Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT quan sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong năm học 2019- 2020 tôi được phân công lên giảng dạy ở trường
T.H.P.T Quan Sơn trong đó có khối 10. Trong quá trình giảng dạy các em tôi
thấy rất nhiều em có học lực trung bình, một số em có học lực yếu và khá; Vì thế
trong quá trình dạy học tôi thấy các em thiếu rất nhiều thứ như kiến thức cơ bản,
kỹ năng, kỹ xảo giải quyết các bài toán và đang còn thụ động ít sáng tạo trong
quá trình học tập và rèn luyện.
Trong chương trình Đại Số 10 các em được học cách xét dấu nhị thức
bậc nhất và tam thức bậc hai đây là một trong những nội dung quan trọng của
đại số lớp 10. Với cách hướng dẫn như trong SGK thì tôi thấy còn khá dài dòng,
chưa đơn giản làm mất nhiều thời gian của các em. Tôi thấy đó là một bất cập
cần khắc phục và nhu cầu cấp thiết hiện nay là phải có những cách làm đơn giản
hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm bài mà lại có hiệu quả cao đối với các
em.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mong muốn giúp các em xét được dấu của nhị thức bậc nhất và tam
thức bậc hai một cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm hơn so với cách của SGK nên tôi
mạnh dạn chọn "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan Sơn xét dấu
nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai". Qua nội dung này tôi mong các em
đặc biệt là những em có học lực yếu, trung bình, khá xét dấu được nhị thức bậc
nhất và nhị thức bậc hai đồng thời cải thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo
trong việc giải toán của các em.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
+ Thống kê, xử lý số liệu;
+ Tổng hợp kiến thức đã có.

1

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
+ Đối với sáng kiến "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan
Sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai". Ta cần nắm vững một số
kiến thức cơ bản sau:
+ Cách tìm tập xác định của hàm số, biểu thức (hoặc điều kiện xác định
của hàm số, biểu thức);
+ Cách giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn;
+ Cách xét dấu hàm số, biểu thức.
Cụ thể:
+ Muốn tìm tập xác định của hàm số ta cần nhớ hàm số được xác định khi
nào? như biểu thức ở mẫu của hàm phân thức phải khác 0,...
+ Để giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn ta xem lại
cách giải ở trang 58 SGK Đại số 10.
+ Cách xác định dấu của một hàm số, biểu thức là bước rất quan trọng. Để
làm tốt được ta cần ghi nhớ kiến thức sau:
*1: Cách lập bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
*2: Khi biết f(x) mang cùng một dấu trên khoảng K. Muốn biết f(x) âm
hay dương ta chỉ việc lấy một điểm x 0 bất kỳ trên khoảng K thay x  x0 vào
f(x) nếu f(x0) dương thì kết luận f(x) dương trên khoảng K và ngược lại nếu f(x0)
âm thì f(x) âm trên khoảng K.
*3:Hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng K và phương trình
f(x) = 0 có các nghiệm x1, x2,..., xm khác nhau trên K = (a; b) với x1< x2<... < xm
ta có lưu ý sau:
+ Nếu tại nghiệm xi có số nghiệm dạng xi  2n  1, i  1, m, n��thì trên
mỗi khoảng lân cận (bên phải, bên trái) của điểm xi mang dấu khác nhau.
+ Nếu tại nghiệm xi có số nghiệm dạng xi  2n , i  1, m, n�� (ta quy ước
gọi là nghiệm bội) thì trên mỗi khoảng lân cận của điểm xi mang cùng một dấu.

