Rèn Luyện Tư Duy Sáng Tạo Cho Học Sinh Khá Giỏi Trong Dạy Chuyên Đề Tam Thức Bậc Hai Định Hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC
BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG
THỨC LIÊN QUAN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC
BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG
THỨC LIÊN QUAN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY
HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

HÀ NỘI - 2020


LỜI CẢM ƠN

Thực tế luôn cho thấy, sự thành công nào cũng đều gắn liền với những
sự hỗ trợ, giúp đỡ của những người xung quanh dù cho sự giúp đỡ đó
là ít hay nhiều, trực tiếp hay gián. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu
làm luận văn đến nay, tôi đã nhận được sự quan tâm, chỉ bảo, giúp đỡ
của thầy cô, gia đình và bạn bè xung quanh.
Với tấm lòng biết ơn vô cùng sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành
nhất từ đáy lòng đến quý Thầy Cô của trường Đại học Giáo Dục đã
cùng dùng những tri thức và tâm huyết của mình để có thể truyền đạt
cho tôi trong vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập tại trường.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu đã
tận tâm chỉ bảo hướng dẫn tôi qua từng buổi học, từng buổi nói chuyện,
thảo luận về đề tài nghiên cứu. Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo
đó, bài luận văn này của tôi đã hoàn thành một cách suất sắc nhất. Một
lần nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy!
Hà Nội, ngày tháng năm 2020
Người là m luận văn

Trần Kim Anh

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

AM-GM
BĐT
ĐPCM
GV
GTLN
GTNN
HS
NXB
THPT

Arithmetic Mean and Geometric
Mean
Bất đẳng thức
Điều phải chứng minh
Giáo viên
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Học sinh
Nhà xuất bản
Trung học phổ thông

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1. Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong các
bài thi và bài kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 1.2. Kết quả đánh giá mức độ sáng tạo của HS . . . . . . .
Bảng 1.3. Kết quả đánh giá nhận thức của GV về tư duy sáng

tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 1.4. Kết quả dánh giá HS gặp khó khăn khi giải bài toán
bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.1. Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán trước khi tiến
hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biểu đồ 3.1. Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán trước khi
tiến hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.2. Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán sau khi tiến
hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biểu đồ 3.2. Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán sau khi tiến
hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biểu đồ 3.3. Sự thay đổi điểm số của học sinh hai lớp trước và
sau khi thực nghiêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

10
11
14
15
66
66
67
67
68


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục các bảng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng, khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

7. Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Cơ sở lí luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Khái niệm và đặc điểm của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Tư duy sáng tạo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Hoạt động chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
6
7

1.2. Cơ sở thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Thực trạng dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai và các dạng
bất đẳng thức liên quan ở trường Trung học phổ thông . . . . . . . . . 8
1.2.2. Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Các bất đẳng thức chứa tam thức bậc hai cơ bản và ứng dụng
giải bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

20


Chương 2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi
trong dạy học chuyên đề "tam thức bậc hai định hướng và các
dạng bất đẳng thức liên quan" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy
các dạng toán về tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Phân loại các dạng toán về biểu thức đại số chứa một biến, ba
biến liên quan đến tam thức bậc hai một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh về các dạng toán so
sánh bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Mở rộng và các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai .

53

2.3. Các đề thi HSG và Olympic liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.4. Đề xuất biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua nội dung tam thức bậc hai định hướng và các bất đẳng thức liên
quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Mục đích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64
64

3.2. Cách tiến hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Thời gian thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Địa điểm thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Đối tượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Công cụ thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64
64
64
65

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Phân tích định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Phân tích định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . .

65
65
65
70

3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Kết luận và khuyến nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

