SKKN: Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI
TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Năm học 2019 - 2020


MỤC LỤC
Trang
I. Đặt vấn đề

2

1. Lý do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu

2

3. Giả thiết khoa học

2

4. Dự báo những đóng góp của đề tài

2

II. Giải quyết vấn đề

3

1. Cơ sở lý thuyết

3

2. Cơ sở thực tiễn

4

3. Nội dung

4

a. Ví dụ mở đầu

4

b. Các bài tập vận dụng

6

Vấn đề 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp

6

Vấn đề 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ

12

c. Một số bài tập đề nghị

20

d. Đánh giá hiệu quả của đề tài

22

III. Kết luận

22

IV. Kiến nghị23

2


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia chúng ta thường gặp các bài
toán liên quan đến góc, trong đó có bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Với nhiều học
sinh, cũng như giáo viên nhiều khi còn lúng túng trong việc xác định phương pháp để
giải quyết bài toán. Thông thường khi tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta thường sử
dụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, phương
pháp tọa độ hóa…Tuy nhiên, trong quá trình giải có nhiều bài yêu cầu nhận định và
tính toán phức tạp, mất rất nhiều thời gian.
Với những lý do trên, cùng với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ năng
cho học sinh, tôi xin giới thiệu một phương pháp mà ít giáo viên và học sinh sử dụng

đó là “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng”.
2. Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu
Phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến góc giữa
hai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi.
Nâng cao hiệu quả trong việc ôn thi THPT Quốc gia.
Đề tài áp dụng hiệu quả cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12.
3. Giả thiết khoa học
Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt
phẳng” vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia sẽ tạo được hứng thú và kích thích sự
đam mê trong học tập bộ môn cho học sinh. Đồng thời học sinh sẽ tự tin hơn trong
việc giải quyết các dạng bài tập mới. Riêng về phần bài tập tính góc giữa hai mặt
phẳng, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức và có kỹ năng giải nhanh hơn không chỉ các bài
toán về góc mà cả những bài toán liên quan đến tính khoảng cách thường gặp trong
các đề thi.
4. Dự báo những đóng góp của đề tài
Đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng”
giúp chúng ta nắm thêm một cách để tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời củng cố
thêm phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian. Từ đó rèn luyện tư duy kỹ năng trong việc dạy và học toán.

3


Đề tài giúp giải quyết các bài toán liên quan đến góc một cách nhanh chóng,
đặc biệt trong những bài khó xác định góc giữa hai mặt phẳng thì đây thực sự là một
công cụ hữu hiệu.
Qua một số bài tập điển hình được trình bày trong chuyên đề, các ví dụ được
sắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp học sinh nhận ra được sự ưu việt khi vận dụng phương
pháp này vào giải quyết các bài tập.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Cơ sở lý thuyết
Phương pháp vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng.

Giả sử hai mặt phẳng
A Ï a,

dựng
Khi đó,

(α)

và

(β)

cắt nhau theo giao tuyến

AK ⊥ a, ( K ∈ a ) , AH ⊥ ( β ) , ( H ∈ ( β ) )

a ⊥ ( AHK )

suy ra

sin j =

HK ⊥ a.

Do đó,

a

. Lấy

A∈( α ) ,

.

(·( α ) , ( β ) ) = (·AK , HK ) = ·AKH = ϕ.

AH d ( A,( b) )
=
( 1) .
AK
d ( A, a )

Từ đó suy ra
Như vậy, các bước để tính tính góc giữa hai mặt phẳng thông qua khoảng cách
bao gồm:
Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 2: Chọn một điểm

A

bất kỳ thuộc một trong hai mặt phẳng và không nằm trên

giao tuyến, sau đó tính khoảng cách từ điểm

4

A

đến giao tuyến và mặt phẳng còn lại.


(Ở đây có rất nhiều cách lựa chọn điểm

A

, do đó học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình

tính toán của mình. Thông thường để dễ dàng tính khoảng cách thì chúng ta vẫn hay
chọn điểm

A

là hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy. Tuy nhiên trong nhiều

bài toán thì phụ thuộc vào cách nhìn nhận của mỗi người, vấn đề chọn điểm này tôi sẽ
trình bày ở phần nhận xét sau các bài tập cụ thể).

( 1)
Bước 3: Thay vào công thức

tính và kết luận.

2. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy dạng bài tập liên quan đến
góc giữa hai mặt phẳng được khai thác khá nhiều trong các đề thi. Tại đơn vị tôi công
tác, học sinh khi gặp dạng bài toán này thường hay lúng túng và khó khăn trong việc
đưa ra phương hướng giải kể cả đối tượng học sinh giỏi.

