SKKN một số giải pháp rèn luyện kỹ năng tư duy cho học sinh thông qua dạy một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TƯ DUY CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG

TRONG MẶT PHẲNG OXY

Người thực hiện: Trịnh Cao Cường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2020


Mục lục
Tran
g
I. MỞ ĐẦU .
..............................................................................................................

…....................................1

1.1. Lí do chọn đề
tài…………………………………………………...…..1
1.2. Mục đích nghiên
cứu…………………………………………..............1

1.3. Đối tượng nghiên cứu..………………………………….....
………......2
1.4. Phương pháp nghiên cứu...………………………………..
……..…….2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………..…..….
…………3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh
nghiệm………………………...…….3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm……...….5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết
vấn đề…….....…6
a. Lí thuyết về tọa độ trong mặt phẳng Oxy............................... 6
b. Một số bài toán và tính chất cơ bản thường sử dụng của
hình vuông..7
c. Một số bài toán cơ bản về hình vuông trong mặt phẳng
tọa độ Oxy
theo định hướng sử dụng các thao tác tư duy..................................... 8
d. Một số bài tập tham khảo về hình vuông trong mặt
phẳng tọa độ Oxy
theo định hướng sử dụng các thao tác tư duy
………………….................13
e. Hệ thống bài tập vận dụng ...……..……...
…….................................19


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản

thân, đồng nghiệp và nhà trường

…………………………………….21
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ …………………….…..
……...................22
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………23


Các thuật ngữ viết tắt trong bài

SGK

: Sách giáo khoa

NXB

: Nhà xuất bản

THPT

: Trung học phổ thông

THPTQ
G

: Trung học phổ thông quốc gia

VTPT
VTCP

: Véctơ pháp tuyến
: Véctơ chỉ phương

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường THPT, môn Toán giữ một vị thế hết sức
quan trọng, có khả năng to lớn trong việc phát triển năng lực trí
tuệ cho học sinh. Để thực hiện được nhiệm vụ này, môn Toán
cần được khai thác nhằm góp phần phát triển những năng lực
trí tuệ chung. Môn Toán là một môn học đòi hỏi học sinh phải
thường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, …[8] đó cũng
là các kỹ năng quan trọng trong quá trình giải toán. Vì vậy, việc
rèn luyện các kỹ năng giải toán nằm trong nhiệm vụ phát triển
năng lực trí tuệ chung cho học sinh THPT trong dạy học môn
Toán và một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc
giảng dạy môn Toán là dạy cách cách nghĩ, dạy cách tư duy,
dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy và sử dụng linh
hoạt khi gặp các tình huống cụ thể. Rèn luyện thao tác tư duy
được quan niệm thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó
phụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên tổ chức ra
sao… là những vấn đề cần được nghiên cứu.
Trong thực tế giảng dạy môn Toán nói chung và phần hình
học lớp 10 nói riêng, các giáo viên cũng đang hết sức chú trọng
vào việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua rèn
luyện các thao tác tư duy.


Xuất phát từ những lí do trên và với mong muốn được
nghiên cứu, đóng góp những vấn đề lí luận và kinh nghiệm
trong thực tiễn tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp rèn luyện

kỹ năng tư duy cho học sinh thông qua dạy một số bài
toán
về hình vuông trong mặt phẳng Oxy ” .


1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong thực tế hiện nay, vẫn còn nhiều học sinh học tập
một cách thụ động, chỉ đơn thuần là nhớ kiến thức và áp dụng
một cách máy móc mà chưa rèn luyện kỹ năng tư duy. Đặc biệt
với học sinh lớp 10 là lớp đầu tiên khi tiếp cận một môi trường
và phong cách học của cấp học THPT nên các em còn bỡ ngỡ
khi lựa chọn một phương thức học tập phù hợp để đạt được kết
quả cao.
Khi tham khảo các nguồn tài liệu hoặc đọc một lời giải có
sẵn về các bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy nói chung và
các bài toán về hình vuông nói riêng, một số em thường đặt ra
câu hỏi [4]
+) Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này
hoặc thế kia?
+) Tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng
mà tưởng chừng như không liên quan đến đối tượng cần phải
tìm?
+) Tại sao phải tìm nhiều lời giải của một bài toán ?
+) Với bài toán này khi thay đổi một số dữ kiện liệu cách
giải cũ còn áp dụng được không?
Các em chưa lựa chọn được hướng giải quyết khi đứng
trước rất nhiều chi tiết được cho trong giả thiết nên hiệu quả
học tập nội dung này chưa cao. Nên tôi đưa ra đề tài này nhằm
giúp học sinh hình thành các thao tác tư duy khi gặp một bài
toán trong hình học phẳng Oxy nói chung và trong bài toán hình

vuông trong mặt phẳng Oxy và tìm ra lời giải tối ưu nhất của bài
toán, cũng như khái quát và phát triển thành các bài toán tương
tự.
1.3. Đối tượng nghiên cứu


Đề tài nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 10A, 10E
trường THPT Hà trung năm học 2019 – 2020. Dùng làm tài liệu
cho học sinh lớp 10, dùng ôn thi học sinh giỏi và học sinh ôn thi
THPTQG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:


- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê xử lí số liệu.

