Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán về tìm tính chất của hàm số khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm đạo hàm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

MỤC LỤC
Mục
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
2.1.
1.2.1.
1.2.2.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.2.1
.
2.3.2.2
.
2.3.2.3
.

2.3.2.4
.

2.3.2.5
.

2.4.
3.

Nội dung
Trang
MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
2
Đối tượng nghiên cứu của đề tài
2
Phương pháp nghiên cứu của đề tài
2
NỘI DUNG
3
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
Giả thuyết của đề tài
3
Mục tiêu của đề tài
3
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
3
Các giải pháp sử dụng của sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết
3
vấn đề
Một số giải pháp
4
Biện pháp thực hiện
4
Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng

4
Xây dựng thuật giải từ một bài toán

4
f ( x)

Lớp các bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số
,
f [ u ( x) ]
f '( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
f ( x ) f u ( x ) 
Lớp các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số
,
f '( x) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
Lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) f u ( x ) 
,
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
f '( x) .
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG
NHẬN
CÁC PHỤ LỤC

9

12

16

18
20

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phát triển
giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng
lực và phẩm chất người học”. Trong đó, đổi mới về phương thức kiểm tra đánh giá là
một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay. Bộ GD&ĐT đã quyết định hình thức
thi trắc nghiệm đối với môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia bắt đầu từ năm 2017.
Với phương thức kiểm tra đánh giá môn Toán từ hình thức tự luận sang hình thức
trắc nghiệm là một bước ngoặt quan trọng. Từ sự thay đổi đó dẫn đến cách dạy của
thầy cô và cách học của học sinh phải thay đổi. Hơn ai hết, các thầy cô giảng dạy bộ
môn Toán đều nhận ra một điều đó là: Lượng kiến thức, lượng bài tập trong hai, ba
năm qua đã tăng lên một cách nhanh chóng. Điều đó, khiến chúng ta phải thay đổi về
cách tiếp cận vấn đề, về cách dạy… Theo tôi để phù hợp với xu thế hiện nay chúng ta
phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạy nhằm phát triển tư duy, phát
triển năng lực học sinh… từ đó các em có thể tự tin xử lý các tình huống thực tiễn.
Nhiệm vụ quan trọng của người thầy nói chung và người thầy giảng dạy bộ môn
Toán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với năng lực
của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác các kiến thức

mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thông thạo kĩ năng
giải Toán. Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìm hiểu
thật kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh. Đặc
biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì người giáo viên
phải tự mình nghiên cứu, phân tích kĩ bài toán đó rồi mới hướng dẫn cho các em.
Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ chặt
chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyết một
bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới. Bởi tôi nhận thấy
không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học sinh, thậm chí có
những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học sinh này nhưng lại “vô
nghĩa” với học sinh khác.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng của đạo hàm là
một chủ đề lớn xuyên suốt không thể thiếu trong các kì thi. Việc hoàn thiện các kỹ
năng từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giải
quyết các bài toán khác đã đặt ra cho người học một nhu cầu phù hợp. Muốn giải
được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các lý thuyết
về đơn điệu, cực trị, đồ thị… của hàm số và phải “đọc” được các
tính chất đó trên đồ thị.

2


Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng
tạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng Toán
liên quan. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển năng
lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm đạo hàm nhằm nâng cao chất lượng
giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia (nay là kỳ thi Tốt
nghiệp THPT)” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:

Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,
phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tiếp cận nhanh nhất,
hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về xác định một số tính chất của hàm số.
Đồng thời, rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một số năng lực
cho các em như:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm về chủ đề “ Hàm số”.
1.4. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi đã:
- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương
pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn Toán Giải tích.
- Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn Toán Giải tích ở học sinh trường
THPT Triệu Sơn 3.
- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập Toán Giải tích
- Tổ chức thực hiện đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy ở một số lớp 12 trường
THPT Triệu Sơn 3.
- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng.

