Một số giải pháp giúp học sinh giải các bài toán tính thể tích khối chóp trong hình học không gian

MỤC LỤC
Phần
A

B
C
D

Nội dung
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
2. Hệ quả của thực trạng
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
II.GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1

Trang
2
2
2
2
3
4

4
5
16
17


Trong các kỳ thi THPT Quốc gia những năm gần đây, bài toán tính thể tích khối
chóp là một dạng toán thường xuyên có mặt và gây khó khăn cho học sinh. Nhiều
em học sinh còn có tâm lý “ bỏ luôn, không đọc đề” với những bài toán này.
Nguyên nhân cơ bản được xác định là do học sinh chưa biết phân biệt các dạng bài
tập để lựa chọn các công cụ, phương pháp cho phù hợp. Trước thực trạng đó, tôi
xin trình bày kinh nghiệm “Một số giải pháp giúp học sinh giải các bài toán tính
thể tích khối chóp trong Hình học không gian”.
Trong nội dung của đề tài tôi xin được tập trung giới thiệu cách nhận biết và phân
loại các dạng toán tính thể tích khối chóp thông qua các ví dụ cụ thể với lời giải chi
tiết .Thông qua đề tài “Một số giải pháp giúp học sinh giải các bài toán tính thể
tích khối chóp trong Hình học không gian” tôi mong muốn giúp các em giải
quyết những khó khăn, vướng mắc trong giải toán, từ đó tự tin “kiếm điểm” khi gặp
bài tập dạng này.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
Sau một thời gian dạy học môn Toán phần tính thể tích khối chóp ở trường tôi, tôi
nhận thấy một số vấn đề như sau:
Vấn đề thứ nhất: Công thức tính thể tích khối chóp (cũng như của các khối đa
diện khác) được trình bày ở đầu lớp 12 còn các kiến thức liên quan (như quan hệ
song song, quan hệ vuông góc) các em lại được học ở chương trình lớp 11. Chính
vì vậy, để “lắp ghép” các phần lại với nhau, nhất là sau một kỳ nghỉ hè và trong tâm
lý “sợ” phần Hình học không gian, là một điều không dễ thực hiện.
Vấn đề thứ hai:Bài tập phần tính thể tích khối chóp đa dạng và khó nên học sinh
thường lúng túng khi làm bài tập phần này.

Vấn đề thứ ba: Trường THPT Lê Hoàn là một trường đóng trên địa bàn trung du,
học sinh đại đa số là con em nông dân có đời sống khó khăn. Điểm chuẩn đầu vào
của trường còn thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm trên 60% nên tư duy của
2


các em còn nhiều hạn chế. Nhiều em còn lúng túng trong việc vẽ hình, nhất là việc
xác định “đường nét đứt, đường nét liền”, cũng như việc xác định các yếu tố như
đường cao của khối chóp, do đó thường dẫn đến kết quả sai.
2. Hệ quả của thực trạng
Học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất sợ và lúng túng khi làm các bài toán
tính thể tích.
Năm học 2017-2018, sau khi học bài “Thể tích của khối đa diện”, tôi tiến hành
khảo sát ở các lớp 12A4, 12A7, 12A8 thì thu được kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

12A4
12A7
12A8

46
41
43

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10
0
0
0

7-8.5
6
3
5

5-6.5
15
12
10

3.5-4.5
21
18
16

0-3
4
8
12

Từ thực tế trên, với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân,
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em phân loại và nắm vững
phương pháp giải các dạng toán tính thể tích khối chóp, có tư duy tốt hơn để tìm ra
lời giải đúng cho bài toán, qua đó thêm yêu phân môn Hình học không gian nói
riêng và môn Toán nói chung.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Trong tam giác vuông ABC ( A=900 ) , đường cao AH ta luôn có:
1)
3


2)

A

B

H

C

2. Trong tam giác thường ABC:
1)

và

Tương tự với các hệ thức cạnh .

2) .
3)

(p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

4) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
5)

( Công thức Hê-rông)

3. Công thức tính thể tích khối chóp:
( B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao)

II. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Các giải pháp thực hiện
1) Hướng dẫn học sinh đọc kỹ đề toán, xác định rõ yêu cầu đề bài từ đó biết cách
vẽ hình.
2) Nêu những dạng toán mà học sinh thường gặp trong sách giáo khoa, sách bài
tập hoặc trong các đề thi.
2. Biện pháp tổ chức thực hiện
4


1)Phương pháp xác định đường cao của khối chóp:
Để xác định đường cao của khối chóp, ta chia thành các dạng nhỏ như sau:
a. Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao.
b. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường
vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên và đáy.
c. Khối chóp có hai mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là
giao tuyến của hai mặt bên đó.

d. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc có các cạnh bên cùng tạo với đáy
một góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
e. Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường
cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Có thể sử dụng các giả thiết mở như:
f. Hình chóp có các mặt và cùng tạo với mặt đáy một góc thì chân đường cao hạ
từ S thuộc phân giác trong của góc
g. Hình chóp có hoặc và cùng tạo với đáy góc thì chân đường cao hạ từ S thuộc
đường trung trực của AB.
2) Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta tìm cách phân chia
khối chóp thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó
hoặc sử dụng công thức tính tỉ số thể tích thể tích để tìm thể tích của khối chóp cần
tính thông qua một khối chóp đơn giản hơn.

3) Phân chia bài toán tính thể tích thành khối chóp thành các dạng toán nhỏ.
Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Bài toán 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B với. Biết SA
vuông góc với đáy (ABC) và SC hợp với (SAB) một góc . Tính thể tích khối chóp .
Giải:
5


Do đó góc giữa SC và mp(SAB) là góc .
Tính được .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
Bài toán 2 : Cho hình chóp có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA=h. Biết rằng
tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc . Tính thể tích khối
chóp .
Giải:

Gọi M là trung điểm của BC
Do đó góc giữa (SBC) và (ABC) là góc
6


Tính được
Thể tích khối chóp S.ABC là :
Bài toán 3 :Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Biết SA vuông góc với đáy
(ABCD), SC=a và SC hợp với (ABCD) một góc . Tính thể tích khối chóp .
Giải:

Góc giữa SC và (ABCD) là góc
Tính được
Thể tích khối chóp S.ABCD là :
Bài toán 4 : Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với
đáy (ABCD) và mặt bên (SCD) hợp với (ABCD) một góc 600.
1. Tính thể tích khối chóp .
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Giải:

1.
7


Góc giữa (SCD) và (SBCD) là góc
Tính được nên thể tích khối chóp là
Dựng do đó AH là khoảng cách từ A đến (SCD)
vuông nên
Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A với

AB=AC=a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
Mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc . Tính thể tích khối chóp
Giải:

SH  ( ABC ) �
�� AC  SA
AC

AB
�
Gọi H là trung điểm của AB. Ta có

Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc
Tính được nên thể tích khối chóp là
Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, tam giác SBC có
đường cao SH=h và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB
hợp với (ABC) một góc .Tính thể tích khối chóp .
Giải:
8


Có và nên
Do đó góc giữa SB và (ABC) là góc
Tính được và nên thể tích khối chóp là
Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2BD=2a
và vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính thể tích khối chóp.
Giải:

Tính được.

Gọi H là trung điểm của AD
vuông cân nên
Do đó thể tích khối chóp là
Bài toán 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D, AD=CD=a, AB=2a. Biết đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích khối chóp.
9


Giải:

Gọi H là trung điểm của AB.
Do đều nên . Mà theo giao tuyến AB nên
Tính được . Do đó thể tích khối chóp là
Bài toán 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh a. Biết
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
1.Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AB.
2.Tính thể tích khối chóp
Hướng dẫn: Tương tự Bài toán 8.

ĐS:

Dạng 3 : Khối chóp đều
Bài toán 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a và hợp với
đáy một góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Ta có
10

Tính được
Do đó thể tích khối chóp là
Bài toán 11:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a. Góc ở đáy
của mặt bên là .Tính đường cao SH và thể tích của khối chópS.ABC.
Giải:

Gọi K là Trung điểm của AC.
cân tại S và nên vuông cân tại S

và
Do đó thể tích khối chóp là
Bài toán 12:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc . Tính
thể tích của khối chóp.
Giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
11


Ta có và
Do đó thể tích khối chóp là
Bài toán 13:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài đường cao h. Góc ở
đỉnh của mặt bên bằng . Tính thể tích của khối chóp.

Giải:
có nên đều.
(c.g.c) vuông cân tại S
Do đó thể tích khối chóp là
Dạng 3 : Tính thể tích khối chóp thông qua tỉ số thể tích

Bài toán 14. Cho khối chóp S . ABC với tam giác ABC vuông cân tại B , AC  2a
1
SI  SB
SA  ( ABC ) và SA  a . Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho
3
. Tính thể

tích khối tứ diện SAIC .
Giải:

12


S

I

A

C

Hình 5
B

Tam giác ABC vuông cân tại B có AC  2a nên AB  BC  a 2 .
Do đó

S ABC 

1

AB.BC  a 2
2
.

Vì SA  ( ABC ) nên SA là chiều cao của hình chóp S . ABC .
Suy ra

VS . ABC

1
a3
 SA.S ABC 
3
3

VS . AIC SA SI SC 1

. .

V
SA
SB
SC
3.
S
.
ABC
Mặt khác

1

1 a3 a3
VS . AIC  VS . ABC  . 
3
3 3
9 .
Vậy

Bài toán 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB  2a, BC  a; SA  SB  SC  SD  a 2 . Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho

1
SF  FD
SE  2SC , F là điểm thuộc cạnh SD sao cho
3
. Tính thể tích khối đa diện

SABEF .

Giải:
13


S

F

E

A

D

O
B

C
Hình 6

2
Ta có S ABCD  AB.BC  2a .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABD ta có
BD  AB 2  AD 2  a 5 .

Gọi O  AC �BD thì

BO 

1
a 5
BD 
2
2 .

Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao
của tam giác SBD . Suy ra SO  BD .
Chứng minh tương tự SO  AC . Suy ra SO  ( ABCD) hay SO là đường cao của
hình chóp S . ABCD .
Ta có

SO  SB 2  BO 2  (a 2) 2  (

a 5 2 a 3
) 
2
2 .

1
1
a 3 a3
VS . ABCD  S ABCD .SO  .2a 2 .

3
3
2
3.
VS . ABE SA SB SE 2

. .

V
SA
SB
SC
3
S
.
ABC
Mặt khác

� VS . ABE

2
1
a3
 .VS . ABC  .VS . ABCD 
3
3
3 3

(1)
14


VS . AEE SA SE SF 2 1 1

.
.
 . 
VS . ACD SA SC SD 3 4 6

1
1
a3
� VS . AEF  .VS . ACD  .VS . ABCD 
6
12
12 3

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
VSABEF  VS . ABE  VS . AEF 

a3
a3
5a 3 3


36 .
3 3 12 3

C.KẾT LUẬN
1.Kết quả nghiên cứu
Năm học 2018-2019, sau khi áp dụng kinh nghiệm trên vào việc dạy cho học sinh,
tôi đã thu được một số kết quả khả quan:
Lớp

Sĩ số

12A5
12A7

45
43

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10
2
1

7-8.5
18
13

5-6.5
18
20

3.5-4.5
9
9

0-3
0
0

Kết quả trên cho thấy hiệu quả của việc thực hiện sang kiến vào dạy học, qua đó
tạo niềm tin và hứng thú của Học sinh trong việc học phân môn Hình học không
gian nói chung và dạng toán tính thể tích khối chóp nói riêng.
2.Ý kiến đề xuất

Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp
cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được
hoàn thiện hơn .

15


D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách Hình học 12, sách Hinh học 12NC-NXB Giáo dục.
2.Sách Bài tập Hình học 12, sách Bài tập Hình học 12NC-NXB Giáo dục.
3. Chuyên đề : Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện . Tác giả LêVăn Vinh

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 01 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Trịnh Tấn Hưng

16