Sau khi xác định được dấu của f(x) muốn lấy nghiệm của bất phương
trình đã cho thì chỉ cần dựa vào yêu cầu của bài toán như: f(x) > 0; f(x) � 0;
f(x) < 0; f(x) �0 để suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khi học sinh xét dấu nhị thức bậc nhất
hoặc tam thức bậc hai nếu chỉ dùng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và định
lí về dấu của tam thức bậc hai thì chưa đủ còn dài dòng, chưa nhanh gọn và đặc

2


biệt là nếu lập bảng xét dấu ở một số bài toán thì mất rất nhiều thời gian làm bài
của các em.
2.3. Một số giải pháp
Trước hết ta cần nắm vững định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức
bậc hai.
I. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất (Đại số 10).
Nhị thức f (x)  ax+b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong
b
a

b
a

khoảng ( ;�) , trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (�; ) .
Bài toán: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b
Giải:
+ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm x  

b

a

+ Để xét dấu nhị thức ta có thể trình bày theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f (x)
x

�



f(x)
Trái dấu với a
Cách 2: Dùng trục số
Trái dấu với a

b
a

0


�

Cùng dấu với a

b
a

Cùng dấu với a

Ghi nhớ: Khoảng lớn hơn nghiệm của nhị thức cùng dấu với hệ số a, khoảng bé
hơn nghiệm của nhị thức trái dấu với a.
Vận dụng: Xét dấu các nhị thức sau
a) f ( x)  2 x  3 ;
b) f ( x)  4 x  5
Giải:
3
và có hệ số a = 2 > 0 nên
2
Cách 1: ta có bảng xét dấu f (x)
3
�
x
2

a) f(x) = 0 có nghiệm x 

f(x)
Cách 2: Ta có trục xét dấu f (x)
-

0

�

+

3
2

+

Kết luận
3


3
3
f ( x)  0 � x �( ; �) và f ( x)  0 � x �(�; )
2
2
5
b) f(x) = 0 có nghiệm x   và có hệ số a = -4 < 0 nên
4
Cách 1: Ta có bảng xét dấu f (x)
5
�

x
4

f(x)
+
Cách 2: Ta có trục xét dấu f (x)

�

0


-

5
4

+

-

Kết luận:
5
5
f ( x)  0 � x �(�;  ) và f ( x)  0 � x �(  ; �)
4
4

II. Định lí về dấu của tam thức bậc hai: (Đại số 10)
Cho f (x)  ax2  bx  c (a �0),   b2  4ac .
+ Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x��;
b
a

+ Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x � ;
+ Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2 , trái dấu với
hệ số a khi x1  x  x2 trong đó x1, x2(x1  x2 ) là hai nghiệm của f(x).
Bài toán: Xét dấu tam thức f (x)  ax2  bx  c (a �0)
Khi đó ta có hai cách trình bày
Cách 1: Dùng bảng xét dấu
+ Nếu   0 tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x
�

�
x
f(x)
Cùng dấu với hệ số a
+ Nếu   0Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x �
x

�



b
2a

b
2a
�

f(x) Cùng dấu với hệ số a
0
Cùng dấu với hệ số a
+ Nếu   0Tam thức có hai nghiệm x1; x2 Khi đó tam thức cùng dấu với
hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái
dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm
�
�
x1
x2
x
f(x)

Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a
0 Cùng dấu với a
Cách 2: Dùng trục số
+ Nếu   0 tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x
4


Cùng dấu với hệ số a
+ Nếu   0Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x �
Cùng dấu với hệ số a



b
2a

b
2a

Cùng dấu với hệ số a

+ Nếu   0Tam thức có hai nghiệm x1; x2 Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a
khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái dấu với hệ số a khi x nằm
trong khoảng hai nghiệm
Cùng dấu với a

x1

x2 Cùng dấu với a

Trái dấu với a
Áp dụng: Xét dấu các tam thức sau
a) f (x)  x2  x  2
b) f (x)  2x2  x  1
c) f (x)   x2  2x  3
d) f (x)  4x2  x  1
Giải: Chúng ta sẽ giải các câu trên theo cả hai cách.
a) Ta có   9  0 nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  2 và a  1 0 nên ta có bảng
xét dấu sau:
�
�
2
1
x
f(x)
+
0
0
+
Vậy f (x)  0 � x�(�;2) �(1;�) và f (x)  0 � x�(2;1)
Hoặc ta trình bày theo cách sau:
Ta có   9  0 nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  2 và a  1 0 nên ta trục xét dấu
sau:
2
1
+
+
Vậy f (x)  0 � x�(�;2) �(1;�) và f (x)  0 � x�(2;1)
b) Ta có   7  0 và a  2  0 nên ta có bảng xét dấu
�

�
x
f(x)
+
Vậy f (x)  0 với x��
Hoặc   7  0 và a  2  0 nên ta có trục xét dấu
+
Vậy f (x)  0 với x��
c) Ta có   16  0nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  3 và a  1 0 nên ta có
bảng xét dấu sau:
�
�
1
3
x
f(x)
0
+
0
f
(
x
)

0
�
x
�
(


1
;3)
f
(
x
)

0
�
x
�
(

�
;

1
)
�
(3;

�
)
Vậy
và
5


Hoặc ta trình bày theo cách sau:
Ta có   16  0nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  3 và a  1 0 nên ta có trục xét

dấu sau:
1

3

+

-

-

Vậy f (x)  0 � x�(1;3) và f (x)  0 � x�(�;1) �(3;�)
d) Ta có   0 và a  4  0 nên ta có bảng xét dấu sau:
x
f(x)



�

+

1
2

�

0
1
2

+

1
2

Vậy f (x)  0 với x�(�; ) �( ;�)
Hoặc có   0 và a  4  0 nên ta có trục xét dấu sau:


+
1
2

1
2

+

1
2

Vậy f (x)  0 với x�(�; ) �( ;�)
Nhận xét: Đối với cách lập bảng và cách dùng trục số đều có ưu nhược điểm
của nó như: Dùng bảng số thì ta biết được dấu của từng hàm số thành phần trong
hàm số f(x) và biết được hàm số f(x) xác định hay không xác định tại điểm x0 (
x0 là nghiệm của hàm số thành phần) nhưng cũng có nhược điểm là dùng bảng
thì cồng kềnh trong các bài toán gồm nhiều hàm số thành phần, còn đối với trục
số thì ta không thể hiện được dấu của hàm số thành phần và không thể hiện rõ
hàm số có xác định hay không xác định tại x0 nhưng nếu chỉ xét dấu không thì

cách làm này lại ngắn ngọn đơn giản. Vậy tùy vào từng bài toán cụ thể mà ta
dùng bảng số hay trục số
Bây giờ ta vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai giải
một số bài toán.
Bài 1. Giải bất phương trình 2x2  3x  5 �0
Hướng dẫn:
5
�
x 
�
+ Xét phương trình 2x  3x  5  0 � � 2
x1
�
+ Xét dấu f (x)  2x2  3x  5
5


]2

2

1
[



5
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x2  3x  5 �0 là (�; ]�[1;�)

6


Nhận xét:
+ Phần không gạch chéo là phần nghiệm của bất phương trình. Ngoặc vuông tại
điểm nào thì lấy nghiệm tại điểm đó, ngoặc tròn là không lấy.
5

+ Do bất phương trình trên lấy nghiệm bằng 0 nên tại điểm x   2; x  1 ta để
ngoặc vuông hướng về phía tập nghiệm chứa điểm đó của bất phương trình nếu
không lấy bằng 0 thì ta để ngoặc tròn hướng về tập nghiệm kề nó.
+ Đối với những bài toán đơn giản chỉ cần xét dấu của biểu thức thì tôi thường
bảo các em dùng trục số cho nhanh.
+ Tam thức bậc hai f (x) có hai nghiệm phân biệt thì trong trái, ngoài cùng (tức
trong khoảng hai nghiệm f (x) trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm
f (x) cùng dấu với hệ số a).
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm
trái dấu
3x2  (m2  2m 5)x  m2  2m 8  0