3


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Giả thuyết của đề tài
Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:
- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập về

hàm số không?
- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đề thi
minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG qua các năm hay không?
- Đề tài có rèn luyện, phát triển tư duy logic – khoa học và có nâng cao được kết
quả học tập bộ môn Giải tích cho học sinh hay không?
2.1.2. Mục tiêu của đề tài
Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giải các
bài tập về hàm số.
- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Giải tích; đồng thời giúp các
em nâng cao kết quả học tập bộ môn này.
- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được tư duy logic – khoa học cho học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
- Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy khả năng đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị,
khả năng biến đổi đồ thị là các nội dung quan trọng mà nếu học sinh hiểu và vận
dụng được thì chắc chắn sẽ rất thuận lợi khi tiếp cận các bài toán về hàm số. Tuy
nhiên, trong thực tế những nội dung trên là những vấn đề mà đa số học sinh thường
gặp rất nhiều khó khăn, ngay cả những em học sinh có học lực khá, giỏi.
- Khi ôn tập, đặc biệt là khi các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy: Một số em
mặc dù nắm được kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính toán còn chậm,
việc toán học hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng không
linh hoạt.
- Đối với người dạy thì phần lớn mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và
giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở
nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy học phù hợp với từng nội
dung và năng lực của học sinh.
- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh
tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ,
tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi. Kết
quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng vận dụng

vào thực tế chưa cao. Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên ôn tập hoặc
khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không còn nắm vững được
các kiến thức đã học trước đó.
Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh cảm thấy học các bài toán về hàm số
rất khó. Dẫn đến kết quả học tập chưa cao.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số giải pháp
4


* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi giải một bài toán về hàm số
để dễ dàng giải quyết các bài tập.
* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữa các
tính chất của hàm số tương ứng với đồ thị hoặc bảng biến thiên của nó.
* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như phần mềm giảng dạy như Cabir,
GSPS, Geogebra….
* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ
khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến
thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh.
2.3.2. Biện pháp thực hiện:
2.3.2.1. Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng:
y = f ( x)
( C)
D
* Đồ thị hàm số: Đồ thị
của hàm số
xác định trên tập là tập hợp tất
M ( x; f ( x ) )
xÎ D

cả các điểm
trong mặt phẳng tọa độ với mọi
. [4]
y = f ( x)
* Giao điểm của đồ thị và trục hoành (Sự tương giao giữa đồ thị hàm số
và
y = f ( x)
trục hoành): Giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành là nghiệm của
f ( x ) = 0.
phương trình hoành độ giao điểm
M ( x; f ( x ) )

* Điểm
M ( x; f ( x) )

f ( x) > 0
( C)
thuộc đồ thị
và nằm phía trên trục hoành thì
;
f ( x) < 0
( C)
thuộc đồ thị
và nằm dưới trục hoành thì
.

* Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp:
Công thức đạo hàm của hàm hợp
u = u ( x)

y = f (u )
x0
a) Nếu hàm số
có đạo hàm tại
và hàm số
có đạo hàm tại
g ( x) = f (u ( x))
u0 = u ( x0 )
x0
thì hàm số hợp
có đạo hàm tại
và
g ¢( x0 ) = f ¢(u0 ).u ¢( x0 )
[4]
y = g ( x)
"x Î D
b) Nếu giả thiết trong a) thoả mãn với
thì
có đạo hàm trên
g ¢( x) = f ¢(u ( x )).u ¢( x )
D
và
[4]
2.3.2.2. Xây dựng thuật giải từ một bài toán:
Xây dựng các thuật giải: Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định để
tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau. Thông qua việc hình
5


thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại

hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa
học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi giải nhiều loại bài tập đặc biệt
là bài tập về hàm số.

