m 0 m 4cos2 x 1 2cosx 1 0
2cos x 1 2mcos x m 1 0 ;
a) Khi m

2cosx

1

2 thì (1) trở thành:

1 cos x

1
2

0 cos x

1
x
2

3

k2 ktm .

6


b) Nhận xét: Trên 0; 2 , phương trình thỏa mãn điều kiện xác định.
c)
pt

1

cos x

*

2
2mcos x 1 m **

Ta có:
Từ đồ thị ta có trên

0;

phương trình cosx

1 có duy nhất một nghiệm.

2

2

Vậy để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên 0;

thì phương trình

2
1
** phải có ít nhất một nghiệm trên 0;

với nghiệm thỏa mãn cosx

2

2
+) Xét m = 0, pt có dạng 0 = 1 suy ra phương trình vô nghiệm.
1 m
+) Khi m khác 0 thì cos x

2m

, vậy dựa vào đồ thị hàm số trên

0;

.

thì

2

2mcos x 1 m phải có ít nhất một nghiệm trên

0;

với nghiệm thỏa mãn
2

0
cos x

1
khi:
2

1 m1
2m
1 m 1
2m
2

1 m 1

3
m

Ví dụ 3: Cho phương trình cosx

1
2

1

m 1
3

. Vậy

m

1 cos2x

1
2

mcos x

.

msin2 x . Phương

2

trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0; 3 khi:
7


A. m 1

B. m 1

C. 1 m 1

Giải: ptcos x 1 cos2x mcosx m
cos2x m

cos x 1 cos2x m 0

Phương trình (2)

cos x 1

D. 1 m 1 .
2

cosx 1
1
2

0

;

2
3

xk2 ,k. Vì x 0;

mãn. Vậy phương trình (2) vô nghiệm trên

;

nên không tồn tại k thỏa

2

0; 3 . Do đó, để phương trình có

2

đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0; 3 thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm

2

thuộc đoạn 0; 3 . Xét phương trình (1): cos2x

2

x 0;

3

t 2x

0;

m , đặt 2x = t với

4 . Ta có đồ thị hàm số y cos t
3

trên 0;

4
3

:

4

Từ đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt trên 0; 3 khi và chỉ khi

1

m

1
2 . Vậy đáp án là D.

 Bài tập tương tự

8

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
sin 2x

3m 2cos x

3msin x * có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng

0; .
A. 1 m 1

C.

2 3

B. 1 m 0 ;
2 3 m 0
m

3
Bài 2.

2 3
3

Tìm tất cả các giá trị

3

D.

.
2 3
3

0 m

thực của tham số m để

sin 2x m sinx 2mcos x (*) có hai nghiệm thuộc đoạn

2

B .0 m

C. m 1

2

D. m

Bài 3.

Cho phương trình sin x 1

.

0;

A.0 m

phương trình
3
4

2

;m 3

3. 2

2

;m 1 ;

2
sin 2x msin x mcos2 x

. Tìm tập S tất

cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng
0;6

.

A.

S 0;

3

B. S 0;1

2

C.

S 0;

1
2

D. S1;

3
2

.

Bài 4. Cho phương trình sin 2x 2msin x 4sin x . Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m để phương trình trên có 11 nghiệm trên đoạn 0;5 .
A. 1

B. 2

C.3

D. vô số.

9

Bài

5

2sin2 x

Biết

5m 1 sin x 2m2

khoảng

A. m0

rằng

khi

thì

m m0

2m 0

phương

trình

có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc

;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng:

2
B.

3

Bài 6.

Số

sinx 1

2cos2 x

m0

2

các giá trị

3 7
m0 ;
5 10

C.

1

thực của

2m 1 cos x

m

3
D. m0

tham số m để

5

2
;

5

.

phương trình

0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn

0;2 là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số.

Dạng 3: Phương trình bậc nhất với sinx và cosx chứa tham số
Ví dụ 1 : Với những giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm:
m 2 sinx mcosx 2 .
Giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2
m 22

m2

4 2m2

4m 0

b2

m 1

.

c2 nên ta có:

m 0

Ví dụ 2: Cho phương trình 2k 1 cos2x ksin 2x k 1. Tìm giá trị của k để phương
trình vô nghiệm.
Giải:

2k 1

Phương

2

k

2

trình

k 1

đã
k 0

2

k

Ví dụ 3: Cho phương trình: a

cho vô nghiệm khi và chỉ khi:

1.
2
cosx 2sin x 3

với a là tham số. Gọi m, n lần

2cosx sin x 4
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a sao cho phương trình trên có nghiệm.
Tính giá trị của S m2

11n .
10


Giải:

Điều kiện:

22

1242.

a

2cos x sin x 4 0 luôn

đúng

với

cosx 2sin x 3 (a 2)sin x (1 2a)cosx 4a 3 .