Sau khi học sinh tiếp thu nội dung đề tài này và vận dụng vào các bài toán cụ
thể trong các đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh
2019…) các em đều giải quyết bài toán khá nhanh chóng và tự tin. Từ đó tư duy, kỹ
năng giải bài tập của các em được nâng lên rõ rệt.
3. Nội dung
a. Ví dụ mở đầu: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy là hình vuông,

mặt phẳng

A.

( SBC )

và

( SDC )

0.

SA ⊥ ( ABCD )

, giá trị

B.

cos α

1
.
2

C.

Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng cắt nhau.
Đặt

Gọi

bằng

Lời giải

DC = a ( a > 0)

,

SA = 3 AB.

BH ^ SC ( H Î SC ) .

. Kẻ

5

1

.
3

D.

1
.
4

α

là góc giữa hai


BD ^ ( SAC ) Þ BD ^ SC

Dễ thấy

.

Từ đó suy ra

SC ^ ( BDH ) Þ DH ^ SC

.

( SBC ) Ç ( SDC ) = SC.
Ta có
·
a = ( ( SBC ) ,( SDC ) ) = (·BH , DH ) .

Khi đó
Xét tam giác

SBC

B,
vuông tại

đường cao

BH

, ta có

1
1
1
1
1
1
1
5
2a
= 2+
= 2
+
=
+ 2 = 2 Þ BH =
.

2
2
2
2
2
2
BH
SB
BC
SA + AB
BC
a
4
a
5
a 3 +a

(

Ta lại có

BD

D SBC = D SDC

Þ DH = BH =

là đường chéo của hình vuông nên

2a

5

Suy ra

HBD

, ta có

.

BD = a 2

.

4a 2 4a 2
+
- 2a 2
BH + DH - BD
1
5
·
cos BHD
=
= 5
=2 a 2a
2 BH .DH
4
2. .
5 5
2

Xét tam giác

)

1
·
cos a =- cos BHD
= .
4

2

2

Chọn D.

Cách 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

Đặt

DC = a, ( a > 0 )
sin α =

Khi đó

. Ta có

d ( B, ( SDC ) )
d ( B, SC )

( SBC ) ∩ ( SDC ) = SC.
=

d ( A, ( SDC ) )
d ( B, SC )

6

.

.


Gọi

H

là chân đường cao hạ từ đỉnh

từ đỉnh

B

của tam giác

SBC

A

của tam giác

SAD K
,
là chân đường cao hạ

.

d ( B, SC ) = BK .

Ta có
DC ^ AB, DC ^ SA ( SA ^ ( ABCD ) )

DC ^ ( SAB )

(vì

). Suy ra

AH ^ DC

. Do đó

d ( A,( SDC ) ) = AH .

AH ^ ( SDC )

hay
Xét tam giác

SAD

A

vuông tại

, đường cao

1
1
1
1
1
=
+ 2 = 2+
2
2
AH
AB
SA
a
a 3

(

Xét tam giác

SBC

vuông tại

B

)

2

=

AH

, ta có

4
a 3
⇒ AH =
.
2
3a
2

, đường cao

BK

, ta có

1
1
1

1
1
5
2a
= 2+
=
+ 2 = 2 ⇒ BK =
.
2
2
2
BK
SB
BC
5
( 2 a ) a 4a

Từ đó suy ra

a 3
AH
15
sin a =
= 2 =
2a
1
BK
4
⇒ cos α = 1 − sin 2 α = .
5

4

Chọn D.

AH , BK
Nhận xét: Ở đây việc xác định và tính

rất dễ dàng, do đó vận dụng khoảng

cách vào tính góc trong bài này được giải quyết rất gọn nhẹ và nhanh chóng.
Thay vì lựa chọn điểm

B

như ở trên, chúng ta có thể chọn điểm

D

với vai trò

hoàn toàn tương tự.
Qua hai cách giải trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy, nếu sử dụng cách 1
thì chúng ta cần phải xác định được góc cụ thể, còn nếu sử dụng cách thứ 2 chúng ta
không cần chỉ ra góc mà vẫn tính được thông qua khoảng cách.
b. Các bài tập vận dụng.

7


Vấn đề 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp.

Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp

S . ABC

có đáy

SA ⊥ ( ABC )

A.

3
2

. Gọi

ABC

a

là tam giác vuông

tại

là góc giữa hai mặt phẳng

.

