Điều khiển ổn định vị trí hệ bi thanh sử dụng phương pháp trượt nơ ron

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

VÕ LONG SĨ

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH VỊ TRÍ HỆ BI – THANH
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT – NƠ RON

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Đà Nẵng - Năm 2017


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

VÕ LONG SĨ

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH VỊ TRÍ HỆ BI – THANH
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT – NƠ RON

Chuyên ngành : Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mã số

: 60 52 02 16

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN KIM ÁNH

Đà Nẵng - Năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.

Tác giả luận văn

Võ Long Sĩ


TÓM TẮT LUẬN VĂN
ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH VỊ TRÍ HỆ BI - THANH
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT – NƠ RON
Học viên: Võ Long Sĩ
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mã số: 60520216 Khóa: 31 Trường Đại học Bách khoa - ĐHĐN
Tóm tắt – Các hệ thống tự cân bằng đã và đang được nghiên cứu và phát triển rộng rãi. Việc
điều khiển hệ thống tự cân bằng có thể giúp giảm chấn cho xe ô tô, ổn định hàng hóa khi vận
chuyển trên tàu biển, ứng dụng trong xe hai bánh tự cân bằng. Trong lĩnh vực quân sự có thể
điều khiển ổn định được góc bắn pháo trên xe tăng, tàu chiến, góc phóng tên lửa, cân bằng
trong máy bay không người lái. Một phương pháp đơn giản nhưng có thể giải quyết tài toán
phi tuyến rất hiệu quả đó là điều khiển trượt, phương pháp này mang lại chất lượng bền vững
rất cao. Tuy nhiên tín hiệu điều khiển được tạo ra bởi bộ điều khiển trượt có hiện tượng rung
(chattering) trong hệ thống. Đây là một hiện tượng nguy hiểm và là nguyên nhân làm giảm
tuổi thọ nhiều thiết bị. Luận văn này, tác giả đề xuất các phương pháp trượt dùng mạng nơ ron
để hạn chế hiện tượng chattering trong điều khiển trượt. Sử dụng phương pháp này để điều

khiển ổn định vị trí mô hình hệ bi – thanh. Đây là một mô hình thí nghiệm phổ biến cho việc
điều khiển tự cân bằng tại các phòng nghiên cứu và trường đại học trên thế giới.
Từ khóa – Hệ bi – thanh; Điều khiển trượt; Điều khiển trượt dùng mạng nơ ron; Điều khiển
trượt thích nghi dùng mạng nơ ron.

STABILITY CONTROL POSITIONS THE BEAM AND BALL USING
SLIDING - NEURAL METHOD
Abstract – Self-balancing systems have been extensively researched and developed.
Controlled self-balancing systems can help to reduce shock for car, stabilize cargo when
shipped on board, and applied in self- balancing two-wheeled vehicles. In the field of military
control can stabilize the angle of guns on tanks, warships, missile launchers, balance in
unmanned aircraft. Therefore, the control of nonlinear systems is unavoidable. Sliding mode
control is a simple method but effective for solving nonlinear problem. This method provides
high quality of stability. However, the control signal generated by the sliding mode controller
in the system has chattering phenomenon. This is a dangerous phenomenon and is the rootcause of the longevity of devices. In this thesis, The author offers sliding mode control
method using neural network to reduce the chattering phenomenon in sliding mode control.
This method is used to control the position of the ball and beam system. This system is widely
used for researching nonlinear in labs and universities.
Key words – Ball and beam system; Sliding mode control; Neural sliding mode control;
Adaptive neural sliding mode control.


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
TÓM TẮT LUẬN VĂN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................1

Chương 1 - TỔNG QUAN VỀ HỆ BI - THANH........................................................5
1.1. Giới thiệu hệ bi - thanh ....................................................................................5
1.1.1. Mô hình hệ bi – thanh kiểu trục lệch........................................................5
1.1.2. Mô hình hệ bi – thanh kiểu trục giữa .......................................................5
1.2. Các công trình nghiên cứu liên quan .............................................................6
1.2.1. Các công trình nghiên cứu trong nước .....................................................6
1.2.2. Các công trình nghiên cứu ngoài nước ....................................................6
1.3. Kết luận .............................................................................................................8
Chương 2 - MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG PHI TUYẾN ..........9
2.1. Mô hình hóa hệ thống phi tuyến .....................................................................9
2.1.1. Phương trình Euler-Lagrange...................................................................9
2.1.2. Tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến xung quanh điểm làm việc .............10
2.2. Điều khiển hệ thống phi tuyến ......................................................................11
2.2.1. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống phi tuyến ......................................11
2.2.2. Điều khiển trượt .....................................................................................13
2.2.3. Điều khiển dùng mạng nơ ron ................................................................19
2.2.4. Điều khiển trượt dùng mạng nơ ron .......................................................23
2.2.5. Điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron cho đối tượng phi tuyến.....29
2.3. Kết luận ...........................................................................................................30
Chương 3 - XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN VÀ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN .31
3.1. Xây dựng mô hình toán .................................................................................31
3.1.1. Xây dựng phương trình trạng thái mô tả hệ bi - thanh ...........................31
3.1.2. Tuyến tính hóa xung quanh điểm làm việc ............................................34
3.2. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ bi - thanh ...........................................35
3.3. Thiết kế bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ ron cho hệ bi - thanh ...........36
3.4. Thiết kế bộ điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron cho hệ bi thanh .......................................................................................................................37
3.5. Kết luận ...........................................................................................................38


Chương 4 - MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ .............................................40

4.1. Mô phỏng đối tượng hệ bi – thanh trước khi có bộ điều khiển .................40
4.2. Mô phỏng hệ bi – thanh sau khi có bộ điều khiển trượt ............................42
4.3. Mô phỏng hệ bi – thanh sau khi có bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ ron ..46
4.4. Mô phỏng hệ bi – thanh sau khi có bộ điều khiển trượt thích nghi dùng
mạng nơ ron...........................................................................................................49
4.5. Khảo sát đáp ứng của các bộ điều khiển khi có nhiễu tác động ................54
4.5.1. Bộ điều khiển trượt.................................................................................54
4.5.2. Bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ ron ..................................................54
4.5.3. Bộ điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron .................................56
4.6. So sánh kết quả của các phương pháp điều khiển ......................................57
4.7. Kết luận ...........................................................................................................58
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..............................................................................60
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ߙ