6


Bài toán 1: (Trích dề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 104) [1]
Cho hàm số

y = f ( x)

x

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

−∞

−1

0

2

+∞
f ( x)

+

0

−

−

0

+

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên khoảng

( - 2;0)
( - ¥ ;0)
( 0;2)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( - ¥ ; - 2)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
* Nhận xét:

y = f ( x)

D

f '( x ) ³ 0

Ta có Định lý mở rộng: Cho hàm số
có đạo hàm trên . Nếu

,
f '( x ) £ 0 " x Î D
f '( x ) = 0
"x Î D
D
(hoặc
,
) và
chỉ tại một số hữu hạn điểm của
D
thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên . [4]
Từ đó ta có kết luận:
Dựa vào bảng xét dấu của hàm số
a) Nếu
b) Nếu

f '( x )
f '( x )

f '( x)

nhận dấu “+” thì hàm số
nhận dấu “-” thì hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số

f '( x)

ta nhận thấy:

y = f ( x)
y = f ( x)

đồng biến trên khoảng tương ứng.
nghịch biến trên khoảng tương ứng.

ta nhận thấy:

f '( x)
x
a) Nếu phần đồ thị
nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng tương ứng của
f ( x)
đó hàm số
đồng biến (tăng).
7


f '( x)

b) Nếu phần đồ thị
nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng tương ứng của
f ( x)
x
đó hàm số
nghịch biến (giảm).
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát cho bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm
số khi biết bảng xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm đạo hàm như sau:
f '( x )
Bước 1: Xác định dấu (+), (-) của hàm số

trên bảng xét dấu hoặc phần đồ thị
f '( x )
nằm phía trên (dưới) trục hoành của hàm số
.
x
Bước 2: Xét sự tương ứng của trên từng khoảng đồng biến (nghịch biến)
f ( x)
Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số
trên khoảng tương ứng đó.
b) Lời giải: Chọn B
y ' <0
x Î (0;2)
Theo bảng xét dấu thì
khi
nên hàm số nghịch biến trên khoảng
(0;2)
.
Bài toán 2: (Trích đề THPTQG năm 2018) [1]

y = f ( x)

Cho hàm số
. Hàm số
như hình bên. Hàm số

y = f (2 - x )

A.
C.

( 1;3)
( - 2;1)

y = f '( x)

có đồ thị

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

B.
D.

( 2;+¥ )
( - ¥ ; - 2)
Lời giải

Chọn C

y = f ¢( x )

éx £ - 1
f ¢( x ) £ 0 Û ê
ê
1£ x £ 4
ë

Dựa vào đồ thị của hàm số
ta có
( f ( 2 - x) ) ¢= ( 2 - x) ¢. f ¢( 2 - x) =- f ¢( 2 - x)
Ta có

.

.

8


Để hàm số

y = f ( 2 - x)

đồng biến thì

é2 - x £ - 1
Û ê
Û
ê
1
£
2
x
£
4
ë

( f ( 2 - x) ) ¢³

éx ³ 3
ê
ê

ë- 2 £ x £ 1

0 Û f ¢( 2 - x ) £ 0

.

Bài toán 3: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1]
f ( x)

Cho hàm số
có đạo hàm
hàm số đã cho là
3
A. .

f ¢( x ) = x ( x - 1)( x + 2)

B.

2

3

,

"x Î ¡

. Số điểm cực trị của

5

C. .

.

1
D. .

* Ta có:
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

f

Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
( a; x0 ) ( x0 ; b)
trên các khoảng
và
. Khi đó
a) Nếu

f '( x ) < 0

x Î ( a; x0 )

f '( x) > 0

x Î ( a; x0 )

với mọi
f

x0
đạt cực tiểu tại điểm .
b) Nếu

với mọi
f
x0
đạt cực đại tại điểm . [4]

và

và

( a; b)

chứa điểm

f '( x) > 0

với mọi

f '( x) < 0

với mọi

x0

và có đạo hàm

x Î ( x0 ; b)

x Î ( x0 ; b)

thì hàm số

thì hàm số

Từ đó ta có kết luận:

( a; b)
f
f
a) Với giả thiết hàm số liên tục trên khoảng
, nếu hàm số
có đạo hàm đổi
f
x0
x0
dấu qua điểm
thì hàm số đạt cực trị tại điểm .
y = f ( x)

b) Nếu hàm số
f '( x0 ) = 0
x0
thì

có đạo hàm trên khoảng

( a; b)

và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại

Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
9


Bảng 1: Hàm số
x
x0 − a

y = f ( x)

f ( x)

0

Bảng 2: Hàm số
x
x0 − a
f ′( x)

x0
–

f ( x)

0

.

x

−

x0 − a

+

f ′( x)
f ( x)

f CD

y = f ( x)

x = x0

x0 + a

x0

+

f ′( x)

đạt cực đại tại điểm

đạt cực tiểu tại điểm
x

x0 + a
+

x = x0

.
x0 − a

f ′( x)

–

f ( x)

fCT

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát cho bài toán tìm điểm cực trị của hàm số khi
biết bảng xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm đạo hàm như sau:
x0 Î D

f '( x0 ) = 0

f '( x0 )

Bước 1: Tìm điểm
mà
hoặc
không xác định trên bảng xét dấu
f '( x )
f '( x)

x0
hàm
hoặc điểm là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm
với trục hoành.
f '( x )

x0

Bước 2: Xét sự đổi dấu của
qua hoặc "băng qua" trục hoành của đồ thị hàm
f '( x )
. (Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại; cắt và
"băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu).
Bước 3: Kết luận về điểm cực trị của hàm số
b) Lời giải: Chọn A

Ta có

f ¢( x ) = x ( x - 1)( x + 2)

3

;

f ( x)

.

éx = 0
ê

f ¢( x ) = 0 Û êx = 1
ê
êx =- 2
ë

Bảng xét dấu
10


Vì

f ¢( x )

đổi dấu

3

lần khi đi qua các điểm nên hàm số đã cho có

3

cực trị.

Bài toán 4: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1]
Cho hàm số

y = f ( x)

Bất phương trình

A.

m ³ f ( 1) - e

m ³ f ( - 1) C.

. Hàm số

y = f ¢( x )

f ( x) < e x + m

có bảng biến thiên như sau

đúng với mọi

m > f ( - 1) .

B.

1
e

.

x Î ( - 1;1)

D.

m > f ( 1) - e

1
e

khi và chỉ khi

.

.

Lời giải
Ta có:

f ( x) < e x + m Û f ( x) - e x < m

.

h ( x) = f ( x) - e x , x Î ( - 1;1) h¢( x ) = f ¢( x ) - e x < 0, " x Î ( - 1;1)
Xét
;
.

Þ h( x)

nghịch biến trên

Để bất phương trình

( - 1;1) Þ h ( 1) < h( x) < h ( - 1) , " x Î ( - 1;1)

f ( x) < e x + m

Û m ³ h ( - 1) Û m ³ f ( - 1) -

1
e

đúng với mọi

.

x Î ( - 1;1)

.

* Nhận xét: 1) Bài toán dẫn đến tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng tương
ứng.
11


2) Với yêu cầu của bài toán: Tìm
lưu ý điểm đầu mút

m

f ( x) < m, " x Î (a; b) Û m > max f ( x )
( a ;b )

để

ta cần

Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến
thiên. [4]
Bảng 3:

min y = f ( x0 )
Ta có:

[ a ;b]

.

Bảng 4:

max y = f ( x0 )

Ta có:

[ a ;b]

.

Bảng 5:

Bảng 6:

min y = f ( a ) ;max y = f ( b)
Ta có:

[ a ;b]

min y = f ( b) ;max y = f ( a )

[ a ;b]

.