Hướng dẫn:
Phương trình trên là một tam thức bậc hai để phương trình có hai nghiệm trái
dấu thì a.c<0
Yêu cầu bài toán tương đương với m2  2m 8  0


4
(



2
)



Vậy m�(4;2) .
Bài 3. Giải bất phương trình 3x2  x  4  0
Hướng dẫn:
Do   47  0 và a = -3<0 nên 3x2  x  4  0 với x��
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (�;�) .
Bài 4. Giải hệ bất phương trình sau
�x  2  0
�2
�x  3x  4 �0

Hướng dẫn:
Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình và lấy nghiệm chung
của chúng
* Giải x 2  0
x  2  0 � x  2

Xét dấu:

Vậy nghiệm của x 2  0 là (2;�)
* Giải x2  3x  4 �0
x2  3x  4  0 � x  4; x  1

Xét dấu:



4
]

2
(



1
[



4
]
Kết hợp nghiệm:
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là [1;�) .

2
(



Vậy nghiệm của x2  3x  4 �0 là (�;4] �[1;�)

1
[



7


Bài 5. Tìm m để bất phương trình 2mx2  2(m 1)x  3m 1 0 đúng với x��.
Hướng dẫn:
Đặt f (x)  2mx2  2(m 1)x  3m 1
1
2

TH1: m =0 thì bất phương trình đã cho tương đương 2x  1 0 � x   .
Vậy m = 0 loại.
m 0
�

TH2: m�0 Khi đó để f (x)  2mx2  2(m 1)x  3m 1 0,x��thì � �
 0
�
m 0
m 0
�
�
1
��
�
� m 
�
2
2

5
(m 1)  2m(3m 1)  0 �
5m  4m 1 0
�
1
Vậy m  thỏa mãn đề ra.
5

Chú ý: Rất nhiều em không xét trường hợp 1 mà sử dụng điều kiện của trường
hợp 2 luôn. Trường hợp 2 chỉ được sử dụng khi hệ số của x2 đã khác không.
Bài 6. Xét dấu đa thức f (x)  (2x  1)( x2  3x  10)
Hướng dẫn:
1
2

Giải f (x)  0 � (2x  1)( x2  3x  10)  0 � x  ; x  2; x  5
Khi đó ta có các cách trình bày
Cách 1: lập bảng xét dấu
x

�

1
2

2

2x 1
 x2  3x  10

+

f (x)

+
-

0
0

�

5

0

+
+
+

0

+
-

0
0

1
2

Vậy f (x) luôn dương với mọi x thuộc (�;2) �( ;5)
1
f (x) luôn âm với mọi x thuộc (2; ) �(5;�) .
2

Cách 2: vẽ trục số


2


1
2



5


1
2

Vậy f (x) luôn dương với mọi x thuộc (�;2) �( ;5)
1
f (x) luôn âm với mọi x thuộc (2; ) �(5;�)
2

Chú ý:
+ Dấu của f (x) là tích của dấu hai biểu thức thành phần 2x 1 và  x2  3x  10 .

+ Để xác định dấu của f (x) trong một khoảng nào đó ta chọn một điểm đại diện
x0 trong khoảng đó rồi thay vào f (x) nếu f (x) dương thì khoảng đó mang dấu
dương, nếu f (x) âm thì khoảng đó mang dấu âm. Tôi thường chọn khoảng chứa
các giá trị đặc biệt như chứa 0; 1; 2; …
8


1
2

+ f (x)  0 có 3 nghiệm x  ; x  2; x  5(không có nghiệm bội) nên các khoảng
lân cận nhau mang dấu trái nhau.
Bài 7. Giải bất phương trình x  1  2x  1  x  3 �0.
Hướng dẫn:
Để giải bất phương trình này ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối. Muốn phá ta dùng
định nghĩa của trị tuyệt đối (bài này không bình phương hai vế được)
�f (x) khi f (x) �0
f (x)  �
 f (x) khi f (x)  0
�

Vì bài toán này có chứa hai dấu trị tuyệt đối nên ta dùng bảng để phá trị tuyêt
đối và giải bất phương trình. Đặt f (x)  x  1  2x  1  x  3
1 0 0 555

Dựa vào bảng trên ta thấy:
+ Nếu x  

1
thì f (x)  4x  3.

2


4x 3 0
Yêu cầu bài toán tương đương �

Kết hợp đk x  

x

3
.
4

1
1
thì x   thỏa mãn. (1)
2
2

1
2
+ Nếu x  1 thì f (x)  2x  3 .

+ Nếu  �x �1 thì f (x)  5  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (2)
3 
0
Yêu cầu bài toán tương đương 2x �۳

x

3
2

Kết hợp đk x  1 thì x  1 thỏa mãn. (3)
Từ (1), (2), (3) tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (�;�)
Nhận xét: Từ bài toán này ta thấy để giải bài toán chứa nhiều dấu trị tuyệt đối ta
nên dùng bảng để phá dấu trị tuyệt đối.
Bài 8. Giải bất phương trình:
Hướng dẫn:
ĐK x ��2

1
3

�0 .
x  4 x 2
2

1
3(x  2)
3x  5
1
3

� f (x) 
� f (x) 

(x  2)(x  2) (x  2)(x  2)
(x  2)(x  2)

x  4 x 2
3x  5
Yêu cầu bài toán tương đương tìm x để f (x) �0 � (x  2)(x  2) �0.

Đặt f (x) 

2

9


5
3
(x  2)(x  2)  0 � x  2; x  2

Giải phương trình: 3x  5  0 � x  
Xét dấu f (x)



)
2



[
5

3



)
2



5
3

Dựa vào trục số tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (�; 2) �[  ;2)
Nhận xét: Bài toán dạng này ta nên dựa vào trục số để xét dấu f(x) thay vì lập
bảng xét dấu.
Bài 9. Xét dấu phân thức f (x) 

(x2  1)(2x2  x  1)
.
x2  4x  3

Hướng dẫn:
Giải phương trình (x2  1)(2x2  x  1)  0 � x  �1
Xét dấu f (x)

x2  4x  3  0 � x  1; x  3

1
3




1



Vậy f (x)  0 khi x�(�;3) �(1;�)
f (x)  0 khi x�(3;1) �(1;1)
Nhận xét:
+ Nhiều em thấy cả tử và mẫu có x 1 chung nên đơn giản � Kết luận sai vì tại
x  1 biểu thức f (x) không xác định.
+ Theo quy luật ở các bài toán trước lân cận khoảng dương là khoảng âm, lân
cận khoảng âm là khoảng dương � sẽ sai ở bài toán này (những em lập bảng
xét dấu sẽ ít sai hơn). Khi dùng trục số ta thấy cả tử và mẫu đều có nghiệm
x  1. Trong trường hợp này ta coi x  1 là nghiệm bội của biểu thức f (x) vì
vậy khoảng lân cận bên trái và bên phải của -1 mang cùng một dấu.
Bài 10. Xét dấu biểu thức f (x)  (x2  4)(2x2  x  10)
Hướng dẫn:
Giải phương trình x2  4  0 � x  �2
2x2  x  10  0 � x  2; x  

Xét dấu f (x)





5
2



5
2

2



2



5
2

Vậy f (x)  0 � x�(�; ) �(2;2) �(2;�)
5
f (x)  0 � x�( ; 2)
2
f
(
x
)
Nhận xét:
có nghiệm bội tại x  2 nên khoảng bên trái và bên phải của 2

mang cùng một dấu.
Bài 11. Tập nghiệm của bất phương trình 3x2  x  10 �0 là
10

5
A. S [  ;2]
3
5
C. S  (  �; ]
3

5
B. S  ( ;2)
3
D. S [  2; �) .

Hướng dẫn:
5
3

Giải phương trình 3x2  x  10  0 � x   ; x  2
Xét dấu tam thức 3x2  x  10




[
5

3



]
2

5
3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3x2  x  10 �0 là S [  ;2] � đáp án A
Bài 12. Tập nghiệm của bất phương trình ( x  2)(x2  x) �0 là
A. S  (�;0] �[1;2]
C. S  (�;0) �(1;2)

B. S  [0;1]�[2;�)
D. S  (0;1) �(2;�) .

Hướng dẫn:
Giải phương trình ( x  2)(x2  x)  0 � x  2; x  0; x  1
Xét dấu biểu thức ( x  2)(x2  x)


0
[





1
]

2

[



Vậy tập nghiệm của bất phương trình ( x  2)(x2  x) �0 là S  [0;1] �[2;�) � đáp
án B.
(2x  1)(x2  5x  6)
�0 là
Bài 13. Tập nghiệm của bất phương trình 2
(x  1)(2x2  x  3)
3 1
3
A. S  [  3; 2] �[  ; ] �[1; �)
B. S  (  �;3]�[  2; )
2 2
2
3 1
1
C. S  [  3;2] �(  ; ] �(1; �)
D. S  [  2; ] �(1;�)
2 2
2

Hướng dẫn:
1
2

Giải phương trình (2x  1)(x2  5x  6)  0 � x  ; x  2; x  3
(x2  1)(2x2  x  3)  0 � x  1; x  
(2x  1)(x2  5x  6)

Xét dấu biểu thức 2
(x  1)(2x2  x  3)
2

3

]
[



3

(2



3
2
1
2
]



1
(



11


Vậy

tập

nghiệm

của

bất

phương

(2x  1)(x2  5x  6)
�0
(x2  1)(2x2  x  3)

trình

là

3 1
S [  3;2] �(  ; ] �(1;�) � đáp án C.
2 2

Nhận xét:
3
nên khi lấy nghiệm cần loại

2

+ Bất phương trình không xác định tại x  1; x  

bỏ các giá trị này.
+ Dùng trục số những bài toán dạng này xét dấu nhanh hơn dùng bảng xét dấu.
Bài 14. Gọi S là tập hợp các số nguyên thỏa mãn
x(x  1)(x  2)2(x  3)3(x  4)4(x  5)5 �0. Tính số phần tử của S
A.3

B.4

Hướng dẫn:
Phương

C.5.

D.6.

x(x  1)(x  2)2 (x  3)3(x  4)4 (x  5)5  0 có
nghiệm
x  0; x  1; x  2; x  3; x  4; x  5 trong đó có các nghiệm x  2; x  4 là nghiệm bội

trình

(có số nghiệm chẵn)
Xét dấu biểu thức x(x  1)(x  2)2(x  3)3(x  4)4(x  5)5


0

[

1  2 
]



3
[

4


5
]





Vậy tập nghiệm của bất phương trình x(x  1)(x  2)2(x  3)3(x  4)4(x  5)5 �0 là
[0;1] �[3;5] � S {0;1;3;4;5} vậy đáp án C.
Nhận xét: -Đối với bài toán dạng này nhiều em không biết lấy dấu của biểu thức
như thế nào. Các em chỉ cần ghi nhớ nếu biểu thức có nghiệm bội tại x=4 thì
khoảng bên trái và bên phải 4 mang cùng một dấu, còn không phải nghiệm bội
thì làm như cũ.
Bài 15. Cho hàm số f (x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương
thõa mãn f (x) �0. Tính số phần tử của S
y

2

0

4

x
f (x)

A.7.

B.4.

C.5.

D.8.

Hướng dẫn:

f (x) �0 � 2 �x �4 � S {1;2;3;4}. Vậy đáp án B.

12


2.4.Bài tập củng cố
Bài 1. Cho nhị thức f (x)  2x  4. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. f (x)  0 với mọi x thuộc �.
B. f (x)  0 với mọi x thuộc (2;�) .
C. f (x)  0 với mọi x thuộc (2;�) .
D. f (x)  0 với mọi x thuộc �.

Bài 2. Biểu thức f (x)  (x  1)(x  3) không âm khi x thuộc
A.(�;�) .
B.(3;1) .
C.(�; 3] �[1; �) .
D.(�; 3) �(1; �) .
Bài 3. Với x thuộc tập nào dưới đây thì biểu thức f (x) 

2 x
không âm?
2x  1

1
B.(�; ) �[2;�) .
2
1
D.(  ;2] .
2

A.(�;�) .

1
C.[  ;2] .
2

1
1

�0 có tập nghiệm S là?
x1 x 1
A.(  1;1) .

B.(�;1) �(1;�) .
C.[  1;1] .
D.(�;1) .
Bài 5. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  1  x  4 là?
A.(�;1) �(2;�) .
B.(�; 2) �(2; �) .
C.(�;2) .
D.(2;�) .
Bài 6. Cho hàm số y  f (x) như hình vẽ. Khi đó tập nghiệm của bất phương
trình f (x)  0 là?
y

Bài 4. Bất phương trình

y  f (x)

A.(�;1) .
B.(�;0) .
C.(0;�) .
D.(1;�) .

0

x

1

Bài 7. Cho đồ thị hàm số y  f (x), y  g(x) như hình vẽ. Tập nghiệm của bất
phương trình f (x) �g(x) là?
y

A. [1;�) .
B. (1;�) .
C. (�;1) .

y  f (x)
10
2

1
D. [ ;�) .
2

Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình

x

1
y  g(x)

3x
�1 là?
x 4
2

13


A. (�;4]�[  1;1]�[4; �) .

B. (�;1] .

C. [  1;1] .

D. [  4;1] �[1;4] .

Bài 9. Tam thức bậc hai f (x)  x2  x  3 dương khi và chỉ khi x thuộc
A. (�;3) .
B. (�;�) .
C. (1;�) .
D. (1;1) .
Bài 10. Tập nghiệm của bất phương trình x2  2x  8  0 là
A. (2;4) .
B. (�;2) �(4;�) .
C. (�;4] .
D. (2;�) .
Bài 11. Tam thức bậc hai f (x)   x2  3x  10 âm khi và chỉ khi x thuộc
A. (2;5) .
B. (�;2) �(5;�) .
C. (�;5) .
D. (2; �) .
Bài 12. Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với x  2 .
A. f (x)  x2  5x  6 .
B. f (x)  8 x2 .
C. f (x)  x2  2x  3.

D. f (x)   x2  5x  6 .

Bài 13. Bảng xét dấu nào sau đây của tam thức f (x)   x2  x  6

A.
B.
C.
D.

x -�
f(x
)
x
-�
f(x)
+

-2

3

0 +
-2
0 -

0
3
0

x -�
f(x
)
x
-�

f(x)
+

-3

2

0 +
-3
0 -

0
2
0

�

�

+
�

�

+

Bài 14. Tam thức f (x)  x2  4x  m 5 luôn dương khi và chỉ khi m thỏa mãn?
A. m 9 .
B. m�9.
C. m 9.

D. m�9 .
x1

Bài 15. Biểu thức f (x)  x2  4x  3 không dương khi và chỉ khi x thỏa mãn
A. (�;1) .
B. (3;1) �[1;�) .
C. (�;3) �(1;1] .
D. (3;1) .
Bài 16. Tập xác định của hàm số y  5x2  4x  1 là
1
A. (�; ]�[1;�) .
5
1
C. (�; ]�[1;�) .
5

1
B. [  ;1].
5
1
D. (�; ) �(1;�) .
5

14


Bài 17. Biểu thức f (x)  mx2  2mx  m 1 dương với x�� khi và chỉ khi m thỏa
mãn
A. m�0.
B. m 0.