v


2. Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề cổ điển nhất của toán
học. Chuyên đề này rất phong phú về nội dung và đa dạng về phương
pháp nên có tính hấp dẫn cao khi dạy và học ở nhà trường phổ thông.
Các đề toán về bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi Olympic
và thi học sinh giỏi bộ môn toán ở các cấp bậc THPT. Các dạng toán
này thường khó, thậm chí là rất khó.
Tam thức bậc hai là một trong các phần quan trọng và rất thú vị
thường được sử dụng trong chứng minh các dạng bài về bất đẳng thức.
Trên cơ sở đó, luận văn "Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá
giỏi trong dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai định hướng và các dạng
bất đẳng thức liên quan" nhằm tìm hiểu sâu thêm về các dạng bất đẳng
thức có chứa tam thức bậc hai và khảo sát một số dạng toán liên quan.
Nội dung của luận văn bao gồm phần lí thuyết về tam thức và các dạng
bài tập áp dụng về bất đẳng thức.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm hệ thống và tổng hợp các bài toán về bất đẳng thức
tam thức bậc hai và các dạng bất đẳng thức liên quan. Từ đó, xây dựng
phương pháp giảng dạy phù hợp và bước đầu hình thành sự sáng tạo
cho học sinh khá giỏi khi tiếp cận chuyên đề này.

3. Đối tượng, khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của luận văn là Tư duy sáng tạo cho học sinh
lớp 10.
- Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là chuyên
đề Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là chuyên đề "Tam thức bậc
hai định hướng và các dạng bất đẳng thức liên quan".

4. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu về
giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán.
- Nghiên cứu các sách tham khảo từ tài liệu tiếng việt, tài liệu tiếng
anh, tài liệu điện tử và các luận văn nghiên cứu có các vấn đề liên quan
1


trực tiếp tới đề tài.
b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra giáo dục
- Tham khảo, rút kinh nghiệm từ ý kiến của chuyên gia
- Quan sát, đánh giá quá trình thực nghiệm sư phạm
- Tìm hiểu, nghiên cứu, hệ thống các sản phẩm hoạt động giáo dục
- Tổng hợp kinh nghiệm giáo dục thu được.
c) Phương pháp thực nghiệm giảng dạy
- Thực nghiệm hoạt động dạy học hai giáo án soạn theo định hướng
của đề tài để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
d) Phương pháp thống kê, đánh giá toán học
- Tác giả sẽ ứng dụng phần mềm Office Excel để xử lí số liệu điều tra
khảo sát.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài cần nêu sáng tỏ thế nào là tư duy, tư duy sáng tạo và các
loại tư duy.
- Tác giả cần nghiên cứu các biểu hiện của tư duy sáng tạo của học
sinh trong quá trình thực nghiệm.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh và dạy chuyên đề "Tam thức bậc hai định hướng và các dạng bất
đẳng thức liên quan".
- Từ đó, đề xuất các biện pháp nhằm mục đích rèn luyện tư duy sáng
tạo cho học sinh.
- Tìm tòi, khai thác và xây dựng các dạng bài tập phù hợp với sự
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THCS.
- Thực nghiệm quá trình giảng dạy nhằm mục đích kiểm nghiệm tính
khả thi đề tài và tính hiệu quả của đề tài.

6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn nghiên cứu Chương trình Toán học lớp THPT.
- Địa bàn thực nghiệm là lớp 10A1, 10A2 của trường THPT Nguyễn
Thị Minh Khai, Quận Bắc Từ Liêm, TP. Hà Nội.

7. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm: ngoài phần mở đầu , kết luận và khuyến nghị,
luận văn được trình bày trong nội dung 3 chương:
2


Chương 1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn
Chương 2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạy
học chuyên đề "Tam thức bậc hai định hướng và các dạng bất đẳng thức
liên quan"

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Khái niệm và đặc điểm của tư duy
a) Khái niệm tư duy
Thực tế, môi trường xung quanh chúng ta xuất hiện rất nhiều điều, sự vật,
hiện tượng mà chúng ta chưa biết đến, chưa hiểu vì sao. Với xã hội ngày càng
phát triển không ngừng, nhiệm vụ mỗi con người trong cuộc sống là cần học
kiến thức, học hỏi xung quanh, luôn tìm hiểu kiến thức học được ứng dụng
thế nào vào hoạt động thực tiễn của bản thân. Con người cần hiểu biết mọi
vật một cách khách quan, sâu sắc, đúng đắn và chính xác nhất. Mỗi chúng ta
cần phải vạch ra bản chất và quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận
thức về hiện thực đó được gọi là tư duy.
Theo Nguyễn Quang Cần, tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những
thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của
sự vật, hiện tượng trong thực tiễn khách quan mà trước đó ta chưa biết [xem
3].
Theo Rubistein, tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách
thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất
hiện do tác động của khác thể [xem 3].
Tóm lại, tư duy có thể hiểu là nhận thức lý tính, tức suy nghĩ trong đầu
óc mỗi con người khi gặp hoàn cảnh có vấn để, Tư duy không phải cảm giác,
nhận thấy tính chất thoáng qua, chủ quan, đánh giá theo lối mòn mà tư duy
cần phải có sự lập luận, phân tích, diễn giải từ các căn cứ suy luận bởi đầu

