Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TOÁN XÉT
HƯỚNGCHIỀU
DẪN HỌC
SINH
ÁP DỤNG
HÀMHỢP
SỐ MŨ, HÀM
BIẾN
THIÊN
CỦA HÀM
SỐ LÔGARIT LÀM NHANH BÀI TOÁN THỰC TẾ

thực
Người thực hiện:Người
Đỗ Thị
Maihiện: Đỗ Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
Chức vụ: Giáo viên
thuộc lĩnh vực: Toán.
SKKN thuộc lĩnhSKKN
vực: Toán.

THANH HOÁ NĂM 2020


Mục lục
1.1. Lý do chọn đề tài...............................................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................................................1
2. Nội dung nghiên cứu................................................................................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận......................................................................................................................................2
2.2. Thực trạng..........................................................................................................................................2
2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu...............................................................................................2
2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên.........................................................................................................2
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề....................................................................................3
2.3.1. Bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp................................................................................3
2.3.1.1. Dạng 1: Cho bảng xét dấu của hàm số

f�
( x)

.Tìm chiều biến thiên của hàm số

y  f [u ( x )] .....................................................................................................................................3
2.3.1.2. Dạng 2: Cho đồ thị của hàm số

f '( x)

.Tìm chiều biến thiên của hàm số

g ( x)  f [u ( x)] ...............................................................................................................................5
2.3.1.3. Dạng 3: Cho đồ thị của hàm số

y  f ( x) .Tìm chiều biến thiên của hàm số

g ( x)  f [u ( x)] ...............................................................................................................................9
2.3.2. Xét chiều biến thiên của hàm tổng của các hàm số.....................................................................12
2.3.2.1. Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng của hai hàm số đơn điệu trên khoảng K là một hàm số đơn
điệu trên K..........................................................................................................................................12
2.3.2.2. Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số tổng hai hàm số ............14
2.3.3. Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải:..................................................................................17
3. Kết luận và đề xuất.................................................................................................................................19
3.1. Kết quả.............................................................................................................................................19
3.2. Kết luận...........................................................................................................................................19
3.3. Kiến nghị.........................................................................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................................................21


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi
vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Với sự đổi mới trong kỳ thi tốt nghiệp hiện nay phục vụ cho xét tốt nghiệp và
xét tuyển vào các trường cao đẳng và đại học trên cả nước. Đề thi môn Toán
năm nay chỉ tập trung vào chương trình lớp 12 và trong đề thi hướng đến sự tư
duy nhanh của học sinh thay vì nặng về tính toán giống trong các đề tự luận. Đề
thi gồm 50 câu trắc nghiệm có tính phân hóa cao. Trong khoảng thời gian 90
phút làm bài các em phải tính nhanh ra đáp số chính xác.Để làm bài được điểm

cao thì các em phải có kỹ năng thành thạo, tư duy nhanh. Đặc biệt là những câu
cuối thường yêu cầu học sinh xét chiều biến thiên, tìm số điểm cực trị của hàm
hợp.
Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp
12 của trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu
vào môn toán thấp. Khi gặp các bài toán về tìm chiều biến thiên của hàm hợp
các em rất sợ và thường bỏ qua không làm.
Bản thân các bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp cũng đa dạng. Có nhiều
bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự tư duy thì
mới giải quyết được.Với khoảng thời gian ngắn các em muốn giải quyết được
bài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp yêu cầu các em phải được rèn luyện
nhiều các dạng bài tập này .
Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp tôi xin được giới thiệu
sáng kiến kinh nghiệm" Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến
thiên của hàm hợp ”. Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em giải nhanh được
dạng toán cơ bản đó là bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp, thấy được vẽ
đẹp của đồ thị trong các bài toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết nhanh được các bài toán về
xét chiều biến thiên của hàm hợp. Giúp cho các em đạt điểm cao trong kỳ thi tốt
nghệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán về xét chiều biến
thiên của hàm hợp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều
phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,
thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học
thuộc lĩnh vực Toán.