CÁC KÝ HIỆU:
mୱ
rୱ

Góc của thanh so với phương nằm ngang ሺradሻ

Khối lượng bi sắt ሺkgሻ

Bán kính bi sắt ሺmሻ

g

Gia tốc trọng trường ሺm/sଶ ሻ

r

Vị trí bi sắt trên thanh ሺmሻ

Iୱ

Iୠ

τ

Momen quán tính của bi sắt ሺkgmଶ ሻ

Momen quán tính của thanh ሺkgmଶ ሻ

Momen xoắn tác động vào thanh ሺNmሻ

ߜ

Vị trí làm việc ሺmሻ

R

Điện trở phần ứng ሺΩሻ

V୫
Iୟ

ω୫

L

Điện áp vào động cơ DC ሺVሻ

Dòng điện phần ứng ሺAሻ

Vận tốc góc động cơ ሺrad/sሻ
Cảm kháng cuộn dây ሺHሻ

CÁC CHỮ VIẾT TẮT:
SMC

Sliding Mode Control: Điều khiển trượt

NSMC

Neural Sliding Mode Control: Điều khiển trượt dùng mạng nơ ron

ANSMC Adaptive Neural Sliding Mode Control: Điều khiển trượt thích nghi
dùng mạng nơ ron
DC

Direct current: Dòng điện một chiều

LQR

Linear-Quadratic Regulator: Điều khiển tối ưu

RBF

Radial basis function: Mạng hàm cơ sở xuyên tâm


DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu
Tên bảng
bảng
4.1
Các thông số của mô hình
4.2
So sánh các phương pháp điều khiển

Trang
41
58


DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu
hình vẽ
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

Tên hình vẽ

Trang

Mô hình hệ bi - thanh
Hệ thống bi – thanh kiểu trục lệch
Hệ thống bi - thanh kiểu trục giữa

Hệ thống bi - thanh của nhóm tác giả D. Colon và I.S. Diniz
Hệ thống bi - thanh của nhóm tác giả Mohammad Keshmiri và
Ali Fellah Jahromi
Xác định tín hiệu điều khiển tiến về mặt trượt
Nơ ron sinh học và nơ ron nhân tạo
Các hàm tác động
Mạng truyền thẳng 1 lớp (single layer feedforward network)
Mạng truyền thẳng nhiều lớp (multi layer feedforward network)
Mạng hồi quy nhiều lớp (multi layer recurrent network)
Nút đơn hồi tiếp (single node with feedback to itself)
Học có giám sát (supervised learning)
Học không có giám sát (unsupervised learning, self organizing)
Học tăng cường (reinforcement learning)
Mô hình điều khiển trượt dùng mạng nơ ron
Mạng noron NN1 dùng làm thành phần điều khiển tương đương
Mạng noron NN2 dùng làm thành phần điều khiển hiệu chỉnh
Mô hình điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron
Mô hình hệ bi - thanh
Cấu trúc vòng kín hệ bi - thanh
Mạng nơ ron dùng làm thành phần điều khiển tương đương
Mạng nơ ron dùng làm thành phần điều khiển hiệu chỉnh
Mạng nơ ron làm bộ điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ
ron.
Mô hình mô phỏng hệ bi - thanh
Mô hình toán được xây dựng trên Matlab Simulink
Cấu trúc bên trong khối bnb
Cấu trúc khối bên trong khối DC Motor
Mô hình mô phỏng điều kiện đầu
Đáp ứng vị trí bi sắt và góc lệch thanh khi không có bộ điều
khiển

2
5
6
7
7
14
19
20
21
21
22
22
22
23
23
25
25
28
29
31
33
36
37
38
40
40
41
41
42

42


Số hiệu
Tên hình vẽ
Trang
hình vẽ
4.7
Sơ đồ mô phỏng Matlab - Simulink theo phương pháp điều khiển
43
trượt
4.8
Cấu trúc bên trong khối SMC được mô phỏng theo phương trình
43
(3.22)
4.9
Cấu trúc bên trong khối m(x) mô phỏng theo phương trình (3.18)
43
4.10
Đáp ứng điều khiển trượt
44
4.11
Đáp ứng điều khiển trượt khi thay hàm sign(.) bằng hàm sat(.)
44
4.13
Đáp ứng điều khiển trượt bám theo tín hiệu đặt khi thay hàm
45
sign(.) bằng hàm sat(.)
4.14
Sơ đồ mô phỏng Matlab - Simulink theo phương pháp điều khiển

46
trượt dùng mạng nơ ron
4.15
Cấu trúc bên trong khối NN1
46
4.16
Cấu trúc bên trong khối NN2
47
4.17
Cấu trúc bên trong Layer 1
47
4.18
Cấu trúc bên trong Layer 2
47
4.19
Đáp ứng của điều khiển trượt dùng mạng nơ ron
48
4.20
Đáp ứng của điều khiển trượt dùng mạng nơ ron bám theo tín
48
hiệu đặt
4.21
Mô phỏng điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron cho hệ
49
bi - thanh
4.22
Cấu trúc bên trong khối Neural Network
49
4.23
Các giá trị vào ra khối Adaptive law

50
4.24
Cấu trúc bên trong Layer 1
50
4.25
Cấu trúc bên trong Layer 2
50
4.26
Phiên điều khiển đầu tiên trượt thích nghi dùng mạng nơ ron
51
4.27
Phiên điều khiển thứ hai trượt thích nghi dùng mạng nơ ron
51
4.28
Quá trình huấn luyện và hội tụ bộ điều khiển trượt thích nghi
52
dùng mạng nơ ron
4.29
Đáp ứng của điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron
53
4.30
Đáp ứng của điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron bám
53
theo tín hiệu đặt
4.31
Đáp ứng bộ điều khiển trượt khi có nhiễu
55
4.32
Đáp ứng bộ điều khiển trượt dùng mạng nơ ron khi có nhiễu
55

4.33
Đáp ứng bộ điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron khi có
56
nhiễu
4.34
So sánh đáp ứng của các phương pháp điều khiển
57


Số hiệu
Tên hình vẽ
Trang
hình vẽ
4.35
Tín hiệu điện áp điều khiển trong các phương pháp
57
4.36
So sánh đáp ứng của các phương pháp điều khiển khi thay thế
58
hàm Sign(.) bằng hàm Sat(.) trong phương pháp điều khiển trượt


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, các hệ thống tự cân bằng được sử dụng rất rộng rãi trong đời sống và
trong kỹ thuật. Nhiều hệ thống tự cân bằng đã và đang được nghiên cứu phát triển như:
điều khiển cân bằng trong hệ thống giảm chấn cho xe hơi, ổn định hàng hóa trên tàu
biển, xe hai bánh tự cân bằng, ổn định cầu trục vận chuyển hàng hóa. Đặt biệt trong