2cosx sin x 4
nghiệm
a 22

2

1 2a

2

4a 3

mọi x

do

Phương trình có

2a 2.

Do

đó

11
S 2

2

11. 2 2 .

11
Ví dụ 4: Tìm giá trị m để phương trình: 2sin2 x sin x cosx cos2 x m

nghiệm.

có

Giải:
2

2sin

2

1 cos2x

x sin x.cos x cos

x m 2

1 cos2x

1 cos2x sin x cosx

1 cos2x
sin x.cosx

2

m sin 2x

2m2 4m 9 0

2 40 m

2 40

4
1 10 m
Ví dụ 5: Cho phương trình

m

3cos2x 1 2m .

2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
10 1 2m 2

2

4
1 10 .

2
2a sin x a 1

2
cos x

a , tìm a để phương
cos x

trình có nghiệm.
Giải: Điều kiện: cos x 0 . Ta có:
Pt 2asin x cos x a 1 cos2 x a,
a sin 2x
2a sin 2x

a 1 cos2x 1
a

2
1 cos2x

a
a

;
11
11


Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm
cosx ≠ 0. Trước hết, (1) có nghiệm khi

2a

2

a

1

2

a 1

2

a 1 .
a 0

Xét cos x 0 thì

sin 2x 2sinxcosx 0

được 1a 1 a 1 a 0 .

cos2x 2cos2 x 1 1
Thử lại, với a = 0 thì 1 cos2x 1 2cos 2 x 0 cosx 0 , hay phương tình có nghiệm
duy nhất là cosx = 0. Do đó, giá trị a = 0 không thỏa mãn yêu
a 1
cầu đề bài. Như vậy, phương trình có nghiệm khi a 0

a 1
.
a 0

a 0

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
sin 2x 2sinx cosx cos2 x msin2 x có nhiều

0;2

m để phương trình
hơn một nghiệm trên đoạn

.

Giải:
sin 2x 2sinx cosx cos2 x msin2 x
2sin x cos x 2sin x cos x cos2 x m 1 cos2 x
cos x 1 2sin x m 1 cos x m 0

0
;

cos x 1 0 1
2sin x m 1 cos x m 0

2

Giải (1): cos x 1 0 cos x 1 x k2 , k thì (1) có một . Trên đoạn

0;2

nghiệm là x = π .
Giải (2): 2sin x

m 1 cos x m

0.

12


Để phương trình đã cho có nhiều hơn một
2sin x m 1 cos x m 0

nghiệm trên đoạn 0;2 thì:
2

có nghiệm2

m 1

2

2

m

m

5 . Vậy
2

có hai giá trị nguyên dương m = 1, m = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
 Bài tập tương tự
Bài 1. Tìm
cos x sin x

tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2 m2 1 vô nghiệm.

A. m

; 1 1;

C. m;

B. m

1;1

D. m

;00;.

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
phương trình m 1 sin2 x sin 2x cos2x 0
A. 4037

2018;2018 để

có nghiệm.

B. 4036

C. 2019

D. 2020.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [– 10; 10] để
phương trình sin x

3

3 cos x

2m

3

vô nghiệm?

A. 21
B. 20
C. 18
Bài 4. Tìm m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vô nghiệm?
A. m 0,m

4

B. m 0,m

3
D.

3

m 0;m

2

Bài 5. Tìm điều kiện để phương trình asin
≠ 0 có nghiệm:
A. a 4b

4
3
4

4
C. 0 m

D. 9

B. a 4b

C.

x asin xcos x bcos2 x 0 với a

4b 1
a

3 .

D.

4b 1.
a

13


Bài 6.

Tìm

tất

3sin 2x cos2x

cả

các

giá

trị

của

m

để

bất phương

trình

m 1 đúng với mọi x

sin 2x 4cos2 x 1
A. m

3 5

B. a

3 5 9

C. m

65 9

D

.

65 9 .

4
4
2
4
Dạng 4: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác hoặc một
biểu thức lượng giác chứa tham số
 Bài toán 1: Phương trình đưa về phương trình bậc hai với một hàm số
lượng giác
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị m nguyên dương để phương trình

4sin2 2x 8cos2 x 5 3m 0 có nghiệm. Giải: Ta
có: 4sin2 2x 8cos2 x 5 3m 0 ;
4 1 cos2 2x 8

1 cos2x 5 3m 0
2
2
4cos 2x 4cos2x 3 3m 0

;

4cos2 2x 4cos2x 3 3m
Đặt t

cos2x t

1 , khi đó phương trình có dạng: 4t 2

biến thiên của hàm số y
t

–∞

4t

2

1

4t 3 trên

1;1 :

1
2

5
f(t)

4t 3 3m . Xét bảng

1

+∞

–3
4

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm
4
5m m 1
4 3m 5 3 3m
Vậy m

3m

0 ;

m 1

1;m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

14


Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
cos4x 6sinxcosx m 1 có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 0;

1

4

1 2sin 2 2x 3sin 2x m

1'

Giải: Ta có:

x

.

