Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ

Chương 3 . KHÔNG GIAN VECTƠ

Đặt V= Rn ={(x1,x2, …, xn): xiR}.
Cho x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn) là
các phần tử của Rn, r là số thực tùy ý.

Ta định nghĩa các phép toán:
x+y = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn)
rx= (rx1, rx2, …, rxn).
Các phép toán này có các tính chất sau đây


➢ Chương 3. Không gian vector

1) (x

y)

2)

V :x

3)

x

4) x

z

x

z ),
x

V, ( x)
y

(y

y

x,

V : ( x)

x,

x, y

V;

5) (x

y)

x

y,

x, y

6) (

)x

x

x,

x

7) (
8) 1.x

)x

( x ),
x,

Trong đó,

x

x

x , y, z

V,

x

x

V;
V;

x

( x)

V,
V,
,

;

,

;
;

V.

V được gọi là vector không.

;


➢ Chương 3. Không gian vector

1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)
▪ Định nghĩa
Cho kgvt V , tập W V được gọi là không gian
vector con của V nếu W cũng là một kgvt.

▪ Định lý
Cho kgvt V , tập W V là kgvt con của V nếu:
x, y W ,
y) W .
thì (x
VD 2.
• Tập W { } là kgvt con của mọi kgvt V .

• Tập W

( , 0,..., 0)

là kgvt con của

……………………………………………………

n

.


➢ Chương 3. Không gian vector

§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

2.1. Định nghĩa
Trong kgvt V , xét n vector ui (i 1,..., n ).
Khi đó:
n
• Tổng 1u1
u
...
u
u, i
2 2
n n
i i

,

i 1

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui .
• Hệ gồm n vector {u1, u2,..., un } được gọi là độc lập
tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu:
n

u

i 1

i i

thì

i

0, i

1,..., n .


➢ Chương 3. Không gian vector

• Hệ {u1, u2,..., un } không là độc lập tuyến tính thì
được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt).

VD 1. Trong 2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector:
A {u1 (1; 1), u2 (2; 3)}.
Giải. Ta có:
u
u
(1; 1)
(2; 3) (0; 0)
1 1
2 2
1
2
1
1

2
3

2

2

0
0

1
2

Vậy hệ A là độc lập tuyến tính.

0
.
0


➢ Chương 3. Không gian vector
3

VD 2. Trong
, xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector:
B {u1 ( 1; 3; 2), u2 (2; 0; 1), u3 (0; 6; 5)}.

Giải. Ta có:
1

3

u

i 1

i i

3
2

Hệ (I) có ma trận hệ số A

2

1
1

2

2

6
5

3
3

1 2 0
3 0 6 .
2 1 5

0
0 (I).
0

➢ Chương 3. Không gian vector

Do A

1 2 0
0 6 6
0 5 5

1 2 0
0 1 1
0 0 0

r (A)

3,

nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường.
Vậy hệ B là phụ thuộc tuyến tính.


➢ Chương 3. Không gian vector

2.2. Định lý
Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một
vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại.
Nghĩa là:
uj
u ...

u
u
...
u .
1 1
j 1 j 1
j 1 j 1
n n
▪ Hệ quả
• Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt.


➢ Chương 3. Không gian vector

2.3. Hệ vector trong

Xét m vector ui
Ma trận A

aij

n

(ai 1, ai 2,..., ain ), i
m n

1, m trong

.

được gọi là ma trận dòng của hệ

m vector {u1, u2,..., um }.

VD 6. Hệ {u1

n

(1; 1; 2), u2

có ma trận dòng là A

(4; 2; 3)}

1
4

1
2

2
.
3


➢ Chương 3. Không gian vector

▪ Định lý
Trong n , cho hệ gồm m vector {u1, u2,..., um } có

ma trận dòng là A .

Khi đó:
• Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A)
• Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A)
▪ Hệ quả
• Trong

n

, hệ có nhiều hơn n vector thì pttt.

• Trong

n

, hệ n vector đltt

det A

0.

m.
m.


➢ Chương 3. Không gian vector

VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector:
a) B1 {( 1; 2; 0), (2; 1; 1)} ;

b) B2

{( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}.
Giải

a) Ta có:

A

1 2 0
2 1 1

1 2 0
0 5 1

Vậy hệ B1 độc lập tuyến tính.

r (A)

2.


➢ Chương 3. Không gian vector

b) Ta có:
A

1 2 0
1 5 3
2 3 3

1 2 0
0 7 3
0 7 3

Vậy hệ B2 phụ thuộc tuyến tính.

r (A)

2

3.