1


2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
- Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
Hàm số f  x  đồng biến trên K khi và chỉ khi
x1 , x2 �K , x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )
Hàm số f  x  nghịch biến trên K khi và chỉ khi x1 , x2 �K , x1  x2
� f ( x1 )  f ( x2 )
- Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lý: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên K .
 x   0 với mọi x thuộc K thì f  x  đồng biến trên K .
Nếu f �
 x   0 với mọi x thuộc K thì f  x  nghịch biến trên K .
Nếu f �
 x   0 với mọi x thuộc K thì f  x  không đổi trên K .
Nếu f �
2.2. Thực trạng
2.2.1. Thực trạng trước khi nghiên cứu
Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 12 ở trường tôi.Tôi nhận thấy một số
vấn đề nổi cộm như sau:
Trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 các bài toán xét chiều biến thiên của hàm
hợp không có do đó học sinh rất lúng túng trong việc tìm chiều biến thiên của
hàm hợp.
Trường tôi lại là một trường non trẻ mới thành lập năm 2001 nên điểm đầu vào
của học sinh còn thấp. Số lượng học sinh trung bình chiếm hơn 60%,và chủ yếu
học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạn chế do đó khi gặp các
bài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp các em thường không có định hướng
phải giải bài toán như thế nào?

Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 12A4; 12A5 tôi
thấy học sinh thường không làm mà bỏ qua các bài toán tìm chiều biến thiên của
hàm hợp. Vì thế điểm kiểm tra thường thấp chưa cao. Cụ thể bài kiểm tra lớp
12A5 trước khi tôi chưa đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài
toán xét chiều biến thiên của hàm hợp ” kết quả đạt được như sau:
Lớp 12A5: ( Tổng số HS: 42)
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0
0
4
9,5%
16
38,1%
14
33,3%
8
19,1%
2.2.2. Hệ quả của thực trạng trên
Chính vì vậy mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng túng
khi gặp các bài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết sáng
kiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài toán tìm chiều

2


biến thiên của hàm hợp. Tôi mong muốn giúp các em làm tốt bài thi tốt nghiệp,
bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn Toán.
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp
Cho hàm số y  f ( x ) .Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y  f [u ( x )]
Hướng dẫn giải
 u�
�
u x �

 x . f �
Ta có y�
�
�
 0, x �K � u�
( x ). f �
[u ( x )]  0, x �K
Để hàm số đồng biến trên K thì y�
 0, x �K � u�
( x ). f �
[u ( x )]  0, x �K
Để hàm số nghịch biến trên K thì y�
( x) .Tìm chiều biến thiên
2.3.1.1. Dạng 1: Cho bảng xét dấu của hàm số f �
của hàm số y  f [u ( x)]
Hướng dẫn giải
Cách 1:
 u�
( x). f �
(u )
Bước 1: Tính y�
u�
( x)  0
�
 0 � u�
( x). f �
(u )  0 � �
Bước 2: Tìm x để y�
(u )  0
�f �

 u�
( x). f �
(u )
Bước 3: Lập bảng xét dấu của hàm số y�
Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để kết luận.
Cách 2:
 u�
( x). f �
(u )
Bước 1: Tính y�
�
( x)  0
�u�
�
�
(u )  0
�f �
 0 � u�
( x). f �
[u ( x)]  0 � �
Bước 2: - Để hàm số đồng biến thì y�
�
( x)  0
�u�
�
�
(u )  0
�f �
�
�

( x)  0
�u�
�
�
(u )  0
�f �
�
�
�
�
y

0
�
u
(
x
).
f
[
u
(
x
)]

0
�
- Để hàm số nghịch biến thì
�
( x)  0

�u�
�
�
(u )  0
�
�f �
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R . Hàm số f '( x) có bảng xét dấu
như sau:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số g ( x)  f (1  3 x) .
Lời giải

3


Cách 1:
g '( x)  3 f '(1  3 x)
1  3x  1 �
3 x  2
�
g '( x)  0 � 3 f '(1  3 x)  0 � f '(1  3x)  0 � �
��
�1  3 x  1
�3x  0
� 2
x
�� 3
�
�x  0
Bảng xét dấu của g '( x)