0;

. Với

t sin 2x,t

đó 1' 2t2

0;1

4

1". (1)

3t 1 m

, đặt

có hai nghiệm

. Khi
phân biệt trên đoạn 0;

khi và chỉ khi (1”) có hai nghiệm phân biệt trên

4
0;1 . Xét bảng biến thiên của hàm số y 2t2 3t 1 trên đoạn 0;1 :
t

–∞

0

3
4
17
8

f(t)
1

1

+∞

2
17

Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương 2 m
Ví dụ 3: Tìm

tất cả các

giá trị của tham số m

8.
để phương trình

tan x m cot x 8 có nghiệm.
Giải:
cos x 0

x

k k;

Điều kiện xác định:

sin x 0
Pt tan x
Đặt t

2

m 8 tan2 x 8tan x m 0 tan2 x 8tan x m ;
tan x

tanx , phương trình có dạng: t 2

8t

m , xét bảng biến thiên của hàm

số y t2 8t :
t

–∞

4

+∞

15


y

+∞

+∞
– 16
.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi m 16 m 16
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 2sin x mcos x 1 m có
x
;
2 2

.

A. 3 m 1
Giải: Đặt t

B. 2 m 6
tan x , để x

C. 1 m 3
thì t 1;1

;

D. 1 m 3.
. Khi đó PT có dạng:

2

2 2t

nghiệm

2
2
1 t2 1 m 4t m mt2 1 m 1 m t2

m

1 t2

t2

4t 2 2m

1 t2
.

t

1

1
6

y

–2

Vậy

2

để

phương trình

2m 6

2sin x mcos x 1 m có

nghiệm x

2

;

thì

2

1 m 3.

Ví dụ 5: Cho phương trình 2 sin4 x

cos4 x

m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

cos4x

2sin 2x m

0 . Tìm

0; .

2

Giải: Ta có:
2

1
pt 2 1
2

2

2 sin 2x 1

sin

2

2x 1 2sin
2

2sin 2x

2 2sin 2x m 0

2sin 2x m 0

;

m 3sin2 2x 2sin 2x 3
Đặt sin 2x

t với: 0

x

2

0

2x

2

0 sin 2x 1 hay t

0;1 ;
16


Xét hàm số f t 3t2
t

2t 3 trên [0; 1]:

–∞

0

1
3

1

–3

+∞

–2

f(t)

10

3
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi
Ví dụ 6: Cho phương trình cos4x

10 m 2 .
3

cos2 3x msin2 x , tìm các giá trị của tham

số m để phương trình có nghiệm trên khoảng

0;
12

.

Giải: Ta có:
Pt

cos4x

1

m

2 1 cos6x

2 1 cos2x

2 2cos2 2x 1 1 4cos3 2x 3cos2x m 1 cos2x ; 4cos3 2x
4cos2 2x 3 m cos2x m 3 0
cos2x 1 4cos2 2x m 3 0
Đặt cos2x = t. Ta có: x 0;

pt

t 1 4t2

m 3

12

2x

0;

6

cos2x

t

3
2

;1. Khi đó:

0

4t2 m 3 0 do t 1 4t2 3 m
t

–∞

0

3

1

2
f(t)

+∞

1
0

Vậy với 0 m 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 Bài toán 2: Phương trình đối xứng với sinx và cosx
17


Ví dụ
sin 2x

1: Tìm
2 sin x

giá trị

42

của

tham

số

m

để

phương trình
0; 3

0 có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng

4

.
Giải
0; 3
x

x
4

4

Mặt khác:

0
sin x

4
2 sin x

1 0
4

2;
2 sin x

4

sinx cosx .
4

Đặt
sinx cosx t,t 0;
Phương trình
f t t

2

2

2 sin
đã cho trở

x cos

2

x 2sin x.cosx t

2

sin 2x t

t2 1 t 2 m t 2 t 3 m *

thành

2

1.

. Xét

t 3,t 0; 2
. Ta có bảng biến thiên:

0

2

t
2 1
f(t)

–3

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm t.

Mặt khác xét t

2 sin x

thì để pt đã cho có đúng một nghiệm thực x

4
0;

3

thuộc khoảng

t
thì:

4

0

2
t1

.

18


Dựa vào đồ thị ta suy ra điều cần chứng minh)
Với t
Với 0

2 thay vào phương trình (*): m

2

2

2

m

2 1

.

t 1, ta có bảng biến thiên:
0

1

t
f(t)

1
–3

Vậy 3 m

1 suy ra có 2 giá trị nguyên của m là – 2 và – 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
2
4sin3xsin x 4cos

3x

4

cos

x

cos

4

2x

4

m 0.

