Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT thọ xuân 5 trả lời nhanh bài hỏi trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN
HỌC SINH LỚP 12A3 TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5
TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên.
Đơn vị công tác:THPT Thọ Xuân 5
SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học.

THANH HÓA NĂM 2020


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

1

1.2

Mục đích nghiên cứu

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1

Cơ sở lí luận:

3

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

3

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

16

3.2

Kiến nghị

16


1 – MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới được đưa vào dạy ở chương trình phổ
thông, nhưng với thời lượng dành cho số phức thì không được nhiều; với các nội
dung về khái niệm về số phức, phép cộng trừ nhân chia hai số phức, phương
trình bậc hai với hệ số thực. Phần lớn học sinh thường chỉ áp dụng những dạng
toán cơ bản như tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức, ….hay giải phương
trình đơn giản trên tập số phức. Tuy nhiên, khi vận dụng các bài toán về số phức,
đặc biệt là các bài toán liên quan đến cực trị về số phức thì học sinh còn lúng
túng, hay còn e ngại trong việc phân tích đề để tìm lời giải vì ngoài những kiến
thức cơ bản về số phức thì học sinh còn phải sử dụng đến những kiến thức liên
quan như bất đẳng thức, tập hợp điểm biểu diễn trong mặt phẳng.Để làm bài trắc
nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính xác mà còn phải nhanh,
một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh vấn đề và nhanh chóng
loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm tra đối chiếu các đáp
án còn lại với bài giải.
Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của
số phức là một trong những dạng thường xuyên có mặt trong đề thi minh họa, đề
thi chính thức của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các trường trên cả nước trong
những năm vừa qua. Đây thường là các bài tậpở mức độ vận dụng vì vậy đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic, có phương pháp thì mới giải nhanh và chính xác
được.Trong quá trình trực tiêp giảng dạy chương Số phức lớp 12, thông qua
nghiên cứu tài liệu tham khảo; Tôi rút ra một số kinh nghiệm giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên nhanh và chính xác dựa trên các dấu hiệu nhận biết đặc trưng
và dấu hiệu trực quan của các loại bài toán về cực trị của số phức. Và đã viết
thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Một số phương pháp hướng dẫn học
sinh lớp 12 Trường THPT Thọ Xuân 5 trả lời nhanh Bài hỏi trắc nghiệm về bài
toán cực trị của Số Phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu
hiệu trực quan của các dạng bài cực trị của Số Phức; kĩ năng phán đoán, phân

tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân
tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một
vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết
mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.

3


1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương Số Phức của chương trình giải tích lớp
12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của Số Phức, Tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài Số Phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không ? có giải quyết được vấn đề hay không ? có gặp khó khăn gì
không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, Tôi chia thành ba phương pháp làm bài toán
cực trị của Số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu
nhận biết đặc trưng, đến các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung một cách trực
quan và biết cách sử dụng phù hợp từng phương pháp vào các bài toán thích hợp,
biết cách phối hợp các phương pháp với nhau để đưa ra được phương án trả lời
nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
- Các phép biến đổi về số phức, số phức liên hợp.
- Các phép tính về cộng trừ và nhân chia số phức.
- Các phép biến đổi liên quan đến mô đun của số phức.

- Các kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng.
- Kĩ năng nhìn đồ thị của đồ thị hàm số.
- Kĩ năng nhìn vào tương giao của các đồ thị hàm số.
- Kĩ năng giải hệ phương trình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12
và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức
là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là
phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp
kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, bài toán trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ
đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời
gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh,
và tiêu tốn thời gian dành cho những Bài trắc nghiệm khác.
4


Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm
như sử dụng bất đẳng thức,khảo sát... tuần tự các bước giải tự luận như đã học,
tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả
lời sẽ mất quá nhiều thời gian và mệt mỏi,với mục tiêu đó tôi đưa ra một số bài
toán và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân
tích sử dụng phương pháp phù hợp và lựa chọn cách giải đúng và ngắn gọn nhất.

Bài toán 1: Qũy tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi=z − c − di. Tìm

Min z

.