B.

1

2

.

B

( SAC )

C.

,

AB = a, AC = 2a

và

15
5

Ta có

Kẻ

Vì

 ( SAC ) ∩ ( SBC ) = SC .

AH ⊥ SB, ( H ∈ SB )

d ( A, ( SBC ) )

d ( A, SC )

Khi đó

.

BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) )

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH

Từ đó suy ra

AH ⊥ ( SBC )

hay

d ( A, ( SBC ) ) = AH .

AK ^ SC ( K Î SC ) Þ d ( A, SC ) = AK

Kẻ

Xét tam giác

.

SAB

vuông tại

A

, đường cao

AH

, ta có

1
1
1
1
1
5
2a
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
.
2
2
AH
AB
SA
a
4a
4a
5

8

. Khi đó

D.

Lời giải

sin α =

( SBC )

.

,

SA = 2a,

cosa

3
5

.

bằng


Xét tam giác

SAC

A

vuông tại

AK

, đường cao

, ta có

1
1
1
1
1
1
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ AK = a 2.
2
2
AK
AC
SA
4a
4a
2a

Từ đó suy ra

2a

10
15
sin α = 5 =
⇒ cos α =
.
5
5
a 2

Chọn C.

Nhận xét: Trong bài này, việc tính khoảng cách từ điểm
một bài toán cơ bản và quen thuộc. (
Tuy nhiên, chúng ta có thể chọn điểm
hơn việc tính từ điểm
Bài 2: Cho hình chóp

A

A

S . ABCD

tạo bởi hai mặt phẳng

.

đến mặt phẳng

B

để tính và công việc cũng dễ dàng không kém

có

ABCD

là hình vuông cạnh

( SAB)
và

B.

6
2

. Khi đó,

.

C.

M

. Tam giác

.

bằng

D.

SAD
SM ^ AD.
AD
là trung điểm của
, tam giác
đều nên
SAD
Mặt khác tam giác
nằm trong mặt phẳng

M

SM ^ ( ABCD )

vuông góc với đáy suy ra

.

9

SAD

đều

AD a
là trung điểm của
,

là góc

cot a
2 6
3

a

Lời giải
Ta có

là

. Đây là một điểm thực sự rất nổi bật trong phương pháp này.

( SCM )

A.

( SBC )

là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy).

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

6
3

A

6

.


K

E.
AE = AB = a
AB
A
BE
ct
ti
Khi ú, l trung im ca
, suy ra
.
( SCM ) ầ ( SAB ) = SE.

CM

Ta cú
sin a =

d ( A,( SCM ) )
d ( A, SE )

.

Suy ra

d ( A, SE ) = AK .
K, H
SE
EM
Gi
ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc lờn
v
. Ta cú
AB ^ AD, AB ^ SM ị AB ^ ( SAD ) ị AB ^ SA
Vỡ
.
AE = SA = a
SAE
A
Mt khỏc
nờn tam giỏc
vuụng cõn ti .
1
a 2
AK = SE = SA2 + AE 2 =
.
2
2
Do ú
AH ^ CM , AH ^ SM ( SM ^ ( ABCD ) )
Ta li cú,
d ( A,( SCM ) ) = AH
ị AH ^ ( SCM )
hay
.

A
,
AME
AH
Xột tam giỏc
vuụng ti
ng cao
1
1
1
1
4
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ị AH =
2
2
2
AH
AE
AM
a
a
a
5
Ta cú
.
a 5

1
6
- 1=
AH
10 ị cot a =
2
5
sin a =
=
=
2
ổ 10 ử
ữ
ỗ
AK
5
a 2
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 5 ứ
2
Suy ra
. Chn B.
Nhn xột: bi ny, vic ch ra gúc khú hn bi trờn. Do ú vn dng khong cỏch
tớnh l hp lý. Vic la chn tớnh khong cỏch t im

A

hay

B

n mt phng

( SCM )
thỡ

u

nh

nhau.

Ngoi

10

ra

chỳng

ta

cú

th

tớnh

sin a


=

d ( M ,( SAB ) )
d ( M , SE )

=

d ( C ,( SAB ) )
d ( C , SE )

.
Việc tính theo công thức này cũng đơn giản như cách

tính ở trên.
Bài 3: (Đề thi thử trường THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp

S . ABCD

SA = 2 3

có đáy

·
AB = 3, AD = 4, BAD

= 1200.

là hình bình hành,

. Gọi
a = 600

.

a

lần lượt là trung điểm các cạnh

là góc giữa hai mặt phẳng
B.

a = 450

.