lĩnh vực quân sự, việc nghiên cứu và phát triển các hệ thống cân bằng có khả năng ổn
định được góc bắn pháo trên xe tăng, tàu chiến, góc phóng tên lửa, cân bằng trong máy
bay không người lái.
Trong bối cảnh này, để thực nghiệm việc điều khiển tự cân bằng, nhiều phòng thí
nghiệm của nhiều trường Đại học, viện nghiên cứu sử dụng một số mô hình đơn giản
về mặt kết cấu nhưng có đủ độ phức tạp về mặt động lực học và có tính phi tuyến cao.
Có thể liệt kê ra ở đây một số mô hình phổ biến như: mô hình con lắc ngược, mô hình
nêm ngược, mô hình hệ bi – thanh. Trong đó mô hình hệ thống “bi – thanh” được sử
dụng cho việc thử nghiệm một số bài toán điều khiển. Vấn đề chính của những bài
toán này đặt ra là cần thiết kế bộ điều khiển cho mô hình để giữ cân bằng vị trí của bi
trên thanh hoặc bi di chuyển trên thanh theo một vị trí thay đổi đặt trước. Các vấn đề
này đặt ra nhiều thách thức trong lĩnh vực điều khiển tự động. Bên cạnh đó, việc sử
dụng các phương pháp điều khiển thông minh để điều khiển mô hình hệ bi - thanh có
thể giúp ta tìm ra được các phương pháp điều khiển hợp lý, từ đó áp dụng các phương
pháp này vào mô hình thực tế có tính chất tương tự.
Việc điều khiển ổn định hệ bi - thanh đã được thực hiện trong một số nghiên cứu.
Những nghiên cứu này tập trung trên việc khai thác, ứng dụng một số lý thuyết điều
khiển nâng cao vào việc xây dựng bộ điều khiển nhằm nâng cao chất lượng của mục
tiêu điều khiển. Các tác giả đã xây dựng nhiều phương pháp điều khiển khác nhau,
trong đó có sự kết hợp giữa các phương pháp điều khiển thông minh như: điều khiển
mờ [1], điều khiển mờ trượt – PD [2], điều khiển tối ưu (LQR) [3]. Tuy nhiên, trong
các nghiên cứu này vẫn còn tồn tại những nhược điểm như: thời gian đáp ứng chậm,
yêu cầu bi phải có khối lượng nhẹ để hạn chế quán tính khi lăn trên thanh.
Một phương pháp điều khiển phi tuyến đơn giản nhưng hiệu quả đó là điều khiển
trượt. Phương pháp này được đề xuất bởi Emelyanov, một nhà điều khiển học người
Nga vào năm 1962. Nhưng mãi đến năm 1977 mới được phát triển rộng rãi nhờ những
ấn phẩm xuất bản bằng tiếng Anh của Utkin. Ưu điểm nổi bậc của phương pháp này là
tính ổn định và bền vững ngay cả khi hệ thống có sự tác động của nhiễu hoặc khi
thông số của đối tượng thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, tín hiệu của hàm chuyển
mạch trong phương pháp điều khiển trượt tồn tại hiện tượng dao động với tần số cao

(chattering) xung quanh mặt trượt. Đây là một hiện tượng nguy hiểm, gây ra một chuỗi
các sốc nhỏ trên thiết bị và hậu quả làm giảm tuổi thọ của nó. Có nhiều nghiên cứu
được đề xuất để khắc phục hiện tượng chattering trong phương pháp điều khiển trượt


2
bằng cách sử dụng mạng nơ ron để thay thế các thành phần điều khiển tương đương
[6-9]. Việc sử dụng phương pháp này có thể nhận dạng các hàm phi tuyến trong bộ
điều khiển trượt mà không cần nhận dạng các thông số của hệ thống. Hàm dấu trong
phương pháp điều khiển trượt được thay thế bằng hàm bão hòa để hạn chế hiện tượng
chattering. Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là thời gian đáp ứng chậm
hơn so với phương pháp điều khiển trượt. Vì các chặn trên dùng trong thành phần điều
khiển bền vững với các giá trị hằng được chọn trước. Do đó, chất lượng điều khiển vẫn
phải phụ thuộc vào việc chọn các giá trị chặn. Để khắc phục vấn đề này, một số nghiên
cứu sử dụng phương pháp điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron điều khiển hệ
thống động phi tuyến [4,5,10,11]. Các kết quả đã công bố cho thấy, phương pháp này
có thời gian đáp ứng nhanh hơn so với phương pháp điều khiển trượt dùng mạng nơ
ron và khắc phục được hiện tượng chattering của điều khiển trượt.
Do đó, trong phạm vi của luận văn này, tác giả đề xuất lựa chọn đề tài: “Điều
khiển ổn định vị trí hệ bi - thanh sử dụng phương pháp trượt – nơ ron”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các phương pháp điều khiển trượt,
điều khiển trượt dùng mạng nơ ron, điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron để
điều khiển đối tượng hệ bi – thanh, nhằm giải quyết hai vấn đề sau:
- Điều khiển ổn định vị trí hệ bi - thanh.
- Cải thiện chất lượng điều khiển hệ bi - thanh thông qua việc hạn chế hiện tượng
chattering trong điều khiển trượt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống bi – thanh được mô tả như Hình 1 gồm có: bi sắt (1), thanh cân bằng

(2) và động cơ DC (3). Khi động cơ DC quay, thông qua hộp số sẽ làm cho thanh cân
bằng quay một góc ߙ. Dưới tác dụng của trọng lực sẽ làm quả bóng lăn tự do trên
thanh và bộ điều khiển có nhiệm vụ kiểm soát góc quay của động cơ DC để giữ quả
bóng cân bằng tại vị trí mong muốn. Tương tự hệ con lắc ngược, hệ bi - thanh cũng là
một trong những đối tượng phi tuyến không ổn định điển hình, thường được sử dụng
để thử nghiệm một số lý thuyết trong lĩnh vực điều khiển tự động.
r

1

2

α
3
Hình 1. Mô hình hệ bi - thanh
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Xây dựng mô hình toán học cho hệ bi – thanh dựa trên lý thuyết về mô hình hóa
các đối tượng phi tuyến. Nghiên cứu các phương pháp điều khiển trượt, điều khiển


3
trượt dùng mạng nơ ron và điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron để điều khiển
đối tượng hệ bi - thanh.
4. Phương pháp nghiên cứu
4. 1. Nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến xây dựng mô hình toán học cho đối tượng.
- Nghiên cứu các lý thuyết điều khiển trượt, điều khiển tối ưu, điều khiển dùng
mạng nơ ron.
- Nghiên cứu các lý thuyết điều khiển kết hợp phương pháp điều khiển trượt và
điều khiển dùng mạng nơ ron.