PP giải:
Cách 1: Điều kiện z − a − bi=z − c − di thực chất là phương trình đường
thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z , A là điểm biểu diễn z1 và B là điểm
biểu diễn z2 thì giả thiết tương đương với MA = MB hay M nằm trên đường trung
trực của AB . Gọi I là điểm biểu diễn của z0 thì T = IM .
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d . Giá trị nhỏ
nhất bằng min T = d ( I , d ) .
Cách 2: Điều kiệnz − a − bi=z − c − di thực chất là phương trình đường
thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z đường trung trực của AB với A ( a; b ) và

B ( c; d )

min z = d (O, AB) =

a 2 + b2 − c 2 − d 2
2

( a − c)

2

+(b−d)

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng
Chú ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng

2

.

z − a − bi=z − c − di, cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả
thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi z = x + yi rồi thay vào phương trình.
5


Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i . GTNN của z là:
3
A. 3 2
B. 2
C. 2
D. 2 2
Hướng dẫn:

Cách 1: Gọi z = x + yi .
z − 2 − 4i = z − 2i
Từ
⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ −4 x − 4 y + 16 = 0
⇔ x + y − 4 = 0( d )
Vậy số phức

.

z

có mo đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O
4
d (O; d ) =
=2 2
d
2
đến đường thẳng :
.
Chọn đáp án D.
Cách2: Điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i thực chất là phương trình đường
thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z đường trung trực của AB với A ( 2;4 ) và
B

( 0;2 )
min z = d (O, AB) =

a2 + b2 − c2 − d 2
2

( a − c)

2

+(b−d)

2

=

2 2 + 42 − 2 2
2 22 + 22

=

4
=2 2
2

Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . GTNN của z là:
1
3
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2 2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi thì M ( x; y ) là điểm biểu diễn z .
z + i + 1 = z − 2i
Từ

⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = x 2 + ( y + 2) 2
⇔ x − y −1 = 0

.

Vậy M di chuyển trên (d).
6


Có z= OM do đó z nhỏ nhất bằng
Chọn đáp án A.

d (O; d ) =

1
2.

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z + 2i − 1 = z + i .Tìm số phức z được biểu
diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A ( 1;3)
A. 3 + i
B. 1 + 3i
C. 2 − 3i
D. −2 + 3i
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi thì M ( x; y ) là điểm biểu
diễn z . Từ z + i + 1 = z − 2i
( 1; −2 ) và E ( 0; −1)
Ta có : E

⇔

z + 2i − 1 = z + i
Hay ME = MF ⇔ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực
của EF: x-y-2=0 .Để MA ngắn nhất khi ⇔ MA ⊥ EF ⇒ M ( 3;1) ⇒ z = 3 + i
z − 1 + 2i = z + 3 − i

Ví dụ 4: Gọi z là số phức thỏa
và z − 1 + 2i nhỏ nhất.
Khi đó tổng phần thực và phần ảo của z là:

A.

−

5
2

23
B. 6

5
C. 2

Hướng dẫn:
z − 1 + 2i = z + 3 − i ⇔ 8 x − 2 y + 5 = 0 ( d )

z − 1 + 2i = AM với A ( 1;−2 ) .
Phương trình đường thẳng ∆ qua A,
và vuông góc với d: x + 4 y + 7 = 0 .
Khi đó z − 1 + 2i nhỏ nhất khi và chỉ khi
AM nhỏ nhất

7

D.

−

23
6


3

M  −1; − ÷
2 .
khi và chỉ khi ⇔ AM ⊥ d . Khi đó M = ∆ ∩ d . Tìm 
Chọn đáp án A.
Bài toán 2 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn
z − ( a + bi ) = k ( k > 0 )
Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn
,
, tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của

z

.

PP giải:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm
I ( a;b)

bán kính R = k . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm O và I. Khi đó

đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm như hình vẽ bên.

Cách tìm tọa độ điểm A, B (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn
nhất).

max z = OB = OI + R = a 2 + b2 + k


min z = OA = OI − R = a 2 + b2 − k
Khi đó :

C
+ Phương trình đường tròn ( ) quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z

là:

( C ) : ( x − a)

2

+ ( y − b) = R2
2

+ Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O, I là d : Ax + By + C = 0 .
Khi đó, A, B là giao điểm của ( C ) và d .

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2
⇒

Giải hệ phương trình:  Ax + By + C = 0
tọa độ hai điểm.

8


So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào
nhỏ hơn thì điểm đó ứng với điểm A và điểm còn lại là điểm B .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất, lớn nhất của

. Tìm giá trị

z

max z =

Ta có công thức

z1.z + z2 = R,( R > 0)

z2
z1

+

R
z1

min z =

và

z2
z1

-

R
z1

Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 số phức có mô đun
nhỏ nhất là:
A. z = 3 + 6i
B. z = 3 − 6i
C. z = 1 + 2i
D. 1 − 2i
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ )
Phương trình đường thẳng OI là y = 2 x .
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
 y = 2 x
 y = 2 x
⇔


2
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 ( x − 2 ) + ( 2 x − 4 ) = 5
 x = 1
⇒ N ( 1;2 )


y
=
2
 y = 2x

⇔ 2
⇔
 x − 4 x + 3 = 0   x = 3
⇒ M ( 3;6 )

y
=
6
 
+ Số phức z có môđun lớn nhất là z = 3 + 6i ứng với điểm M ( 3; 6 ) .
N 1; 2
+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 1 + 2i ứng với điểm ( ) .
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Giá trị lớn nhất của z là:

A. 9 + 4 5
Hướng dẫn:
Cách 1:

B. 11 + 4 5

6+4 5

C.

D. 5 + 4 5

z − 1 + 2i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4
Đặt z = x + yi . Ta có :
.
x = 1 + 2sin t y = −2 + 2cos t ; t ∈ [ 0;2π ]
2

Đặt

2

,

z = ( 1 + 2sin t ) + ( −2 + 2cos t ) = 9 + ( 4sin t − 8cos t ) = 9 + 4 2 + 82 sin ( t + α )
2

2

2

9


2
z = 9 + 4 5 sin ( t + α ) ⇒ z =  − 9 + 4 5 ; 9 + 4 5  ⇒ zMax = 9 + 4 5



I 1; −2 )

Cách 2:Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm (
và bán kính
2
2
R = 4 .Vậy Z Max = OM = OI + R = 1 + 2 + 2 = 2 + 5 = 9 + 4 5

Chọn đáp án A
Nhận xét: Như vậy nếu HS làm tính toán thông thường thì sẽ rất lâu .biết
được công thức này thì chỉ làm khoảng 30s
z − 2 + 2i = 1
Ví dụ 3: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
,gọi
z = a + bi, ( a, b ∈ ¡

) là số phức có

z + 4i

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức

P = a ( b + 2) .
P= 2−

1
2

A.

B.

P=− 2−

1
2

C.

P=

1
+ 2
2

D.

P=

1
− 2
2

Hướng dẫn:

z − 2 + 2i = z − ( 2 − 2i ) = 1 ⇒ I ( 2; −2 )
14 2 43
Ta có:
Tập hợp các điểm

z1

M ( z)

z + 4i = z − ( −4i ) ⇒ A ( 0; −4 ) .
{
và

z2

I 2; −2 )
là đường tròn có tâm (
và bán kính r1 = 1 .

Phương trình đường thẳng IA là: x − y − 4 = 0
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
y = x − 4
 x − y − 4 = 0
 y = x − 4

⇔
⇔

1
2
2
2
2
2
x
−
2

+
y
+
2
=
5
x
−
2
+
x
−
4
+
2
=
1
) (
)
) (
)
(
(
( x − 2 ) = 2
1
1


x = 2+
x = 2−

y = x − 4




2

2
⇔
∨
1 ⇔
x − 2 = ± 2
 y = −2 + 1  y = −2 − 1


2 
2
1
1 
1
1 


⇒ M1  2 +
; −2 +
; −2 −
÷; M 2  2 −
÷.
2
2

2
2



10


 uuuur 
 AM 1 =  2 +


 uuuuu
r
 AM =  2 −
2



Khi đó

1
1 
;2 +
÷
2
2
⇒ AM 1 > AM 2 ⇒ M 2
1
1 

;2 −
÷
2
2
là điểm biểu diễn số phức

cần tìm.