C.

( SBC )

và

a = 900

( MNP )

.

. Tính
D.

a

Q
là trung điểm của
sin a =

SB

d ( B,( MNP ) )
d ( B, PQ )

( MNP ) Ç ( SBC ) = PQ
. Khi đó

=

.

d ( A,( MNP ) )
d ( B, PQ )

Ta có

.

d ( A,( MNP ) ) = AH
AI ^ PN ( I Î PN ) AH ^ MI ( H Î MI )
Kẻ
,
. Khi đó
.

·
BAD
= 120 Þ ·ANP = 60
0

Ta có

Xét tam giác
AH
, ta có

AIM

0

,

3
·
AI = AN .sin ANP
= 2.
= 3
2

A,
vuông tại

đường cao

1
1
1
1 1 2
6
=
+ 2 = + = Þ AH =
2
2
AH
MA
AI
3 3 3
2
BK ^ QP ( K Î QP ) Þ d ( B, QP ) = BK

Kẻ
Ta có

.

·
AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD.DC cos ADC

11

.

.

.

a = 300

Lời giải
Gọi

Cạnh

M , N, P
vuông góc với đáy. Gọi

SA, AD, BC

A.

ABCD

.


1
Þ AC 2 =16 + 9 - 2.4.3. = 13
2

.

SC = SA2 + AC 2 = 12 +13 = 5
Suy ra

.

SB 2 = SA2 + AB 2 = 12 + 9 = 21
.
2

3
SC + CB - SB 2 25 +16 - 21 1
·
·
·
cos QPB = cos SCB =
=
= Þ sin QPB
=
.
2SC.CB
2.5.4
2
2

Ta có

2

3
·
BK = BP sin QPB
= 2.
= 3
2

.

6
AH
2
sin a =
= 2 =
Þ a = 450
BK
2
3

Từ đó suy ra
. Chọn B.
Nhận xét: Ở bài này việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là rất khó. Do đó, ta nên
vận dụng khoảng cách để tính góc. Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm

( MNP )

PQ
tuyến

đến giao

N, M

và mặt phẳng

hay tính khoảng cách từ các điểm

đến giao

( SBC )

PQ
tuyến

B

và mặt phẳng

trong trường hợp này tùy thuộc vào cách nhìn bao

quát và toàn diện của mỗi học sinh. Tuy nhiên nếu các em lựa chọn điểm ngẫu nhiên
thì các bước đi đến kết quả của phương pháp này cũng khá đơn giản và gọn nhẹ.
Bài 4: Cho hình chóp

S . ABCD

chiếu vuông góc của đỉnh

AB

sao cho

HA = 2 HB.

góc giữa hai mặt phẳng

S

a,
có đáy là hình thoi cạnh

lên mặt phẳng

Góc giữa

( SAC )

và

SC

( ABCD )

là điểm

và mặt phẳng

( SCD )

. Tính

12

cot a

.

góc

H

( ABCD )

·
BAD
= 1200.

Hình

nằm trên đoạn thẳng

bằng

600.

Gọi

a

là


A.

7
4

.

B.

7
5

.

C.

5
7

.

D.

Lời giải

Ta có
Gọi

( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC

M

là trung điểm của

hình thoi cạnh

ACD

sin a =

Do đó,
Xét tam giác

d ( A, SC )

.

. Khi đó

AD

. Vì

·
a, BAD
= 1200

là các tam giác đều cạnh
AM =

d ( A,( SCD) )

nên

ABCD

ABC

là

và

a.

a 3
.
2

ACH

, ta có

CH 2 = AC 2 + AH 2 − 2 AC. AH .cos60 0

= a2 +

4a 2

2a 1 7 a 2
a 7
− 2.a. . =
⇒ CH =
.
9
3 2
9
3

Góc giữa

SC

và

( ABCD )

là góc

SH = CH .tan 60o =
Từ đó suy ra
Vì

AB / / CD

nên

·
SCH

= 600.
a 21
2a 7
, SC =
.
3
3

d ( A, ( SCD ) ) = d ( AB , ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) )

HI = AM =

HI / / AM ( I Î DC )

Kẻ

. Khi đó
HK ^ SI ( K Î SI )

Kẻ

.

13

a 3
2

và

.

HI ^ DC

.

4
7

.


DC ^ HI , DC ^ SH ( SH ^ ( ABCD) ) Þ DC ^ ( SHI ) Þ HK ^ DC

Ta có

.
d ( A,( SDC ) ) = HK

HK ^ ( SDC )

Từ đó suy ra
Xét tam giác

hay

SHI

.