4.2. Phương pháp thực nghiệm
Để kiểm chứng, đánh giá kết quả các phương pháp điều khiển đã thiết kế và việc
mô hình hóa đối tượng hệ bi – thanh, trong luận văn này, phần mềm Matlab –
Simulink được sử dụng làm công cụ để mô phỏng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Trong thực tế của lĩnh vực điều khiển tự động thì việc điều khiển các hệ thống
phi tuyến bất định là không thể tránh khỏi. Một phương pháp điều khiển phi tuyến đơn
giản nhưng mang lại chất lượng bền vững cao là phương pháp điều khiển trượt. Tuy
nhiên, tín hiệu điều khiển trong phương pháp này tạo ra hiện tượng dao động với tần
số cao. Đây là một hiện tượng nguy hiểm và là nguyên nhân làm giảm tuổi thọ của
thiết bị trong hệ thống. Việc nghiên cứu để khắc phục hiện tượng này mang một ý
nghĩa vô cùng quan trọng. Bên cạnh đó, hệ bi – thanh là mô hình nghiên cứu phổ biến
trong phòng thí nghiệm của các trường đại học [12-15]. Tuy mô hình này có cấu tạo
đơn giản nhưng đủ độ phức tạp về mặt động lực học. Việc điều khiển ổn định vị trí hệ
bi – thanh sử dụng các phương pháp điều khiển đã đề xuất có thể giúp ta khảo sát,
đánh giá được kết quả của các phương pháp điều khiển này, từ đó có thể mở rộng
nghiên cứu cho các hệ thống thực có độ phi tuyến cao hơn như: ổn định hàng hóa khi
vận chuyển trên tàu biển [16], góc bắn pháo trên xe tăng, tàu chiến [17], góc phóng
cho tên lửa [18,19], cân bằng trong máy bay không người lái [20,21].
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày thành 4 chương:
Chương 1 giới thiệu về hệ bi – thanh, các dạng mô hình của hệ bi – thanh trong
phòng thí nghiệm và tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan từ các nguồn tài
liệu trong cũng như ngoài nước.
Chương 2 trình bày khái quát lý thuyết mô hình hóa đối tượng, các phương pháp
điều khiển được áp dụng để điều khiển hệ bi - thanh như: mạng nơ ron, điều khiển
trượt, điều khiển trượt dùng mạng nơ ron, điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ
ron cho đối tượng phi tuyến.
Chương 3 trình bày chi tiết về các bước xây dựng mô hình toán học cho hệ bi –
thanh. Trên cơ sở lý thuyết về các phương pháp điều khiển ở chương 2, chương này

4
cũng trình bày các bước xây dựng bộ điều khiển trượt, điều khiển trượt dùng mạng nơ
ron, điều khiển trượt thích nghi dùng mạng nơ ron cho đối tượng hệ bi – thanh.
Chương 4, chương này trình bày mô phỏng và đánh giá kết quả của các phương
pháp điều khiển sử dụng phần mềm Matlab – Simulink. Đầu tiên, chúng ta khảo sát
đáp ứng của hệ bi - thanh khi chưa có bộ điều khiển. Kế tiếp, các bộ điều khiển đã xây
dựng ở chương 3 được sử dụng để điều khiển ổn định vị trí hệ bi – thanh và đánh giá
kết quả đạt được.
Cuối cùng, luận văn được kết thúc bằng kết luận, các kiến nghị và đề xuất hướng
phát triển tiếp theo của đề tài.


5

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ HỆ BI - THANH
1.1. Giới thiệu hệ bi - thanh
Cũng như hệ con lắc ngược, mô hình hệ bi – thanh thường dùng để thực nghiệm
các bài toán điều khiển tự cân bằng. Dựa theo cấu tạo và nguyên lý hoạt động thì hệ bi
- thanh có hai dạng cơ bản: mô hình hệ bi – thanh kiểu trục lệch và mô hình hệ bi –
thanh kiểu trục giữa.
1.1.1. Mô hình hệ bi – thanh kiểu trục lệch
Cấu tạo của hệ bi thanh kiểu trục lệch được mô tả trong Hình 1.1. Trong đó: L là
chiều dài thanh, R là bán kính của bi, r là khoảng cách bi trên thanh so với khớp nối B,
ra là chiều dài cánh tay đòn và α là góc của thanh so với phương nằm ngang.
L
r

Bi
R

Thanh
A

B

α
ra

C
Động cơ DC
Hình 1.1. Hệ thống bi – thanh kiểu trục lệch
Nguyên lý hoạt động của hệ này là: khi động cơ DC quay, thông qua con quay C
làm cho khớp nối B di chuyển theo phương thẳng đứng. Điều này làm thay đổi chiều
cao của khớp nối B so với khớp nối A và thanh lệch với phương nằm ngang một góc α.
Nhờ tác dụng của trọng lực làm cho bi di chuyển trên thanh ở các khoảng cách r khác
nhau, dựa vào góc quay của con quay C, chúng ta có thể điều khiển được vị trí của bi
trên thanh. Ưu điểm của hệ bi - thanh kiểu trục lệch là động cơ DC làm quay con quay
C có mô men nhỏ. Nhược điểm của kiểu này là mô hình và thuật toán điều khiển phức
tạp.
1.1.2. Mô hình hệ bi – thanh kiểu trục giữa
Cấu tạo của hệ bi – thanh kiểu trục giữa được mô tả trong Hình 1.2. Trong đó r là
khoảng cách của bi trên thanh so với điểm cân bằng ở giữa thanh và α là góc nghiêng
của thanh so với phương nằm ngang.


6
Động cơ DC

α

r

Bi

Thanh
Hình 1.2. Hệ thống bi - thanh kiểu trục giữa
Nguyên lý hoạt động của hệ này như sau: khi động cơ DC quay làm cho thanh
nghiêng so với phương nằm ngang một góc α. Nhờ tác dụng của trọng lực làm cho bi
lăn trên thanh ở các vị trí r khác nhau. Dựa vào việc thay đổi góc quay của động cơ
DC có thể thay đổi được khoảng cách bi r theo vị trí mong muốn. Ưu điểm của hệ bi –
thanh kiểu trục giữa là dễ xây dựng mô hình và thuật toán điều khiển hơn so với hệ bi
– thanh kiểu trục lệch. Tuy nhiên, nhược điểm của dạng này là phải cần một động cơ
DC có mô men lớn để điều khiển góc quay.
1.2. Các công trình nghiên cứu liên quan
1.2.1. Các công trình nghiên cứu trong nước
Ở nước ta, có các nghiên cứu của tác giả Trần Phương Nam năm 2008, Võ Văn
Châu năm 2014 tại trường Đại học Giao Thông Vận Tải Thành Phố Hồ Chí Minh
[1,2], Doãn Thế Công năm 2014 tại trường Đại học Kỹ Thuật Công Nghiệp - Đại học
Thái Nguyên về hệ thống bi - thanh [3]. Các tác giả đã xây dựng bộ điều khiển mờ,
xây dựng bộ điều khiển mờ trượt - PD, sử dụng bộ điều khiển tối ưu (LQR), mô phỏng
đối tượng với các bộ điều khiển đã thiết kế, thiết kế và chế tạo được mô hình thực
nghiệm. Tuy nhiên bên cạnh đó cũng tồn tại những nhược điểm như: thời gian đáp ứng
chậm, yêu cầu bi phải có khối lượng nhẹ để hạn chế quán tính khi lăn trên thanh.
1.2.2. Các công trình nghiên cứu ngoài nước
Năm 2007, Lon-Chen Hung và Hung-Yuan Chung đã nghiên cứu phương pháp
điều khiển trượt - nơ ron phân ly (DNNSMC), bằng cách kết hợp lý thuyết điều khiển
trượt và mạng nơ ron để điều khiển các mô hình: hệ bi - thanh, hệ con lắc đơn, hệ nêm
ngược (Seesaw system) [12]. Tác giả đã mô phỏng các đối tượng và phương pháp điều

khiển DNNSMC trên phần mềm Matlab – Simulink. Các kết quả cho thấy, thời gian
đáp ứng của hệ thống còn chậm. Tuy nhiên phương pháp điều khiển này đã khắc phục
được hiện tượng dao động của phương pháp điều khiển trượt cổ điển. Đồng thời cho
thấy, chúng ta có khả năng kết hợp lý thuyết điều khiển trượt và mạng nơ ron để điều
khiển các đối tượng có độ không ổn định và phi tuyến cao.
Năm 2009, D. Colon và I.S. Diniz đã chế tạo mô hình hệ bi - thanh kiểu trục giữa
như Hình 1.3 [13]. Nhóm tác giả đã sử dụng thuật toán PID để điều khiển ổn định vị trí
bi sắt ở điểm cân bằng, tuy nhiên vẫn còn hạn chế là thời gian đáp ứng chậm, chưa