� 2�
0; �.
Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng �
� 3�
Nhận xét: Khó khăn đối với học sinh trong bài này là lập bảng xét dấu của hàm
số g '( x) . Để xét dấu của g '( x) , trên mỗi khoảng ta lấy một giá trị x0 thay vào
được g '( x0 ) ,dấu của số này là dấu của g '( x) trên khoảng đó.
Ví dụ: Trên khoảng (�;0) ta lấy x  1 thay vào g '( x) ta được
g '(1)  3 f '(4)  0 .Vậy trên khoảng (�;0) thì g '( x)  0 .
Cách 2:
g '( x)  3 f '(1  3 x)
Để hàm số đồng biến thì
g'(x)  0 � 3 f '(1  3 x)  0 � f '(1  3 x)  0 � 1  1  3 x  1 � 2  3 x  0
2
�0 x
3
2
Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (0; ) .
3
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R . Hàm số f '( x) có bảng xét dấu
như sau:

2
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g ( x)  f ( x ) .
Lời giải
Cách 1:
g '( x)  2 x. f '(x 2 )

4

�x  0
�x  0
x

0
�
�
�2
g '( x )  0 � 2 x. f '( x 2 )  0 � � 2
��
x�2
x 2� �
�
�f '( x )  0
�
�
�
x2  3
x�3
�
�
�
Bảng xét dấu của g '( x)

Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên các khoảng





 �;  3  ,  

2;0



và

2;0



và

2; 3 .

Cách 2:
g '( x)  2 x. f '(x 2 )
Để hàm số nghịch biến thì
��x  0
�
x

0
�
�� 2
x 3
� 2

�
���
f
'(
x
)

0
�
�
x2  2
g'(x)  0 � 2 x. f '( x 2 )  0 � x. f '( x 2 )  0 � �
� ��
�
�
�
�
� x0
�
�
� 2
� x0
�
�f '( x )  0
�
� 2
2 x 3
�
�
�� x  0

�x 3
��
��
x

3
�
��
� ���
��
 2  x0
x

2
�
�
���
�
�
�2  x  3
�2  x  3
Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên các khoảng





 �;  3  ,  

2; 3 .

Nhận xét: Ta thấy đối với những bài hàm hợp phức tạp cách 1 giải trở nên gọn
nhẹ hơn. Cách giải 2 khá cồng kềnh và dễ sai sót.
2.3.1.2. Dạng 2: Cho đồ thị của hàm số f '( x) .Tìm chiều biến thiên của hàm
số g ( x)  f [u ( x)] .
Hướng dẫn giải
Bước 1: Từ đồ thị của hàm số f '( x) ta có bảng xét dấu của f '( x)
Bước 2: Tính g'(x)  u '( x). f '(u )

5


u '( x)  0
�
Bước 3: Tìm x để g'(x)  0 � u '( x ). f '(u )  0 � �
�f '(u )  0
Để tìm được nghiệm x của phương trình f '(u )  0 thì ta căn cứ vàohoành độ
giao điểm của đồ thị hàm số f '(u) với trục hoành
Bước 4: Lập bảng xét dấu của hàm số g'(x)  u '( x). f '(u )
Để xét dấu của g '( x) ta căn cứ vào dấu của u '( x) và f '(u) .
Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu của g '( x) để kết luận.
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R . Hàm số f '( x) có đồ thị như
hình vẽ:

2
Tìm khoảng đồng biến của hàm số g ( x)  f ( x  3)
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f'( x)

g '(x)  2 x.f'(x 2  3)

�x  0
� x0
�x  0
�x  �2
�x 2  3  1
�
x2  4
� x0
g'(x)  0 � � 2
� �2
� �2
��
�
�
�
x 3 2
x 5
x�5
�f '( x  3)  0
�
�2
�2
x 33
x 6
�
x�6
�
�
�
Bảng xét dấu của g '( x)

6










Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên các khoảng  6;  5 ,  2;0  , 2; 5 và





6;� .