óc con người. Nói theo cách khác, tư duy được chia thành tư duy lý trí và tư
duy lý tính [xem 3].
Đặc điểm của tư duy
Các đặc điểm chủ yếu của tư duy như sau:
- Tư duy sẽ chỉ nảy sinh khi thấy hoàn cảnh có vấn đề.
- Tư duy có tính khái quát hiện vật.
- Tư duy còn có tính gián tiếp.
4


- Ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết và rất quan trọng đối với tư duy
con người. Ngôn ngữ và tư suy luôn có sự quan hệ chặt chẽ với nhau,
không bao giờ tách rời nhau và cũng không đồng nhất với nhau. Tư duy
và ngôn ngữ luôn tạo ra sự thống nhất giữa hai loại và kết quả được thể
hiện ở quá trình tư duy.
- Ngoài quan hệ mật hiết với ngôn ngữ, tư duy còn quan hệ mật thiết với
nhận thức cảm tính, nhận thức cảm tính bắt đầu có tư duy. Với sự khái
quát, trừu tượng của tư duy đến đâu thì các thành phần cảm tính (cảm
giác, tri giác, biểu tượng trực quan,. . . ) luôn được chứa đựng trong tư
duy.
- Có thể nói tư duy là một quá trình: tư duy sẽ nảy sinh, có diễn biến và
có kết thúc; đây gọi là quá trình tư duy.
Các thao tác tư duy
- Đầu tiên là thao tác phân tích - tổng hợp. Phân tích có thể hiểu là quá
trình tư duy phân chia các đối tượng nhận thức thành các “bộ phận”, các
thuộc tính, các mối liên hệ và sự quan hệ giữa chúng nhằm nhận thức đối
tượng sâu sắc hơn. Tổng hợp là quá trình tư duy hợp nhất những “bộ phận”
đã được phân tích.
Quá trình phân tích và tổng hợp luôn quan hệ mật thiết với nhau và bổ
sung cho nhau nhằm tạo thành sự thống nhất không tách rời được.

- Tiếp theo là thao tác so sánh, so sánh có thể hiểu là quá trình tư duy con
người sẽ nhìn nhận, xác định rõ ràng sự giống nhau hay khác nhau, sự bằng
nhau hay không bằng nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các đối
tượng nhận thức.
- Thao tác trừu tượng hóa và khái quát hóa là thao tác cuối cùng. Trừu
tượng hóa được hiểu là một quá trình con người dùng tư duy loại bỏ các vấn
đề, các loại thuộc tính không cần thiết, không quan trọng của phương diện
nào đó và trừu tượng hóa chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy. Khái
quát hóa là quá trình tư duy bao quát được nhiều đối tượng khác nhau hướng
thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định.
Cấu trúc tư duy Toán học. Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư
5


duy. Trong toán học có một số loại hình tư duy sau
(1) Tư duy cụ thể.
(2) Tư duy trừu tượng.
(3) Tư duy trực giác.
(4) Tư duy hàm.
(5) Tư duy biện chứng.
(6) Tư duy sáng tạo.
(7) Các phong cách toán học của tư duy.
Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể tách ra các thành phần
- Tư duy phân tích.
- Tư duy logic.
- Tư duy lược đồ không gian.