7
điều khiển bi sắt bám
ám theo tín hiệu
hi đặt. Mục đích củaa nhóm tác giả
gi chủ yếu là chế tạo
hệ bi – thanh để thựcc nghiệm
nghi
các bài toán điều khiển,
n, dùng trong việc
vi giảng dạy cho
sinh viên tại các trường
ng đại
đ học ở Brazil.
Bi
Động cơ DC
Thanh

Hình 1.3. Hệ thốống bi - thanh của nhóm tác giả D. Colon và I.S. Diniz
Năm
m 2012, nhóm tác giả

gi Mohammad Keshmiri và Ali Fellah Jahromi đã nghiên
cứu và chế tạo hệ bi – thanh kiểu
ki trục lệch như Hình 1.4. Nhóm tác giả đã ứng dụng
các phương pháp điềuu khiển
khi PID, LQR và kết hợp hai phương
ng pháp này thành bộ
b điều
khiển PID-LQR cho hệ bi - thanh. Các kết quả cho thấy rằng bi sắtt ổn định bền vững ở
vị trí cân bằng. Tuy
uy nhiên,
nhiên đáp ứng của hệ vẫn còn chậm, chưa
ưa đi
điều khiển bi sắt bám
theo tín hiệu đặt với vị trí bi thay đổi theo thời gian [14]. Cũng
ng trong nnăm 2012, nhóm
tác giả Y.H. Chang, C.W. Chang, C.W. Tao, H.W. Lin và J.S. Taur đã sử dụng phương
pháp mờ - trượt để điềuu khiển
khi ổn định định vị trí hệ bi – thanh kiểu
ki trục giữa. Bằng
cách kết hợp lý thuyếtt điều
đi khiển mờ và điều khiển trượt, tạo thành phương
ph
pháp điều
khiển mờ - trượt cho hệ không cần
c xác định rõ các thông số củaa mô hình.
hình Các kết quả
cho thấy, bi sắt ổn định
nh bền
b vững trên thanh cân bằng, thờii gian đáp
đ ứng nhanh, hạn

chế được hiện tượng
ng chattering trong điều khiển trượt [15].

Thanh

Bi

Động cơ DC
Hình 1.4. Hệ thống bi - thanh của nhóm tác giả Mohammad Keshmiri và Ali Fellah
Jahromi
Trên đây
ây là các bài báo chính yếu
y tổng hợpp các công trình nghiên cứu
c trên thế
giới về hệ bi – thanh. Ngoài ra còn một
m số công trình nghiên cứuu khác, để có thể tìm
hiểu sâu hơn, độc giả có thể
th tìm đọc trong các tài liệu tham khảoo [24-28].
[24


8
1.3. Kết luận
Trong chương này, chúng ta đã trình bày cấu tạo và nguyên lý hoạt động của mô
hình hệ bi – thanh kiểu trục lệch và mô hình hệ bi – thanh kiểu trục giữa. Đây là hai
mô hình phổ biến được dùng trong phòng thí nghiệm để thực nghiệm lý thuyết điều
khiển tự động. Ngoài ra, chương này cũng trình bày một số nghiên cứu liên quan đến
hệ bi – thanh. Các nghiên cứu đã sử dụng nhiều phương pháp điều khiển khác nhau để
điều khiển ổn định vị trí hệ bi – thanh. Cơ sở của chương này cho phép việc mô hình
hóa và đề xuất các phương pháp điều khiển để ổn định vị trí hệ bi – thanh, được trình

bày trong những chương tiếp theo của luận văn này.


9

Chương 2
MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG PHI TUYẾN
Để hình thành các giải thuật điều khiển cho hệ thống phi tuyến, việc lựa chọn
phương pháp điều khiển và mô hình hóa đối tượng phi tuyến là rất quan trọng. Chương
này cung cấp cho ta cơ sở lý thuyết về mô hình hóa và điều khiển hệ thống phi tuyến,
từ đó đề xuất các phương pháp điều khiển để ổn định vị trí hệ bi – thanh.
2.1. Mô hình hóa hệ thống phi tuyến
Mô hình hóa là phương pháp xây dựng mô hình toán của hệ thống bằng cách dựa
vào các quy luật vật lý chi phối hoạt động của hệ thống. Trong lĩnh vực điều khiển tự
động, mô hình toán của một hệ thống thường được mô tả dưới dạng một hệ phương
trình phi tuyến. Để xây dựng hệ phương trình này, chúng ta thường sử dụng cơ học
Lagrange, do nó có tính tổng quát khi tính đến những đại lượng vô hướng như động
năng và thế năng. Điều này giúp chúng ta giải quyết các vấn đề cơ học dễ dàng hơn so
với việc phân tích các phương trình của Newton trong cơ học cổ điển. Bên cạnh đó,
khi điều kiện cho phép, người ta thường tìm cách chuyển thể gần đúng mô hình phi
tuyến sang một mô hình tuyến tính xấp xỉ tương đương để dễ dàng hơn khi phân tích
và điều khiển. Trong phần này, trình bày phương pháp xây dựng mô hình toán hệ
thống phi tuyến bằng phương trình Euler-Lagrange và các bước để tuyến tính hóa một
hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc.
2.1.1. Phương trình Euler-Lagrange
Phương trình Euler-Lagrange được sử dụng rộng rãi nhất trong phân tích chuyển
động của một hệ vật, các đại lượng vô hướng trong phương trình này như động năng
và thế năng có thể dễ dàng tính được. Các bước xây dựng phương trình EulerLagrange được trình bày như sau:
Gọi ܶ là tổng động, ܸ là thế năng năng của hệ, hàm Lagrange L được định nghĩa như
sau:

(2.1)
‫ܶ= ܮ‬−ܸ
Phương trình tổng quát cho chuyển động của hệ:
݀ ߲ܶ
߲ܶ ߲ܸ
(2.2)
൤ ൨−
+
= ‫ܨ‬௤௜ ,
݀‫ݍ߲ ݐ‬ሶ ௜
߲‫ݍ‬௜ ߲‫ݍ‬௜
trong đó: ‫ݍ‬௜ là tọa độ tổng quát,
‫ܨ‬௤௜ là ngoại lực tác động vào hệ.
Vì thế năng chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật, do đó đạo hàm theo vận tốc của nó sẽ
bằng 0:
݀ ߲ܸ
(2.3)
൤ ൨ = 0.
݀‫ݍ߲ ݐ‬ሶ ௜
Thay biểu thức (2.2) vào (2.1) ta có:


10

݀ ߲ሺܶ − ܸሻ
߲ሺܶ − ܸሻ
(2.4)
൤
൨−
= ‫ܨ‬௤௜

݀‫ݐ‬
߲‫ݍ‬ሶ ௜
߲‫ݍ‬௜
Sử dụng đa thức Lagrange, phương trình (2.3) được rút gọn:
݀ ߲‫ܮ‬
߲‫ܮ‬
(2.5)
൤ ൨−
= ‫ܨ‬௤௜
݀‫ݍ߲ ݐ‬ሶ ௜
߲‫ݍ‬௜
Phương trình (2.5) là phương trình Euler-Lagrange thường dùng để mô tả
chuyển động của một hệ. Phương trình này được dùng để xây dựng các phương trình
trạng thái mô tả hệ phi tuyến.
2.1.2. Tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến xung quanh điểm làm việc
Xét hệ phi tuyến bậc ݊ có ‫ ݌‬ngõ vào, ‫ ݍ‬ngõ ra mô tả bởi phương trình trạng thái.
‫ݔ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ሺ‫ ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ, ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻሻ
(2.6)
ቊ
‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ = ℎ൫‫ ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ, ‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ൯.
Trong đó: ‫ ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ∈ ܴ ௡ là vector trạng thái,
‫ݔ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ là đạo hàm theo thời gian của ‫ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ,
‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ∈ ܴ ௣ là vector tín hiệu vào,
‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ∈ ܴ ௤ là vector tín hiệu ra,
݂ ሺ. ሻ ∈ ܴ ௡ , ℎሺ. ሻ ∈ ܴ ௤ là hàm mô tả đặc tính động của hệ phi tuyến.
Điểm trạng thái ‫ݔ‬௘ được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu như hệ đang ở
trạng thái ‫ݔ‬௘ . Với tác động điều khiển ‫ ݑ‬cố định, không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm
nguyên tại trạng thái đó. Nếu (‫ݔ‬௘ , ‫ݑ‬௘ ሻ là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:
݂ ሺ‫ ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ, ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻሻ|௫ୀ௫೐,௨ୀ௨೐ = 0,
điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyến.

Khai triển Taylor ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݑ‬ሻ và ℎሺ‫ݔ‬, ‫ݑ‬ሻ xung quanh điểm làm việc tĩnh (‫ݔ‬௘ , ‫ݑ‬௘ ሻ ta có
thể mô tả hệ thống bằng phương tình trạng thái tuyến tính:
‫ݔ‬෤ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ݔܣ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ + ‫ݑܤ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ
(2.7)
൜
‫ݕ‬෤ሺ‫ ݐ‬ሻ = ‫ݔܥ‬෤ ሺ‫ ݐ‬ሻ + ‫ݑܦ‬෤ሺ‫ݐ‬ሻ
Trong đó: ‫ݔ‬෤ ሺ‫ ݐ‬ሻ = ‫ ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ − ‫ݔ‬௘
‫ݑ‬෤ሺ‫ ݐ‬ሻ = ‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ − ‫ݑ‬௘
‫ݕ‬෤ሺ‫ ݐ‬ሻ = ‫ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ − ‫ݕ‬௘ với ‫ݕ‬௘ = ℎሺ‫ݔ‬௘ , ‫ݑ‬௘ ሻ.
Khi đó các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng được tính như sau:

‫=ܣ‬

߲݂
ฬ
߲‫ ݔ‬ሺ௫೐,௨೐ሻ

߲݂
‫ ۍ‬ଵ
‫ݔ߲ێ‬ଵ
‫݂߲ ێ‬ଶ
‫ێ‬
= ‫ݔ߲ێ‬ଵ
‫⋮ ێ‬
‫ێ‬
‫݂߲ ێ‬௡
‫ݔ߲ۏ‬ଵ

߲݂ଵ
߲‫ݔ‬ଶ

߲݂ଶ
߲‫ݔ‬ଶ
⋮

߲݂௡
߲‫ݔ‬ଶ

…
…
⋱

…

߲݂ଵ
‫ې‬
߲‫ݔ‬௡ ‫ۑ‬ተ
߲݂ଶ ‫ۑ‬
߲‫ݔ‬௡ ‫ۑ‬ተ
‫ۑ‬
⋮ ‫ۑ‬
‫ۑ‬
߲݂௡ ‫ۑ‬ተ
߲‫ݔ‬௡ ‫ ے‬ሺ௫

೐ ,௨೐ ሻ


11

‫=ܤ‬

߲݂
ฬ
߲‫ ݑ‬ሺ௫೐ ,௨೐ሻ

‫=ܥ‬

‫=ܦ‬

߲݂ଵ
‫ۍ‬
‫ݑ߲ێ‬ଵ
‫݂߲ ێ‬ଶ
‫ێ‬
= ‫ݑ߲ێ‬ଵ
‫⋮ ێ‬
‫ێ‬
‫݂߲ ێ‬௡
‫ݑ߲ۏ‬ଵ

߲ℎ
ฬ
߲‫ ݔ‬ሺ௫೐,௨೐ሻ

߲ℎଵ
‫ۍ‬
‫ݔ߲ ێ‬ଵ
‫߲ێ‬ℎଶ
‫ێ‬
= ‫ݔ߲ ێ‬ଵ

‫⋮ ێ‬
‫ێ‬
‫߲ێ‬ℎ௤
‫ݔ߲ ۏ‬ଵ

߲ℎ
ฬ
߲‫ ݑ‬ሺ௫೐ ,௨೐ሻ

߲ℎଵ
‫ۍ‬
‫ݑ߲ێ‬ଵ
‫߲ێ‬ℎଶ
‫ێ‬
= ‫ݑ߲ێ‬ଵ
‫⋮ ێ‬
‫ێ‬
‫߲ێ‬ℎ௤
‫ݑ߲ۏ‬ଵ

߲݂ଵ
߲‫ݑ‬ଶ
߲݂ଶ
߲‫ݑ‬ଶ
⋮

߲݂௡
߲‫ݑ‬ଶ

߲ℎଵ

߲‫ݔ‬ଶ
߲ℎଶ
߲‫ݔ‬ଶ
⋮

߲ℎ௤
߲‫ݔ‬ଶ

߲ℎଵ
߲‫ݑ‬ଶ
߲ℎଶ
߲‫ݑ‬ଶ
⋮

߲ℎ௤
߲‫ݑ‬ଶ

…
…
⋱

…
…
…
⋱

…

߲݂ଵ
‫ې‬

߲‫ݑ‬௣ ‫ۑ‬ተ
߲݂ଶ ‫ۑ‬
߲‫ݑ‬௣ ‫ۑ‬ተ
‫ۑ‬
⋮ ‫ۑ‬
‫ۑ‬
߲݂௡ ‫ۑ‬ተ
߲‫ݑ‬௣ ‫ ے‬ሺ௫

೐ ,௨೐ ሻ

߲ℎଵ
‫ې‬
߲‫ݔ‬௡ ‫ۑ‬ተ
߲ℎଶ ‫ۑ‬
߲‫ݔ‬௡ ‫ۑ‬ተ
‫ۑ‬
⋮ ‫ۑ‬
‫ۑ‬
߲ℎ௤ ‫ۑ‬ተ
߲‫ݔ‬௡ ‫ ے‬ሺ௫

೐ ,௨೐ ሻ

߲ℎଵ
‫ې‬
߲‫ݑ‬௣ ‫ۑ‬ተ
߲ℎଶ ‫ۑ‬
…
߲‫ݑ‬௣ ‫ۑ‬ተ

‫ۑ‬
⋱
⋮ ‫ۑ‬
‫ۑ‬
߲ℎ௤ ‫ۑ‬ተ
…
߲‫ݑ‬௣ ‫ ے‬ሺ௫
…

೐ ,௨೐ ሻ

2.2. Điều khiển hệ thống phi tuyến
Để phân tích và thiết kế bộ điều khiển cho hệ phi tuyến, hiện nay phương pháp
Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất. Phương pháp Lyapunov cung
cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi tuyến, có thể áp dụng cho hệ phi
tuyến bậc cao bất kỳ. Do vậy có thể sử dụng phương pháp này để thiết kế các bộ điều
khiển như: điều khiển mờ, điều khiển trượt, điều khiển dùng mạng nơ ron.
2.2.1. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống phi tuyến
Tiêu chuẩn ổn định thứ hai của Lyapunov (điều kiện đủ)
Xét hệ thống được mô tả bởi phương trình trạng thái: ‫ݔ‬ሶ = ݂ሺ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ. Trong
đó ‫ ܴ ∈ ݔ‬௡ là vector trạng thái, ‫ݔ‬ሶ là đạo hàm theo thời gian của ‫ݔ‬.
Nếu tồn tại một hàm ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ với mọi biến trạng thái ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … … ‫ݔ‬௡ là một hàm xác
định dương, sao cho đạo hàm của nó

ௗ௏ሺ௫ሻ
ௗ௧

dựa theo phương trình vi phân của chuyển

12
động bị nhiễu cũng là hàm xác định dấu, song trái dấu với hàm ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ thì chuyển động
không bị nhiễu sẽ ổn định tiệm cận.
• ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ. ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ < 0: Với mọi biến trạng thái ‫ݔ‬௜ , ݅ = 1 ÷ ݊ thì hệ thống ổn định
tiệm cận.
• ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ. ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ = 0: Với mọi biến trạng thái ‫ݔ‬௜ , ݅ = 1 ÷ ݊ thì hệ thống ổn định.
• ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ. ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ > 0: Với mọi biến trạng thái ‫ݔ‬௜ , ݅ = 1 ÷ ݊ thì hệ thống không ổn
định.
Phương trình Lyapunov
Xét hệ tuyến tính mô tả bởi phương trình trạng thái (hệ Autonom)
(2.8)
‫ݔ‬ሶ = ‫ݔܣ‬.
௡
Trong đó: ‫ ܴ ∈ ݔ‬là vector trạng thái, ‫ݔ‬ሶ là đạo hàm theo thời gian của ‫ݔ‬, ‫ ܣ‬là một ma
trận có n cột.
Yêu cầu cực tiểu hóa chỉ tiêu chất lượng ‫ܬ‬:
ஶ

‫ = ܬ‬න ‫ ݐ݀ݔܳ ் ݔ‬,
଴

với ܳ là một ma trận xác định dương, ‫ ் ݔ‬là ma trận chuyển vị của ‫ݔ‬.
Chọn hàm năng lượng ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ xác định dương:
ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔܵ ் ݔ‬,
trong đó, nếu ma trận S là ma trận vuông xác định dương thì ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ có dạng:
ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሶ ் ܵ‫ ݔ‬+ ‫ݔܵ ் ݔ‬ሶ + ‫ܵ ் ݔ‬ሶ‫ݔ‬
= ሺ‫ݔܣ‬ሻ் ܵ‫ ݔ‬+ ‫ ݔܣܵ ் ݔ‬+ ‫ܵ ் ݔ‬ሶ‫ݔ‬
= ‫ ݔܵ ்ܣ ் ݔ‬+ ‫ ݔܣܵ ் ݔ‬+ ‫ܵ ் ݔ‬ሶ‫ݔ‬
= ‫ ் ݔ‬൫‫ ܵ ்ܣ‬+ ܵ‫ ܣ‬+ ܵሶ൯‫ݔ‬.

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Do ܸሺ‫ݔ‬ሻ xác định dương, nên để hệ thống ổn định thì ܸሶ ሺ‫ )ݔ‬phải là xác định âm.
Ta chọn ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫( ݔܳ ் ݔ‬do Q là ma trận xác định dương nên ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ sẽ là xác định
âm). Từ phương trình (2.10) ta có:
(2.12)
ܳ = −ሺ‫ ܵ ்ܣ‬+ ܵ‫ ܣ‬+ ܵሻ.ሶ

Điều kiện cần và đủ để trạng thái cân bằng ‫ = ݔ‬0 ổn định tiệm cận: cho trước bất
kỳ một ma trận xác định dương ܳ và ma trận ‫ ܣ‬ổn định, tồn tại một ma trận xác định
dương ܵ thỏa mãn phương trình:
(2.13)
−ܵሶ = ‫ ܵ ்ܣ‬+ ܵ‫ ܣ‬+ ܳ.
Phương trình (2.13) được gọi là phương trình Lyapunov.
Khi S không thay đổi theo thời gian ܵሶ = 0, ta có phương trình đại số Lyapunov
(2.14)
0 = ‫ ܵ ்ܣ‬+ ܵ‫ ܣ‬+ ܳ.
்
்
Với ܸ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔܵ ݔ‬và ܸሶ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔܳ ݔ‬thì chỉ tiêu chất lượng ‫ ܬ‬được tính như sau:
ஶ

்
்
‫ = ܬ‬න ‫| ݔܵ ் ݔ = ݐ݀ݔܳ ் ݔ‬ஶ
଴ = −‫ ݔ‬ሺ∞ሻܵ‫ ݔ‬ሺ∞ሻ + ‫ݔܵ ݔ‬ሺ0ሻ.

଴


13
Ta có ‫ ݔ‬ሺ∞ሻ → 0, do đó:

‫ ் ݔ = ܬ‬ሺ0ሻܵ‫ ݔ‬ሺ0ሻ.