Nhận xét: Để tìm nghiệm của f '( x)  0 ta dựa vào hoành độ giao điểm của đồ
thị với trục hoành. Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ
x  1; x  2; x  3 . Về dấu của f '( x) ta dựa vào đồ thị nằm trên trục hoành thì
f '( x)  0 ;đồ thị nằm dưới trục hoành thì f '( x)  0
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R . Hàm số f '( x) có đồ thị như
hình vẽ:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g ( x)  f (3  4 x)
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f'( x)

g '( x)  4 f '(3  4 x)
� 1
�x  2
3  4x  1
�
�
g '( x)  0 � f '(3  4 x)  0 � �
3  4 x  3 � �x  0
�
�
�
3 4x  4
1
�
x
�
4
�

7


Bảng xét dấu của g '( x)

1� � 1�
�
�;  �và �
0; �.
Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên các khoảng �

4� � 2�
�
Bài 3. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên R . Đường cong trong hình vẽ
( x) , ( y  f �
( x) liên tục trên R ).
dưới đây là đồ thị của hàm số y  f �

Xét hàm số g ( x)  f ( x 2  2) . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên  2;� .
B. Hàm số g ( x) nghịch biến trên  1;0  .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên  0;2  .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên  �; 2  .
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f'( x)

g '( x)  2 xf '( x 2  2)
� 2x  0
�x  0
g'(x)  0 � 2 xf '( x 2  2)  0 � �x 2  2  2 � �
x  �2
�
�
�
x 2  2  1 �
x  �1
�
�
Bảng xét dấu của g '( x)

8

Vậy mệnh đề sai là B
Bài 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x  , hàm số
y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
g  x   f   x  x 2  nghịch biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.  2; 1
B.  1;2 
C.  1;0 

�1 �
 ;0 �
D. �
�2 �

Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f'( x)

2
2
Ta có: g  x   f   x  x  � g '  x     2 x  1 f '   x  x 
1
1
�
�
x



x


�
�
2
2
�
�
� 1  2 x  0
2
g '( x)  0 � �
��
 x  x  0 � �x  0
2
�f '( x  x )  0 �
�x  1
 x  x2  1
�
�
�
�
Bảng xét dấu của g '( x)

Ta thấy  1;2  �(0; �) . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; �) thì sẽ
nghịch biến trên  1;2  . Chọn đáp án B
2.3.1.3. Dạng 3: Cho đồ thị của hàm số y  f ( x ) .Tìm chiều biến thiên của
hàm số g ( x)  f [u ( x)]
Hướng dẫn giải
Bước 1: Từ đồ thị của hàm số f ( x) ta có bảng xét dấu của f '( x)

Bước 2: Tính g'(x)  u '( x). f '(u )

9


u '( x)  0
�
Bước 3: Tìm x để g '( x)  0 � u '( x). f '(u )  0 � �
�f '(u )  0
Để tìm được nghiệm x của phương trình f '(u )  0 thì ta căn cứ vào hoành độ
của điểm cực trị của đồ thị hàm số f (x) .
Bước 4: Lập bảng xét dấu của hàm số g'(x)  u '( x). f '(u )
 x  ta căn cứ vào dấu của u '( x) và f '(u) .
Để xét dấu của g �
Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu của g '( x) để kết luận.
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số g  x   f  1  6 x 
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f '( x)

g '( x )  6 f '(1  6 x)
�x  0
�1  6 x  1
g'(x)  0 � 6 f '(1  6 x)  0 � f '(1  6 x)  0 � �
�� 1
1  6 x  1 �
x
�
� 3

Bảng xét dấu của g '( x)

1
Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (0; ) .
3
f
'(
x
)

0
Nhận xét: Để tìm nghiệm của
ta dựa vào hoành độ điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Ta thấy đồ thị có hai điểm cực trị có hoành độ x  1; x  1 . Về
10


dấu của f '( x) ta dựa vào đồ thị đi lên từ trái sang phải thì f '( x)  0 ;đồ thị đi
xuống từ trái sang phải thì f '( x)  0 .
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

3
Tìm khoảng đồng biến của hàm số g ( x)  f ( x  3x)
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f '( x)

g '( x)  (3 x 2  3). f '( x 3  3x)
� 3x 2  3  0
g'(x)  0 � (3 x  3). f '( x  3x)  0 � � 3
�f '( x  3x)  0

2

3

� x  �1
� x  �1
�
x  1; x  2
�x 3  3x  2
�
� �3
� �x  1; x  2
�
x  3x  2 �
�3
�� x  0
x

3x

0
�
��
x�3
��
Bảng xét dấu của g '( x)

11







Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên các khoảng 2;  3 ,  1;0  , 1; 3

 2;� .



và

2.3.2. Xét chiều biến thiên của hàm tổng của các hàm số.
2.3.2.1. Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng của hai hàm số đơn điệu trên
khoảng K là một hàm số đơn điệu trên K.
Bài toán: Cho hai hàm số f ( x);g( x)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x)  g ( x)
Phương pháp giải
y '  f '( x)  g '( x)
Để hàm số đồng biến thì y '  0 � f '( x)  g '( x)>0
Để hàm số nghịch biến thì y '  0 � f '( x)  g '( x)<0
Nhận xét: Để làm được dạng này người ta hay sử dụng tính chất của bất đẳng
thức sau:
f '( x)  0; g '( x)  0, x �K � f '( x)  g '( x)  0, x �K
f '( x)  0; g '( x)  0, x �K � f '( x)  g '( x)  0, x �K
Bài 1. Cho hàm số y  f '( x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số g ( x)  f ( x)  3 x  x 3 đồng biến trên những khoảng nào sau đây:

A.  �; 1 .
B.  1;0  .
C.  0;1 .
D.  1;�
.
Lời giải
g'(x)  f '( x)  3  3 x 2
Ta xét hàm số h( x)  3 x  x3 ;h'( x )  3  3x 2
BXD của h '( x)

Ta thấy trong các đáp án trên chỉ có đáp án B với x �( 1;0) thì hai hàm số f ( x)
và h( x) đều đồng biến.
Vậy chọn đáp án B
Bài 2. Cho hàm số y  f '( x) có bảng xét dấu như sau:

12


Hàm số g ( x)  f ( x) 
A.  �;3 .
 0;� .

2x  1
nghịch biến trên những khoảng nào sau đây:
x2
B.  1;0  .
C.  0;1 .
D.

Lời giải

5
( x  2) 2
5
2x  1
Xét hàm số h( x) 
có h '( x) 
( x  2) 2
x2
Hàm số h( x) nghịch biến trên các khoảng  �;2  và  2;�
Ta thấy với x �(0;1) thì hai hàm số f ( x) và h( x) đều nghịch biến.
Vậy chọn đáp án C
Bài 3: Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f '  x  như hình vẽ.
g '( x)  f '( x) 

Hàm số g ( x)  f  x  
A.  2; 1
Lời giải
g ( x)  f  cos x  

1 2
x  x đồng biến trên khoảng
4
B.  0;1 .
C.  2;3 .

D.  1;0  .

1 2
x x

4

g '( x)   sinx. f '  cos x  

1
x 1
2

1
x 1  0 � x  2
2
� �
Ta xét x �(2;3) �� ;  �� 1  cos x  0 � f '(cos x)  0
�2 �
� �
Và x �(2;3) �� ;  �� sinx  0 �  sinx. f '(cosx)  0, x �(2;3)
�2 �
� g '( x)  0, x �(2;3)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  2;3 Chọn đáp án C
Ta có:

13


2.3.2.2. Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số tổng
hai hàm số .
Bài toán: Cho đồ thị của hai hàm số f '( x)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x)  g ( x)
Phương pháp giải
y '  f '( x)  g '( x)

Để hàm số đồng biến thì y '  0 � f '( x)  g '( x)>0 � f '( x)   g '( x) . Đồ thị
hàm số y  f '( x) nằm trên đồ thị hàm số y   g '( x) .
Để hàm số nghịch biến thì y '  0 � f '( x)  g '( x)<0 � f '( x)   g '( x) .Đồ thị
hàm số y  f '( x) nằm dưới đồ thị hàm số y   g '( x) .Vẽ đồ thị của hàm số
y   g '( x) . Căn cứ vào hai đồ thị hàm số y  f '( x); y  g '( x) . Suy ra khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x )  g ( x ) .
 x
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f �
x2
như hình vẽ. Hàm số g ( x )  f (1  x )   x
2
nghịch biến trên khoảng
A.  3; 1 . B.  2; 0  . C.  1; 3 . D.(3;4)
Lời giải
x2
g ( x)  f (1  x)   x
2
g '( x)   f '(1  x)  x  1
Đặt t  1  x � g '(t )   f '(t )  t
Để hàm số nghịch biến thì  f '(t )  t  0 � f '(t )  t
Suy ra đồ thị hàm số y  f '(t ) nằm trên đường thẳng y  t
1  t  3 �
1  1  x  3 �
2  x  0
�
��
��
��
� t  3
�1  x  3

� x4

Vậy chọn đáp án B

14


Bài 2. ( Đề minh họaTHPQG lần 1 năm 2020) Cho hàm số f ( x) . Hàm số
y f�
( x) có đồ thị như hình vẽ.

2
Hàm số g ( x )  f  1  2 x   x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
� 3�
� 1�
1; �
0; �.
A. �
.
B. �
C.  2; 1 .
D.  2;3 .
� 2�
� 2�
Lời giải
2
Ta có: g ( x)  f (1  2 x)  x  x
g �
( x
)

2 f (1 2 x) 2 x 1
Để hàm số nghịch biến thì
2x  1
g�
���
( x) 0 � 2 f (1 2 x)
2x�1 0 �
f (1 2 x)
2
t
g( x) 0
f (t )
Đặt t  1  2 x ��
2
t
Vẽ đường thẳng y   và đồ thị hàm số y  f '(t ) trên cùng một hệ trục, ta
2
có:

t
t
thì đồ thị hàm số y  f '(t ) phải nằm trên đường thẳng y  
2
2
1
3
�
�x �
�
2 �t �0

2 �1  2 x �0
�
�
2
2
��
��
��
4 �1  2 x
3
t �4
�
�
�
x �
�
2

(t ) �
Để f �

15


�1 3 �
2
Vậy hàm số g ( x)  f (1  2 x)  x  x nghịch biến trên các khoảng � ; �và
�2 2 �
3�
�


�
;

.
�
�
2�
�
� 3 � �1 3 �
1; ��� ; � nên hàm số g ( x)  f (1  2 x)  x 2  x nghịch biến trên
Mà �
� 2 � �2 2 �
� 3�
1; �
khoảng �
� 2�
Vậy chọn đáp án A
Bài 3. ( Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai
 x  và y  g �
 x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong
hàm số y  f �
 x .
đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g �

3�
�
2 x  �đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số h  x   f  x  4   g �
2�

�
� 31 �
�9 �
�31
�
5; �.
A. �
B. � ;3 �
.
C. � ; ��.
D.
� 5�
�4 �
�5
�
� 25 �
6; �.
�
� 4 �
Lời giải

16


Chọn B.
 x  tại A  a;10  , a � 8;10  .
Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f �
Khi
đó
ta

có
�f  x  4   10,khi3  x  4  a
�f  x  4   10,khi  1  x  4
�
�
���
��
3�
3
3�
3
25
2 x  ��5,khi 0 �2 x   11 �g �
2 x  ��5,khi �x �
�g �
2�
2
2�
4
4
��
��
3�
9 �
3
�
�9 � �
2 x  � 0 khi �x  4 .Mà � ;3 ��� ;4 �
 x  f �
 x  4  2g�

Do đó h�
.
�
4 �
2�
4
�4 � �
�
�9 �
Nên hàm số h( x) đồng biến trên khoảng � ;3 �
�4 �
2.3.3. Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải:
Câu 1: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

Hàm số y  e3 f (2 x )1  3 f (2 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;  � .
B.  1; 3 .
C.  �; 2 .
D.  2; 1 .
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm
như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x   f  x  m 
đồng biến trên khoảng  0; 2  .
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1

17

Câu 3. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  ( x 2  1)( x 2  x  2) . Hỏi hàm
số g ( x)  f ( x  x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.  1; � .
B.  �; 1 .
C.  0; 2  .
D.  1;1 .
Câu 4. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y  3 f ( x  2)  x 3  3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1; � .
B.  �; 1 .
C.  1;0  .
Câu 5. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biên thiên như hình vẽ :

D.  0; 2  .

5
3
Hàm số g ( x)  f (2 x 2  x  ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng
2
2
sau ?
A.

� 1�
�
- 1; �
.

�
�
�
�
� 4�

B.

�
1 �
�
;1�
.
�
�
�
�
�
4 �

C.

� 5�
�
1; �
.
�
�
�
�

� 4�

D.

�
�
9
�
;+��
.
�
�
�
�
�
�
4

ĐÁP SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu
Đáp án

1
D

2
A

3

A

4
D

5
C

3. Kết luận và đề xuất
3.1. Kết quả
Trong quá trình dạy lớp 12A5, tôi đã cho học sinh làm từng dạng của bài toán
tìm chiều biến thiên của hàm hợp. Cho học sinh làm nhiều bài tập cùng một
dạng chỉ khác nhau về số liệu để các em nhớ được công thức. Hướng dẫn cho
các em phát hiện bài toán đó thuộc dạng nào để áp dụng công thức phù hợp để
giải. Dạy cho học sinh cách phát triển một bài toán thành nhiều bài toán khác.

18


Do đó các em đã thích thú khi làm các bài toán tìm chiều biến thiên của hàm
hợp. Các em đã nhớ được các dạng bài tập của bài toán tìm chiều biến thiên của
hàm hợp, nhớ được các công thức áp dụng cho các dạng đó. Các em biết phát
triển một bài toán thành nhiều bài toán khác. Các em không còn sợ các bài toán
tìm chiều biến thiên của hàm hợp nữa.
Kết quả điểm kiểm tra hết phần học như sau:
Lớp 12A5: ( Tổng số HS: 42)
Giỏi
Khá
TB
Yếu

Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
23,8
18
42,9
13
30,9
01
2,4
0
0
3.2. Kết luận
Qua thời gian nghiên cứu và kiểm nghiệm thực tế giảng dạy tôi rút ra được một
số kết luận sau:
Môn toán học là môn học rất gần gũi với các em học sinh, nên đây là một lợi thế
rất lớn để tạo ra lòng ham học hỏi, yêu thích bộ môn. Do đó trong quá trình
giảng dạy giáo viên nên đưa các ví dụ áp dụng từ dễ đến khó, nên phân loại cho
học sinh dễ học. Cho học sinh luyện tập nhiều cùng một dạng bài tập để các em
nhớ được các dạng toán.
3.3. Kiến nghị

Đối với giáo viên: Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của
học sinh.
- Cần có sự học hỏi, tìm tòi thông qua sách báo, mạng internet để đáp ứng được
sự thay đổi của cách thi mới như hiện nay.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về các
chuyên đề khó trong thi đại học, tạo ra những bộ giáo án phù hợp với học sinh
của trường mình giúp các em đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
- Nên tổ chức các kỳ thi khảo sát chất lượng lớp 12 để nắm được năng lực của
các em để có cách dạy phù hợp giúp các em tiến bộ hơn.
Đối với sở giáo dục
Cần duy trì các lần thi khảo sát lớp 12 để đánh giá được đúng năng lực của học
sinh giúp giáo viên dạy điều chỉnh cách dạy học phù hợp với đối tượng học sinh
của mình.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh
khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy cô
giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 6 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác

Đỗ Thị Mai

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải Tích 12 –Trần Văn Hạo- Nhà xuất bản giáo dục, 2007.

2. Đề minh họa của bộ năm 2018,2019,2020

20


3. Chinh phục đề Thi THPT Quốc Gia Toán học qua bộ đề thi thử 4 trong 1- Hồ
Xuân Trọng, Hứa Lâm Phong- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2017
4. Các đề thi thử trên mạng: dethi.violet.vn

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.

21


Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Mai
Chức vụ và đơn vị công tác: THPT Đặng Thai Mai
Cấp đánh
giá xếp
Kết quả đánh
Năm học
loại
TT
Tên đề tài SKKN
giá xếp loại
đánh giá
(Phòng,
(A, B, hoặc C)

xếp loại
Sở,
Tỉnh...)
1.
Những sai lầm của học sinh Hội đồng
C
2011-2012
khi giải bất phương trình vô khoa học
tỷ
cấp Ngành
2.
Hướng dẫn học sinh phát
Hội đồng
C
2013-2014
hiện nhanh cách giải
khoa học
phương trình lượng giác
cấp Ngành
3. Hướng dẫn học sinh áp
Hội đồng
C
2016-2017
dụng hàm số mũ,hàm số
khoa học
logarit giải nhanh bài toán
cấp Ngành
ứng thực tế

22