1.1.2. Tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một loại hình thức tư duy. Tư duy sáng tạo có tác dụng
rất quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt tác dụng

to lớn cho đối tượng học sinh khá và giỏi. Người dạy học cần phải tìm hiểu
để phát huy hết khả năng tìm tòi, phát hiện những vẻ đẹp của Toán học.
Tư duy sáng tạo bao gồm các điều kiện cần thiết như tính linh hoạt, tính
đọc lập và tính phê phán hiện vật. Đây là các mặt khác nhau của tư duy sáng
tạo. Tư duy sáng tạo nghĩa là thể hiện rõ nét nhất ở khả năng tìm tòi, tư duy
tạo ra cái mới, khả năng phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra
kết quả mới. Tư duy sáng tạo cần nhấn mạnh cái mới nhưng không có nghĩa
là coi nhẹ cái cũ.
Loại tư duy có hiệu quả khi tư duy dẫn đến lời giải mới của một bài toán
nào đó. Tư duy có thể coi là tư duy sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những
phương tiện, lập luận nhằm giải các bài toán sau này. Nhiều bài toán có vẻ
đẹp riêng, có cái hay riêng, dạng muôn màu muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của
tư duy càng nhiều. Ví dụ như sự cố gắng của con người tìm tòi, phát hiện ra
được các phương pháp mới áp dụng cho những bài toán khác. Giải một bài
toán vạch được các ý gợi mở có thể nói là một cách sáng tạo gián tiếp, chẳng
hạn như ta ra để một bài toán chưa có hướng giải quyết nhưng đã giúp ích
người khác trong việc suy luận để giải bài toán hiệu quả hơn.
6


Tư duy sáng tạo có thể hiểu là một loại hình tư duy mang hướng tích cực
hơn, cũng là loại hình tư duy độc lập. Khi nhắc đến tư duy sáng tạo là nói
đến việc học sinh tự tìm tòi, khám phá, suy luận tự tìm cách giải quyết một
vấn đề trong giải toán. Não bộ gặp tình huống gợi vấn đề, loại hình tư duy
sáng tạo nhằm mục đích giúp con người giải quyết được các mâu thuận tồn
tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, có tính hợp lý. Tư duy sáng tạo
mang lại cho học sinh một công cụ, một niềm tin, sự phấn khích sau khi tìm
ra được giải pháp. Nói tóm lại, tư duy sáng tạo là một loại hình tư duy có
sự độc lập, tư duy dùng não bộ để tạo ra ý tưởng, phát hiện mới mang tính
riêng biệt, độc đáo và hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

Các đặc trung cơ bản của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu, tư duy sáng tạo được cấu thành bởi 5 thành phần sau:
- Tính mềm dẻo: là khả năng con người có thể chuyển từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác.
- Tính nhuần nhuyễn: là khả năng con người nghĩ ra được nhiều giải pháp
ở nhiều góc độ khác nhau và tình huống khác nhau.
- Tính độc đáo: là khả năng con người có thể tìm kiếm và đưa ra quyết
định có phương thức giải quyết mới, lạ hoặc duy nhất.
- Tính hoàn thiện : là khả năng con người có thể lập kế hoạch, liên kết,
phối hợp các ý nghĩ, hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh
ý tưởng.
- Tính nhạy cảm vấn đề: là năng lực của con người phát hiện nhanh được
các vấn đề sai, mâu thuẫn, sự thiếu logic,. . . Từ đó, nảy sinh ra các ý muốn
cấu trúc lại vấn đề một cách hợp lí, hài hòa nhằm tạo ra cái mới độc đáo.

1.1.3. Hoạt động chứng minh
Chứng minh có thể hiểu là con người dùng não bộ để suy luận, con người
suy luận dựa vào những phán đoán (mệnh đề) mang tính đúng đắn đã được
nhà toán học, nhà nghiên cứu công nhận để lại nhằm mục đích khẳng định
tính chân thực của một mệnh đề khác đã được chứng minh.
Chứng minh được chia thành ba bộ phận như sau:
1) Luận đề là các mệnh đề chúng ta cần phải chứng minh. Trong các bài
toán chứng minh nó trả lời câu hỏi; “Ta cần chứng minh điều gì”.
7


2) Luận cứ là các mệnh đề được chúng ta thừa nhận (định nghĩa, tiên đề,
định lý, .) được áp dụng làm tiền đề trong mỗi khi suy luận giải bài toán.
Trong bài toán chứng minh nó trả lời cho câu hỏi “Ta cần chứng minh áp
dụng kiến thức nào”.

3) Luận chứng là các suy luận tổng quát được vận dụng trong mỗi bước
suy luận của bài toán chứng minh. Trong bài toán chứng minh, trả lời cho
câu hỏi: “Để có điều này, ta cần chứng minh như thế nào, sử dụng quy tắc
suy luận gì”.
Ta thường sử dụng hai phương pháp chứng minh thường dùng là chứng
minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp. Phương pháp chứng minh trực tiếp
là cách chứng minh ta cần đưa ra luận cứ và sử dụng các quy tắc suy luận
để tư duy rút ra luận đề. Từ đó, sử dụng các quy tắc suy luận đi từ giả thiết
đến kết luận. Ngoài ra, phương pháp chứng minh gián tiếp có một phương
pháp hay sử dụng đó là phương pháp chứng minh phản chứng [xem 13].

1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Thực trạng dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai và các
dạng bất đẳng thức liên quan ở trường Trung học phổ
thông
Chúng tôi tiến hành khảo sát thực trạng của việc dạy và học chuyên đề
bất đẳng thức, rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua dạy học chuyên đề bất
đẳng thức ở trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Bắc Từ Liêm, Hà Nội.
Đây là trường công lập có uy tín, chất lượng cao trên địa bàn. Tôi đã khảo
sát dưới hình thức phát phiếu hỏi (20 phiếu của GV và 60 phiếu của HS), dự
giờ (4 tiết), nghiên cứu giáo án, vở ghi của HS và trao đổi trực tiếp với cán
bộ quản lí, giáo viên và học sinh trong trường.
Sau khi thống kê các phiếu khảo sát, kết quả thu được như sau:
Đối với học sinh:
Sau khi nhận được các phiếu trả lời của học sinh, không có học sinh nào
để trống câu trả lời.
I. Trong quá trình làm bài thi và bài kiểm tra, các em thường mắc phải những
khó khăn, sai lầm nào? (điền vào ô trống 1 trong 4 mức độ lựa chọn)

8

1. Rất thường xuyên
3. Thỉnh thoảng
2. Thường xuyên
4. Không bao giờ
Bảng 1.1. Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong các bài thi và
bài kiểm tra
STT Câu hỏi, giả định

Mức độ lựa chọn

1

Do HS chưa biết cách trình bày Mức độ
bài giải.
Mức độ
Mức độ
Mức độ

1:
2:
3:
4:

50%
20%
8%
22%

2

Do chép sai đề bài.

độ
độ
độ
độ

1:
2:
3:
4:

5%
20%
10%
25%

3

Do không xét hết các trường Mức độ
hợp của bài toán có thể xảy ra. Mức độ
Mức độ
Mức độ

1:
2:
3:
4:

42%
16%
20%
22%

4

Do chưa ôn tập kỹ.

Mức
Mức
Mức
Mức

Mức độ 1: 5%
Mức độ 2: 22%
Mức độ 3: 25%
Mức độ 4: 48%

5

Không nắm vững bản chất của Mức độ 1: 58%
vấn đề bài toán đặt ra.
Mức độ 2: 22%
Mức độ 3: 10%
Mức độ 4: 10%

6

Hạn chế trong việc vận dụng Mức độ 1: 22%
liên tưởng các kiến thức liên Mức độ 2: 28%
quan để giải toán.

7

Mức độ 3: 48%
Mức độ 4: 2%

Không nắm được, nhớ được các Mức độ 1: 13%
dạng bài tập cơ bản.

Mức độ 2: 22%
Mức độ 3: 42%
Mức độ 4: 23%

9


8

Nguyên nhân khác

Không hiểu đề bài: 5%
Không phân bố khoa học
thời gian làm bài: 22%

Nhận xét. Như vậy qua câu hỏi này, trong quá trình làm bài kiểm tra
nhiều học sinh không biết cách trình bày hay vận dụng chưa xét hết các
trường hợp có thể xảy ra. Điều đó cho thấy tư duy HS còn theo khuôn mẫu,

chưa linh hoạt, sáng tạo.

10


II. Thống kê vào bảng sau:
Bảng 1.2. Kết quả đánh giá mức độ sáng tạo của HS
STT

Câu hỏi

Có

Không

Không ý
kiến

1

Em đã tự sáng tạo bài toán chưa?

2

58%

42%

0%

Em có yêu thích, hứng thú học môn 93%
Toán không?

7%

0%

3

Em có nắm và hiểu được bài ngay 83%
trên lớp không và có hỏi lại khi
không hiểu bài không?

17%

0%

4

Trong học tập, khi gặp một bài toán 92%
có vấn đề em có từng đặt ra một
trong các câu hỏi như: Nếu có kết
luận sẽ có điều gì? Kiểm tra hết sai
sót bài hay không? Mình nên thử
tìm cách giải khác không?

8%

0%

5

Khi giải một bài toán em có suy nghĩ 70%
để tìm ra nhiều cách giải sau đó chọn
cách giải độc đáo nhất không?

22%

8%

6

Kết quả bài kiểm tra của em được 80%
điểm không được cao và có một số
lỗi sai, em có tìm ra lỗi sai đó không?

20%

0%

Nhận xét. Nhiều HS đã có hướng tự phát triển tư duy sáng tạo bằng cách
tự sáng tạo các bài toán khác nhau. Một số HS luôn tìm tòi hướng tìm lời
giải khác nhau cho một bài toán. Điều đó cho thấy bước đầu HS đã có những
biểu hiện tư duy sáng tạo thể hiện thông qua nhận thức và thực hiện những
hoạt động mang tính rèn luyện tư duy sáng tạo trong các giờ học Toán.
III. Sau khi học 2 tiết môn Toán về chuyên đề này, HS nêu ý kiến cá nhân
của mình:
1. Điều gì làm HS thấy thú vị nhất: Cô dạy nhiều cách sáng tạo bất đẳng
thức, các con được hoạt động nhóm nhiều,...
2. Khó khăn HS gặp phải: Một số HS còn mơ hồ cách vận dụng bất đẳng

11


thức
3. Để nhớ được nội dung kiến thức bài học, HS có thường sử dụng bản đồ
tư duy: 22% HS sử dụng, 78% HS không sử dụng.
HS nêu cách học khác: Thông qua làm bài tập: 8%
4. Trong quá trình học toán, theo em có cần thiết trao đổi, thảo luận với
nhóm bạn (học nhóm) để tăng hiệu quả học tập không?
A. Rất cần thiết: 100%
B. Cần thiết: 0%
C. Không cần thiết: 0%
5. Mục tiêu các thầy cô luôn tạo hứng thú trong các môn học. Tư duy sáng
tạo cần thiết mọi môn học, lĩnh vực trong cuộc sống. Em đã tìm hiểu kỹ về
tư duy sáng tạo chưa?
A. Biết rõ, quan tâm và tìm hiểu: 22%
B. Biết rõ nhưng không quan tâm: 28%
C. Có từng nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 48%
D. Chưa nghe nói đến và chưa tìm thấy bao giờ cả: 2%
Nhận xét chung. Như vậy, qua bài khảo sát ý kiến từ HS, hầu hết học
sinh đã từng nghe nhưng chưa quan tâm lắm. HS trao đổi được nghe qua GV
bộ môn, nguồn thông tin Internet, trên chương trình giáo dục Việt Nam. Dù
100% các em đều cảm thấy tư duy sáng tạo rất quan trọng đối với việc học,
phát triển tư duy nhưng rất ít HS tìm hiểu (22%) về loại hình tư duy này.
Đối với giáo viên:
Câu 1: Một trong những mục tiêu giáo dục môn Toán ở trường phổ thông
hiện nay là rèn luyện tư duy cho học sinh. Các thầy/ cô có biết về tư duy
sáng tạo hay không?
A. Biết rõ tư duy sáng tạo là gì và đã quan tâm, tìm hiểu: 75%
B. Biết rõ tư duy sáng tạo là gì nhưng không quan tâm phát triển cho HS:

0%
C. Có nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 25%
D. Chưa được ai nhắc đến hay nghe thông tin từ mạng bao giờ: 0%
Nhận xét. Kết quả khảo sát cho thấy phần lớn giáo viên biết rõ và quan
tâm rèn luyện tư duy cho học sinh.
12


Câu 2: Theo thầy/ cô có nên rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT
trong bộ môn Toán hay không?
A. Có: 100%

B. Không: 0%

Câu 3: Xin thầy/ cô cho biết quan niệm của mình về tư duy sáng tạo.
1. Hoàn toàn đồng ý

3. Không đồng ý

2. Đồng ý

4. Không có ý kiến.

Bảng 1.3. Kết quả đánh giá nhận thức của GV về tư duy sáng tạo
STT

Quan niệm

1

2

3

4

1

Tư duy sáng tạo thuộc 25%
cấu trúc tư duy Toán học.