Ta có:

[ a ;b]

[ a ;b]

2.3.2.3. Lớp các bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số
f '( x ) .
khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
A. Phương pháp giải:

.
f ( x)

,

f ( u ( x ))

12


Bước 1: Tính

( f (u ( x))) ¢= u '( x) . f '(u ( x))

Bước 2: Giải bất phương trình

.

u '( x) . f '( u ( x) ) > 0

hoặc

u '( x) . f '( u ( x) ) < 0

Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

f '( x )

bất phương trình trên. Từ đó chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số

tìm tập nghiệm của
f ( u ( x ))

f ( x)

¡
Ví dụ 1:Cho hàm số
xác định trên
và có đồ
f '( x)
thị hàm số

là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào
đây đúng?
f ( x)
( - 1;1) .
A. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

f ( x)
f ( x)

( 1; 2) .

đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

f ( x)

dưới

( - 2;1) .

nghịch biến trên khoảng

( 0; 2) .

[2]

Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số
x - ¥
- 2
y,

-

0

y = f '( x )

ta có bảng biến thiên như sau:

+

0

+¥

2

0
-

0

+

y

Chọn đáp án: D

y = f '( x )
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số

13


K

f '( x)

K

f '( x)

K

f '( x)

Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
f ( x)
K
đồng biến trên .
Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
f ( x)

K
nghịch biến trên .

nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì

nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì

Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có
phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.
y

4
O

1

2 3

x

5

( 0; 2)

Trên khoảng
dưới trục hoành nên ta chọn đáp án D.

y = f ( x)

ta thấy đồ thị hàm số

y = f '( x )

nằm bên

f ( x)

Ví dụ 2:Cho hàm số
. Biết
có
f ¢( x )
y = f ¢( x )
đạo hàm là
và hàm số
có đồ thị
như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)

chỉ có hai điểm cực trị.
đồng biến trên khoảng

( 1;3)

đồng biến trên khoảng

.

( - ¥ ;2)

nghịch biến trên khoảng

.

( 4;+¥ )

.

Hướng dẫn:
Trên khoảng

( 1;3)

ta thấy đồ thị hàm số

f ¢( x )

nằm trên trục hoành nên chọn B.
14

Ví dụ 3: Cho hàm số
f ( x)

f ( x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ( a ¹ 0)

f '( x )

y = f '( x )

có đạo hàm là
và hàm số
nhận xét nào sau đây là sai?
f ( x)
( - 2;1)
A. Trên
thì hàm số
luôn tăng.
B. Hàm
C. Hàm
D. Hàm

f ( x)
f ( x)
f ( x)

giảm trên đoạn

[- 1;1]

. Biết rằng hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó
4
2

.

đồng biến trên khoảng

( 1;+¥ )

nghịch biến trên khoảng

-2

.

-1

1

( - ¥ ; - 2)

Hướng dẫn:
Trên khoảng

[- 1;1]

đồ thị hàm số

y = f ( x)

f '( x)

nằm phía trên trục hoành nên chọn B.

f ( x)

Ví dụ 4:Cho hàm số
. Biết
có đạo hàm
y = f '( x )
có đồ thị như hình vẽ. Đặt
g ( x) = f ( x +1)
. Kết luận nào sau đây đúng?
g ( x)
A. Hàm số
có hai điểm cực trị.
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g ( x)
g ( x)
g ( x)

đồng biến trên khoảng

( 1;3)

nghịch biến trên khoảng

f '( x)

và hàm số

.

( 2;4)

.

có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Hướng dẫn:

Cách 1 :

éx +1 =1
ê
g '( x) = f '( x +1) = 0 Û êx +1 = 3 Û
ê
êx +1 = 5
ë

éx = 0
ê
êx = 2
ê
êx = 4

ë

15


é1 < x +1 < 3
g '( x) = f '( x +1) > 0 Û ê
Û
ê
x
+
1
>
5
ë

x
y,

-¥

0

-

2

0

+

0

é0 < x < 2
ê
ê
ëx > 4

+¥

4
-

0

+

y

Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số

g '( x) = f '( x +1)

y = f '( x )
là phép tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.