H,
vuông tại

đường cao

HK

, ta có

1
1
1
1
1
4
3
37
a 21
=
+
=
+
= 2+ 2 =
⇒ HK =
.
2
2
2
2
2

2
HK
HI
SH
AM
SH
3a
7a
21a
37

d ( H , AC ) HA 2
2
2 a 3 a 3
=
= Þ HL = d ( B , AC ) = .
=
d ( B, AC )
BA 3
3
3 2
3
Ta có

,

2

2

 a 3   a 21 
2a 6
SL = HL + SH = 
.
÷ +
÷ =
3
 3   3 
2

Ta lại có

S ∆SAC
Vì

Suy ra

2

d ( A, SC ) = AT .
2a 6
.a
1
1
SL. AC
a 6
3
= SL. AC = AT .SC ⇒ AT =
=
=

.
2
2
SC
2a 7
7
3

a 21
HK
7
5
sin α =
= 37 =
⇒ cot α = .
AT
7
a 6
74
7

Chọn C.

Nhận xét: Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng trong bài này rất phức tạp. Do đó vận
dụng khoảng cách để tính rất phù hợp. Tương tự, ở bài này lựa chọn tính khoảng cách

từ điểm
SC

A

tới đường thẳng

SC

( SCD )
, mặt phẳng

( SAC )
, mặt phẳng

đều khá dễ dàng như nhau.

14

hay từ điểm

D

tới đường thẳng


Bài 5: (Đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2019) Cho hình chóp

S . ABCD

có đá

ABCD

trong hình vuông

ABCD

giữa hai mặt phẳng

( SAD )

là
2
2

A.

450

. Gọi

.

là hình vuông cạnh, hình chiếu vuông góc của đỉnh

a

. Hai mặt phẳng

( SAB )

và

( SBC )

( SAD ) , ( SBC )

là

600

là góc giữa hai mặt phẳng

B.

1
2

.

C.

( ABCD)
và

3
2

.

, giá trị

D.

Lời giải

SH ⊥ ( ABCD ) SM ⊥ AD, SN ⊥ BC , HK ⊥ AB
Kẻ
,
.

( SAB) Ç ( ABCD) = AB
Ta có

.

sin a =
Khi đó

Ta có

Vì

d ( H ,( SAB ) )
d ( H , AB )
.

·
= 90
(·( SAD ) , ( SBC ) ) = MSN

0

.

BC ⊥ SM , BC ⊥ SN ⇒ BC ⊥ ( SMN ) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN / / AB.

Khi đó

d ( H , ( SAB ) ) = d ( M , ( SAB ) ) = d ( N , ( SAB ) ) = x ( x > 0 ) .

15

nằm

vuông góc với nhau; góc

; góc giữa hai mặt phẳng

( SAB)

S

0

.

( SAB )
cosa

và

là

(·( SAB ) , ( SBC ) ) = 60

Suy ra

Từ

( 1)

3 d ( N , ( SAB ) )
2x
=
⇒ d ( N , SB ) =
.
2
d ( N , SB )
3

3
1
1
1
1
=
+
=
+
( 1)
2

2
2
2
4x
SN
BN
SN
HK 2

(·( SAB ) , ( SAD ) ) = 45

Suy ra

⇒ sin 600 =

0

0

⇒ sin 450 =

2 d ( M , ( SAB ) )
=
⇒ d ( M , SA ) = x 2
2
d ( M , SA )

1
1
1

1
1
=
+
=
+
2
2
2
2
2x
SM
AM
SM
HK 2

và

( 2)

.

( 2)

ta được

5
1 
2
1 

1
1
1
 1
 1
=
+
+
=
+
+
= 2+
⇒ HK = 2 x.
2
2
2 ÷
2
2
2 ÷
2
4x
SN  HK
HK  HK
x
HK 2
 SM
 SH

sin (·
( SAB ) , ( ABDC ) ) =

Từ đó suy ra
cos (·
( SAB ) , ( ABDC ) ) =
Vậy

3
.
2

d ( H , ( SAB ) )
d ( H , AB )

=

x 1
= .
2x 2

Chọn C.

Nhận xét: Đây là một bài toán rất hay, nếu chúng ta xác định góc cụ thể của từng cặp
mặt phẳng thì sẽ rất rối hình. Tuy nhiên, như chúng ta nhìn thấy, vận dụng khoảng
cách để giải quyết thì bài toán này trở nên nhẹ nhàng, đơn giản hơn nhiều.
Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ.