15%

15%

45%

2

Tư duy sáng tạo là một 45%
loại hình tư duy mang
tính cực và tính độc lập.
Hay nói cụ thể hơn, tư
duy sáng tạo là việc học
sinh tự tìm hiểu, khám

35%

15%

5%

phá, tự tìm tòi cách giải
quyết một vấn đề trong
giải toán.
3

Tư duy nảy sinh khi gặp 15%
vấn đề có hoàn cảnh.

15%

45%

25%

4

Tư duy sáng tạo là một 25%
mục tiêu quan trọng trong

15%

15%

45%

giảng dạy bộ môn Toán,
cần rèn luyện và hình
thành tư duy sáng tạo cho

học sinh.
5

Môi trường giáo dục hiện 75%
tại đòi hỏi tư duy sáng tạo
hơn bao giờ hết.

15%

5%

5%

6

Tư duy của con người và 45%
ngôn ngữ tư duy luôn có
mối quan hệ chặt chẽ, mật
thiết với nhau.

35%

15%

5%

13


7

Để phát triển tư duy sáng 45%
tạo, giáo viên cần khuyến
khích học sinh thảo luận,
tranh luận, đặt câu hỏi.

35%

20%

0%

8

Năng lực tư duy sáng tạo 15%
giúp HS có tư duy trừu
tượng hơn.

15%

45%

25%

9

Tư duy sáng tạo là nền 25%
tảng để học sinh phát
triển tư duy.

20%

40%

15%

10

Tư duy sáng tạo giúp 45%
học sinh luôn nhìn nhận
sự vật trừu tượng, phong
phú hơn.

35%

20%

0%

Nhận xét. Qua câu hỏi này, GV thấy rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS
rất quan trọng nhưng GV còn cảm thấy mơ, chưa rõ rành về tư duy sáng tạo.
Câu 4: Khi dạy học phần bất đẳng thức, học sinh của thầy/cô gặp những
khó khăn, sai lầm nào?
1. Gặp nhiều khó khăn

3. Không nhiều

2. Nhiều

4. Không giao giờ

Bảng 1.4. Kết quả dánh giá HS gặp khó khăn khi giải bài toán bất đẳng
thức
STT

Khó khăn, sai lầm

1

2

3

4

1

Không định hình, phân 45%
biệt được dạng bài.

35%

20%

0%

2

Chưa biết áp dụng bất 75%
đẳng thức cổ điển vào các

bài toán bất đẳng thức.

15%

5%

5%

3

Làm sai vì chưa phân tích 45%
điều kiện đề bài.

35%

15%

5%

4

Không nhớ lý thuyết cơ 40%
bản và các bất đẳng thức.

35%

25%

0%

14


5

HS hiểu các dạng bài 70%
tập cơ bản nhưng không
ghi nhớ được để làm
công cụ làm bài tập khác
hoặc nắm được nhưng vận
dụng một cách máy móc,

25%

5%

0%

thiếu sáng tạo.
Nhận xét. Như vậy, GV đánh giá, nhìn nhận được các lỗ hổng của HS
khi dạy học bộ môn Toán. Tuy nhiên, nhiều GV đang gặp phải khó khăn khi
sử dụng phương pháp dạy học.
Đánh giá chung thực trạng của HS và GV.
Qua phân tích kết quả điều tra thực trạng, tôi cho rằng nhìn chung việc
rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS hiện nay ở trường trung học phổ thông
chưa được quan tâm đúng mực.
- Nhận thức của GV, HS về dạy và học rèn luyện tư duy sáng tạo còn mơ
hồ, chung chung.
- Chưa có môi trường sư phạm thích hợp cho việc dạy học tư duy nói chung
và rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS nói riêng.

- GV còn chưa chú ý rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình dạy
học.
- Nhà trường hiện nay còn ảnh hưởng bởi cách dạy truyền thống, chưa áp
dung nhiều phương pháp dạy học tích cực, hiện đại để giúp HS chủ động, tìm
tòi.
Như vậy, kết quả nghiên cứu thực trạng cho thấy từ nhận thức đến biện
pháp rèn luyện tư suy sáng tạo cho HS của GV THPT còn chung chung, đơn
điệu. Thực tế này có nhiều nguyên nhân và lí do khác nhau mà nguyên nhân
chính là GV chưa thực sự đầu tư thời gian tìm hiểu, học hỏi, tìm phương
pháp dạy học đẩy mạnh tính chủ động của HS.

1.2.2. Tam thức bậc hai
Trong chương trình đại số phổ thông, bất đẳng thức cơ bản và cũng rất
nền tảng dạng toán bất đẳng thức, tìm GTLN, tìm GTNN chính là bất đẳng
15


thức dạng sau
x2 ≥ 0, ∀x ∈ R

(1.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0.
Mở rộng với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau.
(x1 − x2 )2 ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ R
Tức
(x1 )2 + (x2 )2 ≥ 2.x1 .x2 , ∀x1 , x2 ∈ R.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 .
Dạng bất đẳng thức (1.1) là dạng bậc 2 đơn giản nhất mà HS đã được
học và tìm hiểu ở chương trình Đại số lớp 9. Trong nội dung giảng dạy Đại

số 9, định lý Vi-et đóng vai trò quan trọng giúp HS tính toán, tư duy ước
lượng nhanh các giá trị một số biểu thức dạng đối xứng theo các nghiệm của
phương trình bậc hai tương ứng. Định lý Vi-et xuất hiện trong rất nhiều kỳ
thi tuyển THPT, HSG với đối tượng HS lớp 9. HS bước vào chương trình Đại
số 10, dạng bào tập ứng dụng định lý thuận và đảo về dấu của tam thức bậc
hai cũng là công cụ hữu hiệu cần thiết cho HS khi làm nhiều dạng toán ở bậc
THPT.
Định lý 1.1. Xét dấu tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0.
Khi đó
af (x) =

b
ax +
2

2

−

∆
, với ∆ = b2 − 4ac.
4

Định lý 1.2. Xét tam thức bậc hai
f (x) = ax2 + bx + c, a = 0
(i) Xét ∆ < 0 ta có af (x) > 0, ∀x ∈ R;
(ii) Xét ∆ = 0 ta có af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =

−b

;
2a

(iii) Nếu ∆ > 0 thì a.f (x) = a2 (x − x1 )(x − x2 ) với
√
−b
∆
x1,2 =
±
2a
2|a|
16

(1.2)


1.2.3. Các bất đẳng thức chứa tam thức bậc hai cơ bản và ứng
dụng giải bất đẳng thức liên quan
a) Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean and Geometric
Mean)
Định lý 1.3. Với mọi bộ số thực dương a1 , a2 , a3 , . . . , an ta luôn có bất đẳng
thức
√
a1 + a2 + a3 + · · · + an
≥ n a1 .a2 .a3 . . . an .
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = an

(1.3)

Chứng minh. Ta có thể sử dụng phương pháp “quy nạp Cauchy” để chứng
minh.
• Với n = 2, ta có
√
√
√
a1 + a2 − 2 a1 .a2
( a1 − a2 )2
a1 + a2 √
− a1 .a2 =
=
≥ 0.
2
2
2
a1 + a2 √
≥ a1 .a2 .
Nên
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 .
a1 + a2 + a3 + · · · + ak
√
≥ k a1 .a2 .a3 . . . ak
k
a1 + · · · + a2k
1
Ta đi chứng minh (1.3) đúng với n = 2k. Xét
= . Khi đó
2k
2

• Giả sử (1.3) đúng với n = k ta có

a1 + a2 + · · · + ak ak+1 + ak+2 + · · · + a2k
+
k
k
√
1 √
√
≥ ( k a1 .a2 .a3 . . . ak + k ak+1 .ak+2 . . . a2k ≥ 2k a1 . . . a2k .
2



a = · · · = ak

 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak+1 = · · · = a2k



a . . . a = a
1
k
k+1 . . . a2k
Khi đó a1 = . . . . = ak = ak+1 = · · · = a2k .
• Giả sử (1.3) đúng với n = p − 1. Đặt ap =

17

a1 + . . . ap−1
≥
p−1

√

p−1

a1 . . . ap−1 .