SKKN THCS: Một số kinh nghiệm giải các bài toán đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

UBND QUẬN HOÀNG MAI
TRƯỜNG THCS YÊN SỞ

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH

I.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Lí do khách quan
Trong những năm qua, cùng với sự phát triển chung của giáo dục, hoạt động
đổi mới phương pháp dạy học đã được Đảng và Nhà nước quan tâm.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học
theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến
thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ
máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực…”
Toán học đóng vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học, trong công
nghệ hiện đại. Có kiến thức vững chắc và các phương pháp học Toán là công cụ
thiết yếu không những giúp học sinh học tốt các môn học khác mà còn giúp các
em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của cuộc sống.
Với vai trò quan trọng của Toán học yêu cầu cơ bản đặt ra trong quá trình
dạy và học toán là người giáo viên phải tổ chức, hướng dẫn để học sinh tiếp thu
kiến thức một cách chính xác, vững chắc, biết vận dụng linh hoạt kiến thức toán
học vào các tình huống cụ thể trong thực tiễn.
Muốn làm được điều đó, mỗi giáo viên cần hình thành cho học sinh phương
pháp giải bài tập cụ thể ở từng dạng toán, từ đó phát huy được tính tích cực của
học sinh – đó là nhân tố quan trọng góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy
học hiện nay.
Luật giáo dục, điều 24.2 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm

của từng lớp, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
cho học sinh”.
1.2. Lí do chủ quan
Khi dạy các kiến thức mới, khái niệm mới người thầy có hoạt động dẫn dắt
để học sinh trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giáo viên giao, thảo luận, trao đổi,


phát hiện ra kiến thức mới dưới dạng cụ thể để từ đó khái quát hóa kiến thức.
Việc đổi mới phương pháp dạy học đã giúp học sinh tiếp nhận kiến thức và
phát triển các kỹ năng, trở thành chủ thể của mọi hoạt động và là mục đích hướng
tới của việc học tập.
Việc tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán đã được nhiều nước phát
triển thực hiện. Theo xu thế hội nhập, tăng cường tính thực tiễn trong dạy Toán là
tất yếu.
Thực tế hiện nay còn một số giáo viên chưa quan tâm đến đổi mới phương
pháp dạy học phát huy tính tích cực, độc lập của học sinh mà vẫn dạy theo lối
truyền thống “thầy đọc trò chép”. Vì vậy giờ học trở nên rất khô khan, gò ép, áp
đặt, nhàm chán và thiếu đi sự sáng tạo, sinh động trong tiết học. Nếu bằng nội
dung và phương pháp chưa phù hợp sẽ khó đạt được mục tiêu và dễ dẫn đến tình
trạng hiệu quả học tập chưa cao, học sinh không biết cách giải bài tập. Một câu
hỏi luôn đặt ra đối với tôi là “Làm thể nào để học sinh háo hức chờ đợi tiết
học?” và “Phải làm gì để thực hiện yêu cầu đổi mới nhằm nâng cao chất lượng
bộ môn?”. Đặc biệt là học sinh khối lớp 7 bắt đầu được làm quen dạng toán về
đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch trong phân môn Đại số. Đây là dạng
toán khó, học sinh rất hay nhầm giữa hai bài toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ
lệ nghịch. Xuất phát từ lí do trên, tôi xin phép được trao đổi: “Một số kinh
nghiệm giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch”.
2. Cơ sở lý luận của vấn đề
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 7, tôi nhận thấy để học tốt môn Toán

học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, vận dụng các công thức, quy tắc một
cách thích hợp, linh hoạt vào việc giải bài tập. Song bài tập Toán ở từng nội dung
thì rất đa dạng và phong phú, nhiều học sinh chưa nhận ra được dạng bài tập cụ
thể ở từng nội dung dẫn đến những nhầm lẫn, sai sót khi giải bài tập.
Trên thực tế ở mỗi lớp học trong nhà trường đều có những học sinh yếu kém,
cá biệt, có thái độ học tập chưa nghiêm túc dẫn đến các em bị hổng kiến thức cơ
bản.
Với việc rèn luyện phương pháp giải bài tập cụ thể ở từng dạng – từng nội
dung trong chương trình, tôi mong muốn xây dựng cho các em một nền tảng
vững chắc trong việc học tập bộ môn đồng thời góp phần đem lại niềm vui, hứng
thú trong học tập cũng như lấp đi chỗ hổng kiến thức của các em.
3. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
3.1. Thuận lợi
Nhận thức được tầm quan trọng của môn học cho nên tôi luôn có ý thức tìm
tòi nghiên cứu những phương pháp dạy học sao cho phù hợp. Tích cực dạy học


theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Giúp học sinh có nhiều cơ hội hình
thành và phát triển các năng lực chung như: Năng lực tính toán, năng lực tư duy,
năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác.
Ngoài ra còn hình thành các năng lực chuyên biệt, năng lực cốt lõi đó là năng lực
tính toán, học sinh nắm vững được kiến thức, rèn kĩ năng thực hành và phát huy
tính chủ động học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ
môn.
Giáo viên có tinh thần trách nhiệm cao, tích cực đổi mới phương pháp dạy
học. Giáo viên có nhận thức đúng đắn về đổi mới phương pháp dạy học. Xác định
rõ được sự cần thiết đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá nhằm
phát huy năng lực của học sinh. Ngoài ra việc ứng dụng công nghệ thông tin
trong dạy học ngày nay cũng tạo điều kiện thuận lợi cho việc dạy học bộ môn.
Giáo viên được tham gia các buổi sinh hoạt nhóm chuyên môn để trao đổi thống

nhất các vấn đề khó, mới trong giảng dạy bộ môn.
Đa số các em học sinh tích cực học tập. Có ý thức vươn lên trong học tập.
Gia đình học sinh luôn quan tâm đến việc học tập và dành thời gian cho con em
học tập.
Nhà trường có đầy đủ cơ sở vật chất về phòng học, đồ dùng học tập để phục
vụ cho việc dạy và học.
3.2. Khó khăn
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm bộ môn Toán 7 và qua việc khảo sát các bài
kiểm tra, tôi nhận thấy chất lượng của học sinh chưa cao nhất là nội dung phần
Đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch trong chương II Đại số: Hàm số và đồ
thị. Nguyên nhân là do học sinh còn bỡ ngỡ, chưa nắm được phương pháp giải
các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch. Nhiều học sinh
chưa nhận biết được đây là dạng bài toán tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch dẫn đến giải
không đúng phương pháp. Bên cạnh đó học sinh chưa tích cực trong việc giải các
bài tập về nhà, vận dụng kiến thức lý thuyết vào việc giải bài tập chưa thành thạo,
nhận biết được các dạng bài tập còn yếu, vì vậy học sinh chưa có được những kỹ
năng cho dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch. Vấn đề đặt
ra là phải làm thế nào để học sinh có thể phân biệt và vận dụng phương pháp giải
để giải bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch. Từ đó góp phần
nâng cao chất lượng phân môn Đại số 7 và làm nền tảng cơ bản cho việc học tập
bộ môn Toán cũng như các môn học khác.
3.3. Điều tra khảo sát về mức độ giải bài tập “Đại lượng tỉ lệ thuận” và “Đại
lượng tỉ lệ nghịch”:
Khi bước vào nghiên cứu và áp dụng các kinh nghiệm này tôi tiến hành khảo


sát ý kiến của học sinh (khi chưa áp dụng các kinh nghiệm của mình) làm cơ sở
đối chứng để từ đó đánh giá hiệu quả của sáng kiến.
Bảng 1: Đầu năm học tôi đã tiến hành điều tra mức độ hứng thú của học
sinh để để đưa ra “Một số kinh nghiệm giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ

thuận, tỉ lệ nghịch”
Năm học 2017 - 2018
Mức độ
Tổng
Lớp
Hứng thú
Bình thường Không hứng thú
số
SL
%
SL
%
SL
%
7A
30
14
46,7
11
36,6
5
16,7
Qua bảng thống kê, ta nhận thấy mức độ hứng thú của học sinh khi làm bài
tập về “đại lượng tỉ lệ thuận”, “đại lượng tỉ lệ nghịch” chưa cao. Vẫn còn một số
lượng học sinh không có hứng thú trong việc giải các bài tập về “đại lượng tỉ lệ
thuận”, “đại lượng tỉ lệ nghịch”.
Bảng 2: Kết quả bài kiểm tra (kiểm tra thường xuyên) của học sinh năm học
2017 - 2018
Giỏi
Khá

TB
Yếu
Kém
Lớp Sĩ
SL
%
SL
%
SL
%
số SL % SL %
7A

30

4

13,3

5

16,7

12

40

6

20

3

10

Qua bảng số liệu ta nhận thấy một số lượng không nhỏ học sinh chưa làm
được bài tập. Số lượng học sinh đạt điểm trung bình chiếm khá lớn (40%). Trong
công tác giảng dạy mặc dù đã được đầu tư cả về công sức lẫn trí tuệ, sự phấn đấu
của cả thầy và trò tuy nhiên học sinh vẫn chưa thực sự hứng thú với môn học và
đặc biệt với chuyên đề kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch chưa cao
còn tồn tại một số vấn đề đòi hỏi chúng ta cần tìm ra phương án giải quyết.
Đối với học sinh: Học sinh tiếp thu tri thức một cách thụ động, không được
học tập và hoạt động bằng khả năng của mình, chỉ nghe thầy truyền đạt kiến thức
dẫn đến học sinh lười tư duy, không khắc sâu và dễ quên kiến thức, dẫn đến học
sinh có cảm giác nhàm chán khi học bộ môn.