➢ Chương 3. Không gian vector

VD 8. Trong 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt:
{( m; 1; 1), (1 4m; 3; m 2)}.
Giải. Ta có: A

A

m
1
1
.
1 4m 3 m 2

1
m

1
3 1 4m m 2

Vậy hệ pttt

r (A)

2

1
m
1
.
0 1 m m 1
m

1.


➢ Chương 3. Không gian vector

VD 9. Trong 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt:
{(m; 1; 1), (1; m; 1), (1; 1; m)} .
Giải. Ta có: A
Hệ đltt

m 1 1
1 m 1 .
1 1 m
det A

0

m 1 1
1 m 1
1 1 m

0

m
m

2
1

.


➢ Chương 3. Không gian vector

VD 10. Trong 4 , cho 4 vector:
u1 (1; 1; 0; 1), u2 (m; m; 1; 2) ,
u3

(0; 2; 0; m), u4

(2; 2; m; 4).

Điều kiện m để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 ?

Giải. Do u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 nên

a,b, c

không đồng thời bằng 0 thỏa:
u1 au2 bu3 cu4 .


➢ Chương 3. Không gian vector

Suy ra hệ:
ma 2c
ma 2b
a mc
2a mb

1
2c
0
4c

1
1

có nghiệm không tầm thường.


➢ Chương 3. Không gian vector

Ta có: A B

m
0
1

0
2
0

0

m 4

m
m
1

0
2
0

2 1
2
1
m 0

2

m

4

2
0
m

1
2
0

2m 1

1
1
0
m

0
1
0

0

m 4

m
0
2

0

1
1

2m 1


➢ Chương 3. Không gian vector

1 0
0 1
0 0 2
0 0 4
1 0
0 1

m
0

0
1
m2 1
2m 1 m

m
0

0
1
1

2

0 0 2 m
0 0
0 m3

m2

.
4m

2


➢ Chương 3. Không gian vector

Vậy để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 thì:
r (A)

r AB

2m 3
2
m

m

2m 2
2

1 m

8m

4

1

3.

0

………………………………………………………………………

0


➢ Chương 3. Không gian vector

§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT
TỌA ĐỘ CỦA VECTOR
3.1. Cơ sở của không gian vector
▪ Định nghĩa
Trong kgvt V , hệ n vector F {u1, u2, , un } được
gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi
vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F .


➢ Chương 3. Không gian vector
2

VD 1. Trong , xét hệ F {u1 =(1; 1), u2 =(0; 1)} .
Ta có: hệ F là độc lập tuyến tính.
2
Mặt khác, xét vector tùy ý x (a; b)
ta có:

x

au1

Vậy hệ F là 1 cơ sở của

(a
2

b)u2 .

.

3

VD 2. Trong
, xét hệ 2 vector:
B {u1 (1; 0; 0), u2 (0; 1; 0)} .

Ta có: u1

u2

(1; 1; 1),

,

Vậy hệ B không phải là cơ sở của

.
3

.


➢ Chương 3. Không gian vector

VD 3.
• Trong
E

n

, hệ n vector:
{ei (ai 1; ai 2 ;...; ain ), i

trong đó: aij 1 nếu i j , aij
được gọi là cơ sở chính tắc.

1,2,..., n}
0 nếu i

j

▪ Chú ý
Một không gian vector có thể có nhiều cơ sở và số
vector (hữu hạn) trong các cơ sở là không đổi.


➢ Chương 3. Không gian vector

3.2. Số chiều của không gian vector
▪ Định nghĩa
Số vector có trong 1 cơ sở bất kỳ của không gian
vector V được gọi là số chiều (dimension) của V .
Ký hiệu là: dimV .

▪ Chú ý
n
• Trong
, mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở.
• Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình,
ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều.


➢ Chương 3. Không gian vector

3.3. Tọa độ của vector
a) Định nghĩa
Trong kgvt V , cho cơ sở F {u1, u2, , un } .
Vector x V tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách
n

duy nhất qua cơ sở F là x

u,

i i

i 1

.

i

Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là ( 1;

2

; ;

1

Ký hiệu là: [x ]F

2

n

(

1

2

...

T
)
.
n

n

).


➢ Chương 3. Không gian vector

▪ Quy ước
Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E
n
trong
là [x ] hoặc viết dưới dạng x ( 1;...; n ).

VD 5. Trong
B {u1
Giải. Gọi [x ]B

x

au1

2

, cho x (3; 5) và 1 cơ sở:
(2; 1), u2 (1; 1)}. Tìm [x ]B ?
a
, ta có:
b
bu2

3
5

2
a
1

1
b
1