16


Bài 1: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC. A¢B¢C ¢

có

AB = 2 3

A¢B ¢, A¢C ¢
cạnh

và

BC

và

AA¢= 2

M , N, P
. Gọi

lần lượt là trung điểm các

( AB ¢C ¢)
. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

( MNP )
và

bằng

A.

6 13
65

.

B.

13
65

.

C.

17 13
65

.

D.

18 13
.
65

Lời giải

( MNP )

P Î BC , BC / / MN

Vì

nên mặt phẳng

( MNBC )
chính là mặt phẳng

.

I = AB ¢Ç BM , J = AC ¢Ç CN
Gọi

.

( AB ¢C ¢) Ç ( MNP) = IJ ( IJ / / BC / / MN )
Khi đó
Gọi

.

( AB ¢C ¢)

a

là góc tạo bởi hai mặt phẳng

sin a =

( MNP )

d ( B ¢,( MNP ) )
d ( B ¢, IJ )

. Ta có
Vì

ABC. A¢B ¢C ¢

và

.
là lăng trụ tam giác đều nên tam giác

AB ¢C ¢

AK ^ B ¢C ¢
.
d ( B, IJ ) = d ( K , IJ ) = KE

Do đó

AB ¢= AB 2 + BB ¢2 = 4, AK = AB ¢2 - B ¢K 2 = 13
Ta có

Dễ thấy

.

I

là trọng tâm tam giác

BB ¢A

. Suy ra

17

1
B ¢I = B ¢A
3

.

cân tại

A

. Suy ra


Từ đó ta có

1
13
KE = AK =
3

3

.

Q, H
Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

B¢

lên

MN

BQ
và

. Khi đó

d ( B ¢,( MNP ) ) = B ¢H

.
1
3
B ¢Q = A¢K =
2
2

Ta có

.

BB ¢Q
Xét tam giác

vuông tại

B¢
B ¢H
, đường cao
, ta có

1
1
1
4 1 25
6
=
+
= + = Þ B ¢H =
2
2
2
B ¢H
B¢Q
B ¢B
9 4 36
5
.

Suy ra

6
B ¢H
18 13
13
sin a =
= 5 =
Þ cos a =
KE
65
65
13
3

Nhận xét: Vai trò của

B¢

và

C¢

. Chọn B.

như nhau nên chúng ta có thể lựa chọn điểm

C¢

để

thực hiện các bước hoàn toàn tương tự.
Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh năm 2018) Cho hình lăng trụ

ABC. A¢B¢C ¢

có đáy là tam giác đều cạnh

( ABC )
phẳng
600

là trung điểm

H

của cạnh

A.

AB

. Hình chiếu vuông góc của

là góc giữa hai mặt phẳng
1
3

.

B.

1
5

( ABC )
và

.

C.
Lời giải

18

A¢

lên mặt

. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

( BCC ¢B ¢)

j
. Gọi

2a

cosj

. Khi đó
4
17

.

bằng

D.

1
17

.


( BCC ¢B ¢) Ç ( ABC ) = BC
Ta có

.
sin j =

d ( A,( BCC ¢B ¢) )
d ( A, BC )

Khi đó
Gọi

M

ABC

.
là trung điểm của
đều cạnh

2a

BC

.Vì tam giác

AM ^ BC ,
nên

AM = a 3 Þ d ( A, BC ) = AM = a 3.

Gọi

D

là chân đường cao hạ từ đỉnh

điểm của

HD

B¢

( ABC )
xuống mặt phẳng

B

là trung

.

d ( A,( BCC ¢B ¢) )

d ( D,( BCC ¢B ¢) )

=

AB
=2
DB

Ta có

d ( A,( BCC ¢B ¢) ) = 2d ( D ,( BCC ¢B ¢) )
hay

.

I, K
Gọi

. Khi đó

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

D

lên

BC

và

B ¢I

. Khi đó

d ( D,( BCC ¢B ¢) ) = DK .

Ta có

DI
DB 1
1
a 3
=
= Þ DI = AM =
AM
AB 2
2
2

Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy là
Xét tam giác

B ¢DI

·A¢AH = 600 Þ B ¢D = A¢H = AH .tan 600 = a 3

D,
vuông tại

.

đường cao

DK

ta có

1
1
1
4
1
5
a 15
= 2+
= 2 + 2 = 2 Þ DK =
2
2
DK

DI
B ¢D
3a
3a
3a
5

19

.