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến
kinh nghiệm
Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần,
đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt
động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích
cực với nó. [3]
Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn
biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản [3]
1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về

cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
Cũng như những lĩnh vực khác nhau của đời sống xã hội, toán học với tư
cách là một khoa học có nguồn gốc thực tiễn và có ứng dụng vô cùng phong
phú, đa dạng trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng, phương pháp
nghiên cứu. Do đó, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và
tư duy logic. [4]


Tư duy toán học được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các
đối tượng toán học mà trước đó ta chưa biết. [4]
Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận thì việc rèn luyện và phát triển tư duy cho
học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong
quá trình dạy học toán.[4]
Để phát triển tư duy toán học trong quá trình dạy học toán,
chúng ta cần chú ý rèn luyện cho người học một số ý thức và kỹ
năng như: ý thức tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề; kỹ
năng sử dụng các phương pháp suy luận phân tích, tổng hợp; kỹ
năng vận dụng các thao tác tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tương tự và quy nạp,… trong quá trình giải quyết vấn đề. Có các
thao tác sau đây
[9]
+) Phân tích- tổng hợp: Phân tích là sự phân chia bằng trí óc đối tượng
nhận thức thành các bộ phận, các thành phần, thuộc tính , quan hệ khác nhau để
nhận thức nó sâu sắc hơn. Tổng hợp là sự hợp nhất bằng trí óc các bộ phận,
thành phần, thuộc tính , quan hệ ..của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp thống nhất với nhau.

+) So sánh: là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất
hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện
tượng.
+) Trừu tượng hoá – khái quát hoá:
Trừu tượng hoá là sự gạt bỏ bằng trí óc những mặt, những thuộc tính
những liên hệ và quan hệ thứ yếu, không cần mà chỉ giữ lại những yếu tố nào
cần thiết để tư duy mà thôi.
Khái quát hoá: là sự hợp nhất bằng trí óc nhiều đối tượng khác nhau
nhưng có chung những thuộc tính, liên hệ quan hệ … nhất định thành một nhóm,
một loại.


Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích,
tổng hợp xen kẽ với nhau. Bẳng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải


bài toán như thế nào”[5] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán. Trong mỗi
bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực
hiện được 4 bước của quá trình giải toán. Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp
thường gắn bó khăng khít với nhau. Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải biết chỉ có
hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức
đã được học, kiến thức tự tích luỹ...) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh
thường là

[2]

Vốn kiến thức Toán học,
kĩ năng và kinh nghiệm
giải Toán

Nội dung và hình
thức của bài toán

Định hướng tìm tòi lời
giải bài tập

Hướng 1

Nhận thức đềPhân
tích 1 chọn lựa
hoặc bác bỏ

Hướng 2

Nhận thức đềPhân
tích 2 chọn lựa
hoặc bác bỏ

Hướng
thứ k

Nhận thức đềPhân
tích k chọn lựa hoặc
bác bỏ

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa
ra lời giải của bài tập
2.2. Thực trạng vấn đề khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Hà Trung tôi thấy học sinh lớp
10 là lớp đầu tiên khi tiếp cận một môi trường và phong cách
học của cấp học


THPT nên các em còn bỡ ngỡ khi lựa chọn một phương thức học
tập phù hợp để đạt được kết quả cao. Trong kì thi học sinh giỏi
tỉnh thì có câu hình học phẳng sử dụng tính chất của các hình
và áp dụng tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở mức vận dụng cao.
Trong kì thi THPTQG có những câu hình học phẳng ở mức dộ vận
dụng cao đa phần học sinh cẩm thấy lúng túng, tư duy để tìm ra
lời giải chưa chính xác.
Chính vì vậy đề tài này giúp học sinh nắm được các thao tác tư duy nói
chung và thao tác tư duy toán học nói riêng để có thể áp dụng vào suy luận các
bài toán trong hình học phẳng Oxy nói chung và trong bài toán về hình vuông
trong mặt phẳng Oxy nói riêng.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải quyết
vấn đề
a. Lý thuyết về toạ độ trong mặt
phẳng Oxy [6] a.1. Toạ độ của
điểm, toạ độ của véctơ.



Cho hh h ih mh A x A h y A h B x

B h y B h C xC h yC h Th hóh 
Th h h h vhhth

AB x B x A h y B

yA h
xI

A

 Tọa độ trung điểm I của
AB là:
 Tọa độ trọng tâm G của

x
2

B

;y A y
2

G xA xB x
3
ABC

là:


Cho hai véctơ:

aa

1

; a

2

; b b ; b
1

2

. Ta có:

B

.
C

; yA y

B

3

y

C


a b a1

b 1 ; a 2 b2

.

a.b a .b a
1

1

2

2

.

a.b
2
1

a a

a

2
2

cos

a; b

k .a1 ; k .a2 .

 k .a

.b

a.b

a.b 0


a; b 900

a.b 0a ; b 900


a.b 0

a; b 900

a b a.b 0 a b a

a1b1 a2 b2
a 2 a2

2

1

b 0

1 1

2

2

b1 2b

2
2


a.2. Phương trình đường thẳng [6]
*) Véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của đường
thẳng:
+) VTCP của đường thẳng là véctơ có phương trùng hoặc song
song với đường thẳng. Thường kí hiệu :

u

.

+) VTPT của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với
đường thẳng .
Thường kí hiệu là :
Cách suy từ
Nếu u =(
d

u

a ;a
1

2

n

.

sang

n

hoặc

) là VTCP của d

n ( A; B)

n

sang

u

n (a ;a )
2

1

hoặc

n (a ; a )
2

u ( B; A)

1

u ( B; A)

là VTPT của d
hoặc
Nếu
của d.
*) Phương trình của đường thẳng :
a ( a1 ; a2 ) là VTCP của n ( A; B) là VTPT của d .
+)
Cho
d.
Điểm M(
d. Ta
có
x x0 a1t
 Phương trình tham số của đường thẳng d:

là VTPT của

là VTCP

x ; y0 ) thuộ
0

c

y a2t

y

0

 Phương trình chính tắc của đường
thẳng d:

x x0
a1

y y0
a2

 Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

A( x x ) B ( y y )
0

0

0

hoặc:
Ax By C

0

a.3. Góc và khoảng cách [6]
*) Góc giữa hai đường thẳng

Cos ( d1 ; d 2 ) cos( n1 ; n2 )


*) Khoảng cách từ M(

x ;y
0

0

) đến d:

C

0

Ax

By

: d(M;d) =

Ax0 By 0 C
A2

B2


a.4. Phương trình hai đường phân giác của các góc
tạo bởi hai đường

thẳng cắt
nhau [6]

A1 x B1 y C1
A2 B2
1

1

A2 x B2 y C2
A2 B2
2

2

b. Một số bài toán và tính chất hình học cơ bản thường
sử dụng của hình vuông
[10]

+

b.1. Các tính chất cơ bản Cho hình vuông ABCD. Khi đó ta có:
AB / /CD, AB BC, AB BC CD DA
AB DC

+

Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+

Tính chất đối xứng.

+

45

+

Mỗi đường chéo đều tạo với cạnh bên một góc 0 …..
b.2. Một số bài toán hình học cơ bản của hình vuông

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC, N là điểm thuộc AC sao cho

AN 1

4 AC . Chứng minh rằng: DN vuông góc NM.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD sao cho

MAN

450
CN=2ND. Chứng minh rằng:
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AB, BC, I là giao

điểm của CM, DN. Chứng minh rằng: AI=AD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm AB, N là điểm thuộc cạnh AC

MN

10

sao cho AN=3NC. K là tâm hình vuông. Tính độ dài KN, biết
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc BD. H, K là hình chiếu
vuông góc của M trên AB, AD. Chứng minh rằng:CM = HK.
Hướng dẫn chung:
Để chứng minh các bài toán hình học trong hình vuông với các điểm nằm
trên các cạnh có chia tỷ lệ ta có thể vận dụng kiến thức của hình học lớp 10: tích
vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác- là những kiến thức gần gũi và quen


thuộc. Các bài toán này dựa trên nguyên tắc chung của thao tác tư duy đó là
phân tích- tổng hợp.
c. Một số các dạng bài tập về hình vuông trong mặt
phẳng toạ độ Oxy theo định hướng sử dụng các thao tác
tư duy
Bài toán cơ bản 1: Sử dụng mối quan hệ đặc trưng của
hai đường chéo trong hình vuông [1]
Bài toán: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ hai điểm A, C. Tìm

toạ độ hai điểm

B, D.

Thao tác tư
duy
Phân tích

Yêu cầu tư duy

Tổng hợp

Từ tính chất hình học và
tính
chất toạ độ tương ứng hãy
đề
xuất thuật toán giải quyết
bài
toán trên

Nội dung lời giải

Mối quan hệ của A, C và B, AC BD AC DB
,
D
Gọi I là giao điểm hai
+) Quan hệ về véc tơ
đường
+) Quan hệ về độ dài
chéo, suy ra A và C, B

và D
+) Quan hệ về tính chất
đối xứng nhau qua I.
đối xứng
+) Tìm toạ độ điểm I.
Viết
phương trình đường
thẳng
BD.
+) Tham số hoá toạ độ
điểm
B, suy ra toạ độ điểm
D.