C. m 0
D. m�1.
.
� x2  9
0
�
� x2  3x  12
�
Bài 18. Tập nghiệm của hệ bất phương trình �x  7  3x  1 �0 là?
�x  5
2
A. (�;3) �(1; �) .
B. (3;5) .
C. [1;3) .
D. (1;3) .
Bài 19. Cho đồ thị hàm số y  f (x), y  g(x) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các số
nguyên dương thỏa mãn f (x) �g(x) Khi đó số phần tử của S là?
y
A. 3.
B.4 .
y  g(x)
C. 5.
D. 6 .
1

0

x

4

y  f (x)
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học vừa qua. Tôi thấy sáng
kiến trên rất phù hợp đối với các em có lực học trung bình và trung bình khá. Áp
dụng cho các em tôi thấy rõ những tiến bộ rõ rệt và cải thiện được kỹ năng xét
dấu nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai của các em lên rất nhiều, các
em có hứng thú học toán hơn.
Kết quả cụ thể đối với lớp 10A3(sĩ số 36) và lớp 10A7 (sĩ số 38) trong năm học
2019- 2020 như sau:

Điểm dưới 5

Trước
khi áp
Lớp dụng
10A3 Sau
khi áp
dụng
Lớp Trước
10A7 khi áp
dụng

Điểm từ 5 đến
6,5

Điểm từ 6,5
đển 8

Điểm trên 8

số
lượng

tỉ lệ
%

số
lượng

tỉ lệ
%

số
lượng

tỉ lệ
%

số
lượng

tỉ lệ
%

5

13,8%

22

61,1%

8

22,1%

1

2,8%

1

2,8%

9

25%

18

50%

8

3

7,9%

25

65,8%

10

26,3%

0

22,2
%
0%

15


Sau
khi áp
dụng

0

0%

8

21,1%

24

63,2%

6

15,7
%

16


III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Khi tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xét dấu nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai so với cách giải lâu nay thì các em có hứng
thú, thích học lên rất nhiều và thấy rõ sự tiến bộ trong học tập toán của các em vì
các em làm bài tập có phương pháp, đường lối rõ ràng và rất dễ sử dụng. Mặc dù
cố gắng tìm tòi và nghiên cứu nhưng vẫn còn những thiếu sót và hạn chế mong
đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tôi nghĩ khả năng áp dụng sáng kiến của tôi vào thực tế rất khả thi và rất
phù hợp đối với nhiều học sinh có lực học trung bình và trung bình khá.
3.2. Kiến nghị
Đối với nhà trường thì theo tôi tùy thuộc vào lực học của các em, các lớp
chúng ta linh hoạt đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với lực học
của các em mà vẫn đảm bảo được chất lượng dạy và học.
Đối với sở giáo dục và đào tạo có thể xem xét một số sáng kiến kinh
nghiệm hay mà lại phù hợp với từng đối tượng học sinh phổ biến đến các trường
để các Thầy cô có điều kiện tiếp cận học hỏi kinh nghiệm và giảng dạy cho các
em sao cho đạt kết quả tốt nhất.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 6 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lại Việt Quang

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách bài tập đại số 10 nâng cao, cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục
3. Sách bài tập đại số 10, đại số 10 nâng cao- Nhà xuất bản giáo dục
4. Tài liệu của toán học bắc trung nam.

18


Mục Lục
I. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.................................................................................1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.........................................................................1
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.......................................................................1
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.................................................................1
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm....................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm....................2
2.3. Một số giải pháp.........................................................................................3

2.4.Bài tập củng cố..........................................................................................13
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm........................................................15
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ..........................................................................17
3.1. Kết luận....................................................................................................17
3.2. Kiến nghị..................................................................................................17

19