.


a 15
2 DK
5 = 2 Þ cos j = 1
sin j =
=
AM
a 3
5
5
2.

Suy ra

. Chọn B.

Nhận xét: Trong quá trình giải quyết bài toán tính góc theo khoảng cách ngoài cách

H , B ¢, C ¢
chọn cách điểm như trên ta có thể chọn các điểm

để tính khoảng cách tới

giao tuyến và các mặt phẳng tương ứng cũng hoàn toàn đơn giản.
BC a
ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢
M
Bài 3: Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,

( B ¢AM )
là góc giữa hai mặt phẳng
A.

300.

( A¢B ¢CD)
và

B.

. Khi đó, số đo của góc

450.

C.

600.

D.

a

bằng

750.

Lời giải
Kẻ

AM

cắt

DC

tại

N

.

( B ¢AM ) Ç ( A¢B ¢CD) = B ¢N .
Ta có
Khi đó
sin a =

d ( C ,( B ¢AM ) )
d ( C , B ¢M )

=

d ( B,( B ¢AM ) )
d ( C , B¢M )

.
BH ^ AM ( H Î AM ) , BK ^ SH

Kẻ

.
d ( B,( B ¢AM ) ) = BK

Suy ra

Xét tam giác

.
B ¢BH

vuông tại

B

, đường cao

BK

, ta có

1
1
1
1
1
1
1
4
1
6
a 6
=
+
=
+
+ 2 = 2 + 2 + 2 = 2 Þ BK =
.
2
2
2
2
2
BK
BB ¢ BH
BB ¢ BM
BA

a
a
a
a
6

20


CP ^ B ¢N ( P Î B ¢N )
Kẻ

d ( C , B ¢N ) = CP
. Khi đó

Xét tam giác

B ¢CN

vuông tại

C

.

, đường cao

CP

, ta có

1
1
1
1
1
3
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 Þ CP =
.
2
2
2
CP
CB ¢ CN
2a
a
2a
3

Vậy

a 6
BK
1
sin a =
= 6 = Þ a = 300.
CP a 6 2

3

Chọn A.

Nhận xét: Việc tính toán trong bài này cũng đơn giản và nhẹ nhàng, thay vì lựa chọn

tính khoảng cách từ điểm

C

đến giao tuyến

B ¢N

( B ¢AM )
và mặt phẳng

cũng có thể lựa chọn là tính khoảng cách từ điểm

A

chúng ta

đến giao tuyến và mặt phẳng

( A¢B¢CD)
, việc này cũng hoàn toàn đơn giản, tương tự như ở câu 2.

Câu 4: Cho lăng trụ đứng
a

,

M

là trung điểm của

( ACC ′A′)

A.

5
.
10

ABC. A′B′C ′

A′B′

có đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bằng

. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

( MBC′)

bằng

B.

3 5

.
5

C.
Lời giải

21

5
.
5

D.

15
.
5

và


Kẻ

AA′

α

Gọi

cắt

BM

( MBC′) ∩ ( ACC′A′ ) = C′D.

Ta có

là góc tạo bởi hai mặt phẳng

( ACC ′A′)

Khi đó
N

( MBC ′)

và

.

sin α =

Gọi

tại

D.

d ( B, ( ACC ′A′ ) )
d ( B, C ′D )

là trung điểm cạnh

AC

.
.

BN ^ AC , BN ^ AA¢Þ BN ^ ( ACC ¢A¢)
Ta có
d ( B,( ACC ¢A¢) ) = BN
Hay

.

Tam giác

ABC

đều cạnh

a

BN = C ′M =
nên

a 3
.
2

BK ^ DC ¢( K Î DC ¢) Þ d ( B, DC ¢) = BK
Kẻ

Ta có

.

1
1
C ′M .BD
S∆C ′BD = C ′M .BD = BK .C ′D ⇒ BK =
.
2
2
C ′D
BD = a 2 + ( 2a ) = a 5.
2

Xét tam giác

ABD

vuông tại

A

, ta có
2

Xét tam giác

Do đó,

DMC ′

M,
vuông tại

ta có

a 3 a 5
C ′D = 
÷+ 
÷ = a 2.
2
2

 


a 3
.a 5
a 30
2
BK =
=
.
4
a 2

22


Suy ra

a 3
BN
10
15
sin α =
= 2 =
⇒ cos α =
.
BK a 30
5
5
4

Chọn D.