1

a=2−

1 
1 
1

2
⇒ z =2−
+  −2 −
→
⇒ P = a ( b + 2) = 2 −
÷i 
2
2 
2
b = −2 − 1

2
Chọn đáp án A.
−2 − 3i

z +1 = 1
3
−
2
i
z
Ví dụ 5: Nếu các số phức thỏa mãn
thì z có giá trị nhỏ

nhất bằng:
A. 1.
Hướng dẫn:
Ta có:

C. 2

B. 2.

D. 3.

−2 − 3i
1
z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ −i z +
= 1 ⇔ z + i = 1 ⇔ z − ( −i ) = 1.
3 − 2i
−i
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 0; −1) và bán kính R = 1.
max z = OI + R = 02 + ( −1) + 1 = 2 ⇒
2

Vậy

Chọn đáp án B.

Dạng 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , ( r1 > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z2 .
PP giải:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn của
z1 ,z2 ,z .
Khi đó:
max P = AM 1 = r1 + r2
IA = z1 − z2 = r2 ⇒ 
min P = AM 2 = r1 − r2

11


Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao điểm M 1 , M 2
của đường tròn ( I , r1 ) với đường thẳng AI .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1 , ( r1 > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z3 .
max P =
Khi đó:

z2
r
z
r
− z3 + 1 và min P = 2 − z3 − 1
z1

z1
z1
z1

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 2i = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 − i
lần lượt là
A. 7.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Hướng dẫn:



z − 3 + 2i = z −  ( 3 − 2i ) ÷ = 2 = r1
z + 1 − i = z − ( −1 + i )
1 2 3 ÷
14 2 43
z1
z2


Ta có:
và
⇒ z1 − z2 = ( 3 − 2i ) − ( −1 + i ) = 5 = r2 ⇒ min z + 1 − i = 5 − 2 = 3 ⇒
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
z − 2 − 4i = 5

2

2

và biểu thức M = z + 2 − z − i đạt giá trị lớn nhất .Tìm số

phức z
A. z = 5 − 5i

B. z = 5 + 5i

C. z = 5 + 4i

D. z = −5 − 5i

z = x + yi . Ta có z − 2 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4)2 = 5
Gọi
Hướng dẫn:
Mặt khác:
Do số phức

z thỏa mãn hai điều kiện

( C ) có điểm chung
nên d và

12


⇔ d ( I;d ) ≤ R ⇔

23 − M

≤ 5 ⇔ 23 − M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33
2 5

4 x + 2 y − 30 = 0
⇒ M Max = 33 ⇔ 
2
2

( x − 3) + ( y − 4 ) = 5
x = 5
⇔
⇒ z = 5 + 5i
y = 5

Chọn đáp án B
Ví dụ 3 : (Đề minh họa THPT quốc gia 2018-2019)
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2

z = 2 z + z + 4 và z − 1 + i = z − 3 + 3i đạt giá trị lớn nhất .Tìm số phức z
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Hướng dẫn: Gọi z = x + yi .
Điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy
Theo bài ra ta có:
x2 + y2 = 4 x + 4

 z 2 = 2 z + z + 4

⇔

2
2
 ( x − 1) + ( y − 1) =
 z − 1 − i = z − 3 + 3i

( x − 3)

2

+ ( y + 3)

2

 x 2 + y 2 = 4 x + 4 ( 1)
⇔
 x − 2 y − 4 = 0 ( 2 )

( 1) và ( 2 ) là gồm hai cung của ( C1) và ( C 2 )
Tập hợp các điểm M thỏa mãn
d
với đường thẳng ( ) , có ba điểm chung nên có ba số phức.

Chọn đáp án B
Ví dụ 4: (SỞ GD-ĐT KIÊN GIANG -2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
z1 + 2 − 3i = 2

A. P = 3 + 34
Hướng dẫn:

và

z 2 − 1 − 2i = 1

. Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 − z2 .

B. P = 3 + 10 .

C. P = 6 .

13

D. P = 3 .


Gọi M ( x1 ; y1 ) là điểm biểu diễn số phức z1 , N ( x2 ; y2 ) là điểm biểu diễn
số phức z2 .
Số phức z1 thỏa mãn z1 + 2 − 3i = 2 ⇔ ( x1 + 2 ) + ( y1 − 3) = 4 suy ra M ( x1 ; y1 ) nằm
2

2

trên đường tròn tâm I ( −2;3) và bán kính R1 = 2 .
z − 1 − 2i = 1 ⇔ ( x2 − 1) 2 + ( y1 + 2 ) 2 = 1
Số phức z2 thỏa mãn 2
suy ra N ( x2 ; y2 )

nằm trên đường tròn tâm J ( 1; −2 ) và bán kính R2 = 1 .
Ta có

z1 − z2 = MN

đạt giá trị lớn nhất bằng R1 + IJ + R2 = 2 + 34 + 1 = 3 + 34 .

Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm
2018) Cho các số phức z1 = −2 + i , z2 = 2 + i và số phức z thay đổi thỏa mãn :
2

2

z − z1 + z − z2 = 16

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2
2
của z . Giá trị biểu thức M − m bằng
A. 15 .
B. 7 .
C. 11 .
Hướng dẫn:

Giả sử

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Ta có:

z − z1 + z − z2 = 16

2

D. 8 .

).

2

2

2

⇔ x + yi + 2 − i + x + yi − 2 − i = 16
⇔ x 2 + ( y − 1) = 4
2

.Suy ra tập hợp điểm biểu diễn

của số phức z
I 0;1
là đường tròn tâm số phức ( ) bán kính R = 2 .
2
2
Do đó m = 1 , M = 3 .Vậy M − m = 8 .
Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm 2018)
14


z −1
1
=
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho số phức z thỏa mãn z + 3i

P = z + i + 2 z − 4 + 7i

.

A. 8
Hướng dẫn:

B. 20

C. 2 5

D. 4 5 .

Gọi z = x + yi với x, y ∈ ¡ , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số
z −1
1
=
2 ⇔ 2 z − 1 = z + 3i ⇔ 2 ( x − 1) + yi = x + ( y + 3) i
phức z . Ta có: z + 3i
⇔ 2

( x − 1)

2

+ y 2 = x 2 + ( y + 3) ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 20
2

2

2

.

Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn ( C ) tâm I ( 2;3)
và bán kính R = 2 5 .
Gọi A ( 0; −1) , B ( 4;7 ) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 = −i ,
z2 = 4 + 7i .

Dễ thấy A, B thuộc đường tròn ( C ) . Vì AB = 4 5 = 2 R nên AB là

2
2
2
đường kính của đường tròn ( C ) ⇒ MA + MB = AB = 80 .
Từ đó:

P = z + i + 2 z − 4 + 7i = z + i + 2 z − 4 − 7i

(1

= MA + 2MB ≤

2

+ 2 2 ) ( MA2 + MB 2 ) = 20

.

 MB = 2 MA
 MA = 4
⇒
 2

MA + MB 2 = 80  MB = 8

"
=
"
Dấu
xảy ra khi
.
Vậy max P = 20 .

Bài toán 3 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là Elip
Dạngtoán

1:

Số

phức

z

thỏa

mãn

z + c + z - c = 2a

,(hoặc

z + ci + z - ci = 2a

).
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường Elip (E) :

x2 y2
+
=1
2
2
2
a2 b2
với a = b + c , a,c,b đều dương, a > c và có:hai tiêu điểm:
F1 ( - c; 0) , F2 ( c; 0)

A1A2 = 2a

;bốn đỉnh:

;độ dài trục nhỏ:

A1 ( - a; 0) , A2 ( a; 0) , B1 ( - b; 0) , B 2 ( b; 0)

B1B 2 = 2b
15

;tiêu cự:

F1F2 = 2c

;độ dài trục lớn:


Vậy

min z = OB1 = OB 2 = b max z = OA1 = OA2 = a

Dạngtoán 2:

;

Cho số phức z thỏa mãn

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
với

z0 =

z - z1 + z - z2 = 2a

với

2a > z1 - z2

. Tìm

P = z - z0

z1 + z2
2

Ví dụ1: Cho số phức z thỏa mãn
A. 3
B. 4
Hướng dẫn:

z + 3 + z - 3 = 10

z

. Giá trị nhỏ nhất của là:
C. 5
D. 6

z + 3 + z - 3 = 10

Gọi số phức z = x + yi, x,y Î ¡ . Ta có

suy ra c = 3,a = 5
và b = 4 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Elip có phương trình (E):
x2 y2
+
=1
25 16

Theo hình vẽ thì
Chọn đáp án B.

min z = 4

Ví dụ2: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 , gọi M , m lần
2
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m
bằng
B. P = −13
C. P = −5
D. P = −4
A. P = −6

Hướng dẫn:

16


Áp dụng công thức trên, ta có:
10

 M = z max = 2 = 5

2
2
⇒
P
=
M
−
m
=
5
−
3
= −4

2
2
10
−
4.4
m = z =
=3
min

2
⇒ Chọn đáp án D.

Ví dụ2: Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2. Gọi m, M lần lượt
z −1 + i .

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

A. P = 13 + 73. B.
Hướng dẫn:

P=

5 2 + 2 73
.
2

Tính P = m + M .

C. P = 5 2 + 73.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z,

F1 ( - 2;1) , F2 ( 4; 7)

D.
và

P=

5 2 + 73
.
2

N ( 1;- 1)

FF =6 2
FF

Từ z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 và 1 2
nên ta có M thuộc đoạn thẳng 1 2
æ 3 3ö
÷
Hç
ç- ; ÷
÷
÷
ç
F1F 2
2 2ø
è
Gọi H là hình chiếu của N lên
, ta tìm được
P = NH + NF 2 =

Suy ra
Chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện:
Câu 1.
thỏa mãn

5 2 + 2 73
.
2

(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - L1 - 2018) Cho số phức z
z − 2i ≤ z − 4i

và

z − 3 − 3i = 1

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z−2

là: A. 13 + 1
B. 10 + 1
C. 13
D. 10 .
Câu 2. (THPT Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp 2018)

Gọi M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

P=

z+i
z ,

với z là số phức khác 0
M
và thỏa mãn
. Tính tỷ số m .
M
M
=5
=3

A. m
.
B. m
.

z ≥2

M 1
=
m 3.
17

M 3
=
C. m 4 .

D.


Câu 3. (SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC - 2018)
Cho hai số phức z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình
z 2 − 4 z + 13 = 0 , với z1 có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn

2 z − z1 ≤ z − z2

, phần thực nhỏ nhất của z là
B. - 2 .

A. 6 .

C. 1 .

D. 9 .

Câu 4. (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 2018) Cho số phức z thỏa
mãn z − 1 − i = 1 , số phức w thỏa mãn w − 2 − 3i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z−w

.

A. 13 − 3

B. 17 − 3

C. 17 + 3

D. 13 + 3 .

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + 2i = 4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần
A. 5

lượt là:

B. 3 5

C. 5 5

D. 5 3

Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = z thì số phức z có môđun nhỏ

nhất là:
A.

z=

11
+i
2

B.

z=

3
− 2i
2

5
z = −5 − i
2
C.

1
z = −3 + i
6
D.

Câu 7. Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i thì số phức z có môđun
nhỏ nhất là:
A. z = −2 + 2i

B. z = −2 − 2i
C. z = 2 − 2i
D. z = 2 + 2i
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 2 . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z − i bằng:
A. 5.
B. 2.

C. 1

D. 3

( 2 + i ) z + 1 = 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất của z − 1 bằng:
A. 3

2
C. 5

B. 2 2

D. 2 3

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 10 . Giá trị lớn nhất của z + 1 − 4i
bằng: A. 10
B.10 3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
18

C. 3 10

D. 4 10


Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh lớp12A3 trước và sau thực hiện đề tài kết quả như sau:
Trước khi thực
Sau khi thực hiện đề tài
hiện đề tài
Số
Số
Số học
học sinh
học sinh
Số học
sinh trả lời
trả lời
Năm
Lớp
sĩ số
trả lời
sinh trả lời
chính xác
chính xác
chính
chính xác
trong
trong

xác
30s – 1p
30s – 1p
201912A
45
15
5
38
28
2020
3
3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh lớp 12A3, trường THPT
Thọ Xuân 5, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học ,biết
vận dụng các kiến thức đã học giải được tốt các bài toán liên quan nhanh, chính
xác.Chính vì v vậy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của
các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, sẵn sàng cho kỳ thi THPT quốc
gia, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường
3.2. Kiến nghị:
Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần Số phức và nhất là khi
hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến việc
hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc
trưng của các hàm số.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 10 tháng 7 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung

của người khác.

Nguyễn Thị Hương
19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tich nâng cao 12
2. Chuyên đề Số Phức của Trần Phương - Lê Hồng Đức
3. Đề thi minh họa THPT Quốc gia năm 2018,2019 môn toán của Bộ
GD&ĐT,đề thi thử của một số trường THPT

20