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Giải pháp
Từ những thực trạng trên tôi đề ra những giải pháp sau:
- Xây dựng hệ thống lý thuyết cụ thể với bảng tóm tắt định nghĩa và tính chất
về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Xây dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ
thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch được trình bày dưới hình thức so sánh giữa hai đại
lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch .
- Vận dụng phương pháp giải bài tập một cách thành thạo.
2.2. Biện pháp thực hiện
Để có kinh nghiệm giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng
tỉ lệ nghịch cần thực hiện 2 nhiệm vụ:
2.2.1. Nhiệm vụ của giáo viên:

- Tổ chức cho học sinh tự hoàn thiện kiến thức cơ bản nhất về đại lượng tỉ lệ
thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch: Định nghĩa, các tính chất và một số kiến thức bổ
sung.
- Đưa ra nhiều dạng câu hỏi, dạng bài tập để định hướng hoạt động của học
sinh.
- Hướng dẫn học sinh biết nhận dạng và áp dụng các định nghĩa, các tính chất
một cách chính xác, linh hoạt vào từng dạng bài tập.
- Tổ chức cho học sinh làm việc cá nhân hoặc trao đổi nhóm để tìm ra cách
giải nhanh nhất.
- Khẳng định kết quả học tập của học sinh và hướng dẫn học sinh khái quát
hóa cách giải từng dạng bài tập với những bài học kinh nghiệm cụ thể.
2.2.2. Nhiệm vụ của học sinh:
- Học sinh có nhiệm vụ tự giác, chủ động, tích cực học tập theo yêu cầu của
giáo viên.
- Trả lời câu hỏi và tích cực giải bài tập.
- Học sinh phải xác định được chỉ có làm bài tập thì học sinh mới có được
những kỹ năng riêng cho việc giải từng dạng bài tập.
- Sau mỗi dạng bài tập, học sinh nên chủ động tự tổng kết lại các cách giải và
các bước làm bài trong mỗi cách giải đó. Đặc biệt là cách trình bày bài làm cho
khoa học, chính xác nhất.
2.3. Một số dạng toán cơ bản về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
2.3.1. Lý thuyết về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch:


ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

1.Định nghĩa:
1.Định nghĩa:

y = kx ( k �0 ) � y tỉ lệ thuận với x y  a
hay x. y  a ( a �0 ) � y tỉ lệ
x
theo hệ số tỉ lệ k.
nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
* Chú ý: nếu y tỉ lệ thuận với x theo * Chú ý: Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo
hệ số tỉ lệ k ( k �0 ) thì x tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ a ( a �0 ) thì x tỉ lệ nghịch
với y cũng theo hệ số tỉ lệ a.
1
y theo hệ số tỉ lệ
k

2.Tính chất:
2.Tính chất:
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch
với nhau thì:
với nhau thì:
x1 y1  x2 y2  x3 y3  ...  a
y1 y2 y3


 ...  k
x1 x2 x3
x y x y

x1 y1 x1 y1
 ,  ,...
x2 y2 x3 y3

 2 ; 1  3 ;...

x2 y1 x3 y1
1

3. Bổ sung
3. Bổ sung
- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ
- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số
lệ k � 0 thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ tỉ lệ a
số tỉ lệ

1
k

- Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ
- Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ
lệ a1; y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ
lệ k1; y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
lệ a2 thì z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ
k2 thì z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
a1
k1.k2
lệ
a2

2.3.2. Dạng 1: Củng cố định nghĩa “đại lượng tỉ lệ thuận”, “đại lượng tỉ lệ
nghịch”
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
* Phương pháp giải:
* Phương pháp giải:

a
Áp dụng công thức y = kx để xác
Áp dụng công thức y = để xác định
x
định tương quan tỉ lệ thuận giữa hai
tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại
đại lượng và xác định hệ số tỉ lệ.
lượng.
* Ví dụ:
* Ví dụ: (Bài 1/sgk/53)


Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ Cho biết x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ
thuận với nhau và khi x=6 thì y=4.
lệ thuận. Hãy cho biết mối quan hệ
Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và giữa hai đại lượng x và z?
biểu diễn y theo x?
Giải:
a
Giải:
x và y tỉ lệ nghịch nên x  y
Vì hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với
y và z tỉ lệ thuận nên y  bz
nhau nên ta có y = kx
�k 

2
y 4 2
  �y= x
x 6 3

3

Suy ra

x

a
a
hay xz 
bz
b

Vậy x tỉ lệ nghịch với z (hệ số tỉ lệ là
a
).
b

* Một số bài tập tương tự
Bài1 : Cho y tỉ lệ thuận với x với hệ
số tỉ lệ là một số âm. Biết tổng các
bình phương hai giá trị tương ứng của
x là 2. Viết công thức liên hệ giữa y
và x?

Giải:
Gọi hai giá trị của y là y1 và y2; hai
giá trị của x là x1 và x2
Vì y tỉ lệ thuận với x nên
y1 y2


k
x1 x2

y12 y22 y12  y22 18
�k  2  2  2
 9
x1 x2 x1  x22 2
2

� k  � 9  �3
Nhưng theo đề bài k<0 nên k = -3
Do đó ta có công thức y = -3x
* Bài 2: Hãy viết công thức tính
a) Quãng đường đi được S km theo
thời gian t giờ của một vật chuyển
động đều với vận tốc 20km/h
b) Chu vi của hình vuông C cm theo

* Một số bài tập tương tự
* Bài1 :
a) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ
số tỉ lệ -2. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y
theo hệ số tỉ lệ nào?
b) Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau và khi x = 4 và y = 8,
hãy: Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x và
biểu diễn y theo x.
Giải
a) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ -2 nên

2

2

a
x

32
x

ta có y  x � x  y
Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ
lệ -2
b) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch nên x.y=a. Với x=4; y=8 nên
tìm được a = 4.8=32
Ta có y  � y 

* Bài 2 : Xác định đại lượng đã cho
trong mỗi câu sau có phải là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch với nhau không?
Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ?
a) Chiều dài x và chiều rộng y của


cạnh có độ dài a cm

Hướng dẫn giải
a) Vì quãng đường S và thời gian t là
hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo

hệ số tỉ lệ là vận tốc = 20. Nên ta có
công thức tính quãng đường là:
S = 20t
b) Vì chu vi và cạnh của hình vuông
là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số
tỉ lệ k = 4. Nên ta có công thức tính
chu vi hình vuông là:
C = 4a
* Nhận xét: Vì y tỉ lệ thuận với x nên
muốn viết được công thức liên hệ
giữa y và x ta phải xác định được hệ
số tỉ lệ k. ta tính được hệ số k nhờ áp
dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ
thuận và tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau.

hình chữ nhật có diện tích bằng a với
a là hằng số cho trước?
b) Vận tốc v và thời gian t khi đi trên
quãng đường S
c) Năng suất lao động n và thời gian
thực hiện t để làm xong một lượng
công việc a?
Hướng dẫn giải
a) Vì x.y = a nên x và y là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số
tỉ lệ a
b) Vì v.t = S nên v và t là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch với hệ số t lệ S
c) Vì a = n.t nên n và t là hai đại

lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a

* Nhận xét: Vì y tỉ lệ nghịch với x
nên muốn viết được công thức liên hệ
giữa y và x ta phải xác định được hệ
số tỉ lệ k. ta tính được hệ số k nhờ áp
dụng công thức biểu diễn hai đại
lượng tỉ lệ nghịch: y=

a
hoặc x.y=a
x

2.3.3. Dạng 2: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng (Tìm giá trị của một
đại lượng khi biết giá trị của đại lượng kia)
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Phương pháp giải:
* Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ k của y đối Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ a
(a = x.y)
y
với x ( k  )
x
Bước 2: Tìm các giá trị tương ứng
Bước 2: Tìm các giá trị tương ứng của
a
a
của x và y ( y  x hay x  y )
y

x và y ( y  kx � x  )
k

* Ví dụ:

* Ví dụ:


Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ
thuận. Điền số thích hợp vào ô trống nghịch. Điền số thích hợp vào ô
trong bảng sau:
trống trong bảng sau:
x
-3
-1
2
x
0,5 -1,2 4
y
-4
-10
y
1,5 3
Giải:
Giải:
y 4
a =4.1,5 = 6
k 
 2
x 2

x
0,5 -1,2 4
2
x
-3
-1
2
5
y
12
-5
1,5 3
y
6
2
-4
-10
* Một số bài tập tương tư
* Một số bài tập tương tư
* Bài 1: Cho biết đại lượng y tỉ lệ thuận * Bài 1: Cho biết hai đại lượng y và
2
với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k 
. x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ
5
lệ a=6. Cặp giá trị nào dưới đây là
Cặp giá trị nào dưới đây là cặp giá trị cặp giá trị tương ứng của hai đại
tương ứng của hai đại lượng nói trên?
lượng nói trên.
a) x = -4 và y =10
a) x =12; y=2

b) x = 10 và y = -4
2
b) x=9; y=
3

Hướng dẫn giải
Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ

Hướng dẫn giải
Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ

2
2
nên y  x
5
5

a=6 nên y 

a) Khi x = -4 thì y = 1,6 � 10.
Vậy x = -4; y=10 không phải là cặp giá
trị tương ứng của hai đại lượng nói
trên.
b) Khi x=10 thì y = -4. Vậy x=10; y=-4
là cặp giá trị tương ứng của hai đại
lượng nói trên

6
x

a) Khi x=12 thì y �2
Vậy x = 12; y=2 không phải là cặp
giá trị tương ứng của hai đại lượng
nói trên.
6
9

b) Khi x=9 thì y  
Vậy x = 9; y=

2
3

2
3

không phải là cặp

giá trị tương ứng của hai đại lượng
nói trên.
* Bài 2: Cho biết hai đại lượng y và x tỉ * Bài 2: Cho biết hai đại lượng y và
lệ thuận với nhau. Nếu x = 5 thì y =-4. x tỉ lệ nghịch với nhau. Nếu x= -3 thì
Hai đại lượng y và x liên hệ với nhau y =8. Hỏi hai đại lượng y và x liên
hệ với nhau theo công thức nào?
theo công thức nào?
Hướng dẫn giải


Hướng dẫn giải
Vì y và x tỉ lệ nghịch với nhau nên

Vì y và x tỉ lệ thuận với nhau nên k= a = x.y = -3.8 = -24. Do đó hai đại
lượng y và x liên hệ với nhau bởi
y 4

. Do đó hai đại lượng y và x
x 5
công thức:
24
liên hệ với nhau bởi công thức:
x.y = -24 hoặc y 
y

x

4
x
5

2.3.4. Dạng 3: Xét tương quan giữa hai đại lượng khi biết bảng các giá trị
tương ứng (Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận)
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

Phương pháp giải:
Xét xem tất cả các thương các giá trị
tương ứng của hai đại lượng có bằng
nhau không.
Ví dụ: (Bài 3/sgk/14)
Các giá trị của V và m được cho trong

bảng sau:
V
1
2
3
4

Phương pháp giải:
Xét xem tất cả các tích các giá trị
tương ứng của hai đại lượng có bằng
nhau không.
Ví dụ: (Bài 16/sgk/60)
Hai đại lượng x và y trong bảng dưới
đây có tỉ lệ nghịch với nhau không?
a.
x
1
2
4
5

m

7,8

15,6 23,4 31,2

m
V

a. Điền số thích hợp vào ô trống trong
bảng trên?
b. Hai đại lượng m và V có tỉ lệ thuận
với nhau không vì sao?
Giải:
a) Các ô đều được điền số 7,8.
b) m và V là hai đại lượng tỉ lệ thuận vì
m = 7,8V

y

120

60

30

24

x

3

4

5

6

y

20

15

12.
5

10

b.

Giải:
a) Vì 1.120 = 2.60 = 4.30 = 5.24
(=120) nên x và y là hai đại lượng tỉ
lệ nghịch.
b) Ta có: 3.20 = 60 �5.12,5
(= 62,5)
Vậy x và y không phải là hai đại
lượng tỉ lệ nghịch.

* Một số bài tập tương tư
Bài 1: Các giá trị tương ứng của y và x
* Một số bài tập tương tư
được cho trong bảng sau
Bài 1: Bảng sau cho biết các giá trị


x

2

4

5

7

tương ứng của y và x:
x
2
3
4

6
y
-3
-6 -7,5
-10,5
Xét các khẳng định sau, khẳng định
y
6
4
3
2
nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
Khi đó thì trong các khẳng định sau,
a) Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng
khẳng định nào đúng, khẳng định
3

x theo hệ số tỉ lệ
nào sai? Vì sao?
2
b) Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng a) Hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch
với nhau theo hệ số tỉ lệ a 

2
y theo hệ số tỉ lệ
3

1
3

b) Hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch
với nhau theo hệ số tỉ lệ a =12
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
y 3 6 7,5 10,5 3





Ta có : 2.6 = 3.4 = 4.3= 6.2 = 12
+) Ta có x 2 4
5
7
2
Vậy hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch
Vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại với nhau theo hệ số tỉ lệ a = 12.

3
Do đó a) sai (sai về hệ số tỉ lệ)
lượng x theo hệ số tỉ lệ
.
2
và b) đúng
Do đó a) đúng
+) Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại
lượng x theo hệ số tỉ lệ

3
thì đại
2

lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo
hệ số tỉ lệ

2
. Vậy khẳng định b) sai
3

(sai hệ số tỉ lệ)
* Bài 2: Các giá trị tương ứng của t và * Bài 2 : Cho biết y tỉ lệ nghịch với x
S được cho trong bảng sau:
a) Hãy biểu diễn y theo x
t
1
2
3
4

5
b) Điền số thích hợp vào ô trống
S
40
80 120 160 200 trong bảng sau :
S
x
-2
-1 -1/2 -1/3
1
t

a) Điền số thích hợp vào ô trống trong
bảng?
b) Hai đại lượng t và S có tỉ lệ thuận
với nhau hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải

y

0,6

Hướng dẫn giải


a) Tính
được

S
với cặp giá trị tương ứng, ta

t
a) Tìm hệ số tỉ lệ a = x.y = -1.0,6

S
= 40
t

= -0,6
0, 6

y
b) Hai đại lượng t và S tỉ lệ thuận với Ta có :
x
nhau: S = 40t
b) Lần lượt tính giá trị của y với giá
trị x tương ứng theo hệ số tỉ lệ -0,6

* Nhận xét: Để nhận biết hai đại
lượng tỉ lệ thuận
- Nếu y liên hệ với x theo công thức
y = kx (k � 0) thì y tỉ lệ thuận với x
- Xét các tỉ số tương ứng của hai đại
lượng, nếu các tỉ số bằng nhau thì hai
đại lượng tỉ lệ thuận

* Nhận xét: Để nhận biết hai đại
lượng tỉ lệ nghịch
- Nếu đại lượng y liên hệ với đại
lượng x theo công thức y 

a
hay
x

xy = a thì y tỉ lệ nghịch với x
- Xét tích các giá trị tương ứng của
hai đại lượng, nếu các tích này bằng
nhau thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch

2.3.5. Dạng 4: Giải bài toán thưc tế về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH

Phương pháp giải:
- Xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa
hai đại lượng.
- Áp dụng các tính chất về tỉ số các giá
trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Phương pháp giải:
- Xác định rõ các đại lượng được đề
cập trong bài toán.
- Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa
hai đại lượng trong các đại lượng đó.
Áp dụng các tính chất của hai đại
lượng tỉ lệ nghịch và tính chất của tỉ
lệ thức để tìm đáp số của bài toán.

Ví dụ: Cứ 100kg thóc thì cho 60 kg Ví dụ: Cho biết 3 người làm cỏ cánh

gạo. Hỏi 2 tấn thóc thì cho bao nhiêu
đồng hết 6h. Hỏi 12 người (với cùng
kg gạo?
năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng
hết bao nhiêu thời gian?

Tóm tắt
Lượng thóc

Lượng gạo

Tóm tắt:
Số người

Thời gian (h)


100 kg

60kg

3

6

2 tấn

x ? (kg)

12

x?

Giải:

Giải:
2 tấn = 2000 kg
Trên cùng cánh đồng (với cùng năng
Vì lượng gạo thu được tỉ lệ thuận với suất) thì số người tỉ lệ nghịch với
lượng thóc nên:
thời gian.Ta có:
100 60
2000.60

�x
 1200(kg )
2000 x
100

Vậy 2 tấn thóc cho 1200 kg gạo
* Một số bài tập tương tư
* Bài 1: Một xe tải chạy từ A đến B
mất 6 giờ trong khi đó một xe con chạy
từ B đến A chỉ mất có 3 giờ. Nếu hai xe
đó khởi hành cùng một lúc thì sau bao
lâu sẽ gặp nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi quãng đường xe tải và xe con đã đi
cho đến khi gặp nhau lần lượt là S1 và
S2 ; vận tốc của chúng theo thứ tự là v1

và v2
Trong cùng một thời gian, quãng
đường đi được tỉ lệ thuận với vận tốc
S

S

1
2
nên : v  v  t (t chính là thời gian
1
2

3 x
3.6
 �x
 1,5 (h)
12 6
12

Vậy 12 người làm cỏ cánh đồng hết
1,5 h.
* Một số bài tập tương tư
* Bài 1: Hai ô tô cùng khởi hành từ
A đến B. Vận tốc của ô tô I là
50km/h, vận tốc của ô tô II là
60km/h. Ô tô I đến B sau ô tô II là
36 phút. Tính quãng đường AB?
Hướng dẫn giải
Đổi 36 phút =

3
giờ
5

Với cùng quãng đường AB thì vận
tốc và thời gian đi tỉ lệ nghịch với
nhau nên theo tính chất ta có:
50 t2

60 t1
3
t
t
t t
3
� 1  2  2 1  5 
� t2  3
60 50 60  50 10 50

cần tìm)
Coi quãng đường AB là đơn vị quy ước Vậy thời gian ô tô II đi hết quãng
1
1
đường AB là 3 giờ.
thì : S1 + S2 = 1 ; v1  ; v2 
6
3
Quãng đường AB dài là:
S1 S2 S1  S 2 1

60.3 = 180 (km)
t 

 2
1
1
1 1
3
Do đó :

6

3

6

3

6

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì hai xe
gặp nhau.
* Nhận xét : Bạn có thấy lạ không ? * Nhận xét : Bài toán chuyển động
Quãng đường AB không biết dài bao có ba đại lượng là quãng đường, vận
nhiêu, vận tốc của mỗi xe cũng không tốc, thời gian. Ở đây, quãng đường


biết, thế mà ta vẫn tính được thời gian
hai xe phải đi để gặp nhau. Bí quyết ở
chỗ nào ? Đó chính là trong cùng một

thời gian thì quãng đường đi và vận tốc
đi là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Nhờ đó
ta tính được thời gian t theo tính chất
của hai đại lượng tỉ lệ thuận
* Bài 2 : Một công nhân may trong 5
giờ được 20 cái áo. Biết năng suất làm
việc không đổi, hỏi trong 12 giờ người
đó may được bao nhiêu cái áo ?
Gợi ý
Gọi số áo may được trong 12 giờ là x
(áo), x nguyên dương
Thời gian may và số áo là hai đại lượng
tỉ lệ thuận nên ta có
5 20
12.20

�x
 48
12 x
5

không đổi nên thời gian tỉ lệ nghịch
với vận tốc. Từ đó ta áp dụng tính
chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, tính
chất của tỉ lệ thức của dãy tỉ số bằng
nhau để tìm ra được đáp số của bài
toán.
* Bài 2 : Cho biết 4 người làm cỏ
một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 8
người (cùng năng suất) làm cỏ xong

cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ ?
Gợi ý
Gọi thời gian để 8 người làm cỏ
xong cánh đồng là x (giờ), x>0
Do số người và thời gian làm việc là
hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