( 2;4)
Ta thấy trên khoảng

đồ thị hàm số
g '( x ) = f '( x +1)
nằm bên dưới trục hoành
g ( x)
nên hàm số
nghịch biến trên khoảng
( 2;4)
, ta chọn đáp án C.
Bài tập rèn luyện (Phụ lục 1)

2.3.2.4. Lớp các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số
f '( x) .
biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

y = f ( x)

Ví dụ 1:Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
y = f ( x)
x =- 1.
A. Hàm số
đạt cực4đại tạiy=f’(x)
điểm

¡

f ( x)

và hàm số

,

f ( u ( x ))

y = f ¢( x )

khi

có

2

16
-2

-1

1


B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)

đạt cực tiểu tại điểm

đạt cực tiểu tại điểm
đạt cực đại tại điểm

Hướng dẫn: Giá trị của hàm số
x =- 2
nên chọn đáp án C.

Ví dụ 2:Cho hàm số

y = f ( x)

x = 1.

x =- 2.
x =- 2

y = f ¢( x )

xác định trên

. [3]

đổi dấu từ âm sang dương khi qua

¡

và

y = f '( x )

có đồ thị hàm số
là đường cong trong hình
bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y = f ( x)
x =2
A. Hàm số
đạt cực tiểu tại
và
x =0
.
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)
y = f ( x)
y = f ( x)

y

- 1O

2

x

có 4 cực trị.
đạt cực tiểu tại
đạt cực đại tại

x =- 1
x =- 1

.

. [2]

Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số

y = f '( x )

sang dương khi qua

x =- 1

đổi dấu từ âm

nên ta chọn đáp án

C.
17


f ( x)

y = f ( x)

Ví dụ 3:Cho hàm số
. Biết

có
f '( x)
y = f '( x )
g ( x) = f ( x - 1)
đạo hàm
và hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
x = 2.
x = 4.
B.
A.
C.

x = 3.

D.

x =1.

Hướng dẫn :

Cách 1 :

éx - 1 =1
ê
g '( x) = f '( x - 1) = 0 Û êx - 1 = 3 Û
ê
êx - 1 = 5
ë

é1 < x - 1 < 3
g '( x) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
x
1
>
5
ë
x
y,

-¥

2
-

0

4
+

0

éx = 2
ê
êx = 4
ê
êx = 6

ë

é2 < x < 4
ê
ê
ëx > 6
+¥

6
-

0

+

y

Ta chọn đáp án B.

g '( x ) = f '( x - 1)

Cách 2 : đồ thị hàm số
là phép tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.

y = f '( x )

Đồ thị hàm số
g '( x) = f '( x - 1)

cắt trục
hoành tại các điểm có hoành
x = 2; x = 4; x = 6
độ
và giá
g '( x )
trị hàm số
đổi dấu từ
dương sang âm khi qua điểm
x =4
. Ta chọn đáp án B.
18


y

O

1

x

y = f ( x)

¡
Ví dụ 4:
Hàm số
liên tục trên khoảng , biết đồ thị
của hàm số
y = f '( x )

y = f ( x)
¡
¡
trên như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số
trên .
1.
2.
A.
B.
C.

3.

D.

4.