Nhận xét: Ở bài này, vận dụng khoảng cách để tính toán cũng rất đơn giản. Và như tôi
đã trình bày, chúng ta có nhiều cách lựa chọn điểm để tính khoảng cách tới giao tuyến
và mặt phẳng còn lại. Với bài trên, thay vì lựa chọn điểm

B

, ta chọn điểm

A¢

thì công việc lại gọn nhẹ hơn rất là

nhiều.
Kẻ
Gọi

AA′

α

cắt

BM

tại

D.

( MBC′) ∩ ( ACC′A′ ) = C′D.

Ta có

là góc tạo bởi hai mặt phẳng
sin α =

Khi đó

d ( A′, ( BCM ) )
d ( A′, C ′D )

( MBC ′)

và

( ACC ′A′)

.

A¢H ^ BD ( H Î BD )

Kẻ

.

C ¢M ^ ( ABB ¢A¢) Þ A¢H ^ C ¢M
Ta có

.
d ( A,( MBC ¢) ) = A¢H

A¢H ^ ( MBC ¢)

Từ đó suy ra
Xét tam giác

hay
A¢DM

vuông tại

.

A¢
A¢H
, đường cao
, ta có

1
1
1
1
4
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 Þ A¢H =
.
2
2
2
A¢H
A¢D
A¢M
a
a
a
5

A¢K ^ DC ¢( K Î DC ¢) Þ d ( A¢, DC ¢) = A¢K

Kẻ
Xét tam giác

.

A¢DC

vuông tại

A¢
A¢K
, đường cao
, ta có

23

.


1
1
1
1
1
2
a 2
=
+
= 2 + 2 = 2 Þ A¢H =
.

2
2
2
A¢K
A¢D
A¢C
a
a
a
2
a 5
A′H
10
15
sin α =
= 5 =
⇒ cos α =
.
A′K a 2
5
5
2

Từ đó suy ra

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng

·
BAC
=1500

M

. Gọi

ABC. A¢B ¢C ¢

có

Chọn D.

AB = a

,

AC = a 3

,

AA¢= a

( AB ¢M )
CC ¢ a
là trung điểm của
,
là góc giữa mặt phẳng
và

( ABC )
mặt phẳng

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

sin α =
A.

66
.
22

sin α =
B.

66
.
11

sin α =
C.

418
.
44

Lời giải
Kẻ

BC

cắt

B ¢M

tại

N

. Khi đó

M

là trung điểm của

( AB ¢M ) Ç ( ABC ) = AN .
Ta có
sin a =

d ( B ¢,( ABC ) ) d ( B ¢,( ABC ) )
=
d ( B ¢, AN )
2d ( M , AN )

Khi đó

.

d ( B ¢,( ABC ) ) = BB ¢= a
Ta có

,

.

MH ^ AN ( H Î AN ) Þ d ( M , AN ) = MH

Kẻ

.

24

B ¢N

.

sin α =
D.

418
.
22


Xột tam giỏc

ABC

ta cú

ã

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB. AC.cos BAC

ổ 3ử
ữ
ữ
ị BC 2 = a 2 + 3a 2 - 2.a.a 3.ỗ
= 7 a 2 ị BC = a 7
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 ứ

cos ãABC =

AB 2 + BC 2 - AC 2 a 2 + 7a 2 - 3a 2 5 7
=
=
.
2 AB.BC
14
2a.a 7

1
1
1 a2 3
ã
SD ABC = AB. AC.sin BAC
= a.a 3. =

.
2
2
2
4

Xột tam giỏc

ABN

cú

ã
AN 2 = AB 2 + BN 2 - 2 AB.BN .cos ABC

ị AN 2 = a 2 + 28a 2 - 2.a.2a 7.

a2 3
a2 3 1
4 = 57 .
=
= CH . AN ị CH =
4
2
38
a 19
2.

SD ACN = SD ABC

Ta li cú

a 2 3a 2 11a 2
a 418
MH = MC + CH = +
=
ị MH =
.
4
76
38
38
2

Suy ra

5 7
=19a 2 ị AN = a 19.
14

sin a =

2

BB Â
=
2 MH

2

a
2.

Vy

a 418
38

=

418
.
22
Chn D.

Nhn xột: Vi bi ny chỳng ta cng cú th la chn cỏch tớnh khong cỏch t im
C

n giao tuyn

AN

Bi 6: Cho lng tr

gúc ca

AÂ

( AB ÂM )
v mt phng

ABC. AÂB ÂC Â

tng t nh cỏch trờn.

cú ỏy l tam giỏc u cnh

( ABC )
lờn mt phng

l im

25

H

3a

, hỡnh chiu vuụng

thuc cnh

AB

tha món