6 8
 �x3
x 4

Số áo may được trong 12 giờ là 48 (áo) Vậy 8 người làm cỏ xong cánh đồng
hết 3 giờ
Lưu ý: Với các bài toán có lời văn về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch
giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tóm tắt bằng bảng với việc khái quát
thành những đại lượng cụ thể. Cùng giải theo một cách lập tỉ số, so sánh cho học
sinh thấy được sự khác nhau giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
2.3.6. Dạng 5: Chia một số thành những phần tỉ lệ với các số cho trước.
TỈ LỆ THUẬN
TỈ LỆ NGHỊCH
* Phương pháp giải
Phương pháp giải
Giả sử chia số S ra thành ba phần Giả sử chia số S ra thành ba phần x, y, z
x, y, z tỉ lệ thuận với các số a, b, c tỉ lệ nghịch với các số a, b, c thì ta có:
thì ta có:
x y z
 
x y z x yz
S
ax = by = cz hay 1 1 1

  

a

b

c

a b c

Từ đó tìm ra x, y, z.

a bc

a

b

c

Vậy để chia số S thành các phần tỉ lệ
nghịch với các số a, b, c (khác 0), ta chỉ
cần chia số S thành các phần tỉ lệ thuận


với các số
* Bài tập
Mức nước sinh hoạt của nhà bạn
Thủy được thống kê trong bảng sau
Thời

T6 T7 T8 T9
điểm
(tháng)
Chỉ số
204 220 237 250
đồng hồ
đo nước
(m3)
Biết tổng số tiền nước nhà bạn
Thủy phải trả trong quý III là
92000 đồng. Tính tiền nước phải
trả trong mỗi tháng 7, 8, 9 ?
Hướng dẫn giải
Số mét khối nước đã dùng trong
các tháng 7, 8, 9 lần lượt là :
220 - 204 = 16 (m3)
237 - 220 = 17 (m3)
250 - 237 = 13 (m3)
Gọi số tiền nước trong các tháng
7 ; 8 ; 9 lần lượt là : x, y, z (đồng),
đk : x, y, z >0
Ta phải chia 92000 đồng thành ba
phần tỉ lệ thuận với 16 ; 17 và 13.
Ta có

1 1 1
, , .
a b c

* Bài tập :

Một số A được chia thành ba phần tỉ lệ
nghịch với 5 ; 2 ; 4. Biết tổng các lập
phương của ba phần đó là 9512. Hãy tìm
A.

Hướng dẫn giải
Gọi ba phần được chia x, y, z
Ta có : x : y : z =

1 1 1
: :  4 :10 : 5
5 2 4

hay
x y z
  k
4 10 5
x3
y3
z3
3
�k 


64 1000 125

x3  y 3  z 3
9512



8
64  1000  125 1189
x
y
z
x yz
92000

 

 2000 � k  2
16 17 13 16  17  13
46
Vậy
x = 2000.16 = 32000 (TMĐK)
x y z
2
y = 2000.17 = 34000 (TMĐK)
4  10  5
z = 2000.13 = 26000 (TMĐK)
� x  y  z  2.19
Vậy số tiền nước trong ba tháng 7 ;
� A  38
8 ; 9 lần lượt là : 32000 đồng,
* Nhận xét : Sau khi tìm được k = 2, ta có
34000 đồng, 26000 đồng.
thể tính được x = 2.4 =8 ;
* Nhận xét : Trong cách giải trên
y = 2.10 = 20 ; z = 2.5 = 10
ta đã chia 92 000 thành ba phần tỉ

lệ thuận với 16 ; 17 ; 13. Vì số tiền Từ đó tính A = x+y+z = 8+20+10= 38
nước và số nước dùng là hai đại Cách này không gọn bằng cách giải trên.
lượng tỉ lệ thuận.
2.4. Kết quả đạt được
- Đa số học sinh đã nhận được dạng bài tập, so sánh điểm giống và khác nhau
trong cách giải các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Học sinh có thái độ tích cực trong học tập, hăng hái phát biểu, xung phong làm
bài tập trong các tiết luyện tập.
- Qua mỗi dạng bài tập, học sinh đã nhớ được phương pháp và áp dụng giải các
bài tập tương tự.
- Tuy nhiên dạng 4: Toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch đôi khi
học sinh còn nhầm lẫn giữa hai đại lượng này. Bên cạnh những học sinh tích cực,
chú ý phát biểu ý kiến xây dựng bài, vẫn còn một số ít những học sinh chưa ý
thức trong học tập dẫn đến việc áp dụng kinh nghiệm trên còn gặp nhiều khó
khăn.
Bảng 1: Tiến hành điều tra mức độ hứng thú của học sinh sau khi áp dụng
kinh nghiệm giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch”
Năm học 2018 - 2019
Lớp

Tổng
số

7A4

30

Hứng thú

SL
%
19
63,3

Mức độ
Bình thường
SL
%
11
36,7

Không hứng thú
SL
%
0
0

Bảng 2: Kết quả học tập của học sinh trong bài kiểm tra cuối chương 2 năm
học 2018- 2019
Lớp Sĩ
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
% SL %
SL
% SL %
SL

%
số S
L
7A4 30 5 16,
8
26, 10 33, 5 16,7
2
6,7
7
7
3
Kết quả trên cho thấy, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng đáng kể, số
lượng học sinh đạt điểm yếu và kém giảm. Như vậy, kinh nghiệm giải bài tập có ý
nghĩa vô cùng quan trọng trong quá trình học tập bộ môn Toán. Đó là sự kết tinh
của việc vận dụng lí thuyết vào việc giải bài tập. Rèn luyện cho học sinh giải bài
tập đem lại kết quả khả quan trong dạy học, điều đó khích lệ tôi áp dụng sáng
kiến này trong việc dạy học ở khối lớp trong những năm học tiếp .
6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng


Sáng kiến mà tôi nghiên cứu đã được áp dụng thực nghiệm khi giảng dạy
phân môn Đại số 7. Sáng kiến có thể nhân rộng đòi hỏi phải có sự phối kết hợp từ
nhà trường, giáo viên và học sinh. Mặt khác phải trang bị đầy đủ cơ sở vật chất,
thiết bị dạy học bộ môn, đồ dùng trực quan có chất lượng để tạo những điều tốt
nhất phục vụ cho công tác giảng dạy.
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Kinh nghiệm giải bài tập có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong quá trình học
tập bộ môn toán. Đó là sự kết tinh của việc vận dụng lí thuyết vào việc giải bài
tập.

Vì thế, nếu nắm vững phương pháp giải bài tập đặc biệt là bài tập về đại lượng
tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch thì học sinh sẽ khắc sâu được kiến thức, áp dụng
giải thành thạo các bài tập và làm nền tảng cho việc học Toán cũng như các môn
học khác có liên quan ở các lớp tiếp theo. Qua đó phát huy được tư duy độc lập,
sáng tạo của học sinh để góp phần nâng cao chất lượng bộ môn.
Muốn học sinh giải thành thạo các bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ
lệ nghịch có hiệu quả cao đòi hỏi người giáo viên phải có vốn kiến thức vững
chắc, có hệ thống bài tập phong phú, ở mỗi dạng bài tập phải hướng dẫn học sinh
nắm vững được phương pháp giải phù hợp với khả năng nhận thức của các em.
Với sự dẫn dắt, hướng dẫn tận tình của giáo viên kết hợp với phương pháp
giải bài tập thích hợp, sẽ giúp học sinh đạt được hiệu quả cao trong học tập.
2. Khuyến nghị
Do trường nằm trên địa bàn ngoại thành, đa số học sinh là con em gia đình lao
động, bố mẹ chủ yếu buôn bán tự do nên không có thời gian quan tâm đôn dốc,
nhắc nhở hay kiểm tra việc học tập của con mình ở nhà, cũng như tìm hiểu mua
sách vở tham khảo cho con, một số phụ huynh còn có tư tưởng phó mặc hoàn
toàn việc học tập của con cho nhà trường. Nhiều học sinh chưa chủ động, tự giác
và tích cực tìm đọc sách, báo tham khảo trên Thư viện nên phần nào ảnh hưởng
đến kết quả học tập.
2.1. Về phía các cấp quản lí giáo dục.
- Tổ chức các đợt tập huấn, chuyên đề về bộ môn để giáo viên Toán có điều kiện
giao lưu, trao đổi kinh nghiệm và phương pháp giảng dạy.
- Trang bị thêm một số đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ cho việc
giảng dạy bộ môn.


2.2. Về phía giáo viên
- Giáo viên phải thật sự tâm huyết với nghề, có ý thức học hỏi, tìm tòi, sáng tạo.
- Cần tăng cường đầu tư nhiều hơn nữa vào tiết dạy của mình, biên soạn giáo án
có chất lượng.

- Tích cực đổi mới phương pháp dạy học, dạy học và kiểm tra đánh giá theo định
hướng phát triển năng lực của học sinh.
2.3. Đối với học sinh
- Chăm chỉ học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong tiết học.
- Vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà bản thân tôi đã áp dụng trong quá trình
giảng dạy. Với khả năng trình độ chuyên môn có hạn, những vấn đề tôi trình bày
không tránh khỏi hạn chế. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng
khoa học các cấp để tôi có những phương pháp giảng dạy đạt kết quả tốt hơn,
nhằm nâng cao hiệu quả của cá nhân, nâng cao chất lượng giáo dục của nhà
trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nơi nhận:
- Phòng Văn hóa và Thông tin;
- Lưu VT.

NGƯỜI VIẾT

…………, ngày ….tháng ….năm 2019
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nguyễn Thị Ninh

Đỗ Thu Hà