Hướng dẫn:

y = f '( x )
Ox
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
cắt trục
tại mấy điểm mà
y = f '( x )
Ox
thôi, không kể các điểm mà đồ thị
tiếp xúc với trục
. Ta chọn B.
a

Nhận xét: Xét một thực dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của
y = f ( x + a)
y = f ( x - a)
K
hàm số
hoặc
trên , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú
y = f ( x) y = f ( x + a )
y = f ( x - a)
ý số cực trị của các hàm số
,
và
là bằng nhau
x0
nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị
khác nhau!
Giả thiết ở ví dụ 1 và các ví dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

y = g ( x)
K
liên tục trên khoảng
và có đồ thị như hình vẽ. Biết
là
y = f ( x)
y = g ( x)
K
một nguyên hàm của hàm số
. Tìm số cực trị của hàm số
trên .
Hàm số

y = f ( x)

Ví dụ 5:

19


y = f ( x)

Cho hàm số

¡

xác định và liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số
y = f ( x)
[0;3]
hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số
trên đoạn
?
A.
B.
C.
D.

x =0
x =1

như

x = 2.

và
và

f ¢( x)

x = 3.

x = 2.

x = 0.

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số

f ¢( x )

cắt

trục hoành tại 3 điểm, ta thấy
chọn đáp án C.

f ¢( x )

f ( x)

đổi dấu từ âm sang dương khi qua

¡

Ví dụ 6:Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị của hàm số
y = g ( x) = f ( x) + 4 x
hình vẽ . Hàm số
có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

f ¢( x)

x =2

nên

như

Hướng dẫn:
Cách 1:

y ' = g '( x ) = f '( x ) + 4

có đồ thị là phép tịnh

f '( x)
Oy
tiến đồ thị hàm số
theo phương
lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số

g '( x )

Cách 2: Số cực trị của hàm

cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.

g ( x)

bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình
20


g '( x ) = f '( x ) + 4 = 0 Û f '( x ) =- 4
Dựa vào đồ thị của hàm

f '( x )

ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.

Bài tập rèn luyện (Phụ lục 2)
2.3.2.5. Lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
f ( u ( x ))
f '( x ) .

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số

f ( x)

,

y
x
−2 −1 O 1

2

Ví dụ 1:

Cho hàm số

[- 2;2]

y = f ¢( x )

tục trên
, có đồ thị của hàm số
y = f ( x)
[- 2;2]
số
đạt giá trị lớn nhất trên
.

A.
C.

x0 = 2

.

B.

x0 =- 2

.

D.

x0 =- 1
x0 =1

y

+

xác định và liên

như hình bên. Tìm giá trị

x0

để hàm

.

.

Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x - 2
- 1
y,

y = f ( x)

0

1
+

0

2
-

f ( 1)

Ta chọn đáp án D.
21


Nhận xét : Trong bài toán này, ta cần đọc được dấu của đạo hàm dựa vào đồ thị của
nó (phần trên trục hoành và phần dưới trục hoành) từ đó lập bảng biến thiên ta có
được tập giá trị của hàm số và kết luận.
Ví dụ 2: Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm là

f ¢( x )

. Đồ thị của hàm số

f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5)

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f ( x)
[ 0;5]?
m
M
nhất
và giá trị lớn nhất
của
trên đoạn
m = f ( 0) , M = f ( 5) .
A.

y = f ¢( x )

. Tìm giá trị nhỏ

m = f ( 2) , M = f ( 0 ) .

B.

m = f ( 1) , M = f ( 5) .
C.
D.

m = f ( 2) , M = f ( 5) .

[2]

Hướng dẫn:

x
y,

0

0
f ( 0)

2
-

0

5

3
+

+

f ( 5)
f ( 3)

y

f ( 2)

min f ( x ) = f ( 2)
[ 0;5]

f ( 3) > f ( 2)

và
f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) Þ f ( 0) - f ( 5) = f ( 2) - f ( 3) < 0 Þ

f ( 0) < f ( 5)

Ta chọn đáp án D.
22


Ví dụ 3: Cho hàm số

f ( x)

f ¢( x)

y = f ¢( x )

có đạo hàm là

. Đồ thị của hàm số
được
f ( 0) + f ( 1) - 2 f ( 2) = f ( 4) - f ( 3)
cho như hình vẽ bên. Biết rằng
. Tìm giá trị
f ( x)
[ 0;4]?
m
M
nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất
của
trên đoạn
A.
B.
C.
D.

m = f ( 4) , M = f ( 2 ) .
m = f ( 4) , M = f ( 1) .
m = f ( 0) , M = f ( 2) .
m = f ( 1) , M = f ( 2) .