AC DB

Khái quát
hoá

+) Từ tính chất
,
tìm toạ độ điểm B, D
+) Học sinh được chọn ví dụ minh hoạ cho bài toán
trên.
+) Việc cho toạ độ điểm A, C có thể trực tiếp hoặc
gián tiếp.
+) Vai trò các điểm A, C và B, D là như nhau nên có
thể chuyển

đổi giả thiết để có bài toán
mới
Bài 1: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ hai điểm
A, phương
trình đường thẳng BD. Tìm toạ độ các điểm B, C, D.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD, biết hai điểm A

d

d
1

,

C 2 và
phương trình đường thẳng BD. Tìm toạ độ các điểm
A, B, C, D.


Bài toán cơ bản 2: Sử dụng tính chất đối xứng, khoảng
cách và góc trong hình vuông [1]
Bài toán: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ tâm I và
phương trình một cạnh (ví dụ cạnh AB). Tìm toạ độ các đỉnh
của hình vuông.
A

H

B

I
D

Thao tác tư
duy
Phân tích

C

Yêu cầu tư duy

Nội dung lời giải

Hướng 1: Tính khoảng cách
từ
điểm I đến đường thẳng
AB.
Hướng 2: Sử dụng góc tạo
bởi
các đường chéo và cạnh
bên AB.

So sánh kết quả tìm
được
với một số tính chất cơ
bản
của hình vuông để đề
xuất
các phương án xử lý.
+) Nếu chọn kết quả

là
khoảng cách từ I đến
đường
thẳng AB thì nên chọn
các
yếu tố tiếp theo có
liên
quan đến độ dài, ví dụ:
độ
dài của IA, IB
+) Nếu sử dụng góc thì
chọn


theo hướng viết
phương
trình đường thẳng AC,
BD.
Tổng hợp

Học sinh viết thuật toán
hoàn
chỉnh.


Khái quát
hoá

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, biết và phương trình
của hai cạnh

kề nhau ( ví dụ cạnh AB, BC) và biết đường chéo (ví
dụ AC) đi
M x0 ; y0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình
qua
điểm
vuông.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ tâm I và
phương trình
một cạnh ( ví dụ cạnh AB). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình vuông.

Bài toán cơ bản 3: Sử dụng mối quan hệ ba điểm [11]
Bài toán: (Trích đề tuyển sinh ĐH khối A- năm 2012).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Cho
toạ độ điểm M là trung điểm của cạnh BC, cho điểm N là điểm
nằm trên cạnh CD sao cho

CN 2ND

, biết phương trình của

đường thẳng AN. Tìm toạ độ điểm A.
A

D
N

B

C

M

+ Phân tích, tổng hợp theo hướng tìm mối quan hệ giữa ba
điểm

- Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết bài toán xuất phát từ
mối quan hệ ba điểm A, M , N .

- Tính cos MAN ?


- Viết phương trình đường thẳng AM đi qua điểm M và toạ với
đường thẳng AN góc có cos xác định.

- Tìm toạ độ điểm A.


+ Đặc biệt hoá: bài toán trên có thể chọn vị trí điểm M, N sao cho
=0

cos MAN

Khi đó học sinh có thể lựa chọn nhiều phương
hay AM AN . pháp hơn để

AM AN

thực hiện công việc chứng
minh

(dùng hình học phẳng, dùng
lượng

giác hoá, dùng
véc tơ).
+ Khái quát hoá: Ta dùng công cụ véc tơ xây dựng bài
toán tổng quát
hình vuông
Gọ M, N lần lượt
trên BC, CD
ABCD.
i
nằm
BM k BC , CN mCD
k,m.
. Tính

cos MAN

sau:
Cho
sao
cho

theo

+ Hướng dẫn giải
chi tiết
A

B
11

2x-y-3=0
D

AB m ND

m

Đặt

AM

2m

3
m 5
5m
2 ; MN

thẳng AM: Gọi

C

, MB MC

3

6 ;AN

n

M( 2 ; 2 )

N

, NC

Áp dụng định lý Pitago ta
có

m
2.

m 10
3 cos MAN

2
2

. Viết

là VTPT của đường thẳng AM,

a; b

n

' 2; 1
2

thẳng AN. Ta
có:

1

2

2a b
5.

a

2

b

2

3a

2

2
8ab 3b 0

phương trình
đường

là VTPT của
đường
3a b

a 3b

.


3a b

+) Với
ra toạ độ

ta có phương trình đường thẳng AM:
2x y 3 0

điểm a là nghiệm của hệ phương trình

3y 4 0

x 3y 4 0

x 1 A 1;1

x

y 1

.

, suy