2

Giải: 4sin3xsin x 4cos

3x

cos x

cos

4

4

2 cos2x cos4x 4 cos 2x 2 cos4x
2 cos2x sin 2x

1

sin 4x m

1

22

sin 2x

t2

m 0;

4

1

2 1 cos 4x 2m 0

0

2 cos2x sin 2x sin 2x cos2x m

Đặt t cos2x

2x

1

2 cos2x

2 02
2 t

4
1 2sin 2x cos2x sin 2xcos2x

2

. Khi đó:

t2 1 .
2
19


Phương trình (1) trở thành

t2

biến thiên hàm số y t2

với

t
y(t)

–∞

4t

4t 2m 2 0 t2
2 t

2

4t 2 2m . Xét bảng

2.

2

2
2 4

2 4

+∞

2

2

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi :
2

4 2

2

2m

2

4 2

2 2

m

2 2

.

Ví dụ 3: Cho phương trình
2cos2x sin2 xcos x cos2 xsin x m sin x cosx ,
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc

0;

2
m sin x cosx

Giải: PT 2 cos2 x sin2 x sin x cos x sin x cosx
sin x cos x 0 x4

.

k ,k ; 2 cosx sin

x sin xcosx m 1
Đặt cos x sin x t,

12t

t 2 sin x cosx

1 t2 ;
2

1 t2
2
2 mt 4t 1 2m .

Với điều kiện 0
mãn. Do đó

x

2

thì nghiệm x

ta cần phương trình (1) có nghiệm trong khoảng

0;

4

2

k ,k

không thỏa

.

20


12m f

t 2 4t 1

t

t cos x sin x
. Trong

2 cos

x

đó,

.

4
Với 0 x

4

x

4

t 2 4t 1 với

hàm số f t
t

4

3

1

4

2

1
cosx

1 t 1. Xét

2

4

1 t 1, ta có bảng biến thiên:

–1

1
4

f(t)
– 4
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 2 m

2.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.
Việc hệ thống hóa các kiến thức của chương, giúp học sinh có cái nhìn tổng
quan, thấy được sự liên hệ giữa các kiến thức. Khi sử dụng lý thuyết trong bài
tập học sinh đã có sự linh hoạt trong tư duy.
Nhờ sự phân dạng các bài tập một cách có hệ thống, có sự liên kết với những
kiến thức học sinh đã học, các ví dụ với hình thức hỏi đa dạng tạo được sự
hứng thú, sôi nổi trong học tập của học sinh.
Kết quả bài kiểm tra viết ở hai lớp 11B2,11B3 năm học 2018-2019
Kết quả thực nghiệm
Loại

Số

nhóm Lớp

HS

Giỏi

Trung
bình

Khá

Số
HS

%

Số
HS

%

Số
HS

%
25

Thực
nghiệm

11B2

24

8

33,3

8

33,3

6

Đối
chứng

11B3

43

1

2,3

2

4,7

13 30,2

Yếu, kém
Số %
HS
2 8,4
12 28

3. KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT
3.1 Kết luận:
Sáng kiến này có thể làm tài liệu tham khảo tốt để giảng dạy phụ đạo bổ sung
kiến thức cho học sinh, trong ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia.
3.2 Đề xuất:
21


+Về phía học sinh: Học sinh phải tự giác, nhiệt tình và có khả năng phát huy
tính tích cực, chủ động trong học tập. Tăng cường việc tự học và tìm ra phương
pháp học tập phù hợp cho bản thân.
+Về phía giáo viên: Giáo viên phải có lòng nhiệt tình, sự chuẩn bị công phu
trước khi lên lớp, có phương pháp truyền đạt dễ hiểu và vai trò tổ chức, điều
khiển học sinh học tập. Bên cạnh đó, giáo viên cần phải trau dồi thêm kiến thức
về Internet, áp dụng các thủ pháp dạy học hiện đại để giúp học sinh tiếp cận với
kiến thức mới một cách tích cực, chủ động đồng thời giúp các em học Toán với
sự vui vẻ, tích cực và hiệu quả.
+ Về phía nhà trường:Đổi mới công tác quản lý, chú trọng đến công tác bồi
dưỡng mũi nhọn,khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa ngày 10 tháng5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Phan Thị Yến

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2007.
2. Vũ Tuấn (Chủ biên): Bài tập đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2007.
3. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán lượng
giác. NXB Hà Nội 2008.
4. Trần Bá Hà: Phân dạng và phưng pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm.
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2017.
5. Đặng Việt Đông: Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác.
6. Toanmath.com: 232 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác có đáp án.
23


24

2
5