Hướng dẫn:

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên như sau:

x
y,

0

0

2

1
+

+

0

4

3
-

-

f ( 2)
y

f ( 0)
Dựa vào BBT ta có

M = f ( 2)

f ( 4)
, GTNN chỉ có thể là

f ( 0)

hoặc

f ( 4)

f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2) Þ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2) Û 2 f ( 2) - f ( 1) - f ( 3) > 0
Ta lại có:
f ( 0) + f ( 1) - 2 f ( 2) = f ( 4) - f ( 3) Û f ( 0) - f ( 4) = 2 f ( 2) - f ( 3) - f ( 1) > 0
Þ f ( 0) > f ( 4 ) .

Ta chọn đáp án A.
Nhận xét: Cơ sở chung của bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là
tìm tập giá trị của hàm số đó ; vì vậy muốn tìm được tập giá trị ta phải lập được
bảng biến thiên dựa vào dấu của đạo hàm
23


Ví dụ 4: Cho hàm số

y = f ( x)

xác định và liên tục
y = f '( x )
g ( x) = f ( x) - x
¡
trên
, có đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau. Đặt

Mệnh đề nào sau đây đúng ?
g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) .
A.
B.
C.
D.

g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) .
g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) .
g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .

Hướng dẫn : Ta có

éx =- 1
ê
g '( x ) = f '( x ) - 1 = 0 Û f '( x ) =1 Û ê x =1
ê
êx = 2
ë

hệ giữa đồ thị hàm số
thiên:
x

y = f '( x )

và đường thẳng

-¥
+¥

g '( x )

- 1
+

0

y =1.

1

-

0

. Ta xét mối quan

Từ đó ta lập được bảng biên

2

-

0

+

g ( - 1)

g ( x)

g ( 1)

g ( 2)
Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: Để so sánh các giá trị của một hàm số, ngoài hướng so sánh trực tiếp trên
cơ sở tính các giá trị đó ta còn có thể thực hiện so sánh gián tiếp thông qua t tính
đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm đạo hàm.
Bài tập rèn luyện (Phụ lục 3)

24


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua quá trình định hướng một bài toán với nhiều hướng giải quyết khác nhau;
đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận được lớp các bài toán nên lựa chọn cách giải
nào là phù hợp với năng lực của từng học sinh tôi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng
thú học tập hơn, tính nhanh và độ chính xác cao hơn.Từ đó kết quả kiểm tra tốt hơn
rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12E2 và
12E5 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài ngắn hơn
và kết quả tốt hơn rõ rệt. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1

Lớp
12E2
12E5

Số HS Điểm dưới 5
thực
nghiệ
SL
%
m
14,28
42
6
%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

42

17

3

7,15%

Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới 5
thực
Lớp
nghiệ
SL
%
m

19

%
45,24
%
40,48
%

15
18

%
35,72
%
42,85
%

2
4

%
4,76
%
9,32
%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

%

%

%

23,82
57,14
19,04
24
8
%

%
%
14,28
52,38
33,34
12E5
42
0
0
6
22
14
%
%
%
So sánh kết quả thi THPT Quốc Gia năm học 2018-2019 và kết quả khảo sát chất
lượng các môn thi Tốt nghiệp THPT năm học 2019-2020 đề bám sát đề tham khảo
của Bộ GD&ĐT của hai lớp học tương ứng:
12E2

42

0

0

10

Năm học 2018-2019
Lớp

12D2
12D3

Điểm trung bình
7,10
7,94

Lớp
12E2
12E5

Kết quả khảo sát
Năm học 2019-2020
Điểm trung bình
7,75
8,25
25