(2.15)

2.2.2. Điều khiển trượt
2.2.2.1. Điều khiển trượt cơ bản
Xét hệ không dừng có tín hiệu vào ‫ = ݑ‬ሺ‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௠ ሻ் , chứa thành phần bất định
݀ሺ‫ݔ‬, ‫ݑ‬, ‫ݐ‬ሻ, mô tả bởi:
(2.16)
࢞ሶ = ݂ሺ‫ݔ‬, ‫ݑ‬, ݀, ‫ݐ‬ሻ.
Trong đó ‫ ܴ ∈ ݔ‬௡ là vector trạng thái, f (.) là vector các hàm liên tục và một mặt
cong trơn ሺ݊ × ݉ሻ chiều, thường được gọi là mặt trượt, mô tả bởi vector gồm ݉ hàm
trơn:
(2.17)
‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = ሾ‫ݏ‬ଵ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ, ‫ݏ‬ଶ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ, … , ‫ݏ‬௠ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻሿ் = 0.
Trong đó ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn x(t) của hệ (theo một
chỉ tiêu chất lượng cho trước). Mặt trượt (2.17) trên thường gặp ở dạng tổng quát, vì
nó có dạng không dừng (cấu trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian).
Nhiều trường hợp, để đơn giản trong điều khiển sau này và khi điều kiện cho
phép, người ta chỉ cần sử dụng mặt trượt dừng (có cấu trúc không biến đổi theo thời
gian):
(2.18)
‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = ሾ‫ݏ‬ଵ ሺ‫ݔ‬ሻ, ‫ݏ‬ଶ ሺ‫ݔ‬ሻ, … , ‫ݏ‬௠ ሺ‫ݔ‬ሻሿ் = 0
Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu điều khiển u để đưa hệ

(2.16) tiến về mặt trượt (2.17) và giữ nó lại trên đó.
Ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u đó là:
‫ݑ‬௘௤ khi ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = 0
(2.19)
‫=ݑ‬൜
‫ݑ‬ே khi ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ ≠ 0.
Trong đó: ‫ݑ‬௘௤ là thành phần điều khiển giữ x(t) ở lại trên mặt trượt (equivalence
principle), tức là nếu đã có: ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬଴ , ‫ݐ‬଴ ሻ = 0 với ‫ݔ‬଴ = ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬଴ ሻ thì ‫ݑ‬௘௤ sẽ tạo ra được:
(2.20)
‫ݏ‬ሶ ሺ‫ݔ‬଴ , ‫ݐ‬଴ ሻ = 0 ݇ℎ݅ ‫ ≥ ݐ‬0.
Hình 2.1 minh họa vai trò của thành phần tín hiệu này đối với quỹ đạo trạng thái
x(t) của hệ, ‫ݑ‬ே là thành phần tín hiệu làm cho x(t) tiến về mặt trượt. Như vậy, ở trường
hợp mặt trượt dừng (2.18), khi sử dụng hàm xác định dương: ܸ ሺ‫ݏ‬ሻ =

ଵ ்
‫ݏ ݏ‬
ଶ

thì điều

kiện đủ để x(t) tiến về mặt trượt là tín hiệu điều khiển ‫ݑ‬ே phải tạo ra được:
(2.21)
ܸሶ ሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ݏ ் ݏ‬ሶ < 0 ݇ℎ݅ ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ≠ 0.
Điều kiện (2.21) này được gọi là điều kiện trượt và sử dụng với mặt trượt dừng
(2.18). Khi đó các thành phần ‫ݑ‬௘௤ , ‫ݑ‬ே sẽ được xác định theo các bước sau đây:
Bước 1 - Điều khiển giữ trên mặt trượt
Khi hệ (2.14) là hệ rõ và có cấu trúc:
‫ݔ‬ሶ = ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ + Hሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ‫ݑ‬,
trong đó: Hሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = ሾℎଵ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ, … , ℎ௠ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻሿ là ma trận ሺ݊ × ݉ሻ, và mặt trượt là mặt
cong trơn dừng (2.18), thì từ điều kiện (2.20) ta có:

14

߲‫ݏ‬
ൣ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ + ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ‫ݑ‬௘௤ ൧.
߲‫ݔ‬
డ௦
Vậy nếu ma trận: ‫ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݐ‬ሻ ∈ ܴ ௠×௠ không suy biến thì:
uୣ୯

డ௫

0 = ‫ݏ‬ሶ =

߲‫ݏ‬
= − ൭ ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ൱
߲‫ݔ‬

ିଵ

߲‫ݏ‬
݂ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ.
߲‫ݔ‬

(2.22)

Bước 2 - Điều khiển tiến về mặt trượt
Từ điều kiện đủ (2.21) trên cho mặt trượt dừng (2.18) về sai lệch giá trị tín hiệu
‫ݑ‬ே = ‫ݑ‬௘௤ + ∆ , được mô tả ở Hình 2.1, thì:

߲‫ݏ߲ ݏ‬
+
‫ݔ‬ሶ
‫ ݏ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ =
߲‫ݔ߲ ݐ‬
߲‫ݏ߲ ݏ‬
ൣ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ + ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻሺ‫ݑ‬௘௤ + ∆൧
=
+
߲‫ݔ߲ ݐ‬
߲‫ݏ߲ ݏ‬
߲‫ݏ‬
ൣ݂ ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ + ‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ‫ݑ‬௘௤ ൧ +
=
+
‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ∆
߲‫ݔ߲ ݐ‬
߲‫ݔ‬
߲‫ݏ߲ ݏ‬
+
‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ∆
=
߲‫ݔ߲ ݐ‬

Hình 2.1. Xác định tín hiệu điều khiển tiến về mặt trượt
Bởi vậy, giống như (2.22), người ta đã đi đến một giá trị sai lệch tín hiệu điều
khiển ∆ cho hệ (2.16), ký hiệu chi tiết là:
(2.23)
∆= ሺ ∆ଵ , ∆ଶ , … , ∆௡ ሻ்
với mặt trượt lý tưởng ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = ‫ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ dạng vector hàm dừng, thỏa mãn:

߲‫ݏ‬
‫ ܪ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ ݐ‬ሻ = ‫ ܫ‬ሺ ݉ܽ ‫ݎݐ‬ậ݊ đơ݊ ‫ݒ‬ị ሻ
߲‫ݔ‬
như sau:
- Bộ điều khiển chuyển mạch:
∆௞ = −ܽ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ‫݊݃݅ݏ‬൫‫ݏ‬௞ ሺ‫ݔ‬ሻ൯, ݇ = 1,2, … , ݉,
trong đó ܽ௞ ሺ‫ݔ‬ሻ > 0, ∀‫ ݔ‬và
1 ݇ℎ݅ ‫ > ݏ‬0
(2.24)
‫݊݃݅ݏ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ൝−1 ݇ℎ݅ ‫ < ݏ‬0
0 ݇ℎ݅ ‫ = ݏ‬0.
- Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:
∆= −‫ݏܮ‬ሺ‫ݔ‬ሻ với L = LT > 0 tùy chọn.
- Bộ điều khiển vector đơn vị: